2.4 曲线与方程-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练 效 果 评 价 1. 下列四个图形中， 图形下面的方程是 图形中曲线的方程的是 （ ） 2. 若 M （ 1 ， 2 ） 在曲线 x 2 ＋ay 2 =2 上， 则 a 的值为 （ ） A. 1 4 B. 4 C. 1 3 D. 3 3. 方程 x 2 +y 2 =1 （ xy>0 ） 表示的曲线是 （ ） 4. 曲线 y = 1 4 x 2 与 x 2 +y 2 =5 的交点是 （ ） A. （ 2 ， 1 ） B. （ ±2 ， 1 ） C. （ 2 ， 1 ） 或 （ 2 5 姨 ， 5 ） D. （ ±2 ， 1 ） 或 （ ±2 2 姨 ， 5 ） 5. 方程 x 4 +y 4 =4 （ x 2 +y 2 ） 所表示曲线的大 致形状为 （ ） 6. 方程 4x 2 -y 2 -4x+2y=0 表示的图形是 （ ） A. 直线 2x-y=0 B. 直线 2x+y-2=0 C. 点 1 2 ， ， # 1 D. 直线 2x-y=0 和直线 2x+y-2=0 7. 曲线 y= 1-x 2 姨 和 y=-x＋ 2 姨 公共点的 个数为 . 8. 方程 2x 2 -9xy+8y 2 =0 的曲线 C 所满足 的性质为 （填上所有正确的序号） . 2.4 曲线与方程 第 1课时 曲线与方程的概念 x y O 1 1 -1 x y O 1 1 -1 -1 lgx+lgy=1 y=｜x｜ C D x y O -1 1 x y O -1 1 -1 1 x y O -1 1 -1 1 x y O -1 1 -1 1 A B C D A B C D x y O 2-2 -2 2 x y O 2-2 -2 2 x y O 2-2 -2 2 y O 2-2 -2 2 x x y O -1 1 x y O 1 1 x 2 +y 2 =1 x 2 -y 2 =0 A B 54 第二章 平面解析几何 练 ① 不经过第二、 四象限； ② 关于 x 轴对 称； ③ 关于原点对称； ④ 关于直线 y=x 对称 . 9. 下列方程各表示什么图形？ （ 1 ） （ x-1 ） 2 + （ y+2 ） 2 =0 ； （ 2 ） x 2 +y 2 -2x+4y-4=0 ； （ 3 ） x 2 +y 2 +4y=0 ； （ 4 ） x 2 +y 2 -2ax-b 2 =0. 10. 画出方程 （ x＋y-1 ） x-y-2 姨 =0 所表 示的曲线 . 提 升 练 习 11. 已知条件甲： 曲线 C 是方程 f （ x ， y ） =0 的曲线， 条件乙： 曲线 C 上的点的坐标 都是方程 f （ x ， y ） =0 的解， 则甲是乙的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. （多选题） 已知曲线 C ： 1 x 2 + 1 y 2 =1 ， 则下列结论正确的有 （ ） A. 曲线 C 与坐标轴无公共点 B. 曲线 C 关于原点对称 C. x 的取值范围是 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） D. 曲线 C 与圆 x 2 +y 2 =2 有交点 13. （多选题） 方程 xy （ x+y ） =1 所表示的 曲线 （ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 与直线 x=-1 没有交点 D. 不经过第三象限 14. 点 P （ x ， y ） 到两条直线 |y|=|x| 的距离 之和为 3 ， 则 x 2 +y 2 的最大值是 . * 15. 已知方程式 x 2 + y 2 + 2 （ 2- cos 2 兹 ） x- 2 （ 1+sin 2 兹 ） y-4cos 2 兹+2sin 2 兹+5=0. 求证： 不论 兹 取任何实数值， 方程的曲线总经过两定点 P 1 ， P 2 ， 并求出 P 1 ， P 2 两点的坐标 . 55 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练 效 果 评 价 1. 方程 （ x-y ） lnx=0 所表示的曲线为 （ ） A. 射线 x-y=0 （ x>0 ） B. 直线 x=1 C. 射线 x-y=0 （ x>0 ） 和直线 x=1 D. 无法确定 2. 到两定点 A （ 0 ， 0 ）， B （ 3 ， 4 ） 距离之 和为 5 的点的轨迹方程是 （ ） A. 3x-4y=0 ， 且 x＞0 B. 4x-3y=0 ， 且 0≤y≤4 C. 4y-3x=0 ， 且 0≤x≤3 D. 3y-4x=0 ， 且 y＞0 3. 在平面直角坐标系中， △ABC 的顶点 B ， C 的坐标为 （ -2 ， 0 ）， （ 2 ， 0 ）， 中线 AD 的长度是 3 ， 则顶点 A 的轨迹方程是 （ ） A. x 2 +y 2 =3 B. x 2 +y 2 =4 C. x 2 +y 2 =9 （ y≠0 ） D. x 2 +y 2 =9 （ x≠0 ） 4. 过圆 x 2 +y 2 =4 上任意一点 M 作 x 轴的 垂线， 垂足为 N ， 则线段 MN 中点的轨迹方 程为 （ ） A. x 2 +4y 2 =4 B. x 2 +2y 2 =4 C. x 2 +y 2 =4 D. x 2 +y 2 = 1 4 5. 