2.5.2 椭圆的几何性质-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 了解研究椭圆几何性质的思想方法 . 2. 掌握椭圆的简单几何性质， 并正确地 画出图形 . 3. 理解离心率对椭圆扁平程度的影响 . 要 点 精 析 要点 1 椭圆的简单几何性质 思考 椭圆的一个焦点、 中心和短轴 的一个端点构成了一个直角三角形， 称为 椭圆的特征三角形， 三条边长满足的关系 式是什么？ 例 1 求椭圆 4x 2 +9y 2 =36 的长轴长、 短 轴长、 焦距、 焦点坐标、 顶点坐标和离心率 . 解： 由题意知， 椭圆的标准方程为 x 2 9 + y 2 4 =1 ， ∴a=3 ， b=2 ， c= 5 姨 ， 即长轴长为 6 ， 短 轴 长 为 4 ， 焦 距 为 2 5 姨 ， 焦 点 坐 标 （ - 5 姨 ， 0 ）， （ 5 姨 ， 0 ）， 顶点坐标 A 1 （ -3 ， 0 ）， A 2 （ 3 ， 0 ）， B 1 （ 0 ， -2 ）， B 2 （ 0 ， 2 ）， 离心 率 e= 5 姨 3 . 反思感悟 （ 1 ） 用标准方程研究椭圆几何性质的 步骤： ① 将椭圆方程化为标准形式； ② 确 定焦点位置； ③ 求出 a ， b ， c ； ④ 写出椭圆 的几何性质 . （ 2 ） 长轴长、 短轴长、 焦距不是 a ， b ， c ， 而应是 a ， b ， c 的 2 倍 . 变式训练 1 将例 1 中椭圆方程改为 9x 2 +4y 2 ＝36 ， 结 果又将如何？ 要点 2 利用椭圆的几何性质求标准方程 椭圆的几何性质可分为两类： 一类是与 坐标无关的本身固有性质， 如长轴长、 短轴 2.5.2 椭圆的几何性质 第 1课时 研究椭圆几何性质的思想方法 标准 方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 图形 范围 -a≤x≤a ， -b≤y≤b -b≤x≤b ， -a≤y≤a 对称性 对称轴： 坐标轴； 对称中心： （ 0 ， 0 ） 焦点 F 1 （ -c ， 0 ）， F 2 （ c ， 0 ） F 1 （ 0 ， -c ）， F 2 （ 0 ， c ） 焦距 ｜F 1 F 2 ｜=2c 顶点 A 1 （ -a ， 0 ）， A 2 （ a ， 0 ）， B 1 （ 0 ， -b ）， B 2 （ 0 ， b ） A 1 （ 0 ， -a ）， A 2 （ 0 ， a ）， B 1 （ -b ， 0 ）， B 2 （ b ， 0 ） 轴长 长轴 ｜A 1 A 2 ｜=2a ， 短轴 ｜B 1 B 2 ｜=2b 离心率 e= c a ∈ （ 0 ， 1 ） x y O a b c A 1 B 1 A 2 B 2 F 1 F 2 x y A 1 B 1 A 2 B 2 a b c F 1 F 2 O 93 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 长、 焦距、 离心率等， 它反映了椭圆的范 围、 对称性、 扁平程度等； 另一类是与坐标 有关的性质， 如顶点、 焦点等， 它反映了椭 圆及其特殊点的平面位置 . 思考 椭圆上任意一点 P （ x ， y ） （ y≠ 0 ） 与两焦点 F 1 ， F 2 构成的 △PF 1 F 2 称为焦 点三角形， 其周长为多少？ 例 2 已知椭圆 x 2 + （ m+3 ） y 2 =m （ m>0 ） 的离心率 e= 3 姨 2 . （ 1 ） 求 m 的值； （ 2 ） 求椭圆的焦点坐标、 顶点坐标 . 解： （ 1 ） 由题意得椭圆的标准方程为 x 2 m + y 2 m m+3 =1. 由于 m>0 ， 故 m> m m+3 ， 即椭圆的焦点 在 x 轴上 . ∴a 2 =m ， b 2 = m m+3 ， c 2 =m- m m+3 = m 2 +2m m+3 ， ∴e= c a = m 2 +2m m+3 姨 m 姨 = 3 姨 2 ， 即 m 2 -m=0. 又 ∵m>0 ， 故 m=1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知椭圆方程为 x 2 + y 2 1 4 =1 ， 故 a 2 =1 ， b 2 = 1 4 ， c 2 =1- 1 4 = 3 4 ， 故焦点坐标为 3 姨 2 ， ， %0 ， - 3 姨 2 ， ， %0 ， 顶点坐标为 （ 1 ， 0 ）， （ -1 ， 0 ）， 0 ， 1 2 ， % ， 0 ， - 1 2 ， % . 反思感悟 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方 程通常用待定系数法 . 具体步骤为： 根据已知条件 “选标准， 定参数” . 其 一般步骤为： ① 确定焦点所在的坐标轴； ② 求出 a 2 ， b 2 的值； ③ 写出标准方程 . 