2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练 效 果 评 价 1. 直线 y=3-x 的倾斜角是 （ ） A. 45° B. 90° C. 135° D. 150° 2. 直线 l 过原点 （ 0 ， 0 ）， 且不过第三 象限， 那么 l 的倾斜角 α 的取值范围是 （ ） A. 0°≤α≤90° B. 90°≤α<180° C. 90°≤α<180° 或 α=0° D. 90°≤α≤135° 3. 已知直线 PQ 的斜率为 - 3 姨 ， 将直 线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线的斜率 为 （ ） A. 3 姨 B. - 3 姨 C. 0 D. 1+ 3 姨 4. （多选题 ） 下列说法中 ， 正确的是 （ ） A. 直线的倾斜角为 α ， 且 tanα>0 ， 则 α 为锐角 B. 直线的斜率为 tanα ， 则此直线的倾 斜角为 α C. 若直线的倾斜角为 α ， 则 sinα≥0 D. 任意直线都有倾斜角 α ， 且 α≠90° 时， 斜率为 tanα 5. 已知三点 A （ m ， 1 ）， B （ 4 ， 2 ）， C （ -4 ， 2m ） 在同一条直线上 ， 则实数 m 的值为 （ ） A. 0 B. 5 C. 0 或 5 D. 0 或 -5 6. 已知函数 f （ x ） =x 2 -2x 上两点 A ， B 的 横坐标分别为 x A =0 ， x B =1 ， 则直线 AB 的斜 率为 （ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 7. 已知直线 l 的倾斜角 兹 的取值范围是 30°≤兹≤120° ， 则直线 l 的斜率的取值范围 是 . 8. 已知 A （ 2 ， 4 ）， B （ 1 ， 1 ） 两点， 直线 l 过点 C （ 0 ， 2 ） 且与线段 AB 相交， 则直线 l 的斜率 k 的取值范围为 . 9. 直线 xsinα-y+2=0 的倾斜角的取值范 围是 . 10. 写出下列直线上不同于已知点的一 个点的坐标 . （ 1 ） A （ 2 ， 3 ）， 斜率为 1 ； （ 2 ） B （ 2 ， -1 ）， 斜率为 -2 ； （ 3 ） C （ -3 ， 1 ）， 倾斜角为 90°. 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第 1课时 倾斜角与斜率 26 第二章 平面解析几何 练 提 升 练 习 11. 设直线 l 1 ， l 2 的斜率和倾斜角分别为 k 1 ， k 2 和 兹 1 ， 兹 ２ ， 则 “ k 1 >k 2 是 “ 兹 1 >兹 2 ” 的 （ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. （多选题） 若经过 A （ 1-a ， 1+a ） 和 B （ -1 ， a ） 的直线的倾斜角为锐角， 则实数 a 的值可能为 （ ） A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 13. （多选题） 直线 l 的倾斜角为 兹 ， 则 直线 l 关于 y=x 图象对称的直线 l′ 的倾斜角 可能为 （ ） A. 兹 B. π 2 -兹 C. π-兹 D. 3π 2 -兹 14. 已知直线 l 过点 P （ -1 ， 4 ）， 且与直 线 l 1 ： y=3-x 以及 x 轴围成一个底边在 x 轴上 的等腰三角形， 则直线 l 的倾斜角为 ； 所围成的等腰三角形的面积为 . 15. 若正方形一条对角线所在直线的斜 率为 3 ， 则该正方形的两条邻边所在直线的 斜率分别为 ， . * 16. 