第2章 平面解析几何 章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 若直线 l 1 ： ax＋2y＋6＝0 与直线 l 2 ： x＋ （ a-1 ） y＋5＝0 垂直， 则实数 a 的值是 （ ） A. 2 3 B. 1 C. 1 2 D. 2 2. 若方程 x 2 ＋y 2 -x＋y-2m＝0 表示一个圆， 则实数 m 的取值范围是 （ ） A. -∞ ， - 1 4 4 " B. 1 4 ， + 4 " ∞ C. - 1 4 ， + 4 " ∞ D. -∞ ， 1 4 4 " 3. 关于椭圆有下面四个命题： 甲： 长 轴长为 4 ； 乙： 短轴长为 3 ； 丙： 离心率为 1 2 ； 丁： 椭圆上的点到焦点的距离最大值为 3. 若只有一个假命题， 则该命题是 （ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 已知两定点 P - 1 2 ， 4 " 0 ， Q （ m ， 0 ） m<- 1 2 4 " ， 动点 M 与 P ， Q 的距离之比 ｜MQ｜ ｜MP｜ =姿 （ 姿>0 且 姿≠1 ）， 那么点 M 的轨迹是阿波 罗尼斯圆， 若其方程为 x 2 +y 2 =4 ， 则 姿+m 的 值为 （ ） A. -8 B. -4 C. 0 D. 4 5. 焦点为 （ 0 ， ±3 ）， 且与双曲线 x 2 2 -y 2 ＝ 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A. x 2 3 - y 2 6 =1 B. y 2 3 - x 2 6 =1 C. y 2 6 - x 2 3 =1 D. x 2 6 - y 2 3 =1 6. 已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 ＝1 （ a＞b＞0 ） 的左 、 右焦点分别为 F 1 ， F 2 ， 过 F 2 的直线与椭圆交 于 A ， B 两点， 若 △F 1 AB 是以 A 为直角顶点 的等腰直角三角形 ， 则椭圆的离心率为 （ ） A. 2 姨 2 B. 2- 3 姨 C. 5 姨 -2 D. 6 姨 - 3 姨 7. 实数 m≠n 且 m 2 sin兹-mcos兹+ π 3 =0 ， n 2 sin兹-ncos兹+ π 3 =0 ， 则连接 （ m ， m 2 ）， （ n ， n 2 ） 两点的直线与圆 C ： x 2 +y 2 =1 的位置关系 是 （ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 8. 已知 A ， B 分别为抛物线 C 1 ： y 2 =4x 与 圆 C 2 ： x 2 +y 2 -4 2 姨 y+7=0 上的动点， 抛物线 的焦点为 F ， P ， Q 为平面内两点， 当 ｜AF ｜+ ｜AB｜ 取到最小值时， 点 A 与 P 重合， 当 ｜AF｜- ｜AB ｜ 取到最大时， 点 A 与 Q 重合， 则直线 PQ 的斜率为 （ ） 第二章章末测试卷 （满分： 150 分钟 时间： 120 分） 第二章章末测试卷 5 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 A. 2 姨 3 B. 1 2 C. 1 D. 2 2 姨 3 二、 多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9. 已知曲线是由半 椭圆 C 1 ： x 2 a 2 + y 2 b 2 ＝1 （ x≥ 0 ） 与半椭圆 C 2 ： x 2 m 2 + y 2 n 2 ＝1 （ x<0 ） 组成 （如图）， 其中 a 2 =b 2 +m 2 ， a>b>m>0. 设点 F 0 ， F 1 ， F 2 是 相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 是曲线 与 x 轴 、 y 轴交点 ， F 1 ， F 2 在曲线 x 2 +y 2 =4 上， 若 ∠F 1 F 0 F 2 =60° ， 则以下命题中正确的 有 （ ） A. 椭圆 C 1 的离心率是 ３ 姨 ３ B. 椭圆 C 1 上的点到点 F 0 的距离的最小 值为 ２ 7 姨 -２ ３ 姨 C. 椭圆 C 2 的焦距为 4 D. 椭圆 C 2 的长短轴之比大于椭圆 C 1 的 长短轴之比 10. 在数学中有这样形状的曲线 C ： x 2 + y 2 =｜x｜+｜y｜ ， 以下说法正确的有 （ ） A. 曲线 C 关于 x 轴和 y 轴对称 B. x 的取值范围是 -1≤x≤1 C. 曲线 C 上恰有 9 个整点 （横、 纵坐 标均为整数的点称为整点） D. y=x+ 1 2 与曲线 C 交于 A ， B 两点 ， 则 ｜AB｜= 2 2 姨 + 6 姨 2 11. 过抛物线 y 2 =2px （ p>0 ） 的焦点 F 作 抛物线的弦与抛物线交于 A ， B 两点， M 为 AB 的中点， 分别过 A ， B 两点作抛物线的 切线 l 1 ， l 2 相交于点 P ， △PAB 又常被称为 阿基米德三角形 . 