2.2.1 课时2 直线的倾斜角与斜率 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

直线的倾斜角与斜率 第2课时 学习目标 1.理解直线的方向向量的概念； 2.掌握直线的方向向量与直线斜率和倾斜角的内在联系； 3.理解直线的法向量的概念，掌握方向向量和法向量的对应关系. 学习活动 目标一：理解直线的方向向量的概念，掌握方向向量和斜率与倾斜角的内在联系. 任务1：理解直线方向向量的概念. 回顾：直线的倾斜程度可以用什么描述？ 思考：若在直线l上任意取A，B两个不同的点，则和直线l有何关系？ 【新知讲解】 直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量为直线l的一个方向向量，记作∥l. 如图所示，= (1，0)是所有倾斜角为0° (即与y轴垂直)的直线的一个方向向量；= (0，1)是所有倾斜角为90° (即与x轴垂直)的直线的一个方向向量；= (1，1)是所有倾斜角为45° 的直线的一个方向向量. 注意： （1）确定直线位置的几何要素： ①直线的倾斜角；②直线的斜率；③直线的方向向量； （2）如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ ≠ 0，向量λ都是l的一个方向向量，且直线l的任意两个方向向量一定共线； （3）如果A (x1，y1)，B (x2，y2) 是直线l上两个不同的点，则是直线l的一个方向向量. 思考：直线l的方向向量是否一定同向？ 任务2：通过直线的倾斜角求直线的方向向量 问题1：如图所示，设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为60°，设是直线l的一个方向向量，且||=1，那么的坐标是什么？ 思考：如果直线l的倾斜角为θ，斜率为k，那么直线l的一个方向向量该如何表示？ 【归纳总结】 如图，当θ为直线l的倾斜角时，设为直线l的一个方向向量，且|| = 1，则根据三角函数的定义可知点P的坐标为 (cos θ，sin θ)，即= (cos θ，sin θ) 一定是直线l的一个方向向量. 注意： （1）对于任意的实数λ ≠ 0，λ= (λcos θ，λsin θ) 也是直线l的一个方向向量； （2）当θ ≠ 90°时，直线的斜率k是存在的，且；此时，如果令，则 (1，k) 也一定是直线l的一个方向向量. 例如，直线l的倾斜角为，则(cos，sin) = (，)是直线l的一个方向向量；又直线的斜率为tan=，所以 (1，) 也是直线l的一个方向向量. 问题2：如图所示，如果= (–1，1)为直线l的一个方向向量，那么直线l的斜率k和倾斜角θ该如何表示？ 思考：如果已知= (u，v)为直线l的一个方向向量，那么直线l的斜率k和倾斜角θ该如何表示？ 【归纳总结】 一般地，如果已知= (u，v)为直线l的一个方向向量，则： （1）当u = 0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为90°； （2）当u ≠ 0时，直线l的斜率是存在的，且此时(1，k)与= (u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v = k×u，从而k =，因此可知倾斜角满足tan θ =. 练一练：已知直线l通过点A (0，1)与B (1，1–)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角. 【方法小结】 通过直线的方向向量能够确定直线的斜率与倾斜角，且一条直线的所有方向向量都共线；故如果A，B，C是平面直角坐标系中的三个不同的点，则这三点共线的充要条件是AB与AC共线. 问题3：已知A (–3，–1)，B (1，3)，C (5，8)，判断A，B，C是否共线. 练一练：求证：A (1，5)，B (0，2)，C (2，8) 三点共线. 目标二：理解直线的法向量的概念，掌握方向向量和法向量的关系. 任务：理解直线的法向量的概念，探究方向向量和法向量的关系. 问题1：如图所示，非零向量在直线l2上，若直线l1和l2垂直，则和l1有什么位置关系？ 【新知讲解】 直线的法向量：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量为直线l的一个法向量，记作⊥l. 问题2：如图所示，若向量，分别是直线l的方向向量和法向量，则向量，之间有怎样的位置关系？ 【归纳总结】 直线的方向向量与法向量的关系：当x0与y0不全为0时，向量 (x0，y0) 与 (y0，-x0) 是互相垂直的，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个法向量. 练一练：若是直线l的一个方向向量，是直线l的一个法向量，试根据下列已知求出两种向量的一个坐标. （1）已知= (1，2)，求； （2）已知= (-2，-3)，求. 学习总结 任务：回答下列问题，构建本课知识导图. 1.简述直线的方向向量和法向量的概念； 2.直线的方向向量与直线斜率和倾斜角有什么关系？ 3.直线的方向向量和法向量有什么对应关系？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线的倾斜角与斜率