2.2.3 两条直线的位置关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练 2.2.3 两条直线的位置关系 第 1课时 两条直线的位置关系 效 果 评 价 1. 若直线 l 1 ： ax+y+1=0 与直线 l 2 ： x+ ay+2a-1=0 平行， 则实数 a= （ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. ±1 2. 已知直线 l 1 ： （ a 2 -1 ） x+2y=0 与直线 l 2 ： x+ （ a-1 ） y+4=0 垂直， 则实数 a 的值为 （ ） A. a=1 B. a=-3 C. a=1 或 a=-3 D. 不存在 3. 顺次连接点 A （ -4 ， 3 ）， B （ 2 ， 5 ）， C （ 3 ， 2 ） ， D （ -3 ， 0 ） ， 所构成的图形是 （ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 4. 已知直线 l 1 ： 2x+2y-1=0 ， l 2 ： 4x+ny+ 3=0 ， l 3 ： mx+6y+1=0 ， 若 l 1 ∥l 2 且 l 1 ⊥l 3 ， 则 m+n 的值为 （ ） A. -10 B. 10 C. -2 D. 2 5. （多选题 ） 下列结论中正确的有 （ ） A. 过点 （ -1 ， 2 ） 且与直线 2x-y+1=0 平行的直线的方程为 2x-y+4=0 B. 过点 （ -1 ， 2 ） 且与直线 2x-y+1=0 垂直的直线的方程为 x+2y-3=0 C. 若直线 l 1 ： ax+3y+4=0 与直线 l 2 ： x+ （ a-2 ） y+a 2 -5=0 平行， 则 a 的值为 -1 或 3 D. 过点 M （ -3 ， 2 ）， 且在两坐标轴上 的截距相等的直线的方程为 x+y+1=0 6. （多选题） 设集合 M= （ x ， y ） y-3 x-2 =a+ + $ 1 ， N={ （ x ， y ） | （ a 2 -1 ） x+ （ a-1 ） y=15} ， 且 M∩ N=芰 ， 则正实数 a 的取值可以为 （ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 5 2 7. 若直线（ 2-m ） x+my+3=0 的法向量恰 为直线 x-my-3=0 的方向向量 ， 则实数 m 的值是 . 8. 若 关 于 x 的 二 元 一 次 方 程 组 4x+my-m+2=0 ， mx+y+m= + 0 有无穷多组解 ， 则 m = . 9. 已知平面直角坐标系中 A （ -2 ， 3 ）， B （ 3 ， -2 ） ， C 1 2 ， ， ( m ， D （ 0 ， -3 ） ， 且 ， 求实数 m 的值 . 从以下三个条件中选择一个补充在上 面问题中， 并作答 . 条件 ① ： 点 C 在直线 AB 上； 条件 ② ： 直线 AC 与直线 BD 平行； 条件 ③ ： 直线 AC 与直线 BC 垂直 . 34 第二章 平面解析几何 练 10. 在平面直角坐标系中， 矩形 OPQR 的顶点按逆时针顺序依次排列 ， 且点 O ， P ， Q 的坐标分别是 O （ 0 ， 0 ）， P （ 1 ， t ）， Q （ 1-2t ， 2+t ） . 其中 t>0. （ 1 ） 求顶点 R 的坐标； （ 2 ） 求矩形 OPQR 在第一象限部分的 面积 S （ t ） . 提 升 练 习 11. 直线 mx+4y-2=0 与直线 2x-y+n=0 垂直， 垂足为 （ 1 ， p ）， 则 n 的值为 （ ） A. -2 B. -4 C. 10 D. 8 12. 设 a ， b ， c 分别是 △ABC 中内角 A ， B ， C 所对边的边长 ， 则直线 xsinA+ ay+c=0 与 bx-ysinB+sinC=0 的位置关系是 （ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 13. （多选题） 某县相邻两镇在同一平 面直角坐标系下的坐标分别为 A （ -3 ， -4 ）， B （ 6 ， 3 ）， 交通枢纽 C （ 0 ， -1 ）， 计划经过 C 修建一条马路 l （ l 看成一条直线， l 的斜 率为 k ）， 则下列说法正确的是 （ ） A. 若 A ， B 两镇到马路 l 的距离相等， 则 k= 7 9 或 1 3 B. 若 A ， B 两镇到马路 l 的距离相等， 则 k= 9 7 或 3 2 C. 若 A ， B 两镇位于马路 l 的两侧 ， 则 k 的取值范围为 2 3 ， ， # 1 D. 若 A ， B 两镇位于马路 l 的两侧 ， 则 k 的取值范围为 -∞ ， 2 3 ， 3 ∪ （ 1 ， +∞ ） * 14. 在 △ABC 中， 已知顶点 A （ 2 ， 4 ）， AB 边上的中线所在直线方程为 x+2y-5=0 ， 内角 ∠ABC 的平分线所在直线方程为 2x- y+10=0 ， 则点 B 的坐标为 ， 直线 BC 的方程为 . 15. 若三条直线 l 1 ： 4x+y+4=0 ， l 2 ： mx+ y+1=0 ， l 3 ： x-y+1=0 不能构成三角形， 则 m 的值为 . 16. 已知两条直线 l 1 ： ax+y+a+1=0 ， l 2 ： 2x+ （ a-1 ） y+3=0. （ 1 ） 求证： 直线 l 1 过定点， 并求出该 定点的坐标； （ 2 ） 若 l 1 ， l 2 不重合， 且垂直于同一条 直线， 求 a 的值； （ 3 ） 若 a=0 ， 直线 l 与 l 2 垂直， 且 ， 求直线 l 的方程 . 从以下两个条件中选择一个补充在上 面问题中， 使满足条件的直线 l 有且仅有 一条， 并作答 . 条件 ① ： 直线 l 过坐标原点； 条件 ② ： 直线 l 与 l 1 交点的横坐标为 2. 35 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练 第 2课时 对称问题 效 果 评 价 1. 如果 A （ 1 ， 3 ） 关于直线 l 的对称点 为 B （ -5 ， 1 ）， 则直线 l 的方程是 （ ） A. 3x+y+4=0 B. x-3y+8=0 C. x+3y-4=0 D. 3x-y+8=0 2. 一条光线从点 P （ -2 ， 1 ） 射出， 与 直线 l ： x-y+1=0 交于点 Q （ 1 ， 2 ）， 经直线 l 反射 ， 则反射光线所在直线的斜率是 （ ） A. 1 B. 3 姨 C. 2 D. 3 3. 