已知圆 C 的标准方程是 （ x-2 ） 2 + （ y- 4 ） 2 =k （ k>0 ）， 若圆 C 与 y 轴交于 A ， B 两 点， 且点 A 在点 B 的上方， 圆 C 与 x 轴交 于 E ， F 两点 ， 且点 E 在点 F 的右方 ， 则 AE 中点 M 的轨迹方程是 （ ） A. （ y-2 ） 2 - （ x-1 ） 2 =3 （ x>1 ， y>2+ 3 姨 ） B. （ y-2 ） 2 - （ x-1 ） 2 =3 C. （ x-2 ） 2 - （ y-1 ） 2 =3 （ x>1 ， y>2+ 3 姨 ） D. （ x-2 ） 2 - （ y-1 ） 2 =3 6. 在平面直角坐标系中， 动点 P 到点 （ 1 ， 0 ） 的距离是到点 （ -1 ， 0 ） 的距离的 3 姨 倍， 则动点 P 的轨迹方程是 . 7. 已知圆 C ： （ x-1 ） 2 + （ y-1 ） 2 =9 ， 过点 A （ 2 ， 3 ） 作圆 C 的任意弦， 则这些弦的中点 P 的轨迹方程为 . 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作 《圆 锥曲线论》 中给出了圆的另一种定义： 平面 内， 到两个定点 A ， B 距离之比是常数 姿 （ 姿> 0 ， 姿≠1 ） 的点 M 的轨迹是圆， 若两定点 A ， B 的距离为 3 ， 动点 M 满足 |MA|=2|MB| ， 则 M 点的轨迹围成区域的面积为 . 9. 已知圆（ x+1 ） 2 +y 2 =2 上动点 A ， x 轴上 定点 B （ 2 ， 0 ）， 将 BA 延长到 M ， 使 AM= BA ， 求动点 M 的轨迹方程 . 10. 已知 A ， B 两点的坐标分别是 （ -1 ， 0 ）， （ 1 ， 0 ） . 直线 AM ， BM 相交于点 M ， 且它们的斜率之和是 2 ， 求点 M 的轨迹方程 . 第 2课时 求曲线方程 56 第二章 平面解析几何 练 提 升 练 习 11. 若圆 C ： x 2 +y 2 +2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称， 则由点 （ a ， b ） 所作的切 线长的最小值是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12. （多选题） 古希腊数学家阿波罗尼 斯 （约公元前 262 —前 190 ） 的著作 《圆锥 曲线论》 是古代世界光辉的科学成果， 著作 中有这样一个命题： 平面内与两定点距离的 比为常数 k （ k>0 且 k≠1 ） 的点的轨迹是 圆， 后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆 . 已知 O （ 0 ， 0 ）， A （ 3 ， 0 ）， 圆 C ： （ x-2 ） 2 +y 2 =r 2 （ r> 0 ） 上有且仅有一个点 P 满足 |PA|=2|PO| ， 则 r 的取值可以为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 * 13. （多选题） 已知曲线 C ： 1 x 2 + 1 y 2 =1 ， 则下列结论正确的有 （ ） A. 曲线 C 与坐标轴无公共点 B. 曲线 C 关于原点对称 C. x 的取值范围是 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） D. 曲线 C 与圆 x 2 +y 2 =2 有交点 14. 已知 A （ 2 ， 1 ）， B （ 2 ， -1 ）， O 为坐 标原点， 动点 P （ x ， y ） 满足 O O$ P =mO O$ A +nO O$ B ， 其中 m ， n∈R ， 且 m 2 +n 2 = 1 2 ， 则动点 P 的 轨迹方程是 . 15. 为了保证我国东海油气田海域的海 上平台的生产安全， 海事部门在某平台 O 的 正东方向设立了两个观测站 A ， B （点 A 在 点 O 、 点 B 之间）， 它们到平台 O 的距离分 别为 3 n mile 和 12 n mile ， 记海平面上到两 观测站距离 PA ， PB 之比为 1 2 的点 P 的轨迹 为曲线 E ， 规定曲线 E 及其内部区域为安全 预警区 （如图） . （ 1 ） 以 O 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 求曲线 E 的方程 . （ 2 ） 某日在观测站 B 处发现， 在该海上 平台正南 2 11 姨 n mile 的 C 处， 有一艘轮船 正以每小时 10 n mile 的速度向北偏东 30° 方 向航行， 如果航向不变， 该轮船是否会进入 安全预警区？ 如果不进入， 说明理由； 如果 进入， 则它在安全预警区中的航行时间是几 小时？ x y O A B C 第 15 题图 57 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 x=2+ 3 姨 cos兹 ， y= 3 姨 sin兹 兹 ， 则： （ 2 ） y-x= 3 姨 sin兹- 3 姨 cos兹-2= 6 姨 sin 0- π 4 # $ -2 ， ∴y-x 的最大值为 6 姨 -2 ， 最小值为 - 6 姨 -2. （ 3 ） x 2 +y 2 = （ 2+ 3 姨 cos兹 ） 2 + （ 3 姨 sin兹 ） 2 =4+4 3 姨 cos兹+ 3cos 2 兹+3sin 2 兹=7+4 3 姨 cos兹 ， ∴x 2 +y 2 的最大值是 7+4 3 姨 ， 最小值是 7-4 3 姨 . 14. （ 1 ） 证明： 直线 l 可化为 x+y-4+m （ 2x+y-7 ） =0 ， 即不论 m 取什么实数， 它恒过两直线 x+y-4=0 与 2x+y- 7=0 的交点 . 两方程联立， 解得交点为 （ 3 ， 1 ） . 又由 （ 3-1 ） 2 + （ 1-2 ） 2 =5＜25 得点 （ 3 ， 1 ） 在圆的内 部， ∴ 不论 m 为何实数， 直线 l 与圆恒相交 . （ 2 ） 解： 从 （ 1 ） 的结论知直线 l 过定点 M （ 3 ， 1 ）， 当直线 l 与 CM 垂直时， l 被圆所截的弦长 |AB| 最短， 由 垂径定理得 |AB |=2 r 2 -CM 2 姨 =2 25- ［（ 3-1 ） 2 + （ 1-2 ） 2 ］ 姨 = 4 5 姨 . 此时， k l =- 1 k CM ， 从而 k l =- 1 2-1 1-3 =2 ， ∴l 的方程为 y- 1=2 （ x-3 ）， 即 2x-y-5=0. 15． 解： （ 1 ） 点 A 是失败点 . （ 2 ） 建立以 A 点为坐标原点， AD 为 x 轴、 AB 为 y 轴的直角坐标系， 如图， E （ 0 ， 3 ）， F （ 0 ， 6 ） . 设机器人的速度为 v ， 则电子狗的速度为 2v ， 由电 子狗失败的区域内任意点 P （ x ， y ）， 可得 x 2 + （ y-3 ） 2 姨 v ≤ x 2 + （ y-6 ） 2 姨 2v ， 即 x 2 + （ y-2 ） 2 ≤4 （ 0≤x≤2 ）， 即失败点 组成的区域为以 （ 0 ， 2 ） 为圆心， 2 为半径的半圆及其 内部， ∴ 电子狗失败的区域面积 S= 1 2 ×4π=2π （ m 2 ） . （ 3 ） 当线段 FP 与 （ 2 ） 中圆相切时 ， ∠AFP=30° ， ∴|AP|=6tan30°=2 3 姨 . ∵ 电子狗在线段 FP 上都能逃脱， ∴|AP|∈ （ 2 3 姨 ， 18 ］ . 又 ∵|AD|=18 ， ∴ |AP| |AD| 的取值范围 是 3 姨 9 ， ， 1 1 . 2.4 曲线与方程 第 1 课时 曲线与方程的概念 学习手册 变式训练 1 A 【解析】 设曲线 F 1 （ x ， y ） =0 和 F 2 （ x ， y ） = 0 的交点 P 的坐标为 （ x 0 ， y 0 ）， 因此有 F 1 （ x 0 ， y 0 ） =0 且 F 2 （ x 0 ， y 0 ） =0 ， 因此 F 1 （ x 0 ， y 0 ） -F 2 （ x 0 ， y 0 ） =0 ， ∴ 曲线 F 1 （ x ， y ） -F 2 （ x ， y ） =0 必定经过 P 点， 故选 A. 变式训练 2 0 5 （答案不唯一） 【解析】 根据题意， 曲线 C ： x 4 + （ a+1 ） y 2 +ay-b=0 （ a ， b 是常数） 关于 x 轴对称， 则 （ x ， -y ） 和 （ x ， y ） 都在曲线 C 上， 则有 x 4 + （ a+1 ） y 2 + ay-b=x 4 + （ a+1 ） y 2 -ay-b ， 变形可得 2ay=0 ， 必有 a=0 ， 则 C 的方程为 x 4 +y 2 =b. 若 C 上所有点都在圆 x 2 +y 2 =2 外， 即有 x 2 + （ b-x 4 ） >2 在 ［ - 2 姨 ， 2 姨 ］ 上恒成立 . 设 t=x 2 ， 则有 b-2>t 2 -t 在区间 ［ 0 ， 2 ］ 上恒成立 ， 即有 b>t 2 -t+2 在区间 ［ 0 ， 2 ］ 上恒成立 . ∵g （ x ） =x 2 -x+2= x- 1 2 2 $ 2 + 7 4 ， x∈ ［ 0 ， 2 ］， 在 0 ， 1 2 2 ， 上单调递减， 在 1 2 ， ， 2 # 上单调递增， 且 g （ 0 ） =2 ， g （ 2 ） = 4 ， ∴g （ x ） max =g （ 2 ） =4 ， ∴b>4 ， 故 b 的值可以为 5. 变式训练 3 2 【解析】 曲线 y= 4-x 2 姨 为以原点 O（0 ， 0 ） 为圆 心， 2 为半径的半圆 （x 轴及 x 轴上方 ）， 若曲线与直线 y=m 有且只有一个公共点 ， 如图 ， 则 m=2. 随堂练习 1. 2 【解析 】 曲线 x 2 + my-3=0 过点 （ 1 ， 1 ）， 可得 1+m-3=0 ， 解得 m=2． 2. 2 【解析 】 利用数形 结合的思想方法 ， 如图所 示： 由图可知， 交点有 2 个 . 