1.2.4 二面角-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 在三棱锥 A鄄BCD 中， 平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分 别为 n 1 · n 2 ， 若 〈 n 1 ， n 2 〉 ＝ π 3 ， 则二面角 A鄄BD鄄C 的大小 为 （ ） A. π 3 B. 2π 3 C. π 3 或 2π 3 D. π 6 或 π 3 2. 已知 △ABC 和 △BCD 均为边长为 a 的等边三角形， 且 AD＝ 3 姨 2 a ， 则二面角 A鄄BC鄄D 的大小为 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 如图所示， 在正四棱锥 P鄄ABCD 中， 若 △PAC 的面积与正 四棱锥的侧面面积之和的比为 6 姨 ∶ 8 ， 则侧面与底面所成 的二面角为 （ ） A. π 12 B. π 4 C. π 6 D. π 3 1.2.4 二面角 A B C D P 第 3 题图 11 4. 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E 为 BB 1 的中点 ， 则平面 A 1 ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 . 5. 在三棱锥 P鄄ABC 中 ， PA＝PB＝PC＝ 73 姨 ， AB＝10 ， BC＝8 ， CA＝6 ， 求二面角 P鄄AC鄄B 的大小 . 12 参 考 答 案 1 -sin 2 兹 ∈ 2 3 ， 7 9 " # ， 由 于 兹 ∈ 0 ， 仔 2 " 2 ， ∴cos兹 = 1-sin 2 兹 姨 ∈ 6 姨 3 ， 7 姨 3 3 2 . 13. 解： 以 D 为坐标原点， 以 DA ， DC ， DD 1 所在直线分 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系 . 根据题意可设 A （ a ， 0 ， 0 ）， B （ a ， b ， 0 ） ， D 1 （ 0 ， 0 ， c ） ， P （ 0 ， y ， z ）， C （ 0 ， b ， 0 ）， 则 M 1 2 a ， b ， ， ( 0 . 又 ∵PM∥ 平面 BB 1 D 1 D ， 根据空间向量基 本定理知 ， 必存在实数对 （ m ， n ）， 使得P P+ M =m D P+ B + n DD 1 P+ ， 即 1 2 a ， b-y ， - ， ( z = （ ma ， mb ， nc ）， 即 1 2 a=ma ， b-y=mb ， -z=nc c . . . . . - . . . . . / ， 解得 m= 1 2 ， y= 1 2 b ， z=-nc ， n∈R c . . . . . . - . . . . . . / ， 则点 P 的坐标为 0 ， b 2 ， -n ， ( c ， ∴ 点 P 在平面 DCC 1 D 1 的边 DC 的垂直平分线 EF 上 . 14. （ 1 ） 解： 如图， 由已 知 AD∥BC ， 故 ∠DAP 或其补 角即为异面直线 AP 与 BC 所 成的角 . ∵AD⊥ 平面 PDC ， ∴AD⊥ PD. 在 Rt△PDA 中， 由已知， 得 AP= AD 2 +PD 2 姨 = 5 姨 ， 故 cos∠DAP= AD AP = 5 姨 5 ， ∴ 异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 5 姨 5 . （ 2 ） 证明： ∵AD⊥ 平面 PDC ， 直线 PD奂 平面 PDC ， ∴AD⊥PD. 又 ∵BC∥AD ， ∴PD⊥BC. 又 ∵PD⊥PB ， BC∩ PB=B ， ∴PD⊥ 平面 PBC. （ 3 ） 解： 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F ， 连接 PF ， 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所 成的角 . ∵PD⊥ 平面 PBC ， 故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的 射影， ∴∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 . 