2.7.1 抛物线 的标准方程-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 抛物线 y 2 ＝4x 上的点 M （ 4 ， y 0 ） 到其焦点 F 的距离为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 抛物线的准线方程为 x＝-4 ， 则抛物线方程为 （ ） A. x 2 ＝16y B. x 2 ＝8y C. y 2 ＝16x D. y 2 ＝8x 3. 抛物线 y=ax 2 的准线方程是 y=2 ， 则 a 的值为 （ ） A. 1 8 B. - 1 8 C. 8 D. -8 4. y=ax 2 （ a≠0 ） 的焦点坐标是 （ ） A. 0 ， 1 4a a # B. 0 ， - 1 4a a a 2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 55 C. 0 ， 1 4a ! " 或 0 ， - 1 4a ! " D. 1 4a ， ! " 0 或 - 1 4a ， ! " 0 5. 若抛物线 y 2 ＝2px （ p≠0 ） 的焦点与椭圆 x 2 6 + y 2 2 ＝1 的右焦点 重合， 则实数 p＝ . 6. 抛物线 y 2 ＝-2px （ p＞0 ） 上有一点 M 的横坐标为 -9 ， 它到焦 点的距离为 10 ， 则抛物线方程为 ， M 点的坐 标为 . 56 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 与椭圆 C 2 ： x 2 16 + y 2 7 =1 有相同的焦点， ∴ 椭圆中 c 2 =16-7= 9 ， ∴ 双曲线中 c 2 =2+m=9 ， 解得 m=7 ， 即双曲线方程为 x 2 2 - y 2 7 =1 ， ∴ 渐近线方程为 y=± 14 姨 2 x. 11. 192 【解析】 由双曲线 C： x 2 36 - y 2 64 =1 可得 a 2 =36 ， b 2 =64 ， ∴c 2 =a 2 +b 2 =36+64=100 ， 即 a=6 ， b=8 ， c=10 ， ∴｜F 1 F 2 ｜=2c=20 ， 可得 ｜PF 2 ｜=｜F 1 F 2 ｜=20. 由双曲线的定义可得 ｜PF 1 ｜=｜PF 2 ｜+2a=20+12=32 ， ∴△PF 1 F 2 是等腰三角形， 且 ｜PF 2 ｜=｜F 1 F 2 ｜=20 ， ｜PF 1 ｜=32 ， 可得 PF 1 边上的高为 20 2 - 32 2 2 $ 2 姨 = 20 2 -16 2 姨 =12 ， ∴△PF 1 F 2 的面积为 1 2 ×32×12=192. 12. （ 2 7 姨 -2 ） a 【解析】 如图所示 ， 以 AB 的中点 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴 ， 建立平面直角坐标系 xOy ， 则 C （ 3 ， 3 姨 ）， A （ -2 ， 0 ） ， B （ 2 ， 0 ） ， 连 接 AM ， AC. ∵｜MA｜-｜MB｜=2<｜AB｜ ， ∴ 点 M 的轨迹是双曲线 x 2 - y 2 3 =1 的右支 . ∵｜MB｜+｜MC｜=｜MA｜-2+｜MC｜≥｜AC｜-2=2 7 姨 -2 ， 当 M ， A ， C 三点共线时等号成立 . 又 ∵ 总费用为 （ a · ｜MB｜+a · ｜MC｜ ） 万元， ∴a · ｜MB｜+a · ｜MC｜=a （ ｜MB｜+｜MC｜ ） ≥ （ 2 7 姨 -2 ） a ， 故修建这两条公路的最低总费用为（ 2 7 姨 -2 ） a 万元 . 13. 解： 选择条件 ①. ∵m>0 ， ∴a 2 =m ， b 2 =2m ， c 2 =a 2 +b 2 =3m ， ∴a= m 姨 ， c= 3m 姨 . ∵ 双曲线 C 的左支上的点到右焦点的距离的最小值 为 a+c ， ∴ m 姨 + 3m 姨 = （ 1+ 3 姨 ） m 姨 =3+ 3 姨 ， 解得 m=3 ， 故双曲线 C 的方程为 x 2 3 - y 2 6 =1. 