变式训练 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （ 1 ） 长轴长是 6 ， 离心率是 2 3 ； （ 2 ） 在 x 轴上的一个焦点与短轴的两个 端点的连线互相垂直， 且焦距为 6. 要点 3 求椭圆的离心率 一般地， 椭圆的半焦距与半长轴长之比 e= c a ， 称为椭圆的离心率 . 思考 为什么离心率影响椭圆的扁平 程度？ 例 3 设椭圆的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ， 若椭圆上存在点 P 满足 |PF 1 | ∶ |F 1 F 2 | ∶ |PF 2 |＝4 ∶ 3 ∶ 2 ， 则椭圆的离心率等于 . 分析 设 ｜F 1 F 2 ｜=2c （ c>0 ）， 由题意可得 ｜PF 1 ｜= 8 3 c ， ｜PF 2 ｜= 4 3 c ， 再由椭圆的定义即 可求解 . 94 第二章 平面解析几何 学 解析： 设 ｜F 1 F 2 ｜=2c （ c>0 ）， 由 ｜PF 1 ｜ ∶ ｜F 1 F 2 ｜ ∶ ｜PF 2 ｜＝4 ∶ 3 ∶ 2 ， 得 ｜PF 1 ｜= 8 3 c ， ｜PF 2 ｜= 4 3 c ， 且 ｜PF 1 ｜>｜PF 2 ｜ ， 由椭圆的定义可得 2a=｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜=4c ， ∴ 离心率 e= 1 2 . 反思感悟 求椭圆离心率的两种方法： （ 1 ） 直接法： 若已知 a ， c ， 可直接利 用 e＝ c a 求解 . 若已知 a ， b 或 b ， c ， 可借助于 a 2 =b 2 +c 2 求出 c 或 a ， 再代入公式 e＝ c a 求解 . （ 2 ） 方程法： 若 a ， c 的值不可求， 则 可根据条件建立 a ， b ， c 的关系式， 借助 于 a 2 ＝b 2 +c 2 ， 转化为关于 a ， c 的齐次方程， 再将方程两边同除以 a 的最高次幂， 得到 关于 e 的方程， 即可求得 e 的值 . 变式训练 3 已知椭圆 E 的短轴长为 6 ， 焦点 F 到长 轴的一个端点的距离等于 9 ， 则椭圆 E 的离 心率等于 . 数 学 文 化 例 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星 发射中心发射 . 12 日下午 4 时 43 分左右 ， 嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点 的椭圆形轨道， 如图中轨道 ③ 所示， 其近月 点与月球表面距离为 100 km ， 远月点与月 球表面距离为 400 km ， 已知月球的直径约 为 3 476 km ， 对该椭圆有四个结论： ① 焦距 长约为 300 km ； ② 长轴长约为 3 988 km ； ③ 两焦点坐标约为 （ 0 ， ±150 ）； ④ 离心率约 为 75 994 . 上述结论正确的是 （ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 分析 根据已知条件求得椭圆对应的 a ， c ， 由此确定正确选项 . 解析： 根据题意建立 如图 2-5-7 所示的平面直 角坐标系， 依题意 100+ 3 476 2 =a-c ， 400+ 3 476 2 =a+c c # # # # # # " # # # # # # $ ， 即 1 838=a-c ， 2 138=a+c c ， 解得 a=1 988 ， c=150 c . 2c=300 ， ① 正确； 2a=3 976 ， ② 错误； 焦点坐标为 （ 0 ， ±150 ）， ③ 正确； 离心率 e= c a = 150 1 988 = 75 994 ， ④ 正确 . ∴ 正确的为 ①③④. 故选 C. 环月降轨 绕月飞行 近月制动 2 3 4 图 2-5-6 x y O A B F 1 F 2 图 2-5-7 鹊 桥 95 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 能利用椭圆的简单几何性质解决问题 . 2. 掌握点与椭圆位置关系等相关知识 . 3. 掌握直线与椭圆位置关系等相关知识 . 要 点 精 析 要点 1 点与椭圆的位置关系 设 P （ x 0 ， y 0 ）， 椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a＞b＞0 ）， 则点 P 与椭圆的位置关系如下所示： （ 1 ） 点 P （ x 0 ， y 0 ） 在椭圆内 圳 x 2 0 a 2 + y 2 0 b 2 ＜1. （ 2 ） 点 P （ x 0 ， y 0 ） 在椭圆上 圳 x 2 0 a 2 + y 2 0 b 2 ＝1. （ 3 ） 点 P （ x 0 ， y 0 ） 在椭圆外 圳 x 2 0 a 2 + y 2 0 b 2 ＞1. 