2.7.2 抛物线的几何性质-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 掌握抛物线的范围、 对称性、 顶点、 离心率等几何性质 . 2. 会用抛物线的几何性质解决一些简单 的抛物线问题 . 3. 培养直观想象核心素养 . 要 点 精 析 要点 1 抛物线的几何性质 思考 怎么理解抛物线与椭圆、 双曲 线几何性质的不同点？ 例 1 已知抛物线顶点在原点， 对称轴 是 y 轴， 并且顶点与焦点的距离等于 3 ， 求 抛物线的标准方程 . 分析 关键是知道抛物线标准方程中 p 的几何意义 . 解： 由顶点与焦点的距离等于 3 ， ∴ p 2 ＝ 3 ， p＝6. 又 ∵ 对称轴是 y 轴， ∴ 抛物线的标 准方程为 x 2 ＝±12y. 变式训练 1 已知边长为 1 的等边三角形 AOB ， O 为 原点， AB⊥x 轴， 求以 O 为顶点且过 A ， B 的抛物线的标准方程 . 例 2 若抛物线 y 2 ＝2px （ p>0 ） 上一点 M 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6 ， 则点 M 的横坐标和 p 的值分别为 ， . 解析： ∵ 点 M 到对称轴的距离为 6 ， ∴ 不妨设 M （ x 0 ， 6 ） . ∵ 点 M 到准线的距离为 10 ， ∴ 6 2 =2px 0 ， x 0 + p 2 =10 0 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x 0 =9 ， p= = 2 或 x 0 =1 ， p=18 = . 变式训练 2 已知 F 是抛物线 y 2 ＝x 的焦点， A ， B 是 该抛物线上的两点 ， |AF |+|BF |＝3 ， 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 . 例 3 已知抛物线的顶点在坐标原点， 对称轴为 x 轴， 且与圆 x 2 +y 2 ＝4 相交的公共 2.7.2 抛物线的几何性质 标准 方程 y 2 ＝2px （ p>0 ） y 2 ＝－2px （ p>0 ） x 2 ＝2py （ p>0 ） x 2 ＝－2py （ p>0 ） 图形 x≥0 ， y∈R x≤0 ， y∈R x∈R ， y≥0 x∈R ， y≤0 x 轴 y 轴 （ 0 ， 0 ） e＝1 性 质 范围 对称 轴 顶点 离心 率 x y O l F A B x y O l F A B x y O l F AB x y O l F A B 108 第二章 平面解析几何 学 弦长等于 2 3 姨 ， 则这条抛物线的方程为 . 解析： 如图 2-7-2 ， 设 所求抛物线的方程为 y 2 ＝2px （ p>0 ） 或 y 2 ＝-2px （ p>0 ） . 设交点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） （ y 1 >0 ， y 2 <0 ）， 则 |y 1 |+|y 2 |＝2 3 姨 ， 即 y 1 -y 2 ＝ 2 3 姨 . 由对称性知 y 2 ＝-y 1 ， ∴y 1 ＝ 3 姨 . 将 y 1 = 3 姨 代入 x 2 +y 2 ＝4 得 x＝±1 ， ∴ 点 （ 1 ， 3 姨 ）， （ -1 ， 3 姨 ） 分别在抛物线 y 2 ＝2px ， y 2 ＝-2px 上 . ∴3＝2p 或 3＝ （ -2p ） × （ -1 ）， p＝ 3 2 ， 故所求 抛物线的方程为 y 2 ＝3x 或 y 2 ＝-3x. 