2.2.4 点到直线的距离-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 点 （ 1 ， 2 ） 到直线 y=x-2 的距离为 （ ） A. 2 姨 2 B. 3 2 姨 2 C. 2 姨 D. 3 2 姨 2. 已知梯形 ABCD 中， AB∥CD ， 并且点 A （ 4 ， 0 ）， 点 B （ 6 ， 6 ）， 点 C （ 0 ， 2 ）， 则此梯形的高为 （ ） A. 10 姨 5 B. 10 姨 C. 7 10 姨 5 D. 9 10 姨 5 3. （多选题） 已知直线 y=2x 与 x+y+a=0 交于点 P （ 1 ， b ）， 则 （ ） A. a=-3 B. b=2 C. 点 P 到直线 ax+by+3=0 的距离为 2 13 姨 13 2.2.4 点到直线的距离 27 D. 点 P 到直线 ax+by+3=0 的距离为 4 13 姨 13 4. 已知 A （ 3 ， 2 ） 和 B （ -1 ， 4 ） 两点到直线 mx+y+3=0 的距离 相等， 则 m 的值为 . 5. 求经过点 P （ 3 ， 5 ）， 且原点到其距离为 3 的直线的方程 . 28 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 对于 D ， 方法一： 联立 ax-y+1=0 ， x+ay+1=0 ! ， 解得 x= -a-1 a 2 +1 ， y= -a+1 a 2 +1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 即 M -a-1 a 2 +1 ， -a+1 a 2 +1 1 ' ， ∴|MO|= -a-1 a 2 +1 1 1 2 + -a+1 a 2 +1 1 1 2 姨 = 2 a 2 +1 姨 ≤ 2 姨 ， ∴|MO| 的最大值是 2 姨 ， 故 D 正确 . 方法二 ： 由 l 1 ⊥l 2 ， l 1 过定点 B （ 0 ， 1 ）， l 2 过定点 （ -1 ， 0 ）， ∴A ， M ， B ， O 四点共圆， 且 AB 是此圆的直径 . 显然 ， 当 MO 也为圆的直径时 ， |MO| 最大 . 此时 |MO| max = 2 姨 . 故 D 正确 . 故选 AD. 14. 293 姨 【解析】 d= x 2 +y 2 +6x-10y+34 姨 + x 2 +y 2 -4x-30y+229 姨 = （ x+3 ） 2 + （ y-5 ） 2 姨 + （ x-2 ） 2 + （ y-15 ） 2 姨 ， 即 d 可看作点 A （ -3 ， 5 ） 和 B （ 2 ， 15 ） 与直线 x-y+ 1=0 上的点 （ x ， y ） 的距离之和 . 如图 ， 作 A （ -3 ， 5 ） 关于直线 x-y+1=0 的对称点 A′ （ x 0 ， y 0 ）， 由题意得 x 0 -3 2 - y 0 +5 2 +1=0 ， y 0 -5 x 0 +3 =-1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x 0 =4 ， y 0 =-2 ! ， 故 A′ （ 4 ， -2 ）， 则 d min =|A′B|= （ 4-2 ） 2 + （ -2-15 ） 2 姨 = 293 姨 . * 15. 5 【解析】 如图， 设点 P 关于直线 l 的对称点为 M ， 则 M 一定在第一次的反射光线所在直线上， 设 M 关 于 x 轴的对称点为 N ， 则 N 必在第二次的反射光线所在 直线上 . 设 M （ x ， y ）， 则 y x-a =-3 ， a+x 2 -3× y 2 =0 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x= 4 5 a ， y= 3 5 a 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 即 M 4 5 a ， 3 5 5 1 a ， ∴N 4 5 a ， - 3 5 1 1 a . 由题意 k QN = - 3 5 a 4 5 a-b = 1 3 ， 整理得 b= 13 5 a， ∵b≥13 ， ∴ 13 5 a≥13 ， a≥5 ， 即实数 a 的最小值为 5. * 16. 