3. B 【解析】 曲线 C 的方程为 x 2 +y 2 +|x|y=2 020 ， 将 x 换为 -x ， y 不变， 原方程化为 x 2 +y 2 +|x|y=2 020 ， ∴ 曲线 C 关于 y 轴对称； 将 y 换为 -y ， x 不变， 原方程化为 x 2 +y 2 -|x|y=2 020 ， ∴ 曲线 C 不关于 x 轴对称； 将 x 换为 -x ， y 换为 -y ， 原方程化为 x 2 +y 2 -|x|y=2 020 ， ∴ 曲线 C 不关于原点对称； 将 x 换为 y ， y 换为 x ， 原方程化为 x 2 +y 2 +|y|x=2 020 ， ∴ 曲线 C 不关于直线 y=x 对称 ． E F A B C D x y 第 15 题答图 x y OA B D y=m 变式训练 3 答图 x O y -1 1 y=- 1-x 2 姨 y=-｜a · x｜ 第 2 题答图 88 参 考 答 案 故选 B． 4. B 【解析】 ∵y 2 =4x ， ∴y=2 x 姨 或 y=-2 x 姨 ， 故点 M 在曲线 y 2 =4x 上， 但不一定在曲线 y=-2 x 姨 上， ∴ 点 M 的坐标不一定满足方程 y=-2 x 姨 ； 反过来， 点 M 的 坐标满足方程 y=-2 x 姨 ， 则点 M 一定在曲线 y=-2 x 姨 上， 故也一定在曲线 y 2 =4x 上 ， ∴ “点 M 在曲线 y 2 =4x 上” 是 “点 M 的坐标满足方程 y=-2 x 姨 ” 的必要不充 分条件， 故选 B. 5. D 【解析 】 原方程等价于 x+y-1=0 ， x 2 +y 2 ≥ # 4 或 x 2 +y 2 =4. 其中当 x+y-1=0 时， 需 x 2 +y 2 -4 姨 有意义， 即 x 2 +y 2 ≥4 ， 此时原方程表示直线 x+y-1=0 不在圆 x 2 +y 2 =4 内的部分 及圆 x 2 +y 2 =4. 故选 D. 6. O （ 0 ， 0 ）， B （ -2 ， -3 ） 【解析】 将 O （ 0 ， 0 ） 代入 （ 2x-y+1 ） x-3y 姨 =0 中， 0-3×0 姨 =0 ， 故 O （ 0 ， 0 ） 在曲 线 C 上 ； 将 A （ 0 ， 1 ） 代入 （ 2x-y+1 ） x-3y 姨 =0 中 ， 0-3×1 姨 无意义， 故 A （ 0 ， 1 ） 不在曲线 C 上； 将 B （ -2 ， -3 ） 代入 （ 2x-y+1 ） x-3y 姨 =0 中， （-4+3+1 ） × -2+9 姨 = 0 ， 故 B （ -2 ， -3 ） 在曲线 C 上； 将 C 3 2 ， - - % 4 代入（ 2x- y+1 ） x-3y 姨 =0 中 ， （ 3 +4 +1 ） × 3 2 +12 姨 ≠ 0 ， 故 C 3 2 ， - - % 4 不在曲线 C 上 . 练习手册 效果评价 1. D 【解析 】 点 （ 0 ， -1 ） 满足方程 ， 但不在曲线 上， 排除 A ； 点 （ 1 ， -1 ） 满足方程 ， 但不在曲线上 ， 排除 B ； 曲线上第三象限的点， 由于 x＜0 ， y＜0 ， 不满足 方程， 排除 C ， 故选 D. 2. A 【解析】 ∵M （ 1 ， 2 ） 在曲线 x 2 +ay 2 =2 上， 代入 曲线方程可得 a= 1 4 . 故选 A. 3. B 【解析】 由 xy>0 可知， 对应的曲线在第一、 三 象限 . 故选 B . 4. B 【解析 】 由 y= 1 4 x 2 ， x 2 +y 2 =5 5 ) ) ) ( ) ) ) * ， 可得 x=2 ， y= # 1 或 x=-2 ， y=1 # . 故 选 B. 5. A 【解析】 令 x=0 ， 解得 y=±2 ， 令 y=0 ， 解得 x= ±2 ， 故排除 CD 选项； 易知该函数图象不是圆， 排除 B 选项； 又 ∵ （ 0 ， 0 ） 点满足条件， 故选 A. 6. D 【解析】 方程 4x 2 -y 2 -4x+2y=0 可化为 （ 2x+y ）· （ 2x-y ） -2 （ 2x-y ） =0 ， 即 （ 2x-y ）（ 2x+y-2 ） =0 ， 故 2x-y=0 或 2x+y-2=0 ， 即方程表示的图形是直线 2x-y=0 和直线 2x+y-2=0． 故选 D. 7. 1 【解析 】 由 y= 1-x 2 姨 ， y=-x+ 2 姨 # ， 得 -x+ 2 姨 = 1-x 2 姨 ， 两边平方并整理得 （ 2 姨 x-1 ） 2 =0 ， ∴x= 2 姨 2 ， y= 2 姨 2 ， 故公共点只有一个 2 姨 2 ， 2 姨 2 - % . 8. ①③ 【解析】 由 2x 2 -9xy+8y 2 =0 ， 得 9xy=2x 2 +8y 2 ≥ 0 ， ∴x ， y 同号或同时为零， 故不经过第二、 四象限， 故 ① 正确； 由 2x 2 -9xy+8y 2 =0 ， 以 -y 换 y ， 得到 2x 2 +9xy+8y 2 =0 ， 故不关于 x 轴对称， 故 ② 错误； 由 2x 2 -9xy+8y 2 =0 ， 以 -y 换 y ， 以 -x 换 x ， 得到 2x 2 - 9xy+8y 2 =0 ， 故关于原点对称， 故 ③ 正确； 由 2x 2 -9xy+8y 2 =0 ， x ， y 互换得到 2y 2 -9xy+8x 2 =0 ， 故 不关于直线 y=x 对称， 故 ④ 错误 ． 9. 