选择条件 ②. ∵ 双曲线 C 的焦距为 6 ， ∴c=3. ∵m>0 ， ∴a 2 =m ， b 2 =2m ， c 2 =a 2 +b 2 =3m ， ∴c= 3m 姨 =3 ， 解得 m=3 ， 故双曲线 C 的方程为 x 2 3 - y 2 6 =1. 选择条件 ③. ∵ 双曲线 C 上任意一点到两焦点的距离之差的绝对 值为 4 ， ∴2a=4 ， 即 a=2. ∵m>0 ， ∴a 2 =m ， ∴a= m 姨 =2 ， 解得 m=4 ， 故双曲线 C 的方程为 x 2 4 - y 2 8 =1. * 14. 解： （ 1 ） ∵ 椭圆 x 2 4 +y 2 =1 的焦点为 （ ± 3 姨 ， 0 ）， 又 ∵ 双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 与椭圆 x 2 4 +y 2 =1 有相同的 焦点， ∴a 2 +b 2 = （ 3 姨 ） 2 =3. ∵ 双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 过点 （ 2 姨 ， 2 姨 ）， ∴ 2 a 2 - 2 b 2 =1 ， 即 2 a 2 - 2 3-a 2 =1 ， 化简得 a 4 -7a 2 +6=0 ， 解得 a 2 =1 或 a 2 =6 （舍去）， ∴b 2 = 3-a 2 =2 ， ∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 2 =1. （ 2 ） ∠AOB 是直角 . 理由如下： 当直线 l 的斜率不存在时， 设直线 l 的方程为 x=t ， ∵ 原点 O 到直线 l 的距离为 2 姨 ， ∴ 直线 l 的方程 为 ± 2 姨 ， 此时设 A ， B 两点的坐标为 A （ 2 姨 ， 2 姨 ）， B （ 2 姨 ， - 2 姨 ）， ∴ O O( A·O O( B = （ 2 姨 ， 2 姨 ）·（ 2 姨 ， - 2 姨 ） = 2 姨 × 2 姨 + 2 姨 × （ - 2 姨 ） =0 ， ∴OA⊥OB. 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y=kx+m ， ∵ 原点 O 到直线 l 的距离为 2 姨 ， ∴ ｜m｜ k 2 +1 2 姨 = 2 姨 ， 整理得 m 2 =2 （ k 2 +1 ） . 直线 l 的方程 y=kx+m 与双曲线的方程联立 x 2 - y 2 2 =1 ， y=kx+m m , , , + , , , - ， 整理得（ 2-k 2 ） x 2 -2mkx-m 2 -2=0. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 1 +x 2 = 2mk 2-k 2 ， x 1 x 2 = -m 2 -2 2-k 2 ， ∴ O O( A·O O( B =x 1 x 2 +y 1 y 2 =x 1 x 2 + （ kx 1 +m ）（ kx 2 +m ） = （ 1+k 2 ） x 1 x 2 +mk （ x 1 +x 2 ） +m 2 = （ 1+k 2 ）（ m 2 +2 ） 2-k 2 +mk · 2mk 2-k 2 +m 2 = m 2 -2k 2 -2 2-k 2 = 2 （ k 2 +1 ） -2k 2 -2 2-k 2 =0 ， ∴OA⊥OB. 综上， ∠AOB 是直角 . 