两直线方程为 l 1 ： 3x-2y-6=0 ， l 2 ： x-y-2=0 ， 则 l 1 关于 l 2 对称的直线方程为 （ ） A. 3x-2y-4=0 B. 2x+3y-6=0 C. 2x-3y-4=0 D. 3x-2y-6=0 4. 将一张画了直角坐标系 （两坐标轴 单位长度相同） 的纸折叠一次， 使点 （ 2 ， 0 ） 与点 （ -2 ， 4 ） 重合， 点 （ 2 021 ， 2 022 ） 与点 （ m ， n ） 重合， 则 m+n= （ ） A. 1 B. 2 023 C. 4 043 D. 4 046 5. △ABC 的顶点 A （ 4 ， 3 ）， AC 边上的 中线所在的直线为 4x+13y-10=0 ， ∠ABC 的平分线所在直线方程为 x+2y-5=0 ， 则 AC 边所在直线的方程为 （ ） A. 2x-3y+1=0 B. x-8y+20=0 C. 3x-5y+3=0 D. x-y+1=0 6. （多选题） 下列说法正确的是 （ ） A. 直线 x-y-2=0 与两坐标轴围成的三 角形的面积是 2 B. 点 （ 0 ， 2 ） 关于直线 y=x+1 的对称 点为 （ 1 ， 1 ） C. 直线 x-2y+3=0 关于直线 x+y-3=0 的对称直线的方程为 x-2y=0 D. 经过点 （ 1 ， 1 ） 且在 x 轴和 y 轴上 截距都相等的直线方程为 x+y-2=0 7. 已知直线 l ： x-y-1=0 ， l 1 ： x-y+3= 0 ， 则直线 l 1 关于直线 l 的对称直线 l 1 ′ 的方 程为 . 8. 光线从点 A （ -4 ， -2 ） 射出， 到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上 C 点， 又被 y 轴反射 ， 这时反射光线恰好 过点 D （ -1 ， 6 ）， 则 BC 所在直线的方程为 . 9. （ 1 ） 已知点 A 的坐标为 （ -4 ， 4 ）， 直线 l 的方程为 3x+y-2=0 ， 求点 A 关于直 线 l 的对称点 A′ 的坐标； （ 2 ） 求直线 3x-y-4=0 关于点 P （ 2 ， -1 ） 对称的直线 l 的方程； （ 3 ） 求直线 x-2y-1=0 关于直线 x+y- 1=0 对称的直线 l 的方程 . 36 第二章 平面解析几何 练 10. 已知三角形的顶点为 A （ 2 ， 3 ） ， B （ 0 ， -1 ）， C （ -2 ， 1 ） . （ 1 ） 求直线 AC 的方程 . （ 2 ） 从 ①② 这两个问题中选择一个 作答 . ① 求点 B 关于直线 AC 的对称点 D 的 坐标； ② 若直线 l 过点 B 且与直线 AC 交于 点 E ， |BE|=3 ， 求直线 l 的方程 . 提 升 练 习 11. 已知等腰直角三角形 三个顶点 A （ 0 ， 0 ）， B （ 2 ， 0 ） 和 C （ 0 ， 2 ）， P 为 AB 的中点， 一质点从点 P 出发 ， 经 BC ， CA 反射后又回到点 P （如图）， 则 △PRQ 的 周长的最小值为 （ ） A. 2 2 姨 B. 3 C. 10 姨 D. 4 12. 平面直角坐标系内的两点 A （ a-1 ， a+1 ）， B （ a ， a ） 关于直线 l 对称， 那么直 线 l 的方程为 （ ） A. x-y+1=0 B. x+y+1=0 C. x-y-1=0 D. x+y-1=0 13. （多选题） 已知直线 l 1 ： ax-y+1=0 ， l 2 ： x +ay+1=0 ， a∈R ， 以下结论正确的 有 （ ） A. 不论 a 为何值时， l 1 与 l 2 都互相垂直 B. 当 a≠0 时 ， l 1 与 x 轴的交点 A 到 原点的距离为 1 a C. 不论 a 为何值时， l 1 与 l 2 都关于直 线 x+y=0 对称 D. 如果 l 1 与 l 2 交于点 M ， 则 |MO | 的最 大值是 2 姨 14. 设 x-y+1=0 ， 则 d= x 2 +y 2 +6x-10y+34 姨 + x 2 +y 2 -4x-30y+229 姨 的最小值为 . * 15. 如图 ， 光线 从点 P （ a ， 0 ） （ a>0 ） 出 发 ， 经 过 直 线 l ： x-3y=0 反射到 Q （ b ， 0 ）， 该光线又在 Q 点 被 x 轴反射， 若反射光线恰与直线 l 平行， 且 b≥13 ， 则实数 a 的最小值为 . * 16. 如图所示， 在平面直角坐标系中， 已知矩形 ABCD 的长为 2 ， 宽为 1 ， 边 AB ， AD 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， 点 A 与 坐标原点重合， 将矩形折叠， 使点 A 落在 线段 DC 上， 若折痕所在直线的斜率为 k ， 求折痕所在直线的方程 . Q R A B C P 第 11 题图 x y O Q l P 第 15 题图 x y O E M G F （ A ） B CD 第 16 题图 37 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 可得直线 FH 的方程为 y-3=- 1 4 （ x-2 ）， 化简得 x+4y- 14=0. 16. 解 ： （ 1 ） 如图 ， 过点 M 作 MN⊥OA 于点 N ， 故 △AMN∽△ABO ， ∴ |MN| |BO| = |AN| |AO| = |AM| |AB| = 1 3 . 由 M （ 2 ， 1 ） 可得 |MN|=1 ， |NO|=2 ， ∴|AO|=|BO|=3 ， 故 A （ 3 ， 0 ）， B （ 0 ， 3 ）， ∴ 直线 l 的方程为 x 3 + y 3 = 1 ， 即 x+y-3=0. （ 2 ） 由题意， 设直线 l 的方程为 x a + y b =1 （a>0 ， b>0 ）， 则 |OA|=a ， |OB|=b ， ∴S △AOB = 1 2 ab. 由于直线过 M （ 2 ， 1 ）， 故 2 a + 1 b =1. 由于 a>0 ， b>0 ， 故 1= 2 a + 1 b ≥2 2 a · 1 b 姨 ， 当且仅当 2 a = 1 b ， 即 a=4 ， b=2 时等号成立， 即 2 2 a · 1 b 姨 ≤1 ， ∴ab≥8 ， 故 S △AOB = 1 2 ab≥4. 此 时直线 l 的方程为 x 4 + y 2 =1 ， 即 x+2y-4=0. 