已知在矩形 ABCD 中， A （ -4 ， 4 ）， D （ 5 ， 7 ）， 其对角线的交点 E 在第一象限内 且到 y 轴的距离为 1 ， 动点 P （ x ， y ） 沿矩形 的一边 BC 运动， 求 y x 的取值范围 . 27 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练 效 果 评 价 1. 已知直线 l 的一个方向向量为 （ 1 ， 3 姨 ）， 则直线 l 的倾斜角为 （ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 若已知倾斜角为 3π 4 的直线 l 的一个 方向向量为 a= （ 2 ， 4+2y ）， 则 y 等于 （ ） A. -1 B. 2 C. 0 D. -3 3. 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线 l 上的一点向右平移 2 个单位长度， 再向下 平移 4 个单位长度后， 仍在该直线上， 则直 线 l 的斜率为 （ ） A. -2 B. - 1 2 C. 1 2 D. 2 4. （多选题） 设直线 l ： y=xtanα+b ， 其 中 α≠kπ+ π 2 ， k∈Z 且 b≠0 ， b∈R. 下列命 题中是真命题的有 （ ） A. l 的斜率是 tanα B. l 的倾斜角是 α C. l 的方向向量与向量 a= （ sinα ， cosα ） 平行 D. l 的法向量与向量 b= （ sinα ， -cosα ） 平行 5. （多选题） 直线 y=2 的一个法向量为 （ ） A. （ 2 ， 0 ） B. （ 0 ， 2 ） C. （ 0 ， -2 ） D. （ -2 ， 0 ） 6. （ 多 选 题 ） 已 知 直 线 l 经 过 点 M -2 ， t+ 1 t t % 2 t % 和点 N 2 ， t- 1 t t % 2 t % ， 则 （ ） A. 斜率为定值， 但倾斜角不确定 B. 直线 l 的一个方向向量为 （ 4 ， -4 ） C. 直线 l 的一个法向量为 （ 4 ， 4 ） D. 斜率为 -1 ， 倾斜角为 135° 7. 直线 y=- 2 3 x- 5 3 的一个方向向量是 ， 一个法向量是 . 8. 经过 A （ 0 ， 2 ）， B （ 1 ， 0 ） 两点的直线 的方向向量为 （ 1 ， m ）， 则 m 的值为 . 9. 若 A （ -2 ， 3 ）， B （ m ， -2 ）， C （ 4 ， -3 ） 三点共线， 则实数 m 的值为 . 10. 已知直线 l ： （ a 2 -2a+4 ） x-ay-3=0. （ 1 ） 若直线 l 过点 A （ 1 ， 0 ）， 试写出直 线 l 的一个方向向量； （ 2 ） 若实数 a≠0 ， 求直线的斜率的取值 范围 . 第 2课时 方向向量与法向量 28 第二章 平面解析几何 练 提 升 练 习 11. 直线 x=tan120° 的一个方向向量是 （ ） A. - 1 2 ， 3 姨 2 2 # B. 3 姨 2 ， 1 2 2 2 C. （ 0 ， 1 ） D. （ 1 ， 0 ） 12. 直线 l ： y= 3 姨 x+2 与 x 轴交于点 A ， 把 l 绕点 A 顺时针旋转 45° 得直线 m ， 则 直线 m 的一个方向向量为 （ ） A. 6 姨 + 2 姨 4 ， 6 姨 - 2 姨 4 4 2 B. 2 姨 - 6 姨 4 ， 2 姨 + 6 姨 4 2 2 C. 6 姨 + 2 姨 4 ， 2 姨 - 6 姨 4 2 2 D. 6 姨 - 2 姨 4 ， 6 姨 + 2 姨 4 2 2 13. 若直线 l 的倾斜角等于 135° ， 则下 列向量不是直线 l 的方向向量的有 . ① （ 2 ， 2 ）； ② （ -3 ， 3 ）； ③ 2 姨 2 ， 2 姨 2 2 2 ； ④ 1 4 ， - 1 4 2 2 . 14. 