2.3.1 圆的标准方程-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 圆心为 （ 3 ， 1 ）， 半径为 5 的圆的标准方程是 （ ） A. （ x+3 ） 2 + （ y+1 ） 2 =5 B. （ x+3 ） 2 + （ y+1 ） 2 =25 C. （ x-3 ） 2 + （ y-1 ） 2 =5 D. （ x-3 ） 2 + （ y-1 ） 2 =25 2. 若点 （ 5a+1 ， 12a ）在圆 （ x-1 ） 2 +y 2 =1 的内部， 则实数 a 满足 （ ） A. |a|<1 B. a< 1 3 C. |a|< 1 5 D. |a|< 1 13 3. 圆心在 y 轴上， 半径为 1 ， 且过点 （ 1 ， 2 ） 的圆的标准方程 是 （ ） A. x 2 + （ y-2 ） 2 =1 B. x 2 + （ y+2 ） 2 =1 C. （ x-1 ） 2 + （ y-3 ） 2 =1 D. x 2 + （ y-3 ） 2 =1 2.3 圆及其方程 2.3.1 圆的标准方程 29 4. 圆（ x-3 ） 2 + （ y+1 ） 2 =1 关于直线 x+y-3=0 对称的圆的标准方程 是 . 5. 求过点 A （ 1 ， -1 ）， B （ -1 ， 1 ）， 且圆心在直线 x+y-2=0 上的 圆的标准方程 . 30 参 考 答 案 当 t≠6 时， 由 y=2x ， y= 8 6-t （ x-t ） " $ $ $ # $ $ $ % ， 得 x= 4t t-2 ， y= 8t t-2 2 $ $ $ $ # $ $ $ $ % （ t>2 ）， ∴ 点 C 4t t-2 ， 8t t-2 2 ( （ t>2 ）， ∴S= 1 2 t · 8t t-2 = 4t 2 t-2 （ t> 2 ） . 综上， S （ t ） = 36 ， t=6 ， 4t 2 t-2 ， t>2 且 t≠6 " $ $ $ 6 $ $ $ % . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得当 t>2 且 t≠6 时， S= 4t 2 t-2 =4 （ t-2 ） + 16 t-2 +16≥2 4 （ t-2 ）· 16 t-2 姨 +16=32 ， 当且仅当 4 （ t-2 ） = 16 t-2 ， 即 t=4 时取等号， 而当 t=6 时， S=36>32 ， ∴ 当 t=4 时， S 有最小值， 即抢救最及时. * 14. （ 1 ） 证明： 由直线 l 1 ： ax+y+a+1=0 整理得 a （ x+ 1 ） +y+1=0 ， 该式为恒等式， 故 x+1=0 ， y+1=0 0 ， ∴x=-1 ， y=-1 ， ∴ 直线 l 1 过定点， 该定点的坐标为 （ -1 ， -1 ） . （ 2 ） 解 ： ∵l 1 ， l 2 不重合 ， 且垂直于同一条直线 ， ∴l 1 ∥l 2 ， ∴ 有 a （ a-1 ） =2×1 ， a×3≠2× （ a+1 ） 0 ， 从而 a=-1 ， ∴l 1 ： -x+y=0 ， 即 x-y=0 ， l 2 ： 2x-2y+3=0 ， 即 x-y+ 3 2 =0 ， ∴|AB|= 0- 3 2 1 2 +1 2 姨 = 3 2 姨 4 . （ 3 ） ∵a=0 ， 直线 l 与 l 2 垂直， ∴ 直线 l 2 ： 2x-y+3=0 ， 可得直线 l 2 的斜率为 2 ， 则直线 l 的斜率为 - 1 2 . 选 ① ： ∵ 直线 l 过坐标原点， 故直线 l 的方程为 y= - 1 2 x ， 即 x+2y=0. 选 ② ： 坐标原点到直线 l 的距离为 1 ， 设直线 l 的方 程为 x+2y+c=0 ， 由 |c| 1 2 +2 2 姨 =1 ， 得 c=± 5 姨 ， ∴ 直线 l 的方程为 x+ 2y± 5 姨 =0. 选 ③ ： 由直线 l 与 l 1 交点的横坐标为 2 ， 且 l 1 ： y+1= 0 ， 可知交点为 （ 2 ， -1 ）， ∴ 直线 l 的方程为 y+1=- 1 2 （ x-2 ）， 即 x+2y=0. 