下面关于 △PAB 的描述中 正确的有 （ ） A. P 点必在抛物线的准线上 B. AP⊥PB C. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 △PAB 的面积 S 的最小值为 p 2 2 D. PF⊥AB 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 把答案填在题中横线上 . 12. 已知双曲线的焦点与曲线 x 2 25 + y 2 9 =1 的焦点相同， 请写出一个满足条件的双曲线 的标准方程： . 13. 圆 x 2 ＋y 2 -ax＋2y＋1＝0 关于直线 x-y＝1 对称的圆的方程为 x 2 ＋y 2 ＝1 ， 则实数 a 的值为 . 14. 写出一个同时具有下列性质 ①② 的 直线 l 的方程： . ① 直线 l 经过点 （ 1 ， 1 ）； ② 直线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的面积为 1 4 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 时应写出文字说明 、 证明过程或演算 步骤 . 15. （ 13 分 ） 如图 ， 已知平行四边形 ABCD 三个顶点的坐标为 A （ -1 ， 4 ）， B （ -2 ， -1 ）， C （ 2 ， 3 ） . （ 1 ） 求边 BC 的中垂线所在的直线方程 x y O A 1 B 1 F 1 A 2 B 2 F 2 F 0 第 9 题图 6 和平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标； （ 2 ） 求 △BCD 的面积 . 16. （ 15 分） 过原点 O 的圆 C ， 与 x 轴 相交于点 A （ 4 ， 0 ）， 与 y 轴相交于点 B （ 0 ， 2 ） . （ 1 ） 求圆 C 的标准方程； （ 2 ） 直线 l 过点 B 与圆 C 相切， 求直线 l 的方程， 并化为一般式 . 17. （ 15 分） 已知双曲线 C 的中心在原 点， D （ 1 ， 0 ） 是它的一个顶点， d= （ 1 ， 2 姨 ） 是它的一条渐近线的一个方向向量 . （ 1 ） 求双曲线 C 的方程； （ 2 ） 设 P （ 0 ， 1 ）， M 为双曲线右支上的 动点 ， 当 |PM | 取得最小值时 ， 求四边形 ODMP 的面积； （ 3 ） 若过点 （ -3 ， 0 ） 任意作一条直线 与双曲线 C 交于 A ， B 两点 （ A ， B 都不同 于点 D ）， 求证： D D$ A · D D$ B 为定值 . 第 15 题图 x y O A B C 第二章章末测试卷 7 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分） 设椭圆 E 的中心在坐标原 点 O ， 焦点在 x 轴上， 离心率为 3 姨 3 ， 过 点 C （ -1 ， 0 ） 的直线交椭圆 E 于 A ， B 两点， 且 C C# A =2B CB C ， 求当 △AOB 的面积达到最大值 时直线和椭圆 E 的方程 . 19. （ 17 分） 设斜率不为 0 的直线 l 与抛 物线 x 2 ＝4y 交于 A ， B 两点， 与椭圆 x 2 6 + y 2 4 ＝ 1 交于 C ， D 两点 ， 记直线 OA ， OB ， OC ， OD 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 4 . （ 1 ） 若直线 l 过 （ 0 ， 4 ）， 求证： OA⊥ OB ； （ 2 ） 求证： k 1 +k 2 k 3 +k 4 的值与直线 l 的斜率的 大小无关 . 8 参 考 答 案 ∴EG∥CD ， 且 EG=CD ， ∴ 四边形 CDGE 为平行四边形， ∴CE∥DG. ∵DG奂 平面 PAD ， CE埭 平面 PAD ， ∴CE∥ 平面 PAD. （ 2 ） 解 ： 易得 AB ， AD ， AP 两两互相垂直 ， 故以 A 为原点 ， A A% B ， A A% D ， A A% P 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立如图所示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 B （ 4 ， 0 ， 0 ）， C （ 4 ， 4 ， 0 ）， E （ 4 ， 0 ， 2 ）， P （ 0 ， 0 ， 4 ）， D （ 0 ， 4 ， 0 ）， ∴P A% C = （ 4 ， 4 ， -4 ）， P A% E = （ 4 ， 0 ， -2 ）， P A% D = （ 0 ， 4 ， -4 ） . 设平面 PCE 的一个法向量为 m= （ x ， y ， z ）， 则 m ·P A% C =0 ， m ·P A% E = = 0 圯 x+y-z=0 ， 2x-z=0 = ， 令 x=1 ， 则 y=1 ， z=2 ， ∴m= （ 1 ， 1 ， 2 ） . 