第1章 空间向量与立体几何 章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 如图， 在三棱柱 ABC鄄 A 1 B 1 C 1 中， M 为 A 1 C 1 的中点， 若 A A" B =a ， AA 1 A" =c ， B A" C =b ， 则 下 列 向 量 与 B A" M 相 等 的 是 （ ） A. - 1 2 a+ 1 2 b+c B. 1 2 a+ 1 2 b+c C. - 1 2 a- 1 2 b+c D. 1 2 a- 1 2 b+c 2. 已知正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a ， 且 AC 1 与 BD 1 相交于点 O ， 则有 （ ） A. A A" B · A 1 C 1 A" = 2 姨 a 2 B. A A" B · AC 1 A" =a 2 C. A A" B · A A" O = 1 2 a D. B A" C · DA 1 A" =a 2 3. 若平面 α 经过三点 O （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 2 ， 2 ， 0 ）， B （ 0 ， 0 ， 2 ）， 则平面 α 的法向量可 以是 （ ） A. （ 1 ， 0 ， 1 ） B. （ 1 ， 0 ， -1 ） C. （ 0 ， 1 ， 1 ） D. （ -1 ， 1 ， 0 ） 4. 设 u= （ 2 ， 2 ， -1 ） 是平面 α 的一个法 向量， a= （ -3 ， 4 ， 2 ） 是直线 l 的一个方向 向量， 则直线 l 与平面 α 的位置关系是 （ ） A. 平行或直线在平面内 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 不能确定 5. 如图 ， 已知正方形 ABCD 和正方形 ADEF 的边 长均为 6 ， 且它们所在的平 面互相垂直， O 是 BE 的中 点， F A" M = 1 2 M A" A ， 则线段 OM 的长为 （ ） A. 3 2 姨 B. 19 姨 C. 2 5 姨 D. 21 姨 6. 如 图 ， 在 四 棱 锥 P鄄 ABCD 中， 侧面 PAD 是边长为 4 的正三角形， 底面 ABCD 为 正 方 形 ， 侧 面 PAD ⊥ 底 面 ABCD ， 若 M 为平面 ABCD 上的一个动点， 且满足 M A" P · M A" C =0 ， 则点 M 到直线 AB 的最 大距离为 （ ） A. 2 5 姨 B. 3+ 5 姨 C. 4+ 5 姨 D. 4+2 2 姨 7. 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 若 F ， G 分别是棱 AB ， CC 1 的中点， 则直线 FG 与 平面 A 1 ACC 1 所成角的正弦值为 （ ） A. 2 姨 3 B. 5 姨 4 C. 3 姨 3 D. 3 姨 6 8. 如图 ， 在四棱锥 P鄄 ABCD 中， 底面 ABCD 是直 角梯形， ∠BAD=90° ， AD∥ BC ， AB=AD=PD=1 ， BC=2 ， PD⊥ 平面 ABCD ， 则二面角 A鄄PB鄄C 的大小 第一章章末测试卷 （满分： 150 分钟 时间： 120 分） 第一章章末测试卷 M A 1 B 1 C 1 A B C 第 1 题图 E M O F A B C D A B C D P 第 5 题图 第 6 题图 A B C D P 第 8 题图 1 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 为 （ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 二、 多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多个选项符合题目要求 . 全部选对的 得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错 的得 0 分 . 9. 下列命题中正确的是 （ ） A. A ， B ， M ， N 是空间中的四点， 若 B B" A ， B B" M ， B B" N 不能构成空间向量的一组基 底， 则 A ， B ， M ， N 四点共面 B. 已知 {a ， b ， c} 为空间向量的一组 基底， 若 m=a+c ， 则 {a ， b ， m} 也是空间 向量的一组基底 C. 若 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 为 e = （ 1 ， 0 ， 3 ） ， 平面 α 的一个法向量为 n= -2 ， 0 ， 2 3 3 $ ， 则直线 l∥α D. 若直线 l 的一个方向向量为 e= （ 1 ， 0 ， 3 ）， 平面 α 的一个法向量为 n= （ -2 ， 0 ， 2 ）， 则直线 l 与平面 α 所成角的正弦值为 5 姨 5 10. 如图， 一个结晶 体的形状为平行六面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 ， 其 中 以 顶点 A 为端点的三条棱 长都相等， 且它们彼此之间的夹角都是 60° ， 则下列说法中正确的是 （ ） A. （ AA 1 B" +A B" B +A B" D ） 2 =2A B" C 2 B. AC 1 B" ·（ A B" B -A B" D ） =0 C. 