15. 解： 设 l ： y－1＝k （ x－2 ） （ k＜0 ）， 则 A 2- 1 k ， ， ( 0 ， B （ 0 ， 1－2k ） . （ 1 ） 由 S＝ 1 2 （ 1－2k ） 2- 1 k ， ( ＝ 1 2 4-4k- 1 k ， ( ≥ 1 2 4+2 （ -4k ）· - 1 k ， ( 姨 姨 0 ＝4 ， 当且仅当 －4k＝－ 1 k ， 即 k＝－ 1 2 时等号成立， ∴△AOB 的面积的最小值为 4 ， 此时 l 的方程是 x＋ 2y－4＝0. （ 2 ） ∵|MA| · |MB|＝ 1 k 2 +1 姨 · 4+4k 2 姨 ＝ 2 （ 1+k 2 ） |k| ＝2 - 1 k ， ( + （ -k 姨 k ） ≥4 ， 当且仅当 －k＝－ 1 k 即 k＝－1 时等号成立， 此时 l 的方 程为 x＋y－3＝0. （本题也可以设截距式方程求解） 2.3 圆及其方程 2.3.1 圆的标准方程 学习手册 变式训练 1 解： ∵ 点 A 在圆的外部， ∴ （ 1+a ） 2 + （ 2-a ） 2 > 2a 2 . ∴2a-5<0 ， a< 5 2 . 又 ∵2a 2 >0 ， ∴a≠0 ， ∴a 的取值范 围为 （ -∞ ， 0 ） ∪ 0 ， 5 2 ， ( . 变式训练 2 解： P （ x ， y ） 是圆 C 上的任意一点， 而圆 C 的半径为 2 ， 圆心 C （ 3 ， 0 ）， 圆心 C 到直线 x-y+1=0 的距离 d= |3-0+1| 1 2 + （ -1 ） 2 姨 =2 2 姨 ， ∴ 点 P 到直线 x-y+1=0 的距离的最大值为 2 2 姨 +2 ， 最小值为 2 2 姨 -2. 变式训练 3 4 2 3 姨 【解析】 点 O （ 0 ， 0 ） 在圆内， 最 长的弦为过点 O 的直径， ∴ 最长的弦长为 2r=4. 最短弦 是过点 O 且与过点 O 的直径垂直的弦， ∵O （ 0 ， 0 ） 与圆 心的距离为 1 ， ∴ 最短弦长为 2 4-1 姨 =2 3 姨 . 随堂练习 1. D 【解析】 由圆的标准方程的定义可知， 圆的标 准方程为 （ x-3 ） 2 + （ y-1 ） 2 =25. 故选 D. 2. D 【解析 】 依题意有 （ 5a ） 2 +144a 2 <1 ， ∴169a 2 <1 ， ∴a 2 < 1 169 ， 即 |a|< 1 13 . 故选 D. 3. A 【解析】 方法一 （直接法）： 设圆的圆心为 C （ 0 ， b ）， 则 （ 1-0 ） 2 + （ 2-b ） 2 姨 =1 ， ∴b= 2 ， ∴ 圆的标准方程是 x 2 + （ y-2 ） 2 =1. 73 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 方法二 （数形结合法）： 作图 （如图）， 根据点 （ 1 ， 2 ） 到圆心的距离为 1 易知 ， 圆心为 （ 0 ， 2 ）， 故圆的标准方程是 x 2 + （ y- 2 ） 2 =1. 故选 A. 4. （ x-4 ） 2 +y 2 =1 【解析】 设圆心 A （ 3 ， -1 ） 关于直线 x+y-3=0 对称 的点 B 的坐标为 （ a ， b ）， 则 b+1 a-3 ·（ -1 ） =-1 ， a+3 2 + b-1 2 -3=0 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 a=4 ， b=0 0 ， 故所求圆的标准方 程为 （ x-4 ） 2 +y 2 =1. 5. 解： 设圆的标准方程为（ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 ， 根据已 知条件可得 （ 1-a ） 2 + （ -1-b ） 2 =r 2 ， （ -1-a ） 2 + （ 1-b ） 2 =r 2 ， a+b-2=0 0 # # # " # # # $ ， 解得 a=1 ， b=1 ， r=2 0 # # # " # # # $ ， ∴ 所求圆的标准方程为 （ x-1 ） 2 + （ y-1 ） 2 =4. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 以 （ 2 ， -1 ） 为圆心， 4 为半径的圆的 方程为（ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 =16 ， 故选 C． 2. AD 【解析】 由已知条件可得 （ 1-a ） 2 + （ 1+a ） 2 <4 ， 即 2a 2 +2<4 ， 解得 -1<a<1. 故选 AD. 3. C 【解析】 由于方程中 y 不能是负值， ∴ 方程对 应的图象是圆的上半部分 . 故选 C. 4. A 【解析】 圆 （ x-1 ） 2 +y 2 =1 的圆心坐标为 （ 1 ， 0 ）， ∴ 圆心到直线 y= 3 姨 3 x 的距离为 d= 3 姨 3 1+ 3 姨 3 3 ( 2 姨 = 1 2 ， 故选 A． 5. A 【解析】 设圆心 C （ x ， y ）， 则 （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 姨 = 1 ， 化简得 （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 =1 ， ∴ 圆心 C 的轨迹是如图所示的以 M （ 3 ， 4 ） 为圆心， 1 为半径的圆， ∴|OC|+1≥|OM|= 3 2 +4 2 姨 =5 ， ∴|OC|≥5-1= 4 ， 当且仅当点 C 在线段 OM 上时取得等号 . 故选 A. 6. AB 【解析】 如图， 圆 C 的方程为 （ x-2 ） 2 + （ y-1 ） 2 = 3-m ， 故 C （ 2 ， 1 ）， 半径为 3-m 姨 （ m<3 ） ． ∵| A A+ C + B A+ C |≤| A A+ C - B A+ C | ， ∴| C A+ A + C A+ B |≤| C A+ B - C A+ A | ， 两边同时平方整理得C A+ A·C A+ B ≤0 ， ∴C∈ π 2 ， ( π π ， ∴C 点到 x 轴的距离 d≤ 2 姨 2 r ， 即 1≤ 2 姨 2 · 3-m 姨 ， 解得 m≤1. 故选 AB. 7. x 2 + （ y-1 ） 2 =25 【解析】 记点 A （ -3 ， 5 ）， B （ 3 ， -3 ）， 当经过 A ， B 两点的圆的面积最小时， AB 为圆的直径， ∴ 圆心为 （ 0 ， 1 ）， 半径为 1 2 × （ -3-3 ） 2 + （ 5+3 ） 2 姨 =5 ， ∴ 圆的方程为 x 2 + （ y-1 ） 2 =25. 8. （ -∞ ， -2 ） 【解析】 圆 C 的标准方程为（x+a ） 2 + （ y-2a ） 2 =4 ， ∴ 圆心为 （ -a ， 2a ）， 半径 r=2 ， 故由题意知 a<0 ， |-a|>2 ， |2a|>2 0 # # # " # # # $ ， 解得 a<-2 ， 故实数 a 的取值范围为 （ -∞ ， -2 ） ． 9. 解： ∵ 圆心是 C （ -3 ， -4 ）， 且经过原点， ∴ 圆的半径 r= （ -3-0 ） 2 + （ -4-0 ） 2 姨 =5 ， ∴ 圆的标准方程为 （ x+3 ） 2 + （ y+4 ） 2 =25. ∵ |P 1 C |= （ -1+3 ） 2 + （ 0+4 ） 2 姨 = 4+16 姨 =2 5 姨 <5 ， ∴P 1 （ -1 ， 0 ） 在圆内； ∵|P 2 C|= （ 1+3 ） 2 + （ -1+4 ） 2 姨 =5 ， ∴P 2 （ 1 ， -1 ） 在圆上； ∵|P 3 C|= （ 3+3 ） 2 + （ -4+4 ） 2 姨 =6>5 ， ∴P 3 （ 3 ， -4 ） 在圆外 ． 10. 