由于 AD∥BC ， DF∥AB ， 故 BF=AD=1 ， 由已知 ， 得 CF=BC-BF=2. 又 ∵AD⊥DC ， 故 BC⊥DC. 在 Rt△DCF 中， 可得 DF= CD 2 +CF 2 姨 =2 5 姨 ， 在 Rt△DPF 中， 可得 sin∠DFP= PD DF = 5 姨 5 . ∴ 直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 姨 5 . 1.2.4 二面角 学习手册 变式训练 1 1 3 【解析 】 如图 ， 过 A 作 AO⊥BD ， 交 BD 于 O ， 连接 PO ， ∵ 矩形 ABCD 的两边 AB＝3 ， AD＝4 ， PA⊥ 平面 ABCD ， 且 PA＝ 4 5 ， ∴BD＝ 3 2 +4 2 姨 ＝5 ， PO⊥BD ， ∴∠POA 是二面 角 A鄄BD鄄P 的平面角 . ∵ 1 2 BD · AO＝ 1 2 AB · AD ， ∴AO＝ AB · AD BD ＝ 12 5 ， ∴tan∠POA＝ PA AO ＝ 4 5 12 5 ＝ 1 3 . ∴ 二面角 A鄄 BD鄄P 的正切值为 1 3 . 变式训练 2 解： 如图， 建立空 间直角坐标系 . 设棱长为 2 ， 则 A 1 （ 0 ， -1 ， 2 ）， B （ 3 姨 ， 0 ， 0 ） ， C （0 ， 1 ， 0 ）， D（- 3 姨 ， 0 ， 0 ）， ∴B P+ C ＝ （ - 3 姨 ， 1 ， 0 ）， A 1 P+ C ＝ （ 0 ， 2 ， -2 ）， C P+ D ＝ （ - 3 姨 ， -1 ， 0 ） . 设平面 A 1 BC 的一个法向量为 n 1 ＝ （x 1 ， y 1 ， z 1 ）， 则 n 1 ·A 1 P+ C =0 ， n 1 ·B P+ C =0 0 ， 即 2y 1 -2z 1 =0 ， - 3 姨 x 1 +y 1 =0 0 ， 取 x 1 ＝ 3 姨 ， 则 y 1 ＝z 1 ＝3 ， 故 n 1 ＝ （ 3 姨 ， 3 ， 3 ） . 设平面 A 1 CD 的法向量为 n 2 ＝ （x 2 ， y 2 ， z 2 ）， 则 n 2 ·A 1 P+ C =0 ， n 2 ·C P+ D =0 0 ， 即 2y 2 -2z 2 =0 ， - 3 姨 x 2 -y 2 =0 0 ， 取 x 2 ＝ 3 姨 ， 则 y 2 ＝z 2 ＝-3 ， 故 n 2 ＝ （ 3 姨 ， -3 ， -3 ） . ∴cos 〈 n 1 ， n 2 〉 ＝ n 1 · n 2 ｜n 1 ｜｜n 2 ｜ ＝- 15 21 ＝- 5 7 . 由图形可知二面角 B鄄A 1 C鄄D 的大小为钝角， ∴ 二面角 B鄄A 1 C鄄D 的余弦值为 - 5 7 . 变式训练 3 解： 以 A 为坐标原点 建立空间直角坐标系， 如图所示， 设此棱柱的棱长为 1 ， 则 A （ 0 ， 0 ， 0 ）， B 1 （ 1 ， 0 ， 1 ）， E 1 ， 1 2 ， ， ( 0 ， D 1 （ 0 ， 1 ， 1 ）， F 1 2 ， 1 ， ， ( 0 ， A P+ E ＝ 1 ， 1 2 ， ， ( 0 ， AB 1 P+ ＝ （ 1 ， 0 ， 1 ）， A P+ F ＝ 1 2 ， 1 ， ， ( 0 ， AD 1 P+ ＝ （ 0 ， 1 ， 1 ） . A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D x y z P E M F 第 13 题答图 F A B C D P 第 14 题答图 y z x A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D O 1 O 变式训练 2 答图 O A B C D P 变式训练 1 答图 变式训练 3 答图 y