已知点 A （ 1 ， 0 ）， P 为抛物线 y=x 2 + 2x-3 上一点， 若直线 PA 的一个方向向量是 （ 1 ， 1 ）， 点 P 的坐标为 . 15. 已知点 A （ 1 ， 0 ）， B （ 2 ， 3 姨 ）， C （ m ， 2m ）， 若直线 AC 的倾斜角是直线 AB 的倾 斜角的 2 倍， 则实数 m 的值为 ， 直 线 AC 的一个方向向量为 . 16. 已知正 △ABC 的三个顶点均在抛物 线 y=x 2 上， 其中一条边所在直线的一个方向 向量为 （ 1 ， 2 姨 ）， 求 △ABC 的三个顶点 的横坐标之和 . 29 参 考 答 案 知， 当点 C 的坐标 （ x 3 ， y 3 ） 的取值范围为 x 3 ∈ ［ x 1 ， x 2 ］ 且 y 3 ∈ ［ y 1 ， y 2 ］ 时， （ 1 ） 中的不等式等号成立 . 当点 C 的坐标 （ x 3 ， y 3 ） 的取值范围为 x 3 ∈ （ -∞ ， x 1 ） ∪ （ x 2 ， +∞ ） 或 y 3 ∈ （ -∞ ， y 1 ） ∪ （ y 2 ， +∞ ） 时， 不等式 等号不成立 . 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第 1 课时 倾斜角与斜率 学习手册 变式训练 1 解 ： 如图 ， 直线 l 的 两个临界情形是与 x 轴垂直的直线 和过原点的直线 . 当直线 l 位于这两条直线所夹 的阴影范围时， 直线 l 不经过第二象限 . 当直线 l 垂直于 x 轴时， 倾斜 角为 90° ， 当直线 l 过原点时， 倾斜角为 45° ， ∴ 倾斜角的取值 范围是 ［ 45° ， 90° ］ . 变式训练 2 解： 由题意得 k AB = 1-1 2- （ -1 ） =0 ， ∴ 直线 AB 的倾斜角为 0° ； k BC = 2-1 -2+1 =-1 ， ∴ 直线 BC 的倾斜角为 135°. 变式训练 3 C 【解析】 由题意， k AB = m-1- （ -m ） m-2 = 2m-1 m-2 =tan135°=-1 ， 解得 m=1. 故选 C. 变式训练 4 解： 根据题意作出如 图所示的图形 . 直线 PA 的斜率为 k PA = -2- （ -3 ） 5 2 -2 =2 ， 直线 PB 的斜率为 k PB = -2-2 5 2 -3 =8 ， ∴ 过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点时， 直线 l 的斜率的取值范围是 （ -∞ ， 2 ］ ∪ ［ 8 ， +∞ ） . 变式训练 5 1+ 2 姨 【解析】 若 A ， B ， C 三点共线， 则 k AB =k AC ， ∴ a 2 +a 2-1 = a 3 +a 3-1 ， 得 2 （ a 2 +a ） =a 3 +a. 由 a>0 ， 故上 式化简为 a 2 -2a-1=0 ， 解得 a=1+ 2 姨 . 随堂练习 1. C 【解析】 经过 A （ 2 ， 0 ）， B （ 1 ， 3 姨 ） 两点的直 线的斜率为 k AB = 3 姨 1-2 =- 3 姨 ， 设该直线的倾斜角为 琢 ， 则 tan琢=- 3 姨 . 又 ∵0°≤琢<180° ， ∴琢=120°. 故选 C. 2. - 1 3 【解析】 ∵A （ 2 ， 3 ）， B （ -1 ， 4 ）， 则 k AB = 3-4 2+1 =- 1 3 . 3. 3 姨 3 ， ， 1 1 0 ， 仔 6 '( ∪ 2仔 ３ ， 1 ' 仔 【解析】 ∵k= tan琢 ， 琢∈ 仔 6 ， 仔 4 ，1 ， tan 仔 6 = 3 姨 3 ， tan 仔 4 =1 ， ∴ 3 姨 3 <k≤1 ， ∴ 斜率 k 的取值范围是 3 姨 3 ， ， 1 1 . 