思考 椭圆上一点 P 到焦点 F 1 ， F 2 的 距离称为椭圆的焦半径 . 问椭圆的焦半径公 式是什么 . 例 1 点 A （ a ， 1 ） 在椭圆 x 2 4 + y 2 2 =1 的 外部， 则 a 的取值范围是 （ ） A. （ - 2 姨 ， 2 姨 ） B. （ -∞ ， - 2 姨 ） ∪ （ 2 姨 ， +∞ ） C. （ -2 ， 2 ） D. （ -1 ， 1 ） 解析： ∵ 点 A （ a ， 1 ） 在椭圆 x 2 4 + y 2 2 =1 的外部， ∴ a 2 4 + 1 2 >1 ， 解得 a∈ （ -∞ ， - 2 姨 ） ∪ （ 2 姨 ， +∞ ）， 故选 B. 反思感悟 当一直线过定点 A ， 且定点 A 在椭圆 内， 则这条直线与椭圆必相交 . 变式训练 1 已知点（ 3 ， 2 ）在椭圆 x 2 m + y 2 n =1 （ m>0 ， n>0 ） 上， 则点（ -3 ， 3 ）与椭圆的位置关系是 . 要点 2 直线与椭圆的位置关系 判断直线和椭圆位置关系的方法 直线与椭圆的位置关系， 从几何角度来 看有三种： 相离时， 直线与椭圆没有公共 点； 相切时， 直线与椭圆有一个公共点； 相 交时， 直线与椭圆有两个公共点 . 方法是将 直线的方程和椭圆的方程联立， 消去一个未 知数， 得到一个一元二次方程 . 若 Δ>0 ， 则 直线和椭圆相交； 若 Δ＝0 ， 则直线和椭圆相 切； 若 Δ<0 ， 则直线和椭圆相离 . 思考 椭圆的焦点弦是什么？ 焦点弦 长的最小值是多少？ 例 2 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 x 2 4 +y 2 =1 的右焦点， 交椭圆于 A ， B 两点， 则弦 AB 的长为 （ ） A. 4 5 B. 6 5 C. 8 5 D. 13 5 解析： 由椭圆 P 得， a 2 =4 ， b 2 =1 ， ∴c 2 =3 ， ∴ 右焦点坐标为 （ 3 姨 ， 0 ）， 则直线 l 第 2课时 点、 直线与椭圆的位置关系 96 第二章 平面解析几何 学 的方程为 y=x- 3 姨 . 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立 y=x- 3 姨 ， x 2 4 +y 2 =1 1 $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ % ， 消去 y 得， 5x 2 -8 3 姨 x+8=0 ， 则 x 1 +x 2 = 8 3 姨 5 ， x 1 x 2 = 8 5 ， ∴｜AB ｜= 1+k 2 姨 · （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 = 2 姨 × 8 3 姨 5 5 ' 2 -4× 8 5 姨 = 8 5 ， 即弦 AB 的长为 8 5 . 故选 C. 反思感悟 根与系数的关系及弦长公式： 设直线 l ： y＝kx+m （ k≠0 ， m 为常数） 与椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 相交， 两个交点 为 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则线段 AB 称为 直线 l 截椭圆所得的弦， 线段 AB 的长度称 为弦长 . 下面我们推导弦长公式： 由两点间的 距离公式， 得 |AB|＝ （ x 1 -x 2 ） 2 + （ y 1 -y 2 ） 2 姨 ， 将 y 1 ＝kx 1 +m ， y 2 ＝kx 2 +m 代入上式 ， 得 |AB |＝ （ x 1 -x 2 ） 2 + （ kx 1 -kx 2 ） 2 姨 = （ x 1 -x 2 ） 2 +k 2 （ x 1 -x 2 ） 2 姨 = 1+k 2 姨 |x 1 -x 2 | ， 而 |x 1 -x 2 |＝ （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 ， ∴|AB|＝ 1+k 2 姨 · （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 ， 其中 x 1 +x 2 与 x 1 x 2 均可由根与系数的关系得到 . 变式训练 2 给定四条曲线： ①x 2 +y 2 = 5 2 ； ② x 2 9 + y 2 4 = 1 ； ③x 2 + y 2 4 =1 ； ④ x 2 4 +y 2 =1. 