向量 B 1 B" C 与 AA 1 B" 的夹角是 60° D. BD 1 与 AC 所成角的余弦值为 6 姨 3 11. 如图， 已知正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， E ， F ， G 分 别 为 棱 BC ， CC 1 ， BB 1 的中点， 则 （ ） A. 直 线 D 1 D 与 直 线 AF 垂直 B. 直线 A 1 G 与平面 AEF 平行 C. 平面 AEF 截正方体所得的截面面积 为 9 8 D. 点 C 和点 G 到平面 AEF 的距离相等 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 将答案填在题中横线上 . 12. 若 a= （ 1 ， 1 ， 0 ） ， b= （ -1 ， 0 ， 2 ） ， 则与 a+b 同方向的单位向量是 . 13. 已知矩形 ABCD 中 ， AB=1 ， BC= 3 姨 ， 将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起， 使 平面 ABC 与平面 ACD 垂直， 则 B 与 D 之间 的距离为 . 14. 如图， 在三棱锥 S鄄 ABC 中 ， SA =SB =SC ， 且 ∠ASB=∠BSC=∠CSA= π 2 ， M ， N 分别是 AB 和 SC 的中 点 ， 则异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值为 ， 直线 SM 与平 面 SAC 所成角的大小为 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 时应写出文字说明、 证明过程或演算 步骤 . 15. （ 13 分 ） 如图 ， 在四棱锥 P鄄ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD ， AD⊥DC ， AB∥DC ， A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D E G F 第 10 题图 第 11 题图 M N S A B C 第 14 题图 2 AD=DC=AP=2 ， AB=1 ， E 为棱 PC 的中点 . （ 1 ） 求证： BE⊥PD ； （ 2 ） 若 F 为棱 PC 上一点 ， 满足 BF⊥ AC ， 求线段 PF 的长 . 16. （ 15 分 ） 如图 ， 在四棱锥 P鄄ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为直 角 梯 形 ， BC∥AD ， AB⊥BC ， ∠ADC=45° ， PA⊥ 平面 ABCD ， AB=AP=1 ， AD=3. 求： （ 1 ） 异面直线 PB 与 CD 所成角的大小； （ 2 ） 点 D 到平面 PBC 的距离 . 17. （ 15 分） 如图 1 ， 在边长为 5 的菱形 ABCD 中， AC=8 ， 现沿对角线 BD 把 △ABD 折起， 折起后 （如图 2 ） 使 ∠ADC 的余弦值 为 9 25 . （ 1 ） 求证： 平面 ABD⊥ 平面 CBD ； （ 2 ） 若 M 是 AB 的中点， 求折起后 AC 与平面 MCD 所成角的正弦值 . E A B C D P 第 15 题图 A B C D P 第 16 题图 第一章章末测试卷 A B C D M A B C D 图 2 图 1 第 17 题图 3 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分） 在如图所示的几何体中 ， 四边形 ABCD 为正方形， PA⊥ 平面 ABCD ， PA∥BE ， AB=PA=4 ， BE=2. （ 1 ） 求证： CE∥ 平面 PAD. （ 2 ） 在棱 AB 上是否存在一点 F ， 使得 平面 DEF⊥ 平面 PCE ？ 如果存在， 求 AF AB 的 值； 如果不存在， 说明理由 . 19. （ 17 分） 如图， 四棱锥 P鄄ABCD 的 底面 ABCD 是直角梯形 ， AB∥DC ， AD⊥ DC ， 平面 PDC⊥ 平面 ABCD ， △PDC 是等边 三角形， AB=AD= 1 2 CD=1 ， E ， F ， G 分别是 棱 PD ， PC ， BC 的中点 . （ 1 ） 求证： PA∥ 平面 EFG ； （ 2 ） 求二面角 G鄄EF鄄D 的大小； （ 3 ） 若线段 PB 上存在一点 Q ， 使得 PC⊥ 平面 ADQ ， 且 P P% Q =λP P% B ， 求 λ 的值 . E A B C D P 第 18 题图 E G F A B C D P 第 19 题图 4 参 考 答 案 且 OR∥PC ， ∴R 为线段 PF 的中点 . 又 ∵RQ⊥FP ， ∴ 直线 RQ 为 FP 的垂 直 平 分 线 ， ∴｜PQ ｜=｜QF ｜ ， 根据抛物线的定义得 Q 点在抛物线 y 2 = 4x 上 . 提升练习 11. 解 ： 如图 ， 从焦点 F 1 引 ∠F 1 PF 2 的外角平分线的垂线段 ， 延长垂线 F 1 Q 交 F 2 P 的延长线于 点 A ， 则 ｜PF 1 ｜=｜AP｜. 在椭圆中， ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜=2a ， ∴｜AP｜+｜PF 2 ｜=2a ， 即 ｜AF 2 ｜=2a. 