变式训练 3 已知点 A 是抛物线 y 2 ＝2px （ p>0 ） 上一 点， 焦点为 F ， 若以 F 为圆心， 以 |FA| 为半 径的圆交准线于 B ， C 两点， 且 △FBC 为正 三角形， 若 △ABC 的面积为 128 3 ， 则抛物线 的方程为 . 要点 2 抛物线 y 2 =2px （ p>0 ） 的焦点 弦的性质 1. 焦半径 （ 1 ） 抛物线的焦半径是指以抛物线上任 意一点与抛物线焦点为端点的线段 . （ 2 ） 抛物线的焦半径公式： P （ x 0 ， y 0 ） 为抛物线上一点， F 为焦点 . ① 若抛物线为 y 2 ＝2px （ p>0 ）， 则 |PF|＝x 0 + p 2 ； ② 若抛物线为 y 2 ＝-2px （ p>0 ）， 则 |PF|＝ p 2 -x 0 ； ③ 若抛物线为 x 2 ＝2py （ p>0 ）， 则 |PF|＝y 0 + p 2 ； ④ 若抛物线为 x 2 ＝-2py （ p>0 ）， 则 |PF|＝ p 2 -y 0 . 2. 如图 2 -7 -3 ， 设 AB 是抛物线 y 2 ＝ 2px （ p>0 ） 过焦点 F 的一条弦， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） ， A ， B 在 准线上的射影分别为 A 1 ， B 1 ， 则关于抛物线 y 2 ＝2px （ p>0 ） 的焦点 弦有如下结论： （ 1 ） x 1 x 2 ＝ p 2 4 ， y 1 y 2 ＝-p 2 . （ 2 ） 弦长 |AB|＝x 1 +x 2 +p ， x 1 +x 2 ≥2 x 1 x 2 姨 ＝ p ， 即当 x 1 ＝x 2 时， 焦点弦最短， 弦 AB 叫抛 物线 y 2 ＝2px （ p>0 ） 的通径， 通径长为 2p. （ 3 ） 弦长 |AB |＝ 2p sin 2 琢 （ 琢 为 AB 的倾 斜角） . （ 4 ） 以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切 . （ 5 ） 1 ｜AF ｜ + 1 ｜BF ｜ = 2 p . （ 6 ） A ， O ， B 1 三点共线， A ， O ， B 三 点共线 . （ 7 ） 点 K - p 2 ， ， % 0 为定点， 则 ∠AKF= ∠BKF. （ 8 ） A 1 F⊥B 1 F. 例 4 （ 1 ） 已知直线 l 过抛物线 y 2 ＝2px （ p>0 ） 的焦点且与抛物线相交， 其中一交点 x y O A B 2 图 2-7-2 A 1 B 1 F A B （ x 1 ， y 1 ） （ x 2 ， y 2 ） p 2 ， ， % 0 K y=k x- p 2 ， % x=姿y+ p 2 y 2 =2px （ p>0 ） 图 2-7-3 - p 2 ， ， % 0 109 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 为 （ 2p ， 2p ）， 则其焦点弦的长度为 . （ 2 ） O 为坐标原点， F 为抛物线 C ： y 2 ＝ 4 2 姨 x 的焦点， P 为 C 上的一点， 若 |PF|＝ 4 2 姨 ， 则 △POF 的面积为 . 解 析 ： （ 1 ） 由 题 意 知 直 线 l 过 p 2 ， ， $ 0 和 （ 2p ， 2p ）， ∴l ： y＝ 4 3 x- p 2 2 & ， 联 立 y 2 =2px ， y＝ 4 3 x- p 2 2 & 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， 整理得 8x 2 -17px+2p 2 ＝0. 