假设存在点 F （ a ， 0 ， 0 ） （ 0≤a≤4 ） 满足题意， 如 图， 连接 EF ， DF ， DE ， 则F AF E = （ 4-a ， 0 ， 2 ）， D AF E = （ 4 ， -4 ， 2 ） . 设平面 DEF 的一个法向量为 n=（x′ ， y′ ， z′ ）， 则 n ·D AF E =0 ， n ·F AF E = = 0 圯 2x′-２y′+z′=0 ， （ 4-a ） x′+2z′=0 = ， 令 x′=2 ， 则 y′= a 2 ， z′=a-4 ， ∴n= 2 ， a 2 ， a- - . 4 . ∵ 平面 DEF⊥ 平面 PCE ， ∴m · n=0 ， 即 2+ a 2 +2a-8= 0 ， ∴a= 12 5 ， 故存在点 F 12 5 ， 0 ， - . 0 满足题意， 此时 AF AB = 3 5 . 19. （ 1 ） 证明： 取 AD 的中点 H ， 连接 EH ， GH. ∵E ， F ， G ， H 分别是 PD ， PC ， BC ， AD 的中点， ∴EF∥CD ， GH∥CD ， EH∥PA ， ∴EF∥GH ， ∴E ， F ， G ， H 四点共面 . ∵PA ∥EH ， PA 埭 平 面 EFG ， EH 奂 平 面 EFG ， ∴PA∥ 平面 EFG. （ 2 ） 解： ∵ 平面 PDC ⊥ 平 面 ABCD ， 平 面 PDC ∩ 平 面 ABCD=DC ， AD⊥DC ， ∴AD⊥ 平面 PDC. 以 DA ， DC 所在直 线分别为 x 轴 、 y 轴 ， 过点 D 且与平面 ABCD 垂直的直线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 D鄄xyz ， 则 G 1 2 ， 3 2 ， - . 0 ， E 0 ， 1 2 ， 3 姨 2 - . ， F 0 ， 3 2 ， 3 姨 2 - . ， ∴E A% F = （ 0 ， 1 ， 0 ）， G A% F = - 1 2 ， 0 ， 3 姨 2 . ， 易得平面 EFD 的一个法向量为 m= （ 1 ， 0 ， 0 ） . 设平面 EFG 的一个法向量为 n= （ x ， y ， z ）， ∴ n ·E A% F =0 ， n ·G A% F =0 = ， 即 y=0 ， - 1 2 x+ 3 姨 2 z=0 0 5 5 5 4 6 6 6 7 ， 令 x= 3 姨 ， 则 z=1 ， ∴n= （ 3 姨 ， 0 ， 1 ） . ∴cos 〈 m ， n 〉 = m·n ｜m｜｜n｜ = 3 姨 1×2 = 3 姨 2 ， ∴ 〈 m ， n 〉 =30° ， 易知二面角 G鄄EF鄄D 的平面角为锐 角， ∴ 二面角 G鄄EF鄄D 的大小为 30°. （ 3 ） 解： 易得 P （ 0 ， 1 ， 3 姨 ）， B （ 1 ， 1 ， 0 ）， A （ 1 ， 0 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ， 0 ）， 设 Q （ a ， b ， c ）， 则P AF C = （ 0 ， 1 ， - 3 姨 ）， P AF B = （ 1 ， 0 ， - 3 姨 ）， P AF Q = （ a ， b-1 ， c- 3 姨 ） =λ P AF B =λ （ 1 ， 0 ， - 3 姨 ） = （ λ ， 0 ， - 3 姨 λ ）， ∴Q （ λ ， 1 ， 3 姨 - 3 姨 λ ）， A AF Q = （ λ-1 ， 1 ， 3 姨 - 3 姨 λ ）. ∵PC⊥ 平面 ADQ ， ∴PC⊥AQ ， ∴P AF C·A AF Q =1- 3 姨 （ 3 姨 - 3 姨 λ ）=0 ， 解得 λ= 2 3 ， 满足题意 . 第二章章末测试卷 1. A 【解析】 直线 l 1 ： ax+2y+6＝0 与直线 l 2 ： x+ （ a- 1 ） y+5＝0 垂直， 则 a×1+2 （ a-1 ） ＝0 ， 解得 a＝ 2 3 . 故选 A. 2. C 【解析】 根据题意， 方程 x 2 +y 2 -x+y-2m＝0 表示 一个圆， 则有 1+1-4× （ -2m ） ＞0 ， 解得 m＞- 1 4 ， 即 m 的 取值范围为 - 1 4 ， + . ∞ . 故选 C. 3. B 【解析】 当命题甲 、 乙为真命题时， a=2 ， b= 3 2 ， 则 c= 7 姨 2 ， 离心率为 7 姨 4 ， 椭圆上的点到焦点 的距离最大值为 2+ 7 姨 2 ， 不成立； 当命题甲、 丙为真命题时， a=2 ， e= 1 2 ， 故 c=1 ， b= 3 姨 ， 短轴长为 2 3 姨 ， 椭圆上的点到焦点的距离最大 值为 3 ， 成立， 故甲、 丙、 丁为真命题， 乙为假命题； z y x E F A B C D P 第 18 题答图 第 19 题答图 z y x E G F A B C D P H 121 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 当命题乙 、 丙为真命题时 ， b= 3 2 ， e= 1 2 ， 故 a= 3 姨 ， c= 3 姨 2 ， 椭圆的长轴长为 2 3 姨 ， 椭圆上的点 到焦点的距离最大值为 3 3 姨 2 ， 不成立； 当命题乙、 丁为真命题时， b= 3 2 ， a+c=3 ， 不存在 . 