2.1 坐标法&2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 已知数轴上点 C 到点 A （ 5 ）的距离是它到点 B （ -7 ）距离的 3 倍， 求点 C 的坐标 . 2. 已知三点 A （ x ， 5 ）， B （ -2 ， y ）， C （ 1 ， 1 ）， 且点 B 是线段 AC 的中点， 求 x ， y 的值 . 3. 已知 A （ a ， 4 ）， B （ 4 ， 8 ）， 且 ｜AB｜=5 ， 则 a 的值为 . 4. 已知三点 A （ -2 ， 3 ）， B （ 3 ， -4 ）， C （ 1 ， m ） 共线， 则实数 m 的值为 . 5. （多选题） 对于 x 2 +2x+5 姨 ， 下列说法正确的是 （ ） A. 可看作点 （ x ， 0 ） 与点 （ 1 ， 2 ） 的距离 B. 可看作点 （ x ， 0 ） 与点 （ -1 ， -2 ） 的距离 C. 可看作点 （ x ， 0 ） 与点 （ -1 ， 2 ） 的距离 D. 可看作点 （ x ， -1 ） 与点 （ -1 ， 1 ） 的距离 第二章 平面解析几何 2.1 坐标法 15 2.2 直线及其方程 1. 经过点 A （ 2 ， 0 ）， B （ 1 ， 3 姨 ） 的直线的倾斜角为 （ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知 A （ 2 ， 3 ）， B （ -1 ， 4 ）， 则直线 AB 的斜率为 . 3. 设直线 l 的倾斜角 琢∈ π 6 ， π 4 4$ ， 则其斜率 k 的取值范围 是 ； 若直线 l 的斜率 k∈ - 3 姨 ， 3 姨 3 $ 3 ， 则其 倾斜角 琢 的取值范围是 . 4. 已知三点 A （ -2 ， 3 ）， B （ 3 ， -4m ）， C 1 2 ， m $ 3 共线， 则实 数 m 的值为 . 5. （多选题） 下列命题为真命题的是 （ ） A. 若直线的倾斜角为 琢 ， 则直线的斜率为 tan琢 B. 若直线的倾斜角为 琢 ， 则 琢∈ ［ 0 ， π ） C. 若两条直线的倾斜角不相等， 则它们中倾斜角大的直线 其斜率较小 D. 倾斜角和斜率都是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜 程度 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第 1 课时 倾斜角与斜率 16 日期： 班级： 姓名： 1. 若直线 l 的一个方向向量为 （ -2 ， 2 3 姨 ）， 则它的倾斜角 为 （ ） A. 30° B. 120° C. 60° D. 150° 2. 若直线 l 的一个法向量为 （ -1 ， 3 姨 ）， 则它的倾斜角为 （ ） A. 30° B. １２0° C. ６0° D. １５0° 3. 若直线 l 的一个方向向量为 （ -1 ， 2 ）， 则此直线的一个法 向量的坐标为 （ ） A. （ 2 ， -1 ） B. （ 2 ， 1 ） C. （ -2 ， 1 ） D. （ 1 ， 2 ） 4. 已知直线 l 的倾斜角为 60° ， 则直线 l 的一个方向向量为 . 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第 2 课时 方向向量与法向量 17 5. 若直线 l 的一个法向量为 n= （ 2 ， 1 ）， 则直线 l 的一个方向 向量为 . 6. 已知 A （ 1 ， 2 ）， B （ -1 ， 0 ）， C （ -2 ， 3 ） 三点， 判断这三点是 否在同一条直线上， 并说明理由 . 18 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 第二章 平面解析几何 2.1 坐标法 学习手册 变式训练 1 解： 设边 AB ， BC ， CA 的中点分别为 D （ x 1 ， y 1 ）， E （ x 2 ， y 2 ）， F （ x 3 ， y 3 ） . 由中点坐标公式， 得 x 1 = -3+3 2 =0 ， y 1 = 1+ （ -3 ） 2 =-1 1 # # # # " # # # # $ ， x 2 = 3+1 2 =2 ， y 2 = -3+7 2 =2 1 # # # # " # # # # $ ， x 3 = -3+1 2 =-1 ， y 3 = 1+7 2 =4 1 # # # # " # # # # $ ， 即 D （ 0 ， -1 ）， E （ 2 ， 2 ）， F （ -1 ， 4 ） . 由两点的距离公式可得 AB 边上的中线长 ｜CD｜= （ 1-0 ） 2 + （ 7+1 ） 2 姨 = 65 姨 ； BC 边上的中线长 ｜AE｜= （ -3-2 ） 2 + （ 1-2 ） 2 姨 = 26 姨 ； CA 边上的中线长 ｜BF｜= （ 3+1 ） 2 + （ -3-4 ） 2 姨 = 65 姨 . 变式训练 2 解： 向量方法： 建立 如图 1 所示的平面直角坐标系， 设 B （ a ， 0 ）， C （ b ， c ） . 由A A' C = A A' B + A A' D ， ∴ A A' D = A A' C - A A' B = （ b-a ， c ）， B A' D = A A' D - A A' B = （ b-2a ， c ） . 由 ｜ A A' C ｜ 2 +｜ B A' D ｜ 2 =b 2 +c 2 + （ b-2a ） 2 +c 2 =4a 2 -4ab+2b 2 +2c 2 ， ｜ A A' B ｜ 2 +｜ A A' D ｜ 2 =a 2 + （ b-a ） 2 +c 2 =2a 2 -2ab+b 2 +c 2 ， ∴｜ A A' C ｜ 2 +｜ B A' D ｜ 2 =2 （ ｜ A A' B ｜ 2 +｜ A A' D ｜ 2 ）， 即 AC 2 +BD 2 =2 （ AB 2 + 又 ∵PB⊥EF ， DE∩EF=E ， ∴PB⊥ 平面 DEF. 