由 根与系数的关系， 得 x 1 +x 2 ＝ 17p 8 ， ∴ 焦点弦 的长度为 x 1 +x 2 +p= 25p 8 . （ 2 ） 如图 2-7-4 ， 设点 P 的坐标为 （ x 0 ， y 0 ）， 由 |PF |＝x 0 + 2 姨 =4 2 姨 ， 得 x 0 =3 2 姨 ， 代入抛物线方 程得， y 2 0 =4 2 姨 ×3 2 姨 =24 ， ∴｜y 0 ｜=2 6 姨 ， ∴S △POF = 1 2 ｜OF ｜｜y 0 ｜= 1 2 × 2 姨 ×2 6 姨 =2 3 姨 . 变式训练 4 已知 AB 是抛物线 2x 2 ＝y 的焦点弦， 若 |AB|＝4 ， 则 AB 的中点的纵坐标为 . 数 学 文 化 例 抛物线具有这样的 光学性质： 由其焦点射出的 光线经抛物线反射后， 沿平 行于抛物线对称轴的方向 射出 . 今有抛物线 y 2 =2px （ p>0 ）， 一光源在点 M 41 4 ， ， & 4 处， 由其发出的光线沿平行于抛物 线对称轴的方向射向抛物线上的点 P ， 反射 后又射向抛物线上的点 Q ， 再反射后， 又沿 平行于抛物线对称轴的方向射出， 途中遇到 直线 l ： 2x-4y-17=0 上的点 N ， 再反射后又 射回点 M （如图 2-7-5 所示） . （ 1 ） 设 P ， Q 两点坐标分别为 （ x 1 ， y 1 ）， （ x 2 ， y 2 ）， 求证： y 1 y 2 =-p 2 ； （ 2 ） 求抛物线的方程 . （ 1 ） 证明： 由抛物线的光学性质及题意 知光线 PQ 必过抛物线的焦点 F p 2 ， ， & 0 ， 当 直线 PQ 的斜率存在时， 设直线 PQ 的方程 为 y=k x- p 2 ， & . ① 由 ① 式， 得 x= 1 k y+ p 2 ， 将其代入抛物 线方程 y 2 =2px 中， 整理得 y 2 - 2p k y-p 2 =0. 由根 与系数关系得 y 1 y 2 =-p 2 . 当直线 PQ 的倾斜角为 90° 时， 将 x= p 2 代 入抛物线方程， 得 y=±p ， 同样得到 y 1 y 2 =-p 2 . （ 2 ） 解： ∵ 光线 QN 经直线 l 反射后又 射向 M ， ∴ 直线 MN 与 QN 关于直线 l 对称， 设点 M 41 4 ， ， & 4 关于 l 的对称点为 M′ （ x′ ， y′ ）， 则 y′-4 x′- 41 4 × 1 2 =-1 ， 2× x′+ 41 4 2 -4× y′+4 2 -17=0 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) * ， 解得 x′= 51 4 ， y′=-1 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * . 直线 QN 的方程为 y=-1 ， Q 点的纵坐标 y 2 =-1. 由题设知 P 点的纵坐标 y 1 =4 ， 且由 （ 1 ） 知 y 1 y 2 =-p 2 ， 则 4× （ -1 ） =-p 2 ， 得 p=2 ， 故所求抛物线方程为 y 2 =4x. x y O F P x y O M N Q l P 图 2-7-5 图 2-7-4 110 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 物线 y 2 =4x 的焦点为 （ 1 ， 0 ）， ∴a=1 ， 因此离心率为 c a = 2 ， 故选 A. 10. 