1.1.2 空间向量基本定理&1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. O ， A ， B ， C 为空间四点， 且向量 O O" A ， O O" B ， O O" C 不能构成 空间的一个基底， 则 （ ） A. O O" A ， O O" B ， O O" C 共线 B. O O" A ， O O" B 共线 C. O O" B ， O O" C 共线 D. O ， A ， B ， C 四点共面 2. 给出下列命题： ① 若 {a ， b ， c} 可以作为空间的一个基底， d 与 c 共线， d≠0 ， 则 {a ， b ， d} 也可作为空间的基底； ② 已知向量 a∥b ， 则 a ， b 与任何向量都不能构成空间的一个基底； ③A ， B ， M ， N 是空间四点， 若 B O" A ， B O" M ， B O" N 不能构成空 间的一个基底， 那么 A ， B ， M ， N 共面； ④ 已知向量组 {a ， b ， c} 是空间的一个基底， 若 m＝a+c ， 则 {a ， b ， m} 也是空间的一个基底 . 其中正确命题的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 从空间一点 P 引出三条射线 PA ， PB ， PC ， 在 PA ， PB ， PC 上分别取 P O" Q ＝a ， P O" R ＝b ， P O" S ＝c ， 点 G 在 PQ 上， 且 PG＝ 1.1.2 空间向量基本定理 3 2GQ ， H 为 RS 的中点， 则 G !" H ＝ （用 a ， b ， c 表示） . 4. 在四面体 O鄄ABC 中， G 1 是 △ABC 的重心， G 是 OG 1 上的一 点， 且 OG＝3GG 1 ， 若 O !" G ＝xO !" A +yO !" B +zO !" C ， 则 2x+4y+2z＝ . 5. 如图所示， 已知平行六面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 ， 设 A !" B ＝a ， A !" D ＝b ， AA 1 !" ＝c ， P 是 CA 1 的中点， M 是 CD 1 的中点 . 用基底 {a ， b ， c} 表示以下向量： （ 1 ） A !" P ； （ 2 ） A !" M . M A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D P 第 5 题图 4 日期： 班级： 姓名： 1. 已知向量 a＝ （ 1 ， 1 ， 0 ） ， b＝ （ -1 ， 0 ， 2 ） ， 则 3a+b 为 （ ） A. （ -2 ， -3 ， -2 ） B. （ 2 ， 3 ， 2 ） C. （ -2 ， 3 ， 2 ） D. （ 4 ， 3 ， 2 ） 2. 在空间直角坐标系中， 点 P （ 1 ， 3 ， -5 ） 关于平面 xOy 对称 的点的坐标是 （ ） A. （ -1 ， 3 ， -5 ） B. （ 1 ， 3 ， 5 ） C. （ 1 ， -3 ， 5 ） D. （ -1 ， -3 ， 5 ） 3. 点 P 6 姨 6 ， 3 姨 3 ， 2 姨 2 2 # 到原点 O 的距离是 （ ） A. 30 姨 6 B. 1 C. 33 姨 6 D. 35 姨 6 4. 已知向量 a＝ （ 1 ， 1 ， 0 ）， b＝ （ -1 ， 0 ， 2 ）， 且 ka+b 与 2a-b 互相垂直， 则 k 的值是 . 5. 已知空间三点 A （ 1 ， 1 ， 1 ）， B （ -1 ， 0 ， 4 ）， C （ 2 ， -2 ， 3 ）， 则 A A% B 与C A% A 的夹角 θ 的大小是 . 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 5 参 考 答 案 ∴cos 〈 a ， b 〉 ＝ a · b ｜a｜｜b｜ ＝ - 3 2 3 ＝- 1 2 ， ∴ 〈 a ， b 〉 ＝120°. 故选 B. 13. -13 【解析】 ∵a+b+c＝0 ， ∴ （ a+b+c ） 2 ＝0 ， ∴a 2 +b 2 +c 2 +2 （ a · b+b · c+c · a ） ＝0 ， ∴a · b+b · c+c · a＝- 3 2 +1 2 +4 2 2 ＝-13. 14. 2 3 姨 【解析】 | A "# B + B "B C |＝| A "B C |＝2 ， E "B F ＝ 1 2 B "B D ， B "B D·B "B C ＝2×2×cos60°＝2 ， 故 | B "B C - E "B F | 2 ＝ B "B C - 1 2 B "B D 2 ＝ B "B C 2 - B "B C·B "B D + 1 4 B "B D 2 ＝4-2+ 1 4 ×4＝3 ， 故 | B "B C - E "B F |＝ 3 姨 . * 15. 解 ： ∵ M "B N ＝ M "B B + B "B C + C "B N ＝ 2 3 A "B B + （A "B C - A "B B） + 1 3 （A "B D - A "B C ） ＝- 1 3 A "B B + 1 3 A "B D + 2 3 A "B C ， ∴ M "B N·M "B N ＝ - 1 3 A "B B + 1 3 A "B D + 2 3 A "B C C ' 2 ＝ 1 9 A "# B 2 - 2 9 A "# D· A "# B + 4 9 A "# C·A "# D - 4 9 A "# B·A "# C + 1 9 A "# D 2 + 4 9 A "# C 2 ＝ 1 9 a 2 - 1 9 a 2 + 2 9 a 2 - 2 9 a 2 + 1 9 a 2 + 4 9 a 2 ＝ 5 9 a 2 ， 故 | M "# N |＝ M "# N·M "# N 姨 ＝ 5 姨 3 a ， 即 | M "# N |＝ 5 姨 3 a. 1.1.2 空间向量基本定理 学习手册 变式训练 1 证明： ∵E ， F ， G ， H 分别是所在三角形的 重心， ∴M ， N ， Q ， R 为所在边的中点 . 