解： 当 k=0 时， 此时点 A 和点 D 重合， 折痕所 在的直线方程为 y= 1 2 . 当 k≠0 时， 将矩形折叠后点 A 落在线段 DC 上的 点为 G （ a， 1 ） （ 0<a≤2 ）， ∴A 与 G 关于折痕所在的直线对称 ， 由 k OG ·k=-1 ， 即 1 a ·k=-1 ， 解得 a=-k. 由 0<a≤2 ， ∴-2≤k<0 ， 且 G（-k ， 1 ） （ -2≤k<0 ）， 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标为 M - k 2 ， 1 2 5 1 ， 折痕所在的直线方程为 y- 1 2 =k x+ k 2 5 1 ， 即 y=kx+ k 2 2 + 1 2 （ -2≤k<0 ） . 综上所述， 折痕所在的直线方程为 2kx-2y+k 2 +1=0 （ -2≤k<0 ） . 2.2.4 点到直线的距离 学习手册 变式训练 1 0≤t≤10 【解析】 由题意得 |16-3t-1| 4 2 + （ -3 ） 2 姨 ≤ 3 ， 即 |3t-15|≤15 ， ∴-15≤3t-15≤15 ， 解得 0≤t≤10. 变式训练 2 8x+15y-51=0 或 x=-3 【解析】 当直线斜率 存在时， 由直线过点 P（-3 ， 5 ）， ∴ 设直线方程为 y-5= k （ x +3 ） ， ∴kx -y +5 +3k =0. 原 点 到 该 直 线 的 距 离 d = |3k+5| 1+k 2 姨 =3 ， 解得 k=- 8 15 ， ∴ 所求直线的方程为 y-5= - 8 15 （ x+3 ）， 即 8x+15y-51=0. 当直线斜率不存在时， 由直线过点 P （ -3 ， 5 ）， ∴ 直 线方程为 x=-3 ， 此时原点到直线的距离 d=3 ， 满足题意 . 综上所述， 所求直线方程为 8x+15y-51=0 或 x=-3. 变式训练 3 解： 由 荀ABCD 的两条对角线的交点是对 角线的中点， ∴ 过中点作 AB 所在直线的平行线 l ， 同时 也平行于 CD 所在直线， ∴l 与 CD 所在直线的距离是 AB 所在直线与 CD 所在直线的距离的 1 2 . 由 AB 和 CD 所在直线的方程分别是 6x+8y-3=0 与 6x+8y+5=0 ， ∴AB 和 CD 所在直线的距离 d 1 = |-3-5| 6 2 +8 2 姨 = 4 5 ， ∴l 与 CD 所在直线的距离 d= 1 2 d 1 = 2 5 . x y O 5 10 15 10 5 -5 A′ A B -5 第 14 题答图 第 15 题答图 x y O M N Q l P 68 参 考 答 案 变式训练 4 解： 方法一： （ 1 ） 当两条直线的斜率不存 在时， 两条直线的方程分别为 x=6 ， x=-3 ， 则 d=9. 当两条直线的斜率存在时， 设两条直线的方程分别 为 y-2=k （ x-6 ）和 y+1=k （ x+3 ）， 即 kx-y+2-6k=0 ， kx-y+3k-1=0 ， ∴d= |9k-3| k 2 +1 姨 ， 由此可得 （ 81-d 2 ） k 2 -54k+9-d 2 =0. 当 81-d 2 =0 ， 即 d= 9 时， k=- 4 3 ， ∴d=9 成立 . 当 d≠9 时， 由于 k 存在， 即方程有解， 可得 Δ= （ -54 ） 2 - 4 （ 81-d 2 ）（ 9-d 2 ） ≥0 ， 即 d 4 -90d 2 ≤0 ， ∴0<d≤3 10 姨 且 d≠9. 综上， d∈ （ 0 ， 3 10 姨 ］ . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知 d 的最大值为 3 10 姨 ， 此时 k=-3. 故两条直线的方程分别为 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. 方法二： （ 1 ） 显然两平行直线的距离 d>0 ， 当两直 线旋转到与 AB 所在直线垂直时， |AB| 即为两直线的距 离 d ， 此时 d 最大 . d max =|AB|= ［ 6- （ -3 ）］ 2 + ［ 2- （ -1 ）］ 2 姨 = 3 10 姨 . ∴d∈ （ 0 ， 3 10 姨 ］ . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知， 当 d 取最大值时， AB 所在直线 与这两条平行直线垂直 . 由 k AB = 1 3 ， ∴ 这两条直线的斜 率为 -3. ∴ 这两条直线的方程分别为 3x+y-20=0 和 3x+y+ 10=0. 随堂练习 1. B 【解析】 直线方程 y=x-2 ， 即 x-y-2=0 ， 点 （ 1 ， 2 ） 到直线 x-y-2=0 的距离 d= |1-2-2| 1+1 姨 = 3 2 姨 = 3 2 姨 2 ， 故 选 B. 2. C 【解析】 根据题意， 点 A （ 4 ， 0 ）， 点 B （ 6 ， 6 ）， 则直线 AB 的斜率 k= 6-0 6-4 =3 ， 则直线 AB 的方程为 y-0＝3 （ x-4 ）， 即 3x-y-12＝0. 点 C 到直线 AB 的距离 d= |-2-12| 9+1 姨 = 7 10 姨 5 . 在梯形 ABCD 中， AB∥CD ， 则此梯形的高就是点 C 到直线 AB 的距离， 即此梯形的高是 7 10 姨 5 . 故选 C. 3. ABD 【解析 】 由题意得 b=2 ， 1+b+a=0 0 ， 解得 a=-3 ， b=2 ， 故 AB 正确； ∴ 点 P（1 ， 2 ） 到直线 -3x+2y+3=0 的距离 d= |-3+4+3| （ -3 ） 2 +2 2 姨 = 4 13 姨 13 ， 故 C 错误， D 正确 . 故选 ABD. 4. -6 或 1 2 【解析】 ∵A （ 3 ， 2 ） 和 B （ -1 ， 4 ） 两点到 直线 mx+y+3=0 的距离相等， ∴ |3m+2+3| m 2 +1 姨 = |-m+4+3| m 2 +1 姨 ， 整理得 （ 2m-1 ）（ m+6 ） =0 ， 解得 m= 1 2 或 m=-6. 5. 解： 当直线斜率存在时， ∵ 直线过点 P （ 3 ， 5 ）， ∴ 可设所求直线的方程为 y-5=k （ x-3 ）， 化为一般式 得 kx-y+5-3k=0. 原点到该直线的距离 d= |5-3k| k 2 +1 2 姨 =3 ， 解得 k= 8 15 ， 故所求直线的方程为 y-5= 8 15 （ x-3 ）， 即 8x-15y+51=0. 当直线斜率不存在时， 过点 P （ 3 ， 5 ） 的直线方程为 x=3 ， 此时原点到直线 x=3 的距离 d=|0-3|=3 ， 符合题意 . 综上可得， 所求直线的方程为 8x-15y+51=0 或 x=3. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 由点到直线的距离公式可知， |0+0+a| 1 2 +1 2 姨 < 2 姨 ， 解得 -2<a<2 ， 故实数 a 的取值范围为 （-2 ， 2 ） . 故选 A. 2. B 【解析】 由直线 y=kx-2k+1 可得 y=k （ x-2 ） +1 ， 则直线过定点 A（2 ， 1 ） . 根据题意， 当直线 AB 与直线 x+ y-1=0 垂直时， |AB| 最小， 点 A（2 ， 1 ） 到直线 x+y-1=0 的距离 d= |2+1-1| 2 姨 = 2 姨 ， 即 |AB | 的最小值为 2 姨 . 故 选 B. 3. D 【解析 】 3x+2y+1=0 与 3x+2y+4=0 间距离 d 1 = |1-4| 3 2 +2 2 姨 = 3 13 姨 13 ， 4x-6y+c 1 =0 与 4x-6y+c 2 =0 间距离 d 2 = |c 1 -c 2 | 4 2 +6 2 姨 = 13 姨 26 |c 1 -c 2 |. 又由正方形可知 d 1 =d 2 ， 即 3 13 姨 13 = 13 姨 26 |c 1 -c 2 | ， 解得 |c 1 -c 2 |=6. 