其中与直线 x+y- 5 姨 =0 仅有一个交点的曲线是 . （填序号） 要点 3 弦中点及中点弦问题 中点弦问题常用 “根与系数的关系” 或 “点差法” 求解 . （ 1 ） 利用根与系数的关系： 将直线方程 代入椭圆的方程， 消元后得到一个一元二次 方程， 利用根与系数的关系和中点坐标公式 建立等式求解， 注意不能忽视对判别式的 讨论 . （ 2 ） 点差法： 若直线 l 与椭圆 C 有两个 交点 A ， B ， 一般地， 首先设出 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 代入椭圆方程， 通过作差， 构造 出 x 1 +x 2 ， y 1 +y 2 ， x 1 -x 2 ， y 1 -y 2 ， 从而建立中点 坐标和斜率的关系 . 例 3 已知椭圆 x 2 16 + y 2 4 ＝1 的弦 AB 的中 点 M 的坐标为 （ 2 ， 1 ）， 求直线 AB 的方程 . 解： 方法一： 由椭圆的对称性知， 直线 AB 的斜率存在， 设直线 AB 的方程为 y-1＝ k （ x-2 ）， 将其代入椭圆方程并整理， 得（ 4k 2 + 1 ） x 2 -8 （ 2k 2 -k ） x+4 （ 2k-1 ） 2 -16＝0. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 1 ， x 2 是上 述方程的两根， 于是 x 1 +x 2 ＝ 8 （ 2k 2 -k ） 4k 2 +1 . 又 ∵M 为线段 AB 的中点 ， ∴ x 1 +x 2 2 = 4 （ 2k 2 -k ） 4k 2 +1 =2 ， 解得 k＝- 1 2 ， 故所求直线的方程为 x+2y-4＝0. 方法二： 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， x 1 ≠ x 2 . ∵M （ 2 ， 1 ） 为线段 AB 的中点， ∴x 1 +x 2 ＝4 ， y 1 +y 2 ＝2. 又 ∵A ， B 两点在椭圆上 ， 则 x 2 1 +4y 2 1 ＝ 16 ， x 2 2 +4y 2 2 =16. 两式相减， 得（ x 2 1 -x 2 2 ） +4 （ y 2 1 -y 2 2 ） =0 ， 于是（ x 1 +x 2 ）（ x 1 -x 2 ） +4 （ y 1 +y 2 ）（ y 1 -y 2 ） =0. 97 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 ∴ y 1 -y 2 x 1 -x 2 =- x 1 +x 2 4 （ y 1 +y 2 ） =- 4 4×2 =- 1 2 ， 即 k AB = - 1 2 ， 故所求直线的方程为 x+2y-4＝0. 方法三： 设所求直线与椭圆的一个交点 为 A （ x ， y ）， 由于点 M （ 2 ， 1 ） 为线段 AB 的 中点， 则另一个交点为 B （ 4-x ， 2-y ） . ∵A ， B 两点都在椭圆上， ∴ x 2 +4y 2 =16 ， ① （ 4-x ） 2 +4 （ 2-y ） 2 =16. . ② ①-② ， 得 x+2y-4＝0 ， 即点 A 的坐标满足这 个方程， 根据对称性， 点 B 的坐标也满足这 个方程， 而过 A ， B 两点的直线只有一条， 故所求直线的方程为 x+2y-4＝0. 变式训练 3 过椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 左焦点 F 作 x 轴的垂线， 交椭圆于 P ， Q 两点， A 是椭圆 与 x 轴正半轴的交点， 且 ｜PQ｜=｜FA｜ ， 则该椭 圆的离心率是 （ ） A. 1 2 B. 2 姨 4 C. 2 姨 2 D. 3 姨 2 数 学 文 化 例 （多选题 ） 泰戈尔说过一句话 ： “世界上最远的距离， 不是树枝无法相依， 而是相互瞭望的星星， 却没有交汇的轨迹； 世界上最远的距离， 不是星星之间的轨迹， 而是纵然轨迹交汇， 却在转瞬间无处寻觅 . ” 已知点 F （ 1 ， 0 ）， 直线 l ： x=4 ， 动点 P 到点 F 的距离是点 P 到直线 l 的距离的一半 . 若某 直线上存在这样的点 P ， 则称该直线为 “最 远距离直线 ” ， 则下列结论中正确的是 （ ） A. 点 P 的轨迹方程是 x 2 4 + y 2 3 =1 B. 直线 l 1 ： x+2y-4=0 是 “最远距离直线” C. 平面上有一点 A （ -1 ， 1 ） ， 则 ｜PA ｜+ 2｜PF｜ 的最小值为 5 D. 