顺次连接 M ， N ， Q ， R ， 所得四边形为平行四边形， 且有P "# E ＝ 2 3 P "# M ， P "# F ＝ 2 3 P "# N ， P "# G ＝ 2 3 P "# Q ， P "# H ＝ 2 3 P "# R . ∵ 四边形 MNQR 为平行四边形， ∴ E "# G ＝ P "# G - P "# E ＝ 2 3 P "# Q - 2 3 P "# M ＝ 2 3 M "# Q ＝ 2 3 （M "# N + M "# R） ＝ 2 3 （P "# N - P "# M） + 2 3 （P "# R - P "# M） ＝ 2 3 3 2 P "# F - 3 2 P "# E C E + 2 3 3 2 P "# H - 3 2 P "# E C E ＝ E "# F + E "# H ， ∴ 由共面向量定理得E "# G ， E "# F ， E "# H 共面， ∴E ， F ， G ， H 四点共面 . 变式训练 2 解： C "# E 与M "# N 共线 . ∵M ， N 分别是 AC ， BF 的中点， 而四边形 ABCD 、 四边形 ABEF 都是平行四边形， ∴ M "# N ＝ M "# A + A "# F + F "# N ＝ 1 2 C "# A + A "# F + 1 2 F "# B . 又 ∵ M "# N ＝ M "# C + C "# E + E "# B + B "# N ＝- 1 2 C "# A + C "# E - A "# F - 1 2 F "# B ， ∴ 1 2 C "# A + A "# F + 1 2 F "# B ＝- 1 2 C "# A + C "# E - A "# F - 1 2 F "# B ， ∴ C "# E ＝ C "# A +2 A "# F + F "# B ＝2 （M "# A + A "# F + F "# N） ＝2 M "# N ， ∴ C "# E ∥ M "B N ， 即C "B E 与M "B N 共线 . 变式训练 3 解： A "B M ＝ A "B B + B "B M ＝ A "B B + 1 2 BC "B ′ ＝ A "B B + 1 2 （AC "B ′ - A "B B） ＝b+ 1 2 （ a-b ） ＝ 1 2 a+ 1 2 b. A "B N ＝ AC "B ′ + C′ "B N ＝ AC "B ′ + 1 2 C′B "B ′ ＝ AC "B ′ - 1 2 B′C "B ′ ＝ AC "B ′ - 1 2 （A′C "B ′ - A′B "B ′） ＝a- 1 2 （ c-b ） ＝a+ 1 2 b- 1 2 c. 变式训练 4 解： M "B P ＝ MC "B ′ + C′A "B ′ + A′ "B P ＝ 1 2 BC "B ′ - A′C "B ′ - 1 3 AA "B ′ ＝ 1 2 （BB "B ′ + B "B C） - A "B C - 1 3 AA "B ′ ＝ 1 2 ［AA "B ′ + （A "B C - A "B B）］ - A "B C - 1 3 AA "B ′ ＝ 1 2 （ a+c-b ） -c- 1 3 a ＝ 1 6 a- 1 2 b- 1 2 c. 随堂练习 1. D 【解析】 由O "B A ， O "B B ， O "B C 不能构成基底， 知 O "B A ， O "B B ， O "B C 三向量共面， ∴O ， A ， B ， C 四点共面 . 故选 D. 2. D 【解析】 根据基底的概念， 知空间中任何三个 不共面的向量都可作为空间的一组基底， 否则就不能构 成空间的一组基底， 显然 ② 正确 . 由B "B A ， B "B M ， B "B N 共面 且过相同点 B ， 故 A ， B ， M ， N 共面， 故 ③ 正确 . 假设 d 与 a ， b 共面， 则存在实数 λ ， μ ， 使 d＝λa+μb ， ∵d 与 c 共线， c≠0 ， ∴ 存在实数 k ， 使 d＝kc. ∵d≠0 ， ∴k≠ 0 ， 从而 c＝ λ k a+ μ k b ， ∴c 与 a ， b 共面与条件矛盾， ∴d 与 a ， b 不共面， 故 ① 正确 . 同理可证 ④ 也是正确的 . 故选 D. 3. - 2 3 a+ 1 2 b+ 1 2 c 【解析】 G "B H ＝ P "B H - P "B G ＝ 1 2 （ b+c ） - 2 3 a. 4. 2 【解析】 如图， 由已知 O "B G ＝ 3 4 OG 1 "B ＝ 3 4 （O "B A + AG 1 "B ） ＝ 3 4 O "B A + 1 3 （A "B B + A "B C C , ） ＝ 3 4 O "B A + 1 4 ［（O "B B - O "B A） + （O "B C - O "B A）］ ＝ 1 4 O "B A + 1 4 O "B B + 1 4 O "B C ， ∴x＝y＝z＝ 1 4 ， ∴2x+4y+2z＝2. 5. 解： 如图， 在平行六面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， 连 接 AC ， AD 1 . （ 1 ） A "B P ＝ 1 2 （A "B C + AA 1 "B ） G O G 1 A B C 第 4 题答图 23 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ＝ 1 2 （A !" B + A !" D + AA 1 !" ） ＝ 1 2 （ a+b+c ） . （ 2 ） A !" M ＝ 1 2 （A !" C + AD 1 !" ） ＝ 1 2 a+b+ 1 2 c. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 p＝2a＝m+n ， 即 p 可由 m ， n 线性表示， ∴m ， n ， p 共面 . 