又 ∵｜OQ｜= 1 2 ｜AF 2 ｜=a ， ∴ 点 Q 的轨迹为以 O 为圆心， a 为半径的圆， ∴ 垂足 Q 的轨迹方程为 x 2 +y 2 =a 2 . 12. 解： 如图， 设 AB 与 PQ 交于点 E ， 则 E 为 AB 和 PQ 的 中点， O O% A + O O% B = O O% P + O O% Q . ① 又 ∵｜AB｜=｜PQ｜ ， ∴｜ O O% A - O O% B ｜=｜ O O% Q - O O% P ｜. ② 由 ① 2 +② 2 ， 得 ｜ O O% A ｜ 2 +｜ O O% B ｜ 2 = ｜ O O% P ｜ 2 +｜ O O% Q ｜ 2 ， ∴｜ O O% Q ｜ 2 =36+36-16=56 ， 即 ｜ O O% Q ｜= 56 姨 ， ∴ 点 Q 的轨 迹方程为 x 2 +y 2 =56. 13. 解： 设点 M 的坐标是 （ x ， y ）， P 的坐标是 （ x P ， y P ）， ∵ 点 Ｄ 是 Ｐ 在 x 轴上的投影， Ｍ 为 PD 上一点， 且 ｜MD｜= 4 5 ｜PD｜ ， ∴x P =x ， 且 y P = 5 4 y. ∵P 在圆 x 2 +y 2 =25 上， ∴x 2 + 5 4 4 ( y 2 =25 ， 整理得 x 2 25 + y 2 16 =1 ， 即点 M 的轨迹方程是 x 2 25 + y 2 16 =1. 14. 解： 设动点 P 的坐标为 （ x ， y ）， 点 Q 的坐标为 （ x 1 ， y 1 ） ， 由线段 QN 的中点为 P ， 得 N 点的坐标为 （ 2x-x 1 ， 2y-y 1 ） . 又 ∵ 点 N 在直线 x+y=2 上， 则 2x-x 1 +2y-y 1 =2. ① 又 ∵PQ 垂直于直线 x+y=2 ， ∴ y-y 1 x-x 1 =1 ， 即 x-y+y 1 -x 1 =0. ② 由 ①② 两式联立解得 x 1 = 3 2 x+ 1 2 y-1 ， y 1 = 1 2 x+ 3 2 y-1 1 + + + + * + + + + , . ③ 又 ∵ 点 Q 在双曲线 x 2 -y 2 =1 上， ∴x 2 1 -y 2 1 =1 ， ∴ 3 2 x+ 1 2 y- - . 1 2 - 1 2 x+ 3 2 y- - . 1 2 =1 ， 即 2x 2 -2y 2 -2x+ 2y-1=0 ， ∴ 动点 P 的轨迹方程为 2x 2 -2y 2 -2x+2y-1=0. 15. 解： 由题意可得 F （ -2 ， 0 ）， 直线 l 的方程为 y= k （ x+2 ）， 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立 x 2 - y 2 3 =1 ， y=k （ x+2 ） 1 + + + * + + + , ， 消去 y ， 得（ 3-k 2 ） x 2 -4k 2 x- （ 4k 2 +3 ） =0 ， ∴x 1 +x 2 = 4k 2 3-k 2 ， x 1 x 2 = -4k 2 -3 3-k 2 <0 ，得 - 3 姨 <k< 3 姨 且 k≠0 ， ∴y 1 +y 2 =k （ x 1 +x 2 +4 ） =k 4k 2 3-k 2 + - . 4 = 12k 3-k 2 . 设 M （ x ， y ） ， 则 O O% M = O O% A + O O% B = （ x 1 +x 2 ， y 1 +y 2 ） = 4k 2 3-k 2 ， 12k 3-k 2 - . ， 故 x= 4k 2 3-k 2 ， y= 12k 3-k 2 1 + + + + * + + + + , ， 消去 k ， 得 3x 2 +12x-y 2 =0 （ x>0 ）， ∴ 点 M 的轨迹方程为 3x 2 +12x-y 2 =0 （ x>0 ） . 第一章章末测试卷 1. A 【解析】 B O% M = BB 1 O% + B 1 O% M = AA 1 O% + 1 2 （B 1 A 1 O% + B 1 C 1 O% ） = AA 1 O% + 1 2 （B O% A + B O% C） =c+ 1 2 （ -a+b ） =- 1 2 a+ 1 2 b+c. 故选 A. 2. B 【解析】 A O% B·A 1 C 1 O% = A O% B·（A O% B + A O% D） = A O% B 2 + A O% B· A O% D =a 2 ， 故 A 错误； A O% B·AC 1 O% = A O% B·（A O% B + A O% D + AA 1 O% ） = A O% B 2 + A O% B·A O% D + A O% B· AA 1 O% = A O% B 2 =a 2 ， 故 B 正确； A O% B·A O% O = A O% B· 1 2 AC 1 O% - . = 1 2 A O% B·AC 1 O% = 1 2 a 2 ， 故 C 错 误； B O% C·DA 1 O% = A O% D·（AA 1 O% - A O% D） = A O% D·AA 1 O% - A O% D 2 =-a 2 ， 故 D 错误 . 故选 B. 3. D 【解析】 设平面 α 的法向量为 n ， n ·O O% A =2 ， 故 A 选项错误； n ·O O% B =-2 ， 故 B 选项错误； n ·O O% B =2 ， 故 C 选项错误； 由于 n ·O O% A =0 ， n ·O O% B =0 ， 且不共线向量 O O% A ， O O% B 有共同的始点， 故 D 选项正确 . 