故选 D. 4. B 【解析】 根据一元二次方程根与系数之间的关系， 两条直线之间的距离 |a-b| 2 姨 = 1+4c 姨 2 姨 ∈ 2 姨 2 ， 3 姨 2 2 ) ， 故选 B. 5. BC 【解析 】 ∵A ， B 两点到直线 l 的距离相等 ， ∴AB∥l 或 l 过 AB 的中点 ， ∴ 4-2 -1-3 =-m 或 m+3+3=0 ， ∴m= 1 2 或 m=-6 ， 故选 BC. 6. AC 【解析 】 当 PQ 垂直直线 3x-4y+5=0 时 ， PQ 最短， Q 到直线的距离为 |3-4+5| 3 2 +4 2 姨 = 4 5 ， 故 A 正确； 69 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故 PQ 的长度范围为 4 5 ， + ! ∞ " ， 2 3 < 4 5 ， 故 D 错误； 当 PQ 最短时， 设 P m ， 3m+5 4 4 ! ， 则 k PQ = 1- 3m+5 4 1-m =- 4 3 ， 解得 m= 13 25 ， ∴P 13 25 ， 41 25 5 ! ， 故 C 正确； 此时直线 PQ 的方程是 y-1 41 25 -1 = x-1 13 25 -1 ， 即 4x+3y-7= 0 ， 故 B 错误 . 故选 AC. 7. （ 2 ， 2 ） x+y=0 【解析 】 ∵ 直线 l 1 ： （ m+1 ） x- （ m-3 ） y-8=0 （ m∈R ）， 整理得 m （ x-y ） + （ x+3y-8 ） =0 ， ∴ x-y=0 ， x+3y-8=0 0 ， 解得 x=y=2 ， 则直线 l 1 恒过定点 A （ 2 ， 2 ） . 过原点作直线 l 2 ∥l 1 ， 则当直线 l 1 与 l 2 的距离最大 时， l 2 与 OA 所在直线垂直 . 由 O （ 0 ， 0 ）， A （ 2 ， 2 ） 可知 直线 OA 的方程为 y=x ， ∴ 直线 l 2 的方程为 y=-x ， 即 x+ y=0. 8. 4 【解析】 ∵ 点 A （ 0 ， 2 ）， B （ 2 ， 0 ）， ∴ 直线 AB 的 方程为 x 2 + y 2 =1 ， 即 x+y-2=0 ， 且 |AB|=2 2 姨 . ∵△ABC 的面积为 2 ， 设点 C 到直线 AB 的距离为 d ， 则 1 2 ×2 2 姨 d=2 ， 可得 d= 2 姨 . 设点 C （ t ， t 2 ）， 则点 C （ t ， t 2 ） 到 x+y-2=0 的距离 d= |t+t 2 -2| 2 姨 = 2 姨 ， 可得 |t+t 2 -2|=2 ， ∴t 2 +t=4 或 t 2 +t=0 ， 解得 t 1 = -1- 17 姨 2 ， t 2 = -1+ 17 姨 2 ， t 3 =-1 ， t 4 =0 ， ∴ 使得 △ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 4 个 . 9. 解 ： （ 1 ） 坐 标 原 点 O 到 直 线 l 1 的 距 离 d 1 = |0-0+ 2 姨 | 1 2 + （ -1 ） 2 姨 =1 ， 坐标原点 O 到直线 l 2 的距离 d 2 =1+2 ， 坐标原点 O 到直线 l 3 的距离 d 3 =1+2+3 ， …， 坐标原 点 O 到直线 l 10 的距离 d 10 =1+2+3+ … +10=55. ∵d 10 = c 10 2 姨 ， ∴c 10 =55 2 姨 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， 直线 l 10 的方程为 x-y+55 2 姨 =0. 直线 l 10 与 x 轴交于点 M （ -55 2 姨 ， 0 ）， 与 y 轴交于 点 N （ 0 ， 55 2 姨 ）， 则 S △OMN = 1 2 · |OM|×|ON|= 1 2 × （ 55 2 姨 ） 2 =3 025. 10. 解： （ 1 ） ∵A （ -1 ， -1 ）， C （ 1 ， 1 ）， ∴k AC = -1-1 -1-1 = 1 ， ∴ 直线 AC 的方程为 y-1=1 （ x-1 ）， 即 x-y=0. （ 2 ） 若选 ① ， 若 △ABC 是等边三角形， 则 AC⊥BD. ∵AC 的中点坐标为 （ 0 ， 0 ）， ∴BD 过坐标原点 ， 则直线 BD 的方程为 y=-x. 设 B （ x ， -x ） （ x>0 ）， 由 |AC|=|BC| ， 则 （ -1-1 ） 2 + （ -1-1 ） 2 姨 = （ x-1 ） 2 + （ -x-1 ） 2 姨 ， 解得 x= 3 姨 或 x=- 3 姨 （舍去）， ∴B 点的坐标为 （ 3 姨 ， - 3 姨 ） . 若选 ② ， ∵k AC =1 ， ∴ 过点 E （ 3 姨 ， 3 姨 ） 垂直于 AC 的直线方程为 y- 3 姨 =- （ x- 3 姨 ）， 即 y=-x+2 3 姨 . 