故选 D. 2. B 【解析】 ∵ O !" P ＝ 1 3 O !" A + 1 3 O !" B + 1 3 O !" C ， ∴3 O !" P ＝ O !" A + O !" B + O !" C ， ∴ O !" P - O !" A ＝ （O !" B - O !" P） + （O !" C - O !" P ）， ∴ A !" P ＝ P !" B + P !" C ， ∴ P !" A ＝- P !" B - P !" C ， ∴P ， A ， B ， C 共面 . 故选 B. 3. D 【解析】 如图， 由条件 AF＝ 1 2 EF 知， EF＝2AF ， ∴AE＝AF+EF＝3AF ， ∴ A !" F ＝ 1 3 A !" E ＝ 1 3 （AA !" ′ + A′ !" E） ＝ 1 3 AA !" ′ + 1 2 A′C !" ′ ′ $ ＝ 1 3 AA !" ′ + 1 6 （A′D !" ′ + A′B !" ′） ＝ 1 3 AA !" ′ + 1 6 A !" D + 1 6 A !" B . 故选 D. 4. C 【解析】 ∵a＝ 1 2 p+ 1 2 q ， ∴a 与 p ， q 共面 . ∵b＝ 1 2 p- 1 2 q ， ∴b 与 p ， q 共面 . ∵ 不存在 λ ， μ ， 使 c＝λp+ μq ， ∴c 与 p ， q 不共面， 故 {c ， p ， q} 可作为空间的一 组基底， 故选 C. 5. B 【解析】 由 6 O !" P ＝ O !" A +2 O !" B +3 O !" C 得， O !" P - O !" A ＝ 2 （O !" B - O !" P） +3 （O !" C - O !" P ）， 即A !" P ＝2 P !" B +3 P !" C ， ∴ A !" P ， P !" B ， P !" C 共面 . 又 ∵ 它们有同一公共点 P ， ∴P ， A ， B ， C 四点 共面 . 故选 B. 6. 1 -1 【解析】 ∵m 与 n 共线， ∴ 存在实数 λ ， 使 m＝λn ， 即 a-b+c＝λxa+λyb+λc ， 于是有 1=λx ， -1=λy ， 1=λ 姿 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解得 x=1 ， y=-1 1 . 7. x＝y＝z＝0 【解析】 若 x≠0 ， 则 a＝- y x b- z x c ， 即 a 与 b ， c 共面， 由 {a ， b ， c} 是空间的一组基底知 a ， b ， c 不共面， 故 x＝0. 同理 y＝z＝0. 8. - 1 2 a+ 1 2 b-c 【解析】 B 1 !" M ＝ A !" M - AB 1 !" ＝ 1 2 （A !" B + A !" D） - （A !" B + AA 1 !" ） ＝- 1 2 A !" B + 1 2 A !" D - AA 1 !" ＝- 1 2 a+ 1 2 b-c. 9. 解： 连接 AC ， AD′ ， AC′ （图略） . （ 1 ） A !" P ＝ 1 2 （A !" C + AA !" ′） ＝ 1 2 （A !" B + A !" D + AA !" ′） ＝ 1 2 （ a+b+c ） . （ 2 ） A !" M ＝ 1 2 （A !" C + AD !" ′） ＝ 1 2 （A !" B +2 A !" D + AA !" ′） ＝ 1 2 a+b+ 1 2 c. （ 3 ） A !" N ＝ 1 2 （AC !" ′ + AD !" ′） ＝ 1 2 ［（A !" B + A !" D + AA !" ′） + （A !" D + AA !" ′）］ ＝ 1 2 （A !" B +2 A !" D +2 AA !" ′） ＝ 1 2 a+b+c. （ 4 ） A !" Q ＝ A !" C + C !" Q ＝ A !" C + 4 5 （AA !" ′ - A !" C） ＝ 1 5 A !" C + 4 5 AA !" ′ ＝ 1 5 A !" B + 1 5 A !" D + 4 5 AA !" ′ ＝ 1 5 a+ 1 5 b+ 4 5 c. 10. 证明： ∵ O !" A + A !" B ＝ O !" B ， ∴kO !" A +kA !" B ＝kO !" B ， 而 O !" E ＝kO !" A ， O !" F ＝kO !" B ， ∴O !" E +kA !" B ＝k （O !" A+A !" B）＝kO !" B ＝ O !" F . 又 ∵O !" E +E !" F ＝O !" F ， ∴E !" F ＝kA !" B ， 同理E !" H ＝kA !" D ， E !" G ＝kA !" C . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ A !" C ＝ A !" B + A !" D ， ∴ E !" G k ＝ E !" F k + E !" H k ， 即E !" G ＝ E !" F + E !" H . 又 ∵ 它们有同一个 公共点 E ， ∴ 点 E ， F ， G ， H 共面 . 提升练习 11. B 【解析】 如图， O !" G ＝ 1 2 （O !" M + O !" N） ＝ 1 2 O !" M + 1 2 × 1 2 （O !" B + O !" C） ＝ 1 4 O !" A + 1 4 O !" B + 1 4 O !" C ＝ 1 4 （O !" A + O !" B + O !" C） . 故选 B. 12. BCD 【解析】 ∵M ， N 分别是四面体 OABC 的边 OA ， BC 的中点， P ， Q 是 MN 的三等分点 （ Q 靠近点 M ）， ∴ A !" B ＝ O !" B - O !" A ， B !" C ＝ O !" C - O !" B ， ∴ M !" N ＝ M !" A + A !" B + B !" N ＝ 1 2 O !" A + A !" B + 1 2 B !" C ＝ 1 2 O !" A + （O !" B - O !" A） + 1 2 （O !" C - O !" B） ＝- 1 2 O !" A + 1 2 O !" B + 1 2 O !" C ， ∴ O !" Q ＝ O !" M + M !" Q ＝ 1 2 O !" A + 1 3 M !" N ＝ 1 2 O !" A - 1 6 O !" A + 1 6 O !" B + 1 6 O !" C ＝ 1 3 O !" A + 1 6 O !" B + 1 6 O !" C . 