解： 根据题意， 依次分析 4 个方程： （ 1 ） （ x-1 ） 2 + （ y+2 ） 2 =0 ， 必有 x=1 且 y=-2 ， 表示点 （ 1 ， -2 ） . （ 2 ） x 2 +y 2 -2x+4y-4=0 ， 变形可得（ x-1 ） 2 + （ y+2 ） 2 =9 ， 表示以 （ 1 ， -2 ） 为圆心， 半径为 3 的圆 . （ 3 ） x 2 +y 2 +4y=0 ， 变形可得 x 2 + （ y+2 ） 2 =4 ， 表示以 （ 0 ， -2 ） 为圆心， 半径为 2 的圆 . （ 4 ） x 2 +y 2 -2ax-b 2 =0 ， 变形可得 （ x-a ） 2 +y 2 =a 2 +b 2 ， 当 a=b=0 时， 表示点 （ 0 ， 0 ）， 当 a≠0 或 b≠0 时， 表示以 （ a ， 0 ） 为圆心， 半径 为 a 2 +b 2 姨 的圆 ． 10. 解 ： 方程 （ x+y-1 ） x-y-2 姨 =0 可等价变形为 x+y-1=0 ， x-y-2≥ # 0 或 x-y-2=0. 由 x+y-1=0 ， x-y-2≥ # 0 得 x+y-1=0 ， x≥ 3 2 5 ) ) ) ( ) ) ) * ， ∴ x+y-1=0 ， x-y-2≥ # 0 表示射线 x+y-1=0 x≥ 3 2 - % . 综上所述， 原方程表示射线 x+y-1=0 x≥ 3 2 - % 和直 线 x-y-2=0 ， 如图所示 ． 提升练习 11. A 【解析】 ∵ 若曲线是方程 f （ x ， y ） =0 的曲线， 则曲线上的点的坐标都是方程 f （ x ， y ） =0 的解； 但若曲线上的点的坐标都是方程 f （ x ， y ） =0 的根， 曲线不一定是方程 f （ x ， y ） =0 的曲线 . 故甲是乙的充分不必要条件 . 故选 A. 12. ABC 【解析】 ∵xy≠0 ， ∴ 曲线 C 与坐标轴无公 x y O y=x-2 y=1-x 1 2 3 2 1 -1 -2 第 10 题答图 89 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 共点， A 正确； 用 （ -x ， -y ） 替换 （ x ， y ）， 1 （ -x ） 2 + 1 （ -y ） 2 =1 ， ∴ 1 x 2 + 1 y 2 =1 ， ∴ 曲线 C 关于原点对称， B 正确； ∵ 1 y 2 =1- 1 x 2 >0 ， ∴x 2 >1 ， 即 x 的取值范围是 （ -∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， C 正确； 联立 1 x 2 + 1 y 2 =1 和 x 2 +y 2 =2 ， 可得 x 2 y 2 =2 ， 根据 2=x 2 + y 2 ≥2|xy|圯|xy|≤1 可知， 方程组无解， D 错误 ． 故选 ABC． 13. BCD 【解析】 在曲线上任取一点 （ x ， y ）， 其关于原点的对称点为 （ -x ， -y ）， 代入方程可得 （ -x ）（ -y ）（ -x-y ） =xy （ x+y ） =-1 ， 故 （ -x ， -y ） 不满足 方程， 故 A 不正确； 原方程 xy （ x+y ） =1 ， 将方程中的 x 换为 y ， 将 y 换为 x ， 方程为 yx （ y+x ） =xy （ x+y ） =1 ， 与原方程相同， 故曲线关于直线 y=x 对称， 故 B 正确； 当 x=-1 时， -y （ -1+y ） =1 ， 即 y 2 -y+1=0 ， 此方程无解， 故 C 正确； 若 （ x ， y ） 在第三象限， 则 x<0 ， y<0 ， ∴xy （ x+y ） <0 ， ∴xy （ x+y ） ≠1 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 14. 9 【解析 】 |y |=|x | 即 y=x 或 y=-x ， 如图所示 ， ∴ 点 P （ x ， y ） 到两条相互垂直 的直线的距离之和为 3. 由 公 式 可 得 |x+y| 2 姨 + |x-y| 2 姨 =3 ， 即 |x+y|+|x-y|=3 2 姨 ， 在第一象限内， 即当 x>0 ， y>0 时， 若 x>y， x= 3 2 姨 2 ， 若 x<y ， y= 3 2 姨 2 ， 由对称性可得点 P 在第二、 三、 四象限的图象. 如图， 点 P 的轨迹是一个中心在原点， 以|y|=|x| 为对 称轴， 对角线的一半长为 3 的正方形 ． 由几何意义可知， x 2 +y 2 的最大值就是正方形顶点到 原点的距离的平方， 即最大值为 9． * 15. 证明 ： 由 x 2 +y 2 +2 （ 2-cos 2 兹 ） x-2 （ 1+sin 2 兹 ） y- 4cos 2 兹+2sin 2 兹+5=0 得 x 2 +y 2 +2 （ 1+sin 2 兹 ） x-2 （ 1+sin 2 兹 ） y+1+ 6sin 2 兹=0 ， 整理得（ x 2 +y 2 +2x-2y+1 ） +2sin 2 兹 （ x-y+3 ） =0 ， 当 x 2 +y 2 +2x-2y+1=0 ， x-y+3= = 0 时， 无论 兹 取任何实数值， 方 程 （ x 2 +y 2 +2x-2y+1 ） +2sin 2 兹 （ x-y+3 ） =0 都成立 . 由 x 2 +y 2 +2x-2y+1=0 ， x-y+3= = 0 得 （ x+1 ） 2 + （ y-1 ） 2 =1 ， x-y+3=0 = ， 解 得 x=-1 ， y= = 2 或 x=-2 ， y=1 = ， 即方程的曲线恒过点 （ -1 ， 2 ） 和点 （ -2 ， 1 ） . 