2.6.2 双曲线的几何性质-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 双曲线 x 2 9 - y 2 16 =1 的左顶点与右焦点间的距离为 （ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 2. 双曲线 y 2 4 -x 2 =1 的渐近线方程是 （ ） A. y=±4x B. y=± 1 4 x C. y=±2x D. y=± 1 2 x 3. （多选题） 已知双曲线 C ： x 2 - y 2 6 =1 ， 则 （ ） A. 双曲线 C 的焦距为 7 姨 B. 双曲线 C 的虚轴长是实轴长的 6 姨 倍 C. 双曲线 y 2 6 -x 2 =1 与双曲线 C 的渐近线相同 D. 双曲线的顶点坐标为 （ ± 6 姨 ， 0 ） 2.6.2 双曲线的几何性质 53 4. 双曲线 x 2 4 - y 2 5 =1 的离心率为 . 5. 双曲线 mx 2 +y 2 =8 的实轴长是虚轴长的 2 倍， 则 m= . 6. 已知双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 的离心率为 5 姨 2 ， 则双曲线 C 的 渐近线方程为 . 54 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 圆 C 2 都外切， ∴｜MC 1 ｜=r+1 ， ｜MC 2 ｜=3+r ， 即 ｜MC 2 ｜-｜MC 1 ｜= （ r+3 ） - （ 1+r ） =2<4=r 1 +r 2 ， ∴ 点 M 的轨 迹是以 C 1 ， C 2 为焦点的双曲线的上支， 其中 a=1 ， c=2 ， ∴ 点 M 的轨迹方程为 y 2 - x 2 3 =1 （ y>0 ） . 提升练习 11. B 【解析】 由题得椭圆的焦点为 （ 0 ， 3 ）， （ 0 ， -3 ）， ∴ 双曲线的焦点为 （ 0 ， 3 ）， （ 0 ， -3 ） . 设双曲线的方程为 y 2 a 2 - x 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ）， ∴ a 2 +b 2 =9 ， 10 a 2 - 4 b 2 =1 1 # # # " # # # $ ， 解得 a 2 =5 ， b 2 =4 ， ∴ 双曲线的方程为 y 2 5 - x 2 4 =1. 故选 B. 12. BD 【解析】 两个定点的距离为 ｜F 1 F 2 ｜ ， 当 a<｜F 1 F 2 ｜ ， 即 ｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜<｜F 1 F 2 ｜ 时， 点 P 的轨迹为双曲线的一支； 当 a=｜F 1 F 2 ｜ ， 即 ｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜<｜F 1 F 2 ｜ 时， 点 P 的轨迹为射线 . 综上所述， 动点 P 的轨迹为双曲线的一支或射线 . 故选 BD. 13. C 【解析】 ∵｜AB｜=5<6 ， ∴ 点 A ， B 一定都在该双 曲线的左支上 ， 则 ｜AF 2 ｜-｜AF 1 ｜=6 ， ｜BF 2 ｜-｜BF 1 ｜=6 ， 从而 ｜AF 2 ｜+｜BF 2 ｜-｜AB｜=12 ， 故 △ABF 2 的周长是 ｜AF 2 ｜+｜BF 2 ｜+｜AB｜= 12+2×5=22. 故选 C. 14. C 【解析 】 由 ｜ x ２ +６x+13 姨 - x 2 -6x+13 姨 ｜＝４ ， 得 ｜ （ x+3 ） 2 + （ 2-0 ） 2 姨 - （ x-3 ） 2 + （ 2-0 ） 2 姨 ｜=4 ， 其几何意义为平面内动点 （ x ， 2 ） 与两定点 （ -3 ， 0 ）， （ 3 ， 0 ） 距离差的绝对值为 4. 平面内动点与两定点 （ -3 ， 0 ）， （ 3 ， 0 ） 距离差的 绝对值为 4 的点的轨迹是双曲线， 由题得 2a=4 ， c=3 ， c 2 =a 2 +b 2 1 # # # " # # # $ ， 解得 a=2 ， b= 5 姨 . ∴ 平面内动点与两定点 （ -3 ， 0 ）， （ 3 ， 0 ） 距离差 的绝对值为 4 的点的轨迹方程是 x 2 4 - y 2 5 =1. 