故选 BCD. E F A′ B′ C′ D′ A B C D 第 3 题答图 M N G O A B C 第 11 题答图 第 5 题答图 M A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D P 24 参 考 答 案 13. 3a- 5 2 b+3c 不能 【解析】 E !" F ＝ 1 2 （E !" D + E !" B） ＝ 1 4 （A !" D + C !" D） + 1 4 （A !" B + C !" B）＝ 1 4 A !" B+ 1 4 B !" D+ 1 4 C !" D+ 1 4 A !" B+ 1 4 C !" D+ 1 4 D !" B＝ 1 2 （A !" B+C !" D）＝3a- 5 2 b+3c. 假设A !" B ， C !" D ， E !" F 共面 ， 则E !" F ＝λA !" B +μC !" D ＝λa- 2λc+5μa-5μb+8μc＝ （ λ+5μ ） a-5μb+ （ 8μ-2λ ） c＝3a- 5 2 b+3c. ∴ λ+5μ=3 ， -5μ=- 5 2 ， 8μ-2λ=3 3 % % % % % $ % % % % % & ， 解得 λ= 1 2 ， μ= 1 2 3 % % % % 2 % % % % & ， ∴E !" F ， A !" B ， C !" D 共面， ∴ 不能构成一组基底 . 14. 4 3 【解析】 设A !" B ＝a ， A !" D ＝b ， 则A !" C ＝a+b ， A !" E ＝ 1 2 a+b ， A !" F ＝a+ 1 2 b ， ∴λA !" E +μA !" F ＝λ 1 2 a+ + ) b +μ a+ 1 2 + 2 b ＝ 1 2 λ+ + 2 μ a+ λ+ 1 2 + 2 μ b ， ∴a+b＝ 1 2 λ+ + 2 μ a+ λ+ 1 2 + 2 μ b ， ∴ 1 2 λ+μ=1 ， λ+ 1 2 μ=1 3 % % % % 2 % % % % & ， ∴ λ= 2 3 ， μ= 2 3 3 % % % % 2 % % % % & ， ∴λ+μ＝ 4 3 . * 15. 解： 在长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， O 为 AC 的 中点 . （ 1 ） A 1 !" O - 1 2 A !" B - 1 2 A !" D ＝A 1 !" O - 1 2 （A !" B+A !" D） ＝A 1 !" O - 1 2 A !" C ＝A 1 !" O -A !" O ＝A 1 !" O +O !" A ＝A 1 !" A . （ 2 ） ∵E 是棱 DD 1 上的点， 且D !" E ＝ 2 3 DD 1 !" ， ∴O !" E ＝O !" D +D !" E ＝ 1 2 B !" D + 2 3 DD 1 !" ＝ 1 2 （B !" A+B !" C）+ 2 3 AA 1 !" ＝ 1 2 B !" A + 1 2 B !" C + 2 3 AA 1 !" ＝- 1 2 A !" B + 1 2 A !" D + 2 3 AA 1 !" ， ∴E !" O ＝-O !" E ＝ 1 2 A !" B - 1 2 A !" D - 2 3 AA 1 !" . 又 ∵E !" O ＝xA !" B +yA !" D +zAA 1 !" ， ∴x＝ 1 2 ， y＝- 1 2 ， z＝- 2 3 . 阶段性练习卷 （一） 1. A 【解析】 根据空间向量的基本概念知四个命题 都不对 . 故选 A. 2. B 【解析】 由 6O !" P ＝ O !" A +2 O !" B +3 O !" C ， 得（O !" A - O !" P） ＝ 2 （O !" P - O !" B） +3 （O !" P - O !" C ）， 即P !" A ＝2B !" P +3C !" P . 由共面向量定理， 知 P ， A ， B ， C 四点共面 . 故选 B. 3. C 【解析】 A !" B ＝A !" C +C !" D +D !" B ， ∴A !" B·C !" D＝ （A !" C+C !" D+D !" B）·C !" D＝A !" C·C !" D +C !" D 2 +D !" B·C !" D ＝0+1 2 +0＝1. 又 ∵|A !" B |＝2 ， |C !" D |＝1 ， ∴cos 〈A !" B ， C !" D 〉＝ A !" B·C !" D ｜A !" B ｜｜C !" D ｜ ＝ 1 2×1 ＝ 1 2 . ∴a 与 b 所成的角是 60°. 故选 C. 4. C 【解析】 ∵ （ a+b ） + （ a-b ） =2a ， ∴ 向量 a ， a+b ， a-b 是共面向量， 因此这三个向量不能构成基底， 故 A 不符合题意； ∵ （ a+b ） + （ -1 ）（ a-b ） =2b ， ∴ 向量 b ， a+b ， a-b 是共面向量， 因此这三个向量不能构成基底， 故 B 不符合题意； ∵ {a ， b ， c} 为空间的一组基底， ∴ 这三 个向量不共面， 若 c ， a+b ， a-b 不构成一组基底， 则有 c=x （ a+b ） +y （ a-b ） 圯c= （ x+y ） a+ （ x-y ） b ， ∴ 向量 a ， b ， c 是共面向量， 这与这三个向量不共面矛盾， 故假设不正 确， 因此 c ， a+b ， a-b 能构成一组基底， 故 C 符合题 意； ∵2a+b= 3 2 （ a+b ） + 1 2 （ a-b ）， ∴ 向量 a+b ， a-b ， 2a+b 是共面向量， 因此 a+b ， a-b ， 2a+b 不能构成一组基底， 故 D 不符合题意 . 