点 P 的轨迹与圆 C ： x 2 +y 2 -2x=0 是没 有交汇的轨迹 （也就是没有交点） 解析： 设 P （ x ， y ）， ∵ 点 P 到点 F 的距离 是点 P 到直线 l 的距离的一半， ∴2 （ x-1 ） 2 +y 2 姨 =｜x-４｜ ， 化简得 x 2 4 + y 2 3 =1 ， 故 A 正确； 联立方程 x+2y-4=0 ， x 2 4 + y 2 3 =1 1 % % % % $ % % % % & ， 可得（ x-1 ） 2 =0 ， 解 得 x=1 ， 故存在 P 1 ， 3 2 2 ( ， ∴ 直线 l 1 ： x+ 2y-4=0 是 “最远距离直线”， 故 B 正确； 如图 2-5-8 ， 过 点 P 作 PB 垂直直线 l ： x=4 ， 垂足为 B ， 则 由题可得 ｜PB ｜=2 ｜PF ｜ ， 则 ｜PA｜+2｜PF｜=｜PA｜+｜PB｜ ， 则由图可知， ｜PA｜+｜PB｜ 的最小值即为点 A 到 直线 l ： x＝４ 的距离 5 ， 故 C 正确； 由 x 2 +y 2 -2x=0 可得（ x-1 ） 2 +y 2 =1 ， 即圆心 为 （ 1 ， 0 ）， 半径为 1 ， 易得点 P 的轨迹与圆 交于点 （ 2 ， 0 ）， 故 D 错误 . 故选 ABC. 图 2-5-8 x y O A B P F 1 F x=4 l 98 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 12. A 【解析 】 椭圆 E ： x 2 4 + y 2 3 =1 的顶点坐标为 （ -2 ， 0 ）， （ 2 ， 0 ）， （ 0 ， 3 姨 ）， （ 0 ， - 3 姨 ）， 圆 C ： （ x-m ） 2 +y 2 =1 ， 表示以 （ m ， 0 ） 为圆心， 1 为半径的圆 . 当 m=-3 时， 椭圆 E 与圆 C 只有一个交点 （ -2 ， 0 ）； 当 -3<m<-1 时， 圆 C 向右平移， 与椭圆 E 有两个 交点； 当 m=-1 时， 圆 C 与椭圆 E 只有 1 个交点； 当 -1<m<1 时， 圆 C 在椭圆 E 内部， 此时椭圆 E 与 圆 C 无公共点 . ∴ 当 m 在闭区间 ［ -3 ， 3 ］ 从小到大连续变化时， 椭圆 E 和圆 C 公共点个数的变化规律是 1 ， 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 1． 故选 A． 13. A 【解析】 如图， 根据椭 圆的定义 ， 得 |PF 1 |+|PF 2 |=2a=10 ， ∴7 =10 - （ 1 +2 ） ≤|PM |+|PN |≤10 + （ 1+2 ） =13 ， 即所求取值范围为 ［ 7 ， 13 ］ ． 故选 A. 14. 解： （ 1 ） 以下底 AB 所在直线为 x 轴， 等腰梯 形所在的对称轴为 y 轴， 建立平面直角坐标系， 可得椭圆的方程为 y 2 4r 2 + x 2 r 2 =1 ， r=1 ， CD= 3 2 ， ∴x C = 3 4 代入椭圆方程得 y C = 7 姨 2 ， ∴CB= 1- 3 4 4 $ 2 + 7 姨 2 2 & 2 姨 = 29 姨 4 ， ∴ 梯形 ABCD 的周长为 7+ 29 姨 2 . （ 2 ） 由题意得 x C =x ， ∴y C =2r 1- x 2 r 2 姨 ， S= 1 2 （ 2r+ 2x ） 2r 1- x 2 r 2 姨 =2 （ r+x ） r 2 -x 2 姨 ， 定义域为 x∈ （ 0 ， r ） . 15. 解： 设 F 2 为椭圆的右焦点， 5x 2 +9y 2 =45 可化为 x 2 9 + y 2 5 =1. 由已知， 得 |PF 1 |+|PF 2 |=2a=6 ， ∴|PF 1 |=6-|PF 2 | ， ∴|PA|+|PF 1 |=6- （ |PF 2 |-|PA| ） ． ① 当 |PA|>|PF 2 | 时， 有 0<|PA|-|PF 2 |≤|AF 2 | ， 等号成立 时 ， |PA|+|PF 1 | 最大 ， 此时点 P 是射线 AF 2 与椭圆的交 点， |PA|+|PF 1 | 的最大值是 6+ 2 姨 ． ② 当|PA|<|PF 2 |时， 有 0<|PF 2 |-|PA|≤|AF 2 | ， 等号成立 时 ， |PA|+|PF 1 |最小 ， 此时点 P 是射线 F 2 A 与椭圆的交 点， |PA|+|PF 1 |的最小值是 6- 2 姨 ． 综上， 可知 |PA|+|PF 1 |的最大值为 6+ 2 姨 ， 最小值 为 6- 2 姨 ． 2.5.2 椭圆的几何性质 第 1 课时 研究椭圆几何性质的思想方法 学习手册 变式训练 1 解： ∵ 椭圆的标准方程为 x 2 4 + y 2 9 =1 ， ∴a 2 = 9 ， b 2 =4 ， 焦点在 y 轴上 ． ∴ 顶点坐标为 （ 0 ， ±3 ）， （ ±2 ， 0 ）， 焦点坐标为 （ 0 ， ± 5 姨 ） ． 长轴长、 短轴长、 焦距、 离心率分别为 6 ， 4 ， 2 5 姨 ， 5 姨 3 . 变式训练 2 解： （ 1 ） 设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） 或 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （a>b>0 ） ． 由已知得 2a=6 ， ∴a=3. 