令 x=0 ， 则 y=2 3 姨 ， 令 y=0 ， 则 x=2 3 姨 ， 即 M （ 2 3 姨 ， 0 ）， N （ 0 ， 2 3 姨 ）， ∴|MN|= （ 2 3 姨 ） 2 + （ 2 3 姨 ） 2 姨 =2 6 姨 . ∵MN∥BD ， AC 的中点坐标为 （ 0 ， 0 ）， ∴BD 过坐 标原点， ∴ 直线 BD 的方程为 y=-x. 设 B （ x ， -x ） （ x>0 ）， 则 D （ -x ， x ）， ∵MN=BD ， ∴ （ 2x ） 2 + （ -2x ） 2 姨 =2 6 姨 ， 解得 x= 3 姨 或 x=- 3 姨 （舍去）， ∴B 点的坐标为 （ 3 姨 ， - 3 姨 ） . 若选 ③ ， ∵ 点 E （ -2 ， 0 ）， ∴k AE = -1-0 -1- （ -2 ） =-1. ∵AE∥ BD ， AC 的中点坐标为 （ 0 ， 0 ）， ∴BD 过坐标原点 ， ∴ 直线 BD 的方程为 y=-x. 设 B （ x ， -x ） （ x>0 ）， 则 D （ -x ， x ）， ∴ 点 B 到 AC 的距离 d= 2x 1 2 + （ -1 ） 2 姨 = 2 姨 x. 又 ∵|AC|= （ -1-1 ） 2 + （ -1-1 ） 2 姨 =2 2 姨 ， ∴S 荀ABCD =2S △ABC =2× 1 2 ×|AC | · d=4 3 姨 ， 即 2 2 姨 × 2 姨 x=4 3 姨 ， 解得 x= 3 姨 ， ∴ 点 B 的坐标为 （ 3 姨 ， - 3 姨 ） . 提升练习 11. A 【解析 】 ∵a ， b ， c 为直角三角形的三边长 ， 且 c 为斜边， ∴a 2 +b 2 =c 2 . ∵ 点 （ m ， n ） 在直线 ax+by+c=0 上 ， m 2 +n 2 姨 表示 原点到点 （ m ， n ） 的距离， ∴ 当原点到点 （ m ， n ） 的线段与直线 ax+by+c=0 垂 直时， m 2 +n 2 最小 . ∵ 原点到直线 ax+by+c=0 的距离为 |c| a 2 +b 2 姨 =1 ， ∴ m 2 +n 2 姨 的最小值为 1. 故选 A. 12. C 【解析】 点 M 到直线的距离为 d= 0 5 =0<2 ， 故 直线上存在点 P 使 |PM|=2 ， 符合 “ 2 域直线 ” 的定义 ， 故 A 正确； 点 M 到直线的距离为 d=2 ， 故直线上存在点 P 使 | PM|=2 ， 符合 “ 2 域直线” 的定义， 故 B 正确； 70 参 考 答 案 点 M 到直线的距离为 d= |3-4×4| 17 姨 = 13 17 姨 >2 ， 故直线 上不存在点 P 使 |PM |=2 ， 不符合 “ 2 域直线” 的定义 ， 故 C 错误； 点 M 到直线的距离为 d=2 ， 故直线上存在点 P 使 |PM|=2 ， 符合 “ 2 域直线” 的定义， 故 D 正确 . 故选 C. 13. BCD 【解析】 设 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）， 若 d 1 =d 2 =1 ， 则 ax 1 +by 1 +c=ax 2 +by 2 +c= a 2 +b 2 姨 ， 则点 P 1 ， P 2 在直线的同一侧， 且到直线距离相等 ， ∴ 直线 P 1 P 2 与直线 l 平行， 故 A 正确； 点 P 1 ， P 2 在直线 l 的两侧且到直线 l 的距离相等， 直线 P 1 P 2 不一定与 l 垂直， 故 B 错误； 若 d 1 =d 2 =0 ， 满足 d 1 +d 2 =0 ， 即 ax 1 +by 1 +c=ax 2 +by 2 +c= 0 ， 则点 P 1 ， P 2 都在直线 l 上， ∴ 此时直线 P 1 P 2 与直线 l 重合， 故 C 错误； 若 d 1 · d 2 ≤0 ， 即（ ax 1 +by 1 +c ）（ ax 2 +by 2 +c ） ≤0 ， ∴ 点 P 1 ， P 2 分别位于直线 l 的两侧或在直线 l 上， ∴ 直线 P 1 P 2 与 直线 l 相交或重合， 故 D 错误 . 故选 BCD. 14. 