第 2 课时 求曲线方程 学习手册 变式训练 1 解： 设 M （ x ， y ）， 则 N （ x ， 0 ）， R （ x ， -2 ）， ∴ O () M = （ x ， y ）， M () N = （ 0 ， -y ）， M () R = （ 0 ， -2-y ）， 由条件可得 -y （ -y-2 ） =x 2 +y 2 ， 整理可得点 M 的轨迹方程为 x 2 =2y. 变式训练 2 解： 由例 2 可知点 P 的轨迹方程是 （ x-3 ） 2 + y 2 =8 ， ∴ 点 P 的轨迹是以 C （ 3 ， 0 ） 为圆心， 2 2 姨 为半 径的圆， 则 |PA| 2 +|PB| 2 = （ x+1 ） 2 +y 2 + （ x-1 ） 2 +y 2 =2 （ x 2 +y 2 ） +2= 2|OP| 2 +2. 当点 P 为线段 OC 与圆 C 的交点时， |OP| 取得最小 值， ∴ （ |PA| 2 +|PB| 2 ） min =2× （ 3-2 2 姨 ） 2 +2=36-24 2 姨 . 变式训练 3 解： 设 G （ x ， y ）， C （ x 1 ， y 1 ）， 则 y 1 =x 2 1 +3 ， 由重心坐标公式得 x= -2+2+x 1 3 ， y= y 1 3 3 , , , , + , , , , - ， ∴ x 1 =3x ， y 1 =3y y ， 代入 y 1 =x 2 1 +3 中得 3y=9x 2 +3 ， 即 y=3x 2 +1. 可以检验， 上式就是动点 G 的轨迹方程 . 随堂练习 1. B 【解析】 ∵ 点 A 为圆 x 2 +y 2 =4 上的动点， ∴|OA|=2. ∵PA 是圆的切线， ∴OA⊥PA ， ∴|OA| 2 +|PA| 2 =|OP| 2 . 设点 P （ x ， y ）， ∵|PA|=1 ， 则 x 2 +y 2 =5 ， ∴ 点 P 的轨迹方程是 x 2 +y 2 =5. 故选 B. 2. A 【解析】 由已知得O () P = （ x ， y ）， A () O = （ 1 ， -2 ）， 由于O () P·A () O =8 ， ∴x-2y=8 ， 即点 P 的轨迹方程为 x-2y- 8=0． 故选 A． 3. B 【解析】 依题意， 顶点 C 的轨迹是线段 AB 的 垂直平分线除去 AB 的中点 ． 故选 B. 4. ABC 【解析】 设 M （ x ， y ） ， M () A = （ -1-x ， -y ） ， M () B = （ 1-x ， -y ） . 由M () A·M () B =3 ， 得 （ -1-x ）（ 1-x ） +y 2 =3 ， ∴x 2 +y 2 =4. 依题意可知， 当两圆 x 2 +y 2 =4 与 （ x-a+1 ） 2 + （ y-a-2 ） 2 = 1 有公共点时， 满足圆 （ x-a+1 ） 2 + （ y-a-2 ） 2 =1 上存在点 M 满足M () A· M () B =3 ， ∴2-1≤ （ a-1-0 ） 2 + （ a+2-0 ） 2 姨 ≤2+1 ， 解得 -2≤a≤1 ， ∴ 选项中满足条件的有 -2 ， -1 ， 1. 故选 ABC. 5. x 2 6 +y 2 =1 （ y≠0 ） 【解析】 设 P （ x ， y ）， 由题意得 x y O -1 -2 -3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 2 姨 2 第 14 题答图 90 参 考 答 案 y x+ 6 姨 · y x- 6 姨 =- 1 6 ， 化简得 x 2 6 +y 2 =1 （ y≠0 ）， ∴ 曲线 C 的轨迹方程为 x 2 6 +y 2 =1 （ y≠0 ） . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 根据题意可得 x-y=0 ， x> # 0 或 lnx=0 ， 即 x- y=0 （ x>0 ） 或 x=1 ， 故原方程表示的是射线和直线 ． 故选 C． 2. B 【解析】 设动点 P （ x ， y ）， 则 |PA|+|PB|=5. ∵|AB| =5 ， ∴ 点 P 的轨迹为线段 AB ， 即 4x-3y=0 ， 且 0≤y≤4 ， 故选 B. 3. C 【解析】 由于 B ， C 的中点 D 为坐标原点， 且 点 A 到原点 D 的距离为常数 3 ， ∴ 点 A 的轨迹为圆， 圆 的圆心为原点， 半径为 3. 由于 A ， B ， C 围成三角形， 故点 A 不在直线 BC 上， ∴ 点 A 的轨迹方程为 x 2 +y 2 =9 （ y≠0 ） . 故选 C. 4. A 【解析】 设线段 MN 的中点为 P （ x ， y ）， M （ x 0 ， y 0 ）， 则 N （ x 0 ， 0 ）， 则 x=x 0 ， y= y 0 +0 2 2 ' ' ' & ' ' ' ( ， ∴x 0 =x ， y 0 =2y. 又 ∵x 0 2 +y 0 2 =4 ， ∴x 2 +4y 2 =4. 故选 A. 5. A 【解析】 由圆 C 的标准方程是（ x-2 ） 2 + （ y-4 ） 2 =k （ k>0 ）， 根据题意， 令 x=0 ， 可得 A （ 0 ， 4+ k-4 姨 ）， 令 y=0 ， 可得 E（2+ k-16 姨 ， 0 ） . 