2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 5 （ x-1 ） 2 +y 2 姨 =｜4x-3y+2｜ 可变形 为 （ x-1 ） 2 +y 2 姨 = ｜４x-３y+２｜ 5 ， 等式左侧是点 P （ x ， y ） 到点 （ 1 ， 0 ） 的距离， 而等 式右侧是点 P （ x ， y ） 到直线 4x-3y+2=0 的距离， ∴ 点 P 的轨迹是抛物线， 故选 D. x y O M QA B C P 东 北 第 12 题答图 108 参 考 答 案 变式训练 2 解： （ 1 ） 由于点 M （ -6 ， 6 ） 在第二象限， ∴ 过点 M 的抛物线开口向左或开口向上 . 若抛物线开口向左， 焦点在 x 轴上， 设其方程为 y 2 ＝-2px （ p＞0 ）， 将点 M （ -6 ， 6 ） 代入， 可得 36＝-2p× （ -6 ）， ∴p＝3 ， ∴ 抛物线的方程为 y 2 ＝-6x. 若抛物线开口向上 ， 焦点在 y 轴上 ， 设其方程为 x 2 ＝2py （ p＞0 ）， 将点 M （ -6 ， 6 ） 代入可得， 36＝2p×6 ， ∴p＝3 ， ∴ 抛物线的方程为 x 2 ＝6y. 综上所述， 抛物线的标准方程为 y 2 ＝-6x 或 x 2 ＝6y. （ 2 ） ①∵ 直线 l 与 x 轴的交点为 （2 ， 0 ）， ∴ 抛物线 的焦点是 F （ 2 ， 0 ）， ∴ p 2 ＝2 ， ∴p＝4 ， ∴ 抛物线的标准方程是 y 2 ＝8x. ②∵ 直线 l 与 y 轴的交点为 （0 ， -3 ）， 即抛物线的 焦点是 F （ 0 ， -3 ）， ∴ p 2 ＝3 ， ∴p＝6 ， ∴ 抛物线的标准方程是 x 2 ＝-12y. 综上所述， 所求抛物线的标准方程是 y 2 ＝8x 或 x 2 ＝-12y. 随堂练习 1. C 【解析 】 由抛物线 y 2 ＝4x ， 得 F （ 1 ， 0 ）， 如图， 根据抛物线定义， |FM|＝4+ p 2 ＝4+1＝5. 故选 C. 2. C 【解析】 抛物线的准线为 x＝-4 ， 易知抛物线是开口向右的抛 物线 . 设方程为 y 2 ＝2px （ p＞0 ）， 则 p 2 ＝4 ， p＝8 ， ∴ 抛物线 方程为 y 2 ＝16x. 故选 C. 3. B 【解析 】 抛物线 y=ax 2 的标准方程是 x 2 = 1 a y ， 其准线方程为 y=- 1 4a =2 ， 得 a=- 1 8 . 故选 B. 4. A 【解析】 方程变形为 x 2 = 1 a y. 当 a>0 时， 标准形式为 x 2 =2 · 1 2a y ， p= 1 2a ， 开口向 上， 焦点坐标为 0 ， 1 4a a " ； 当 a<0 时， 标准形式为 x 2 =-2 · 1 -2a y ， p=- 1 2a ， 开口 向下， 焦点坐标为 0 ， 1 4a a " . 综上， y=ax 2 的焦点坐标为 0 ， 1 4a a " . 故选 A. 5. 4 【解析】 ∵ 椭圆 x 2 6 + y 2 2 ＝1 ， ∴a 2 ＝6 ， b 2 ＝2 ， ∴c 2 ＝ a 2 -b 2 ＝4 ， 故 c＝2 ， ∴ 右焦点为 （ 2 ， 0 ）， ∴ p 2 ＝2 ， p＝4. 6. y 2 ＝-4x （ -9 ， 6 ） 或 （ -9 ， -6 ） 【解析】 设焦点为 F - p 2 ， a " 0 ， M 点到准线的距离 为 d ， 则 d＝|MF|＝10 ， 即 9+ p 2 ＝10 ， ∴p＝2 ， ∴ 抛物线方程 为 y 2 ＝-4x. 将 M （ -9 ， y ） 代入抛物线的方程， 得 y＝±6 ， ∴M 点坐标为 （ -9 ， 6 ） 或 （ -9 ， -6 ） . 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 如图， 设点 P 为 满足条件的一点， 由题意可得点 P 到点 A 的距离等于点 P 到 y 轴的距 离， ∴ 点 P 在以点 A 为焦点， y 轴 为准线的抛物线上， 故点 P 的轨迹 为抛物线， 故选 D. 2. A 【解析】 经过验证， 点 （ 1 ， 1 ） 在直线 x+2y=3 上， ∴ 满足条件的点的轨迹是直线 . 