z x A 1 B 1 C 1 D 1 E A B C D F 39 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 设平面 AB 1 E 的法向量为 n 1 ＝ （x 1 ， y 1 ， z 1 ）， 则 n 1 ·AB 1 1" =0 ， n 1 ·A 1" E =0 0 ， 即 x 1 +z 1 =0 ， x 1 + 1 2 y 1 =0 0 & & & % & & & ' ， 令 y 1 ＝2 ， 则 x 1 ＝-1 ， z 1 ＝1 ， ∴n 1 ＝ （ -1 ， 2 ， 1 ） . 设平面 AD 1 F 的法向量为 n 2 ＝ （x 2 ， y 2 ， z 2 ）， 则 n 2 ·AD 1 1" =0 ， n 2 ·A 1" F =0 0 ， 即 y 2 +z 2 =0 ， 1 2 x 2 +y 2 =0 0 & & & % & & & ' ， 令 x 2 ＝2 ， 则 y 2 ＝-1 ， z 2 ＝1. ∴n 2 ＝ （ 2 ， -1 ， 1 ） . ∴ 平面 AB 1 E 与平面 AD 1 F 所成锐二面角的余弦值为 ｜n 1 · n 2 ｜ ｜n 1 ｜｜n 2 ｜ = ｜ （ -1 ， ２ ， １ ）·（ 2 ， -1 ， 1 ） ｜ （ -1 ） 2 +2 2 +1 2 姨 × 2 2 + （ -1 ） 2 +1 2 姨 = ｜ （ -1 ） ×2+2× （ -1 ） +1×1｜ 6 姨 × 6 姨 = 1 2 . 变式训练 4 解： （ 1 ） 点 G 的轨迹是直线 MN. 理由如下： 如图 1 ， 分别取 BC 和 CE 的中点 N 和 M ， 连接 DM ， MN ， ND ， 则 MN∥ BE ， 又 ∵MN埭 平面 BEA ， BE奂 平面 BEA ， ∴MN∥ 平面 BEA. 依题意知 △ABE ， △BCE ， △ECD 均为边长为 2 的正三角形， ∴MD⊥CE. 又 ∵ 平面 ECD⊥ 平面 BCE ， 则 MD∥ 平面 BEA ， ∴ 平面 NMD∥ 平面 BEA ， ∴ 点 G 的轨迹是直线 MN. （ 2 ） 如图 2 ， 以点 M 为坐标原 点 ， MB 为 x 轴 ， MC 为 y 轴 ， MD 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 E （ 0 ， -1 ， 0 ）， D （ 0 ， 0 ， 3 姨 ）， A 3 姨 2 ， - 1 2 ， 3 姨姨 0 ， ∴ E 1" A ＝ 3 姨 2 ， 1 2 ， 3 姨姨 姨 ， E 1" D ＝ （ 0 ， 1 ， 3 姨 ） . 设平面 AED 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·E 1" D =y+ 3 姨 z=0 ， n·E 1" A = 3 姨 2 x+ 1 2 y+ 3 姨 z=0 0 & & & & % & & & & ' ， 取 x＝ 3 姨 ， 得 n＝ （ 3 姨 ， 3 ， - 3 姨 ） . 取平面 BCE 的一个法向量 m＝ （ 0 ， 0 ， 1 ）， 则 cos 〈 n ， m 〉 ＝ n · m ｜n｜｜m｜ ＝- 5 姨 5 ， ∴ 平面 AED 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值为 5 姨 5 . 随堂练习 1. C 【解析】 当二面角 A鄄BD鄄C 为锐角时， 其大小为 〈 n 1 ， n 2 〉 ＝ 仔 3 . 当二面角 A鄄BD鄄C 为钝角时， 其大小为 仔- 〈 n 1 ， n 2 〉 ＝仔- 仔 3 ＝ 2仔 3 . 故选 C. 2. C 【解析】 如图 ， 取 BC 的 中点为 E ， 连接 AE ， DE ， 由题意 得 AE⊥BC ， DE⊥BC ， 且 AE＝DE＝ 3 姨 2 a. 又 ∵AD＝ 3 姨 2 a ， ∴∠AED＝ 60° ， 即二面角 A鄄BC鄄D 的大小为 60°. 