1.2.5 空间中的距离-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 已知平面 α 的一个法向量 n＝ （ -2 ， -2 ， 1 ）， 点 A （ -1 ， 3 ， 0 ） 在 α 内， 则 P （ -2 ， 1 ， 4 ） 到 α 的距离为 （ ） A. 10 B. 3 C. 8 3 D. 10 3 2. 已知平面 α 的一个法向量 n＝ （ -2 ， -2 ， 1 ）， 点 A （ x ， 3 ， 0 ） 在平面 α 内， 则点 P （ -2 ， 1 ， 4 ） 到平面 α 的距离为 10 3 ， 则 x＝ （ ） A. -1 B. -11 C. -1 或 -11 D. -21 3. 若正四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的底面边长为 1 ， AB 1 与底面 ABCD 成 60° 角， 则 A 1 C 1 到底面 ABCD 的距离为 （ ） A. 3 姨 3 B. 1 C. 2 姨 D. 3 姨 4. 在 Rt△ABC 中， ∠C＝30° ， ∠B＝90° . D 是 BC 边的中点 ， 1.2.5 空间中的距离 13 AC＝2 ， DE⊥ 平面 ABC ， DE＝1 ， 则点 E 到斜边 AC 的距离 是 . 5. 三棱柱 A 1 B 1 C 1 鄄ABC 是各条棱长均为 a 的正三棱柱， D 是侧 棱 CC 1 的中点 . （ 1 ） 求证： 平面 AB 1 D⊥ 平面 ABB 1 A 1 ； （ 2 ） 求点 C 到平面 AB 1 D 的距离 . 14 参 考 答 案 从而球心 O 的表面积为 4π x 2 +x 2 + （ 3-x ） 2 姨 2 2 # 2 ＝3π ［（ x- 1 ） 2 +2 ］ ≥6π. 四棱锥的体积为 V＝ 1 3 （ 3-x ） x 2 （ 0＜x＜3 ）， 则 V′＝-x 2 +2x ， 当 0＜x＜2 时， V′＞0 ， 当 2＜x＜3 时， V′＜0 ， ∴V max ＝V （ 2 ）， 此时 AD＝CD＝2 ， PD＝1. 如 图 ， 过 点 D 作 DH⊥PC 于 H ， 连 接 AH ， 则 ∠AHD 为二面角 A鄄PC鄄D 的平面角 . ∵DH＝ 2×1 5 姨 ＝ 2 5 姨 5 ， ∴tan∠AHD＝ AD DH ＝ 5 姨 . 14. 2 3 【解析 】 如 图 ， 连 接 AC ， BD ， 设 AC 与 BD 相交于 E ， 则 BE⊥AC ， DE⊥AC ， ∴∠BED 为 二面角 B鄄AC鄄D 的平面角， 大小等 于 45° ， 且 AC⊥ 平面 BED. 在平面 BED 中， 过 B 作 BO⊥ 平面 ACD ， 则 O 在 DE 上 . ∵ 原正方形的边长为 2 ， ∴S △ACD ＝ 1 2 ×2×2＝2 ， BE＝ 2 姨 ， 则 BO＝1 ， ∴ 四 面体 ABCD 的体积为 1 3 ×2×1＝ 2 3 . * 15. （ 1 ） 证 明 ： 连 接 BG ， ∵BC ∥AD ， AD ⊥ 底 面 AEFB ， ∴BC⊥ 底面 AEFB. 又 ∵AG奂 底面 AEFB ， ∴BC⊥AG. ∵AB ＝AE ， ∴ 四 边 形 ABGE 为菱形， ∴AG⊥BE. 又 ∵BC∩BE＝B ， BE奂 平面 BCE ， BC奂 平面 BCE ， ∴AG⊥ 平面 BCE. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知四边形 ABGE 为菱形 ， AG⊥ BE ， AE＝EG＝BG＝AB＝4. 设 AG∩BE＝O ， ∴OE＝OB＝2 3 姨 ， OA＝OG＝2 ， 以 O 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ -2 ， 0 ， 0 ）， E （ 0 ， -2 3 姨 ， 0 ）， F （ 4 ， 2 3 姨 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 3 姨 ， 4 ）， D （ -2 ， 0 ， 4 ）， ∴ A A, C ＝ （ 2 ， 2 3 姨 ， 4 ）， A A, E ＝ （ 2 ， -2 3 姨 ， 0 ） . 