故选 B. 4. B 【解析】 设 M （ x ， y ）， 则 x 2 +y 2 =4 ， 即 y 2 =4-x 2 . 又 ∵ ｜MQ｜ ｜MP｜ =姿 ， ∴ （ x-m ） 2 +y 2 姨 x+ 1 2 2 # 2 +y 2 姨 =姿 ， 即 （ x-m ） 2 + （ 4-x 2 ） 姨 x+ 1 2 2 2 2 + （ 4-x 2 ） 姨 =姿 ， 整 理 得 （ 姿 2 +2m ） x + 17 4 姿 2 -m 2 - - 2 4 =0 ， ∴ 姿 2 +2m=0 ， 17 4 姿 2 -m 2 -4=0 0 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 解 得 姿=4 ， m=-8 * ， ∴姿 + m=-4 ， 故选 B. 5. B 【解析】 双曲线 x 2 2 -y 2 ＝1 中， a 2 ＝2 ， b 2 ＝1 ， ∴ 渐 近线方程为 y＝± 1 2 姨 x ， ∴ 所求双曲线的方程中 a b ＝ 1 2 姨 ， c＝3 ， a 2 +b 2 ＝c 2 ， ∴a 2 ＝3 ， b 2 ＝6 ， 则双曲线方程为 y 2 3 - x 2 6 ＝1. 故选 B. 6. D 【解析】 设 |F 1 F 2 |＝2c ， |AF 1 |＝m ， 若 △ABF 1 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则 |AB|＝|AF 1 |＝m ， |BF 1 |＝ 2 姨 m. 由椭圆的定义可得 △ABF 1 的周长为 4a ， 即有 4a＝ 2m+ 2 姨 m ， 即 m＝ （ 4-2 2 姨 ） a ， 则 |AF 2 |＝2a-m＝ （ 2 2 姨 -2 ） a. 在 Rt△AF 1 F 2 中 ， |F 1 F 2 | 2 ＝|AF 1 | 2 +|AF 2 | 2 ， 即 4c 2 ＝4 （ 2- 2 姨 ） 2 a 2 +4 （ 2 姨 -1 ） 2 a 2 ， 即 c 2 ＝ （ 9-6 2 姨 ） a 2 ， 即 c＝ （ 6 姨 - 3 姨 ） a ， 即 e＝ c a ＝ 6 姨 - 3 姨 . 故选 D. 7. B 【解析】 由题意知， m ， n 是方程 x 2 sin兹-xcos兹+ 仔 3 =0 的根， ∴m+n= cos兹 sin兹 ， mn= 仔 3sin兹 . ∵m≠n ， ∴ 过 （ m ， m 2 ）， （ n ， n 2 ） 两点的直线方程 为 y-n 2 m 2 -n 2 = x-n m-n ， ∴ （ m+n ） x-y-mn=0 ， ∴ 圆心 （ 0 ， 0 ） 到直线的距离为 d= ｜mn｜ （ m+n ） 2 +1 姨 = 仔 3sin兹 cos兹 sin兹 2 2 2 +1 姨 = 仔 3 >1 ， 故直线和圆相离 . 故选 B. 8. D 【解析】 如图所示， 圆 C 2 ： x 2 +y 2 -4 2 姨 y+7=0 ， 即 x 2 + （ y-2 2 姨 ） 2 =1 ， 圆心为 C 2 （ 0 ， 2 2 姨 ） . 抛物线 C 1 ： y 2 =4x 的焦点为 F （ 1 ， 0 ）， 准线为 l. 连接 FC 2 ， ｜AF｜+｜AB｜≥｜AF｜+｜AC 2 ｜- 1≥｜FC 2 ｜-1 ， 当且仅当 F ， A ， B ， C 2 按顺序在同一条直 线上时， 等号成立， 即 A 为线段 FC 2 与抛物线 C 1 的交点 . 直线 FC 2 的方程为 y= 2 2 姨 -0 0-1 （ x-1 ） =-2 2 姨 （ x-1 ）， 联立 y=-2 2 姨 （ x-1 ）， y 2 =4x * ， 解得 x=2 ， y=-2 2 姨 * 或 x= 1 2 ， y= 2 姨 0 ( ( ( ' ( ( ( ) . ∵ 点 A 在第一象限， ∴A 1 2 ， 2 姨 2 2 ， 即 P 1 2 ， 2 姨 2 2 . 过点 A 作 AD⊥l ， 由抛物线的定义知， ｜AF ｜=｜AD ｜ ， ∴｜AF｜-｜AB｜≤｜AD｜- （ ｜AC 2 ｜-1 ） ≤｜DC 2 ｜+1 ， 当且仅当 A ， B ， C 2 ， D 按顺序在同一条直线上时， 等号成立 . 此时 y A =y C 2 =2 2 姨 ， ∴x A =2 ， ∴A （ 2 ， 2 2 姨 ） ， 即 Q （ 2 ， 2 2 姨 ）， ∴k PQ = 2 2 姨 - 2 姨 2- 1 2 = 2 2 姨 3 . 故选 D. 9. BC 【解析】 ∵F 1 ， F 2 是半椭圆 C 2 ： x 2 m 2 + y 2 n 2 =1 （x< 0 ） 的焦点， ∴F 1 ， F 2 关于原点对称， 且 ｜F 0 F 1 ｜=｜F 0 F 2 ｜. 