当 k∈ - 3 姨 ， 3 姨 3 1 ' 时， 由 k=- 3 姨 时， 琢= 2仔 3 ； 当 k= 3 姨 3 时， 琢= 仔 6 . ∴ 当 k∈ （ - 3 姨 ， 0 ） 时 ， 琢∈ 2仔 3 ， 1 ' 仔 ； 当 k∈ 0 ， 3 姨 3 '( 时， 琢∈ 0 ， 仔 6 '( . 综上， 琢∈ 0 ， 仔 6 '( ∪ 2仔 ３ ， 1 ' 仔 . 4. 1 2 【解析】 ∵A ， B ， C 三点共线， ∴k AB =k BC ， 由 k AB = -4m-3 3- （ -2 ） =- 4m+3 5 ， k BC = m- （ -4m ） 1 2 -3 =-2m ， ∴- 4m+3 5 =-2m ， 解得 m= 1 2 . 5. BD 【解析】 若直线的倾斜角 琢＝ 仔 ２ ， 则直线的斜 率不存在， 故 A 不正确； 若直线的倾斜角为 琢 ， 则 琢∈ ［ 0 ， 仔 ）， 故 B 正确； 举反例， 如取直线的倾斜角 琢 为 仔 3 ， 仔 4 ， 满足 仔 3 > 仔 4 ， 但 tan 仔 3 >tan 仔 4 ， 故 C 不正确； 由倾斜角和斜率的定义可知倾斜角和斜率都是反 映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度， 故 D 正确 . 故选 BD. 练习手册 效果评价 1. C 【解析 】 由已知直线斜率为 -1 ， ∴ 倾斜角为 135°. 故选 C. 2. C 【解析】 ∵ 直线 l 过原点 （ 0 ， 0 ）， 且不过第三 象限， 可知直线与坐标轴重合或经过第二、 四象限， ∴l 的倾斜角 琢 的取值范围为 琢=0° 或 90°≤琢<180° ， x y O A 变式训练 1 答图 x y O B （ 3 ， 2 ） A （ 2 ， -3 ） P 变式训练 4 答图 5 2 ， -2 1 ' 53 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故选 C. 3. A 【解析】 ∵ 直线 PQ 的斜率为 - 3 姨 ， ∴ 直线 PQ 的倾斜角为 120° ， 则所求直线的倾斜角为 60° ， tan60°= 3 姨 . 故选 A. 4. ACD 【解析】 ∵0°≤琢<180° ， 且 tan琢>0 ， 则 琢 为 锐角， 故 A 正确； 虽然直线的斜率为 tan琢 ， 但只有 0°≤琢<180° 时， 琢 才是此直线的倾斜角， 故 B 错误； ∵0°≤琢<180° ， ∴sin琢≥0 ， 故 C 正确； 任意直线都有倾斜角 琢 ， 且 琢≠90° 时 ， 斜率为 tan琢 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 5. C 【解析】 ∵ 三点 A （ m ， 1 ）， B （ 4 ， 2 ）， C （ -4 ， 2m ） 在同一条直线上， 且直线斜率存在， ∴ 2-1 4-m = 2-2m 4- （ -4 ） ， 解得 m=0 或 m=5. 故选 C. 6. B 【解析】 斜率 k＝ f （ 1 ） -f （ 0 ） 1-0 ＝ -1 1 ＝-1. 故选 B. 7. （ -∞ ， - 3 姨 ］ ∪ 3 姨 3 ， + ' ∞ ∞ 【解析】 设直线斜 率为 k ， 当 30°≤兹<90° 时， k=tan兹≥ 3 姨 3 ； 兹=90° ， 斜率不 存在； 当 90°<兹≤120° 时， k=tan兹≤- 3 姨 . 故直线 l 的斜率的取值范围为 （ -∞ ， - 3 姨 ］ ∪ 3 姨 3 ， + ' ∞ ∞ . 8. ［ -1 ， 1 ］ 【解析】 直线 AC 的斜率为 k AC = 4-2 2-0 = 1 ， 直线 BC 的斜率为 k BC = 1-2 1-0 =-1. ∵0埸 ［ 1 ， 2 ］， ∴ 直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ［ -1 ， 1 ］ . 