第二章平面几何（期中知识清单）高二数学上学期人教B版

第二章 平面解析几何　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 坐标法 1.1 数轴上的基本公式 如果数轴上点 对应的数为 （即 的坐标为 ，记作 ），点 对应的数为 ，则 ， 两点之间的距离公式为 如果 是线段 的中点，则 ，从而可以得到数轴上的中点坐标公式 示例：数轴上 ， 两点间的距离为 ，它们的中点坐标为 。 1.2 平面直角坐标系中的基本公式 在平面直角坐标系 中，若 ，，则向量 ，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式 若 是线段 的中点，则平面直角坐标系内的中点坐标公式为 一般地，平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式都称为平面直角坐标系中的基本公式。 示例：， 的中点 坐标为 ，两点距离 。 1.3 坐标法 这里我们实际上是通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决了问题。这种解决问题的方法称为坐标法。 示例：证明平行四边形 中 ，可建立平面直角坐标系，用距离公式把线段长度用坐标表示后验证。 2. 直线及其方程 2.1 直线的倾斜角 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与 轴相交，将 轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为 ，则称 为这条直线的倾斜角；如果这条直线与 轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为 。这样，平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且倾斜角 的取值范围为 。 示例：与 轴平行（或重合）的直线倾斜角为 ；与 轴平行（或重合）的直线倾斜角为 。 2.2 直线的斜率 一般地，如果直线 的倾斜角为 ，则当 时，称 为直线 的斜率；当 时，称直线 的斜率不存在。 若 ， 是直线 上两个不同的点，则当 时，直线 的斜率为 当 时，直线 的斜率不存在。 示例：过点 ， 的直线斜率 ，倾斜角 。 2.3 直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 平行或重合，则称向量 为直线 的一个方向向量，记作 。 可以看出，若 ， 是直线 上两个不同的点，则 是直线 的一个方向向量；当直线 的斜率 存在时， 也是直线 的一个方向向量。 示例：倾斜角为 的直线，其一个方向向量可取 ；倾斜角为 的直线，其一个方向向量可取 。 2.4 直线的法向量 一般地，如果表示非零向量 的有向线段所在的直线与直线 垂直，则称向量 为直线 的一个法向量，记作 。 示例：直线 的一个法向量为 。 2.5 直线的方程 一般地，如果直线 上点的坐标都是方程 的解，而且以方程 的解为坐标的点都在直线 上，则称 为直线 的方程，而直线 称为方程 的直线。 示例：点 是否在直线 上，只要看它的坐标是否是此方程的解即可。 2.6 直线的点斜式方程 若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ；若直线 的斜率存在且为 ，且 是直线 上一点，则直线 的方程为 因为此方程由直线上一点和直线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程。 示例：过点 且斜率为 的直线点斜式方程为 ，即 。 2.7 直线的斜截式方程 当直线 既不是 轴也不是 轴时：若 与 轴的交点为 ，则称 在 轴上的截距为 ；若 与 轴的交点为 ，则称 在 轴上的截距为 。一条直线在 轴上的截距简称为截距。 