专题12.4 分配方案与最大利润问题——一次函数的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题12.4 分配方案与最大利润问题——一次函数的应用 · 典例分析 【典例1】某商场计划一次性购进A、B两种型号的电脑共120台，每台的销售利润分别为A型100元、B型150元．其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这120台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商场购进A 型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大? （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m元，且限定商场最多购进A型电脑70台，若商场保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息设计出使这120台电脑销售总利润最大的进货方案． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据题意，再由B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，求出x的取值范围； （2）根据（1）中的函数判断函数的增减性和x的取值范围，即可解答； （3）根据题意得，分三种情况讨论，①当时，y随x的增大而减小；②当时，，；③当时，，y随x的增大而增大，分别进行求解． 【解题过程】 解：（1）根据题意得， ， 由， 解得， y关于x的函数关系式为； （2）由（1）知y随x的增大而减小， 当时，y有最大值，则， 该商场购进A型电脑40台、B型电脑80台，才能使销售总利润最大； （3）根据题意得， 即， ①当时，y随x的增大而减小， 当时，y取最大值，此时， 当时，商场购进40台A型电脑和80台B型电脑时销售利润最大， ②当时，，， 当时，商场购进A型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润； ③当时，，y随x的增大而增大， 当时，y取得最大值，此时， 当时，商场购进70台A型电脑和50台 B型电脑时销售利润最大． · 学霸必刷 【类型一：分配方案问题】 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． （1）若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ （2）设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； （3）一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 2．（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． （1）求A，B两种品牌足球的单价； （2）若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 3．（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． （1）求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 4．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）六月是离别的季节；三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购南外特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以上信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 （1）求钢笔和笔记本的单价； （2）若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 5．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． （1）从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； （2）求出与的函数关系式； （3）怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 6．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． （1）请问A，B两种客车分别可坐多少人？ （2）已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 7．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）学校准备举行社团活动，需要向商家购买 A、B两种型号的文化衫50件．已知170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫． （1）求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？ （2）若用于购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请问一共有几种购买方案？ （3）试问在（2）的条件下，学校采用哪种购买方案花费最少？最少是多少元？ 9．（2024·河南郑州·三模）“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） （1）小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； （2）小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； （3）小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 10．（23-24八年级下·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． （1）设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． （2）为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【类型二：最大利润问题】 11．（23-24八年级下·广东河源·期中）为了进一步提高企业的经济效益，某织布厂决定增加制衣项目．为此要将织布厂原有的100名工人分成两部分．一部分继续织布，一部分制衣．已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需用布1.5米．将布直接销售，每米布可获利2元；将布制成衣后销售，每件可获利25元．（若规定每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素） （1）若一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，则安排多少名工人织布？ （2）当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大？最大利润为多少元？ 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）一二六中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． （1）求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ （2）甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 12．（23-24八年级下·北京东城·期中）某体育用品商店计划一共购进600套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过250套，它们的进价和售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 75 100 羽毛球拍（元/套） 80 120 该商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）该商店实际采购时，恰逢“双11”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了元，羽毛球拍的进价不变，若商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，请你利用函数的性质进行分析：如何购货才能获利最大？最大利润是多少（用含有c的代数式表示）？ 13．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 香艾香 a 12 苦艾草 b 16 （1）求a，b的值； （2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y（元）最大？最大利润为多少？ 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式 ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 16．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； （3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， （1）求出与之间的函数关系式； （2）要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？ （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调()元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 19．