又 ∵e= c a = 2 3 ， ∴c=2 ， ∴b 2 =a 2 -c 2 =9-4=5. ∴ 椭圆的标准方程为 x 2 9 + y 2 5 =1 或 y 2 9 + x 2 5 =1. （ 2 ） 由题意知焦点在 x 轴上， 故可设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ）， 且两焦点 为 F′ （ -3 ， 0 ）， F （ 3 ， 0 ） ． 如图所示， △A 1 FA 2 为等腰 直角三角形， OF 为斜边 A 1 A 2 的中线， 且 |OF|=c ， |A 1 A 2 |=2b ， ∴c= b=3 ， ∴a 2 =b 2 +c 2 =18 ， ∴ 所求椭圆的标准方程为 x 2 18 + y 2 9 =1. 变式训练 3 4 5 【解析】 根据题意得 2b=6 ， a+c=9 或 a- c=9． 当 a+c=9 时， 由 a 2 -b 2 =c 2 ， b=3 ， 解得 a=5 ， c=4 ， 故 e= c a = 4 5 . 当 a-c=9 时 ， 由 a 2 -b 2 =c 2 ， b=3 ， 解得 a=5 ， c=-4 （舍去） . 随堂练习 1. C 【解析】 3x 2 +y 2 =1 ， 即 x 2 1 3 +y 2 =1 ， 表示焦点在 y 轴上的椭圆， a 2 =1 ， ∴a=1 ， 长轴长为 2a=2. 故选 C. 2. A 【解析】 ∵ 椭圆的右焦点到短轴端点距离为 2 ， 到左顶点的距离为 3 ， ∴a=2 ， a+c=3 ， 即 a=2 ， c=1 ， ∴b= a 2 -c 2 姨 = 3 姨 . ∵ 椭圆的焦点在 x 轴上， ∴ 椭圆的标准方程是 x 2 4 + y 2 3 =1. 故选 A. x y O M N P F 1 F 2 第 13 题答图 x y O F A 2 F′ A 1 变式训练 2 答图 96 参 考 答 案 3. - 5 姨 ≤x≤ 5 姨 【解析】 由方程可知 0≤ x 2 5 ≤1 ， ∴0≤x 2 ≤5 ， ∴- 5 姨 ≤x≤ 5 姨 . 4. 5 姨 5 【解析】 由题意得直线 y=2x-1 与 y 轴、 x 轴的交点为 （ 0 ， -1 ）， 1 2 ， ， $ 0 . ∵ 直线 y=2x-1 过椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） 的一个顶 点和焦点， 且椭圆的焦点在 x 轴上， ∴b=1 ， c= 1 2 ， a 2 =b 2 +c 2 =1+ 1 4 = 5 4 ， 即 a= 5 姨 2 ， ∴e= c a = 1 2 5 姨 2 = 5 姨 5 . 5. x 2 4 +y 2 =1 （不唯一） 【解析】 曲线 x 2 4 +y 2 =1 关于 y 轴对称， 又 ∵ 点 A （ 2 ， 0 ） 在曲线上， ∴ 曲线的方程是 x 2 4 +y 2 =1 （不唯一） ． 6. 3 【解析】 设 |PF 1 |=m ， |PF 2 |=n ， ∵PF 1 ⊥PF 2 ， ∴ m 2 +n 2 =4c 2 ， m+n=2a a ， ∴2mn= （ m+n ） 2 - （ m 2 +n 2 ） = 4a 2 -4c 2 =4b 2 ， mn=2b 2 . 又 ∵S △PF 1 F 2 = 1 2 mn=9 ， ∴2b 2 =18 ， b 2 =9 ， b=3． 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 由已知， c=3 ， 又 ∵e= 1 2 ， ∴a=6 ， ∴b 2 = a 2 -c 2 =27. ∵ 椭圆的焦点在 x 轴上， ∴ 椭圆方程为 x 2 36 + y 2 27 =1. 故 选 A. 2. D 【解析】 ∵ 椭圆长轴在 y 轴上， ∴a 2 =m-2 ， b 2 =10-m. ∴c 2 =a 2 -b 2 =2m-12=4 ， ∴m=8. 故选 D. 3. BD 【解析】 由椭圆方程 x 2 9 +y 2 =1 ， 可知 a=3 ， b= 1 ， c=2 2 姨 ， ∴e= c a = 2 2 姨 3 ， 故 A 错误； ∵c=2 2 姨 ， 且由方程可知， 焦点在 x 轴上， 故焦点 坐标为 （ ±2 2 姨 ， 0 ）， 故 B 正确； 长轴长为 2a=6 ， 故 C 错误； 焦点在 x 轴的椭圆 C 上的点的横坐标取值范围为 ［ -a ， a ］， 即 ［ -3 ， 3 ］， 故 D 正确 . 