4 4 【解析 】 在双曲线 C ： x 2 3 -y 2 =1 中， a 2 =3 ， b 2 =1 ， ∴c 2 =a 2 +b 2 =4 ， 即 c=2 ， 因此焦距 2c=4. ∵ 双曲线 C 的右焦点与抛物线 y 2 =2px （ p>0 ） 的焦点重合， ∴ 在抛物 线 y 2 =2px （ p>0 ） 中， p 2 =c ， ∴p=4. 提升练习 11. B 【解析】 设线段 AB 的中点 为 M ， 如图所示 ， l 是抛物线的准 线， 过点 A 作 AA 1 ⊥l 于点 A 1 ， 过点 M 作 MM 1 ⊥l 于 M 1 点， 交 y 轴于点 N ， 过 点 B 作 BB 1 ⊥l 于 点 B 1 ， ∵ |AF |= |AA 1 | ， |BF|=|BB 1 | ， ∴|AA 1 |+|BB 1 |=8. 由点 M 是线段 AB 的中点知 ， |MM 1 |= 1 2 （ |AA 1 |+|BB 1 | ） =4. ∵2p=4 ， ∴p=2. 因此 |M 1 N|=1 ， ∴|MN|=3 ， 故选 B. 12. C 【解析】 由题意得 抛物线的焦点 F （ 0 ， 2 ）， 准 线方程为 y=-2 ， 过点 P 作 PP 1 垂直于准线 ， 交准线于 P 1 ， 过 A 作 AA 1 垂 直 于 准 线， 交准线于 A 1 ， 如图所示 . 根据抛物线的定义可知 |PF|=|PP 1 | ， ∵A （ 4 ， 5 ）， ∴|AF|= 4 2 + （ 5-2 ） 2 姨 =5 ， |AA 1 |=5- （ -2 ） =7. C △PAF =|AF|+|AP|+|PF|= |AF|+|AP|+|PP 1 |≥|AF|+|AA 1 |=5+7=12 ， 故选 C. 13. AC 【解析】 ∵ 抛物线 C 的方程为 y 2 =2px （ p>0 ）， ∴ 焦点 F p 2 ， ， & 0 . 设 M （ x ， y ）， 由抛物线的定义 ， 知 |MF|=x+ p 2 =5 ， 解得 x=5- p 2 . ∵ 圆心是 MF 的中点， ∴ 根 据中点坐标公式， 可得圆心的横坐标为 5 2 ， 圆的半径也 为 5 2 ， 故该圆与 y 轴相切于点 （0 ， 2 ）， 故圆心的纵 坐标为 2 ， 则点 M 的纵坐标为 4 ， 即 M 5- p 2 ， ， & 4 . 将点 M 5- p 2 ， ， & 4 代入抛物线方程， 得 p 2 -10p+16=0 ， 解得 p= 2 或 p=8 ， ∴ 抛物线 C 的标准方程为 y 2 =4x 或 y 2 =16x. 故 选 AC. 14. y 2 =-8x 【解析】 如图所示， 设点 P 到直线 l 的距 离为 d ， 则 |PC|=d+1. 设 P （ x ， y ）， 则 （ x+2 ） 2 +y 2 姨 =|x-1|+1. 由图形知， x≤1 ， ∴x-1≤0. 因此， （ x+2 ） 2 +y 2 姨 =2-x. 化简得， y 2 =-8x. 15. C 【解析】 易知抛物线 C ： x 2 =4y 的焦点为 F （ 0 ， 1 ）， ∴ 抛物线的准线 l 的方程为 y=-1. 又 ∵ 点 A 的坐标 为 （ 2 ， 0 ）， ∴ 直线 AF 的斜率 k= 0-1 2-0 =- 1 2 . 如图， 过点 M 作 MG⊥l 于点 G ， 根据抛物线的定义知 |FM|=|MG|. 在 Rt△MNG 中， 易知 tan∠MNG=-k= 1 2 ， ∴ ｜MG｜ ｜NG｜ = 1 2 ， 即 |NG |=2 |MG| ， ∴ |MN|= ｜MG｜ 2 +｜NG｜ 2 姨 = 5 姨 |MG| ， ∴|FM| ∶ |MN|=1 ∶ 5 姨 . 故选 C. 16. 解 ： 如图 ， 在探照灯的轴 截面所在平面内建立平面直角坐标 系， 使探照灯的顶点 （即抛物线的 顶点） 与原点重合， x 轴垂直于灯 口直径 . 