由 DE⊥ 平面 PBC ， PB⊥ 平面 DEF ， 可知四面体 B鄄 DEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体 B鄄DEF 是一个鳖臑， 其四个面的直角分别 为 ∠DEB ， ∠DEF ， ∠EFB ， ∠DFB. （ 2 ） 解： 如图 1 ， 在面 PBC 内， 延长 BC 与 FE 交于 点 G ， 则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线 . 由 （ 1 ） 知， PB⊥ 平面 DEF ， ∴PB⊥DG. 又 ∵PD⊥ 底面 ABCD ， ∴PD⊥DG. 而 PD∩PB=P ， ∴DG⊥ 平面 PBD ， 故 ∠BDF 是平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的平 面角 . 设 PD=DC=1 ， BC=姿 ， 有 BD= 1+姿 2 姨 ， 在 Rt△PDB 中， 由 DF⊥PB ， 得 ∠DPF=∠FDB= 仔 3 ， 则 tan 仔 3 =tan∠DPF= BD PD = 1+姿 2 姨 = 3 姨 ， 解得 姿= 2 姨 ， ∴ DC BC = 1 姿 = 2 姨 2 . 故当平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 仔 3 时， DC BC = 2 姨 2 . 方法二： （ １ ） 证明： 如图 2 ， 以 D 为原点 ， 射线 DA ， DC ， DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴， 建立空间直角坐 标系 . 设 PD=DC=1 ， BC=姿 ， 则 D （ 0 ， 0 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 1 ）， B （ 姿 ， 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 1 ， 0 ）， P A' B = （ 姿 ， 1 ， -1 ） . 点 E 是 PC 的中点， ∴E 0 ， 1 2 ， 1 2 2 - ， D A' E = 0 ， 1 2 ， 1 2 2 - ， 于是P A' B· D A' E =0 ， 即 PB⊥DE. 又已知 EF⊥PB ， 而 DE∩EF=E ， ∴PB⊥ 平面 DEF. ∵ P A' C = （ 0 ， 1 ， -1 ） ， D A' E ·P A' C =0 ， 则 DE ⊥PC ， ∴DE⊥ 平面 PBC. 由 DE⊥ 平面 PBC ， PB⊥ 平面 DEF ， 可知四面体 B鄄DEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体 B鄄DEF 是一个鳖臑， 其四个面的直角分别 为 ∠DEB ， ∠DEF ， ∠EFB ， ∠DFB. （ 2 ） 解： 由 PD⊥ 平面 ABCD ， ∴ D A' P = （ 0 ， 0 ， 1 ） 是 平面 ABCD 的一个法向量 . 由 （ 1 ） 知， PB⊥ 平面 DEF ， ∴ B A' P = （ -姿 ， -1 ， 1 ） 是 平面 DEF 的一个法向量 . 若平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 仔 3 ， 则 cos 仔 3 = B A' P·D A' P ｜B A' P ｜｜D A' P ｜ = 1 姿 2 +2 姨 = 1 ２ ， 解得 姿= 2 姨 . ∴ DC BC = 1 姿 = 2 姨 ２ . 故当平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 仔 3 时， DC BC = 2 姨 ２ . E G F A B C D P z y x E F A B C D P 图 2 图 1 第 14 题答图 A B C D y x 图 1 50 参 考 答 案 AD 2 ） . 解三角形： 设 ∠DAB=琢 ， 则 ∠ABC=仔-琢. 如 图 2 ， 在 △ABD 中 ， BD 2 = AB 2 +AD 2 -2AB · AD · cos琢 ； 在 △ABC 中 ， AC 2 =AB 2 +BC 2 - 2AB · BC · cos （ 仔-琢 ） . 由 cos （ 仔 -琢 ） =-cos琢 ， ∴BD 2 + AC 2 =AB 2 +AB 2 +AD 2 +BC 2 =2 （ AB 2 +AD 2 ） . 变式训练 3 证明： 以直角三角形 ABC 的直角边 AB ， AC 所在直线分 别为 x 轴、 y 轴， 建立如图所示的 平面直角坐标系 ， ∴A （ 0 ， 0 ） . 设 B （ b ， 0 ）， C （ 0 ， c ） . ∵ 点 M 是边 BC 的中点， ∴ 点 M 的 坐 标 为 b+0 2 ， 0+c 2 2 $ ， 即 b 2 ， c 2 2 & . 由两 点 的 距 离 公 式 可 得 ｜BC ｜= （ 0-b ） 2 + （ c-0 ） 2 姨 = b 2 +c 2 姨 ， ｜AM ｜= b 2 2 & 2 + c 2 2 & 2 姨 = 1 2 b 2 +c 2 姨 ， ∴ ｜AM ｜= 1 2 ｜BC｜. 随堂练习 1. 解： 由题知 ｜AC｜=3｜BC｜ ， 即 ｜x-5｜=3｜x- （ -7 ） ｜ ， ∴｜x- 5｜=3｜x+7｜ ， ∴ （ x-5 ） =3 （ x+7 ）或 （ x-5 ） =-3 （ x+7 ）， 解得 x=-13 或 x=-4 ， ∴C （ -13 ）或 C （ -4 ） . 