2.2.3 两条直线的位置关系 第 1 课时 两条直线的位置关系 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 由两点的斜率公式可知直线 l 1 的 斜率 k 1 = 0-3 -1-2 =1 ， 又 ∵ 直线 l 2 的斜率 k 2 =1 ， ∴k 1 =k 2 . 由 直线 l 1 过点 B （ -1 ， 0 ）， 直线 l 2 过点 P （ 1 ， 0 ）， ∴ 直线 l 1 与 l 2 平行 . （ 2 ） 由两点的斜率公式可知直线 l 3 的斜率 k 3 = 0-1 -2-3 = 1 5 ， 又 ∵ 直线 l 4 的斜率 k 4 =-4 ， ∴k 3 ≠k 4 ， ∴ 直线 l 1 与 l 2 相交， 此时这两直线不平行 . 变式训练 2 7x-2y-13=0 【解析】 由直线 l 平行于直线 7x-2y-3=0 ， 可设直线 l 的方程为 7x-2y+D=0. 又 ∵ 直线 l 过点 （ 3 ， 4 ）， ∴7×3-2×4+D=0 ， 解得 D=-13 ， ∴ 直线 l 的方程为 7x-2y-13=0. 变式训练 3 C 【解析】 ∵ 直线 a （ a-1 ） x+y-1=0 与直线 3x+ay+1=0 垂直， ∴3a （ a-1 ） +a=0 ， 解得 a=0 或 a= 2 3 . 故 选 C. 变式训练 4 A 【解析】 联立直线 l 1 ， l 2 的方程， 解方程 组 x-3y+1=0 ， x+2y+6=0 0 ， 解得 x=-4 ， y=-1 0 . ∴ 直线 l 1 与 l 2 的交点坐标为 （ -4 ， -1 ） . 设与直线 3x+y-1=0 垂直的直线方程为 x-3y+D=0 ， ∴-4-3× （ -1 ） +D=0 ， 解得 D=1 ， ∴ 所求直线方程为 x-3y+1=0. 故选 A. 随堂练习 1. D 【解析】 ∵ 直线 3x-4y+4=0 与直线 ax+8y+7=0 平行， ∴3×8- （ -4 ） a=0 ， 解得 a=-6. 故选 D. 2. C 【解 析 】 由 x+y-4=0 ， 2x-y-5=0 0 ， 得 x=3 ， y=1 0 ， 故 A∩B = { （ 3 ， 1 ） }. 故选 C. 3. BC 【解析】 当 B=0 时， 直线斜率不存在， 故 A 错误； 由题意， α∈ ［ 0 ， π ）， 故 sinα≥0 ， B 正确； 由直线垂直的判定知 ， 两条直线的斜率之积等于 -1 ， 则两条直线垂直， C 正确； 直线在两坐标轴上的截距都为 0 ， 且斜率不等于 -1 时， 直线的方程不可写为 x+y-a=0 ， D 错误 . 故选 BC. 4. 1 2 【解析】 ∵ 直线 l 1 ： x+ay+6=0 和 l 2 ： （ a-2 ） x+ 3y+2a=0 ， 且 l 1 ⊥l 2 ， ∴ （ a-2 ） ×1+3a=0 ， 解得 a= 1 2 . 5. 解： 方法一： 直线 l 的方程可化为 y=- 3 4 x+3 ， ∴ 直线 l 的斜率为 - 3 4 . （ 1 ） 由直线 l′ 与 l 平行得， 直线 l′ 的斜率为 - 3 4 . 又 ∵ 直线 l′ 过点 （ -1 ， 3 ）， 由点斜式知直线 l′ 的方程为 y- 3=- 3 4 （ x+1 ）， 即 3x+4y-9=0. （ 2 ） 由直线 l′ 与 l 垂直得， 直线 l′ 的斜率为 4 3 . 又 ∵ 直线 l′ 过点 （ -1 ， 3 ）， 由点斜式知直线 l′ 的方程为 y-3= 4 3 （ x+1 ）， 即 4x-3y+13=0. 方法二： （ 1 ） 由直线 l′ 与 l 平行， 可设直线 l′ 的方 程为 3x+4y+m=0 （ m≠-12 ） . 将点 （ -1 ， 3 ） 的坐标代入上式得 m=-9 ， ∴ 直线 l′ 的方程为 3x+4y-9=0. （ 2 ） 由直线 l′ 与 l 垂直， 可设直线 l′ 的方程为 4x- 3y+n=0. 将点 （ -1 ， 3 ） 的坐标代入上式得 n=13 ， ∴ 直线 l′ x y O E M N G H F A B C 第 15 题答图 第 16 题答图 x y O M N A B 62 参 考 答 案 的方程为 4x-3y+13=0. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由两直线平行得 a 2 -1=0 ， 解得 a=±1. 又当 a=1 时， 直线 l 1 ： x+y+1=0 与直线 l 2 ： x+y+1=0 重合， 与题意不符； 当 a=-1 时， 直线 l 1 ： -x+y+1=0 与直线 l 2 ： x-y-3=0 平行， 符合题意 . 故选 B. 2. C 【解析】 由两直线垂直可得 a 2 -1+2 （a-1 ） =0 ， 解 得 a=-3 或 1. 故选 C. 3. A 【解析】 ∵A （ -4 ， 3 ） ， B （ 2 ， 5 ） ， C （ 3 ， 2 ） ， D （ -3 ， 0 ）， ∴k AB = 3-5 -4-2 = 1 3 ， k BC = 5-2 2-3 =-3 ， k CD = 2-0 3- （ -3 ） = 1 3 ， k AD = 3-0 -4- （ -3 ） =-3 ， ∴k AB =k CD ， k BC =k AD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 故选 A. 4. C 【解析】 ∵ 直线 l 1 ： 2x+2y-1=0 ， l 2 ： 4x+ny+3=0 ， 且 l 1 ∥l 2 ， ∴2n=2×4 ， 解得 n=4 ， 经检验成立 . ∵ 直线 l 1 ： 2x+2y-1=0 ， l 3 ： mx+6y+1=0 ， 且 l 1 ⊥l 3 ， ∴2m+2×6=0 ， 解得 m=-6 ， ∴m+n=-2 ， 故选 C. 5. AB 【解析】 直线 2x-y+1=0 的斜率为 2 ， 则过点 （ -1 ， 2 ） 且与直线 2x-y+1=0 平行的直线的方程为 y-2= 2 （ x+1 ）， 即 2x-y+4=0 ， A 正确 . 直线 2x-y+1=0 的斜率为 2 ， 则过点 （ -1 ， 2 ） 且与 直线 2x-y+1=0 垂直的直线的方程为 y-2=- 1 2 （ x+1 ）， 即 x+2y-3=0 ， B 正确 . 直线 l 1 ： ax+3y+4=0 的斜率为 - a 3 ， ∵ 直线 l 1 与直线 l 2 平行， 则直线 l 2 的斜率存在， 且 - 1 a-2 =- a 3 ， 解得 a= -1 或 3. 