又 ∵∠F 1 F 0 F 2 =60° ， ∴△F 1 F 0 F 2 为正三角形 ， ｜OF 0 ｜= 3 姨 ｜OF 1 ｜. ∵F 1 ， F 2 在 x 2 +y 2 =4 上， ∴｜OF 1 ｜=2 ， ∴｜OF 0 ｜= 3 姨 ｜OF 1 ｜= 2 3 姨 . 又 ∵ 半椭圆 C 1 ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （x≥0 ） 的短轴与半椭圆 C 2 ： x 2 m 2 + y 2 n 2 =1 （x<0 ） 的长轴相等， 即 n=b. 对于半椭圆 C 1 ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （x≥0 ） ， a 2 -b 2 =｜OF 0 ｜ 2 = （ 2 3 姨 ） 2 =12 ， 对于半椭圆 C 2 ： x 2 m 2 + y 2 n 2 =1 （x<0 ）， n 2 -m 2 =｜OF 1 ｜ 2 =4 ， ∴ n=b ， a 2 -b 2 =12 ， n 2 -m 2 =4 0 ( ( ( ' ( ( ( ) ， ∴ n=b ， a 2 -b 2 =12 ， b 2 -m 2 =4 0 ( ( ( ' ( ( ( ) ， ∴a 2 -m 2 =16 ， ∴b 2 =n 2 =16 ， ∴m 2 =12 ， a 2 =28 ， ∴ 半椭圆 C 1 的方程为 x 2 28 + y 2 16 =1 （x≥0 ）， 半椭圆 C 2 的方程为 x 2 12 + y 2 16 =1 （x<0 ） . x y O C 2 D F A （ P ） A （ Q ） l 第 8 题答图 122 参 考 答 案 椭圆 C 1 的离心率为 e= 28-16 姨 a = 2 3 姨 2 7 姨 = 21 姨 7 ， 故 A 不正确 . 椭 圆 C 1 上 的 点 到 F 0 距 离 的 最 小 值 为 2 7 姨 - 2 3 姨 ， 故 B 正确 . 椭圆 C 2 的焦距为 ｜F 1 F 2 ｜=4 ， 故 C 正确 . 椭圆 C 1 的长短轴之比为 2a 2b = 2 7 姨 4 = 7 姨 2 ， 椭圆 C 2 的长短轴之比为 2n 2m = 4 2 3 姨 = 2 3 姨 3 . ∵ 2 3 姨 3 3 # 2 = 4 3 ≈1.3< 7 姨 2 2 & 2 = 7 4 =1.75 ， ∴ 2 3 姨 3 < 7 姨 2 ， ∴ 椭圆 C 2 的长短轴之比小于椭圆 C 1 的长短轴 之比， 故 D 错误 . 故选 BC. 10. ACD 【解析】 x 2 +y 2 =｜x｜+｜y｜= x+y ， x≥0 ， y≥0 ， -x+y ， x<0 ， y>0 ， x-y ， x>0 ， y<0 ， -x-y ， x<0 ， y<0 0 * * * * * ) * * * * * + . 由此作出曲线 C 如图 1 所示 （包含坐标原点） . 由图知， 曲线 C 关于 x 轴和 y 轴对称， 故选项 A 正确 . 当取 x>0 ， y>0 时， x 2 +y 2 =x+y ， 即 x- 1 2 3 & 2 + y- 1 2 3 & 2 = 1 2 ， 表 示 以 1 2 ， 1 2 3 & 为 圆 心 ， 半 径 r = 2 姨 2 的 圆 ， ∴x max = 1 2 + 2 姨 2 = 1+ 2 姨 2 . 由对称性可知 x min =- 1 2 - 2 姨 2 =- 1+ 2 姨 2 ， ∴- 1+ 2 姨 2 ≤x≤ 1+ 2 姨 2 ， 故 B 错误 . 曲线上的整数点为 （ 0 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ）， （ 1 ， 1 ）， （ -1 ， 0 ）， （ -1 ， 1 ）， （ -1 ， -1 ）， （ 0 ， 1 ）， （ 0 ， -1 ）， （ 1 ， -1 ）， 共 9 个， 故选项 C 正确 . 如图 2 ， 作直线 y=x 与半圆 x 2 +y 2 +x-y=0 （ x<0 ， y>0 ） 交于点 D ， M 为半圆圆心， 过点 A 作 AH 垂直于 y=x 于 点 H ， 则 AH = 1 2 1 2 +1 2 姨 = 1 2 2 姨 ， MA=r= 2 姨 2 ， ∴MH= MA 2 -AH 2 姨 = 1 2 - 1 8 姨 = 6 姨 4 . 圆心 M - 1 2 ， 1 2 3 & 到原点的距离为 2 姨 2 ， ∴OH= MH+MO= 6 姨 4 + 2 姨 2 ， 根据对称性可得 AB=2OH= 6 姨 2 + 2 姨 = 2 2 姨 + 6 姨 2 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 11. ABD 【解析】 设过抛物线 y 2 =2px （ p>0 ） 上一点 M （ x 0 ， y 0 ） 的切线斜率为 k ， 则切线方程为 y-y 0 =k （ x-x 0 ）， 联立 y 2 =2px ， y-y 0 =k （ x-x 0 ） ） ， 消去 y 并整理得 k 2 x 2 -2 （ k 2 x 0 -ky 0 +p ） x+ （ y 2 0 +k 2 x 2 0 -2kx 0 y 0 ） =0. 