9. 0 ， 仔 4 ∞ 4 ∪ 3仔 4 ， ' 仔 仔 【解析】 直线 xsin琢-y+2=0 的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹=sin琢. ∵-1≤sin琢≤1 ， ∴ 倾斜角 兹 的取值范围是 0 ， 仔 4 ∞ 4 ∪ 3仔 4 ， ' 仔 ∞ . 10. 解： 本题是一道开放性题， 答案不唯一， 只要 点的坐标满足相应的 x ， y 的关系式即可 . （ 1 ） 设直线上不同于点 A 的点为 P （ x ， y ）， 则 y-3 x-2 = 1 ， 解得 y=x+1 ， 可以取 P （ 1 ， 2 ） . （ 2 ） 设直线上不同于点 B 的点为 P （ x ， y ）， 则 y+1 x-2 =-2 ， 解得 y=-2x+3 ， 可以取 P （ 1 ， 1 ） . （ 3 ） 由直线的倾斜角为 90° ， ∴ 直线上所有点的横 坐标相同， 可以取直线上不同于点 C 的点 P （ -3 ， 0 ） . 提升练习 11. D 【解析】 由直线 l 1 ， l 2 的斜率和倾斜角分别为 k 1 ， k 2 和 兹 1 ， 兹 2 ； 当倾斜角均为锐角或均为钝角时， 若 “ k 1 >k 2 ”， 则 “ 兹 1 >兹 2 ”； 若 “ 兹 1 >兹 2 ”， 则 “ k 1 >k 2 ” . 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时 ， 若 “ k 1 >k 2 ”， 则 “ 兹 １ <兹 ２ ”； 若 “ 兹 1 >兹 2 ”， 则 “ k 1 <k 2 ” . 故 “ k 1 >k 2 ” 是 “ 兹 １ >兹 ２ ” 的既不充分也不必要条件 . 故选 D. 12. ABC 【解析】 由 k AB = １+a-a 1-a- （ -1 ） = 1 2-a >0 ， ∴2- a>0 ， 解得 a<2. 故选 ABC. 13. ABD 【解析】 当 兹∈ 0 ， 仔 ２ ∞ 4 时， 直线 l′ 的倾斜 角为 仔 ２ -兹 ， 当 兹∈ 仔 ２ ， ， ' 仔 时， 直线 l′ 的倾斜角为 ３仔 ２ - 兹 ， 当 兹= 仔 ４ 时， 直线 l′ 的倾斜角为 仔 ４ =兹 ， 因此 ABD 均 可能， 只有 C 不可能 . 实际上当直线 l′ 的倾斜角为 仔-兹 时， 直线 l′ 与直线 l 关于与 x 轴垂直的直线对称 . 故选 ABD. 14. 45° 16 【解析 】 由题意可知直线 l 与直线 l 1 ： y=3-x 的倾斜角互补， ∴ 直线 l 的斜率为 1 ， 故倾斜角为 45°. 如图， 由直线 l 过点 P （ -1 ， 4 ）， ∴ 三角形的高为 4 ， 底边长为 2× ［ 3- （ -1 ）］ =8 ， ∴ 三角形的面积为 1 2 ×8×4=16. 15. 1 2 -2 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标 系 ， 则正方形 OABC 中 ， 对角线 OB 所在直线的斜率 为 3. 设 OB 所在直线的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹=3. 由正方形性质可知 ， 直线 OA 的倾斜角为 兹-45° ， 直线 OC 的倾斜角为 兹+45° ， 故 k OA =tan （ 兹-45° ） = tan兹-tan45° 1+tan兹tan45° = 3-1 1+3 = 1 2 ， k OC =tan （ 兹+45° ） = tan兹+tan45° 1-tan兹tan45° = 3+1 1-3 =-2. x y O 3 3 l y=3-x x y O A B C 第 14 题答图 第 15 题答图 P （ -1 ， 4 ） 54 参 考 答 案 * 16. 