2. 解 ： 根据中点 坐 标 公 式 可 得 -2= x+1 2 ， y= 5+1 2 2 * * * * ) * * * * + ， 解得 x=-5 ， y=3 3 . ∴x=-5 ， y=3. 3. 1 或 7 【解析 】 由两 点 的 距 离 公 式 可 得 AB= （ a-4 ） 2 + （ 4-8 ） 2 姨 =5 ， ∴ （ a-4 ） 2 =9 ， ∴a-4=-3 或 a-4=3 ， ∴a=1 或 a=7. 4. - 6 5 【解析 】 由A A. B = （ 5 ， -7 ）， A A. C = （ 3 ， m-3 ）， ∴5 （ m-3 ） =-21 ， 解得 m=- 6 5 . 5. BCD 【 解 析 】 由 题 意 ， 可 得 x 2 +2x+5 姨 = （ x+1 ） 2 +4 姨 = （ x+1 ） 2 + （ 0±2 ） 2 姨 = （ x+1 ） 2 + （ -1-1 ） 2 姨 ， 可看作点 （ x ， 0 ） 与点 （ -1 ， -2 ） 的距离， 可看作 点 （ x ， 0 ） 与点 （ -1 ， 2 ） 的距离， 可看作点 （ x ， -1 ） 与点 （ -1 ， 1 ） 的距离， 故选项 A 不正确， 故选 BCD. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 方法一： 设点 P 的坐标为 x ， 由 PA= PB ， ∴｜a-x ｜=｜b-x ｜ ， 即（ a-x ） 2 = （ b-x ） 2 ， 解得 x= a+b 2 . 故 选 C. 方法二 ： 由题可知， 当 a≠b 时 ， 点 P 是 AB 的中 点， ∴ 根据中点坐标公式点 P 的坐标 x= a+b 2 . 故选 C. 2. C 【解析】 根据对称性知点 N （ -1 ， 2 ）， 由两点间 距离公式得 |ON|＝ （ -1 ） 2 +2 2 姨 = 5 姨 . 故选 C. 3. A 【解析】 ∵A （ -4 ， -4 ）， B （ 2 ， 2 ）， C （ 4 ， -2 ）， ∴ 边 AB 的中点 D 的坐标为 （ -1 ， -1 ）， ∴｜CD｜= （ -1-4 ） 2 + ［ -１- （ -２ ）］ ２ 姨 = 26 姨 . 故选 A. 4. B 【解析 】 如图 ， 点 A 关 于 x 轴的对称点为 A′ （ -3 ， -8 ）， 则当点 M 为 A′B 与 x 轴的交点时， ｜MA｜+｜MB｜ 取得最小值 ， 即 （ ｜MA ｜+ ｜MB ｜ ） min =｜A′B ｜= （ 2+3 ） 2 + （ 2+8 ） 2 姨 = 5 5 姨 . 故选 B. 5. ABC 【解析】 设 D （ x ， y ）， 若四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AC 与 BD 互相平分， 即二者的中点相同 . 根据中点坐标公式有 -3+5=2+x ， 0+2=-2+y 3 ， 解得 x=0 ， y=4 3 ， 此时 点 D （ 0 ， 4 ）； 若四边形 ABDC 是平行四边形， 则 AD 与 BC 互相 平分， ∴ -3+x=2+5 ， 0+y=-2+2 3 ， 解得 x=10 ， y=0 3 ， 此时点 D （ 10 ， 0 ）； 若四边形 ADBC 是平行四边形， 则 AB 与 DC 互相 平分， ∴ -3+2=5+x ， 0+ （ -2 ） =2+y 3 ， 解得 x=-6 ， y=-4 3 ， 此时点 D （ -6 ， -4 ） . 故选 ABC. 6. （ -∞ ， 21 姨 ］ ∪ ［ 21 姨 ， +∞ ） 【解析】 根据两点 的距离公式得点 （ 2 ， b ） 到原点的距离 d= （ 2-0 ） 2 + （ b-0 ） 2 姨 ≥5 ， 即 4 +b 2 ≥25 ， ∴b 2 ≥21 ， 解 得 b≤- 21 姨 或 b≥ 21 姨 ， 故 b 的取值范围为 （ -∞ ， - 21 姨 ］ ∪ ［ 21 姨 ， +∞ ） . 7. 0 【解析】 ∵ 点 （ 0 ， 2 ） 是点 （ -2 ， b ） 与点 （ 2 ， 4 ） 的对称中心， ∴2= b+4 2 ， 解得 b=0. 8. （ 1 ， -2 ） （本题是开放题， 只要写出的点的坐标 满足关系 x-y=3 即可） 【解析】 设点 M （ x ， y ）， 由题可 知 （ x-1 ） 2 + （ y-2 ） 2 姨 = （ x-5 ） 2 + （ y+2 ） 2 姨 ， x y O M B C （ A ） （ 0 ， c ） （ b ， 0 ） 变式训练 3 答图 A B C D 图 2 变式训练 2 答图 第 4 题答图 x y O M B A′ （ -3 ， -8 ） （ 2 ， 2 ） A （ -3 ， 8 ） 8 2 -8 -3 2 51 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴x 2 +y 2 -2x-4y+5=x 2 +y 2 -10x+4y+29 ， 化简得 x-y=3. 令 x=1 ， 解得 y=-2 ， 此种情形下点 M （ 1 ， -2 ） . 9. a 2 +c 2 姨 + b 2 +d 2 姨 【解析 】 如图 ， 在 △ABC 中 ， AC+BC>AB ， 当 A ， B ， C 三点共线时 AC+BC=AB. 又 ∵AC= a 2 +c 2 姨 ， BC= b 2 +d 2 姨 ， AB= （ a+b ） 2 + （ c+d ） 2 姨 ， 即 （a+b ） 2 + （ c+d ） 2 姨 ≤ a 2 +c 2 姨 + b 2 +d 2 姨 . 10. 