当 a=-1 时， 两直线重合， 当 a=3 时， 两直线平 行， C 错误 . ∵ 直线过点 M （ -3 ， 2 ）， 且在两坐标轴上的截距相 等， 则当截距都为 0 时， 直线方程为 y=- 2 3 x ， 截距不 为 0 时， 直线方程为 x+y+1=0 ， D 错误 . 故选 AB. 6. BD 【解析】 ∵M= （ x ， y ） y-3 x-2 =a+ + $ 1 ， ∴ （ 2 ， 3 ） 埸M. 将点 （ 2 ， 3 ） 代入 （ a 2 -1 ） x+ （ a-1 ） y=15 ， 得 2 （ a 2 -1 ） +3 （ a-1 ） =15 ， 解得 a=-4 （舍去） 或 a= 5 2 . 当 x≠2 时， y-3 x-2 =a+1 可变形为 （ a+1 ） x-y-2a+1=0 ， 当直线 （ a+1 ） x-y-2a+1=0 与 （ a 2 -1 ） x+ （ a-1 ） y=15 平 行时， 有 M∩N=芰 ， ∴ （ a-1 ）（ a+1 ） =- （ a 2 -1 ）， 解得 a=1 或 a=-1 （舍去） . 当 a= 5 2 或 a=1 时， 符合题意 . 故选 BD. 7. 1 或 -2 【解析】 若直线（ 2-m ） x+my+3=0 的法向量 恰为直线 x-my-3=0 的方向向量， 则这两条直线垂直， ∴2-m-m 2 =0 ， 解得 m=1 或 m=-2. 8. -2 【解析 】 二元一次方程组 4x+my-m+2=0 ， mx+y+m= + 0 有 无穷多组解， 即两个方程对应的直线重合， 由 4×1=m×m ， 解得 m=2 或 m=-2. 当 m =2 时 ， 二 元 一 次 方 程 组 为 4x+2y=0 ， 2x+y+2= + 0 圯 2x+y=0 ， 2x+y+2=0 + ， 两直线不重合， 不符合题意 . 当 m=-2 时 ， 二元一次方程组为 4x-2y+4=0 ， -2x+y-2= + 0 圯 2x-y+2=0 ， 2x-y+2=0 + ， 两直线重合， 符合题意 . 综上所述， m 的值为-2. 9. 解： 若选择条件 ① ， ∵ 点 C 在直线 AB 上， ∴k AB = k AC ， 即 3+2 -2-3 = 3-m -2- 1 2 ， 解得 m= 1 2 . 若选择条件 ② ， ∵ 直线 AC 与直线 BD 平行， ∴k AC = k BD ， ∴ 3-m -2- 1 2 = -2- （ -3 ） 3-0 ， 解得 m= 23 6 . 经检验两直线不 重合， ∴m= 23 6 . 若选择条件 ③ ， ∵ 直线 AC 与直线 BC 垂直， 两直 线斜率均存在， ∴k AC · k BC =-1 ， ∴ 3-m -2- 1 2 · -2-m 3- 1 2 =-1 ， 解 得 m= 1±5 2 姨 2 . 10. 解： （ 1 ） 设顶点 R 的坐标为 （ x ， y ） . 由题意 知 k OP = t-0 1-0 =t ， k PQ = 2+t-t 1-2t-1 =- 1 t ， 易知 OP∥QR ， PQ∥OR ， ∴t= y-2-t x-1+2t ， - 1 t = y-0 x-0 ， 解得 x=-2t ， y=2 2 ， 即点 R 的坐标为 （ -2t ， 2 ） . （ 2 ） 易得 S 矩形 OPQR =|OP| · |OR|=2 （ 1+t 2 ） . 如图 1 ， 当 1-2t≥0 ， 即 0<t≤ 1 2 时， 设线段 RQ 与 y 轴交于点 M ， 易知直线 RQ 的方程 为 y-2=t （ x+2t ）， 则点 M 的坐标为 （ 0 ， 2+2t 2 ）， ∴S △OMR = 1 2 |OM||x R |=2t （ 1+t 2 ）， 63 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴S （ t ） =S 矩形 OPQR -S △OMR =2 （ 1-t ）（ 1+t 2 ） . 如图 2 ， 当 1-2t<0 ， 即 t> 1 2 时， 设线段 QP 与 y 轴交于点 N ， 易知直线 QP 的方程为 y-t=- 1 t （ x-1 ）， 则点 N 的坐标是 0 ， t+ 1 t t # ， ∴S （ t ） =S △OPN = 1 2 |ON| · x P = 1+t 2 2t . 综上所述， S （ t）= 2 （ 1-t ）（ 1+t 2 ）， 0<t≤ 1 2 ， 1+t 2 2t ， t> 1 2 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( . 提升练习 11. A 【解析】 ∵ 直线 mx+4y-2=0 与直线 2x-y+n=0 垂直， ∴2m-4=0 ， ∴m=2. ∵ 垂足为 （ 1 ， p ）， ∴ m+4p-2=0 ， 2-p+n=0 0 ， 得 2+4p-2=0 ， 2-p+n=0 0 ， 解 得 n=-2. 故选 A. 12. C 【解析 】 ∵a ， b ， c 分别是 △ABC 中内角 A ， B ， C 所对边的边长， ∴ 直线 xsinA+ay+c=0 的斜率为 - sinA a ， 直线 bx- ysinB+sinC=0 的斜率为 b sinB . 由正弦定理可知 - sinA a · b sinB =-1 ， ∴ 两条直线垂直 . 故选 C. 13. AD 【解析】 若 A ， B 两个镇到马路 l 的距离相 等， 当 l 与直线 AB 平行时， 则 k= -4-3 -3-6 = 7 9 . 当直线 AB 与 l 相交时 ， 则直线过 AB 的中点 . 又 ∵AB 的中点为 3 2 ， - 1 2 t 2 ， ∴k= - 1 2 +1 3 2 -0 = 1 3 ， 故 k= 7 9 或 1 3 . 若 A ， B 两个镇位于马路的两侧， 则 k AC = -1+4 3 =1 ， k BC = 3+1 6 = 2 3 ， 故 k 的取值范围为 -∞ ， 2 3 3 2 ∪ （ 1 ， +∞ ）， 故选 AD. * 14. （ -4 ， 2 ） 3x+y+10=0 【解析】 由内角 ∠ABC 的 平分线所在直线方程为 2x-y+10=0 知， 点 B 在直线 2x- y+10=0 上 . 设 B （ m ， 2m +10 ） ， 则 AB 中 点 D 的 坐 标 为 m+2 2 ， 2m+14 2 t 2 . 由 AB 边上的中线所在直线方程为 x+ 2y-5=0 知 ， 点 D 在 直 线 x +2y -5 =0 上 ， ∴ m+2 2 +2 × 2m+14 2 -5=0 ， 解得 m=-4 ， ∴ 点 B 的坐标为 （ -4 ， 2 ） . 由直线 AB 的方程为 y-2 4-2 = x+4 2+4 ， 即 x-3y+10=0 ， ∴ 它的一个方向向量 a= （ 3 ， 1 ） . 