设 AE 的中点为 M （ x ， y）， 可得 x=1+ k-16 姨 2 ， y=2+ k-4 姨 2 2 ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ( ， 其 中 k>16 ， 化简消去参数 k 可得 （y-2 ） 2 - （x-1 ） 2 =3. 又由 k>16 ， 可得 x>1 ， y>2+ 3 姨 . 结合选项， 选项 A 符合题意 . 故选 A. 6. x 2 +y 2 +4x+1=0 【解析】 由题意可知， （ x-1 ） 2 +y 2 姨 = 3 姨 × （ x+1 ） 2 +y 2 姨 ， 整理得 x 2 +y 2 +4x+1=0 ， 即动点 P 的轨迹方程是 x 2 +y 2 +4x+1=0. 7. x- 3 2 2 * 2 + （y-2 ） 2 = 5 4 【解析 】 由圆 C ： （ x-1 ） 2 + （ y-1 ） 2 =9 ， 可知圆心 C （ 1 ， 1 ） . 由圆的性质可知 CP⊥PA ， 设 AC 的中点为 B 3 2 ， ， - 2 ， 则 |BP |= 1 2 |AC |= 1 2 × （ 1-2 ） 2 +(1-3) 2 姨 = 5 姨 2 ， ∴ 动点 P 的轨迹为以 B 为圆， 以 5 姨 2 为半径的圆， ∴ 这些弦的中点 P 的轨迹方程为 x- 3 2 2 - 2 + （y-2 ） 2 = 5 4 . 8. 4π 【解析】 以 A 为原点， 直线 AB 为 x 轴建立平 面直角坐标系， ∵ 两定点 A ， B 的距离为 3 ， 可得 B （ 3 ， 0 ） . 设 M （ x ， y ） ， ∵ 动点 M 满足 |MA |=2 |MB | ， 可得 x 2 +y 2 姨 （ x-3 ） 2 +y 2 姨 =2 ， 整理得 x 2 +y 2 -8x+12=0 ， 即 （ x-4 ） 2 +y 2 =4 ， ∴ 点 M 的轨迹围成区域的面积为 S=π×2 2 =4π. 9. 解： 设 A （ x 1 ， y 1 ）， M （ x ， y ）， ∵ AM=BA ， 且点 M 在 BA 的延长线上， ∴A 为线段 MB 的中点 . 由中点坐标公式得 x 1 = x+2 2 ， y 1 = y 2 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( . ∵ 点 A 在圆上运动， 将点 A 的坐标代入圆的方程， 可得 x+2 2 + 2 - 1 2 + y 2 2 - 2 =2 ， 化简得（ x+4 ） 2 +y 2 =8 ， ∴ 点 M 的轨迹方程为 （ x+4 ） 2 + y 2 =8. 10. 解： 设 M （ x ， y ）， ∵ 直线 AM ， BM 的斜率存在， ∴x≠±1. ∵k AM +k BM =2 ， 即 y x+1 + y x-1 =2 ， 整理可得 x 2 -xy-1=0 ， ∴ 点 M 的轨迹方程为 x 2 -xy-1=0 （ x≠±1 ） . 提升练习 11． C 【解析】 将圆 C 的方 程化为标准方程为 （ x+1 ） 2 + （ y- 2 ） 2 =2 ， 圆心为 （ -1 ， 2 ）， 半径 为 2 姨 . ∵ 圆 C 关于直线 2ax+by+6= 0 对称， ∴ 圆心位于该直线上， 将圆心坐标代入直线方程中， 有 -2a+2b+6=0 ， 即点（ a ， b ）在直线 l ： -x+y+3=0 上 . 设 D （ a ， b ）， 过点 D 作圆 C 的切线， 切点为 E ， 则 DE= CD 2 -r 2 姨 = CD 2 -2 姨 . 要使得切线 DE 长最短， 则只需 CD 最短. CD 的最小值为过点 C 作直线 l ： -x+y+3=0 的垂线 . 此时 CD= |1+2+3| 2 姨 =3 2 姨 ， CE=r= 2 姨 ， ∴ 根据勾股定理， 得 DE= CD 2 -CE 2 姨 =4. 故选 C. 12. AD 【解析】 设 P （ x ， y ）， 由 |PA|=2|PO| ， 得 （ x- 3 ） 2 +y 2 =4x 2 +4y 2 ， 整理得 （ x+1 ） 2 +y 2 =4. 又 ∵ 点 P 是圆 C ： （ x-2 ） 2 +y 2 =r 2 （ r>0 ） 上有且仅有 的满足条件的一点， ∴ 两圆相切 . 圆 （ x+1 ） 2 +y 2 =4 的圆心坐标为 （ -1 ， 0 ）， 半径为 2 ， x y O l E C D 第 11 题答图 91 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 圆 C ： （ x-2 ） 2 +y 2 =r （ r>0 ） 的圆心坐标为 （ 2 ， 0 ）， 半 径为 r ， 两圆的圆心距为 3 ， 当两圆外切时， r+2=3 ， 得 r=1 ， 当两圆内切时， |r-2|=3 ， 得 r=5． 故选 AD. * 13. ABC 【解析】 ∵xy≠0 ， ∴ 曲线 C 与坐标轴无公 共点， 故 A 正确； 用 （ -x ， -y ） 替换 （ x ， y ）， 得 1 （ -x ） 2 + 1 （ -y ） 2 =1 ， ∴ 1 x 2 + 1 y 2 =1 ， ∴ 曲线 C 关于原点对称， 故 B 正确； ∵ 1 y 2 =1- 1 x 2 >0 ， ∴x 2 >1 ， 即 x 的取值范围是 （-∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 故 C 正确； 联立 1 x 2 + 1 y 2 =1 和 x 2 +y 2 =2 ， 可得 x 2 y 2 =2 ， 根据 2=x 2 + y 2 ≥2|xy |圯 |xy |≤1 可知 ， 方程组无解 ， D 错误 ． 