故选 D. 4. A 【解析】 ∵u · a=2× （ -3 ） +2×4-1×2=0 ， ∴u⊥a ， 故 直线 l∥ 平面 α 或直线 l奂 平面 α. 故选 A. 5. B 【解析】 由题意可得 DA ， DC ， DE 两两互相垂直 . 以 D 为坐 标原点， D O% A ， D O% C ， D O% E 的方向分 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立 如图所示的空间直角坐标系， 则 E （ 0 ， 0 ， 6 ）， F （ 6 ， 0 ， 6 ）， x y O Q A P F 1 F 2 第 11 题答图 x y O E Q A B P 第 12 题答图 z y x E M O F A B C D 第 5 题答图 117 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 B （ 6 ， 6 ， 0 ） . ∵O 是 BE 的中点， ∴O （ 3 ， 3 ， 3 ） . ∵F !" M = 1 2 M !" A ， ∴M （ 6 ， 0 ， 4 ）， ∴| O !" M |= （ 6-3 ） 2 + （ 0-3 ） 2 + （ 4-3 ） 2 姨 = 19 姨 ， 即线段 OM 的长为 19 姨 . 故选 B. 6. B 【解析 】 以 D 为原点 ， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴 ， 过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴 ， 建立如图所示的空间直角坐标 系， 则 P （ 2 ， 0 ， 2 3 姨 ）， C （ 0 ， 4 ， 0 ） . 设 M （ a ， b ， 0 ）， 则M !" P = （ 2-a ， -b ， 2 3 姨 ）， M !" C = （ -a ， 4-b ， 0 ） . ∵ M !" P·M !" C =0 ， ∴ （ 2-a ， -b ， 2 3 姨 ）·（ -a ， 4-b ， 0 ） =-2a+a 2 -4b+b 2 =0 ， 整理得（ a-1 ） 2 + （ b-2 ） 2 =5 ， ∴M 为平面 ABCD 上到点 （ 1 ， 2 ） 的距离为 5 姨 的 一个动点， 故点 M 到直线 AB 的最大距离为 4-1+ 5 姨 = 3+ 5 姨 . 故选 B. 7. D 【解析】 方法一： 过 F 作 BD 的平行线交 AC 于 点 M ， 连接 MG ， 易证得 FM⊥ 平面 A 1 ACC 1 ， ∴FM⊥MG ， ∠MGF 即为直线 FG 与平面 A 1 ACC 1 所成的角 . 设正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， 易得 FM= 2 姨 4 ， FG= 6 姨 2 ， ∴sin∠MGF= FM FG = 3 姨 6 . 方法二： 以 A 为原点， A !" B ， A !" D ， AA 1 !" 的方向分别 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐 标系 . 设正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， 易得平面 A 1 ACC 1 的一个法向量为 n= （ -1 ， 1 ， 0 ）， F 1 2 ， 0 ， ， ( 0 ， G 1 ， 1 ， 1 2 ， 2 ， ∴ F !" G = 1 2 ， 1 ， 1 2 ， 2 . 设直线 FG 与平面 A 1 ACC 1 所成的角为 θ ， 则 sinθ=|cos 〈 n ， F !" G 〉 |= ｜n ·F !" G ｜ ｜n｜｜ F !" G ｜ = 1 2 2 姨 × 6 姨 2 = 3 姨 6 . 8. C 【解析 】 取 BC 中点 M ， 连接 DM ， 由已知可得四边形 ADMB 为正方形， 易得 DM ， DA ， DP 两 两互相垂直 ， 故以点 D 为原点 ， D !" M ， D !" A ， D !" P 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立如图所示 的空间直角坐标系， 则 D （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 0 ， 1 ， 0 ）， B （ 1 ， 1 ， 0 ）， C （ 1 ， -1 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 1 ）， ∴ A !" Ｐ = （ 0 ， -1 ， 1 ）， A !" B = （ 1 ， 0 ， 0 ） . 设平面 PAB 的一个法向量为 n 1 = （ x ， y ， z ）， 则 n 1 ·A !" Ｐ =0 ， n 1 ·A !" B =0 0 ， 即 -y+z=0 ， x=0 0 ， 令 z=1 ， 则 y=1 ， ∴n 1 = （ 0 ， 1 ， 1 ） . 设平面 PBC 的一个法向量为 n 2 = （ a ， b ， c ）， 易得 Ｂ !" Ｃ = （ 0 ， -2 ， 0 ）， Ｐ !" Ｃ = （ 1 ， -1 ， -1 ）， ∴ n 2 ·Ｂ !" Ｃ =0 ， n 2 ·P !" Ｃ =0 0 ， 即 -2b=0 ， a-b-c=0 0 ， 令 c=1 ， 则 a=1 ， ∴n 2 = （ 1 ， 0 ， 1 ）， ∴cos 〈 n 1 ， n 2 〉 = 1 2 姨 × 2 姨 = 1 2 . 