2.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 通过类比直线与圆的位置关系， 会判 断直线与圆锥曲线的位置关系， 培养数学抽 象、 直观想象核心素养 . 2. 会求直线与圆锥曲线相交时弦长、 弦 的中点及相关综合问题， 提升数学运算、 逻 辑推理核心素养 . 要 点 精 析 要点 1 直线与圆锥曲线的位置关系 1. 直线与圆锥曲线相切 一般地， 给定直线 l 与圆锥曲线 C （圆、 椭圆、 双曲线、 抛物线）， 如果联立它们的 方程并消去一个未知数后， 得到的是一个一 元二次方程且该方程只有一个实数解 （即有 两个相等的实数解）， 则称直线与圆锥曲线 相切 . 2. 直线与圆锥曲线的位置关系判断 设直线 l ： Ax+By+C＝0 （ A 2 +B 2 ≠0 ）， 圆锥曲 线 C ： f （ x ， y ） ＝0 ， 由 Ax+By+C=0 （ A 2 +B 2 ≠0 ）， f （ x ， y ） =0 0 ， 即将直线 l 的方程与圆锥曲线 C 的方程联 立， 消去 y 便得到关于 x 的方程 ax 2 +bx+c＝0 （当然， 也可以消去 x 得到关于 y 的方程）， 通过方程解的情况判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系， 见下表： 例 1 直线 y＝x+1 与椭圆 x 2 + y 2 2 ＝1 的位 置关系是 （ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 解析： 联立 y=x+1 ， x 2 + y 2 2 =1 1 % % % % $ % % % % & ， 消去 y ， 得 3x 2 + 2x-1＝0 ， ∵Δ＝2 2 +12＝16＞0 ， ∴ 直线与椭圆相 交 . 故选 C. 变式训练 1 已知直线 l ： x+y-3=0 ， 椭圆 x 2 4 +y 2 =1 ， 则直线与椭圆的位置关系是 （ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 例 2 过点 P （ 2 ， 2 ） 作抛物线 y 2 =2x 的 切线 l ， 求切线 l 的方程 . 解： 设切线斜率为 k ， 则切线方程 y-2= k （ x-2 ）， 联立方程 y-2=k （ x-2 ）， y 2 =2x 0 ， 可得 ky 2 - 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 的解 l 与 C 的交点 a＝0 b＝0 无解 （含 l 是双曲线的渐近线） 无 b≠0 有一个解 （含 l 与抛物线的 对称轴平行或与双曲线的渐 近线平行） 一个 a≠0 Δ>0 两个不相等的解 两个 Δ＝0 两个相等的解 一个 Δ<0 无实数解 无 111 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 2y-4k+4=0 ， 则 Δ=4-4k （ -4k+4 ） =0 ， 解得 k= 1 2 ， 即切线方程为 y-2= 1 2 （ x-2 ）， 故切线 l 的方程为 x-2y+2=0. 变式训练 2 已知双曲线 C ： x 2 -4y 2 =1 ， 经点 P （ 2 ， 0 ） 的直线 l 与 C 有唯一公共点， 则直线 l 的方 程为 （ ） A. y=2x-1 B. y=- 1 2 x+1 C. y= 1 2 x-1 或 y=- 1 2 x+1 D. y=2x-1 或 y=- 1 2 x+1 要点 2 弦长公式 1. 一般地， 直线与圆锥曲线有两个公共 点时， 则以这两个公共点为端点的线段称为 圆锥曲线的一条弦， 线段的长就是弦长 . 简 单地说， 圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上 任意两点所得的线段 . 2. 若直线 l 与圆锥曲线相交于 A ， B 两 点， 求弦 AB 长的方法： （ 1 ） 把直线的方程与圆锥曲线的方程联 立， 得到点 A ， B 的坐标， 然后用两点间的 距离公式， 便得到弦 AB 的长 . 一般来说， 这种方法较为麻烦 . （ 2 ） 不求交点坐标， 可用一元二次方程 根与系数的关系求解 . 设直线方程为 y＝kx+m ， 与 圆锥曲线交于两点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 ｜AB｜= （ x 1 -x 2 ） 2 + （ y 1 -y 2 ） 2 姨 = （ x 1 -x 2 ） 2 + （ kx 1 +m-kx 2 -m ） 2 姨 = 1+k 2 姨 · （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 . 