解： 如图所示， 设 E （ 1 ， a ） . ∵ 点 E 是线段 AC 的中点 ， ∴ 1= -4+x C 2 ， a= 4+y C 2 2 # # # # " # # # # $ ， 则 C （ 6 ， 2a-4 ） . ∵AD⊥DC ， ∴A A' D·D A' C = （ 9 ， 3 ）·（ 1 ， 2a-11 ） =9+3 （ 2a- 11 ） =0 ， 解得 a=4 ， ∴C （ 6 ， 4 ） . ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ A A' B = D A' C ， 即 （ x B +4 ， y B - 4 ） = （ 6-5 ， 4-7 ） = （ 1 ， -3 ）， ∴ x B =-3 ， y B =1 1 ， ∴B 点坐标为 （ -3 ， 1 ） . ∵ 点 P 在边 BC 上运动， ∴ y x =k OP . 由题图可知， k OP ≥k OC 或 k OP ≤k OB ， 则 y x ≥k OC = 2 3 或 y x ≤k OB =- 1 3 ， 即 y x 的取值范围为 -∞ ， - 1 3 3, ∪ 2 3 ， + . ∞ ∞ . 第 2 课时 方向向量与法向量 学习手册 变式训练 1 解： ∵ 直线 l 的倾斜角为 30° ， ∴ 斜率 k= 3 姨 3 ， ∴ 它的一个方向向量的坐标为 1 ， 3 姨 3 , . ， 或者它的一个方向向量的坐标还可以写成 （ cos30° ， sin30° ） = 3 姨 2 ， 1 2 , . . 变式训练 2 解： 由题可知， 点 P （ 6 ， 4 ） 关于 x 轴的对 称点 P′ （ 6 ， -4 ） 在反射光线所在的直线上， 又 ∵ 点 Q （ 2 ， 0 ） 也在反射光线所在的直线上， ∴ 反射光线所在直线的一个方向向量P′ A' Q = （ 2-6 ， 0+ 4 ） = （ -4 ， 4 ）， ∴ 反射光线所在直线的一个法向量 n= （ 4 ， 4 ） . 随堂练习 1. B 【解析】 ∵ 直线的方向向量为 （ -2 ， 2 3 姨 ） = -2 （ 1 ， - 3 姨 ）， ∴ 直线斜率 k=- 3 姨 ， 则倾斜角为 120°. 故选 B. 2. A 【解析】 ∵ 直线 l 的一个法向量为 （ -1 ， 3 姨 ）， ∴ 直线 l 的斜率 k= 3 姨 3 ， ∴ 倾斜角 琢=30°. 故选 A. 3. B 【解析】 由直线 l 的一个方向向量为 （ -1 ， 2 ）， ∴ 它的一个方向向量的坐标为 （ 2 ， 1 ） . 4. 1 2 ， 3 姨 2 , . （由于方向向量不唯一， 答案也不 唯一， 只需要和给出的答案是平行的即可） 【解析】 ∵ 倾斜角 琢=60° ， ∴ 直线 l 的一个方向向量 为 （ cos琢 ， sin琢 ） = 1 2 ， 3 姨 2 , . . 5. （ 1 ， -2 ） 【解析】 ∵ 直线 l 的一个法向量为 n= （ 2 ， 1 ）， 根据直线的方向向量和法向量的关系可知直线 l 的一个方向向量 a= （ 1 ， -2 ） . 6. 解 ： ∵ A A' B = （ -1-1 ， 0-2 ） = （ -2 ， -2 ） ， A A' C = （ -2- 1 ， 3-2 ） = （ -3 ， 1 ）， 且 （ -2 ） ×1≠ （ -2 ） × （ -3 ）， ∴ A A' B ， A A' C 不平行， ∴A ， B ， C 三点不在同一条直线上 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 设直线 l 的倾斜角为 兹 ， 兹∈ ［ 0° ， 180° ）， 且直线 l 的一个方向向量为 （ 1 ， 3 姨 ）， 则 tan兹= 3 姨 ， ∴兹=60°. 故选 B. 2. D 【解析】 由于直线 AB 的倾斜角为 3仔 4 ， 则该直 线的斜率为 tan 3仔 4 =-1. 