由 Δ=0 ， 得 2x 0 k 2 -2y 0 k+p=0 ， 解得 k= 2y 0 ± 4y 2 0 -8px 0 姨 4x 0 . ∵ 点 M （ x 0 ， y 0 ） 在抛物线上， ∴y 2 0 =2px 0 ， ∴ 4y 2 0 -8px 0 姨 = 0 ， ∴k= y 0 2x 0 ， ∴ 切线方程为 y-y 0 = y 0 2x 0 （x-x 0 ）， 整理得 2x 0 y=xy 0 +x 0 y 0 . 又 ∵y 2 0 =2px 0 ， ∴2x 0 = y 2 0 p ， 代入切线方程并整理可得 y 0 y=px+px 0 ， 即抛物线 y 2 =2px （ p>0 ） 在其上一点 （x 0 ， y 0 ） 处的切线方程为 y 0 y=px+px 0 . 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 直线 AB 的方程为 x=my+ p 2 ， 联立 x=my+ p 2 ， y 2 =2px ， 0 * * * ) * * * + 消去 x 得 y 2 -2mpy-p 2 =0. 由韦达定理可得 y 1 y 2 =-p 2 ， y 1 +y 2 =2mp. 抛物线 y 2 =2px 在点 A 处的切线方程为 y 1 y=px+px 1 ， 即 y 1 y=px+ y 2 1 2 . 同理可知， 抛物线 y 2 =2px 在点 B 处的切线方程为 y 2 y=px+ y 2 2 2 ， 联立 y 1 y=px+ y 2 1 2 ， y 2 y=px+ y 2 2 2 0 * * * * ) * * * * + ， 解得 x= y 1 y 2 2p =- p 2 ， y= y 1 +y 2 2 =mp ， 0 * * * * ) * * * * + ∴ 点 P 的横坐标为 - p 2 ， 即点 P 在抛物线的准线上， 故 A 正确 . 如图， 直线 l 1 的斜率为 k 1 = p y 1 ， 直线 l 2 的斜率为 k 2 = p y 2 ， ∴k 1 k 2 = p 2 y 1 y 2 =-1 ， ∴AP⊥PB ， 故 B 正确 . 当 AB 垂直于 x 轴时 ， 由抛物 x y O -1 1 -1 1 B 图 1 M H A D x y O -1 1 -1 1 B y=x+ 1 2 y=x 图 2 第 10 题答图 x y O M F A B P l 1 l l 2 第 11 题答图 123 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 线的对称性可知， 点 P 为抛物线的准线与 x 轴的交点， 此时 PF⊥AB ； 当 AB 不与 x 轴垂直时， 直线 AB 的斜率为 k AB = 1 m ， 直线 PF 的斜率为 k PF = mp -p =-m ， ∴k AB · k PF =-1 ， 则 PF⊥AB. 综上， PF⊥AB ， 故 D 正确 . ｜AB｜= 1+m 2 姨 · ｜y 1 -y 2 ｜ ， ｜PF｜= p 2 + y 1 +y 2 2 2 $ 2 姨 = p 2 +m 2 p 2 姨 =p 1+m 2 姨 ， ∴S △PAB = 1 2 ｜AB｜ · ｜PF｜= 1 2 1+m 2 姨 · ｜y 1 -y 2 ｜ · p 1+m 2 姨 = p 2 （ m 2 +1 ）· y 1 + p 2 y 1 = p 2 ·（ m 2 +1 ）· ｜y 1 ｜+ p 2 ｜y 1 ｜ $ ≥ p 2 ×2 ｜y 1 ｜ · p 2 ｜y 1 ｜ 姨 =p 2 ， 当且仅当 m=0 ， y 1 =±p p 时 ， 等号成立 ， 故 C 错误 . 故选 ABD. 12. x 2 7 - y 2 9 =1 【解析】 由椭圆方程 x 2 25 + y 2 9 =1 可知椭 圆的两个焦点坐标分别为 F 1 （ -4 ， 0 ）， F 2 （ 4 ， 0 ）， ∴ 当双曲线与这个椭圆有相同焦点时， 双曲线的两 个焦点坐标也分别为 F 1 （ -4 ， 0 ）， F 2 （ 4 ， 0 ） . 设双曲线的标准方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ）， ∴a 2 + b 2 =c 2 =16. 不妨令 a 2 =7 ， b 2 =9 ， ∴ 满足条件的一个方程为 x 2 7 - y 2 9 =1. 注： 答案不唯一， 只要焦点在 x 轴上， 且满足 a 2 + b 2 =16 即可 . 13. 2 【解析】 圆的方程可化为 x- a 2 ｜ $ 2 + （y+1 ） 2 ＝ a 2 4 ， 表示以 A a 2 ， - ｜ $ 1 为圆心， 以 a 2 为半径的圆， 关于直 线 x-y＝1 对称的圆 x 2 +y 2 ＝1 的圆心为 （ 0 ， 0 ） ， 故有 -1-0 a 2 -0 ×1＝-1 ， 解得 a＝2. 14. 