或当 k≠0 时， |AB|＝ 1+ 1 k 2 姨 · （ y 1 +y 2 ） 2 -4y 1 y 2 姨 . 当 k＝0 时， 直线平行于 x 轴， |AB|＝|x 1 -x 2 |. 例 3 已知点 F 1 （ -1 ， 0 ）， F 2 （ 1 ， 0 ）， 动 点 P 到点 F 1 ， F 2 的距离和等于 4. （ 1 ） 试判断点 P 的轨迹 C 的形状， 并写 出其方程； （ 2 ） 若曲线 C 与直线 m ： y=x-1 相交于 A ， B 两点， 求弦 AB 的长 . 解： （ 1 ） ∵ 点 P 到两定点 F 1 ， F 2 的距 离之和为 4 ， 大于两定点间的距离 ｜F 1 F 2 ｜=2 ， ∴ 点 P 的轨迹是以 F 1 ， F 2 为焦点的椭 圆， 设其方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ）， 则 ２a＝４ ， 2c=2 ， 即 a=2 ， c=1 ， b= 3 姨 ， ∴ 点 P 的轨迹方程为 x 2 4 + y 2 3 =1. （ 2 ） 设 A 1 （ x 1 ， y 1 ） ， B （ x 2 ， y 2 ） ， 联立 x 2 4 + y 2 3 =1 ， y=x-1 1 % % % % $ % % % % & ， 得 7x 2 -8x-8=0 ， 则有 x 1 +x 2 = 8 7 ， x 1 x 2 =- 8 7 1 % % % % % % 7 % % % % % % & ， ∴｜AB｜= （ 1+k 2 ）［（ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 ］ 姨 = 2 8 7 7 ) 2 +4× 8 7 7 + 姨 = 24 7 . 变式训练 3 已知抛物线 C ： y 2 =2px 的 焦 点 为 F ， M （ 1 ， t ） 为抛物线 C 上的点， 且 ｜MF｜= 3 2 . （ 1 ） 求抛物线 C 的方程； （ 2 ） 若直线 y=x-2 与抛物线 C 相交于 112 第二章 平面解析几何 学 A ， B 两点， 求弦长 ｜AB｜. 例 4 已知椭圆 C ： x 2 3 +y 2 =1 内有一条 以点 P 1 ， 1 3 3 " 为中点的弦 AB ， 则直线 AB 的方程为 （ ） A. 3x+3y-2=0 B. 3x+3y+2=0 C. 3x+3y-4=0 D. 3x+3y+4=0 解析 ： 设 A （ x 1 ， y 1 ） ， B （ x 2 ， y 2 ） ， 则 x 1 +x 2 2 =1 ， y 1 +y 2 2 = 1 3 ， 由 A ， B 在椭圆上可 得 x 2 1 3 +y 2 1 =1 ， x 2 2 3 +y 2 2 =1 ， 两 式 相 减 可 得 ， （ x 1 -x 2 ）（ x 1 +x 2 ） 3 + （ y 1 -y 2 ）（ y 1 +y 2 ） 1 =0 ， ∴k AB = y 1 -y 2 x 1 -x 2 =- （ x 1 +x 2 ） 3 （ y 1 +y 2 ） =- 2 3× 2 3 =-1 ， ∴ 直线 AB 的 方程为 y- 1 3 =-1 （ x-1 ）， 即 3x+3y-4=0. 故选 C. 反思感悟 本题主要考查了解析几何 中的点差法 . 点差法具体如下： 设 l 与椭圆 交于 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， A ， B 的中点 为 （ x ， y ） ， 由已知得 x 1 +x 2 2 =x ， y 1 +y 2 2 =y ， k= y 1 -y 2 x 1 -x 2 . 把点 A ， B 的坐标代入椭圆方程， 两式相减可得 k ， 再利用点斜式即可得出 . 变式训练 4 已知椭圆 C ： x 2 4 + y 2 2 =1 ， 直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点， O 为坐标原点 . （ 1 ） 若线段 AB 的中点坐标为 （ 1 ， 1 ）， 求直线 l 的方程； （ 2 ） 若直线 l 过点 P （ 1 ， 0 ）， 且 △OAB 面积为 10 姨 3 ， 求直线 l 的方程 . 数 学 文 化 例 阿基米德 （公元前 287 —前 212 ） 是古希腊伟大的物理学家、 数学家、 天文学 家， 他最早利用逼近的思想证明了如下结 论： 抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形 的面积， 等于抛物线的弦与经过弦的端点的 两条切线所围成的三角形面积的三分之二 . 这个结论就是著名的阿基米德定理， 其中的 三角形被称为阿基米德三角形 . 