设平面 ACE 的法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 2x+2 3 姨 y+4z=0 ， 2x-2 3 姨 y=0 0 ， 令 y＝1 ， 则 x＝ 3 姨 ， z＝- 3 姨 ， 即平面 ACE 的一个法向量为 n＝ （ 3 姨 ， 1 ， - 3 姨 ）， 易知平面 AEF 的一个法向量为A A, D ＝ （ 0 ， 0 ， 4 ） . 设二面角 C鄄AE鄄F 的大小为 θ ， 由图易知 θ∈ 0 ， π 2 2 2 ， ∴cosθ＝ ｜n ·A A, D ｜ ｜n｜｜A A, D ｜ ＝ 4 3 姨 7 姨 ×4 ＝ 21 姨 7 ， 故二面角 C鄄AE鄄F 的余弦值为 21 姨 7 . 1.2.5 空间中的距离 学习手册 变式训练 1 解： ∵AC⊥AB ， BD⊥AB ， ∴ C A, A·A A, B ＝0 ， B A, D·A A, B ＝0. 又 ∵ 二面角 α鄄AB鄄β 的平面角为 120° ， ∴ 〈C A, A ， B A, D 〉 ＝60° ， ∴|CD| 2 ＝| C A, D | 2 ＝ （C A, A + A A, B + B A, D ） 2 ＝ C A, A 2 + A A, B 2 + B A, D 2 +2 （C A, A·A A, B + C A, A·B A, D + B A, D·A A, B ） ＝3×6 2 +2×6 2 ×cos60°＝144 ， ∴CD＝12. 变式训练 2 解： 建系如例 2 ， 那么AC 1 A, ＝ （ -4 ， 3 ， 1 ）， 设 M 满足A A, M ＝λ AC 1 A, ， 且B A, M·AC 1 A, ＝0 ， 则B A, M ＝ B A, A + A A, M ＝ （ 4 ， 0 ， 0 ） +λ （ -4 ， 3 ， 1 ） ＝ （ 4-4λ ， 3λ ， λ ） . 又 ∵ B A, M·AC 1 A, ＝0 ， ∴ （ 4-4λ ， 3λ ， λ ）·（ -4 ， 3 ， 1 ） ＝0 ， ∴λ＝ 8 13 ， ∴ B A, M ＝ 4- 8×4 13 ， 8×3 13 ， 8 13 2 2 ＝ 20 13 ， 24 13 ， 8 13 2 2 ， ∴| B A, M |＝ 20 13 2 2 2 + 24 13 2 2 2 + 8 13 2 2 2 姨 ＝ 4 65 姨 13 ， ∴ 点 B 到直线 AC 1 的距离为 4 65 姨 13 . 变式训练 3 解： 建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 N （ 0 ， 2 ， 0 ）， S （ 0 ， 0 ， 2 ）， D （ -1 ， 4 ， 0 ）， ∴ N A, S ＝ （ 0 ， -2 ， 2 ） ， S A, D ＝ （ -1 ， 4 ， -2 ） . 设平面 SND 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， 1 ）， ∴ n ·N A, S ＝0 ， n ·S A, D ＝0 ， 0 ∴ -2y+2=0 ， -x+4y-2=0 0 ， ∴ x=2 ， y=1 0 ， ∴n＝ （ 2 ， 1 ， 1 ） . ∵ A A, S ＝ （ 0 ， 0 ， 2 ） . 第 13 题答图 第 14 题答图 z y x E G O F A B C D 第 15 题答图 H A B C D P E O A B C D B′ z y x M N （ A ） B C D S O 变式训练 3 答图 43 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 点 A 到平面 SND 的距离 d＝ ｜n ·A !" S ｜ ｜n｜ ＝ 2 6 姨 = 6 姨 3 . 变式训练 4 解： 以 D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标 系 ， 则 A 1 （ 1 ， 0 ， 1 ）， B （ 1 ， 1 ， 0 ）， D 1 （ 0 ， 0 ， 1 ）， A 1 !" B ＝ （ 0 ， 1 ， -1 ）， A 1 !" D ＝ （ -1 ， 0 ， -1 ）， A 1 D 1 !" ＝ （ -1 ， 0 ， 0 ） . 