第2章 2.7.1 抛物线的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦抛物线的标准方程这一核心知识点，从物理中迫击炮弹道实例引入，系统梳理抛物线定义及焦点、准线概念，推导不同开口方向的标准方程，并通过例题与练习构建从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料以“数学眼光”观察现实情境，如用卫星接收天线口径问题强化应用意识，通过坐标系建立过程发展“数学思维”中的推理能力，结合分层练习帮助学生用“数学语言”解决问题。课中助力教师系统授课，课后学生可通过对点练查漏补缺，提升学习效果。

2.7.1　抛物线的标准方程 学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题. 导语 在电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——迫击炮，迫击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防迫击炮的工事就必须是有顶盖的.对于躲在战壕中的敌人，迫击炮的密集发射无疑是一场灾难.因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要走入课堂去看一看这种曲线——抛物线. 一、抛物线的定义 问题1　同学们对抛物线有了哪些认识？ 提示　在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象. 问题2　你能用画板、直尺、绳子画出抛物线吗？ 提示　如图所示，在画板上画一条直线l，使l与画板左侧的边线平行；再在直线l外画一个定点F.取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线l垂直且相交于点P，在丁字尺的另一端取一点Q，将一条长度等于|PQ|的细绳，一端固定在点Q，另一端固定在点F，用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺，笔尖作出的曲线是抛物线的一部分. 知识梳理 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线. 注意点：(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1). (2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. 例1　在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 答案　A 解析　动点到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以点的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线. 反思感悟　理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上. 跟踪训练1　在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件. 二、求抛物线的标准方程 问题3　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示　我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设M(x，y)是抛物线上任意一点， 则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为， 所以， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0). 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 注意点：(1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直. (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的符号. (4)由方程写焦点坐标、准线方程时勿忘记化为标准方程. 例2　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 解　(1)因为点(－3，－1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0). 当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4，0)时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 例2　(课本例2)分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： (1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是双曲线＝1的焦点之一. 解　(1)由已知可得焦点坐标为(0，2)，因此抛物线的标准方程具有x2＝2py的形式，且p＝4，从而所求抛物线的标准方程是x2＝8y. (2)因为双曲线＝1中，c＝＝5，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0，－5)或(0，5). 如果抛物线的焦点坐标为(0，－5)，则抛物线的标准方程具有x2＝－2py的形式，且p＝10，此时抛物线的标准方程是x2＝－20y； 如果抛物线的焦点坐标为(0，5)，则抛物线的标准方程具有x2＝2py的形式，且p＝10，此时抛物线的标准方程是x2＝20y. 反思感悟　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数. 跟踪训练2　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝　　　　，准线方程为　　　　　　　.  答案　2　x＝－1　 解析　因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为　　　　　　.  答案　x2＝10y和x2＝－10y 解析　设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 三、抛物线定义的应用 例3　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　A 解析　∵＋x0＝x0，∴x0＝1. (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，当点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时所求距离之和最小， 所以最小距离d＝ . 延伸探究1　若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值. 解　将x＝3代入y2＝2x， 得y＝±. 所以点A在抛物线内部. 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是. 即|PA|＋|PF|的最小值是. 