2x-y-1=0 （或 x-2y+1=0 ） 【解析】 设直线 l 的 方程为 y-1=k （ x-1）， 令 x=0 ， 解得 y=1-k ， 令 y=0 ， 解 得 x=1- 1 k ， ∴ 直线 l 与 x 轴 、 y 轴所围成的面积为 1 2 × （ 1-k ）× 1- 1 k ｜ $ = 1 4 ， 则 k+ 1 k = 3 2 或 k+ 1 k = 5 2 ， 解 得 k=2 或 k= 1 2 ， ∴l 的方程为 2x-y-1=0 或 x-2y+1=0. 15. 解： （ 1 ） 如图， 设 BC 边中点为 E ， ∵B （ -2 ， -1 ）， C （ 2 ， 3 ）， ∴E （ 0 ， 1 ）， k BC = 3+1 2+2 =1. 边 BC 的中垂线所在的直线的 斜率为 -1 ， 由直线的点斜式方程得， 边 BC 的中垂线所在直线为 y- 1=-1 （ x-0 ）， 即 x+y-1=0. 设 AC 边中点为 M ， 则 M 点坐 标为 1 2 ， 7 2 ｜ $ ， 设点 D 的坐标为 （ x ， y ）， 由 已知得 M 为线段 BD 的中点， ∴ -2+x 2 = 1 2 ， -1+y 2 = 7 2 2 + + + + * + + + + , ， 解得 x=3 ， y=8 p ， ∴D （ 3 ， 8 ） . （ 2 ） 由 B （ -2 ， -1 ）， C （ 2 ， 3 ） 得 ｜BC｜= （ -2-2 ） 2 + （ -1-3 ） 2 姨 = 4 2 姨 ， 直线 BC 的方程为 x-y+1=0 ， ∴D 到直线 BC 的距离 d （ D-BC ） = ｜3-8+1｜ 2 姨 =2 2 姨 ， ∴S △BCD = 1 2 ×4 2 姨 ×2 2 姨 =8. 16. 解： （ 1 ） 设圆 C 的标准方程为（ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 ＝r 2 ， 分别代入原点和 A （ 4 ， 0 ）， B （ 0 ， 2 ）， 得 a 2 +b 2 =r 2 ， （ 4-a ） 2 +b 2 =r 2 ， a 2 + （ 2-b ） 2 =r 2 2 + + + * + + + , ， 解得 a=2 ， b=1 ， r= 5 姨 2 + + + + * + + + + , ， 则圆 C 的标准方程为（ x-2 ） 2 + （ y-1 ） 2 ＝5. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得圆心 C （ 2 ， 1 ）， 半径 r＝ 5 姨 ， 由于 直线 l 过点 B 与圆 C 相切， 则设直线 l ： x＝0 或 y＝kx+2. 当直线 l ： x＝0 时， 圆 C 到 l 的距离为 2 ， 不合题意， 舍去； 当直线 l ： y＝kx+2 时， 由直线与圆相切， 得到圆心 到直线的距离 d＝r ， 即有 ｜2k-1+2｜ k 2 +1 姨 ＝ 5 姨 ， 解得 k＝2 ， 故直线 l ： y＝2x+2 ， 即 2x-y+2＝0. 17. 解： （ 1 ） ∵ 双曲线 C 的中心在原点， 一个顶点 是 D （ 1 ， 0 ）， 则设双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 b 2 =1 （ b>0 ）， 于是得双曲线 C 的渐近线方程为 y=±bx. 而双曲线 C 的一条渐近线的一个方向向量是 d= （ 1 ， 2 姨 ）， 则有 b= 2 姨 ， ∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 2 =1. （ 2 ） 依题意， 设点 M （ x 0 ， y 0 ） （ x 0 ≥1 ）， 则 x 2 0 - y 2 0 2 =1 ， x y O E M A B C D 第 15 题答图 124 参 考 答 案 即 x 2 0 =1+ y 2 0 2 ， ｜PM｜ 2 =x 2 0 + （ y 0 -1 ） 2 = 3 2 y 2 0 -2y 0 +2= 3 2 y 0 - 2 3 3 " 2 + 4 3 . 当 y 0 = 2 3 时， ｜PM｜ min = 2 3 姨 3 ， 此时 M 11 姨 3 ， 2 3 3 " ， 点 M 到直线 DP ： x+y-1=0 的距离为 d= 11 姨 3 - 1 3 2 姨 = 2 姨 （ 11 姨 -1 ） 6 ， 而 ｜DP｜= 2 姨 . 如图， 四边形 ODMP 的 面积 S=S △ODP +S △MDP = 1 2 ｜OD｜ · ｜OP｜+ 1 2 ｜DP｜ · d= 1 2 + 11 姨 -1 6 = 11 姨 +2 6 . （ 3 ） 显然直线 AB 不垂直于 y 轴 . 设直线 AB 的方程为 x=ty-3 ， 由 x=ty-3 ， 2x 2 -y 2 =2 2 ， 消去 x 得（ 2t 2 -1 ） y 2 -12ty+16=0. 当 2t 2 -1≠0 时， Δ= （ 12t ） 2 -64 （ 2t 2 -1 ） =16 （ t 2 +4 ） >0 恒 成立 . 