设抛物线的标准方程为 y 2 = 2px （ p>0 ）， 由已知条件可得点 A 的坐标是 （ 40 ， 30 ）， 且在抛物线上， 代入方程得 30 2 = 2p · 40 ， 解得 p= 45 4 ， 故所求抛物线的标准方程为 y 2 = 45 2 x ， 焦点坐标是 45 8 ， ， & 0 . 2.7.2 抛物线的几何性质 学习手册 变式训练 1 解： 当抛物线焦点在 x 轴正 半 轴上 时 ， 如 图所 示 ， ∵ △OAB 为等边三角形 ， 且边长为 1 ， ∴A 3 姨 2 ， 1 2 ， & . 设抛物线方程 为 y 2 ＝2px （ p>0 ）， ∴ 1 4 ＝2p · 3 姨 2 ， ∴p＝ 3 姨 12 ， ∴ 抛物线方程为 y 2 ＝ 3 姨 6 x. 同理， 当抛物 线的焦点在 x 轴负半轴上时， 方程为 y 2 ＝- 3 姨 6 x. 变式训练 2 5 4 【解析】 根据抛物线定义与梯形中位线 定理， 得线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 1 2 （ |AF|+|BF| ） - 1 4 ＝ 3 2 - 1 4 ＝ 5 4 . x y O M N F A B A 1 B 1 M 1 l 第 11 题答图 x y O A P A 1 P 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 F 第 12 题答图 x y O M N G F l A 第 15 题答图 x y O F A B 第 16 题答图 x y O A B 变式训练 1 答图 x y O d l C P 第 14 题答图 110 参 考 答 案 变式训练 3 y 2 ＝16x 【解析】 如图所 示， 由题意可得 ｜DF｜ ｜BF｜ ＝cos30° ， |DF|＝ p ， ∴|BF|＝ 2p 3 姨 ， ∴|AF|＝ 2p 3 姨 . 由抛物线的定义知， 点 A 到准 线的距离也为 2p 3 姨 . ∵△ABC 的面积为 128 3 ， ∴ 1 2 × 2p 3 姨 × 2p 3 姨 ＝ 128 3 ， ∴p＝8 ， ∴ 抛物线的标准方程为 y 2 ＝16x. 变式训练 4 15 8 【解析】 设 AB 的中点为 P （ x 0 ， y 0 ）， 分 别过 A ， P ， B 三点作准线的垂线， 垂足分别为 A′ ， Q ， B′. 由题意得 |AA′|+|BB′|＝|AB|＝4 ， |PQ|＝ ｜AA′｜+｜BB′｜ 2 ＝2. 又 ∵|PQ|＝y 0 + 1 8 ， ∴y 0 + 1 8 ＝2 ， 解得 y 0 ＝ 15 8 . 随堂练习 1. D 【解析】 ∵ 抛物线 x 2 =2py （ p>0 ） 的准线经过点 （ -１ ， -１ ）， ∴ p 2 =1 ， ∴ 该抛物线的焦点坐标为 （ 0 ， 1 ） . 故选 D. 2. C 【解析】 由抛物线定义可知， 点 P 到焦点 F 的 距离即为点 P 到抛物线准线 x=- p 2 的距离， 即 6+ p 2 =8 ， 解得 p=4. 又 ∵ 焦点 F 到抛物线准线的距离为 p， 所求距 离为 4. 故选 C. 3. A 【解析】 如图， 过点 A 作 准线的垂线 AC ， 过点 F 作 AC 的垂 线 FB ， 垂足分别为 C ， B. 由题意 知∠BFA＝∠OFA-90°＝30°. 又 ∵|AF|＝ 4 ， ∴|AB|＝2. 点 A 到准线的距离 d＝ |AB|+|BC|＝p+2＝4 ， 解得 p＝2 ， 则抛 物线 y 2 ＝4x 的准线方程是 x＝-1. 故 选 A. 4. D 【解析 】 由题意知 ， △PMF 为等边三角形 ， PF=PM ， ∴PM⊥ 抛物线的准线 . 