故选 C. 5. C 【解析】 如图， O !" G=O !" M+M !" G =O !" M+ 2 3 M !" N =O !" M+ 2 3 （M !" O+O !" C+C !" N） = 1 3 O !" M+ 2 3 O !" C+ 1 3 （O !" B-O !" C） = 1 6 O !" A+ 1 3 O !" B+ 1 3 O !" C， 故选 C. 6. A 【解析 】 如图所示 ， 连接 AG 1 交 BC 于点 E ， 则 E 为 BC 中点， A !" E= 1 2 （A !" B+A !" C）=- 1 2 （O !" B-2O !" A+O !" C）， AG 1 !" = 2 3 A !" E= 1 3 （O !" B-2O !" A+O !" C）. ∵O !" G=3GG 1 !" =3 （OG 1 !" -O !" G）， ∴OG= 3 4 OG 1 ， 则O !" G= 3 4 OG 1 !" = 3 4 （O !" A+AG 1 !" ） = 3 4 O !" A+ 1 3 O !" B- 2 3 O !" A+ 1 3 O !" C + 2 = 1 4 O !" A+ 1 4 O !" B+ 1 4 O !" C. 故选 A. 7. ACD 【解析】 若向量 a ， b 与空间任意向量都不 能构成基底， 则两个向量只能为共线向量， 即 a∥b ， 故 A 正确； 若非零向量 a ， b ， c 满足 a⊥b ， b⊥c ， 则 a 与 c M N G O A B C G O G 1 A B C E 第 5 题答图 第 6 题答图 25 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 不一定共线， 故 B 错误； 若O !" A， O !" B， O !" C是空间的一组基 底 ， 且O !" D= 1 3 O !" A+ 1 3 O !" B+ 1 3 O !" C， 则O !" D-O !" A= 1 3 （O !" B- O !" A）+ 1 3 （O !" C-O !" A）， 即A !" D= 1 3 A !" B+ 1 3 A !" C， 可得到 A ， B ， C ， D 四点共面， 故 C 正确； 若向量 a+b ， b+c ， c+a 是 空间的一组基底， 则对空间任意一个向量 d ， 存在唯一 实数组 （ x ， y ， z ）， 使 d=x （ a+b ） +y （ b+c ） +z （ c+a ） = （ x+z ） a+ （ x+y ） b+ （ y+z ） c ， 则 a ， b ， c 也是空间的一组基底， 故 D 正确 . 故选 ACD. 8. ABD 【解析】 由于 a ， b ， c 不共面， 易判断 A ， B ， D 中三个向量也不共面， 可以作为一组基向量 . 对于 C ， 有 3 （ 2b+3c ） + （ 3a-9c ） =3 （ a+2b ）， 故这三个向量是共 面的， 不能构成基底 . 故选 ABD. 9. 1 2 a+ 1 4 b+ 1 4 c 【解析】 在四面体 ABCD 中， E ， G 分别是 CD ， BE 的中点， 则A !" G=A !" B+B !" G=A !" B+ 1 2 B !" E=A !" B+ 1 2 × 1 2 （B !" C+B !" D） =A !" B+ 1 4 （A !" C-A !" B+A !" D-A !" B）=A !" B+ 1 4 A !" C+ 1 4 A !" D- 1 2 A !" B = 1 2 A !" B+ 1 4 A !" D+ 1 4 A !" C. 10. BD 1 !" 【解析】 如图， D !" A-D !" B+B 1 !" C-B 1 !" B+A 1 B 1 !" -A 1 !" B ＝ （D !" A-D !" B）+ （B 1 !" C-B 1 !" B）+ （A 1 B 1 !" -A 1 !" B） ＝B !" A+B !" C+BB 1 !" ＝B !" D+BB 1 !" ＝BD 1 !" . 11. 60° 【解析】 不妨设 AB＝BC＝AA 1 ＝1 ， 则E !" F＝B !" F-B !" E＝ 1 2 （BB 1 !" -B !" A）， BC 1 !" ＝B !" C+BB 1 !" ， ∴|E !" F|＝ 1 2 |BB 1 !" -B !" A|＝ 2 姨 2 ， |BC 1 !" |＝ 2 姨 ， E !" F·BC 1 !" ＝ 1 2 （BB 1 !" -B !" A）·（B !" C+BB 1 !" ） ＝ 1 2 ， ∴cos 〈 E !" F ， BC 1 !" 〉 ＝ E !" F·BC 1 !" ｜E !" F｜｜BC 1 !" ｜ ＝ 1 2 2 姨 2 × 2 姨 ＝ 1 2 ， ∴ 〈E !" F， BC 1 !" 〉 ＝60° ， 即异面直线 EF 与 BC 1 的夹角是 60°. 12. 10 姨 5 【解析】 如图所示， 设B !" A=a ， B !" C=b ， BB 1 !" =c ， 则〈 a ， b 〉 =120° ， c⊥a ， c⊥b. ∵AB 1 !" =A !" B+BB 1 !" =-a+c ， BC 1 !" =B !" C+CC 1 !" =b+c ， cos 〈AB 1 !" ， BC 1 !" 〉 = AB 1 !" ·BC 1 !" ｜AB 1 !" ｜｜BC 1 !" ｜ = （ -a+c ）·（ b+c ） 5 姨 × 2 姨 = -a · b-a · c+b · c+c 2 10 姨 = -2×1×cos120°+1 10 姨 = 2 10 姨 = 10 姨 5 . * 13. 