又 ∵∠ABC 的平分线所在直线方程为 2x-y+10=0 ， ∴ 直线 BC 的斜率 k 存在 . 通过画图可知直线 BC 的倾斜角是钝角， ∴ 取直线 BC 的一个方向向量为 b= （ -1 ， -k ） （ k<0 ）， ∴∠ABC 的平分线所在直线的一个方向向量 c= a |a| + b |b| = 3 10 姨 - 1 1+k 2 姨 ， 1 10 姨 - k 1+k 2 姨 3 2 ， ∴ 1 10 姨 - k 1+k 2 姨 3 10 姨 - 1 1+k 2 姨 =2 ， ∴ 1 10 姨 - k 1+k 2 姨 =2 3 10 姨 - 1 1+k 2 姨 3 2 ， ∴ 2-k 1+k 2 姨 = 5 10 姨 ， 解得 k=-3 ， ∴ 直线 BC 的方程为 y-2=-3 （ x+4 ）， 即 3x+y+10=0. 15. 4 或 -1 或 1 【解析】 当三条直线 l 1 ， l 2 ， l 3 中至少 有两条平行时， 三条直线不能构成三角形 . 显然 l 1 与 l 3 不平行， 只可能 l 1 ∥l 2 或 l 2 ∥l 3 . 当 l 1 ∥l 2 时， m=4 ； 当 l 2 ∥l 3 时， m=-1. 当直线 l 1 ， l 2 ， l 3 通过同一点时， 也不能构成三角形 . 由 x-y+1=0 ， 4x+y+4=0 0 ， 得 x=-1 ， y=0 0 . 代入 l 2 的方程得 -m+1=0 ， 即 m=1. 综上所述， m=4 或 m=-1 或 m=1. 16. （ 1 ） 证明： 直线 l 1 ： ax+y+a+1=0 整理得 a （ x+1 ） + y+1=0 ， 该式为恒等式， 故 x+1=0 ， y+1=0 0 ， ∴x=-1 ， y=-1 ， ∴ 直线 l 1 过定点， 该定点的坐标为 （ -1 ， -1 ） . （ 2 ） 解 ： ∵l 1 ， l 2 不重合 ， 且垂直于同一条直线 ， Q P （ 1 ， t ） （ 1-2t ， 2+t ） x y O M R P （ 1 ， t ） x y O N R Q 图 1 第 10 题答图 图 2 64 参 考 答 案 ∴l 1 ∥l 2 ， ∴ a （ a-1 ） =2×1 ， a×3≠2× （ a+1 ） # ， 解得 a=-1. （ 3 ） 解： ∵a=0 ， 直线 l 与 l 2 垂直， ∴ 直线 l 2 ： 2x-y+ 3=0 ， 可得直线 l 2 的斜率为 2 ， 则直线 l 的斜率为- 1 2 . 选 ① ： 直线 l过坐标原点， 故直线 l的方程为 y=- 1 2 x， 即 x+2y=0. 选 ② ： 直线 l 与 l 1 交点的横坐标为 2 ， 又由 l 1 ： y+1= 0 ， 可知交点为 （ 2 ， -1 ）， ∴ 直线 l 的方程为 y+1=- 1 2 （x-2 ）， 即 x+2y=0. 第 2 课时 对称问题 学习手册 变式训练 1 解： 设直线 l 与直线 2x-y-2=0 交于点 A （ x 1 ， y 1 ）， 与直线 x+y-1=0 交于点 B （ x 2 ， y 2 ） . 由 A ， B 两点关于点 P 对称， 即线段 AB 被点 P 平 分， ∴x 1 +x 2 =-4 ， y 1 +y 2 =-6 ， 则 x 2 =-4-x 1 ， y 2 =-6-y 1 . ∵ 2x 1 -y 1 -2=0 ， x 2 +y 2 -1=0 # ， 则 2x 1 -y 1 =2 ， x 1 +y 1 =-11 # ， 解得 x 1 =-3 ， y 1 =-8 ， 即 A （ -3 ， -8 ）， 直线 l 的斜率 k= -8- （ -3 ） -3- （ -2 ） =5 ， ∴ 直 线 l 的方程为 y- （ -3 ） =5 ［ x- （ -2 ）］， 即 y=5x+7. 变式训练 2 x-y+1=0 【解析 】 由题可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线， 直线 AB 的斜率 k= 4-3 2-3 =-1 ， ∴ 直线 l 的斜率 k l =1. ∵ 线段 AB 的中点坐标为 5 2 ， 7 2 2 % ， ∴ 直线 l 的方 程为 y- 7 2 =x- 5 2 ， 即 x-y+1=0. 变式训练 3 2x+3y+12=0 【解析】 由 ax+y+3a-1=0 ， 整理 得（ x+3 ） a+ （ y-1 ） =0 ， 当 x=-3 时， y=1 ， ∴M （ -3 ， 1 ） . 设直线 2x+3y-6=0 关于 M 点对称的直线方程为 2x+ 3y+C=0 （ C≠-6 ）， 在直线 2x+3y-6=0 上取点 A （ 0 ， 2 ）， 设 A （ 0 ， 2 ） 关 于点 M （ -3 ， 1 ） 的对称点 A′ （ x ， y ）， ∴ 0+x 2 =-3 ， 2+y 2 =1 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 解得 x=-6 ， y=0 # ， 即 A′（-6 ， 0 ）， 代入直线 2x+3y+C=0 ， 解得 C=12 ， ∴ 直线 2x+3y-6=0 关于 M 点对称的直线方程为 2x+ 3y+12=0. 变式训练 4 x+2y-3=0 【解析】 直线 x-2y+1=0 与直线 x= 1 的交点 A （ 1 ， 1 ）， 在直线 x-2y+1=0 上取点 P （ -1 ， 0 ）， 则点 P 关于直线 x=1 的对称点为 P′ （ 3 ， 0 ）， ∴ 由 A （ 1 ， 1 ） 和 P′ （ 3 ， 0 ）， 利用直线方程的两点式可得对称 直线方程为 y-0 1-0 = x-3 1-3 ， 化简得 x+2y-3=0. 随堂练习 1. 17 姨 【解析】 根据中点坐标公式， 得 x-2 2 =1 ， 且 5-3 2 =y. 解得 x=4 ， y=1 ， ∴ 点 P 的坐标为 （4 ， 1 ）， 则点 P （ x ， y） 到原点的 距离 d= （ 4-0 ） 2 + （ 1-0 ） 2 姨 = 17 姨 . 2. C 【解析】 设点 B 的坐标是 （ x ， y ）， 则 AB 的中 点坐标为 -1+x 2 ， 2+y 2 2 % . 由题意得 -1+x 2 + 2+y 2 -3=0 ， y-2 x+1 =1 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 解得 x=1 ， y=4 # ， ∴ 点 B 的 坐标是 （ 1 ， 4 ） . 