联立 y=2 ， x 2 4 - y 2 5 =1 1 # # # " # # # $ ， 解得 x=± 6 5 姨 5 . 故选 C. 15. 2 姨 【解析 】 ∵ 椭圆 x 2 6 + y 2 2 =1 的焦点坐标为 （ ±2 ， 0 ）， ∴ 双曲线 x 2 a 2 -y 2 =1 的焦点坐标为 （ ±2 ， 0 ）， ∴a= 3 姨 . 设 ｜PF 1 ｜=m ， ｜PF 2 ｜=n ， 不妨设 P 在第一象限， 由椭圆的定义可得 m+n=2 6 姨 ， ① 由双曲线的定义可得 m-n=2 3 姨 ， ② 由 ①② 可得 m= 6 姨 + 3 姨 ， n= 6 姨 - 3 姨 ， cos∠F 1 PF 2 = 6+3+6 2 姨 +6+3-6 2 姨 -16 2 （ 6 姨 + 3 姨 ）（ 6 姨 - 3 姨 ） = 1 3 ， ∴sin∠F 1 PF 2 = 2 2 姨 3 . ∴ 三角形的面积 为 1 2 mnsin∠F 1 PF 2 = 1 2 × （ 6 姨 + 3 姨 ）（ 6 姨 - 3 姨 ） × 2 2 姨 3 = 2 姨 . 16. 解： 设动圆圆心 C 的坐标为 （ x ， y ）， 半径为 r. 由已知， 得圆 C 1 的圆心 C 1 （ 3 ， 0 ）， 半径 r 1 =2 ； 圆 C 2 的圆心 C 2 （ -3 ， 0 ）， 半径 r 2 =2. 依题意， 得 ｜CC 1 ｜=r+2 ， ｜CC 2 ｜=r- - 2 或 ｜CC 1 ｜=r-2 ， ｜CC 2 ｜=r+2 - ， ∴｜｜CC 1 ｜-｜CC 2 ｜｜=4<6 ， ∴ 点 C 的轨迹是以 C 1 ， C 2 为焦点的双曲线， 其中 a=2 ， c=3 ， ∴ 所求动圆圆心的轨迹方程为 x 2 4 - y 2 5 =1. 2.6.2 双曲线的几何性质 学习手册 变式训练 1 解： 把方程 nx 2 -my 2 =mn （ m>0 ， n>0 ） 化为 标准方程为 x 2 m - y 2 n =1 （ m>0 ， n>0 ）， ∴a= m 姨 ， b= n 姨 ， c= m+n 姨 ， ∴ 半实轴长 a= m 姨 ， 半虚轴长 b= n 姨 ， 焦点坐标为 （ - m+n 姨 ， 0 ）， （ m+n 姨 ， 0 ）， 离心率 e= c a = m+n 姨 m 姨 = m+n m 姨 = 1+ n m 姨 ， 顶点坐标为 （ - m 姨 ， 0 ）， （ m 姨 ， 0 ）， 渐近线方程为 y=± n 姨 m 姨 x=± mn 姨 m x. 变式训练 2 解： （ 1 ） 由题意设所求双曲线方程为 x 2 9 - y 2 16 =姿 （ 姿≠0 ）， ∵ 双曲线过点 （ -3 ， 2 3 姨 ）， ∴ 9 9 - 12 16 = 姿， 得 姿= 1 4 ， ∴ x 2 9 - y 2 16 = 1 4 ， 即 x 2 9 4 - y 2 4 =1 ， ∴ 所求双曲 线方程为 x 2 9 4 - y 2 4 =1. （ 2 ） 由题意设所求双曲线方程为 x 2 16-k - y 2 4+k =1 （ -4<k<16 ）， ∵ 双曲线过点 （ 3 2 姨 ， 2 ）， ∴ 18 16-k - 4 4+k =1 ， 得 k 2 +10k-56=0 ， （k+14 ）（k-4 ） =0 ， 解得 k=4 或 k=-14. 又 ∵-4<k<16 ， ∴k=4 ， ∴ 所求双曲线方程为 x 2 12 - y 2 8 =1. 变式训练 3 C 【解析】 ∵ 双曲线的一条渐近线方程为 y= b a x ， 由题意得 b a >2 ， ∴ 双曲线的离心率 e= c a = 104 参 考 答 案 1+ b a ! " 2 姨 > 1+4 姨 = 5 姨 . 故选 C. 变式训练 4 解： ∵ 离心率 e= 2 姨 ， ∴ c a = 2 姨 ， 即 c= 2 姨 a， ∴b 2 =c 2 -a 2 =2a 2 -a 2 =a 2 ， ∴ 双曲线为等轴双曲线， ∴ 设双曲线方程为 x 2 -y 2 =t （ t≠0 ）， ∵ 双曲线经过点 M（-5 ， 3 ）， ∴25-9=t ， 解得 t=16 ， ∴ 双曲线方程为 x 2 16 - y 2 16 =1. 