解： （ 1 ） 由已知可设圆心 N （ a ， 3a-2 ）， 又由已 知得 |NA|=|NB| ， 从而有 （ a-3 ） 2 + （ 3a-2-1 ） 2 姨 = （ a+1 ） 2 + （ 3a-2-3 ） 2 姨 ， 解得 a=2 ， 于是圆 N 的圆心 N （ 2 ， 4 ）， 半径 r= （ a-3 ） 2 + （ 3a-2-1 ） 2 姨 = 10 姨 ， ∴ 圆 N 的方程为 （ x-2 ） 2 + （ y-4 ） 2 =10. （ 2 ） N （ 2 ， 4 ） 关于 x-y+3=0 的对称点为 （ 1 ， 5 ）， ∴ 圆 N 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的方程为 （ x-1 ） 2 + （ y- 5 ） 2 =10. （ 3 ） 设 M （ x ， y ）， D （ x 1 ， y 1 ）， 则由 C （ 3 ， 0 ） 及 M 为 线段 CD 的中点得 x= x 1 +3 2 ， y= y 1 +0 2 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 x 1 =2x-3 ， y 1 =2y 0 . 又 ∵ 点 D 在圆 N ： （ x-2 ） 2 + （ y-4 ） 2 =10 上 ， ∴ 有 （ 2x-3-2 ） 2 + （ 2y-4 ） 2 =10 ， 化简得 x- 5 2 2 0 2 + （ y-2 ） 2 = 5 2 ， 故 所求的轨迹方程为 x- 5 2 3 0 2 + （ y-2 ） 2 = 5 2 ． x y O 1 2 （ 1 ， 2 ） 第 3 题答图 x y O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 M C （ 3 ， 4 ） 第 5 题答图 第 6 题答图 x y O A B C 74 参 考 答 案 提升练习 11. D 【解析】 由题意， （ x 2 +y 2 -2 ） x-3 姨 =0 可化为 x-3=0 或 x 2 +y 2 -2=0 （x-3≥0 ）， ∵x-3=0 在 x 2 +y 2 -2=0 右方 ， ∴x 2 +y 2 -2=0 （x-3≥0 ） 不成立， ∴x-3=0 ， ∴ 方程 （ x 2 +y 2 -2 ） x-3 姨 =0 表示的曲线 是一条直线 . 故选 D. 12． A 【解析】 ∵ 直线 x+y+2=0 分别与 x 轴、 y 轴交 于 A ， B 两点， ∴A （ -2 ， 0 ）， B （ 0 ， -2 ）， 则 |AB|=2 2 姨 . ∵ 点 P 在圆 （ x-2 ） 2 +y 2 =2 上， ∴ 圆心为 （ 2 ， 0 ）， 则圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d 1 = |2+0+2| 2 姨 =2 2 姨 ， 故点 P 到直线 x+y+2=0 的距离 d 2 的取值范围为 ［ 2 姨 ， 3 2 姨 ］， 则 S △ABP = 1 2 |AB|d 2 = 2 姨 d 2 ∈ ［ 2 ， 6 ］ . 故选 A. 13. ABD 【解析】 圆心坐标为 （ k ， k ）， 在直线 y=x 上， 故 A 正确； 令（ 3-k ） 2 + （ 0-k ） 2 =4 ， 化简得 2k 2 -6k+5=0 ， ∵Δ=36- 40=-4<0 ， ∴2k 2 -6k+5=0 无实数根， 故 B 正确； 由（ 2-k ） 2 + （ 2-k ） 2 =4 ， 化简得 k 2 -4k+2=0 ， ∵Δ=16-8= 8>0 ， 方程有两不等实根， ∴ 经过点 （ 2 ， 2 ） 的圆 C k 有 两个， 故 C 错误； 由圆的半径为 2 ， 得圆的面积为 4π ， 故 D 正确 ． 故选 ABD． 14. 18 5 ， 24 5 5 & 【解析】 设 P （ x ， y ）， 则 d=|PA| 2 +|PB| 2 = x 2 + （ y+1 ） 2 +x 2 + （ y-1 ） 2 =2 （ x 2 +y 2 ） +2 ， x 2 +y 2 姨 的几何意义是 P （ x ， y ） 到原点的距离 . 