故选 C. 3. B 【解析】 由已知直线方程 3 姨 x-y-4=0 ， 令 y=0 可得 x= 4 3 姨 3 ， 令 x=0 可得 y=-4 ， 即入射光线所在直线与 x 轴 、 y 轴分别相交于点 A 4 3 姨 3 ， 2 % 0 ， B （ 0 ， -4 ） . 由反射原理， 反射光线必经过点 A 4 3 姨 3 ， 2 % 0 和 点 B 关于 x 轴的对称点 B′ （ 0 ， 4 ）， 故可得其斜率为 4-0 0- 4 3 姨 3 =- 3 姨 ， 由斜截式方程 可得， 所求反射光线所在直线方程为 y=- 3 姨 x+4. 故 选 B. 4. x+2y+3=0 【解析】 ∵ 直线 l 1 与 l 2 关于原点对称， 则只需将 l 1 的方程中 x 改为 -x ， y 改为 -y ， 可得 l 2 的方 程是 -x+2 （ -y ） -3=0 ， 即 x+2y+3=0. 5. 解： （ 1 ） 设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′ （ x 0 ， y 0 ）， 则线段 PP′ 的中点 M 在对称轴 l 上， 且 PP′⊥l. ∴ y 0 +1 x 0 +2 × - 1 2 2 % =-1 ， x 0 -2 2 +2× y 0 -1 2 -2=0 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 解得 x 0 = 2 5 ， y 0 = 19 5 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴P′ 的坐标为 2 5 ， 19 5 2 % . （ 2 ） 设直线 l 关于点 A （ 1 ， 1 ） 的对称直线为 l′ ， 则 直线 l 上任意一点 P （ x 1 ， y 1 ） 关于点 A 的对称点 P′ （ x ， y ） 一定在直线 l′ 上 ， 反之也成立 . 由 x+x 1 2 =1 ， y+y 1 2 =1 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 解得 65 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 x 1 =2-x ， y 1 =2-y y . 将 （ x 1 ， y 1 ） 的坐标代入直线 l 的方程得 x+2y-4=0. ∴ 直线 l′ 的方程为 x+2y-4=0. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 ∵ 已知点 A （ 1 ， 3 ） 关于直线 l 的对称 点为 B （ -5 ， 1 ）， 故直线 l 为线段 AB 的中垂线 . ∵AB 的 中点坐标为 （ -2 ， 2 ）， AB 的斜率为 1-3 -5-1 = 1 3 ， 故直线 l 的斜率为 -3 ， ∴ 直线 l 的方程为 y-2=-3 （ x+2 ）， 即 3x+y+ 4=0. 故选 A. 2. D 【解析】 如图， 设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′ （ x 0 ， y 0 ）， 则线段 PP′ 的中点在对称轴 l 上， 且 PP′⊥l ， ∴ y 0 -1 x 0 +2 =-1 ， x 0 -2 2 - y 0 +1 2 +1=0 0 % % % % $ % % % % & ， 解得 x 0 =0 ， y 0 =-1 y ， ∴ 点 P′ 的坐标为 （ 0 ， -1 ） . 由反射原理， 反射光线必经过点 P′ （ 0 ， -1 ） 和点 Q （ 1 ， 2 ）， 则反射光线所在直线的斜率是 2- （ -1 ） 1-0 =3. 故选 D. 3. C 【解析】 设所求直线上任意一点 M （ x ， y ）， 点 M 关于直线 x-y-2=0 的对称点为 M′ （ x 1 ， y 1 ）， 则 y-y 1 x-x 1 =-1 ， x+x 1 2 - y+y 1 2 -2=0 0 % % % % $ % % % % & ， 解得 x 1 =y+2 ， y 1 =x-2 y . （ * ） ∵ 点 M′ 在直线 3x-2y-6=0 上 ， ∴ 将 （ * ） 式代入 ， 得 3 （ y+2 ） -2 （ x-2 ） -6=0 ， 化简得 2x-3y-4=0 ， 即为 l 1 关于 l 2 对称的直线方程 . 故选 C. 4. C 【解析】 设 A （ 2 ， 0 ）， B （ -2 ， 4 ）， 则 A ， B 所 在直线的斜率为 k AB = 4-0 -2-2 =-1. 由题知过点 （ 2 021 ， 2 022 ） 与点 （ m ， n ） 的直线 与直线 AB 平行， ∴ n-2 022 m-2 021 =-1 ， 整理得 m+n=2 021+2 022=4 043. 故 选 C. 5. B 【解析】 由 x+2y-5=0 ， 4x+13y-10=0 y ， 解得 x=9 ， y=-2 y ， ∴ 点 B 的坐标为 （ 9 ， -2 ） . 设点 A （ ４ ， ３ ） 关于直线 x+2y-5=0 的对称点为 A′ （ x 0 ， y 0 ）， 则 3-y 0 4-x 0 · - 1 2 2 ) =-1 ， 4+x 0 2 +2× 3+y 0 2 -5=0 0 % % % % $ % % % % & ， 解得 x 0 =2 ， y 0 =-1 1 ， ∴A′ （ 2 ， -1 ） . ∵ 点 A′ （ 2 ， -1 ） 在直线 BC 上， ∴ 直线 BC 的方程 为 y- （ -1 ） = -2- （ -1 ） 9-2 （ x-2 ）， 即 x+7y+5=0. 设点 C 的坐标为 C （ x 1 ， y 1 ）， 则 AC 的中点坐标为 x 1 +4 2 ， y 1 +3 2 2 , ， ∴ x 1 +7y 1 +5=0 ， 2 （ x 1 +4 ） + 13 2 （ y 1 +3 ） -10=0 0 % % % $ % % % & ， 解得 x 1 =-12 ， y 1 =1 y ， ∴ 点 C 的坐标为 （ -12 ， 1 ）， ∴k AC = 3-1 4- （ -12 ） = 1 8 ， ∴ 边 AC 所在直线的方程为 y-3= 1 8 （ x-4 ）， 即 x-8y+20=0 ， 故选 B. 6. AB 【解析】 直线 x-y-2=0 与两坐标轴分别交于 点 （ 0 ， -2 ）， （ 2 ， 0 ）， ∴ 围成的三角形面积为 1 2 ×2×2= 2 ， 故 A 正确； 点 （ 0 ， 2 ） 和 （ 1 ， 1 ） 的中点 1 2 ， 3 2 2 , 在直线 y= x+1 上， 且连线的斜率为 2-1 0-1 =-1 ， 可得与直线 y=x+1 垂 直， ∴ 点 （ 0 ， 2 ） 关于直线 y=x+1 的对称点为 （ 1 ， 1 ）， 故 B 正确； 联立直线方程 x-2y+3=0 ， x+y-3=0 y ， 可得交点坐标为 （ 1 ， 2 ）， 取直线 x-2y+3=0 上一点 （ -3 ， 0 ）， 设其对称点为 （ a ， b ）， 则 a-3 2 + b 2 -3=0 ， b a+3 × （ -1 ） =-1 0 % % % % $ % % % % & ， 解得 a=3 ， b=6 y ， 故对称直线的斜 率为 6-2 3-1 =2 ， 故方程为 y-2=2 （ x-1 ）， 即 2x-y=0 ， 故 C 错误； 若直线经过原点， 满足题意， 此时的直线方程为 y= x ， 故 D 错误 . 