随堂练习 1. D 【解析】 由 x 2 9 - y 2 16 =1 ， 知 a=3 ， c=5 ， ∴ 左顶点 与右焦点间的距离为 a+c=8. 故选 D. 2. C 【解析 】 双曲线 y 2 4 -x 2 =1 的渐近线方程为 y= ± a b x ， 即 y=±2x ， 故选 C. 3. BC 【解析】 ∵a 2 =1 ， b 2 =6 ， ∴c 2 =1+6=7 ， c= 7 姨 ， 焦距为 2 7 姨 ， 故 A 错误； ∵ 2b 2a = 2 6 姨 2 = 6 姨 ， 故 B 正确； 双曲线 y 2 6 -x 2 =1 与双曲线 C 的渐近线方程均为 y= ± 6 姨 x ， 故 C 正确； 令 y=0 ， 得 x=±1 ， ∴ 双曲线的顶点 坐标为 （ ±1 ， 0 ）， 故 D 错误 . 故选 BC. 4. 3 2 【解析】 由双曲线方程知， a=2 ， c= 4+5 姨 =3 ， 离心率 e= c a = 3 2 . 5. -4 【解析】 双曲线 mx 2 +y 2 =8 可化为 y 2 8 - x 2 8 -m =1 ， ∴a 2 =8 ， b 2 =- 8 m . 由实轴长是虚轴长的 2 倍， 得 2a=2×2b ， a 2 =4b 2 ， ∴8=4× 8 -m ， 即 m=-4. 6. y=± 1 2 x 【解析】 由题意， e= c a = a 2 +b 2 姨 a = 5 姨 2 ， 可得 a 2 =4b 2 . 又 ∵ 双曲线 C 的渐近线方程为 y=± b a x ， ∴y=± 1 2 x. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 由双曲线方程 x 2 + y 2 m =1 （ m≠0 ） 可知 m<0 ， 且 a 2 =1 ， b 2 =-m ， 则 c 2 =1-m=9 ， 得 m=-8 ， ∴ 双曲 线的方程为 x 2 - y 2 8 =1 ， 则渐近线方程为 y=±2 2 姨 x. 故选 A. 2. D 【解析】 设双曲线实半轴、 虚半轴长分别为 a ， b ， 半焦距为 c ， 则 2b=2 7 姨 ， 即 b= 7 姨 ， 于是得 c 2 -a 2 =7 ， 而 c a = 4 3 ， 解得 a 2 =9 ， ∴ 当焦点在 x 轴上时， 双曲线方程为 x 2 9 - y 2 7 =1 ， 当焦点在 y 轴上时， 双曲线方程为 y 2 9 - x 2 7 =1. 故选 D. 3. D 【解析】 由题意， b a = 1 2 ， 又 ∵c 2 =a 2 +b 2 ， 故 e= c a = a 2 +b 2 姨 a = 1+ b a ! " 2 姨 = 1+ 1 4 姨 = 5 姨 2 . 故选 D. 4. B 【解析】 e= 2c 2a = ｜F 1 F 2 ｜ ｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜ = ｜F 1 F 2 ｜ ｜PF 2 ｜ =2. 故选 B. 5. C 【解 析 】 ∵ 焦 距 为 2c =10 ， ∴c =5 ， 右 焦 点 （ 5 ， 0 ）， a 2 +b 2 =25 ， 双曲线 C： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 的渐近线方程 为 bx±ay=0 ， ∴ 右焦点到它的一条渐近线的距离为 d= ｜５b｜ a 2 +b 2 姨 = ｜５b｜ 5 =b ， ∴b=4 ， a= c 2 -b 2 姨 = 5 2 -4 2 姨 =3 ， ∴ 离 心率 e= c a = 5 3 ， 故选 C. 6. AC 【解析】 令 x 2 - y 2 4 =0圯y=±2x ， 故 A 正确； 令 x 2 4 -y 2 =0圯y=± 1 2 x， 故 B 错误； 令 y 2 4 -x 2 =0圯y=±2x ， 故 C 正确； 令 y 2 - x 2 4 =0圯y=± 1 2 x， 故 D 错误 . 