易知二面角 A鄄PB鄄C 的平面角为钝角， ∴ 二面角 A鄄PB鄄C 的大小为 120°. 故选 C. 9. ABD 【解析】 A ， B ， M ， N 是空间中的四点， 若 B !" A ， B !" M ， B !" N 不能构成空间向量的一组基底， 则B !" A ， B !" M ， B !" N 共面， 则 A ， B ， M ， N 四点共面， 故 A 正确； 已知 {a ， b， c} 为空间向量的一组基底， ∴a ， b， c 不共 面， 若 m=a+c ， 则 a， b， m 也不共面， 故 {a ， b， m} 也是空间向量的一组基底， 故 B 正确； ∵e ·n=1× （ -2 ） +0× 0+3× 2 3 =0 ， ∴e⊥n ， ∴l奂α 或 l∥α ， 故 C 错误； ∵cos 〈e， n〉= e · n ｜e｜｜n｜ = -２+６ １0 姨 ×２ 2 姨 = ５ 姨 ５ ， ∴ 直线 l 与平面 α 所成 角的正弦值为 5 姨 5 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 10. AB 【解析 】 由题意可知平行六面体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 的各棱长均相等 ， 设棱长为 1 ， 则AA １ !" ·A !" B = AA 1 !" ·A !" D = A !" D·A !" B =1×1×cos60°= 1 2 ， ∴ （AA 1 !" + A !" B + A !" D） 2 = AA 1 !" 2 + A !" B 2 + A !" D 2 +2 AA 1 !" ·A !" B +2 A !" B ·A !" D +2 AA 1 !" ·A !" D =1+1+1+3×2× 1 2 =6 ， 而 2A !" C 2 =2 （A !" B + A !" D） 2 =2 （A !" B 2 + A !" D 2 +2 A !" B·A !" D） =2× 1+1+2× 1 2 2 2 =2×3=6 ， ∴A 正确； z y x A B C D P 第 6 题答图 y z x A 1 B 1 C 1 D 1 G F A B C D 第 7 题答图 z y x M A B C D P 第 8 题答图 118 参 考 答 案 AC 1 !" ·（A !" B - A !" D） = （AA 1 !" + A !" B + A !" D）·（A !" B - A !" D） = AA 1 !" ·A !" B - AA 1 !" ·A !" D + A !" B 2 - A !" B·A !" D + A !" D·A !" B - A !" D 2 =0 ， ∴B 正确； 向量B 1 !" C = A 1 !" D ， 显然 △AA 1 D 为等边三角形 ， 故 ∠AA 1 D=60° ， ∴ 向量A 1 !" D 与AA 1 !" 的夹角是 120° ， 即向量 B 1 !" C 与AA 1 !" 的夹角是 120° ， ∴C 不正确； ∵BD 1 !" =A !" D + AA 1 !" - A !" B ， A !" C = A !" B + A !" D ， ∴| BD 1 !" |= （A !" D + AA 1 !" - A !" B） 2 姨 = 2 姨 ， | A !" C |= （A !" B + A !" D） 2 姨 = 3 姨 ， BD 1 !" ·A !" C = （A !" D + AA 1 !" - A !" B）·（A !" B + A !" D） =1 ， ∴cos 〈BD 1 !" ， A !" C 〉 = BD 1 !" ·A !" C ｜BD 1 !" ｜｜A !" C ｜ = 1 2 姨 × 3 姨 = 6 姨 6 ， ∴D 不正确 . 故选 AB. 11. BC 【解析】 方法一： 以 D 点 为 坐 标 原 点 ， DA ， DC ， DD 1 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立如图 1 所示的空 间直角坐标系， 则 D （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 1 ， 0 ， 0 ）， A 1 （ 1 ， 0 ， 1 ）， E 1 2 ， 1 ， ， ' 0 ， F 0 ， 1 ， 1 2 ， 2 ， G 1 ， 1 ， 1 2 ， 2 ， D 1 （ 0 ， 0 ， 1 ）， 从而DD 1 !" = （ 0 ， 0 ， 1 ）， A !" F = -1 ， 1 ， 1 2 ， 2 ， 从而DD 1 !" ·A !" F = 1 2 ≠0 ， ∴ 直线 DD 1 与直线 AF 不垂 直， 故选项 A 错误 . 由上 述 坐 标 系 可 得 ， A 1 !" G = 0 ， １ ， - 1 2 ， 2 ， A !" E = - 1 2 ， １ ， ， 2 0 ， A !" F = -１ ， １ ， 1 2 ， 2 ， 设A 1 !" G =x A !" E +y A !" F ， 则 0=- 1 2 x-y ， 1=x+y ， - 1 2 = 1 2 y y , , , , , , + , , , , , , - ， 解得 x=2 ， y=-１ １ ， ∴A 1 !" G =2A !" E -A !" F ， ∴A 1 !" G ， A !" E ， A !" F 共面， 又 A 1 G埭 平面 AEF ， ∴ 直线 A 1 G 与平面 AEF 平行， 故选项 B 正确 . 