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 （1）求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； （3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 20．（23-24八年级下·福建厦门·期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） a 45 羽毛球拍（元/套） b 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． （1）求出a，b的值； （2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.4 分配方案与最大利润问题——一次函数的应用 · 典例分析 【典例1】某商场计划一次性购进A、B两种型号的电脑共120台，每台的销售利润分别为A型100元、B型150元．其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这120台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商场购进A 型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大? （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m元，且限定商场最多购进A型电脑70台，若商场保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息设计出使这120台电脑销售总利润最大的进货方案． 【思路点拨】 本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据题意，再由B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，求出x的取值范围； （2）根据（1）中的函数判断函数的增减性和x的取值范围，即可解答； （3）根据题意得，分三种情况讨论，①当时，y随x的增大而减小；②当时，，；③当时，，y随x的增大而增大，分别进行求解． 【解题过程】 解：（1）根据题意得， ， 由， 解得， y关于x的函数关系式为； （2）由（1）知y随x的增大而减小， 当时，y有最大值，则， 该商场购进A型电脑40台、B型电脑80台，才能使销售总利润最大； （3）根据题意得， 即， ①当时，y随x的增大而减小， 当时，y取最大值，此时， 当时，商场购进40台A型电脑和80台B型电脑时销售利润最大， ②当时，，， 当时，商场购进A型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润； ③当时，，y随x的增大而增大， 当时，y取得最大值，此时， 当时，商场购进70台A型电脑和50台 B型电脑时销售利润最大． · 学霸必刷 【类型一：分配方案问题】 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． （1）若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ （2）设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； （3）一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答．  【解题过程】 （1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 2．（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． （1）求A，B两种品牌足球的单价； （2）若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，列二元一次方程组即可； （2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可．  【解题过程】 （1）解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元， 根据题意，得， 解得：， ∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元． （2）解：根据题意可知，B品牌足球个， ∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最小，此时． 综上，，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个． 3．（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． （1）求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 【思路点拨】 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． （1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设购买台型设备，购买型设备台，根据题意建立一元一次不等式，求得最小整数解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．  【解题过程】 （1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元， 根据题意得：， 解得，经检验是原方程的解， ∴型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是2200，2000元； （2）设购买台型设备， 购买型设备台，依题意，．解得， 的最小整数解为12， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，此时． 答：当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低． 4．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）六月是离别的季节；三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购南外特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以上信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 （1）求钢笔和笔记本的单价； （2）若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价=单价数量，结合九（1）班、九（2）班购买两种商品的数量及总费用，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本，根据购买钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设九（3）班购买这两种商品共花费元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．  【解题过程】 （1）解：设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：钢管的单价是20元，笔记本的单价是15元； （2）解：最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，理由如下： 设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本， 根据题意得：， 解得：， 设九（3）班购买这两种商品共花费元， 则， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，此时， ∴最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本． 5．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． （1）从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； （2）求出与的函数关系式； （3）怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【思路点拨】 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省．  【解题过程】 （1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 6．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． （1）请问A，B两种客车分别可坐多少人？ （2）已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 【思路点拨】 本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程组解决问题． （1）设A、B分别坐a、b人，可得，即可解得A、B两种客车分别坐45，30人； （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆， 求出正整数x的值即可；②根据花费：．根据一次函数的性质可得结论  【解题过程】 （1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人． ， 解得， ∴A、B两种客车分别坐45，30人． （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆 ∵x为正整数且为正整数， ∴，2，4，6，8，10，12． 故一共有7种方案： 0辆A客车和20辆B客车； 2辆A客车和17辆B客车； 4辆A客车和14辆B客车； 6辆A客车和11辆B客车； 8辆A客车和8辆B客车； 10辆A客车和5辆B客车； 12辆A客车和2辆B客车； ②花费：． ∵，W随x增大而减小． 故当时，元． 答：租车最少花费2060元． 7．