由直线 l 的一个方向向量为 a= （ 2 ， 4+2y ）， ∴ 斜率 k= 4+2y ２ =y+2=-1 ， 解得 y=-3. 故选 D. 3. A 【解析】 根据题意， 直线 l 的一个方向向量 a= （ 2 ， -4 ）， ∴ 直线 l 的斜率 k= -4 ２ =-2. 故选 A. 4. AD 【解析】 ∵ 直线 l ： y=xtan琢+b ， 其中 琢≠k仔+ 仔 ２ ， k∈Z ， ∴l 的斜率是 tan琢 ， 故 A 正确； l 的倾斜角 兹 满足 tan兹=tan琢 ， 但不一定有 兹=琢 ， 故 B 错误； l 的方向向量为 （ 1 ， tan琢 ）， ∵1×cos琢≠sin琢tan琢 ， 故 C 错误； l 的法向量为 （ tan琢 ， -1 ） ， ∵-1×sin琢=-cos琢tan琢 ， 故 D 正确 . 故选 AD. 5. BC 【解析】 由题可知， 直线 y=2 与 x 轴平行， ∴ 此直线的法向量应与 x 轴垂直， ∴BC 正确 . 故选 BC. 6. BCD 【 解 析 】 由 已 知 ， 直 线 l 的 斜 率 k = t+ 1 t , . 2 - t- 1 t , . 2 -2-2 = 4 -4 =-1 ， ∴ 直线 l 的倾斜角为 135° ， x y O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 E A B C D P 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 第 16 题答图 55 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故 D 正确； 直线 l 的一个方向向量为 M !" N = 2- （ -2 ）， t- 1 t $ 2 - t+ 1 t & 2 t & = （ 4 ， -4 ） ， 故 B 正确； 由 4×4+4× （ -4 ） =0 ， ∴ 向量 （ 4 ， 4 ） 与直线 l 垂直， 故 C 正确 . 故选 BCD. 7. （ 3 ， -2 ） （ 2 ， 3 ） （答案不唯一） 【解 析 】 直 线 y =- 2 3 x - 5 3 的 一 个 方 向 向 量 是 1 ， - 2 3 t & ， 即 （ 3 ， -2 ）， ∴ 一个法向量是 （ 2 ， 3 ） . 8. -2 【解析】 由已知可得 m= 2-0 0-1 =-2. 9. 3 【解析】 由 AB 所在直线的方向向量A !" B = （m+2 ， -5 ）， AC 所在直线的方向向量A !" C = （ 6 ， -6 ） . ∵A ， B ， C 三点共线， ∴-6 （ m+2 ） =-30 ， 解得 m=3. 10. 解： （ 1 ） 把 A（1 ， 0 ） 代入直线 l 的方程， 得 a 2 - 2a+1=0 ， 解得 a=1 ， 此时直线 l 的方程为 3x-y-3=0 ， 故 直线 l 的一个方向向量为 （1 ， 3 ） . （ 2 ） ∵a≠0 ， ∴ 直线 l 的斜率 k= a 2 -2a+4 a =a+ 4 a -2 ， ∴ 当 a>0 时， k=a+ 4 a -2≥2 a · 4 a 姨 -2=2 ， 当且仅当 a=2 时等号成立； 当 a<0 时， k=- （ -a ） + - 4 a t $a + -2≤-2 （ -a ）· - 4 a t & 姨 -2=-6 ， 当且仅当 a=-2 时等号成立 . 综上所述， 斜率 k∈ （ -∞ ， -6 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ） . 