设平面 A 1 BD 的一个法向量 为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·A 1 !" B =0 ， n ·A 1 !" D = = 0 圯 y-z=0 ， -x-z=0 = ， 令 z＝1 ， 得 y＝1 ， x＝-1 ， ∴n＝ （ -1 ， 1 ， 1 ） . ∴ 点 D 1 到 平面 A 1 BD 的距离 d＝ ｜A 1 D 1 !" ·n｜ ｜n｜ ＝ 1 3 姨 ＝ 3 姨 3 . ∵ 平面 A 1 BD 与平面 B 1 CD 1 间的距离等于点 D 1 到平面 A 1 BD 的距离， ∴ 平面 A 1 BD 与平面 B 1 CD 1 间的距离为 3 姨 3 . 随堂练习 1.D 【解析】 A !" P ＝ （ -1 ， -2 ， 4 ）， d＝ ｜A !" P·n｜ ｜n｜ ＝ 10 3 . 故选 D. 2. C 【解析 】 P !" A ＝ （ x+2 ， 2 ， -4 ）， 而 d＝ ｜P !" A·n｜ ｜n｜ ＝ 10 3 ， 即 ｜-2 （ x+2 ） -4-4｜ 4+4+1 姨 ＝ 10 3 ， 解得 x＝-1 或 -11. 故选 C. 3. D 【解析】 如图， A 1 C 1 ∥ 平面 ABCD ， ∴A 1 C 1 到平面 ABCD 的距离 等于点 A 1 到平面 ABCD 的距离， 由 AB 1 与平面 ABCD 所成的角是 60° ， AB＝1 ， ∴BB 1 ＝ 3 姨 ， 即点 A 1 到平面 ABCD 的距离为 3 姨 . 故选 D. 4. 19 姨 4 【解析】 作 DH⊥AC 于点 H ， 连接 EH （图 略 ） . ∵DE⊥ 平 面 ABC ， ∴DE ⊥AC. ∵DE ∩DH ＝D ， ∴AC⊥ 平面 DEH ， ∴EH⊥AC ， ∴EH 即为所求距离 . 由 ∠B＝90° ， ∠C＝30° ， AC＝2 ， 得 BC＝ 3 姨 . ∵D 是 BC 边上 的中点， ∴DH＝ 1 2 CD＝ 1 4 BC＝ 3 姨 4 . 又 ∵DE＝1 ， ∴EH＝ DE 2 +DH 2 姨 ＝ 19 姨 4 . 5. 解 ： 如图所示 ， 以 B 为原 点 ， 过点 B 与 BC 垂直的直线为 x 轴 ， BC 所在直线为 y 轴 ， BB 1 所 在直线为 z 轴 ， 建立空间直角坐 标 系 ， 则 A 3 姨 2 a ， a 2 ， ， + 0 ， A 1 3 姨 2 a ， a 2 ， ， + a ， B 1 （ 0 ， 0 ， a ） ， D 0 ， a ， a 2 ， + ， C （ 0 ， a ， 0 ） . （ 1 ） 证明： 取 AB 1 中点 M ， 则 M 3 姨 4 a ， a 4 ， a 2 ， + . ∴ D !" M ＝ 3 姨 4 a ， - 3 4 a ， ， + 0 ， AA 1 !" ＝ （ 0 ， 0 ， a ）， AB 1 !" ＝ - 3 姨 2 a ， - a 2 ， ， + a . ∴ D !" M·AA 1 !" ＝0 ， D !" M·AB 1 !" ＝0. ∴DM⊥AA 1 ， DM⊥AB 1 . 又 ∵AA 1 ∩AB 1 ＝A ， ∴DM⊥ 平面 ABB 1 A. 又 ∵DM奂 平面 AB 1 D ， ∴ 平面 AB 1 D⊥ 平面 ABB 1 A 1 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 A 1 B⊥DM. ∵ A 1 !" B·AB 1 !" ＝ - 3 姨 2 a ， - a 2 ， - ， + a · - 3 姨 2 a ， - a 2 ， ， + a ＝ 3 4 a 2 + a 2 4 -a 2 ＝0 ， ∴A 1 B⊥AB 1 ， ∴A 1 B⊥ 平面 AB 1 D. ∴ A 1 !" B 是平面 AB 1 D 的一个法向量， 故点 C 到平面 AB 1 D 的距离 d＝ ｜A !" C·A 1 !" B ｜ ｜A 1 !" B ｜ ＝ - 3 姨 2 a ， a 2 ， ， + 0 · - 3 姨 2 a ， - a 2 ， - ， + a 2 姨 a ＝ 2 姨 4 a. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 过 A ， B 分别作 x 轴的垂线， 垂足分别 为 A′ ， B′ （图略）， 则 | AA !" ′ |＝3 ， | BB !" ′ |＝2 ， | A′B !" ′ |＝5. 