在平面直角 坐标系中， 已知直线 l ： y=1 与抛物线 C ： y= x 2 交于 A ， B 两点， 则弦与抛物线 C 所围成 的封闭图形的面积为 . 解析： 由 y=1 ， y=x 2 2 ， 得 x=1 ， y= 2 1 或 x=-1 ， y=1 2 . 不 妨设直线 l ： y=1 与抛物线 C ： y=x 2 的交点坐 标为 A （ 1 ， 1 ）和 B （ -1 ， 1 ） . 设过点 A 的切 线方程为 y=kx+1-k ， 联立 y=kx+1-k ， y=x 2 2 ， 消去 y 得 x 2 -kx+k-1=0. 由 Δ=k 2 -4 （ k-1 ） =0 ， 得 k=2. 同理， 经过点 B 的切线的斜率为 -2. ∴ 过 A ， B 两点的切线的方程分别为 y=2x-1 和 y= -2x-1 ， 其交点为 C （ 0 ， -1 ）， ∴△ABC 的面 积为 1 2 ×2×2=2 ， 故弦与抛物线 C 所围成的 封闭图形的面积为 4 3 . 113 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 0 ）， 设抛物线的方程为 y 2 =2px （ p>0 ）， 则 p 2 =4 ， ∴p=8 ， ∴ 抛物线的方程为 y 2 =16x. 8. 2 3 姨 【解析】 根据抛物线方程可求得焦点坐标 为 （ 0 ， 1 ）， 准线方程为 y=-1 ， 根据抛物线定义， 解得 y 1 =2 ， 代入抛物线方程求得 x=±2 2 姨 ， ∴ 点 M 的坐标 为 （ ±2 2 姨 ， 2 ） ， ∴ 点 M 到 原 点 的 距 离 为 ｜OM ｜= 2 2 + （ ±2 2 姨 ） 2 姨 =2 3 姨 . 9. 解： 设所求抛物线的标准方程为 x 2 =2py （ p>0 ）， 设 A （ x 0 ， y 0 ）， 由题意知 M 0 ， - p 2 2 # ， ∵|AF|=3 ， ∴y 0 + p 2 =3. ∵|AM|= 17 姨 ， ∴x 2 0 + y 0 + p 2 2 2 2 =17 ， ∴x 2 0 =8 ， 代入方程 x 2 0 = 2py 0 得， 8=2p 3- p 2 2 2 ， 解得 p=2 或 p=4 ， ∴ 所求抛物线的标准方程为 x 2 =4y 或 x 2 =8y. 10. 解： （ 1 ） 抛物线 y 2 ＝8x 的 顶点、 焦点、 准线、 对称轴、 变量 x 的 取 值 范 围 分 别 为 （ 0 ， 0 ） ， （ 2 ， 0 ）， x＝-2 ， x 轴， x≥0. （ 2 ） 如图所示 . 由 |OA|＝|OB| 可 知 AB⊥x 轴， 垂足为点 M. ∵ 焦点 F 是 △OAB 的重心， 则 |OF|＝ 2 3 |OM|. ∵F （ 2 ， 0 ）， ∴|OM|＝ 3 2 |OF|＝3 ， ∴M （ 3 ， 0 ） . 故设 A （ 3 ， m ）， 代入 y 2 ＝8x 得 m 2 ＝24 ， ∴m＝2 6 姨 或 m＝-2 6 姨 . ∴A （ 3 ， 2 6 姨 ）， B （ 3 ， -2 6 姨 ）， ∴|OA|＝|OB|＝ 33 姨 ， ∴△OAB 的周长为 2 33 姨 +4 6 姨 . 提升练习 11. A 【解析 】 过点 P 向 x 轴作垂线 ， 设垂足为 Q ， ∵ ∠PFO = 仔 3 ， ｜PF ｜=2 ， ∴ ｜PQ ｜= 3 姨 ， ｜QF ｜=1 ， ∴P p 2 -1 ， ± 3 姨 2 # ， 将点 P 的坐标代入 y 2 =2px ， 得 p=3 ， 故抛物线 C 的方程为 y 2 =6x. 故选 A. 12. B 【解析】 由题得， 抛物线的准线方程为 y=- p 2 ， 由抛物线的定义可知， 点 P 到焦点的距离等于它到准线 的距离， ∴ 点 P 到 x 轴的距离比它到准线 y=- p 2 的距离 小 3 ， 于是得 p 2 =3 ， ∴p=6. 故选 B. 13. AB 【解析】 抛物线 y=ax 2 的准线方程为 y=- 1 4a ， ∵ 点 M （ 1 ， 1 ） 到抛物线 y=ax 2 的准线的距离为 2 ， ∴ 1+ 1 4a =2 ， 解得 a= 1 4 或 a=- 1 12 ， 故选 AB. 14. BCD 【解析】 焦点 F 到准线的距离为 p=2 ， ∴ 抛 物线 C 的焦点为 （ 1 ， 0 ）， 准线方程为 x=-1 ， 故 A 错 误； 当 PQ 垂直于 x 轴时长度最小， 此时 P （ 1 ， 2 ）， Q （ 1 ， -2 ）， ∴|PQ|=4 ， 故 B 正确； 设 P （ x 1 ， y 1 ）， Q （ x 2 ， y 2 ）， 直 线 PQ 的方程为 x=my+1 ， 联立 x=my+1 ， y 2 ＝2px ， 消去 y 可得 x 2 - （ 4m 2 +2 ） x+1=0 ， 消去 x 可得 y 2 -4my-4=0 ， ∴x 1 + x 2 =4m 2 +2 ， y 1 +y 2 =4m ， 当 m=1 时 ， 可得 M （ 3 ， 2 ）， 故 C 正确 ； 又 ∵x 1 x 2 =1 ， y 1 y 2 =-4 ， ∴ O O+ P·O O+ Q ＝x 1 x 2 +y 1 y 2 =-3 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 15. 