解 ： （ 1 ） ｜AB ｜= 4 2 +2 2 姨 =2 5 姨 ， 中点坐标为 7+3 2 ， 4+2 2 2 % = （ 5 ， 3 ） . （ 2 ） ｜MN ｜= 1 2 +0 2 姨 =1 ， 中点坐标为 3+2 2 ， 1+1 2 2 % = 5 2 ， 2 % 1 . （ 3 ） ｜PQ｜= 8 2 +2 2 姨 =2 17 姨 ， 中点坐标为 6-2 2 ， -4-2 2 2 % = （ 2 ， -3 ） . 提升练习 11. B 【解析】 ∵P （ cos琢 ， sin琢 ）， Q （ cos茁 ， sin茁 ）， ∴｜PQ｜= （ cos琢-cos茁 ） 2 + （ sin琢-sin茁 ） 2 姨 ＝ cos 2 琢+cos 2 茁-2cos琢cos茁+sin 2 琢+sin 2 茁-2sin琢sin茁 姨 ＝ （ cos 2 琢+sin 2 琢 ） + （ cos 2 茁+sin 2 茁 ） -2 （ cos琢cos茁+sin琢sin茁 ） 姨 ＝ 2-2cos （ 琢-茁 ） 姨 . ∵cos （ 琢-茁 ） ∈ ［ -1 ， 1 ］， ∴｜PQ｜∈ ［ 0 ， 2 ］ . 故选 B. 12. D 【解析】 以直角三角形的直角顶点 C 为原点， CB ， CA 边所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐 标系 . 设 B （ a ， 0 ）， A （ 0 ， b ）， 那么 D a 2 ， b 2 2 % ， P a 4 ， b 4 2 % ， 那么 ｜PA｜ 2 +｜PB｜ 2 ｜PC｜ 2 = a 2 16 + 9b 2 16 + 9 16 a 2 + b 2 16 a 2 16 + b 2 16 =10. 故选 D. 13. AC 【解析】 方法一： 设函数 y=f （ x ）的图象上任 意一点 P （ x ， y ）， 点 P 关于点 M 对称且在函数 y=x 2 +1 图 象上的点为 Q （ x 0 ， y 0 ） . 根据中点坐标公式可得 x+x 0 2 =2 ， y+y 0 2 =0 0 * * * * ) * * * * + ， ∴ x 0 =4-x ， y 0 =0-y y ， 由 y 0 = x 2 0 +1 ， ∴-y= （ 4-x ） 2 +1 ， ∴y=-x 2 +8x-17 ， 即 f （ x ） =-x 2 +8x- 17. 根据选项可知 f （ 2 ） =-5 ， f （ 1 ） =-10 ， f （ -1 ） =-26. 故选 AC. 方法二： 可根据选项求出各个选项关于点 M （ 2 ， 0 ） 的对称点， 判断对称点是否在函数 y=x 2 +1 的图象上 . 如 A 选项关于 M （ 2 ， 0 ） 的对称点为 （ 2 ， 5 ）， 这个 点在函数 y=x 2 +1 的图象上， 故 A 正确； 同理经过验证， C 也正确 . 故选 AC. 14. BC 【解析 】 由题 意 知 f （ x ） ≥｜AB ｜ ， 而 ｜AB ｜= 3 2 + （ -1-1 ） 2 姨 = 13 姨 ， ∴ f （ x ） ≥ 13 姨 ， 即函数 f （ x ）的值 域为 ［ 13 姨 ， +∞ ）， 故 C 正确. 由函数的值域知 ， 函数图象不可能为中心对称图 形， 故 A 错误 . ∵f 3 2 - 2 % x = 3 2 - 2 % x 2 +1 姨 + 3 2 -x- 2 % 3 2 +1 姨 = x- 3 2 2 % 2 +1 姨 + x+ 3 2 2 % 2 +1 姨 ， ∴ f 3 2 + 2 % x =f 3 2 - 2 % x ， 即函数关于 x= 3 2 对称， 故 B 正确 . 设 f （ x ） =t ， 则方程 f ［ f （ x ）］ =1+ 10 姨 ， 等价为 f （ t ） =1+ 10 姨 ， 即 t 2 +1 姨 + （ t-3 ） 2 +1 姨 =1+ 10 姨 ， ∴t=0 或 t=3. ∵ 函数 f （ x ） ≥ 13 姨 ， ∴t=0 或 t=3 不成立， ∴ 方程无 解， 故 D 错误 . 故选 BC. 15. 证明 ： 设以 F 为原点 ， AB 所在的直线为 x 轴建立平面 直角坐标系， 如图所示 . 设 A （ -a ， 0 ）， B （ a ， 0 ）， C （ x ， y ）， 则 E x-a 2 ， y 2 2 % ， F （ 0 ， 0 ） . 由于 ｜AC｜ 2 +｜AB｜ 2 =5｜BC｜ 2 ， 则（ x+a ） 2 +y 2 +4a 2 =５ ［（ x-a ） 2 +y 2 ］， 化简得 x 2 +y 2 -3ax=0. 由B B/ E = x-3a 2 ， y 2 2 % ， C B/ F = （ -x ， -y ）， ∴ B B/ E·C B/ F = -x （ x-3a ） 2 - y 2 2 = -x 2 -y 2 +3ax 2 =0 ， 故 BE⊥ CF. * 16. （ 1 ） 证明： 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， C （ x 3 ， y 3 ）， 由已知可得 d （ A ， B ） =｜x 1 -x 2 ｜+｜y 1 -y 2 ｜ ， d （ A ， C ） =｜x 1 - x 3 ｜+｜y 1 -y 3 ｜ ， d （ B ， C ） =｜x 3 -x 2 ｜+｜y 3 -y 2 ｜. ∵x 1 -x 2 = （ x 1 -x 3 ） + （ x 3 -x 2 ）， y 1 -y 2 = （ y 1 -y 3 ） + （ y 3 -y 2 ）， ∴｜x 1 -x 2 ｜=｜ （ x 1 -x 3 ） + （ x 3 -x 2 ） ｜≤｜x 1 -x 3 ｜+｜x 3 -x 2 ｜ ， ｜y 1 -y 2 ｜= ｜ （ y 1 -y 3 ） + （ y 3 -y 2 ） ｜≤｜y 1 -y 3 ｜+｜y 3 -y 2 ｜ ， ∴｜x 1 -x 2 ｜+｜y 1 -y 2 ｜≤ （ ｜x 1 -x 3 ｜+｜y 1 -y 3 ｜ ） + （ ｜x 3 -x 2 ｜+｜y 3 -y 2 ｜ ）， 即 d （ A ， B ） ≤d （ A ， C ） +d （ B ， C ） . （ 2 ） 解： 不妨设 x 1 <x 2 ， y 1 <y 2 ， 由数轴上的结论可 a b c d A B C 第 9 题答图 x y E aF A B C -a 第 15 题答图 52 参 考 答 案 知， 当点 C 的坐标 （ x 3 ， y 3 ） 的取值范围为 x 3 ∈ ［ x 1 ， x 2 ］ 且 y 3 ∈ ［ y 1 ， y 2 ］ 时， （ 1 ） 中的不等式等号成立 . 