连接 AD 1 ， D 1 F ， 延长 AE ， 交 D 1 F 的延长线于 H. 易 知四边形 AEFD 1 为平面 AEF 截正方体所得的截面四边 形 （如图 2 所示）， 易知 D 1 H=AH= 5 姨 ， AD 1 = 2 姨 ， ∴S △AD 1 H = 1 2 × 2 姨 × （ 5 姨 ） 2 - 2 姨 2 ， 2 2 姨 = 3 2 ， 而 S 四边形 AEFD 1 = 3 4 S △AD 1 H = 9 8 ， 故选项 C 正确 . 连接 AG ， EG ， FG ， 如图 3. 由于 S △GEF =S 梯形 BEFG -S △EBG = 1 2 × 1+ 1 2 ， 2 × 1 2 - 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 4 ， 而 S △ECF = 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 ， ∴S △GEF =2S △ECF . 又 ∵V A-GEF = 1 3 S △GEF · AB ， V A-ECF = 1 3 S △ECF · AB ， ∴V A-GEF =2V A-ECF ， 即 V G-AEF =2V C-AEF ， ∴ 点 G 到平面 AEF 的距离为点 C 到平面 AEF 的距离的 2 倍， 故选项 D 错误 . 故选 BC. 12. 0 ， 5 姨 5 ， 2 5 姨 5 ， 2 【解析】 与 a+b 同方向的 单 位 向 量 是 1 5 姨 （ 0 ， 1 ， 2 ） = 0 ， 5 姨 5 ， 2 5 姨 5 ， 2 . 13. 10 姨 2 【解析】 过 B ， D 分别向 AC 作垂线， 垂 足分别为 M ， N. 则可求得 AM= 1 2 ， BM= 3 姨 2 ， CN= 1 2 ， DN= 3 姨 2 ， MN=1. 由于B !" D = B !" M + M !" N + N !" D ， ∴｜ B !" D ｜ 2 = （B !" M + M !" N + N !" D ） 2 =｜ B !" M ｜ ２ +｜ M !" N ｜ ２ +｜ N !" D ｜ ２ +2 （B !" M·M !" N + M !" N·N !" D + B !" M·N !" D ） = 3 姨 2 ， 2 2 +1 2 + 3 姨 2 ， 2 2 +2 （ 0+0+0 ） = 5 2 ， ∴｜ B !" D ｜= 10 姨 2 . 故答案为 10 姨 2 . 14. 10 姨 5 仔 4 【解析 】 ∵∠ASB=∠BSC=∠CSA= 仔 2 ， ∴ 以 S 为坐标原点， S !" A ， S !" B ， S !" C 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系 . 设 SA=SB= SC=2 ， 则 S （ 0 ， 0 ， 0 ）， B （ 0 ， 2 ， 0 ）， A （ 2 ， 0 ， 0 ）， C （ 0 ， 0 ， 2 ）， M （ 1 ， 1 ， 0 ）， N （ 0 ， 0 ， 1 ）， ∴ S !" M = （ 1 ， 1 ， 0 ）， B !" N = （ 0 ， -2 ， 1 ）， ∴cos 〈S !" M ， B !" N 〉 = -2 2 姨 × 5 姨 =- 10 姨 5 ， ∴ 异面直线 SM 与 BN 所成 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C x y z E F G D 图 1 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C E F G D H 图 2 图 3 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C E F G D 第 11 题答图 119 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 的角的余弦值为 10 姨 5 . 易得平面 SAC 的一个法向量为S S# B = （ 0 ， 2 ， 0 ）， 则 由 cos 〈S SS M ， S S B 〉 = 2 2 姨 ×2 = 2 姨 2 ， 得 〈S SS M ， S S B 〉 = 仔 4 ， ∴ 直线 SM 与平面 SAC 所成角的大小为 仔 4 . 15. （ 1 ） 证明： 易得 AB ， AD ， AP 两两互相垂直， 故以 A 为原点， A SS B ， A SS D ， A S P 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 A （ 0 ， 0 ， 0 ）， B （ 1 ， 0 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 2 ）， C （ 2 ， 2 ， 0 ）， E （ 1 ， 1 ， 1 ）， D （ 0 ， 2 ， 0 ）， ∴ B S E = （ 0 ， 1 ， 1 ）， P S D = （ 0 ， 2 ， -2 ）， ∴ B S E·P S D =0 ， ∴BE⊥PD. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可得B S C = （ 1 ， 2 ， 0 ） ， C S P = （ -2 ， -2 ， 2 ）， A SS C = （ 2 ， 2 ， 0 ） . 