故选 AB. 7. x-y-5=0 【解析】 ∵l 1 ∥l ， ∴l 1 ′∥l ， 设直线 l 1 ′ 的方 程为 x-y+c=0 （ c≠3 ， 且 c≠-1 ） . 在直线 l 1 上取点 M （ 0 ， 3 ）， 设点 M 关于直线 l 的对 称点为 M′ （ a ， b ）， x y O x-y+1=0 P′ （ 0 ， -1 ） （ 1 ， 2 ） （ -2 ， 1 ） Q P 第 2 题答图 66 参 考 答 案 则 b-3 a ×１=-１ ， a+0 2 - b+3 2 -1=0 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 a=4 ， b=-1 1 ， 即点 M′ 的坐标为 （ 4 ， -1 ） . 把点 M′ 的坐标代入直线 l 1 ′ 的方程， 得 4- （ -1 ） +c=0 ， 解得 c=-5 ， ∴ 直线 l 1 ′ 的方程为 x-y-5=0. 8. 10x-3y+8=0 【解析 】 如图所示， 设点 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′ ， 点 D 关 于 y 轴的对称点为 D′ ， 则易 得 A′ （ -2 ， -4 ）， D′ （ 1 ， 6 ） . 由反射角等于入射角可 得 A′D′ 所在直线经过点 B 与 点 C ， 故 BC 所在直线的方程为 y-6 -4-6 = x-1 -2-1 ， 即 10x-3y+ 8=0. 9. 解： （ 1 ） 设点 A （ -4 ， 4 ） 关于直线 l ： 3x+y-2=0 对称的点为 A′ （ x ， y ）， ∴ y-4 x+4 ·（ -3 ） =-1 ， 3 · x-4 2 + y+4 2 -2=0 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 x=2 ， y=6 1 ， ∴ 点 A 关于直线 l 对称的点为 A′ （ 2 ， 6 ） . （ 2 ） 取直线 l 上任一点 （ x ， y ）， 其关于点 P （ 2 ， -1 ） 的对称点 （ 4-x ， -2-y ） 在直线 3x-y-4=0 上， ∴3 （ 4-x ） - （ -2-y ） -4=0 ， 整理得 3x-y-10=0 ， 即所求 直线 l 的方程为 3x-y-10=0. （ 3 ） 由 x-2y-1=0 ， x+y-1= 1 0 得 x=1 ， y=0 1 ， ∴ 两直线的交点为 A （ 1 ， 0 ） . 在直线 x-2y-1=0 上取点 B 0 ， - 1 2 2 ' ， 设点 B 关于 直线 x+y-1=0 的对称点为 C （ x 0 ， y 0 ）， 则有 0+x 0 2 + - 1 2 +y 0 2 -1=0 ， y 0 - - 1 2 2 2 x 0 -0 ·（ -1 ） =-1 0 # # # # # # # " # # # # # # # $ ， 解得 x 0 = 3 2 ， y 0 =1 0 # # # " # # # $ ， 即点 C 的 坐标为 3 2 ， 2 2 1 . 由于所求直线经过 A ， C 两点， 则有 y-0 1-0 = x-1 3 2 -1 ， 即 2x-y-2=0 ， ∴ 所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0. 10. 解： （ 1 ） ∵ 直线 AC 的斜率为 k AC = 1 2 ， ∴ 直线 AC 的方程为 y-3= 1 2 （ x-2 ）， 即直线 AC 的方程为 x-2y+ 4=0. （ 2 ） 问题 ① ： 设点 D 的坐标为 （ m ， n ）， 则 n+1 m · 1 2 =-1 ， m 2 -2 · n-1 2 +4=0 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 m=- 12 5 ， n= 19 5 0 # # # # " # # # # $ ， 即点 D 的坐标 是 - 12 5 ， 19 5 2 2 . 问题 ② ： 设点 E 的坐标为 t ， 1 2 t+ 2 2 2 ， ∵|BE|=3 ， ∴ t 2 + 1 2 t+2+ 2 2 1 2 姨 =3 ， 解得 t=0 或 t=- 12 5 ， ∴ 点 E 的坐标 为 （ 0 ， 2 ） 或 - 12 5 ， 4 5 2 2 ， ∴ 直线 l 的方程为 x=0 或 3x+ 4y+4=0. 提升练习 11. C 【解析】 由题意可知 直线 BC 的方程为 x+y-2=0 ， P （ 1 ， 0 ） . 如图 ， 记点 P 关于 AC 对 称的点为 P 1 （ -1 ， 0 ）， 设 P 关于 BC 对称的点为 P 2 （ a ， b ）， ∴ a+1 2 + b 2 =2 ， b-0 a-1 =1 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 a=2 ， b=1 1 ， ∴P 2 （ 2 ， 1 ） . 由对称性知 |PR|=|P 1 R| ， |PQ|=|P 2 Q| ， ∴L=|PQ|+|QR|+|PR|=|P 1 R|+|QR|+|P 2 Q| ， 易知当 P 1 ， Q ， R ， P 2 四点共线时， L=|P 1 R|+|QR|+|P 2 Q| 的值最小， ∴L min = |P 1 P 2 |= 10 姨 . 故选 C. 12. A 【解析】 ∵A （ a-1 ， a+1 ） ， B （ a ， a ） ， ∴k AB = a+1-a a-1-a =-1. 线段 AB 的中点为 2a-1 2 ， 2a+1 2 2 2 ， ∵A ， B 两点关 于直线 l 对称， 则 k l =1 ， ∴ 直线 l 的方程为 y- 2a+1 2 =x- 2a-1 2 ， 整理得 x-y+ 1=0. 