提升练习 11. C 【解析】 由题可知直线方程为 x=- 3 姨 ， 这是 一条垂直于 x 轴的直线， 故方向向量也垂直于 x 轴， 只 有 C 选项的向量是满足题意的， 故选 C. 12. A 【解析 】 设 l 的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹= 3 姨 ， ∴兹=60°. 设直线 m 的倾斜角为 琢 ， 由题意知 琢=兹-45°=60°-45°. cos琢 =cos （60° -45° ） =cos60° cos45° +sin60° sin45° = 6 姨 + 2 姨 4 ， sin琢 =sin （60° -45° ） =sin60° cos45° -cos60° sin45° = 6 姨 - 2 姨 4 ， ∴ 直 线 m 的 一 个 方 向 向 量 为 （ cos琢 ， sin琢 ） = 6 姨 + 2 姨 4 ， 6 姨 - 2 姨 4 t $ . 故选 A. 13. ①③ 【解析】 由题可知， 直线的一个方向向量 为 （ cos135° ， sin135° ） = - 2 姨 2 ， 2 姨 2 t $ ， ②④ 的向量 均与此向量平行， ∴ 它们都是直线的方向向量， 而 ①③ 的向量与 - 2 姨 2 ， 2 姨 2 t $ 不平行， ∴①③ 不是直线的 方向向量 . 14. （ -2 ， -3 ） 【解析】 设点 P （ x 1 ， y 1 ） （ x 1 ≠1 ）， 则 y 1 =x 2 1 +2x 1 -3. ∵A （ 1 ， 0 ）， ∴k PA = y 1 -0 x 1 -1 = x 2 1 +2x 1 -3 x 1 -1 =x 1 +3. 又 ∵ 直线 PA 的一个方向向量为 （ 1 ， 1 ）， ∴k PA =1 ， ∴x 1 +3=1 ， 即 x 1 =-2. 当 x 1 =-2 时， y 1 =-3 ， ∴ 点 P 的坐标为 （ -2 ， -3 ） . 15. 2 3 姨 -3 （ 1 ， - 3 姨 ） （答案不唯一） 【解析】 设直线 AB 的倾斜角为 琢 ， 则直线 AC 的倾 斜角为 2琢 ， tan琢= 3 姨 -0 2-1 = 3 姨 ， 且 0°≤琢<180° ， ∴琢=60° ， 2琢＝120° ， ∴k AC = 2m m-1 =tan120°=- 3 姨 ， 得 m=2 3 姨 -3 ， 直线 AC 的一个方向向量为 （ 1 ， - 3 姨 ） . 16. 解： 设点 A （ a ， a 2 ）， B （ b ， b 2 ）， C （ c ， c 2 ）， 则 k AB = a 2 -b 2 a-b =a+b ， k BC = b 2 -c 2 b-c =b+c ， k AC = a 2 -c 2 a-c =a+c. 不妨设直线 AB 的方向向量为 （ 1 ， 2 姨 ）， 则 k AB = 2 姨 ， 且直线 AB 的倾斜角为 琢. ∵△ABC 是等边三角形， ∴k BC =tan 琢+ 仔 3 t $ ， k AC =tan 琢- 仔 3 t $ ， ∴a+b+c= 1 2 （ k AB +k BC +k AC ） = 1 2 2 姨 +tan 琢+ 仔 3 t $ +tan 琢- 仔 3 t $t $ = 2 姨 2 + 1 2 · tan琢+tan 仔 3 1-tan琢tan 仔 3 + 1 2 · tan琢-tan 仔 3 1+tan琢tan 仔 3 =- 3 2 姨 10 . 2.2.2 直线的方程 第 1 课时 直线方程的点斜式与斜截式 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 由直线的点斜式方程可知直线方 程为 y-5=4 （ x-2 ）， 整理得 y=4x-3. （ 2 ） 由直线的倾斜角为 90° ， ∴ 直线的斜率不存在， ∴ 直线方程为 x=-1. （ 3 ） 由直线与 x 轴平行， ∴ 直线的斜率为 0 ， ∴ 直 线方程为 y=4. 变式训练 2 （ -3 ， 1 ） 【解析】 直线方程 mx+2y+3m- 56