由点 F 在棱 PC 上， 设C S F =λ C S P = （ -2λ ， -2λ ， 2λ ）， 0≤λ≤1 ， ∴ B S F = B S C + C S F = （ 1-2λ ， 2-2λ ， 2λ ） . ∵BF⊥AC ， ∴ B S F·A SS C =2 （ 1-2λ ） +2 （ 2-2λ ） =0 ， 解得 λ= 3 4 ， ∴| P S F |= 1- 3 4 4 ) | P S C |= 1 4 4+4+4 姨 = 3 姨 2 ， 即线段 PF 的长为 3 姨 2 . 16. 解： （ 1 ） 易得 AB ， AD ， AP 两两互相垂直， 故 以 A 为原点， A SS B ， A SS D ， A S P 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 P （ 0 ， 0 ， 1 ）， B （ 1 ， 0 ， 0 ）， C （ 1 ， 2 ， 0 ）， D （ 0 ， 3 ， 0 ）， ∴P S B = （ 1 ， 0 ， -1 ）， C SS D = （ -1 ， 1 ， 0 ） . 设 异 面 直 线 PB 与 CD 所 成 的 角 为 θ ， 则 cosθ = ｜ P S B·C SS D ｜ ｜ P S B ｜｜ C SS D ｜ = 1 2 ， ∴ 异面直线 PB 与 CD 所成角的大小为 仔 3 . （ 2 ） 设平面 PBC 的一个法向量为 n= （ u ， v ， w ）， 由 （ 1 ） 可得B S C = （ 0 ， 2 ， 0 ）， 则 P S B· n=0 ， B S C· n=0 0 ， 即 u-w=0 ， 2v=0 0 ， 取 u=w=1 ， 得 n= （ 1 ， 0 ， 1 ）， ∴ 点 D 到平面 PBC 的距离 d= ｜n ·C SS D ｜ ｜n｜ = 2 姨 2 . 17. （ 1 ） 证明： 在菱形 ABCD 中， 记 AC ， BD 的交 点为 O ， 则 OA=OC=4 ， ∵AD=5 ， ∴OB=OD=3. 将 △ABD 折起后变成三棱锥 A鄄BCD ， 在 △ACD 中， AC 2 =AD 2 +CD 2 -2AD · CDcos∠ADC=25+25-2×5×5× 9 25 =32. 在 △AOC 中， OA 2 +OC 2 =32=AC 2 ， ∴∠AOC=90° ， 即 AO⊥CO. 又 ∵AO⊥BO ， BO∩CO=O ， ∴AO⊥ 平面 CBD. 又 ∵AO奂 平面 ABD ， ∴ 平面 ABD⊥ 平面 CBD. （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 知 OC ， OD ， OA 两两互相垂直， 故以 O 为原点， O SS C ， O SS D ， O SS A 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立如图所示的 空间直角坐标系 O鄄xyz ， 则 A （ 0 ， 0 ， 4 ） ， B （ 0 ， -3 ， 0 ） ， C （ 4 ， 0 ， 0 ） ， D （ 0 ， 3 ， 0 ） ， M 0 ， - 3 2 ， 4 ， 2 ， ∴ M SS C = 4 ， 3 2 ， - ， 2 ， D SS C = （ 4 ， -3 ， 0 ） ， A SS C = （ 4 ， 0 ， -4 ） . 设平面 MCD 的一个法向量为 n= （ x ， y ， z ）， 则 n ·M SS C =0 ， n ·D SS C =0 0 ， 即 4x+ 3 2 y-2z=0 ， 4x-3y=0 0 2 2 2 1 2 2 2 3 ， 取 y=4 ， 则 x=3 ， z=9 ， ∴n= （ 3 ， 4 ， 9 ） . 设 AC 与平面 MCD 所成的角为 θ ， 则 sinθ=|cos 〈A SS C ， n 〉 |= ｜A SS C·n｜ ｜A SS C ｜｜n｜ = ｜12-36｜ 4 2 姨 × 106 姨 = 3 53 姨 53 ， ∴AC 与平面 MCD 所成角的正弦值为 3 53 姨 53 . 18. （ 1 ） 证明： 取 PA 的中点 G ， 连接 EG ， DG. ∵PA∥BE ， 且 PA=4 ， BE=2 ， ∴BE∥AG ， 且 BE= AG ， ∴ 四边形 BEGA 为平行四边形， ∴EG∥AB ， 且 EG= AB. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴CD∥AB ， CD=AB ， z y x E A B C D P 第 15 题答图 z y x A B C D P 第 16 题答图 z y x M O A B C D 第 17 题答图 120 参 考 答 案 ∴EG∥CD ， 且 EG=CD ， ∴ 四边形 CDGE 为平行四边形， ∴CE∥DG. ∵DG奂 平面 PAD ， CE埭 平面 PAD ， ∴CE∥ 平面 PAD. （ 2 ） 解 ： 易得 AB ， AD ， AP 两两互相垂直 ， 故以 A 为原点 ， A A% B ， A A% D ， A A% P 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立如图所示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 B （ 4 ， 0 ， 0 ）， C （ 4 ， 4 ， 0 ）， E （ 4 ， 0 ， 2 ）， P （ 0 ， 0 ， 4 ）， D （ 0 ， 4 ， 0 ）， ∴P A% C = （ 4 ， 4 ， -4 ）， P A% E = （ 4 ， 0 ， -2 ）， P A% D = （ 0 ， 4 ， -4 ） . 