故选 C. 3. D 【解析】 设正四棱锥的底面边长为 a ， 侧面与 底 面 所 成 的 二 面 角 为 θ ， 高 为 h ， 斜 高 为 h′ ， 则 1 2 × 2 姨 ah ４× 1 2 ah′ ＝ 6 姨 8 ， ∴ h h′ ＝ 3 姨 2 ， ∴sinθ＝ 3 姨 2 ， 即 θ＝ 仔 3 . 故选 D. 4. 2 3 【解析】 建立如图所示 的空间直角坐标系 ， 设正方体 的 棱 长 为 1 ， 则 D （ 0 ， 0 ， 0 ） ， A 1 （ 1 ， 0 ， 1 ） ， E 1 ， 1 ， 1 2 姨 姨 ， ∴DA 1 1" ＝ （ 1 ， 0 ， 1 ）， D 1" E ＝ 1 ， 1 ， 1 2 姨 姨 . 设平面 A 1 ED 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n · DA 1 1" ＝0 ， 且 n ·D 1" E ＝0 ， 即 x+z=0 ， x+y+ 1 2 z=0 0 & & & % & & & ' . 令 x＝1 ， 得 y＝- 1 2 ， z＝-1 ， ∴n＝ 1 ， - 1 2 ， - 姨 姨 1 . 又 ∵ 平面 ABCD 的一个法向量 为DD 1 1" ＝ （ 0 ， 0 ， 1 ）， 则 cos 〈 n ， DD 1 1" 〉 ＝ ｜n ·DD 1 1" ｜ ｜n｜｜ DD 1 1" ｜ ＝ 2 3 . 5. 解： 如图， 在三棱锥 P鄄ABC 中 ， PA ＝PB ＝PC ＝ 73 姨 ， AB ＝10 ， BC＝8 ， CA＝6 ， ∴AC 2 +BC 2 ＝AB 2 ， ∴△ABC 是以 AB 为斜边的直 角三角形， ∴P 在底 △ABC 内的射影 D 是 △ABC 的外心， 即斜边 AB 的中点 D 是 P 在底 △ABC 内的射影 . 作 DE⊥AC ， 交 AC 于点 E ， 连接 PE ， 则 ∠PED 是所求二面角的平面角， 由题意得 DE＝4 ， PE＝8 ， cos∠PED＝ DE PE ＝ 1 2 ， ∴∠PED＝60° ， ∴ 二面角 P鄄AC鄄B 的大小为 60°. E M N A B C D z y x E M N A B C D 图 1 图 2 变式训练 4 答图 E A B C D y z x A 1 B 1 C 1 D 1 E A B C D 第 2 题答图 第 4 题答图 E A B C D P 第 5 题答图 40 参 考 答 案 练习手册 效果评价 1. B 【解析 】 如图 ， 连接 AC ， BD ， 相交于点 O ， ∵AB＝ BC ， ∴OC ⊥BD ， 而 △BCE ≌ △DCE ， ∴BE＝DE ， 则 OE⊥BD ， ∴∠EOC 为二面角 E鄄BD鄄C 的平 面 角 . 设 AB ＝BC ＝2 ， 则 OC ＝ 1 2 AC＝ 2 姨 ， AA 1 ＝2 2 姨 ， 则 CE＝ 1 2 CC 1 ＝ 1 2 AA 1 ＝ 2 姨 ， ∴∠EOC＝ 仔 ４ ， 即二面角 E鄄BD鄄C 的平面角的大小为 仔 4 . 故选 B. 2. A 【解析 】 设 AP＝AB＝ 1 ， 如图， 以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， P （ 0 ， 0 ， 1 ）， D （ 0 ， 1 ， 0 ）， C （ 1 ， 1 ， 0 ）， P P' C ＝ （ 1 ， 1 ， -1 ） ， P P' D ＝ （ 0 ， 1 ， -1 ） . 设平面 PCD 的一个法向量为 m＝ （ x ， y ， z ）， 则 m ·P P' C =x+y-z=0 ， m ·P P' D =y-z=0 0 ， 取 y＝1 ， 得 m＝ （ 0 ， 1 ， 1 ）， 平面 ABP 的一个法向量为 n＝ （ 0 ， 1 ， 0 ） . 设平面 ABP 与平面 CDP 所成的角为 θ ， 则 cosθ＝ ｜m · n｜ ｜m｜｜n｜ ＝ 1 2 姨 ×1 ＝ 2 姨 2 ， ∴θ＝ 仔 ４ . 故选 A. 3. D 【解析】 如图所示， 欲使 得三棱锥体积最大， ∵ 三棱锥底面积一定， ∴ 只需三棱锥的高最大即可， 即当平面 BAC⊥ 平面 DAC 时， 三棱锥体积最大， ∴ 当以 A ， B ， C ， D 四点为顶点的三棱锥体积最 大时， 二面角 B鄄AC鄄D 的大小为 90°. 