设 P m 2 4 ， ， ' m ， 则 M（-1 ， m）， 等边三角形边长为 1+ m 2 4 . ∵F （ 1 ， 0 ）， ∴ 由 PM=FM， 得 1+ m 2 4 = 4+m 2 姨 ， 解得 m=2 3 姨 ， ∴ 等边三角形边长 为 4 ， 其面积为 4 3 姨 . 故选 D. 5. 8 7 【解析 】 由抛物线 y 2 ＝mx 的焦点坐标 F 为 （ 2 ， 0 ）， 可得 m 4 ＝2 ， 即 m＝8 ， 则抛物线 y 2 ＝8x 的准线方 程为 x＝-2. 过点 P 作直线 x＝-2 的垂线， 垂足为 C ， 则 |PA|+|PF|＝ |PA|+|PC|≥|AC|. 当 A ， P ， C 三点共线时， |PA|+|PF| 取得 最小值， 且为 |AC|＝5- （ -2 ） ＝7. 6. 4 【解析】 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 AB 的中 点的横坐标 x 0 ＝ x 1 +x 2 2 . 又 ∵ 抛物线的准线方程为 x＝-1 ， 且 |AB|＝10 ， ∴x 1 +x 2 +p＝x 1 +x 2 +2＝10 ， ∴x 1 +x 2 ＝8 ， ∴x 0 = x 1 +x 2 2 ＝4. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 抛物线 y=4x 2 化为标准式为 y 4 =x 2 ， 2p= 1 4 ， 故焦点在 y 轴上， 开口向上， 焦点坐标为 0 ， 1 16 ， 6 ， 故选 B. 2. D 【解析】 根据题意， 抛物线的焦点在 x 轴的正 半轴上， 设其标准方程为 y 2 =2px （ p>0 ）， 又由焦点到准 线的距离为 4 ， 即 p＝4 ， 故抛物线的标准方程为 y 2 ＝8x ， 故选 D. 3. B 【解析 】 ∵ 抛物线 x 2 =8y 的准线方程为 y=-2 ， 圆 x 2 +y 2 -6x=0 整理得（ x-3 ） 2 +y 2 =9 ， 则圆心坐标为 （ 3 ， 0 ）， 半径为 r=3 ， 则圆心到直线 y=-2 的距离为 d=2 ， 因此 y=-2 被圆 x 2 +y 2 -6x=0 截得的线段长为 2 r 2 -d 2 姨 =2 5 姨 . 故选 B. 4. B 【解析 】 ∵ 抛物 线上的点 P 到准线的距离 等于到焦点 F 的距离 ， ∴ 过焦点 F 作直线 4x-3y+ 16=0 的垂线， 则 F 到直线 的距离为 d 1 +d 2 的最小值， 如 图 所 示 ， ∴ （ d 1 +d 2 ） min = ｜4-0+16｜ 4 2 +3 2 姨 =4. 故选 B. 5. AC 【解析】 若抛物线的焦点在 x 轴上， 设抛物线 的方程为 y 2 =2px （ p>0 ）， 又 ∵ 抛物线经过点 P （ 4 ， -2 ）， ∴ （ -2 ） 2 =2p×4 ， 解得 p= 1 2 ， ∴ 抛物线的方程为 y 2 =x. 若抛 物线的焦点在 y 轴上， 设抛物线的方程为 x 2 =-2py （ p> 0 ）， 又 ∵ 抛物线经过点 P （ ４ ， -２ ）， ∴4 2 =-2p× （ -2 ）， 解 得 p=4 ， ∴ 抛物线的方程为 x 2 =-8y. 