又 ∵ A !" B ＝ AA !" ′ + A′B !" ′ + B′ !" B ， ∴| A !" B | 2 ＝3 2 +5 2 +2 2 +2×3×2× 1 2 ＝44 ， 即 | A !" B |＝2 11 姨 . 故选 B. 2. A 【解析】 P !" A ＝ （ -2 ， 0 ， -1 ）， | P !" A |＝ 5 姨 ， ｜P !" A· n｜ ｜n｜ ＝ 2 姨 2 ， 则点 P 到直线 l 的距离 d＝ ｜ P !" A ｜ 2 - P !" A· n ｜n｜ 2 姨 ＝ 5- 1 2 姨 ＝ 3 2 姨 2 . 故选 A. 3. B 【解析】 建立如图所示 的坐标系， A （ 2 ， 0 ， 0 ）， D 1 （ 0 ， 0 ， 2 ）， C （ 0 ， 4 ， 0 ）， E （ 2 ， 2 ， 0 ）， 则AD 1 !" ＝ （ -2 ， 0 ， 2 ）， CD 1 !" ＝ （ 0 ， -4 ， 2 ）， ED 1 !" ＝ （ -2 ， -2 ， 2 ） . A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D 第 3 题答图 y z x A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D 变式训练 4 答图 y z x M A B C D A 1 B 1 C 1 第 5 题答图 A B C D x y z A 1 B 1 C 1 D 1 E 第 3 题答图 44 参 考 答 案 设平面 ACD 1 的法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·AD 1 1" =0 ， n ·CD 1 1" =0 0 ， ∴ -2x+2z=0 ， -4y+2z=0 0 . 令 y＝1 ， 则 z＝2 ， x＝2 ， ∴n＝ （ 2 ， 1 ， 2 ）， ∴d＝ ｜ED 1 1" · n｜ ｜n｜ ＝ ｜2｜ 2 2 +1 2 +2 2 姨 ＝ 2 3 . 故 选 B. 4. D 【解析 】 由正方体的性 质， 易得平面 AB 1 D 1 ∥ 平面 BDC 1 ， 则两平面间的距离可转化为点 B 到平面 AB 1 D 1 的距离 . 以 D 为坐标 原点， DA ， DC ， DD 1 所在的直线 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 则 A （ a ， 0 ， 0 ）， B （ a ， a ， 0 ）， A 1 （ a ， 0 ， a ）， C （ 0 ， a ， 0 ）， CA 1 1" ＝ （ a ， -a ， a ）， B 1" A ＝ （ 0 ， -a ， 0 ）， 连接 A 1 C ， 由 A 1 C⊥ 平 面 AB 1 D 1 ， 得平面 AB 1 D 1 的一个法向量为 n＝ （ 1 ， -1 ， 1 ）， 则两平面间的距离 d＝ ｜B 1" A· n｜ ｜n｜ ＝ a 3 姨 ＝ 3 姨 3 a. 故 选 D. 5. B 【解析 】 如图所示 ， 建 立空间直角坐标系 B鄄xyz ， 易得 E 2 3 a ， 0 ， 2 3 3 ) a ， F 1 3 a ， 1 3 a ， 3 ， a ， 故E 1" F ＝ - 1 3 a ， 1 3 a ， 1 3 3 ， a ， B 1" A ＝ （ a ， 0 ， 0 ） ， BC 1 1" ＝ （ 0 ， a ， a ） . 设 n＝ （ x ， y ， z ） 是平面 ABC 1 D 1 的一个法向量， 由 n ·B 1" A =0 ， n ·BC 1 1" = 0 0 圯 ax=0 ， ay+ax=0 0 ， 令 z＝1 ， 得 n＝ （ 0 ， -1 ， 1 ） . ∵ E 1" F· n＝ - 1 3 a ， 1 3 a ， 1 3 3 ， a ·（ 0 ， -1 ， 1 ） ＝0 ， ∴ E 1" F ⊥n ， 故 EF∥ 平面 ABC 1 D 1 . 又 ∵ B 1" E ＝ 2 3 a ， 0 ， 2 3 3 ， a ， ∴ B 1" E· n＝ 2 3 a ， 0 ， 2 3 3 ， a ·（ 0 ， -1 ， 1 ） ＝ 2 3 a， ∴d＝ ｜B 1" E· n｜ ｜n｜ ＝ 2 姨 3 a. 故选 B. 6. 