故选 D. 4. B 【解析 】 取 AB 的 中点 O ， 连接 OC ， OA 1 ， 则 AB⊥OC ， AB⊥OA 1 ， 建系如 图所示 ， 设 OA＝OB＝1 ， 则 OA 1 ＝OC ＝ 3 姨 ， 则 平 面 ABB 1 的法向量为 m＝ （ 1 ， 0 ， 0 ）， B（0 ， 1 ， 0 ）， C（- 3 姨 ， 0 ， 0 ）， A 1 （ 0 ， 0 ， 3 姨 ）， M（0 ， 1 ， 3 姨 ）， B 1 （ 0 ， 2 ， 3 姨 ）， 则B P' C ＝ （ - 3 姨 ， -1 ， 0 ）， BB 1 P' ＝ （ 0 ， 1 ， 3 姨 ） . 设平面 BB 1 C 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·B P' C =0 ， n ·BB 1 P' =0 0 ， ∴ - 3 姨 x-y=0 ， y+ 3 姨 z=0 0 . 令 x＝1 ， 得 n＝ （ 1 ， - 3 姨 ， 1 ）， cos 〈 m ， n 〉 ＝ m · n ｜m｜｜n｜ ＝ 1 5 姨 ＝ 5 姨 5 . 故选 B. 5. A 【解析】 如图， 连接 B′M ， DM ， 得 AC⊥B′M ， AC⊥DM ， ∴∠DMB′ 是二面角 B′ 鄄AC鄄D 的平面角， 且 B′M＝DM＝ 2 姨 2 . 在等腰 △DMB′ 中， MN⊥B′D ， 且 ∠DMN＝ 1 2 ∠DMB′＝ 1 2 θ ， θ∈ 仔 3 ， 2仔 3 3 , ， 则 MN＝DM · cos 1 2 θ∈ 2 姨 ４ ， ６ 姨 ４ 3 , ， ∴ 线段 MN 长度的取值范围为 2 姨 ４ ， ６ 姨 ４ 3 , . 故 选 A. 6. 120° 【解析】 设二面角大小为 θ ， 由题意可知 cos （ 仔-θ ） ＝ 8 2 +5 2 -7 2 ２×8×5 ＝ 64+25-49 80 ＝ 1 2 ， ∴θ＝120°. 7. 90° 【解析】 取 BC 的中点 O ， 连接 PO ， AO （图 略）， 则 ∠POA 就是二面角 P鄄BC鄄A 的平面角 . 又 ∵PO＝ AO＝ 3 姨 ， PA＝ 6 姨 ， ∴∠POA＝90°. 8. 5 姨 【解析】 如图 ， 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴， 建立空间直角 坐标系， B （ 2 ， 2 ， 0 ）， B 1 （ 2 ， 2 ， 2 ）， C （ 0 ， 2 ， 0 ）， M （ 2 ， 1 ， 0 ）， C P' M ＝ （ 2 ， -1 ， 0 ）， CB 1 P' ＝ （ 2 ， 0 ， 2 ） . 设平面 CMB 1 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 m ·C P' M =2x-y=0 ， m ·CB 1 P' =2x+2z=0 0 ， 取 x＝1 ， 得 n＝ （ 1 ， 2 ， -1 ）， 平面 CBM 的一个法向量为 n＝ （ 0 ， 0 ， 1 ） . 设二面角 B 1 鄄CM鄄B 的平面角为 θ ， 则 cosθ＝ ｜m · n｜ ｜m｜｜n｜ ＝ 1 6 姨 · 1 ＝ 1 6 姨 ， ∴tanθ＝ 5 姨 ， ∴ 二面角 B 1 鄄CM鄄B 的正切值为 5 姨 . 9. 解： 如图， 取 VB 的中点为 E ， 连接 AE ， CE. ∵VA＝VB＝VC＝AB ， ABCD 为正方形， ∴AE⊥VB ， CE⊥VB ， z y x A B C D P 第 2 题答图 E O A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 1 题答图 E A B C D 第 3 题答图 第 4 题答图 z y x M OA B C C 1 A 1 B 1 M N B′ A B C D 第 5 题答图 y z x A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D M 第 8 题答图 41 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴∠AEC 是二面角 A鄄VB鄄C 的平面角 . 