3 2 【解析】 由抛物线 y 2 =2x ， 其准线方程为 x= - 1 2 ， ∵AB 垂直于 x 轴， |AB|=2 2 姨 ， ∴A 到 x 轴的距离 为 2 姨 . 假设 A 在 y 轴上方， 即 y= 2 姨 ， 代入抛物线 y 2 = 2x ， 求得 x=1 ， ∴ 点 A 到抛物线的准线的距离 d=1+ 1 2 = 3 2 . * 16. 解： （ 1 ） 依题意， 抛物线的焦点为 F （ 1 ， 0 ）， 准线方程为 x=-1. 由已知及抛物线的定义， 可知 ｜PF｜=d ， 于是问题转 化为求 ｜PA｜+｜PF｜ 的最小值 . 由平面几何知识知， 当 F ， P ， A 三点共线时 ， ｜PA ｜+｜PF ｜ 取得最小值 ， 最小值为 ｜AF ｜= 5 姨 ， 即 ｜PA｜+d 的最小值为 5 姨 . （ 2 ） 把点 B 的横坐标代入 y 2 = 4x 中 ， 得 y=±2 3 姨 ， ∵2 3 姨 >2 ， ∴ 点 B 在抛物线的内部 . 如图， 过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q ， 交抛物 线于点 P 1 . 由抛物线的定义 ， 可知 ｜P 1 Q｜=｜P 1 F｜ ， 则 ｜PB｜+｜PF｜≥｜P 1 B｜+｜P 1 Q｜= ｜BQ｜=3+1=4 ， ∴｜PB｜+｜PF｜ 的最小值为 4. 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 由 x+y-3=0 ， x 2 4 +y 2 =1 1 . . . - . . . / ， 得 x 2 4 + （ 3-x ） 2 =1 ， 化简得 5x 2 -24x+32=0 ， ∵Δ=24 2 -4×5×32=-64<0 ， ∴ 方程 无解， ∴ 直线与椭圆的位置关系是相离， 故选 C. 变式训练 2 C 【解析】 由双曲线的几何性质可知， 当 直线与渐近线平行时， 直线 l 与 C 有唯一公共点， 由于 双曲线的渐近线方程为 y=± 1 2 x ， 故直线 l 的方程为 y= 1 2 （ x-2 ）或 y=- 1 2 （ x-2 ）， 即 y= 1 2 x-1 或 y=- 1 2 x+1. 故 选 C. 变式训练 3 解： （ 1 ） ｜MF｜=1+ p 2 = 3 2 ， ∴p=1 ， 即抛物 线 C 的方程 为 y 2 =2x. x y O M F A B 第 10 题答图 x y O x=-1 B （ 3 ， 2 ） F Q P 1 第 16 题答图 112 参 考 答 案 （ 2 ） 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 由 y 2 =2x ， y=x-2 2 ， 得 x 2 -6x+ 4=0 ， ∴x 1 +x 2 =6 ， x 1 x 2 =4 ， ∴｜AB｜= 1+k 2 姨 · （x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 = 2 姨 × 36-16 姨 =2 10 姨 . 变式训练 4 解： （ 1 ） 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 2 1 4 + y 2 1 2 =1 ， x 2 2 4 + y 2 2 2 =1 1 % % % % $ % % % % & ， 两式作差得 x 2 1 -x 2 2 4 =- y 2 1 -y 2 2 2 ， 整理可 得 k AB =- 2 4 · x 1 +x 2 y 1 +y 2 =- 1 2 · x 1 +x 2 y 1 +y 2 . 又 ∵ 线段 AB 的中点坐标为 （ 1 ， 1 ）， 则 x 1 +x 2 =2 ， y 1 +y 2 =2 ， ∴k AB =- 1 2 ， ∴ 直线 l 的方程为 y-1=- 1 2 （ x-1 ）， 即 l ： x+2y-3=0. （ 2 ） 当直线 l 的斜率为 0 时， O ， A ， B 三点共线， 不合题意， 则直线 l 的斜率不为 0 ， 可设 l ： x=ty+1 ， 由 x=ty+1 ， x 2 4 + y 2 2 =1 1 % % % $ % % % & ， 得（ t 2 +2 ） y 2 +2ty-3=0. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 y 1 +y 2 =- 2t t 2 +2 ， y 1 y 2 =- 3 t 2 +2 1 % % % % $ % % % % & ， ∴S △OAB = 1 2 ｜OP｜ · ｜y 1 -y 2 ｜= 1 2 （ y 1 +y 2 ） 2 -4y 1 y 2 姨 = 4t 2 +6 （ t 2 +2 ） 2 姨 = 10 姨 3 ， 解得 t=±1 ， ∴ 直线 l 的方程为 x=y+1 或 x=-y+ 1 ， 即 l ： x-y-1=0 或 x+y-1=0. 随堂练习 1. C 【解析】 由 y=kx+2 ， x 2 3 + y 2 2 =1 1 % % % $ % % % & ， 得（ 2+3k 2 ）x 2 +12kx+6=0 ， 由题意知 Δ= （ 12k ） 2 -4×６× （ ２+３k ２ ） =0 ， 解得 k=± 6 姨 3 ， 故选 C. 2. A 【解析】 直线 y=kx-k 可化为 y=k （ x-1 ）， ∴ 直线 恒过点 （ 1 ， 0 ） . 又 ∵ 1 2 9 + 0 2 4 <1 ， 即 （ 1 ， 0 ） 在椭圆的内部， ∴ 直线 y=kx-k 与椭圆 x 2 9 + y 2 4 =1 的位置关系为相交 . 故选 A. 3. CD 【解析 】 设抛物线方程为 x 2 =2px 或 x 2 =-2py （ p>0 ）， 依题意得 y= p 2 或 y=- p 2 ， 分别代入 x 2 =2py 或 x 2 = -2py ， 得 ｜x｜=p ， ∴2｜x｜=2p=8 ， p=4 ， ∴ 抛物线方程为 x 2 =8y 或 x 2 =-8y. 故选 CD. 4. x=- 3 2 【解析】 由 y=x+ 3 2 可得 x=y- 3 2 ， 将 x=y- 3 2 代入 y 2 =2px ， 消去 x 可得 y 2 -2py+3p=0. ∵ 直线 l 与抛物线 C 只有 1 个公共点， ∴Δ= （ -2p ） 2 - 12p=0 ， 即 p 2 -3p=0 ， 解得 p=0 （舍去） 或 p=3 ， ∴ 抛物 线 C 的准线方程为 x=- 3 2 . 5. 3 【解析】 当过 P （ 0 ， 1 ） 的直线斜率不存在时， x=0 与抛物线 y 2 =x 只有一个公共点， 符合； 当过 P （ 0 ， 1 ） 的直线斜率存在时 ， 设为 y=kx+1 ， 与抛物线联立得 k 2 x 2 + （ 2k-1 ） x+1=0 ， 当 k=0 时， 得 y=1 ， 符合与抛物线 y 2 =x 只有一个公 共点； 当 k≠0 时， Δ= （ 2k-1 ） 2 -4k 2 =0 ， 解得 k= 1 4 . 故过 P （ 0 ， 1 ） 的直线与抛物线 y 2 =x 只有一个公共 点， 则这样的直线有 3 条 . 6. 解： 双曲线 4x 2 -y 2 ＝16 的渐近线方程为 y=±2x ， ∵ 直线 y＝kx 与双曲线 4x 2 -y 2 ＝16 相交， ∴k≠±2. 将 y＝kx 代入 4x 2 -y 2 ＝16 得关于 x 的一元二次方程（ 4- k 2 ） x 2 -16＝0 ， 由 Δ>0 可得 4×16 （ 4-k 2 ） >0 ， 解得 -2<k<2. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由题知， 直线恒过定点 （ 2 ， 1 ）， 将点 （ 2 ， 1 ） 代入 x 2 16 + y 2 9 可得 4 16 + 1 9 <1 ， 故 （ 2 ， 1 ） 在椭圆 内， 直线与椭圆相交 . 故选 B. 2. D 【解析】 将 x=c 或 x=-c 代入椭圆的标准方程得 c 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ， ∴ y 2 b 2 =1- c 2 a 2 = a 2 -c 2 a 2 = b 2 a 2 ， 解得 y=± b 2 a . 因此， 过焦点且垂直于长轴的弦长是 2b 2 a . 故选 D. 3. B 【解析】 因点 （ 2 ， 4 ） 在抛物线 y 2 ＝8x 上， ∴ 过 该点与抛物线相切的直线和过该点与 x 轴平行的直线都 与抛物线只有一个公共点 . 故选 B. 4. B 【解析 】 若直线 l 与双曲线 C 只有一个交点 ， 直线 l 与双曲线 C 不一定相切， 比如当直线 l 与双曲线的渐近线平行时， 直线 l 与 该双曲线只有一个交点， 但不是相切 . 反之， 若直线 l 与双曲线 C 相切， 直线 l 与双曲线 C 只有一个交点 . 