2 6 姨 【解析】 设A 1" B ＝a ， A 1" D ＝b ， AA 1 1" ＝c ， 易得 AC 1 1" ＝a+b+c ， 则 | AC 1 1" | 2 ＝ AC 1 1" ·AC 1 1" ＝ （ a+b+c ）·（ a+b+c ） ＝a 2 + 2a · b+2a · c+2b · c+b 2 +c 2 ＝4+4+4+4+4+4＝24 ， ∴| AC 1 1" |＝2 6 姨 . 7. 5 6 【解析】 建立如图所示 的空间直角坐标系， 则A 1" P ＝ 3 4 （ 1 ， 0 ， 0 ） + 1 2 （ 0 ， 1 ， 0 ） + 2 3 （ 0 ， 0 ， 1 ） ＝ 3 4 ， 1 2 ， 2 3 3 ， ， A 1" B ＝ （ 1 ， 0 ， 0 ）， A 1" P· A 1" B ｜A 1" B ｜ ＝ 3 4 ， ∴ 点 P 到 AB 的距离为 d＝ ｜A 1" P ｜ 2 - A 1" P· A 1" B ｜A 1" B ｜ 2 姨 ｜ 1 P ｜ 2 - 1 P 1 B ｜ 1 B ｜ 2 ＝ 181 144 - 9 16 姨 ＝ 5 6 . 8. 21 姨 7 【解析】 建立如图所 示的空间直角坐标系， 则 A 3 姨 2 ， 1 2 ， 3 ， 0 ， B （ 0 ， 1 ， 0 ）， B 1 （ 0 ， 1 ， 1 ）， C 1 （ 0 ， 0 ， 1 ）， 则 C 1 1" A ＝ 3 姨 2 ， 1 2 ， - 3 ， 1 ， C 1 B 1 1" ＝ （ 0 ， 1 ， 0 ）， C 1 1" B ＝ （ 0 ， 1 ， -1 ） . 设平面 ABC 1 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， 1 ）， 则有 C 1 1" A· n= 3 姨 2 x+ 1 2 y-1=0 ， C 1 1" B· n=y-1=0 0 0 0 0 0 / 0 0 0 0 1 ， 解得 n＝ 3 姨 3 ， 1 ， 3 ， 1 ， 则所求距离为 C 1 B 1 1" · n ｜n｜ ＝ 1 1 3 +1+1 姨 ＝ 21 姨 7 . 9. 解 ： （ 1 ） 如图 ， 以 A 1 为原点， A 1 B 1 ， A 1 D 1 ， A 1 A 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立空间直角坐标系， B （ 1 ， 0 ， 1 ） ， D （ 0 ， 2 ， 1 ）， F （ 1 ， 1 ， 1 ）， E （ 0 ， 1 ， 0 ）， C 1 （ 1 ， 2 ， 0 ） . 设 P （ a ， b ， 1 ）， B 1" P ＝λ B 1" D ， λ∈ ［ 0 ， 1 ］， E 1" D ＝ （ 0 ， 1 ， 1 ）， EC 1 1" ＝ （ 1 ， 1 ， 0 ）， B 1" D ＝ （ -1 ， 2 ， 0 ）， 则B 1" P ＝ （ a-1 ， b ， 0 ） ＝ （ -λ ， 2λ ， 0 ）， ∴P （ 1-λ ， 2λ ， 1 ）， P 1" F ＝ （ λ ， 1-2λ ， 0 ） . 设平面 DEC 1 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·E 1" D =y+z=0 ， n ·EC 1 1" =x+y=0 0 ， 取 x＝1 ， 得 n＝ （ 1 ， -1 ， 1 ） . y z x A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D 第 4 题答图 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D x y z E F 第 5 题答图 第 7 题答图 y z x A B C D E G H F P z y x A B C A 1 B 1 C 1 第 8 题答图 第 9 题答图 F A B C D P z y x A 1 B 1 C 1 D 1 E 45 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∵PF∥ 平面 EC 1 D ， ∴ P P# F· n＝λ-1+2λ＝0 ， 解得 λ＝ 1 3 ， ∴P 2 3 ， 2 3 ， ， % 1 ， ∴BP 的长 | B P# P |＝ 2 3 - ， % 1 2 + 2 3 ， % 2 + （ 1-1 ） 2 姨 ＝ 5 姨 3 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得平面 DEC 1 的一个法向量为 n＝ （ 1 ， -1 ， 1 ）， E P# P ＝ 2 3 ， - 1 ３ ， ， % １ ， ∴ 点 P 到平面 EC 1 D 的距 离 d＝ ｜E P# P· n｜ ｜n｜ ＝ 2 3 姨 ＝ 2 3 姨 3 . 