延伸探究2　若将本例(2)中的点(0，2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q， |PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥. |A1F|的最小值为点F到直线 3x－4y＋＝0的距离 d＝＝1.即所求最小值为1. 反思感悟　 抛物线定义的应用 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题. 跟踪训练3　(1)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1， 于是|PF|＝d＋1， 所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为 |AF|－1＝4－1＝3. (2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为　　　　.  答案　4 解析　把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px， 得16＝4p，即p＝4， 从而抛物线的焦点为(2，0).故点A到焦点的距离为4. 1.知识清单： (1)抛物线的定义. (2)抛物线的标准方程. (3)抛物线定义的应用. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区： (1)解题时首先把方程化为标准形式. (2)抛物线的标准方程有四种情况，解题要分清焦点位置，必要时要讨论焦点的位置. 1.抛物线y＝－x2的准线方程是(　　) A.x＝ B.x＝ C.y＝2 D.y＝4 答案　C 解析　将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y， 由此可知准线方程为y＝2. 2.已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为(　　) A.(1，0) B. C. D.(0，1) 答案　C 解析　由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2， ∴抛物线的标准方程为x2＝y， 则焦点坐标为. 3.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是(　　) A.5 B. C.－1 D.＋1 答案　C 解析　点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离.圆心坐标是(0，4)，半径为1，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1，这个值即为所求. 4.若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为　　　　.  答案　(－9，6)或(－9，－6) 解析　由抛物线方程y2＝－2px(p>0)， 得其焦点坐标为F， 准线方程为x＝. 设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10， 即－(－9)＝10，得p＝2， 故抛物线方程为y2＝－4x. 由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6， 故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.关于抛物线x＝4y2，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点坐标为(0，1) B.开口向上，焦点坐标为 C.开口向右，焦点坐标为(1，0) D.开口向右，焦点坐标为 答案　D 解析　由x＝4y2得y2＝x， ∴开口向右，焦点坐标为. 2.准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　) A.y2＝－2x B.y2＝2x C.x2＝2y D.x2＝－2y 答案　B 解析　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)，则(－)2＝m， 解得m＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x. 3.若点P到点(2，0)的距离比它到直线x＋3＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是(　　) A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y 答案　A 解析　由于点P到点(2，0)的距离与它到直线x＋3＝0的距离小1， 故点P到点(2，0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等， 故点P是在以(2，0)为焦点， x＝－2为准线的抛物线上， 故轨迹方程为y2＝8x. 4.图甲为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径|AB|＝6，深度|MO|＝1，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图乙所示的平面直角坐标系，则焦点F的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意，设抛物线方程为y2＝2px且p>0，显然点(1，3)在抛物线上，所以2p＝9，则，故焦点F的坐标为. 5.已知P为抛物线y＝x2上的动点，A，B(1，2)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，A为抛物线的焦点. 设点P到准线y＝－的距离为d， 则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为点B到准线的距离， 故最小值为2＋. 6.(多选)已知抛物线y2＝mx(m>0)的焦点与双曲线x2－＝1的一个焦点重合，点P(2，y0)在抛物线上，则下列说法错误的是(　　) A.双曲线的离心率为2 B.m＝8 C.双曲线的渐近线方程为y＝±3x D.点P到抛物线焦点的距离为6 答案　CD 解析　双曲线x2－＝1的焦点坐标为(±2，0)，离心率e＝＝2，A正确； y2＝mx(m>0)的焦点坐标为，故＝2，解得m＝8，B正确； 双曲线的渐近线方程为y＝±x，C错误； 点P(2，y0)在抛物线上，故点P到抛物线焦点的距离为2＋2＝4，D错误. 7.(5分)设O为坐标原点，点P(2，y0)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，若P到C的准线的距离为，则|OP|＝　　　.  答案　2 解析　依题意P到C的准线的距离为， 所以2＋，解得p＝1， 所以C：y2＝2x，所以＝2×2＝4， 所以|OP|＝＝2. 8.(5分)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝　　　　.  答案　8 解析　如图，∠AFE＝60°， 因为F(2，0)，所以E(－2，0)， 则＝tan 60°， 即|AE|＝4， 所以点P的坐标为(6，4)， 故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8. 9.