当点 C 的坐标 （ x 3 ， y 3 ） 的取值范围为 x 3 ∈ （ -∞ ， x 1 ） ∪ （ x 2 ， +∞ ） 或 y 3 ∈ （ -∞ ， y 1 ） ∪ （ y 2 ， +∞ ） 时， 不等式 等号不成立 . 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第 1 课时 倾斜角与斜率 学习手册 变式训练 1 解 ： 如图 ， 直线 l 的 两个临界情形是与 x 轴垂直的直线 和过原点的直线 . 当直线 l 位于这两条直线所夹 的阴影范围时， 直线 l 不经过第二象限 . 当直线 l 垂直于 x 轴时， 倾斜 角为 90° ， 当直线 l 过原点时， 倾斜角为 45° ， ∴ 倾斜角的取值 范围是 ［ 45° ， 90° ］ . 变式训练 2 解： 由题意得 k AB = 1-1 2- （ -1 ） =0 ， ∴ 直线 AB 的倾斜角为 0° ； k BC = 2-1 -2+1 =-1 ， ∴ 直线 BC 的倾斜角为 135°. 变式训练 3 C 【解析】 由题意， k AB = m-1- （ -m ） m-2 = 2m-1 m-2 =tan135°=-1 ， 解得 m=1. 故选 C. 变式训练 4 解： 根据题意作出如 图所示的图形 . 直线 PA 的斜率为 k PA = -2- （ -3 ） 5 2 -2 =2 ， 直线 PB 的斜率为 k PB = -2-2 5 2 -3 =8 ， ∴ 过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点时， 直线 l 的斜率的取值范围是 （ -∞ ， 2 ］ ∪ ［ 8 ， +∞ ） . 变式训练 5 1+ 2 姨 【解析】 若 A ， B ， C 三点共线， 则 k AB =k AC ， ∴ a 2 +a 2-1 = a 3 +a 3-1 ， 得 2 （ a 2 +a ） =a 3 +a. 由 a>0 ， 故上 式化简为 a 2 -2a-1=0 ， 解得 a=1+ 2 姨 . 随堂练习 1. C 【解析】 经过 A （ 2 ， 0 ）， B （ 1 ， 3 姨 ） 两点的直 线的斜率为 k AB = 3 姨 1-2 =- 3 姨 ， 设该直线的倾斜角为 琢 ， 则 tan琢=- 3 姨 . 又 ∵0°≤琢<180° ， ∴琢=120°. 故选 C. 2. - 1 3 【解析】 ∵A （ 2 ， 3 ）， B （ -1 ， 4 ）， 则 k AB = 3-4 2+1 =- 1 3 . 3. 3 姨 3 ， ， 1 1 0 ， 仔 6 '( ∪ 2仔 ３ ， 1 ' 仔 【解析】 ∵k= tan琢 ， 琢∈ 仔 6 ， 仔 4 ，1 ， tan 仔 6 = 3 姨 3 ， tan 仔 4 =1 ， ∴ 3 姨 3 <k≤1 ， ∴ 斜率 k 的取值范围是 3 姨 3 ， ， 1 1 . 当 k∈ - 3 姨 ， 3 姨 3 1 ' 时， 由 k=- 3 姨 时， 琢= 2仔 3 ； 当 k= 3 姨 3 时， 琢= 仔 6 . ∴ 当 k∈ （ - 3 姨 ， 0 ） 时 ， 琢∈ 2仔 3 ， 1 ' 仔 ； 当 k∈ 0 ， 3 姨 3 '( 时， 琢∈ 0 ， 仔 6 '( . 综上， 琢∈ 0 ， 仔 6 '( ∪ 2仔 ３ ， 1 ' 仔 . 4. 1 2 【解析】 ∵A ， B ， C 三点共线， ∴k AB =k BC ， 由 k AB = -4m-3 3- （ -2 ） =- 4m+3 5 ， k BC = m- （ -4m ） 1 2 -3 =-2m ， ∴- 4m+3 5 =-2m ， 解得 m= 1 2 . 5. BD 【解析】 若直线的倾斜角 琢＝ 仔 ２ ， 则直线的斜 率不存在， 故 A 不正确； 若直线的倾斜角为 琢 ， 则 琢∈ ［ 0 ， 仔 ）， 故 B 正确； 举反例， 如取直线的倾斜角 琢 为 仔 3 ， 仔 4 ， 满足 仔 3 > 仔 4 ， 但 tan 仔 3 >tan 仔 4 ， 故 C 不正确； 由倾斜角和斜率的定义可知倾斜角和斜率都是反 映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度， 故 D 正确 . 故选 BD. 练习手册 效果评价 1. C 【解析 】 由已知直线斜率为 -1 ， ∴ 倾斜角为 135°. 故选 C. 2. C 【解析】 ∵ 直线 l 过原点 （ 0 ， 0 ）， 且不过第三 象限， 可知直线与坐标轴重合或经过第二、 四象限， ∴l 的倾斜角 琢 的取值范围为 琢=0° 或 90°≤琢<180° ， x y O A 变式训练 1 答图 x y O B （ 3 ， 2 ） A （ 2 ， -3 ） P 变式训练 4 答图 5 2 ， -2 1 ' 53 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故选 C. 3. A 【解析】 ∵ 直线 PQ 的斜率为 - 3 姨 ， ∴ 直线 PQ 的倾斜角为 120° ， 则所求直线的倾斜角为 60° ， tan60°= 3 姨 . 