10. 解： （ 1 ） 如图， 延长 FM 交 EA 的延长线于 O ， ∵M 为 AB 中点， AE∥BF ， ∴M 也为 OF 的中点 . 又 ∵AB∥EF ， ∴A 为 OE 的中点， 连接 DF 交 CE 于 N ， 则 DO∥MN. 又 ∵DO埭 平面 EMC ， MN奂 平面 EMC ， ∴DO∥ 平面 EMC. （ 2 ） 如图， 取 AE 的中点 H ， 由题意可知， EF⊥ 平面 DEA ， EF⊥ 平面 CFB ， ∴∠DEA＝∠CFB＝60° ， ∴△DEA 与 △CFB 是全 等的正三角形 . 以 H 为原点建立空间直 角坐标系如图， 设 AM＝t ， 则 D （ 0 ， 0 ， 3 姨 ）， M （ 1 ， t ， 0 ）， E （ -1 ， 0 ， 0 ）， C （ 0 ， 4 ， 3 姨 ）， F （ -1 ， 4 ， 0 ）， ∴ Ｃ P# Ｅ ＝ （ -1 ， -4 ， - 3 姨 ）， Ｍ P# Ｆ ＝ （ -2 ， 4-t ， 0 ） . ∵CE⊥MF ， ∴ Ｃ P# Ｅ·Ｍ P# Ｆ ＝2-16+4t＝0 ， 解得 t＝ 7 2 ， ∴AM 的长度为 7 2 . 过 O 作 OT⊥DE 于 T ， 则由 EF⊥ 平面 DEA ， 得 OT⊥ 平面 CDEF ， 即 OT 为点 O 到平面 CDEF 的距离 . ∵ OA OE ＝ AM EF ， ∴ OA OA+2 ＝ 7 2 4 ， ∴OA ＝14 ， OE ＝16 ， ∴OT＝OE · sin 仔 3 ＝16× 3 姨 2 ＝8 3 姨 ， ∴ 点 O 到平面 CDEF 的距离为 8 3 姨 . 提升练习 * 11. C 【解析】 建立如图所示的 空间直角坐标系 ， 则 A （ 1 ， 0 ， 0 ）， B （ 1 ， 1 ， 0 ） ， C （ 0 ， 1 ， 0 ） ， C 1 （ 0 ， 1 ， 2 ） . 根据题意 ， 可设点 P 的坐标为 （ 0 ， λ ， 2λ ）， λ∈ ［ 0 ， 1 ］， 点 Q 的坐 标为 （ 1-μ ， μ ， 0 ）， μ∈ ［ 0 ， 1 ］， 则 PQ＝ （ 1-μ ） 2 + （ μ-λ ） ２ +４λ ２ 姨 ＝ 2 μ 2 +5λ 2 -2λμ-2μ+1 姨 ＝ 5 λ- 1 2 ， % μ 2 + ５ 9 μ- ５ 9 ， % + ４ 9 姨 ， 当且仅当 λ＝ 1 9 ， μ＝ ５ 9 时， 线段 PQ 的长度取得最 小值 2 3 . 故选 C. * 12. AC 【解析】 ∵CF⊥ 平面 B 1 DF ， ∴CF⊥DF. 在矩形 ACC 1 A 1 中， 设 AF＝m. CD 2 ＝DF 2 +CF 2 ＝CC 2 1 +DC 2 1 ＝10a 2 ， ① CF 2 ＝4a 2 +m 2 ， DF 2 ＝ （ 3a-m ） 2 +a 2 ， ② 联立 ①② 得 m＝a 或 m＝2a ， 则 AF 的长度为 a 或 2a. 故选 AC. 13. 2 姨 6 姨 4 【解析 】 如 图， 以 D 为原点， D P# A ， D P# C ， DD 1 P# 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直 角坐标系， 则 A 1 （ 1 ， 0 ， 2 ）， A （ 1 ， 0 ， 0 ）， E （ 0 ， 3 姨 ， 1 ）， 过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 F ， 易得 BF＝ 3 姨 ， ∴B （ 1 ， 2 3 姨 ， 0 ）， ∴ A P# B ＝ （ 0 ， 2 3 姨 ， 0 ）， B P# E ＝ （ -1 ， - 3 姨 ， 1 ） . 