故 “直线 l 与双曲线 C 只有一个交点” 是 “直线 l 与双曲线 C 相切” 的必要不充分条件 . 故选 B. 5. C 【解析】 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 1 +x 2 =2 ， y 1 +y 2 =2 ， 则 x 2 1 4 + y 2 1 3 =1 ， x 2 2 4 + y 2 2 3 =1 ， 两式相减得 x 2 1 -x 2 2 4 =- y 2 1 -y 2 2 3 ， 113 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴ y 1 -y 2 x 1 -x 2 =- 3 4 × x 1 +x 2 y 1 +y 2 =- 3 4 × 2 2 =- 3 4 ， 即直线 l 的斜率 是 - 3 4 . 故选 C. 6. AB 【解析 】 如图所 示 ， 易知点 P 位于双曲线 x 2 -4y 2 =1 的内部， 由双曲线的几何性质可 知， 当直线 l 与渐近线平行 时， 直线 l 与双曲线 C 有唯 一公共点， 由于双曲线的渐近线方程为 y=± 1 2 x ， 故直线 l 的方 程为 y= 1 2 （ x-2 ）或 y=- 1 2 （ x-2 ）， 即 x-2y-2=0 或 x+2y-2=0. 故选 AB. 7. 5 【解析】 抛物线 C ： y 2 =4x 的焦点 F （ 1 ， 0 ）， ∴ 直 线 AB 的方程为 y=2x-2. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 由 y=2x-2 ， y 2 =4x x ， 消去 y 并整 理得 x 2 -3x+1=0 ， ∴x 1 +x 2 =3 ， ｜AB｜=x 1 +x 2 +p=5. 8. x-y+1=0 或 x+y+1=0 【解析 】 抛物线 C ： y 2 =2px （ p>0 ） 的准线 x=- p 2 过 M （ -1 ， 0 ）， 故 - p 2 =-1 ， 则 p=2 ， 抛物线方程为 y 2 =4x. 设切线方程为 x=my-1 ， 与抛物线方程联立有 y 2 - 4my+4=0 ， Δ= （ 4m ） 2 -16=0 ， 故 m=±1 ， 故直线 l 的方程为 x-y+ 1=0 或 x+y+1=0. 9. 解： （ 1 ） 由 y=x+m ， y 2 =8x x ， 得 x 2 + （ 2m-8 ） x+m 2 =0 ， 由 Δ= （ 2m-8 ） 2 -4m 2 =64-32m>0 ， 解得 m<2. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 1 +x 2 =8-2m ， x 1 x 2 =m 2 ， y 1 y 2 =m （ x 1 +x 2 ） +x 1 x 2 +m 2 =8m. ∵｜AB｜= 1+k 2 姨 · （x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 = 2 姨 · 64-32m 姨 = 8 ， ∴m=1 ， 经检验符合题意 . （ 2 ） ∵OA⊥OB ， ∴ O O% A·O O% B =0 ， ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =m 2 +8m=0 ， 解得 m=-8 或 m=0. 当 m=0 时直线 y=x+m 经过坐标原点， 此时 A 或 B 中有一点与坐标原点 O 重合， 故舍去 . ∴m=-8 ， 经检验符合题意 . 10. 解： （ 1 ） 选 ①② 可得 b= 3 姨 ， a 2 +b 2 a 2 =4 ， 解得 a=1 ， ∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 3 =1. 选 ①③ 可得 b= 3 姨 ， a 2 +b 2 =5-1=4 ， 解得 a=1 ， ∴ 双 曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 3 =1. 选 ②③ 可得 a 2 +b 2 a 2 =4 ， a 2 +b 2 =5-1=4 ， 解得 a 2 =1 ， b 2 = 3 ， ∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 3 =1. （ 2 ） 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立 x 2 - y 2 3 =1 ， y=x-3 3 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 消去 y ， 整理得 x 2 +3x-6=0 ， ∴ x 1 +x 2 =-3 ， x 1 x 2 =-6 x . ∵｜AB｜= 1+k 2 姨 ｜x 1 -x 2 ｜ ， ∴｜AB｜= 1+k 2 姨 · （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 = 66 姨 . 