设 AB ＝a ， 连 接 AC ， 在 △AEC 中 ， AE＝EC＝ 3 姨 2 a ， AC＝ 2 姨 a ， 由 余 弦 定 理 可 知 ， cos ∠AEC ＝ 3 姨 2 2 % a 2 + 3 姨 2 2 % a 2 - （ 2 姨 a ） 2 2× 3 姨 2 a× 3 姨 2 a ＝- 1 3 ， ∴ 所求二面角 A鄄VB鄄C 的余弦值为 - 1 3 . 10. （ 1 ） 证明 ： 在梯形 ABCD 中 ， AD∥BC ， EF∥ AB ， BE＝3 ， ∴AF＝3. 又 ∵AD＝6 ， BC＝4 ， ∴EC＝1 ， FD＝3. 在线段 AF 上取点 Q ， 使 AQ＝QF ， 连接 PQ ， QE ， ∵AP＝ 1 2 PD ， ∴PQ ∥ = 1 3 DF. ∵CE ∥ = 1 3 DF ， ∴CE ∥ = PQ ， ∴ 四边形 ECPQ 为平行四边形， ∴CP∥EQ. ∵CP埭 平面 ABEF ， EQ奂 平面 ABEF ， ∴CP∥ 平面 ABEF. （ 2 ） 解： 在梯形 ABCD 中， AB⊥AD ， AB∥EF ， ∴EF⊥AF ， EF⊥FD. ∵ 平 面 ABEF⊥ 平 面 EFDC ， 平 面 ABEF ∩ 平 面 EFDC ＝EF ， AF奂 平 面 ABEF ， ∴AF⊥ 平面 EFDC. 设 FA＝x （ 0＜x＜4 ）， ∵EF＝AB＝2 ， ∴FD＝6-x ， EC＝4-x ， ∴FC＝ 4+ （ 4-x ） 2 姨 . ∵ 线段 FA ， FC ， FD 的长成等比数列， ∴FC 2 ＝FA · FD ， 即 4+ （ 4-x ） 2 ＝x （ 6-x ）， 化简得 x 2 -7x+10＝0 ， ∴x＝2 或 x＝5 （舍去） . 以点 F 为坐标原点， FE ， FD ， FA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立空间直角坐标系， 如图所示， 则 F （ 0 ， 0 ， 0 ）， E （ 2 ， 0 ， 0 ）， C （ 2 ， 2 ， 0 ）， A （ 0 ， 0 ， 2 ）， ∴ E E, C ＝ （ 0 ， 2 ， 0 ）， E E, A ＝ （ -2 ， 0 ， 2 ） . 设 n 1 ＝ （ x 1 ， y 1 ， z 1 ） 是平面 EAC 的一个法向量， 则 n 1 ·E E, C =0 ， n 1 ·E E, A =0 0 ， 即 2y 1 =0 ， -2x 1 +2z 1 =0 0 ， 取 z 1 ＝1 ， 则 x 1 ＝1 ， y 1 ＝0 ， ∴ 平面 EAC 的一个法向量为 n 1 ＝ （ 1 ， 0 ， 1 ） . 又 ∵ F E, C ＝ （ 2 ， 2 ， 0 ）， F E, A ＝ （ 0 ， 0 ， 2 ）， 设 n 2 ＝ （ x 2 ， y 2 ， z 2 ） 是平面 ACF 的法向量， 则 n 2 ·F E, C =0 ， n 2 ·F E, A =0 0 ， 即 2x 2 +2y 2 =0 ， 2z 2 =0 0 ， 取 x 2 ＝1 ， 则 y 2 ＝-1 ， z 2 ＝0 ， ∴ 平面 ACF 的一个法向量为 n 2 ＝ （ 1 ， -1 ， 0 ）， ∴cos 〈 n 1 ， n 2 〉 ＝ n 1 · n 2 ｜n 1 ｜｜n 2 ｜ ＝ 1 2 姨 × 2 姨 ＝ 1 2 . ∵ 平面 EAC 和平面 ACF 的夹角为锐角 ， ∴ 平面 EAC 和平面 ACF 的夹角为 60°. 提升练习 11. ABCD 【解析】 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E 为线段 AA 1 上的一个动点， F 为线段 B 1 C 1 上的一个动点， 当 F 与 B 1 重合时， 平面 EFB 即为平面 ABB 1 A ， 此时平 面 EFB 与底面 ABCD 所成二面角的平面角为 90° ， 余弦 值为 0 ； 当 E 与 A 重合， F 与 C 1 重合时， 平面 EFB 是平面 ABC 1 D 1 ， 此时平面 EFB 与底面 ABCD 所成的锐二面角的 平面角为 45° ， 余弦值为 2 姨 2 . 