若直线的斜率为 ，截距为 ，则直线的方程为 此方程由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程。 示例：直线 的斜率为 ，截距（在 轴上的截距）为 。 2.8 直线的两点式方程 经过两点 ，（ 且 ）的直线方程为 这种形式的直线方程由直线上的两点确定，称为直线的两点式方程。 示例：过 ， 的直线两点式方程为 。 2.9 直线的截距式方程 直线在 轴、 轴上的截距分别为 ，（）时，直线方程为 此式通常称为直线的截距式方程。需要特别注意的是，这只有直线在 轴与在 轴上的截距都存在且不为 时才成立。 示例：在 轴、 轴上截距分别为 ， 的直线方程为 。 2.10 直线的一般式方程 一般地，关于 ， 的二元一次方程 （， 不全为 ）可以表示任意一条直线。我们把方程 （其中 ， 不全为 ）称为直线的一般式方程。 示例：直线 化为一般式为 。 2.11 两条直线的位置关系 若直线 ，，则： 位置关系 判定条件 与 相交 与 平行 且 与 重合 且 若直线 ，，则 与 相交的充要条件是 ； 与 平行或重合的充要条件是 。 示例：直线 与 斜率相等但截距不等，所以平行。 2.12 两条直线的垂直 若直线 ，，则 若直线 ，，则 与 垂直的充要条件是 示例：直线 与直线 （斜率为 ）满足 ，故不垂直。 2.13 点到直线的距离公式 点 到直线 的距离为 这称为点到直线的距离公式。 示例：点 到直线 的距离 。 2.14 两条平行直线之间的距离 两条平行直线 与 之间的距离为 示例：平行线 与 之间的距离 。 3. 圆及其方程 3.1 圆的标准方程 一般地，圆心为 ，半径为 的圆的方程是 这个方程称为圆的标准方程。特别地，圆心在原点、半径为 的圆的标准方程是 。 示例：圆心为 、半径为 的圆的标准方程为 。 3.2 圆的一般方程 方程 （其中 ，， 都是常数）称为圆的一般方程。配方可得 的取值 结论 表示以 为圆心、 为半径的圆 表示一个点，不是圆的方程 方程没有实数解，不是圆的方程 示例：方程 化为 ，是圆心为 、半径为 的圆。 3.3 直线与圆的位置关系 设圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，则直线与圆的位置关系如下： 位置关系 判定条件 公共点个数 相交 2 个 相切 1 个 相离 0 个 示例：直线 与圆 （半径 ）： 时相交， 时相切， 时相离。 3.4 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有相离、相切、相交三种：当圆与圆没有公共点时，圆与圆相离；当圆与圆只有一个公共点时，圆与圆相切；当圆与圆有两个公共点时，圆与圆相交。 设两圆半径分别为 ，（），圆心距为 ，则： 位置关系 判定条件 外离 外切 相交 内切 内含 示例：圆 （半径 ）与圆 （半径 ）的圆心距 ，满足 ，故相交。 4. 曲线与方程 4.1 曲线的方程与方程的曲线 如果曲线 上的点的坐标都是方程 的解，而且以方程 的解为坐标的点都在曲线 上，则称 为曲线 的方程，而曲线 称为方程 的曲线。 示例：曲线 上一点的坐标满足方程，则此点必在曲线上；反之，方程的一组解对应的点必在曲线上，二者缺一不可。 4.2 求曲线的方程（求动点轨迹方程的一般步骤） 求动点 轨迹方程的一般步骤： 1. 设动点 的坐标为 （如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 1. 写出 要满足的几何条件，并将该几何条件用 的坐标表示出来； 1. 化简并检验所得方程是否为 的轨迹方程。 示例：求到点 ， 距离之比为 的点的轨迹：设动点为 ，由 列式、平方、化简得轨迹方程。 5. 椭圆及其方程 5.1 椭圆的定义 如果 ， 是平面内的两个定点， 是一个常数，且 ，则平面内满足 的动点 的轨迹称为椭圆，其中，两个定点 ， 称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离 称为椭圆的焦距。 