设平面 PCE 的一个法向量为 m= （ x ， y ， z ）， 则 m ·P A% C =0 ， m ·P A% E = = 0 圯 x+y-z=0 ， 2x-z=0 = ， 令 x=1 ， 则 y=1 ， z=2 ， ∴m= （ 1 ， 1 ， 2 ） . 假设存在点 F （ a ， 0 ， 0 ） （ 0≤a≤4 ） 满足题意， 如 图， 连接 EF ， DF ， DE ， 则F AF E = （ 4-a ， 0 ， 2 ）， D AF E = （ 4 ， -4 ， 2 ） . 设平面 DEF 的一个法向量为 n=（x′ ， y′ ， z′ ）， 则 n ·D AF E =0 ， n ·F AF E = = 0 圯 2x′-２y′+z′=0 ， （ 4-a ） x′+2z′=0 = ， 令 x′=2 ， 则 y′= a 2 ， z′=a-4 ， ∴n= 2 ， a 2 ， a- - . 4 . ∵ 平面 DEF⊥ 平面 PCE ， ∴m · n=0 ， 即 2+ a 2 +2a-8= 0 ， ∴a= 12 5 ， 故存在点 F 12 5 ， 0 ， - . 0 满足题意， 此时 AF AB = 3 5 . 19. （ 1 ） 证明： 取 AD 的中点 H ， 连接 EH ， GH. ∵E ， F ， G ， H 分别是 PD ， PC ， BC ， AD 的中点， ∴EF∥CD ， GH∥CD ， EH∥PA ， ∴EF∥GH ， ∴E ， F ， G ， H 四点共面 . ∵PA ∥EH ， PA 埭 平 面 EFG ， EH 奂 平 面 EFG ， ∴PA∥ 平面 EFG. （ 2 ） 解： ∵ 平面 PDC ⊥ 平 面 ABCD ， 平 面 PDC ∩ 平 面 ABCD=DC ， AD⊥DC ， ∴AD⊥ 平面 PDC. 以 DA ， DC 所在直 线分别为 x 轴 、 y 轴 ， 过点 D 且与平面 ABCD 垂直的直线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 D鄄xyz ， 则 G 1 2 ， 3 2 ， - . 0 ， E 0 ， 1 2 ， 3 姨 2 - . ， F 0 ， 3 2 ， 3 姨 2 - . ， ∴E A% F = （ 0 ， 1 ， 0 ）， G A% F = - 1 2 ， 0 ， 3 姨 2 . ， 易得平面 EFD 的一个法向量为 m= （ 1 ， 0 ， 0 ） . 设平面 EFG 的一个法向量为 n= （ x ， y ， z ）， ∴ n ·E A% F =0 ， n ·G A% F =0 = ， 即 y=0 ， - 1 2 x+ 3 姨 2 z=0 0 5 5 5 4 6 6 6 7 ， 令 x= 3 姨 ， 则 z=1 ， ∴n= （ 3 姨 ， 0 ， 1 ） . ∴cos 〈 m ， n 〉 = m·n ｜m｜｜n｜ = 3 姨 1×2 = 3 姨 2 ， ∴ 〈 m ， n 〉 =30° ， 易知二面角 G鄄EF鄄D 的平面角为锐 角， ∴ 二面角 G鄄EF鄄D 的大小为 30°. （ 3 ） 解： 易得 P （ 0 ， 1 ， 3 姨 ）， B （ 1 ， 1 ， 0 ）， A （ 1 ， 0 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ， 0 ）， 设 Q （ a ， b ， c ）， 则P AF C = （ 0 ， 1 ， - 3 姨 ）， P AF B = （ 1 ， 0 ， - 3 姨 ）， P AF Q = （ a ， b-1 ， c- 3 姨 ） =λ P AF B =λ （ 1 ， 0 ， - 3 姨 ） = （ λ ， 0 ， - 3 姨 λ ）， ∴Q （ λ ， 1 ， 3 姨 - 3 姨 λ ）， A AF Q = （ λ-1 ， 1 ， 3 姨 - 3 姨 λ ）. ∵PC⊥ 平面 ADQ ， ∴PC⊥AQ ， ∴P AF C·A AF Q =1- 3 姨 （ 3 姨 - 3 姨 λ ）=0 ， 解得 λ= 2 3 ， 满足题意 . 第二章章末测试卷 1. A 【解析】 直线 l 1 ： ax+2y+6＝0 与直线 l 2 ： x+ （ a- 1 ） y+5＝0 垂直， 则 a×1+2 （ a-1 ） ＝0 ， 解得 a＝ 2 3 . 故选 A. 2. C 【解析】 根据题意， 方程 x 2 +y 2 -x+y-2m＝0 表示 一个圆， 则有 1+1-4× （ -2m ） ＞0 ， 解得 m＞- 1 4 ， 即 m 的 取值范围为 - 1 4 ， + . ∞ . 故选 C. 3. B 【解析】 当命题甲 、 乙为真命题时， a=2 ， b= 3 2 ， 则 c= 7 姨 2 ， 离心率为 7 姨 4 ， 椭圆上的点到焦点 的距离最大值为 2+ 7 姨 2 ， 不成立； 当命题甲、 丙为真命题时， a=2 ， e= 1 2 ， 故 c=1 ， b= 3 姨 ， 短轴长为 2 3 姨 ， 椭圆上的点到焦点的距离最大 值为 3 ， 成立， 故甲、 丙、 丁为真命题， 乙为假命题； z y x E F A B C D P 第 18 题答图 第 19 题答图 z y x E G F A B C D P H 121