故选 BD. 4. B 【解析】 由题意， 设椭圆 C 的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ）， ∵ 椭圆 C 的离心率为 3 姨 2 ， 面积为 8π ， ∴ e= c a = 1- b 2 a 2 姨 = 3 姨 2 ， 8π=abπ π * * * ) * * * + ， 解得 a 2 =16 ， b 2 =4 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 16 + y 2 4 =1 ， 故选 B. 5. C 【解析】 由 PF 1 ⊥PF 2 ， 知 △F 1 PF 2 是直角三角形， ∴|OP|=c≥b ， 即 c 2 ≥a 2 -c 2 ， ∴a≤ 2 姨 c. ∵e= c a ， 0＜e＜1 ， ∴ 2 姨 2 ≤e＜1. 故选 C. 6. A 【解析】 ∵ 四边形 B 1 F 2 B 2 F 1 为正方形， 则 △B 2 OF 2 为等腰直角三角形， ∴a 2 =b 2 +c 2 =2c 2 ， ∴e= c a = 2 姨 2 . 故 选 A. 7. 2 7 姨 【解析】 由于 x 2 +my 2 -6mx-7=0 是圆， ∴m= 1 ， 即圆的方程为 x 2 +y 2 -6x-7=0 ， 其中圆心为 （ 3 ， 0 ）， 半径为 4 ， 那么椭圆的长轴长为 8 ， 即 c=3 ， a=4 ， b= a 2 -c 2 姨 = 7 姨 ， 那么短轴长为 2 7 姨 . 8. 12 【解析】 椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 中， a 2 =25 ， b 2 =9 ， ∴c 2 =a 2 -b 2 =16 ， ∴b=3 ， c=4． 由椭圆的几何性质知， 当点 P 为椭圆的短轴端点 时， △PF 1 F 2 的面积最大， 故 1 2 |F 1 F 2 |b=bc=12． 9. 解： （ 1 ） 设椭圆的标准方程为 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （a>b> 0 ）， 由题意得 2c=8 ， ∴c=4 ， e= c a = 1 2 ， ∴a=8 ， ∴b 2 =a 2 - c 2 =48 ， ∴ 所求椭圆的标准方程为 y 2 64 + x 2 48 =1. （ 2 ） 由已知得 a=2c ， a-c= 3 姨 a ， 解得 a=2 3 姨 ， c= 3 姨 a ， ∴b 2 =a 2 - c 2 =9 ， ∴ 所求椭圆的标准方程为 x 2 12 + y 2 9 =1 或 x 2 9 + y 2 12 =1. 10. 解： 方法一： 设椭圆的长半轴长 、 短半轴长 、 半焦距长分别为 a ， b ， c ， 则焦点为 F 1 （ -c ， 0 ）， F 2 （ c ， 0 ）， M 点的坐标为 c ， 2 3 b b . ， 则 △MF 1 F 2 为直角三角形 ． 在 Rt△MF 1 F 2 中， |F 1 F 2 | 2 +|MF 2 | 2 =|MF 1 | 2 ， 即 4c 2 + 4 9 b 2 = |MF 1 | 2 . 而 |MF 1 |+|MF 2 |= 4c 2 + 4 9 b 2 姨 + 2 3 b=2a ， 整理得 3c 2 =3a 2 -2ab. 又 ∵c 2 =a 2 -b 2 ， ∴3b=2a ， ∴ b 2 a 2 = 4 9 ， ∴e 2 = c 2 a 2 = a 2 -b 2 a 2 =1- b 2 a 2 = 5 9 ， ∴e= 5 姨 3 . 97 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 方法二 ： 设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） ， 则 M c ， 2 3 ! " b ． 代入椭圆方程 ， 得 c 2 a 2 + 4b 2 9b 2 =1 ， ∴ c 2 a 2 = 5 9 ， ∴ c a = 5 姨 3 ， 即 e= 5 姨 3 . 提升练习 11. D 【解析】 椭圆 C 1 ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） 的范围 是 -a≤x≤a ， -b≤y≤b ， 顶点坐标是 （ -a ， 0 ）， （ a ， 0 ）， （ 0 ， -b ）， （ 0 ， b ）， 焦点坐标是 （ -c ， 0 ）， （ c ， 0 ）， 离心率 e= c a ； 椭圆 C 2 ： y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （a>b>0 ） 的范围 是 -a≤y≤a ， -b≤x≤b ， 顶点坐标是 （ -b ， 0 ）， （ b ， 0 ）， （ 0 ， -a ）， （ 0 ， a ）， 焦点坐标是 （ 0 ， -c ）， （ 0 ， c ）， 离心率 e= c a ， 只有离心率相同 ． 故选 D. 12. x 2 20 + y 2 25 =1 【解析】 依题意得椭圆的焦点坐标为 （ 0 ， 5 姨 ）， （ 0 ， - 5 姨 ）， 故 c= 5 姨 . 