故选 ABC． 14. x 2 4 +y 2 =1 【解析】 设动点 P （ x ， y ）， ∵ 点 P 满足O &' P =m O &' A +n O &' B ， 其中 m ， n∈R ， ∴ （ x ， y ） = （ 2m+2n ， m-n ）， ∴x=2m+2n ， y=m-n ， ∴m= x+2y 4 ， n= x-2y 4 ， ∴m 2 +n 2 = 1 2 ， ∴ x+2y 4 4 * 2 + x-2y 4 4 , 2 = 1 2 ， 即 x 2 4 +y 2 =1． 15. 解： （ 1 ） 设 P （ x ， y ） ， 则由题意 A （ 3 ， 0 ） ， B （ 12 ， 0 ）， 根据题意可知 |PA| |PB| = 1 2 ， ∴2|PA|=|PB| ， ∴2 （ x-3 ） 2 +y 2 姨 = （ x-12 ） 2 +y 2 姨 ， x 2 +y 2 =36 ， ∴ 曲线 E 的方程为 x 2 +y 2 =36. （ 2 ） 如图， ∵C 在该海上平台正南 2 11 姨 n mile 处， ∴C （ 0 ， -2 11 姨 ） . ∵ 轮船向北偏东 30° 方向航行， ∴ 轮船航行直线 CD 的倾斜角为 60° ， 即直线 CD 的斜率为 3 姨 ， ∴ 轮船航行直线 CD 的方程为 y+2 11 姨 = 3 姨 （ x-0 ）， 即 3 姨 x-y-2 11 姨 =0. ∵ 曲线 E 的方程为 x 2 +y 2 =36 ， 圆心 O （ 0 ， 0 ）， 半径为 r=6 ， ∴ 圆心 O 到直线 CD 的距离 d= 2 11 姨 1 2 + （ 3 姨 ） 2 姨 = 11 姨 <6=r ， ∴ 如果轮船不改变航向， 轮 船一定会进入安全预警区 . ∴ 直线 CD 被圆 O 截得的弦长 l=2 36-11 姨 =10. ∵ 轮船的速度 v 为每小时 10 n mile ， ∴ 它在安全预 警区中的航行时间 t= l v = 10 10 =1 h. 答： 如果轮船不改变航向， 轮船一定会进入安全预 警区， 它在安全预警区中的航行时间为 1 小时 ． 2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 第 1 课时 求椭圆的标准方程 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 x 2 + （ y+3 ） 2 姨 + x 2 + （ y-3 ） 2 姨 =4 3 姨 表示平面内点 M （ x ， y ） 到点 （ 0 ， -3 ）， （ 0 ， 3 ） 的距离 之和为 4 3 姨 ， 而 3- （ -3 ） =6<4 3 姨 ， ∴ 点 M 的轨迹是 椭圆 . 故选 B. 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵ 椭圆的长半轴为 a=10 ， 半焦距 长为 c=6 ， ∴b= a 2 -c 2 姨 =8 ， ∴ 椭圆方程为 x 2 100 + y 2 64 =1 或 x 2 64 + y 2 100 =1. （ 2 ） 将椭圆 9x 2 +4y 2 =36 化为标准方程， 得 x 2 4 + y 2 9 = 1 ， 焦点为 （ 0 ， ± 5 姨 ）， ∴ 设经过点 （ 2 ， 3 ） 且与椭圆 9x 2 +4y 2 =36 有共同焦点的椭圆方程为 x 2 b 2 + y 2 a 2 =1 （ a>b>0 ）， 由题意， 得 a 2 -b 2 =5 ， 4 b 2 + 9 a 2 =1 1 0 0 0 / 0 0 0 1 ， 解得 a 2 =15 ， b 2 =10 ， ∴ 所求椭圆 方程为 x 2 10 + y 2 15 =1. 变式训练 3 解： 如图所示， 设动圆圆心为 M （ x ， y ）， 半径为 r. 由题意动圆 M 内切于圆 C 1 ， ∴|MC 1 |=13-r. 圆 M 外切于圆 C 2 ， ∴|MC 2 |=3+r. ∴|MC 1 |+|MC 2 |=16>|C 1 C 2 |=8 ， ∴ 动圆圆心 M 的轨迹是以 C 1 ， C 2 为焦点的椭圆， 且 2a=16 ， 2c=8 ， b 2 =a 2 -c 2 =48 ， 故所求轨迹方程为 x 2 64 + y 2 48 =1. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） 姨 【解析】 由椭圆定义即 可判断 . 2. C 【解析】 由题意可知 k-4>0 ， 10-k>0 ， k-4>10-k 1 0 0 0 / 0 0 0 1 ， ∴7<k<10 ， 故选 C. 3. B 【解析】 由题意知 25-m>0 ， m+9>0 ， m+9>25-m 1 0 0 0 / 0 0 0 1 ， 解得 8<m<25 ， x y O C D 第 15 题答图 x y O C 2 C 1 M 变式训练 3 答图 92