(10分)根据下列条件分别求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(5分) (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.(5分) 解　(1)双曲线方程可化为＝1， 左顶点为(－3，0)， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝－12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为 y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)， 由抛物线定义得5＝|AF|＝. 又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， ∴抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 10.(10分)花坛水池中央有一喷泉，水管|O'P|＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少m？(精确到1 m) 解　如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 依题意有P(－1，－1)在抛物线上，代入得p＝，故得抛物线方程为x2＝－y. 设点A(x，－2)(x>0)在抛物线上，将A(x，－2)代入抛物线方程得x＝，则|O'A|＝(＋1)m， 因此，所求水池的直径至少为2(1＋)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m. 11.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于(　　) A. B. C.3 D.2 答案　C 解析　设l与x轴的交点为D， 过点Q作QQ'⊥l于点Q'，如图. ∵＝4， ∴|PQ|∶|PF|＝3∶4， ∴|QQ'|∶|FD|＝3∶4， 又焦点F到准线l的距离|FD|为4， ∴|QF|＝|QQ'|＝3. 12.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为2，一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则C的顶点到渐近线的距离为(　　) A. B. C. D.3 答案　A 解析　由题意可知抛物线y2＝12x的准线为x＝－3， 则(－3，0)为双曲线的焦点，即c＝3， 又因为离心率为e＝＝2，可得a＝， 且e2＝＝1＋＝4，解得， 取渐近线为y＝x，即x－y＝0，取顶点为， 所以C的顶点到渐近线的距离为d＝. 13.(多选)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是☉C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的有(　　) A.|PF|的最小值为1 B.|QF|的最小值为 C.|PF|＋|PQ|的最小值为4 D.|QF|的最大值为＋1 答案　ACD 解析　抛物线焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，☉C：(x－4)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(4，1)，半径r＝1， 作出图象如图所示， 对于A，由抛物线的性质可知，|PF|的最小值为|OF|＝1，故A正确； 对于B，D，因为|CF|＝>r，所以F是☉C外一定点， 由圆的性质可知|QF|的最小值为|CF|－r＝－1，|QF|的最大值为|CF|＋r＝＋1，故B错误，D正确； 对于C，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知|PF|＝|PM|， 故|PF|＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|， 而|PM|＋|PQ|的最小值为点Q到准线x＝－1的距离的最小值，故最小值为4，故C正确. 14.(5分)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，则抛物线的标准方程为　　　　　　.  答案　y2＝±2x或y2＝±18x 解析　设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为 y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)， 由抛物线的定义，得5＝|AF|＝， 又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线的标准方程为 y2＝±2x或y2＝±18x. 15.(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，C上一点P到F和到y轴的距离分别为12和10，且点P位于第一象限，以线段PF为直径的圆记为Ω，则下列说法正确的是(　　) A.p＝4 B.C的准线方程为y＝－2 C.圆Ω的标准方程为(x－6)2＋(y－2)2＝36 D.若过点(0，2)，且与直线OP(O为坐标原点)平行的直线l与圆Ω相交于A，B两点，则|AB|＝4 答案　ACD 解析　选项A，因为C上一点P到F和到y轴的距离分别为12和10， 由抛物线定义可知，|PF|＝10＋＝12⇒p＝4，故A正确； 选项B，准线方程为x＝－2，故B错误； 选项C，设P(x0，y0)，y0>0，由P到y轴的距离为10，所以x0＝10， 因为点P在抛物线C：y2＝8x上，则y0＝4，即P(10，4)，又F(2，0)，所以圆心坐标为(6，2)，半径为＝6，所以圆Ω的标准方程为(x－6)2＋(y－2)2＝36，故C正确； 选项D，因为直线l与直线OP(O为坐标原点)平行，所以kl＝kOP＝， 所以直线l的方程为y＝x＋2， 又圆心(6，2)到直线l的距离为＝4， 所以|AB|＝2＝4，故D正确. 16.(12分)如图，一抛物线形拱桥的拱顶O距离水面4 m，水面宽度|AB|＝10 m.现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6 m，高 m，货箱最底面与水面持平. (1)船只能否顺利通过该桥？(6分) (2)若每加一层货箱，船只吃水深度增加1 cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1 cm.若每层小货箱高3 cm，且货物与桥壁需留2 cm间隙才可通过，问船只需增加或减少几层货箱恰好能从桥下中央通过？(6分) 解　(1)以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B(5，－4)在抛物线上， ∴25＝－4m，∴m＝－，∴x2＝－y， 可设C(3，－4)，过点C作AB的垂线，交抛物线于点D(3，y0)， 则9＝－y0，∴y0＝－， ∵＝－－(－4)＝>， ∴船只能顺利通过该桥. (2)由(1)知，货物顶部与点D的垂直距离为×100＝106(cm)， 每增加一层，则船体连货物高度整体上升3－1＝2(cm)， ∵货物与桥壁需留下2 cm间隙， ∴需要增加的层数为＝52. 即船只需增加52层货箱恰好能从桥下中央通过. 学科网（北京）股份有限公司 $