故选 A. 13. AD 【解析】 a×1+ （ -1 ） ×a=0 恒成立， l 1 与 l 2 互相 垂直恒成立， 故 A 正确； 当 a≠0 时， l 1 与 x 轴的交点 A - 1 a ， ， 2 0 ， 点 A 到 原点的距离为 1 |a| ， 故 B 错误； 在 l 1 上任取一点 （ x ， ax+1 ）， 关于直线 x＋y＝0 对称 的点的坐标为 （ -ax-1 ， -x ）， 代入 l 2 ： x＋ay＋1＝0 ， 则左 边不等于 0 ， 故 C 错误； x y O A′ D′ A B C D （ -4 ， -2 ） y=x 第 8 题答图 x y A Q R B C P P 1 P 2 第 11 题答图 67 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 对于 D ， 方法一： 联立 ax-y+1=0 ， x+ay+1=0 ! ， 解得 x= -a-1 a 2 +1 ， y= -a+1 a 2 +1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 即 M -a-1 a 2 +1 ， -a+1 a 2 +1 1 ' ， ∴|MO|= -a-1 a 2 +1 1 1 2 + -a+1 a 2 +1 1 1 2 姨 = 2 a 2 +1 姨 ≤ 2 姨 ， ∴|MO| 的最大值是 2 姨 ， 故 D 正确 . 方法二 ： 由 l 1 ⊥l 2 ， l 1 过定点 B （ 0 ， 1 ）， l 2 过定点 （ -1 ， 0 ）， ∴A ， M ， B ， O 四点共圆， 且 AB 是此圆的直径 . 显然 ， 当 MO 也为圆的直径时 ， |MO| 最大 . 此时 |MO| max = 2 姨 . 故 D 正确 . 故选 AD. 14. 293 姨 【解析】 d= x 2 +y 2 +6x-10y+34 姨 + x 2 +y 2 -4x-30y+229 姨 = （ x+3 ） 2 + （ y-5 ） 2 姨 + （ x-2 ） 2 + （ y-15 ） 2 姨 ， 即 d 可看作点 A （ -3 ， 5 ） 和 B （ 2 ， 15 ） 与直线 x-y+ 1=0 上的点 （ x ， y ） 的距离之和 . 如图 ， 作 A （ -3 ， 5 ） 关于直线 x-y+1=0 的对称点 A′ （ x 0 ， y 0 ）， 由题意得 x 0 -3 2 - y 0 +5 2 +1=0 ， y 0 -5 x 0 +3 =-1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x 0 =4 ， y 0 =-2 ! ， 故 A′ （ 4 ， -2 ）， 则 d min =|A′B|= （ 4-2 ） 2 + （ -2-15 ） 2 姨 = 293 姨 . * 15. 5 【解析】 如图， 设点 P 关于直线 l 的对称点为 M ， 则 M 一定在第一次的反射光线所在直线上， 设 M 关 于 x 轴的对称点为 N ， 则 N 必在第二次的反射光线所在 直线上 . 设 M （ x ， y ）， 则 y x-a =-3 ， a+x 2 -3× y 2 =0 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x= 4 5 a ， y= 3 5 a 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 即 M 4 5 a ， 3 5 5 1 a ， ∴N 4 5 a ， - 3 5 1 1 a . 由题意 k QN = - 3 5 a 4 5 a-b = 1 3 ， 整理得 b= 13 5 a， ∵b≥13 ， ∴ 13 5 a≥13 ， a≥5 ， 即实数 a 的最小值为 5. * 16. 解： 当 k=0 时， 此时点 A 和点 D 重合， 折痕所 在的直线方程为 y= 1 2 . 当 k≠0 时， 将矩形折叠后点 A 落在线段 DC 上的 点为 G （ a， 1 ） （ 0<a≤2 ）， ∴A 与 G 关于折痕所在的直线对称 ， 由 k OG ·k=-1 ， 即 1 a ·k=-1 ， 解得 a=-k. 由 0<a≤2 ， ∴-2≤k<0 ， 且 G（-k ， 1 ） （ -2≤k<0 ）， 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标为 M - k 2 ， 1 2 5 1 ， 折痕所在的直线方程为 y- 1 2 =k x+ k 2 5 1 ， 即 y=kx+ k 2 2 + 1 2 （ -2≤k<0 ） . 综上所述， 折痕所在的直线方程为 2kx-2y+k 2 +1=0 （ -2≤k<0 ） . 2.2.4 点到直线的距离 学习手册 变式训练 1 0≤t≤10 【解析】 由题意得 |16-3t-1| 4 2 + （ -3 ） 2 姨 ≤ 3 ， 即 |3t-15|≤15 ， ∴-15≤3t-15≤15 ， 解得 0≤t≤10. 变式训练 2 8x+15y-51=0 或 x=-3 【解析】 当直线斜率 存在时， 由直线过点 P（-3 ， 5 ）， ∴ 设直线方程为 y-5= k （ x +3 ） ， ∴kx -y +5 +3k =0. 原 点 到 该 直 线 的 距 离 d = |3k+5| 1+k 2 姨 =3 ， 解得 k=- 8 15 ， ∴ 所求直线的方程为 y-5= - 8 15 （ x+3 ）， 即 8x+15y-51=0. 当直线斜率不存在时， 由直线过点 P （ -3 ， 5 ）， ∴ 直 线方程为 x=-3 ， 此时原点到直线的距离 d=3 ， 满足题意 . 综上所述， 所求直线方程为 8x+15y-51=0 或 x=-3. 变式训练 3 解： 由 荀ABCD 的两条对角线的交点是对 角线的中点， ∴ 过中点作 AB 所在直线的平行线 l ， 同时 也平行于 CD 所在直线， ∴l 与 CD 所在直线的距离是 AB 所在直线与 CD 所在直线的距离的 1 2 . 由 AB 和 CD 所在直线的方程分别是 6x+8y-3=0 与 6x+8y+5=0 ， ∴AB 和 CD 所在直线的距离 d 1 = |-3-5| 6 2 +8 2 姨 = 4 5 ， ∴l 与 CD 所在直线的距离 d= 1 2 d 1 = 2 5 . x y O 5 10 15 10 5 -5 A′ A B -5 第 14 题答图 第 15 题答图 x y O M N Q l P 68