故选 A. 4. ACD 【解析】 ∵0°≤琢<180° ， 且 tan琢>0 ， 则 琢 为 锐角， 故 A 正确； 虽然直线的斜率为 tan琢 ， 但只有 0°≤琢<180° 时， 琢 才是此直线的倾斜角， 故 B 错误； ∵0°≤琢<180° ， ∴sin琢≥0 ， 故 C 正确； 任意直线都有倾斜角 琢 ， 且 琢≠90° 时 ， 斜率为 tan琢 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 5. C 【解析】 ∵ 三点 A （ m ， 1 ）， B （ 4 ， 2 ）， C （ -4 ， 2m ） 在同一条直线上， 且直线斜率存在， ∴ 2-1 4-m = 2-2m 4- （ -4 ） ， 解得 m=0 或 m=5. 故选 C. 6. B 【解析】 斜率 k＝ f （ 1 ） -f （ 0 ） 1-0 ＝ -1 1 ＝-1. 故选 B. 7. （ -∞ ， - 3 姨 ］ ∪ 3 姨 3 ， + ' ∞ ∞ 【解析】 设直线斜 率为 k ， 当 30°≤兹<90° 时， k=tan兹≥ 3 姨 3 ； 兹=90° ， 斜率不 存在； 当 90°<兹≤120° 时， k=tan兹≤- 3 姨 . 故直线 l 的斜率的取值范围为 （ -∞ ， - 3 姨 ］ ∪ 3 姨 3 ， + ' ∞ ∞ . 8. ［ -1 ， 1 ］ 【解析】 直线 AC 的斜率为 k AC = 4-2 2-0 = 1 ， 直线 BC 的斜率为 k BC = 1-2 1-0 =-1. ∵0埸 ［ 1 ， 2 ］， ∴ 直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ［ -1 ， 1 ］ . 9. 0 ， 仔 4 ∞ 4 ∪ 3仔 4 ， ' 仔 仔 【解析】 直线 xsin琢-y+2=0 的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹=sin琢. ∵-1≤sin琢≤1 ， ∴ 倾斜角 兹 的取值范围是 0 ， 仔 4 ∞ 4 ∪ 3仔 4 ， ' 仔 ∞ . 10. 解： 本题是一道开放性题， 答案不唯一， 只要 点的坐标满足相应的 x ， y 的关系式即可 . （ 1 ） 设直线上不同于点 A 的点为 P （ x ， y ）， 则 y-3 x-2 = 1 ， 解得 y=x+1 ， 可以取 P （ 1 ， 2 ） . （ 2 ） 设直线上不同于点 B 的点为 P （ x ， y ）， 则 y+1 x-2 =-2 ， 解得 y=-2x+3 ， 可以取 P （ 1 ， 1 ） . （ 3 ） 由直线的倾斜角为 90° ， ∴ 直线上所有点的横 坐标相同， 可以取直线上不同于点 C 的点 P （ -3 ， 0 ） . 提升练习 11. D 【解析】 由直线 l 1 ， l 2 的斜率和倾斜角分别为 k 1 ， k 2 和 兹 1 ， 兹 2 ； 当倾斜角均为锐角或均为钝角时， 若 “ k 1 >k 2 ”， 则 “ 兹 1 >兹 2 ”； 若 “ 兹 1 >兹 2 ”， 则 “ k 1 >k 2 ” . 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时 ， 若 “ k 1 >k 2 ”， 则 “ 兹 １ <兹 ２ ”； 若 “ 兹 1 >兹 2 ”， 则 “ k 1 <k 2 ” . 故 “ k 1 >k 2 ” 是 “ 兹 １ >兹 ２ ” 的既不充分也不必要条件 . 故选 D. 12. ABC 【解析】 由 k AB = １+a-a 1-a- （ -1 ） = 1 2-a >0 ， ∴2- a>0 ， 解得 a<2. 故选 ABC. 13. ABD 【解析】 当 兹∈ 0 ， 仔 ２ ∞ 4 时， 直线 l′ 的倾斜 角为 仔 ２ -兹 ， 当 兹∈ 仔 ２ ， ， ' 仔 时， 直线 l′ 的倾斜角为 ３仔 ２ - 兹 ， 当 兹= 仔 ４ 时， 直线 l′ 的倾斜角为 仔 ４ =兹 ， 因此 ABD 均 可能， 只有 C 不可能 . 实际上当直线 l′ 的倾斜角为 仔-兹 时， 直线 l′ 与直线 l 关于与 x 轴垂直的直线对称 . 故选 ABD. 14. 45° 16 【解析 】 由题意可知直线 l 与直线 l 1 ： y=3-x 的倾斜角互补， ∴ 直线 l 的斜率为 1 ， 故倾斜角为 45°. 如图， 由直线 l 过点 P （ -1 ， 4 ）， ∴ 三角形的高为 4 ， 底边长为 2× ［ 3- （ -1 ）］ =8 ， ∴ 三角形的面积为 1 2 ×8×4=16. 15. 1 2 -2 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标 系 ， 则正方形 OABC 中 ， 对角线 OB 所在直线的斜率 为 3. 设 OB 所在直线的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹=3. 由正方形性质可知 ， 直线 OA 的倾斜角为 兹-45° ， 直线 OC 的倾斜角为 兹+45° ， 故 k OA =tan （ 兹-45° ） = tan兹-tan45° 1+tan兹tan45° = 3-1 1+3 = 1 2 ， k OC =tan （ 兹+45° ） = tan兹+tan45° 1-tan兹tan45° = 3+1 1-3 =-2. x y O 3 3 l y=3-x x y O A B C 第 14 题答图 第 15 题答图 P （ -1 ， 4 ） 54 参 考 答 案 * 16. 