提升练习 11. B 【解析 】 由双曲线 C 的离心率为 2 ， 可得 a 2 +b 2 姨 a =2 ， 故 b 2 =3a 2 ， 故双曲线的方程可化为 x 2 a 2 - y 2 3a 2 =1 ， 联立 y=kx ， x 2 a 2 - y 2 3a 2 =1 3 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 可得 x 2 = 3a 2 3-k 2 和 y 2 = 3a 2 k 2 3-k 2 ， 故 ｜AB｜=2 x 2 +y 2 姨 =2 3 姨 · a 1+k 2 3-k 2 姨 ， 而 ｜F 1 F 2 ｜=2 a 2 +b 2 姨 =4a. 由 ｜AB ｜= 3 姨 2 ｜F 1 F 2 ｜ 可得 2 3 姨 · a 1+k 2 3-k 2 姨 = 3 姨 2 · 4a ， 则 k=±1 ， 故选 B. 12. B 【解析】 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 将点 A ， B 的坐标代入双曲线方程并作差， 得 （ x 1 -x 1 ）（ x 1 +x 2 ） a 2 = （ y 1 -y 2 ）（ y 1 +y 2 ） b 2 ， 有 b 2 a 2 = （ y 1 -y 2 ）（ y 1 +y 2 ） （ x 1 -x 2 ）（ x 1 +x 2 ） =2 ， ∴ c 2 a 2 =3 ， e= 3 姨 ， 故选 B. 13. （ 1 ） 证明： 由方程组 y 2 =-x ， y=k （ x+1 ） x ， 消去 x 得 ky 2 ＋ y－k＝0. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 由根与系数的关系知 y 1 y 2 ＝ －1. ∵A ， B 在抛物线 y 2 ＝-x 上， ∴y 2 1 =-x 1 ， y 2 2 =-x 2 ， y 2 1 y 2 2 = x 1 x 2 . ∵k OA · k OB = y 1 x 1 · y 2 x 2 = y 1 y 2 x 1 x 2 = 1 y 1 y 2 =-1 ， ∴OA⊥OB. （ 2 ） 解： 设直线 AB 与 x 轴交于点 N ， 显然 k≠0 ， ∴ 点 N 的坐标为 （－1 ， 0 ） . ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN = 1 2 ｜ON｜｜y 1 ｜+ 1 2 ｜ON｜｜y 2 ｜= 1 2 ｜ON｜｜y 1 - x y O P 第 6 题答图 114 参 考 答 案 y 2 ｜ ， ∴S △OAB = 1 2 ×1× （ y 1 +y 2 ） 2 -4y 1 y 2 姨 = 1 2 - 1 k # $ 2 +4 姨 = 10 姨 ， ∴k=± 1 6 . 14. 解： （ 1 ） 设切线方程为 y=kx-4 ， 代入 x 2 =4y 得 x 2 -4kx+16=0. ∵ 相切， ∴Δ=16k 2 -64=0 ， ∴k=±2 ， ∴ 切线方程为 y= ±2x-4. （ 2 ） 设 A （ x 1 ， y 1 ）， C （ x 2 ， y 2 ） ． 由题意知， 直线 AC 的斜率 k 存在， 由对称性， 不妨设 k>0． ∵ 直线 AC 过焦点 F （ 0 ， 1 ）， ∴ 直线 AC 的方程为 y= kx+1． 联立 y=kx+1 ， x 2 =4y y ， 得 x 2 -4kx-4=0. 由根与系数的关系知 x 1 +x 2 =4k ， x 1 x 2 =-4 y ， ｜AC｜= （ x 1 -x 2 ） 2 + （ y 1 -y 2 ） 2 姨 = 1+k 2 姨 （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 =4 （ 1+k 2 ） . ∵AC⊥BD ， ∴BD 的斜率为 - 1 k ， 从而 BD 的方程为 y=- 1 k x+1． 同理可求得 ｜BD｜=4 1+ - 1 k # k 2 2 ) = 4 （ 1+k 2 ） k 2 . S ABCD = 1 2 ｜AC｜｜BD｜＝ 8 （ 1+k 2 ） 2 k 2 =8 k 2 +2+ 1 k 2 2 k ≥32. 当且仅当 k 2 = 1 k 2 ， 即 k=1 时， 等号成立 . ∴ 四边形 ABCD 面积的最小值为 32． 