由已知， 圆心 O （ 3 ， 4 ）， 半径为 1 ， C 到 O 的距离 |CO|=5 ， ∴ x 2 +y 2 姨 的最大值是 5+1=6 ， ∴d 的最大值为 2×6 2 +2=74. 由直线 y= 4 3 x 与圆 C ： （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 =1 ， 可得（ 5x- 12 ）（ 5x-18 ） =0 ， ∴x= 12 5 或 x= 18 5 ， ∴ 当 |PA| 2 +|PB| 2 取最大值时点 P 的 坐标是 18 5 ， 24 5 5 & ． 15. 解： （ 1 ） ∵ 点 A 的坐标满足方程 x 2 +y 4 =4 ， ∴t 4 =4 ， 解得 t=- 2 姨 或 t= 2 姨 （舍去）， ∴A （ 0 ， - 2 姨 ） . 设 △ABC 的外接圆的圆心为 （ a ， b ）， 半径为 r ， 则 △ABC 的外接圆的方程为 （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 . 将 A ， B ， C 三点坐标代入可得 a 2 + （ - 2 姨 -b ） 2 =r 2 ， （ 2-a ） 2 +b 2 =r 2 ， a 2 + （ 2 姨 -b ） 2 =r 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， 解得 a= 1 2 ， b=0 ， r= 3 2 2 ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) * ， ∴△ABC 的外接圆的方程为 x- 1 2 5 & 2 +y 2 = 9 4 . BA=BC= 2 2 + （ 2 姨 ） 2 姨 = 6 姨 ， AC=2 2 姨 ， cos∠ABC= BA 2 +BC 2 -AC 2 2BA · BC = 6+6-8 2× 6 姨 × 6 姨 = 1 3 >0 ， 因此 △ABC 是锐角三角形， ∴△ABC 的最小覆盖圆的方程是 x- 1 2 5 & 2 +y 2 = 9 4 . （ 2 ） ∵ 线段 BD 的最小覆盖圆是以 BD 为直径的圆， ∴ 线段 BD 的最小覆盖圆的方程为 x 2 +y 2 =4. 又 ∵|OA|=|OC|= 2 姨 <2 ， ∴ 点 A ， C 在圆 x 2 +y 2 =4 内， ∴ 四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程是 x 2 +y 2 =4. （ 3 ） ∵ 平面图形 W 是中心对称图形， 设 P （ a ， b） 是平面图形 W 上一点， 则 |OP| 2 =a 2 +b 2 =-b 4 +b 2 +4=- b 2 - 1 2 5 & 2 + 17 4 （ - 2 姨 ≤b≤ 2 姨 ）， 当 b 2 = 1 2 ， 即 b=± 2 姨 2 时， |OP| max = 17 姨 2 ， ∴ 平面图形 W 的最小覆盖圆的方程是 x 2 +y 2 = 17 4 . 2.3.2 圆的一般方程 学习手册 变式训练 1 解： ① 方程可变形为 （ x-2 ） 2 +y 2 =4 ， 故方程 表示圆， 圆心为 C （ 2 ， 0 ）， 半径 r=2. ② 方程可变形为 2 x- 3 4 5 & 2 +2 （ y+1 ） 2 =- 23 8 ， 此方程无 实数解， 故方程不表示任何图形 ． ③ 原方程可化为 （ x+a ） 2 +y 2 =a 2 . 当 a=0 时， 方程表示点 （ 0 ， 0 ）， 不表示圆； 当 a≠0 时， 方程表示以 （ -a ， 0 ） 为圆心， |a| 为半 径的圆 ． 变式训练 2 解： 圆心 C - D 2 ， - E 2 5 & ， ∵ 圆心在直线 x+y-1=0 上， ∴- D 2 - E 2 -1=0 ， 即 D+E=-2. ① 又 ∵ 半径长 r= D 2 +E 2 -12 姨 2 = 2 姨 ， ∴D 2 +E 2 =20. ② 75