故选 AC. 6. ABD 【解析】 将 A （ -2 ， 4 ） 代入抛物线方程可得 p=4 ， 因此抛物线方程为 y 2 =-8x ， ∴ 准线方程为 x=2 ， 焦点坐标为 （ -2 ， 0 ）， 故 A ， B 正确； 易知 AF⊥x 轴 ， ∴B （ -2 ， -4 ）， 故 C 错误； 又 ∵｜AB｜=8 ， ∴S △OAB = 1 2 ×8×2= 8 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 7. y 2 =16x 【解析】 依题意知 ， 椭圆的右焦点 F 2 （ 4 ， x y O F A B C D 变式训练 3 答图 x y O F A B C 第 3 题答图 x y O F P x=-1 y 2 =4x 4x-3y+16=0 第 4 题答图 111 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 0 ）， 设抛物线的方程为 y 2 =2px （ p>0 ）， 则 p 2 =4 ， ∴p=8 ， ∴ 抛物线的方程为 y 2 =16x. 8. 2 3 姨 【解析】 根据抛物线方程可求得焦点坐标 为 （ 0 ， 1 ）， 准线方程为 y=-1 ， 根据抛物线定义， 解得 y 1 =2 ， 代入抛物线方程求得 x=±2 2 姨 ， ∴ 点 M 的坐标 为 （ ±2 2 姨 ， 2 ） ， ∴ 点 M 到 原 点 的 距 离 为 ｜OM ｜= 2 2 + （ ±2 2 姨 ） 2 姨 =2 3 姨 . 9. 解： 设所求抛物线的标准方程为 x 2 =2py （ p>0 ）， 设 A （ x 0 ， y 0 ）， 由题意知 M 0 ， - p 2 2 # ， ∵|AF|=3 ， ∴y 0 + p 2 =3. ∵|AM|= 17 姨 ， ∴x 2 0 + y 0 + p 2 2 2 2 =17 ， ∴x 2 0 =8 ， 代入方程 x 2 0 = 2py 0 得， 8=2p 3- p 2 2 2 ， 解得 p=2 或 p=4 ， ∴ 所求抛物线的标准方程为 x 2 =4y 或 x 2 =8y. 10. 解： （ 1 ） 抛物线 y 2 ＝8x 的 顶点、 焦点、 准线、 对称轴、 变量 x 的 取 值 范 围 分 别 为 （ 0 ， 0 ） ， （ 2 ， 0 ）， x＝-2 ， x 轴， x≥0. （ 2 ） 如图所示 . 由 |OA|＝|OB| 可 知 AB⊥x 轴， 垂足为点 M. ∵ 焦点 F 是 △OAB 的重心， 则 |OF|＝ 2 3 |OM|. ∵F （ 2 ， 0 ）， ∴|OM|＝ 3 2 |OF|＝3 ， ∴M （ 3 ， 0 ） . 故设 A （ 3 ， m ）， 代入 y 2 ＝8x 得 m 2 ＝24 ， ∴m＝2 6 姨 或 m＝-2 6 姨 . ∴A （ 3 ， 2 6 姨 ）， B （ 3 ， -2 6 姨 ）， ∴|OA|＝|OB|＝ 33 姨 ， ∴△OAB 的周长为 2 33 姨 +4 6 姨 . 提升练习 11. A 【解析 】 过点 P 向 x 轴作垂线 ， 设垂足为 Q ， ∵ ∠PFO = 仔 3 ， ｜PF ｜=2 ， ∴ ｜PQ ｜= 3 姨 ， ｜QF ｜=1 ， ∴P p 2 -1 ， ± 3 姨 2 # ， 将点 P 的坐标代入 y 2 =2px ， 得 p=3 ， 故抛物线 C 的方程为 y 2 =6x. 故选 A. 12. B 【解析】 由题得， 抛物线的准线方程为 y=- p 2 ， 由抛物线的定义可知， 点 P 到焦点的距离等于它到准线 的距离， ∴ 点 P 到 x 轴的距离比它到准线 y=- p 2 的距离 小 3 ， 于是得 p 2 =3 ， ∴p=6. 