故选 A. 3. B 【解析】 当定点在定直线上时， 点 P 的轨迹是 过该定点且与定直线垂直的直线； 若点 P 的轨迹为抛物 线， 由抛物线的定义知点 P 到某定点的距离等于其到某 定直线的距离 . 故选 B. 4. C 【解析 】 如图 ， 易知 F 1 4 ， a " 0 ， 准线 l 的方程为 x= - 1 4 . 过点 A 作 AA′⊥l ， 垂足为 A′ ， 则 |AF|=|AA′ | ， 即 5 4 x 0 =x 0 + p 2 =x 0 + 1 4 ， ∴x 0 =1. 故选 C. 5. B 【解析】 由题意得， 焦点坐标为 1 2 ， a " 0 ， 准线 方程为 x=- 1 2 ， 故焦点到准线的距离为 1. 故选 B. 6. C 【解析】 抛物线方程可化为 x 2 = 1 4 y ， 因此， 抛 物线开口向上， 焦点坐标为 0 ， 1 16 a " . 故选 C. 7. C 【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上， 设 其 方 程 为 y 2 =2p 1 x （ p 1 >0 ） 或 x 2 =2p 2 y （ p 2 >0 ） ， 将 （ 2 ， 4 ） 代入可得 p 1 =4 ， p 2 = 1 2 ， ∴ 所求抛物线的标准方 程为 y 2 =8x 或 x 2 =y ， 故选 C. 8. C 【解析】 直线 3x-4y-12=0 与 x 轴、 y 轴的交点 分别是 （ 4 ， 0 ）， （ 0 ， -3 ）， ∴ 所求抛物线的焦点为 （ 4 ， 0 ） 或 （ 0 ， -3 ）， 因此， 所求抛物线的标准方程为 y 2 =16x 或 x 2 =-12y. 故选 C. 9. A 【解析】 ∵ 双曲线的焦距为 4 ， ∴c=2 ， 易知抛 x y O M F 第 1 题答图 x y O A B P 第 1 题答图 x y O F A′ A l y 2 =x 第 4 题答图 109 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 物线 y 2 =4x 的焦点为 （ 1 ， 0 ）， ∴a=1 ， 因此离心率为 c a = 2 ， 故选 A. 10. 4 4 【解析 】 在双曲线 C ： x 2 3 -y 2 =1 中， a 2 =3 ， b 2 =1 ， ∴c 2 =a 2 +b 2 =4 ， 即 c=2 ， 因此焦距 2c=4. ∵ 双曲线 C 的右焦点与抛物线 y 2 =2px （ p>0 ） 的焦点重合， ∴ 在抛物 线 y 2 =2px （ p>0 ） 中， p 2 =c ， ∴p=4. 提升练习 11. B 【解析】 设线段 AB 的中点 为 M ， 如图所示 ， l 是抛物线的准 线， 过点 A 作 AA 1 ⊥l 于点 A 1 ， 过点 M 作 MM 1 ⊥l 于 M 1 点， 交 y 轴于点 N ， 过 点 B 作 BB 1 ⊥l 于 点 B 1 ， ∵ |AF |= |AA 1 | ， |BF|=|BB 1 | ， ∴|AA 1 |+|BB 1 |=8. 由点 M 是线段 AB 的中点知 ， |MM 1 |= 1 2 （ |AA 1 |+|BB 1 | ） =4. ∵2p=4 ， ∴p=2. 因此 |M 1 N|=1 ， ∴|MN|=3 ， 故选 B. 12. C 【解析】 由题意得 抛物线的焦点 F （ 0 ， 2 ）， 准 线方程为 y=-2 ， 过点 P 作 PP 1 垂直于准线 ， 交准线于 P 1 ， 过 A 作 AA 1 垂 直 于 准 线， 交准线于 A 1 ， 如图所示 . 