1 2 【解析】 由 x 2 -y 2 -x+3y-2=0 ， 可得 x- 1 2 2 $ 2 = y- 3 2 2 & 2 ， 即 x-y+1=0 或 x+y-2=0 ， 原点 O 到直线 x-y+1=0 的距离的平方为 d 2 = 1 2 姨 2 & 2 = 1 2 ， 原点 O 到直线 x+y-2=0 的距离的平方为 d 2 = |2| 2 姨 2 & 2 =2 ， ∴x 2 +y 2 的最小值为原点 O 到直线 x-y+1=0 的距离的 平方为 1 2 . * 15. 5 2 ， 11 5 ， 11 53 53 姨 【解析】 由已知显然 t>0 ， 等 式同除 a 2 +b 2 姨 ， 整理得 |2a+b+3| a 2 +b 2 姨 = |5a-3b+3| a 2 +b 2 姨 =t. 上面等式可以看成两个已知点 A （ 2 ， 1 ） 和 B （ 5 ， -3 ） 到直线 l ： ax+by+3=0 （不过原点） 的距离均为 t ， 即这 两个点到直线 l 的距离相等 . 由 |AB|= （ 5-2 ） 2 + （ -3-1 ） 2 姨 = 5. （ 1 ） 当 t= |AB| 2 = 5 2 ， 此时， 易得符合题意的直线 l 为线段 AB 的垂直平分线 6x-8y-29=0 以及与直线 AB 平 行的两条直线 8x+6y+3=0 和 8x+6y-47=0. （ 2 ） 当 t< |AB| 2 = 5 2 时， 有 4 条直线 l 会使得点 A （ 2 ， 1 ） 和 B （ 5 ， -3 ） 到它们的距离相等， ∵l 不过原点， ∴ 当其中一条直线过原点时， 会作为增根被舍去， 设点 A 到 l 的距离为 d. ① 作为增根被舍去的直线 l ， 过原点和 A ， B 的中点 M 7 2 ， - 2 & 1 ， 其方程为 2x+7y=0 ， 此时 t=d= 11 53 姨 < 5 2 ， 符合； ② 作为增根被舍去的直线 l ， 过原点且以A A( B 为方向 向量， 其方程为 4x+3y=0 ， 此时 t=d< 11 5 < 5 2 ， 符合 . 综上， 满足题意的实数 t 为 5 2 ， 11 5 ， 11 53 53 姨 . * 16. 解： （ 1 ） ∵ax+y-a-2= 0 ， 整理得 y=-a （ x-1 ） +2 ， ∴ 直 线过定点 Q （ 1 ， 2 ） . 当 OQ⊥l 1 时， 原点到直线 l 1 距离最 大 ， 此 时 最 大 值 为 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 ， 此时直线 l 1 的斜率为 - 1 2 ， 即 a= 1 2 ， ∴ 直线 l 1 的方程为 1 2 x+y- 1 2 -2=0 ， 即 x+2y-5=0. （ 2 ） 根据 ax+y-a-2=0 （ a>0 ） 得 A a+2 a ， 2 $ 0 ， B （ 0 ， a+2 ）， 直线 l 2 ： mx+ny=1 表示不经过原点的任意一条直线， 同时 l 2 与线段 AB 有且只有一个公共点 . 考虑 m 2 +n 2 姨 对应 l 2 的几何意义 ， ∵ 原点到直线 l 2 的距离为 d= 1 m 2 +n 2 姨 ， ∴ m 2 +n 2 姨 = 1 d . 如图， 若 P 是线段 AB 与直线 l 2 的公共点， 则 d≤OP≤max a+2 a ， a+ + + 2 = a+2 a ， 0<a≤1 ， a+2 ， a>1 1 . . . - . . . / . 当 a>1 时， m 2 +n 2 姨 ≥ 1 a+2 ， 当且仅当直线 l 2 过点 B， 且与 y 轴垂直时等号成立； 当 0<a≤1 时， m 2 +n 2 姨 ≥ a+2 2 ， 当且仅当直线 l 2 过 点 A， 且与 x 轴垂直时等号成立. ∴ f （ a）= 1 a+2 ， a>1 ， a a+2 ， 0<a≤1 1 . . . . - . . . . / . 阶段性练习卷 （四） 1. D 【解析】 可求斜率为 - 3 姨 3 ， 即 tanα=- 3 姨 3 ， ∵α∈ ［ 0 ， π ）， ∴α= 5π 6 . 故选 D. 2. A 【解析】 所求直线过原点， 且与已知直线垂直， 可得直线 y=- 1 3 x ， 向右平移 １ 个单位后的直线方程为 y=- 1 3 （ x-1 ） . 故选 A. x y O d A B P l 1 l 2 第 16 题答图 71