故选 B. 13. AB 【解析】 抛物线 y=ax 2 的准线方程为 y=- 1 4a ， ∵ 点 M （ 1 ， 1 ） 到抛物线 y=ax 2 的准线的距离为 2 ， ∴ 1+ 1 4a =2 ， 解得 a= 1 4 或 a=- 1 12 ， 故选 AB. 14. BCD 【解析】 焦点 F 到准线的距离为 p=2 ， ∴ 抛 物线 C 的焦点为 （ 1 ， 0 ）， 准线方程为 x=-1 ， 故 A 错 误； 当 PQ 垂直于 x 轴时长度最小， 此时 P （ 1 ， 2 ）， Q （ 1 ， -2 ）， ∴|PQ|=4 ， 故 B 正确； 设 P （ x 1 ， y 1 ）， Q （ x 2 ， y 2 ）， 直 线 PQ 的方程为 x=my+1 ， 联立 x=my+1 ， y 2 ＝2px ， 消去 y 可得 x 2 - （ 4m 2 +2 ） x+1=0 ， 消去 x 可得 y 2 -4my-4=0 ， ∴x 1 + x 2 =4m 2 +2 ， y 1 +y 2 =4m ， 当 m=1 时 ， 可得 M （ 3 ， 2 ）， 故 C 正确 ； 又 ∵x 1 x 2 =1 ， y 1 y 2 =-4 ， ∴ O O+ P·O O+ Q ＝x 1 x 2 +y 1 y 2 =-3 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 15. 3 2 【解析】 由抛物线 y 2 =2x ， 其准线方程为 x= - 1 2 ， ∵AB 垂直于 x 轴， |AB|=2 2 姨 ， ∴A 到 x 轴的距离 为 2 姨 . 假设 A 在 y 轴上方， 即 y= 2 姨 ， 代入抛物线 y 2 = 2x ， 求得 x=1 ， ∴ 点 A 到抛物线的准线的距离 d=1+ 1 2 = 3 2 . * 16. 解： （ 1 ） 依题意， 抛物线的焦点为 F （ 1 ， 0 ）， 准线方程为 x=-1. 由已知及抛物线的定义， 可知 ｜PF｜=d ， 于是问题转 化为求 ｜PA｜+｜PF｜ 的最小值 . 由平面几何知识知， 当 F ， P ， A 三点共线时 ， ｜PA ｜+｜PF ｜ 取得最小值 ， 最小值为 ｜AF ｜= 5 姨 ， 即 ｜PA｜+d 的最小值为 5 姨 . （ 2 ） 把点 B 的横坐标代入 y 2 = 4x 中 ， 得 y=±2 3 姨 ， ∵2 3 姨 >2 ， ∴ 点 B 在抛物线的内部 . 如图， 过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q ， 交抛物 线于点 P 1 . 由抛物线的定义 ， 可知 ｜P 1 Q｜=｜P 1 F｜ ， 则 ｜PB｜+｜PF｜≥｜P 1 B｜+｜P 1 Q｜= ｜BQ｜=3+1=4 ， ∴｜PB｜+｜PF｜ 的最小值为 4. 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 由 x+y-3=0 ， x 2 4 +y 2 =1 1 . . . - . . . / ， 得 x 2 4 + （ 3-x ） 2 =1 ， 化简得 5x 2 -24x+32=0 ， ∵Δ=24 2 -4×5×32=-64<0 ， ∴ 方程 无解， ∴ 直线与椭圆的位置关系是相离， 故选 C. 变式训练 2 C 【解析】 由双曲线的几何性质可知， 当 直线与渐近线平行时， 直线 l 与 C 有唯一公共点， 由于 双曲线的渐近线方程为 y=± 1 2 x ， 故直线 l 的方程为 y= 1 2 （ x-2 ）或 y=- 1 2 （ x-2 ）， 即 y= 1 2 x-1 或 y=- 1 2 x+1. 故 选 C. 变式训练 3 解： （ 1 ） ｜MF｜=1+ p 2 = 3 2 ， ∴p=1 ， 即抛物 线 C 的方程 为 y 2 =2x. x y O M F A B 第 10 题答图 x y O x=-1 B （ 3 ， 2 ） F Q P 1 第 16 题答图 112