综上所述， 平面 EFB 与底面 ABCD 所成的锐二面角 的 平面角 的余 弦 值的 取 值范 围 是 0 ， 2 姨 2 2 / . 故选 ABCD. 12. D 【解析 】 如图所示 ， 连 接 BD ， AC∩BD＝O ， 连接 OF. 以 O 为原点， OB ， OC ， OF 所在直线 分别为 x 轴、 y 轴 、 z 轴建立空间 直角坐标系 O鄄xyz. 设 PA＝AD＝AC＝ 1 ， 则 BD＝ 3 姨 ， ∴B 3 姨 2 ， 0 ， 2 % 0 ， F 0 ， 0 ， 1 2 2 % ， C 0 ， 1 2 ， 2 % 0 ， D - 3 姨 2 ， 0 ， 2 % 0 . 结合图形可知， O E, C ＝ 0 ， 1 2 ， 2 % 0 且O E, C 为平面 BDF 的一个法向量， 由B E, C ＝ - 3 姨 2 ， 1 2 ， 2 % 0 ， F E, B ＝ 3 姨 2 ， 0 ， - 1 2 2 % ， 可求得平面 BCF 的一个法向量为 n＝ （ 1 ， 3 姨 ， 3 姨 ）， ∴cos 〈 n ， O E, C 〉＝ 21 姨 7 ， sin 〈 n ， O E, C 〉＝ 2 7 7 姨 ， ∴tan 〈 n ， O E, C 〉＝ 2 3 3 姨 ， 即二面角 C鄄BF鄄D 的正切 值为 2 3 3 姨 . 故选 D. * 13. 6π 5 姨 【解析】 设 CD＝x （ 0＜x＜3 ）， 则 PD＝ 3-x ， ∵AB⊥ 平面 PAD ， ∴AB⊥PD. 又 ∵PD⊥AC ， ∴PD⊥ 平 面 ABCD ， 则 四 棱 锥 P鄄 ABCD 可补形为一个长方体， 球 O 的球心为 PB 的中点， z y x E Q F A B C D P 第 10 题答图 z y x O F A B C D P 第 12 题答图 第 9 题答图 D A B C V E 42 参 考 答 案 从而球心 O 的表面积为 4π x 2 +x 2 + （ 3-x ） 2 姨 2 2 # 2 ＝3π ［（ x- 1 ） 2 +2 ］ ≥6π. 四棱锥的体积为 V＝ 1 3 （ 3-x ） x 2 （ 0＜x＜3 ）， 则 V′＝-x 2 +2x ， 当 0＜x＜2 时， V′＞0 ， 当 2＜x＜3 时， V′＜0 ， ∴V max ＝V （ 2 ）， 此时 AD＝CD＝2 ， PD＝1. 如 图 ， 过 点 D 作 DH⊥PC 于 H ， 连 接 AH ， 则 ∠AHD 为二面角 A鄄PC鄄D 的平面角 . ∵DH＝ 2×1 5 姨 ＝ 2 5 姨 5 ， ∴tan∠AHD＝ AD DH ＝ 5 姨 . 14. 2 3 【解析 】 如 图 ， 连 接 AC ， BD ， 设 AC 与 BD 相交于 E ， 则 BE⊥AC ， DE⊥AC ， ∴∠BED 为 二面角 B鄄AC鄄D 的平面角， 大小等 于 45° ， 且 AC⊥ 平面 BED. 在平面 BED 中， 过 B 作 BO⊥ 平面 ACD ， 则 O 在 DE 上 . ∵ 原正方形的边长为 2 ， ∴S △ACD ＝ 1 2 ×2×2＝2 ， BE＝ 2 姨 ， 则 BO＝1 ， ∴ 四 面体 ABCD 的体积为 1 3 ×2×1＝ 2 3 . * 15. （ 1 ） 证 明 ： 连 接 BG ， ∵BC ∥AD ， AD ⊥ 底 面 AEFB ， ∴BC⊥ 底面 AEFB. 又 ∵AG奂 底面 AEFB ， ∴BC⊥AG. ∵AB ＝AE ， ∴ 四 边 形 ABGE 为菱形， ∴AG⊥BE. 又 ∵BC∩BE＝B ， BE奂 平面 BCE ， BC奂 平面 BCE ， ∴AG⊥ 平面 BCE. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知四边形 ABGE 为菱形 ， AG⊥ BE ， AE＝EG＝BG＝AB＝4. 