示例：已知 ，，满足 的动点 的轨迹是一个椭圆。 5.2 椭圆的标准方程 设椭圆的焦距为 ，椭圆上的动点 满足 （），令 （），则： 焦点位置 标准方程 焦点坐标 焦点在 轴 （） ， 焦点在 轴 （） ， 方程 （）通常称为焦点在 轴上的椭圆的标准方程。 示例：焦点为 ，、长半轴长为 的椭圆：，，，标准方程为 。 5.3 椭圆的几何性质 对于椭圆 （）： 性质 结论 范围 ，，椭圆位于四条直线围成的矩形内 对称性 关于 轴、 轴、坐标原点对称，坐标原点称为椭圆的中心 顶点 与 轴交点 ，；与 轴交点 ， 长轴、短轴 长轴 长为 ，短轴 长为 ，， 分别为半长轴长、半短轴长 关系 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比 称为椭圆的离心率。因为 ，所以 ； 越趋近于 ，椭圆越扁； 越趋近于 ，椭圆越接近于圆。 示例：椭圆 中，，，故 ，焦点为 ，离心率 。 6. 双曲线及其方程 6.1 双曲线的定义 如果 ， 是平面内的两个定点， 是一个正常数，且 ，则平面上满足 的动点 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点 ， 称为双曲线的焦点，两个焦点的距离 称为双曲线的焦距。 示例：已知 ，满足 的动点 的轨迹是双曲线。 6.2 双曲线的标准方程 设双曲线的焦距为 ，动点 满足 （），令 （），则： 焦点位置 标准方程 焦点坐标 焦点在 轴 （，） ， 焦点在 轴 （，） ， 方程 （，）通常称为焦点在 轴上的双曲线的标准方程。 示例：焦点为 、实半轴长为 的双曲线：，，，标准方程为 。 6.3 双曲线的几何性质 对于双曲线 （，）： 性质 结论 范围 或 ，双曲线位于两平行直线之外 对称性 关于 轴、 轴、坐标原点对称，坐标原点称为双曲线的中心 顶点 与 轴交点 ，，线段 称为实轴（长为 ）；，，线段 称为虚轴（长为 ） 渐近线 关系 一般地，双曲线的半焦距与半实轴长之比 称为双曲线的离心率。因为 ，所以 。 示例：双曲线 中，，，故 ，渐近线为 ，离心率 。 7. 抛物线及其方程 7.1 抛物线的定义 一般地，平面内到一个定点 和一条定直线 （ 不在 上）的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中，定点 称为抛物线的焦点，定直线 称为抛物线的准线。 示例：到点 与到直线 距离相等的点的轨迹是以 为焦点、 为准线的抛物线。 7.2 抛物线的标准方程 设抛物线的焦点到准线的距离为 （），则四种标准方程如下： 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 示例：抛物线 中 ，即 ，焦点为 ，准线为 。 7.3 抛物线的几何性质 以 （）为例： 性质 结论 范围 ，抛物线位于 轴右侧 对称性 关于 轴对称， 轴称为抛物线的对称轴（简称为轴） 顶点 与对称轴的交点即坐标原点，称为抛物线的顶点 离心率 示例：抛物线 关于 轴对称，顶点为 ，开口向上。 8. 直线与圆锥曲线的位置关系 8.1 直线与圆锥曲线的位置关系 将直线方程与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程联立，消去一个未知数后得到关于另一个未知数的一元方程，再依据此方程判别式的符号判定： 位置关系 判定条件 公共点个数 相交 2 个 相切 1 个 相离 0 个 示例：直线 与圆 联立消元后，由判别式 与 的大小判定相交、相切、相离。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 一般式直线中的斜率、截距与法向量速记 直线 （）的斜率为 ，在 轴上的截距为 ； 是直线的一个法向量， 是直线的一个方向向量。 1.2 过定点求直线与直线系 与直线 平行的直线可设为 （）；与之垂直的直线可设为 。