故选 AC. 7. y=± 1 2 x 5 姨 2 【解析】 ∵ 双曲线的标准方程为 x 2 4 -y 2 =1 ， ∴a 2 =4 ， b 2 =1 ， ∴a=2 ， b=1 ， ∴ 渐近线方程为 y=± 1 2 x； 离心率 e= c a = a 2 +b 2 姨 2 = 5 姨 2 . 8. - 1 4 【解析】 双曲线 mx 2 +y 2 =81 可化为 y 2 81 - x 2 81 -m = 1 ， ∴a=9 ， b= 81 -m 姨 . 又 ∵ 虚轴长是实轴长的 2 倍 ， ∴2b=2×2a ， b=2a ， ∴ 81 -m 姨 =2×9 ， 解得 m=- 1 4 . 9. 解： （ 1 ） 设所求双曲线的标准方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ）， 由题意知 2b=8 ， e= c a = 5 3 ， 从而 b=4 ， c= 5 3 a， 代入 c 2 =a 2 +b 2 ， 得 a 2 =9 ， 故双曲线的标准方程为 x 2 9 - y 2 16 =1. （ 2 ） 由题意知， 所求双曲线的焦点在 x 轴上， 故可 设其方程为 x 2 64 - y 2 16 =λ （ λ>0 ）， 将点 （ 2 ， 0 ） 的坐标代入方程得 λ= 1 16 ， 故所求双 105 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 曲线的标准方程为 x 2 4 -y 2 =1. 10. 解： （ 1 ） 设所求双曲线 C 的方程为 y 2 6 - x 2 2 =姿 ， 代入点 （ 2 ， 3 ） 得， 3 2 6 - 2 2 2 =姿 ， 即 姿=- 1 2 ， 故双曲线 C 的方程为 y 2 6 - x 2 2 =- 1 2 ， 即x 2 - y 2 3 =1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 F 1 （ -2 ， 0 ）， F 2 （ 2 ， 0 ）， 即直线 AB 的方程为 y=- （ x-2 ） . 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立 y=- （ x-2 ）， x 2 - y 2 3 =1 1 # # # " # # # $ ， 得 2x 2 + 4x-7=0 ， 满足 Δ>0 且 x 1 +x 2 =-2 ， x 1 x 2 =- 7 2 ， 由弦长公式得 ｜AB ｜= 1+ （ -1 ） 2 姨 · ｜x 1 -x 2 ｜= 1+ （ -1 ） 2 姨 · （ -2 ） 2 -4 · - 7 2 2 ' 姨 = 2 姨 ·3 2 姨 =6. 点 F 1 （ -2 ， 0 ） 到 直 线 AB ： x +y -2 =0 的 距 离 d = ｜-2+0-2｜ 2 姨 =2 2 姨 ， ∴S △F 1 AB = 1 2 ｜AB｜ · d= 1 2 ×6×2 2 姨 =6 2 姨 . 提升练习 11. D 【解析】 椭圆 C 1 ： x 2 4 +y 2 =1 的离心率为 e 1 ， 则 e 1 = 1- 1 4 姨 = 3 姨 2 . 依题意， 双曲线 C 2 ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） 的离心 率为 e 2 = 1 e 1 = 2 3 姨 ， 而 e 2 2 =1+ b 2 a 2 ， 于是得 1+ b 2 a 2 = 4 3 ， 解得 b a = 3 姨 3 ， ∴ 双曲线的渐 近线方程为 y=± 3 姨 3 x. 故选 D. 12. ACD 【解析】 设 ｜AF 2 ｜=t ， 则 ｜AF 1 ｜=2t ， ｜F 1 F 2 ｜= 3 姨 t ， 离心率 e= ｜F 1 F 2 ｜ ｜AF １ ｜-｜AF 2 ｜ = 3 姨 ， 故 C 正确； ∴e= 1+b 1 姨 = 3 姨 ， b=2 ， 故 A 正确， 进而 ｜F 1 F 2 ｜=2 1+b 姨 =2 3 姨 ， 故 B 错误； 设 A （ x A ， y A ）， 将 x A = 3 姨 代入双曲线方程得 y A =2 ， ∴A （ 3 姨 ， 2 ） ， △ABF 1 的 面 积 为 S = 1 2 · ｜F 1 F 2 ｜ · 2y A = 4 3 姨 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 13. B 【解析 】 由题意 ， 得 ｜PF 2 ｜-｜PF 1 ｜=2a=｜PF 1 ｜ ， 故 ｜PF 2 ｜=2｜PF 1 ｜=4a. 