设 AG∩BE＝O ， ∴OE＝OB＝2 3 姨 ， OA＝OG＝2 ， 以 O 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 O （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ -2 ， 0 ， 0 ）， E （ 0 ， -2 3 姨 ， 0 ）， F （ 4 ， 2 3 姨 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 3 姨 ， 4 ）， D （ -2 ， 0 ， 4 ）， ∴ A A, C ＝ （ 2 ， 2 3 姨 ， 4 ）， A A, E ＝ （ 2 ， -2 3 姨 ， 0 ） . 设平面 ACE 的法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 2x+2 3 姨 y+4z=0 ， 2x-2 3 姨 y=0 0 ， 令 y＝1 ， 则 x＝ 3 姨 ， z＝- 3 姨 ， 即平面 ACE 的一个法向量为 n＝ （ 3 姨 ， 1 ， - 3 姨 ）， 易知平面 AEF 的一个法向量为A A, D ＝ （ 0 ， 0 ， 4 ） . 设二面角 C鄄AE鄄F 的大小为 θ ， 由图易知 θ∈ 0 ， π 2 2 2 ， ∴cosθ＝ ｜n ·A A, D ｜ ｜n｜｜A A, D ｜ ＝ 4 3 姨 7 姨 ×4 ＝ 21 姨 7 ， 故二面角 C鄄AE鄄F 的余弦值为 21 姨 7 . 1.2.5 空间中的距离 学习手册 变式训练 1 解： ∵AC⊥AB ， BD⊥AB ， ∴ C A, A·A A, B ＝0 ， B A, D·A A, B ＝0. 又 ∵ 二面角 α鄄AB鄄β 的平面角为 120° ， ∴ 〈C A, A ， B A, D 〉 ＝60° ， ∴|CD| 2 ＝| C A, D | 2 ＝ （C A, A + A A, B + B A, D ） 2 ＝ C A, A 2 + A A, B 2 + B A, D 2 +2 （C A, A·A A, B + C A, A·B A, D + B A, D·A A, B ） ＝3×6 2 +2×6 2 ×cos60°＝144 ， ∴CD＝12. 变式训练 2 解： 建系如例 2 ， 那么AC 1 A, ＝ （ -4 ， 3 ， 1 ）， 设 M 满足A A, M ＝λ AC 1 A, ， 且B A, M·AC 1 A, ＝0 ， 则B A, M ＝ B A, A + A A, M ＝ （ 4 ， 0 ， 0 ） +λ （ -4 ， 3 ， 1 ） ＝ （ 4-4λ ， 3λ ， λ ） . 又 ∵ B A, M·AC 1 A, ＝0 ， ∴ （ 4-4λ ， 3λ ， λ ）·（ -4 ， 3 ， 1 ） ＝0 ， ∴λ＝ 8 13 ， ∴ B A, M ＝ 4- 8×4 13 ， 8×3 13 ， 8 13 2 2 ＝ 20 13 ， 24 13 ， 8 13 2 2 ， ∴| B A, M |＝ 20 13 2 2 2 + 24 13 2 2 2 + 8 13 2 2 2 姨 ＝ 4 65 姨 13 ， ∴ 点 B 到直线 AC 1 的距离为 4 65 姨 13 . 变式训练 3 解： 建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 N （ 0 ， 2 ， 0 ）， S （ 0 ， 0 ， 2 ）， D （ -1 ， 4 ， 0 ）， ∴ N A, S ＝ （ 0 ， -2 ， 2 ） ， S A, D ＝ （ -1 ， 4 ， -2 ） . 设平面 SND 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， 1 ）， ∴ n ·N A, S ＝0 ， n ·S A, D ＝0 ， 0 ∴ -2y+2=0 ， -x+4y-2=0 0 ， ∴ x=2 ， y=1 0 ， ∴n＝ （ 2 ， 1 ， 1 ） . ∵ A A, S ＝ （ 0 ， 0 ， 2 ） . 第 13 题答图 第 14 题答图 z y x E G O F A B C D 第 15 题答图 H A B C D P E O A B C D B′ z y x M N （ A ） B C D S O 变式训练 3 答图 43