如过点 且与 平行的直线，设为 再代入点求 。 1.3 弦长公式 直线 与圆锥曲线交于 ， 两点，则弦长 其中 为直线斜率， 为联立消元后所得一元二次方程的二次项系数， 为其判别式。 【使用提醒】使用前需先确认 ，直线与曲线确有公共点。 1.4 中点弦（点差法）求中点轨迹 设 ， 是椭圆 上的两点，中点为 ，将两点坐标代入方程后作差，可得 ；对双曲线 ，则为 。 1.5 椭圆的焦点三角形面积 椭圆 （）上一点 与两焦点 ， 组成的 （焦点三角形）中，若 ，则其面积 【使用提醒】此结论适用于椭圆（ 取短半轴的平方）；双曲线对应结论为 。 1.6 抛物线的焦点弦与焦半径 抛物线 （）上一点 到焦点的距离（焦半径）为 ；过焦点的弦（焦点弦）长等于两端点横坐标之和加 。 1.7 双曲线渐近线方程的快速求法 双曲线 的渐近线为 ，可把标准方程右边“”改为“”即得渐近线方程 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求直线方程的五步流程 先判断斜率是否存在，再按已知条件选用合适形式（点斜式/斜截式/两点式/截距式/一般式），代入已知数据，化简为一般式。如过点 且在两坐标轴上截距相等，分截距为 （过原点）与截距不为 （设为 ）两类讨论。 2.2 求圆的方程的两类设元 待定圆心、半径用标准方程 ；已知三点或需用待定系数列三元一次方程组时用一般方程 。如过 ，， 三点的圆，设一般方程代入三点解出 ，，。 2.3 判定直线与圆位置关系的两种思路 一是几何法：比较圆心到直线的距离 与半径 的大小；二是代数法：联立方程组消元后看判别式 。求弦长、判断相交时常用几何法，可减少运算。 2.4 求动点轨迹方程的四步法 建系（已有则省）→ 设动点坐标 → 把几何条件翻译成坐标等式 → 化简并检验纯粹性与完备性。如求到两定点距离之和为定值的动点轨迹，直接按椭圆定义可得。 2.5 直线与圆锥曲线相交的综合问题套路 联立方程消元 → 得到一元二次方程 → 由韦达定理写出 、 → 用“设而不求”整体代换求弦长、中点、面积等。如求圆 与直线 的弦长，设交点坐标但不求出，用 求解。 2.6 判定直线与圆锥曲线位置关系的判别式法 直线与圆锥曲线联立消元后：二次项系数不为 时， 相交、 相切、 相离；二次项系数为 时（如直线与双曲线渐近线平行、与抛物线对称轴平行），直线与曲线恰有一个交点，需单独讨论。 【使用提醒】“ 相切”仅对圆锥曲线（二次曲线）成立；二次项系数为 的退化情形须单独判断，不能直接套判别式。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 斜率不存在先判 见到“求直线方程”先看直线是否垂直于 轴，避免漏掉 这类解 过点 且与 轴平行的直线为 垂直条件速记 斜截式 ，一般式 ，二者等价 与 ：，垂直 距离公式先化一般式 用 前，先把直线化为 的形式 求 到 的距离 圆方程配方看半径 判断 是否表示圆，先配方看 的符号 配方得 椭圆双曲线先定焦点轴 看 、 项分母大小定焦点轴，再写 ，， 关系 中 ，焦点在 轴 抛物线焦点准线口诀 一次项定对称轴与开口，焦点在对称轴上、距顶点 焦点 ，准线 4. 常见考试模型 4.1 弦长问题模型 公式：直线 与圆锥曲线交于 ， 两点，。 限定：须先保证 ；当直线斜率不存在时用 。 示例：如求直线 截圆 所得弦长，用该公式算得 。 4.2 中点弦（点差法）模型 公式：椭圆 内一点 为中点的弦所在直线斜率 。 限定：；弦的中点必须在曲线内部（点差法所得直线需检验与曲线确有交点）。 示例：如椭圆 内以 为中点的弦，斜率 。 4.3 焦点三角形模型 公式：椭圆焦点三角形面积 （）；周长为 。 限定： 在椭圆上且不与顶点重合。 示例：如椭圆 上点 满足 ，则 。 4.4 最值（几何转化）模型 公式：椭圆上一点 到焦点 的距离范围 ；圆上一点到圆外一点的距离最值用“圆心连线±半径”。 限定：先判点与曲线的位置关系，再取最近、最远端点。 