15. （ 1 ） 证明： 易知点 P 在抛物线 C 上， 设 PA 的 斜率为 k ， 则直线 PA 的方程是 y-4=k （ x-2 ）， 代入 y=- 1 2 x 2 +6 并整理得 x 2 +2kx-4 （ k+1 ） =0 ， 此时 方程应有根 x A 及 2. 由韦达定理得 2x A =-4 （ k+1 ）， ∴x A =-2 （ k+1 ）， ∴y A = k （ x A -2 ） +4=-2k 2 -4k+4 ， ∴A （ -2 （ k+1 ）， -2k 2 -4k+4 ） . 由于 PA 与 PB 的倾斜角互补， 故 PB 的斜率为 -k ， 用 -k 替换 k 可得 B （ -2 （ -k+1 ）， -2k 2 +4k+4 ）， ∴k AB =2. （ 2 ） 解 ： ∵AB 的方程为 y=2x+b ， b>0 ， 代入方程 y=- 1 2 x 2 +6 ， 消去 y 得 1 2 x 2 +2x+b-6=0 ， 即 x 2 +4x+2b-12= 0 ， ∴|AB|= （ 1+2 2 ）［（ -4 ） 2 -4 （ 2b-12 ）］ 姨 =2 5 （ 16-2b ） 姨 ， ∴S= 1 2 |AB|d= 1 2 ×2 5 （ 16-2b ） 姨 × b 5 姨 = （ 16-2b ）· b 2 姨 = （ 16-2b ）· b · b 姨 ≤ 16-2b+b+b 3 2 k 3 姨 = 64 3 姨 9 . 当且仅当 16-2b=b ， 即 b= 16 3 时取等号， ∴AB 的方 程为 y=2x+ 16 3 ， ∴△PAB 面积的最大值为 64 3 姨 9 . * 16. 解： （ 1 ） 由准线方程为 x=-1 知， p 2 =1 ， 故 p=2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， 抛物线方程为 y 2 =4x. 设直线 l 的方程为 x=my+1 ， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立方程 x=my+1 ， y 2 =4x y ， 化简得 y 2 -4my-4=0 ， 则 y 1 +y 2 =4m ， y 1 y 2 =-4. 由线段 AB 的中点为 M ， 知 x M = x 1 +x 2 2 ， y M = y 1 +y 2 2 ， k OM = y M x M = y 1 +y 2 x 1 +x 2 = 2 姨 2 ， 代入韦达定理知， 4m m×４m+2 = 2 姨 2 ， 解得 m= 2 姨 2 ， 故直线 l 的方程 为 2 姨 x-y- 2 姨 =0. ∴｜AB ｜= 1+ 1 k 2 姨 · （ y 1 +y 2 ） 2 -4y 1 · y 2 姨 = 1+ 1 （ 2 姨 ） 2 姨 · （ 2 2 姨 ） 2 -4× （ -4 ） 姨 =6 ， 原点 O 到直线 l 的距离为 d= 2 姨 （ 2 姨 ） 2 + （ -1 ） 2 姨 = 6 姨 3 ， 因此 △OAB 的面积 S △OAB = 1 2 ｜AB｜×d= 1 2 ×6× 6 姨 3 = 6 姨 . 专题课 求轨迹方程 学习手册 变式训练 1 解 ： 方法一 ： 设直线 OA 的方程为 y=kx （ k≠0 ）， 联立 y=kx ， y 2 =2px y ， 得 A 点坐标为 2p k 2 ， 2p k 2 k . ∵OA⊥OB ， ∴ 直线 OB 的方程为 y=- 1 k x ， 同理可求 出 B 点坐标为 （ 2pk 2 ， -2pk ） . 设 AB 中 点 为 M （ x ， y ） ， 则 x= 1 2 2p k 2 +2pk 2 k 2 ， y= 1 2 2p k -2p 2 k k k 0 0 0 0 / 0 0 0 0 1 ， 即 x=p 1 k 2 +k 2 $ 2 ， y=p 1 k - 2 $ k k 0 0 0 0 / 0 0 0 0 1 ， 消去 k ， 得 y 2 =px-2p 2 . 方法二 ： 设 A （ 2pt 2 1 ， 2pt 1 ）， B （ 2pt 2 2 ， 2pt 2 ）， 则有 k OA · k OB = 2pt 1 2pt 2 1 · 2pt 2 2pt 2 2 = 1 t 1 t 2 =-1 ， 即 t 1 t 2 =-1. 设 M （ x ， y ）， 则 x=p （ t 2 1 +t 2 2 ）， y=p （ t 1 +t 2 ） y ， 把 t 1 t 2 =-1 代入， 消去 t 1 ， t 2 ， 得 y 2 =px-2p 2 . 变式训练 2 解： 设 A （ x 0 ， y 0 ）， B （ x 0 ， -y 0 ）， 由题意知 A 1 （ -3 ， 0 ）， A 2 （ 3 ， 0 ）， ∴ 直线 AA 1 的方程为 y= y 0 x 0 +3 （ x+3 ）， ① 115