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【思路点拨】 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可．  【解题过程】 （1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次． 8．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）学校准备举行社团活动，需要向商家购买 A、B两种型号的文化衫50件．已知170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫． （1）求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？ （2）若用于购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请问一共有几种购买方案？ （3）试问在（2）的条件下，学校采用哪种购买方案花费最少？最少是多少元？ 【思路点拨】 此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用．关键是熟练掌握总价与单价和数量关系，列出方程组、不等式组和函数解析式． （1）设A型号文化衫售价x元，B型号文化衫售价y元，根据170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫，列出方程组求解即可； （2）设购买A型号文化衫m件，则购买B型号文化衫件，根据购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，列出不等式组，求出m的取值范围，再根据m只能取整数，即可得出购买方案； （3）根据购买总费用为，当m越小，费用越小，故取，故当购买A型号19件，B型号31件时，费用最少，此时，最小费用为，即可．  【解题过程】 （1）设A型号的价格为x元/件，B型号的价格为y元/件， 依题意得：， 解得，． 答：A型号的价格为35元/件，B型号的价格为27元/件． （2）设A型号买m件，则B型号买件， 依题意得：， 即：， 解得，， ∵m为正整数， ∴． 故共有4种购买方案： 方案一：购买A型号19件，B型号31件； 方案二：购买A型号20件，B型号30件； 方案三：购买A型号21件，B型号29件； 方案四：购买A型号22件，B型号28件． （3）购买总费用为， ∵， ∴m越小，费用越小， ∴当时，总费用最少， 最小费用为：． 故方案一总费用最少，最少为1502元． 9．（2024·河南郑州·三模）“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） （1）小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； （2）小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； （3）小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【思路点拨】 （1）设裤子的标价为元，根据题意列出方程解答即可求解；分别算出每一种方案的花费即可判断求解； （2）根据题意列出函数解析式即可； （3）分和两种情况讨论即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，求一次函数的解析式，根据题意，正确列出一元一次方程和一次函数解析式是解题的关键．  【解题过程】 （1）解：设裤子的标价为元， 根据题意得，， 解得， 答：裤子的标价为元； 选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二的花费为：元， 方案三的花费为：元， ∵， ∴应选择方案三； （2）解：当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为； 故答案为：，，； （3）解：当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， ∵， ∴ 用方案一购买更合算； 当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， 当时，解得， ∴当时，用方案三购买更合算； 当时，两种方案购买花费一样多； 当时，用方案一购买更合算； 综上，当时，用方案三购买更合算． 10．（23-24八年级下·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． （1）设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． （2）为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【思路点拨】 （1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值．  【解题过程】 （1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【类型二：最大利润问题】 11．（23-24八年级下·广东河源·期中）为了进一步提高企业的经济效益，某织布厂决定增加制衣项目．为此要将织布厂原有的100名工人分成两部分．一部分继续织布，一部分制衣．已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需用布1.5米．将布直接销售，每米布可获利2元；将布制成衣后销售，每件可获利25元．（若规定每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素） （1）若一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，则安排多少名工人织布？ （2）当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大？最大利润为多少元？ 【思路点拨】 本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答． （1）设安排名工人织布，则安排名工人制衣，然后根据题目中的数据和一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，可以列出相应的方程，然后求解节课； （2）根据题意和题目中的数据，可以得到利润和制衣工人人数之间的函数关系式，再根据题意，可以得到制衣人数的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可求得当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润（元最大，最大利润为多少元．  【解题过程】 （1）解：设安排名工人织布，则安排名工人制衣， 由题意可得，， 解得， 答：安排35名工人织布； （2）解：设安排名工人制衣，总利润为元， 由题意可得，， 随的增大而增大， ， 解得， 为整数， 当时，取得最大值，此时， 答：当安排83名工人制衣时，该厂一天中所获总利润（元最大，最大利润为8324元． 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）一二六中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． （1）求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ （2）甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 【思路点拨】 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的性质， （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）首先根据题意列出一元一次不等式方程组，结合利润公式列出一元一次函数，根据函数的性质求得最大值．  【解题过程】 （1）解：设甲类圆珠笔每盒进价是元，乙类圆珠笔每盒进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲类圆珠笔每盒进价是15元，乙类圆珠笔每盒进价是10元； （2）解：设购进甲类圆珠笔盒，则购进乙类圆珠笔盒， 根据题意得：， 解得：． 设购进的甲、乙两类圆珠笔全部售出后获得的总利润为元，则 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 答：当甲类圆珠笔为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元． 12．（23-24八年级下·北京东城·期中）某体育用品商店计划一共购进600套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过250套，它们的进价和售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 75 100 羽毛球拍（元/套） 80 120 该商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）该商店实际采购时，恰逢“双11”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了元，羽毛球拍的进价不变，若商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，请你利用函数的性质进行分析：如何购货才能获利最大？最大利润是多少（用含有c的代数式表示）？ 【思路点拨】 （1）结合表格，利用总获利等于乒乓球拍的获利加上羽毛球拍的获利，列出解析式，根据购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，购进乒乓球拍的套数不超过250套，求出x的取值范围即可； （2）求出进价降低后y与x的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．  【解题过程】 （1）解：设购进乒乓球拍x（套），则购进羽毛球拍套， ∴， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴， 解得：， 又购进乒乓球拍的套数不超过250套， ∴； （2）解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， ∴当时，此时，取得最大值，最大值为：； 答：购进乒乓球拍200套，羽毛球拍400套时，利润最大，为元． 