示例：如圆 上点 到原点距离的最大值为 ，最小值为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：漏掉“斜率不存在”的直线 典例：求经过点 且到直线 的距离为 的直线方程。 错解：设所求直线的斜率为 ，则其方程为 ，即 。由点到直线的距离公式， 到 的距离为定值，但直线 是竖直直线，用点斜式求不出与之平行或重合的直线，学生强行设斜率后漏掉了斜率不存在的直线 。 正解：直线 是垂直于 轴的直线，斜率不存在。与它平行且过 的直线为 ，它到 的距离为 ，符合题意；此外斜率为 的直线 与 垂直相交，不符合“距离为 ”。综上所求直线为 。 原因：忽略隐含条件。用点斜式或斜截式设方程时，已经默认了斜率存在，会漏掉垂直于 轴的直线。凡“求过某点且满足某条件的直线”都要先检验斜率不存在的情形（形如 ），再设斜率存在的方程，二者取并集。 易错点 2：把“截距”当成“距离”，漏掉负值与过原点的情形 典例：求经过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 错解：设直线方程为 ，代入 得 ，解得 ，故直线方程为 。 正解：截距相等分两种情形：① 截距不为 ，设 ，代入得 ，即 ；② 截距都为 ，即直线过原点，此时设 ，代入 得 ，即 。综上，直线方程为 或 。 原因：概念理解错误。截距是直线与坐标轴交点的坐标（可正、可负、可为 ），不是距离（非负）。用截距式 的前提是截距都存在且不为 ，故过原点的直线（截距为 ）不能套截距式，需单独讨论。 易错点 3：把圆的一般方程误判为圆，忘了检验 典例：判断方程 是否表示圆，若表示圆，写出圆心与半径。 错解：它形如 ，所以是圆，圆心为 ，半径为 ……学生直接套圆心、半径公式，甚至对 开方得负数也不自知。 正解：配方得 ，左边是非负数，右边是负数，方程无实数解，不表示任何曲线，更不是圆。因为 。 原因：忽略使用前提。形如 的方程只是“可能”表示圆，必须满足 才是圆；等于 是一个点，小于 无图形。学生只记形式、不记前提，见到该形式就直接写圆心半径。 易错点 4：椭圆、双曲线标准方程中 大小关系与焦点位置判断错误 典例：求焦点在 轴上、经过点 与 的椭圆的标准方程。 错解：设椭圆为 ，代入两点得 ，，故方程为 ，并认为焦点在 轴。 正解：椭圆标准方程中 ，且焦点在哪个轴上，那个轴对应的分母就是 。焦点在 轴，应设 ，代入 得 ，代入 得 ，故方程为 。 原因：概念理解错误。椭圆的“长轴”对应 （分母较大者），“焦点在 轴”要求 项的分母较大；“焦点在 轴”要求 项的分母较大。学生把 当成固定模板，没有根据焦点轴对调 的位置；双曲线同理，焦点轴对应的项前为正号。 易错点 5：双曲线定义漏写绝对值，只得到一支 典例：已知 ，，动点 满足 ，求动点 的轨迹方程。 错解：由双曲线定义，，，又 ，故 ，轨迹方程为 。 正解：条件 表示到 的距离比到 的距离大 ，即 到 更远，只能取双曲线的右支（靠近 的一支），且须注明 。其轨迹是双曲线 的右支；若条件是 （含绝对值），才是完整双曲线。 原因：条件遗漏。双曲线定义是 ，绝对值表示“距离之差的绝对值”，对应完整双曲线；去掉绝对值后 （或 ）只对应一支。学生看到“距离之差”就套完整双曲线方程，忽略了题目给的是不带绝对值的一边，遗漏了“取哪一支”的限定。 易错点 6：求轨迹方程不检验纯粹性，混入不合题意的点 典例：已知 ，，动点 满足 ，求动点 的轨迹方程。 错解：由 得 ，设 ，则 ，，由 得 ，即 ，故轨迹是圆 。 正解： 表示整个圆，但当 与 或 重合时（即 ，）， 无意义，这两点必须除去。故轨迹为圆 除去 ， 两点。 原因：忽略纯粹性。求轨迹方程最后一步是“检验”，既要保证曲线上每一点都满足条件（完备性），也要保证满足条件的点都在曲线上、不含多余点（纯粹性）。学生算出等式就作答，未回代检验是否有使几何条件无意义的点（如端点、交点、使分母为 的点）混入。 学科网（北京）股份有限公司 $