设平面 ABE 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则由 n·A P# B =0 ， n·B P# E =0 0 ， 得 2 3 姨 y=0 ， -x- 3 姨 y+z＝0 0 ， ∴y＝0 ， x＝z ， 不妨取 n＝ （ 1 ， 0 ， 1 ） . ∵ AA 1 P# ＝ （ 0 ， 0 ， 2 ）， ∴AB 1 到平面 ABE 的距离 d＝ ｜AA 1 P# · n｜ ｜n｜ ＝ 2 2 姨 ＝ 2 姨 . 又 ∵B 1 （ 1 ， 2 3 姨 ， 2 ）， ∴ BB 1 P# ＝ （ 0 ， 0 ， 2 ）， C P# B ＝ （ 1 ， 3 姨 ， 0 ） . 设平面 BCE 的一个法向量为 n＝ （ x′ ， y′ ， z′ ）， 易得 x′＝- 3 姨 y′ ， z′＝0 ， 取 n 1 ＝ （ 3 姨 ， -1 ， 0 ）， n 1 与 n 所成 的角为 θ ， 则 cosθ＝ ｜n · n 1 ｜ ｜n｜｜n 1 ｜ ＝ 3 姨 2 姨 ×2 ＝ 6 姨 4 . 14. 2 姨 【解析 】 由已知 ， 得 AB ， AD ， AP 两两垂直 ， ∴ 以 A 为 坐标原点 ， AB ， AD ， AP 所在的直 线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 则 A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， B （ 2 ， 0 ， 0 ） ， C （ 2 ， 2 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 2 ）， P P# B ＝ （ 2 ， z y x E M N H O F A B C D T 第 10 题答图 z y x Q A B C D P A 1 B 1 C 1 D 1 第 11 题答图 z y x A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F 第 13 题答图 z y x A B C D P 第 14 题答图 46 参 考 答 案 0 ， -2 ）， B !" C ＝ （ 0 ， 2 ， 0 ）， 设平面 PBC 的一个法向量为 n＝ （ a ， b ， c ）， 则 n ·P !" B =0 ， n ·B !" C =0 0 ， 即 2a-2c=0 ， 2b=0 0 ， 令 a=1 ， ∴n＝ （ 1 ， 0 ， 1 ） . 又 ∵ A !" B ＝ （ 2 ， 0 ， 0 ）， AD∥ 平面 PBC ， ∴ 所求距离为 ｜A !" B·n｜ ｜n｜ ＝ 2 姨 . 15. 方法一： （ 1 ） 证明： 如图 1 ， 连接 B 1 C ， ME ， ∵M ， E 分别是 BB 1 ， BC 的中点， ∴ME∥B 1 C ， 且 ME＝ 1 2 B 1 C. 又 ∵N 为 A 1 D 的中点， ∴ND＝ 1 2 A 1 D. 由题设知 A 1 B 1 ∥ = DC ， ∴B 1 C ∥ = A 1 D ， ∴ME ∥ = ND ， ∴ 四边形 MNDE 是平行四边形， ∴MN∥ED. 又 ∵MN埭 平面 C 1 DE ， ∴MN∥ 平面 C 1 DE. （ 2 ） 解： 如图 1 ， 过 C 作 C 1 E 的垂线， 垂足为 H ， 由已知可得 DE⊥BC ， DE⊥C 1 C ， ∴DE⊥ 平面 C 1 CE ， 故 DE⊥CH ， ∴CH⊥ 平面 C 1 DE ， 故 CH 的长即为 C 到平面 C 1 DE 的距离 . 由已知可得 CE＝1 ， CC 1 ＝4 ， ∴C 1 E＝ 17 姨 ， 故 CH＝ 4 17 姨 17 ， ∴ 点 C 到平面 C 1 DE 的距离为 4 17 姨 17 . 方法二 ： （ 1 ） 证明： 如图 2 ， ∵ 直四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 是菱形， AA 1 ＝4 ， AB＝2 ， ∠BAD＝60° ， E ， M ， N 分 别 是 BC ， BB 1 ， A 1 D 的中点， ∴DD 1 ⊥ 平面 ABCD ， DE⊥AD. 