解： 如图所示， 设 E （ 1 ， a ） . ∵ 点 E 是线段 AC 的中点 ， ∴ 1= -4+x C 2 ， a= 4+y C 2 2 # # # # " # # # # $ ， 则 C （ 6 ， 2a-4 ） . ∵AD⊥DC ， ∴A A' D·D A' C = （ 9 ， 3 ）·（ 1 ， 2a-11 ） =9+3 （ 2a- 11 ） =0 ， 解得 a=4 ， ∴C （ 6 ， 4 ） . ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ A A' B = D A' C ， 即 （ x B +4 ， y B - 4 ） = （ 6-5 ， 4-7 ） = （ 1 ， -3 ）， ∴ x B =-3 ， y B =1 1 ， ∴B 点坐标为 （ -3 ， 1 ） . ∵ 点 P 在边 BC 上运动， ∴ y x =k OP . 由题图可知， k OP ≥k OC 或 k OP ≤k OB ， 则 y x ≥k OC = 2 3 或 y x ≤k OB =- 1 3 ， 即 y x 的取值范围为 -∞ ， - 1 3 3, ∪ 2 3 ， + . ∞ ∞ . 第 2 课时 方向向量与法向量 学习手册 变式训练 1 解： ∵ 直线 l 的倾斜角为 30° ， ∴ 斜率 k= 3 姨 3 ， ∴ 它的一个方向向量的坐标为 1 ， 3 姨 3 , . ， 或者它的一个方向向量的坐标还可以写成 （ cos30° ， sin30° ） = 3 姨 2 ， 1 2 , . . 变式训练 2 解： 由题可知， 点 P （ 6 ， 4 ） 关于 x 轴的对 称点 P′ （ 6 ， -4 ） 在反射光线所在的直线上， 又 ∵ 点 Q （ 2 ， 0 ） 也在反射光线所在的直线上， ∴ 反射光线所在直线的一个方向向量P′ A' Q = （ 2-6 ， 0+ 4 ） = （ -4 ， 4 ）， ∴ 反射光线所在直线的一个法向量 n= （ 4 ， 4 ） . 随堂练习 1. B 【解析】 ∵ 直线的方向向量为 （ -2 ， 2 3 姨 ） = -2 （ 1 ， - 3 姨 ）， ∴ 直线斜率 k=- 3 姨 ， 则倾斜角为 120°. 故选 B. 2. A 【解析】 ∵ 直线 l 的一个法向量为 （ -1 ， 3 姨 ）， ∴ 直线 l 的斜率 k= 3 姨 3 ， ∴ 倾斜角 琢=30°. 故选 A. 3. B 【解析】 由直线 l 的一个方向向量为 （ -1 ， 2 ）， ∴ 它的一个方向向量的坐标为 （ 2 ， 1 ） . 4. 1 2 ， 3 姨 2 , . （由于方向向量不唯一， 答案也不 唯一， 只需要和给出的答案是平行的即可） 【解析】 ∵ 倾斜角 琢=60° ， ∴ 直线 l 的一个方向向量 为 （ cos琢 ， sin琢 ） = 1 2 ， 3 姨 2 , . . 5. （ 1 ， -2 ） 【解析】 ∵ 直线 l 的一个法向量为 n= （ 2 ， 1 ）， 根据直线的方向向量和法向量的关系可知直线 l 的一个方向向量 a= （ 1 ， -2 ） . 6. 解 ： ∵ A A' B = （ -1-1 ， 0-2 ） = （ -2 ， -2 ） ， A A' C = （ -2- 1 ， 3-2 ） = （ -3 ， 1 ）， 且 （ -2 ） ×1≠ （ -2 ） × （ -3 ）， ∴ A A' B ， A A' C 不平行， ∴A ， B ， C 三点不在同一条直线上 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 设直线 l 的倾斜角为 兹 ， 兹∈ ［ 0° ， 180° ）， 且直线 l 的一个方向向量为 （ 1 ， 3 姨 ）， 则 tan兹= 3 姨 ， ∴兹=60°. 故选 B. 2. D 【解析】 由于直线 AB 的倾斜角为 3仔 4 ， 则该直 线的斜率为 tan 3仔 4 =-1. 由直线 l 的一个方向向量为 a= （ 2 ， 4+2y ）， ∴ 斜率 k= 4+2y ２ =y+2=-1 ， 解得 y=-3. 故选 D. 3. A 【解析】 根据题意， 直线 l 的一个方向向量 a= （ 2 ， -4 ）， ∴ 直线 l 的斜率 k= -4 ２ =-2. 故选 A. 4. AD 【解析】 ∵ 直线 l ： y=xtan琢+b ， 其中 琢≠k仔+ 仔 ２ ， k∈Z ， ∴l 的斜率是 tan琢 ， 故 A 正确； l 的倾斜角 兹 满足 tan兹=tan琢 ， 但不一定有 兹=琢 ， 故 B 错误； l 的方向向量为 （ 1 ， tan琢 ）， ∵1×cos琢≠sin琢tan琢 ， 故 C 错误； l 的法向量为 （ tan琢 ， -1 ） ， ∵-1×sin琢=-cos琢tan琢 ， 故 D 正确 . 故选 AD. 5. BC 【解析】 由题可知， 直线 y=2 与 x 轴平行， ∴ 此直线的法向量应与 x 轴垂直， ∴BC 正确 . 故选 BC. 6. BCD 【 解 析 】 由 已 知 ， 直 线 l 的 斜 率 k = t+ 1 t , . 2 - t- 1 t , . 2 -2-2 = 4 -4 =-1 ， ∴ 直线 l 的倾斜角为 135° ， x y O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 E A B C D P 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 第 16 题答图 55 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故 D 正确； 直线 l 的一个方向向量为 M !" N = 2- （ -2 ）， t- 1 t $ 2 - t+ 1 t & 2 t & = （ 4 ， -4 ） ， 故 B 正确； 由 4×4+4× （ -4 ） =0 ， ∴ 向量 （ 4 ， 4 ） 与直线 l 垂直， 故 C 正确 . 