又 ∵PF 2 的中点在 y 轴上 ， 故 PF 1 ⊥F 1 F 2 ， ∴｜F 1 F 2 ｜ 2 = 4c 2 =｜PF 2 ｜ 2 -｜PF 1 ｜ 2 =12a 2 ， ∴c= 3 姨 a ， 故 e= 3 姨 . 故选 B. 14. D 【解析】 双曲线中一条渐近线的斜率为 k= b a ， 若过焦点且斜率为 2 的直线， 与双曲线的左、 右两支有 交点， 则 a b >2 ， 即 b 2 >4a 2 . 又 ∵c 2 =a 2 +b 2 ， ∴c 2 >5a 2 ， 即 c 2 a 2 >5圯 c a > 5 姨 . 故选 D. 15. 2x±3y=0 【解析】 由 M 1 ， M 2 是双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） 的左、 右顶点， 得 M 1 （ -a ， 0 ）， M 2 （ a ， 0 ） . 设 P （ m ， n ）， 又 ∵PM 1 与 PM 2 的斜率之积为 4 9 ， ∴ n m+a · n m-a = 4 9 ， 即 n 2 m 2 -a 2 = 4 9 ， 整理得 m 2 a 2 - n 2 4 9 a 2 =1. 又 ∵ 点 P 为该双曲线上任一点 （与 M 1 ， M 2 不重 合）， 则 m 2 a 2 - n 2 b 2 =1 ， 故可知 b 2 = 4 9 a 2 ， ∴ b a = 2 3 ， ∴ 双曲线 的渐近线方程为 y=± 2 3 x ， 即 2x±3y=0. * 16. （ 1 ） 解： 双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） 的 渐近线方程为 bx±ay=0 ， 设 F （ c ， 0 ）， 则 c 2 =a 2 +b 2 . ∵ 以 F 点为圆心 ， a 为半径的圆与 C 的渐近线相切 ， 则 bc a 2 +b 2 姨 =a ， 整理得 b=a ， c= 2 姨 a ， ∴ 双曲线 C 的离心 率为 e= c a = 2 姨 . （ 2 ） 证明： 由 （ 1 ） 知， 双曲线 C 的方程为 2x 2 -2y 2 = c 2 ， 点 A 1 2 c ， ， , 0 ， 显然直线 MN 不垂直于 y 轴 . 设直线 MN ： x=my+c ， 因直线 MN 与双曲线右支交于两点， 则 直线 MN 与双曲线的两条渐近线 x±y=0 在 y 轴右侧都相 交， 于是得 -1<m<1. 由 x=my+c ， 2x 2 -2y 2 =c 2 2 ， 消去 x 得 2 （ m 2 -1 ） y 2 +4cmy+c 2 =0 ， 设 M （ x 1 ， y 1 ）， N （ x 2 ， y 2 ）， 则 y 1 +y 2 =- 2cm m 2 -1 ， y 1 y 2 = c 2 2 （ m 2 -1 ） . 直线 AM 的斜率 k AM = y 1 x 1 - 1 2 c = y 1 my 1 +c- 1 2 c = 2y 1 2my 1 +c ， 同理， 直线 AN 的斜率 k AN = 2y 2 2my 2 +c ， 于是得 k AM +k AN = 2y 1 2my 1 +c + 2y 2 2my 2 +c = 8my 1 y 2 +2c （ y 1 +y 2 ） （ 2my 1 +c ）（ 2my 2 +c ） = 8m · c 2 2 （ m 2 -1 ） +2c - 2cm m 2 -1 2 , （ 2my 1 +c ）（ 2my 2 +c ） =0. 因此， 直线 AM 与 AN 的倾斜角互补， 则直线 AM 与 AN 关于 x 轴对称， 而点 F 在 x 轴上， ∴ 点 F 到直线 AM 与 AN 的距离相等 . 106