解： 设A !" B ＝a ， A !" D ＝b ， AA !" ′＝c ， 则 a · b＝b · c＝c · a＝0 ， |a| 2 ＝a 2 ＝1 ， |b| 2 ＝b 2 ＝1 ， |c| 2 ＝c 2 ＝1. （ 1 ） ∵E !" F ＝E !" D +D !" F ＝- 1 2 c+ 1 2 （ a-b ） ＝ 1 2 （ a-b-c ）， C′ !" G ＝C′ !" C +C !" G ＝-c- 1 4 a ， ∴E !" F·C′ !" G ＝ 1 2 （ a-b-c ）· -c- 1 4 4 ' a ＝ 1 2 - 1 4 a 2 +c 4 c 2 ＝ 3 8 ， |E !" F | 2 ＝ 1 4 （ a-b-c ） 2 ＝ 1 4 （ a 2 +b 2 +c 2 ） ＝ 3 4 ， |C′ !" G | 2 ＝ -c- 1 4 4 c a 2 ＝c 2 + 1 16 a 2 ＝ 17 16 ， ∴|E !" F |＝ 3 姨 2 ， |C′ !" G |＝ 17 姨 4 ， cos 〈 E !" F ， C′ !" G 〉 ＝ E !" F·C′ !" G ｜E !" F ｜｜C′ !" G ｜ ＝ 51 姨 17 ， ∴EF ， C′G 所成角的余弦值为 51 姨 17 . （ 2 ） ∵F !" H ＝F !" B +B !" C +CC !" ′+C′ !" H ＝ 1 2 （ a-b ） +b+c+ 1 2 C′ !" G ＝ 1 2 （ a-b ） +b+c+ 1 2 -c- 1 4 4 c a ＝ 3 8 a+ 1 2 b+ 1 2 c ， ∴|F !" H | 2 ＝ 3 8 a+ 1 2 b+ 1 2 4 c c 2 ＝ 9 64 a 2 + 1 4 b 2 + 1 4 c 2 ＝ 41 64 ， ∴FH 的长为 41 姨 8 . * 14. 证明： （ 1 ） 如图， 设正方 体棱长为 1 ， A !" B =i ， A !" D =j ， AA 1 !" = k ， 则 {i ， j ， k} 构成空间的一个单 位正交基底 . AB 1 !" =A !" B +BB 1 !" =i+k ， G !" E =G !" C +C !" E = 1 2 i+ 1 2 k= 1 2 AB 1 !" ， ∴AB 1 ∥GE. E !" H =EC 1 !" +C 1 !" H = 1 2 k+ - 1 2 4 c （ i+j ） =- 1 2 i- 1 2 j+ 1 2 k. ∵AB 1 !" ·E !" H = （ i+k ）· - 1 2 i- 1 2 j+ 1 2 4 c k =- 1 2 |i| 2 + 1 2 |k| 2 =0 ， ∴AB 1 ⊥EH. （ 2 ） A 1 !" G =A 1 !" A +A !" D +D !" G =-k+j+ 1 2 i ， D !" F =D !" C +C !" F = i- 1 2 j ， D !" E =D !" C +C !" E =i+ 1 2 k ， ∴A 1 !" G·D !" F = -k+j+ 1 2 4 c i · i- 1 2 4 c j =- 1 2 |j | 2 + 1 2 |i | 2 =0 ， ∴A 1 G ⊥DF. A 1 !" G ·D !" E = -k+j+ 1 2 4 c i · i+ 1 2 4 c k =- 1 2 |k | 2 + 1 2 |i | 2 =0 ， ∴A 1 G⊥DE. 又 ∵DE∩DF=D ， ∴A 1 G⊥ 平面 EFD. A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D 第 10 题答图 第 12 题答图 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D E G H F 第 14 题答图 A 1 B 1 C 1 A B C 26 参 考 答 案 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 学习手册 变式训练 1 解： A !" B ＝ （ 2 ， 6 ， -3 ）， A !" C ＝ （ -4 ， 3 ， 1 ）， ∴A !" B -A !" C ＝ （ 6 ， 3 ， -4 ） . （ 1 ） O !" P ＝ 1 2 （A !" B-A !" C）＝ 1 2 （ 6 ， 3 ， -4 ） ＝ ３ ， ３ 2 ， - - $ ２ ， 则点 P 的坐标为 ３ ， ３ 2 ， - - & ２ . （ 2 ） 设点 P 的坐标为 （ x ， y ， z ）， 则A !" P ＝ （ x-2 ， y+ 1 ， z-2 ） . ∵A !" P ＝ 1 2 （A !" B -A !" C ）＝ 3 ， ３ 2 ， - - & ２ ， ∴ x-2=3 ， y+1= ３ 2 ， z-2=-2 2 ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) * . 即 x=5 ， y= 1 2 ， z=0 2 ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) * ， 则点 P 的坐标为 5 ， 1 2 ， - & 0 . 变式训练 2 解： a＝A !" B ＝ （ 1 ， 1 ， 0 ）， b＝A !" C ＝ （ -1 ， 0 ， 2 ） . 设 c＝ （ x ， y ， z ） . 由题意得 x 2 +y 2 +z 2 =9 ， x+y=0 ， -x+2z=0 2 ) ) ) ( ) ) ) * ， 解得 x=2 ， y=-2 ， z= 2 ) ) ) ( ) ) ) * 1 或 x=-2 ， y=2 ， z=-1 2 ) ) ) ( ) ) ) * ， 即 c＝ （ 2 ， -2 ， 1 ） 或 c＝ （ -2 ， 2 ， -1 ） . 变式训练 3 解： ∵a＝A !" B ＝ （ 1 ， 1 ， 0 ）， b＝A !" C ＝ （ -1 ， 0 ， 2 ）， ∴ka-b＝ （ k+1 ， k ， -2 ）， ka+2b＝ （ k-2 ， k ， 4 ） . ∵ （ ka-b ） ⊥ （ ka+2b ）， ∴ （ ka-b ）·（ ka+2b ） ＝0 ， 即（ k+1 ， k ， -2 ）·（ k-2 ， k ， 4 ） ＝ （ k+1 ）（ k-2 ） +k 2 -8＝0 ， 解得 k＝-2 或 k＝ 5 2 . 故所求 k 的值为 -2 或 5 2 . 变式训练 4 解： 如图所示， 分 别以 AB ， AD ， AA 1 所在的直线 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直 角坐标系 . 由题意可知 C （ 3 ， 3 ， 0 ）， D （ 0 ， 3 ， 0 ）， ∵｜DD 1 ｜=｜CC 1 ｜= ｜AA 1 ｜=2 ， ∴C 1 （ 3 ， 3 ， 2 ）， D 1 （ 0 ， 3 ， 2 ）， ∵N 为 CD 1 的中点， ∴N 3 2 ， 3 ， - & 1 . ∵M 是 A 1 C 1 的三等分点且靠近 A 1 点， ∴M （ 1 ， 1 ， 2 ）， ∴ M !" N = 1 2 ， - & 2 . ∴MN=｜ M !" N ｜= 1 2 - & 2 +2 2 姨 = 17 姨 2 . 