根据抛物线的定义可知 |PF|=|PP 1 | ， ∵A （ 4 ， 5 ）， ∴|AF|= 4 2 + （ 5-2 ） 2 姨 =5 ， |AA 1 |=5- （ -2 ） =7. C △PAF =|AF|+|AP|+|PF|= |AF|+|AP|+|PP 1 |≥|AF|+|AA 1 |=5+7=12 ， 故选 C. 13. AC 【解析】 ∵ 抛物线 C 的方程为 y 2 =2px （ p>0 ）， ∴ 焦点 F p 2 ， ， & 0 . 设 M （ x ， y ）， 由抛物线的定义 ， 知 |MF|=x+ p 2 =5 ， 解得 x=5- p 2 . ∵ 圆心是 MF 的中点， ∴ 根 据中点坐标公式， 可得圆心的横坐标为 5 2 ， 圆的半径也 为 5 2 ， 故该圆与 y 轴相切于点 （0 ， 2 ）， 故圆心的纵 坐标为 2 ， 则点 M 的纵坐标为 4 ， 即 M 5- p 2 ， ， & 4 . 将点 M 5- p 2 ， ， & 4 代入抛物线方程， 得 p 2 -10p+16=0 ， 解得 p= 2 或 p=8 ， ∴ 抛物线 C 的标准方程为 y 2 =4x 或 y 2 =16x. 故 选 AC. 14. y 2 =-8x 【解析】 如图所示， 设点 P 到直线 l 的距 离为 d ， 则 |PC|=d+1. 设 P （ x ， y ）， 则 （ x+2 ） 2 +y 2 姨 =|x-1|+1. 由图形知， x≤1 ， ∴x-1≤0. 因此， （ x+2 ） 2 +y 2 姨 =2-x. 化简得， y 2 =-8x. 15. C 【解析】 易知抛物线 C ： x 2 =4y 的焦点为 F （ 0 ， 1 ）， ∴ 抛物线的准线 l 的方程为 y=-1. 又 ∵ 点 A 的坐标 为 （ 2 ， 0 ）， ∴ 直线 AF 的斜率 k= 0-1 2-0 =- 1 2 . 如图， 过点 M 作 MG⊥l 于点 G ， 根据抛物线的定义知 |FM|=|MG|. 在 Rt△MNG 中， 易知 tan∠MNG=-k= 1 2 ， ∴ ｜MG｜ ｜NG｜ = 1 2 ， 即 |NG |=2 |MG| ， ∴ |MN|= ｜MG｜ 2 +｜NG｜ 2 姨 = 5 姨 |MG| ， ∴|FM| ∶ |MN|=1 ∶ 5 姨 . 故选 C. 16. 解 ： 如图 ， 在探照灯的轴 截面所在平面内建立平面直角坐标 系， 使探照灯的顶点 （即抛物线的 顶点） 与原点重合， x 轴垂直于灯 口直径 . 设抛物线的标准方程为 y 2 = 2px （ p>0 ）， 由已知条件可得点 A 的坐标是 （ 40 ， 30 ）， 且在抛物线上， 代入方程得 30 2 = 2p · 40 ， 解得 p= 45 4 ， 故所求抛物线的标准方程为 y 2 = 45 2 x ， 焦点坐标是 45 8 ， ， & 0 . 2.7.2 抛物线的几何性质 学习手册 变式训练 1 解： 当抛物线焦点在 x 轴正 半 轴上 时 ， 如 图所 示 ， ∵ △OAB 为等边三角形 ， 且边长为 1 ， ∴A 3 姨 2 ， 1 2 ， & . 设抛物线方程 为 y 2 ＝2px （ p>0 ）， ∴ 1 4 ＝2p · 3 姨 2 ， ∴p＝ 3 姨 12 ， ∴ 抛物线方程为 y 2 ＝ 3 姨 6 x. 同理， 当抛物 线的焦点在 x 轴负半轴上时， 方程为 y 2 ＝- 3 姨 6 x. 变式训练 2 5 4 【解析】 根据抛物线定义与梯形中位线 定理， 得线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 1 2 （ |AF|+|BF| ） - 1 4 ＝ 3 2 - 1 4 ＝ 5 4 . x y O M N F A B A 1 B 1 M 1 l 第 11 题答图 x y O A P A 1 P 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 F 第 12 题答图 x y O M N G F l A 第 15 题答图 x y O F A B 第 16 题答图 x y O A B 变式训练 1 答图 x y O d l C P 第 14 题答图 110