13．（22-23八年级下·河南商丘·阶段练习）艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 香艾香 a 12 苦艾草 b 16 （1）求a，b的值； （2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y（元）最大？最大利润为多少？ 【思路点拨】 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的不等式，函数关系式，方程组是解题的关键． （1）根据购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元列出方程组求解即可； （2）设香艾草的进货量为x千克，则苦艾草的进货量为千克，根据苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，列出不等式求出x的取值范围，再根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．  【解题过程】 （1）解：依题意，得：， 解得：， 答：a的值为7，b的值为12； （2）解：设购进香艾草千克，则购进苦艾草千克， 依题意，得： ， 解得：， 故， ∵全部销售完后的销售利润， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值， 此时． 答：该经销商应购进100千克香艾草，60千克苦艾草，才能使销售利润y（元）最大，最大利润为740元． 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式 ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【思路点拨】 （1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据等量关系式：本普通练习本销售总额精装练习本销售额元；本普通练习本销售额精装练习本销售额元，列出方程，解方程即可； （2）①购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可； ②先求出的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．  【解题过程】 （1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元． （2）解：购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据题意得： ； 普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍， ， 解得：， 中， 随的增大而减小， 当时，取最大值， （个）， （元）， 答：当购买个普通练习本，个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元． 16．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； （3）若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【思路点拨】 本题考查一次函数和一元一次方程的应用： （1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意列方程，解方程即可； （2）购进甲种剪纸装饰套乙种剪纸装饰套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则利润为 根据随的增大而增大， 且为非负整数可得当时，取最大值．  【解题过程】 （1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得 解得 ， ∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元． （2）设购进甲种剪纸装饰套， 则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得 ， 即 ∴与之间的函数关系式为； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 即 ， ∴随的增大而增大 ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元， ，即， 解得， ∵为非负整数 ∴当 时，取最大值，(元)， 此时套， 即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， （1）求出与之间的函数关系式； （2）要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？ （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调()元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润． 【思路点拨】 （1）设购进电冰箱x台，根据“总利润=冰箱利润+空调利润”列出函数解析式即可解答； （2）由“购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元”列出关于x的不等式组，求得x的取值范围即可得； （3）由（2）中相等关系列出新的函数解析式，根据一次函数性质分情况讨论即可得．  【解题过程】 （1）解：设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， 根据题意有：， 整理，得：． ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍， ∴， 解得：． ∵总利润不低于16400元， ∴，即， 解得：， ∴． ∵x为整数， ∴x的取值可以为34，35，36， ∴购买方案共有3种． （3）解：根据题意有：， 整理，得：． 当时，， ∴此时y随x的增大而减小， ∴当时，y最大，； 当时，， ∴此时y随x的增大而增大， ∴当时，y最大，； 当时，． ∴最大利润为元． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 【思路点拨】 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可．  【解题过程】 （1）解： （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，(元)． （3）解：∵， ∴， 由题意得： ． ∵， ∴当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，符合题意． 当时，， 不合题意． 当时，， y随x的增大而减小． ∴当时，， ∴，不合题意，舍去． 综上，． 19．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 （1）求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； （3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 【思路点拨】 本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． （1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可； （2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可．  【解题过程】 （1）解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购盆B种盆栽， 根据题意，， 由题意得：， 解得：， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； （2）解：设总利润为W，根据题意得： ， ∵， ∴W随x的增大而增大，又， ∴当时，W最大，最大值为1820， 答：商场能获得的最大利润为1820元； （3）解：设总利润为W元，根据题意得： ， 当即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得：， 综上分析可知，满足条件的m值为2． 20．（23-24八年级下·福建厦门·期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） a 45 羽毛球拍（元/套） b 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． （1）求出a，b的值； （2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 【思路点拨】 （1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围； ②根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．  【解题过程】 （1）根据题意：， 解得， 答：a的值为35，b的值为40； （2）①由题意得： ， ∵购进乒乓球拍的套数不超过150套， ∴， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴， 解得：， 则x的取值范围为：， ∴y与x的函数关系式为，x的取值范围为：； ②由题意得：， ∵， ∴当即时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大； 当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值， 乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大； 当时，无论购多少套，只要满足，利润都是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$