变式训练 5 解： 如图所示， 以C !" A ， C !" B ， CC 1 !" 为正交基底建立空间直角 坐标系 C鄄xyz. （ 1 ） 依题意得 B （ 0 ， 1 ， 0 ） ， N （ 1 ， 0 ， 1 ）， ∴| B !" N |＝ （ 1-0 ） 2 + （ 0-1 ） 2 + （ 1-0 ） 2 姨 ＝ 3 姨 ， ∴ 线段 BN 的长为 3 姨 . （ 2 ） 依题意得 A 1 （ 1 ， 0 ， 2 ）， C （ 0 ， 0 ， 0 ）， B （ 0 ， 1 ， 0 ）， B 1 （ 0 ， 1 ， 2 ）， ∴ BA 1 !" ＝ （ 1 ， -1 ， 2 ）， CB 1 !" ＝ （ 0 ， 1 ， 2 ）， ∴ BA 1 !" ·CB 1 !" ＝1×0+ （ -1 ） ×1+2×2＝3. 又 ∵| BA 1 !" |＝ 6 姨 ， | CB 1 !" |＝ 5 姨 ， ∴cos 〈BA 1 !" ， CB 1 !" 〉 ＝ BA 1 !" ·CB 1 !" ｜BA 1 !" ｜｜ CB 1 !" ｜ ＝ 30 姨 10 ， 即BA 1 !" 与CB 1 !" 夹角的余弦值为 30 姨 10 . 随堂练习 1. B 【解析】 3a+b＝3 （ 1 ， 1 ， 0 ） + （ -1 ， 0 ， 2 ） ＝ （ 3 ， 3 ， 0 ） + （ -1 ， 0 ， 2 ） ＝ （ 2 ， 3 ， 2 ） . 故选 B. 2. B 【解析】 P （ 1 ， 3 ， -5 ） 关于平面 xOy 对称的点 的坐标为 （ 1 ， 3 ， 5 ） . 故选 B. 3. B 【解析】 PO＝ 6 姨 6 - & 2 + 3 姨 3 - & 2 + 2 姨 2 - & 2 姨 ＝1. 4. 7 5 【解析】 由于 ka+b＝k （ 1 ， 1 ， 0 ） + （ -1 ， 0 ， 2 ） ＝ （ k-1 ， k ， 2 ）， 2a-b＝2 （ 1 ， 1 ， 0 ） - （ -1 ， 0 ， 2 ） ＝ （ 3 ， 2 ， -2 ）， ∵ 两向量互相垂直， 则有（ k-1 ） ×3+k×2+2× （ -2 ） ＝0 ， 解得 k＝ 7 5 . 5. 120° 【解析】 由于A !" B ＝ （ -2 ， -1 ， 3 ）， C !" A ＝ （ -1 ， 3 ， -2 ） ， ∴ A !" B·C !" A ＝ （ -2 ） × （ -1 ） + （ -1 ） ×3 +3 × （ -2 ） ＝-7. 又 ∵ | A !" B |＝ 14 姨 ， | C !" A |＝ 14 姨 ， ∴cosθ＝cos 〈A !" B ， C !" A 〉 ＝ A !" B·C !" A ｜A !" B ｜｜ C !" A ｜ ＝ -7 14 姨 × 14 姨 - 1 2 ， 则 θ＝120°. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 b＝a- （ a-b ） ＝ （ 1 ， -2 ， 1 ） - （ -1 ， 2 ， -1 ） ＝ （ 2 ， -4 ， 2 ） . 故选 A. 2. A 【解析】 由 |MA|＝|MB| ， 得（ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 + （ z-5 ） 2 ＝ （ x+2 ） 2 + （ y-3 ） 2 +z 2 ， 化简得 10x+2y+10z-37＝0 ， 故选 A. 3. C 【解析】 由题意得 a+2b= （ 2+2k ， 5 ）， 且 a-b= （ 2-k ， 2 ） . 又 ∵a+2b 和 a-b 平行， 则 2 （ 2+2k ） -5 （ 2-k ） = 0 ， 解得 k= 2 3 . 故选 C. 4. C 【解析】 由 cos 〈 a ， b 〉 ＝ a · b ｜a｜｜b｜ ＝ 2-姿+4 5+姿 2 姨 · 9 姨 ＝ 8 9 ， 解得 姿＝-2 或 姿＝ 2 55 . 故选 C. 5. B 【解析】 | A !" B |＝ （ 2a-1 ） 2 + （ -7-a ） 2 + （ -2+5 ） 2 姨 ＝ 5a 2 +10a+59 姨 ＝ 5 （ a+1 ） 2 +54 姨 ， 当 a＝-1 时， | A !" B | min ＝ 54 姨 ＝3 6 姨 . 故选 B. 6. 4 【解析】 ∵a∥b ， ∴b＝姿a ， M A B C D x y z N A 1 B 1 C 1 D 1 变式训练 4 答图 A B C x y z N A 1 B 1 C 1 变式训练 5 答图 27 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 姿=-2 ， x姿=4 ， 3姿=y ! # # # " # # # $ ， ∴ 姿=-2 ， x=-2 ， y=-6 ! # # # " # # # $ ， ∴x-y＝4. 7. 2仔 ３ 【解析】 （ 2a+b ）· c＝2a · c+b · c＝-10 ， 又 a · c＝4 ， ∴b · c＝-18. 又 ∵|c|＝3 ， |b|＝12 ， ∴cos 〈 b ， c 〉 ＝ b · c ｜b｜｜c｜ ＝- 1 2 . ∵ 〈 b ， c 〉 ∈ ［ 0 ， 仔 ］， ∴ 〈 b ， c 〉 ＝ 2仔 3 . 8. 6 +2 3 姨 【 解 析 】 如 图 ， S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝ 1 2 ×2×2＝2 ， S △ABC ＝ 3 姨 4 ×|AB | 2 ＝ 3 姨 4 ×8＝2 3 姨 ， 故 三棱锥的表面积 S＝6+2 3 姨 . 9. 解： ∵ O O) A ＝ （ 1 ， 0 ， 0 ）， O O) B ＝ （ 0 ， -1 ， 1 ）， ∴ O O) A + 姿 O O) B ＝ （ 1 ， -姿 ， 姿 ）， ∴ （O O) A +姿 O O) B ）·O O) B ＝姿+姿＝2姿. 