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DE 为 y 轴， DD 1 为 z 轴 ， 建立空间直 角坐标系， M （ 1 ， 3 姨 ， 2 ）， N （ 1 ， 0 ， 2 ）， D （ 0 ， 0 ， 0 ）， E （ 0 ， 3 姨 ， 0 ）， C 1 （ -1 ， 3 姨 ， 4 ）， M !" N ＝ （ 0 ， - 3 姨 ， 0 ）， DC 1 !" ＝ （ -1 ， 3 姨 ， 4 ）， D !" E ＝ （ 0 ， 3 姨 ， 0 ） . 设平面 C 1 DE 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·DC 1 !" =-x+ 3 姨 y+4z=0 ， n ·D !" E = 3 姨 y=0 0 ， 取 z＝1 ， 得 n＝ （ 4 ， 0 ， 1 ） . ∵ M !" N· n＝0 ， MN埭 平面 C 1 DE ， ∴MN∥ 平面 C 1 DE. （ 2 ） 解： C （ -1 ， 3 姨 ， 0 ）， D !" C ＝ （ -1 ， 3 姨 ， 0 ）， 平面 C 1 DE 的一个法向量为 n＝ （ 4 ， 0 ， 1 ）， ∴ 点 C 到平面 C 1 DE 的距离 d＝ ｜D !" C· n｜ ｜n｜ ＝ 4 17 姨 ＝ 4 17 姨 17 . 阶段性练习卷 （三） 1. A 【解析 】 如图所示 ， 过 A 1 作 A 1 M⊥CD 交 CD 于 M ， 易知 A 1 P 与 直 线 D 1 C 1 所 成 的 角 茁 = ∠A 1 PM ， sin茁= AM A 1 P ； AA 1 垂直底 面 ABCD ， 故 A 1 P 与平面 ABCD 所 成的角为 琢＝∠A 1 PA ， sin琢= AA 1 A 1 P ； AM>AA 1 ， 琢 ， 茁∈ 0 ， 仔 2 2 1 ， 故 茁>琢 ； 根据图象知， 二面角 D 1 鄄AC鄄B 为 酌∈ 仔 2 ， ， 4 仔 ， 故 琢<茁<酌. 故选 A. 2. A 【解 析 】 ∵D ， E 分 别 为 AB ， AC 的 中 点 ， ∴DE∥BC ， ∴DE⊥BD ， DE⊥A 1 D. 又 ∵BD ， A 1 D奂 平面 A 1 BD ， BD∩A 1 D=D ， ∴DE⊥ 平面 A 1 BD. ∵ 二面角 A 1 鄄DE鄄B 的平面角为 ∠A 1 DB ， ∴∠A 1 DB= 60°. ∵A 1 D=BD=2 ， ∴A 1 B=2. ∵BC∥DE ， ∴BC⊥ 平面 A 1 BD. 又 ∵A 1 B奂 平面 A 1 BD ， ∴BC⊥A 1 B ， ∴A 1 C= A 1 B 2 +BC 2 姨 = 4+4 姨 =2 2 姨 ， 故选 A. 3. B 【解析】 如图所示， 过点 A 作 AE⊥l ， 使 BE⊥茁 ， 垂足为 E ， 过点 A 作 AF∥CD ， 过点 E 作 EF⊥ AE ， 连接 BF ， ∵AE⊥l ， ∴∠EAC= 90°. ∵CD∥AF ， 且 ∠ACD=135° ， ∴ ∠FAC=45° ， ∴∠EAF=45° . 在 Rt△BEA 中 ， 设 AE=a ， 则 AB=2a ， BE= 3 姨 a ， 在 Rt△AEF 中， 则 EF=a ， AF= 2 姨 a ， 在 Rt△BEF 中， 则 BF=2a ， ∴ 异面直线 AB 与 CD 所成的角， 即是 ∠BAF ， ∴cos∠BAF= AB 2 +AF 2 -BF 2 2AB · AF = （ 2a ） 2 + （ 2 姨 a ） 2 - （ 2a ） 2 2×2a× 2 姨 a = 2 姨 4 ， 故选 B. 4. C 【解析】 ∵ 点 A （ 2 ， 3 ， 2 ） 关于 xOz 平面的对 称点为 A′ ， ∴A′ （ 2 ， -3 ， 2 ） . ∵ 点 B （ -2 ， 1 ， 4 ） 关于 y 轴的对称点为 B′ ， ∴B′ （ 2 ， 1 ， -4 ） . z y x D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 E M N 图 2 第 15 题答图 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 E M N H 图 1 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D M P 第 1 题答图 琢 茁 E F A B C D l 第 3 题答图 47