故选 BCD. 7. （ 3 ， -2 ） （ 2 ， 3 ） （答案不唯一） 【解 析 】 直 线 y =- 2 3 x - 5 3 的 一 个 方 向 向 量 是 1 ， - 2 3 t & ， 即 （ 3 ， -2 ）， ∴ 一个法向量是 （ 2 ， 3 ） . 8. -2 【解析】 由已知可得 m= 2-0 0-1 =-2. 9. 3 【解析】 由 AB 所在直线的方向向量A !" B = （m+2 ， -5 ）， AC 所在直线的方向向量A !" C = （ 6 ， -6 ） . ∵A ， B ， C 三点共线， ∴-6 （ m+2 ） =-30 ， 解得 m=3. 10. 解： （ 1 ） 把 A（1 ， 0 ） 代入直线 l 的方程， 得 a 2 - 2a+1=0 ， 解得 a=1 ， 此时直线 l 的方程为 3x-y-3=0 ， 故 直线 l 的一个方向向量为 （1 ， 3 ） . （ 2 ） ∵a≠0 ， ∴ 直线 l 的斜率 k= a 2 -2a+4 a =a+ 4 a -2 ， ∴ 当 a>0 时， k=a+ 4 a -2≥2 a · 4 a 姨 -2=2 ， 当且仅当 a=2 时等号成立； 当 a<0 时， k=- （ -a ） + - 4 a t $a + -2≤-2 （ -a ）· - 4 a t & 姨 -2=-6 ， 当且仅当 a=-2 时等号成立 . 综上所述， 斜率 k∈ （ -∞ ， -6 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ） . 提升练习 11. C 【解析】 由题可知直线方程为 x=- 3 姨 ， 这是 一条垂直于 x 轴的直线， 故方向向量也垂直于 x 轴， 只 有 C 选项的向量是满足题意的， 故选 C. 12. A 【解析 】 设 l 的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹= 3 姨 ， ∴兹=60°. 设直线 m 的倾斜角为 琢 ， 由题意知 琢=兹-45°=60°-45°. cos琢 =cos （60° -45° ） =cos60° cos45° +sin60° sin45° = 6 姨 + 2 姨 4 ， sin琢 =sin （60° -45° ） =sin60° cos45° -cos60° sin45° = 6 姨 - 2 姨 4 ， ∴ 直 线 m 的 一 个 方 向 向 量 为 （ cos琢 ， sin琢 ） = 6 姨 + 2 姨 4 ， 6 姨 - 2 姨 4 t $ . 故选 A. 13. ①③ 【解析】 由题可知， 直线的一个方向向量 为 （ cos135° ， sin135° ） = - 2 姨 2 ， 2 姨 2 t $ ， ②④ 的向量 均与此向量平行， ∴ 它们都是直线的方向向量， 而 ①③ 的向量与 - 2 姨 2 ， 2 姨 2 t $ 不平行， ∴①③ 不是直线的 方向向量 . 14. （ -2 ， -3 ） 【解析】 设点 P （ x 1 ， y 1 ） （ x 1 ≠1 ）， 则 y 1 =x 2 1 +2x 1 -3. ∵A （ 1 ， 0 ）， ∴k PA = y 1 -0 x 1 -1 = x 2 1 +2x 1 -3 x 1 -1 =x 1 +3. 又 ∵ 直线 PA 的一个方向向量为 （ 1 ， 1 ）， ∴k PA =1 ， ∴x 1 +3=1 ， 即 x 1 =-2. 当 x 1 =-2 时， y 1 =-3 ， ∴ 点 P 的坐标为 （ -2 ， -3 ） . 15. 2 3 姨 -3 （ 1 ， - 3 姨 ） （答案不唯一） 【解析】 设直线 AB 的倾斜角为 琢 ， 则直线 AC 的倾 斜角为 2琢 ， tan琢= 3 姨 -0 2-1 = 3 姨 ， 且 0°≤琢<180° ， ∴琢=60° ， 2琢＝120° ， ∴k AC = 2m m-1 =tan120°=- 3 姨 ， 得 m=2 3 姨 -3 ， 直线 AC 的一个方向向量为 （ 1 ， - 3 姨 ） . 16. 解： 设点 A （ a ， a 2 ）， B （ b ， b 2 ）， C （ c ， c 2 ）， 则 k AB = a 2 -b 2 a-b =a+b ， k BC = b 2 -c 2 b-c =b+c ， k AC = a 2 -c 2 a-c =a+c. 不妨设直线 AB 的方向向量为 （ 1 ， 2 姨 ）， 则 k AB = 2 姨 ， 且直线 AB 的倾斜角为 琢. ∵△ABC 是等边三角形， ∴k BC =tan 琢+ 仔 3 t $ ， k AC =tan 琢- 仔 3 t $ ， ∴a+b+c= 1 2 （ k AB +k BC +k AC ） = 1 2 2 姨 +tan 琢+ 仔 3 t $ +tan 琢- 仔 3 t $t $ = 2 姨 2 + 1 2 · tan琢+tan 仔 3 1-tan琢tan 仔 3 + 1 2 · tan琢-tan 仔 3 1+tan琢tan 仔 3 =- 3 2 姨 10 . 2.2.2 直线的方程 第 1 课时 直线方程的点斜式与斜截式 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 由直线的点斜式方程可知直线方 程为 y-5=4 （ x-2 ）， 整理得 y=4x-3. （ 2 ） 由直线的倾斜角为 90° ， ∴ 直线的斜率不存在， ∴ 直线方程为 x=-1. （ 3 ） 由直线与 x 轴平行， ∴ 直线的斜率为 0 ， ∴ 直 线方程为 y=4. 变式训练 2 （ -3 ， 1 ） 【解析】 直线方程 mx+2y+3m- 56