又 ∵| O O) A +姿 O O) B |＝ 1+姿 ２ +姿 ２ 姨 ＝ １+２姿 2 姨 ， | O O) B |＝ 2 姨 ， ∴cos120°＝ （O O) A +姿 O O) B ）·O O) B ｜ O O) A +姿 O O) B ｜｜ O O) B ｜ ＝ 2姿 2 姨 · 1+2姿 2 姨 =- 1 2 ， ∴姿 2 ＝ 1 6 . 又 ∵ 2姿 2 姨 · 1+2姿 2 姨 ＜0 ， 即 姿＜0 ， ∴姿＝- 6 姨 6 . 10. 解： （ 1 ） ∵a∥b ， ∴ 存在实数 姿 ， 使 a＝姿b ， ∴ （ 2 ， 4 ， 5 ） ＝姿 （ 3 ， x ， y ）， ∴ 2=3姿 ， 4=姿x ， 5=姿y ! # # # " # # # $ ， ∴ 姿＝ 2 3 ， x=6 ， y= 15 2 ! # # # # # # " # # # # # # $ . （ 2 ） 向量 （ -3 ， -4 ， 5 ） 的模为 （ -3 ） 2 + （ -4 ） 2 +5 2 姨 ＝ 5 2 姨 ， ∴ 与向量 （ -3 ， -4 ， 5 ） 共线的单位向量为 ± 1 5 2 姨 （ -3 ， -4 ， 5 ） ＝± 2 姨 10 （ -3 ， -4 ， 5 ）， 即 3 2 姨 10 ， ， 2 2 姨 5 ， - 2 姨 2 2 和 - 3 2 姨 10 ， - 2 2 姨 5 ， 2 姨 2 ， 2 . 提升练习 11. C 【解析】 A O) B ＝ （ 3 ， 4 ， -8 ）， A O) C ＝ （ 5 ， 1 ， -7 ）， B O) C ＝ （ 2 ， -3 ， 1 ） ， ∴ | A O) B |＝ 3 2 +4 2 +8 2 姨 ＝ 89 姨 ， | A O) C |＝ 5 2 +1 2 +7 2 姨 ＝ 75 姨 ， | B O) C |＝ 2 2 +3 2 +1 2 姨 ＝ 14 姨 ， ∴| A O) C | 2 +| B O) C | 2 ＝ 75+14＝89＝| A O) B | 2 ， ∴△ABC 为直角三角形 . 故选 C. 12. C 【解析】 a+b＝ （ -1 ， -2 ， -3 ） ＝-a ， 故（ a+b ）· c＝ -a · c＝7 ， 得 a · c＝-7 ， 而 |a|＝ 1 2 +2 2 +3 2 姨 ＝ 14 姨 ， ∴cos 〈 a ， c 〉 ＝ a · c ｜a｜｜c｜ ＝- 1 2 ， 〈 a ， c 〉 ＝120°. 故选 C. 13. - 2 3 4 3 ， 4 3 ， 8 3 ， 2 【解析】 设O O) Q ＝姿 O O) P ＝ （ 姿 ， 姿 ， 2姿 ） ， 故 Q （ 姿 ， 姿 ， 2姿 ） ， ∴ Q O) A ＝ （ 1 -姿 ， 2 -姿 ， 3 - 2姿 ）， Q O) B ＝ （ 2-姿 ， 1-姿 ， 2-2姿 ）， ∴ Q O) A·Q O) B ＝6姿 2 -16姿+10＝ 6 姿- 4 3 ， 2 2 - 2 3 ， ∴ Q O) A·Q O) B 的最小值为 - 2 3 ， 此时 姿＝ 4 3 ， Q 点的坐标为 4 3 ， 4 3 ， 8 3 ， 2 . 14. 3 13 ， 4 13 ， 12 13 ， 2 或 - 3 13 ， - 4 13 ， - 12 13 ， 2 【解析】 设 a＝ （ x ， y ， z ）， 由题意有 a ·A O) B =0 ， a ·A O) C =0 ， ｜a｜=1 ! # # # # " # # # # $ ， 代入坐标可解得 x= 3 13 ， y= 4 13 ， z= 12 13 ! # # # # # # # " # # # # # # # $ 或 x=- 3 13 ， y=- 4 13 ， z=- 12 13 ! # # # # # # # " # # # # # # # $ . * 15. 解： 以点 A 为原点， 建立 如图所示的空间直角坐标系 A鄄xyz. 由 题 意 知 A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， C （ 0 ， 2 ， 0 ）， B （ 3 姨 ， 1 ， 0 ）， B 1 （ 3 姨 ， 1 ， 2 ）， M 3 姨 2 ， 3 2 ， ， 2 0 . 又 ∵ 点 N 在 CC 1 上， 可设 N （ 0 ， 2 ， m ） （ 0≤m≤2 ） ， 则 AB 1 O) ＝ （ 3 姨 ， 1 ， 2 ） ， M O) N ＝ - 3 姨 2 ， 1 2 ， ， 2 m ， ∴ | AB 1 O) |＝2 2 姨 ， | M O) N |＝ m 2 +1 姨 ， AB 1 O) ·M O) N ＝2m-1. 如果异面直线 AB 1 和 MN 所夹的角等于 45° ， 那么向量AB 1 O) 和M O) N 的夹角等于 45° 或 135°. 又 ∵cos 〈AB 1 O) ， M O) N 〉 ＝ AB 1 O) ·M O) N ｜AB 1 O) ｜｜ M O) N ｜ ＝ 2m-1 2 2 姨 × m 2 +1 姨 ， ∴ 2m-1 2 2 姨 × m 2 +1 姨 ＝± 2 姨 2 ， 解得 m＝- 3 4 ， 这与 0≤m≤ 2 矛盾， ∴ 在 CC 1 上不存在点 N ， 使得异面直线 AB 1 和 MN 所夹的角等于 45°. 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、 直线与空间向量 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 由已知， 得P O) B ＝2 A O) P ， 即O O) B - O O) P ＝2 （O O) P - O O) A ）， O O) P ＝ 2 3 O O) A + 1 3 O O) B . 设点 P 坐标为 （ x ， y ， z ）， 则上式换用坐标表示， 得 （ x ， y ， z ） ＝ 2 3 （ 2 ， 4 ， 0 ） + 1 3 （ 1 ， 3 ， 3 ）， x y z O A B C 第 8 题答图 M x y z A B C A 1 B 1 C 1 第 15 题答图 28