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则有 y 1 +y 2 = 12t 2t 2 -1 ， y 1 y 2 = 16 2t 2 -1 ， D D( A = （ x 1 -1 ， y 1 ） ， D D( B = （ x 2 -1 ， y 2 ）， 因此， D D( A·D D( B = （ x 1 -1 ）（ x 2 -1 ） +y 1 y 2 = （ ty 1 -4 ）（ ty 2 -4 ） + y 1 y 2 = （ t 2 +1 ） y 1 y 2 -4t （ y 1 +y 2 ） +16= 16 （ t 2 +1 ） 2t 2 -1 - 48t 2 2t 2 -1 +16=0 ， ∴ D D( A·D D( B 为定值 0. 18. 解 ： 如图 ， ∵ 椭圆的 离心率为 3 姨 3 ， 故可设椭圆 方程为 ２x 2 +３y ２ ＝t （ t>0 ）， 直线 方程为 my=x+1. 由 2x 2 +3y 2 =t ， my=x+1 ， 2 得（ 2m 2 +3 ） y 2 -4my+2-t=0. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 y 1 +y 2 = 4m 2m 2 +3 . ① 又 ∵ C D( A =2 B D( C ， 故（ x 1 +1 ， y 1 ） =2 （ -1-x 2 ， -y 2 ）， 即 y 1 =-2y 2 . ② 由 ①② 得 y 1 = 8m 2m 2 +3 ， y 2 = -4m 2m 2 +3 ， 则 S △AOB = 1 2 ｜y 1 -y 2 ｜=6 m 2m 2 +3 = 6 2｜m｜+ 3 ｜m｜ ≤ 6 姨 2 . 当 m 2 = 3 2 ， 即 m=± 6 姨 2 时， △AOB 面积取最大值， 此时 y 1 y 2 = 2-t 2m 2 +3 =- 32m 2 （ 2m 2 +3 ） 2 ， 即 t=10 ， ∴ 直线方程为 x± 6 姨 2 y+1=0 ， 椭圆方程为 2x 2 +3y 2 =10. 19. 证明： （ 1 ） 设直线 l 的方程为 y＝kx+4 ， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） . 由 x 2 1 =4y 1 ， x 2 2 ＝4y 2 ， 两式相乘可得（ x 1 x 2 ） 2 ＝16y 1 y 2 ， 由 y=kx+4 ， x 2 =4y 2 ， 可得 x 2 -4kx-16＝0 ， 则 x 1 x 2 ＝-16 ， y 1 y 2 ＝16 ， ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 ＝0 ， 即O D( A·O D( B ＝0 ， ∴OA⊥OB. （ 2 ） 设直线 l 的方程为 y＝kx+m ， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， C （ x 3 ， y 3 ）， D （ x 4 ， y 4 ）， 由 y=kx+m ， x 2 =4y 2 ， 可得 x 2 -4kx-4m＝0 ， x 1 +x 2 ＝4k ， x 1 x 2 ＝ -4m ， k 1 +k 2 ＝ y 1 x 1 + y 2 x 2 ＝ x 1 4 + x 2 4 ＝k. 联立 y＝kx+m 和椭圆方程 2x 2 +3y 2 ＝12 ， 可得（ 2+3k 2 ） x 2 + 6kmx+3m 2 -12＝0 ， Δ＝36k 2 m 2 -4 （ 2+3k 2 ）（ 3m 2 -12 ） ＞0 ， 即 4+6k 2 ＞m 2 ， x 3 +x 4 ＝- 6km 2+3k 2 ， x 3 x 4 ＝ 3m 2 -12 2+3k 2 ， k 3 +k 4 ＝ y 3 x 3 + y 4 x 4 ＝ kx 3 +m x 3 + kx 4 +m x 4 ＝2k+m 1 x 3 + 1 x 4 3 " ＝2k+ m （ x 3 +x 4 ） x 3 x 4 ＝2k- 6km 2 3m 2 -12 ＝- 8k m 2 -4 ， 则 k 1 +k 2 k 3 +k 4 ＝- m 2 -4 8 ， 与直线 l 的斜率的大小无关 . 综合测试卷 （一） 1. B 【解析】 设倾斜角为 琢 ， 琢∈ ［ 0 ， 仔 ）， 则 tan琢= 3 姨 1 . 故选 B. 2. C 【解析】 -1 3 = 2 -6 = x -3 ， ∴x=1. 故选 C. 3. B 【解析 】 如图 ， 根 据椭圆的性质可得 AF 1 =AF 2 = a ， F 1 F 2 =2c. ∵ 四边形 AF 1 BF 2 为正方形 ， ∴F 1 F 2 = 2 姨 AF 1 ， 即 2c = 2 姨 a ， ∴e = c a = 2 姨 2 . 故选 B. 4. D 【解析】 利用空间向量的运算法则， N D( M = N D( O + x y O -3 M A B D P 第 17 题答图 x y O A B C 第 18 题答图 x y O A F 1 F 2 B 第 3 题答图 125