又 ∵2b=4 5 姨 ， ∴b=2 5 姨 ， a 2 =b 2 +c 2 =25 ， 故所求椭圆方程为 x 2 20 + y 2 25 =1. 13. 0.6 【解析】 设椭圆的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ）， 由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小 值为 a-c ， 最大值为 a+c ， 根据题意可得近火点满足 a-c=3 400+265=3 665 ， 远火点满足 a+c=3 400+11 945=15 345 ， 解得 a=9 505 ， c=5 840 ， ∴ 椭圆的离心率为 e= c a = 5 840 9 505 ≈0.6. 14. 1 2 【解析】 设 F 1 （ -c ， 0 ）， F 2 （ c ， 0 ） （ c>0 ）， 由 题意得 |PF 2 |=|F 1 F 2 | ， 即 （ a-c ） 2 +b 2 姨 =2c. 把 b 2 =a 2 -c 2 代入， 整理得 2 c a ! " 2 + c a -1=0 ， 解得 c a =-1 （舍去） 或 c a = 1 2 . ∴e= c a = 1 2 . * 15. ACD 【解析】 设 |F 1 F 2 |=2c ， ∵|QF 2 |=c ， QF 1 ⊥QF 2 ， ∴|QF 1 |= 3 姨 c. 又 ∵|QF 1 |+|QF 2 |=2a ， ∴2a=c+ 3 姨 c ， ∴ 离心率 e= c a = 2c c+ 3 姨 c = 3 姨 -1>0.7 ， 故 A 正确 . ∵|QF 2 |=c ， F 1 F 2 ⊥QF 2 ， ∴|QF 1 |= 5 姨 c. 又 ∵|QF 1 |+|QF 2 | = 2a ， ∴2a=c+ 5 姨 c ， ∴ 离心率 e= c a = 2c c+ 5 姨 c = 5 姨 -1 2 <0.7 ， 故 B 错误 . ∵|QF 2 |= c 2 ， ∠F 1 F 2 Q= π 3 ， ∴|QF 1 |= （ F 1 F 2 ） 2 + （ QF 2 ） 2 -2F 1 F 2 · QF 2 cos∠F 1 F 2 Q 姨 = 13 姨 2 c. 又 ∵|QF 1 |+|QF 2 |=2a ， ∴2a= c 2 + 13 姨 c 2 ， ∴ 离心率 e= c a = 4c c+ 13 姨 c = 13 姨 -1 2 >0.7 ， 故 C 正确 . 设坐标原点为 O ， 则 OQ⊥QF 2 ， 又 ∵∠F 1 F 2 Q= 3π 8 ， ∴|QF 2 |=ccos 3π 8 ， ∴|QF 1 |= （ F 1 F 2 ） 2 + （ QF 2 ） 2 -2F 1 F 2 · QF 2 cos∠F 1 F 2 Q 姨 =c 1+3sin 2 3π 8 姨 . 又 ∵|QF 1 |+|QF 2 |=2a ， ∴2a=ccos 3π 8 +c 1+3sin 2 3π 8 姨 ， ∴ 离心率 e= c a = 2 cos 3π 8 + 1+3sin 2 3π 8 姨 ， cos 2 3π 8 = 1+cos 3π 4 2 ≈0.15 ， ∴e≈ 2 0.15 姨 + 3.55 姨 > 2 0.16 姨 + 3.61 姨 = 2 2.3 >0.8 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 第 2 课时 点、 直线与椭圆的位置关系 学习手册 变式训练 1 点在椭圆外 【解析】 ∵ 点 （ 3 ， 2 ） 在椭圆 上 ， ∴ 9 m + 4 n =1. 又 ∵m>0 ， n>0 ， ∴ 9 m + 9 n >1 ， 故点 （ -3 ， 3 ） 在椭圆外 . 变式训练 2 ①③④ 【解析】 ① 中， 圆心 （ 0 ， 0 ） 到直 线 x+y- 5 姨 =0 的距离为 d= |0+0- 5 姨 | 1 2 +1 2 姨 = 10 姨 2 ， 圆的半 径为 r= 10 姨 2 ， 直线与圆相切， 故满足题意； ② 中， 联立方程 x 2 9 + y 2 4 =1 ， x+y- 5 姨 =0 0 * * * ) * * * + ， 整理得 13x 2 -18 5 姨 x+ 9=0 ， Δ≠0 ， 故不满足题意； ③ 中， 联立方程 x 2 + y 2 4 =1 ， x+y- 5 姨 =0 0 * * * ) * * * + ， 整理得 5x 2 -2 5 姨 x+ 1=0 ， Δ=0 ， 故满足题意； ④ 中， 联立方程 x 2 4 +y 2 =1 ， x+y- 5 姨 =0 0 * * * ) * * * + ， 整理得 5x 2 -8 5 姨 x+ 98 参 考 答 案 16=0 ， Δ=0 ， 故满足题意 . 满足题意的有 ①③④. 变式训练 3 A 【解析】 由题意得 |PQ|= 2b 2 a ， |FA|=a+c ， ∵|PQ|=|FA| ， ∴ 2b 2 a =a+c ， 即 2b 2 =a 2 +ac ， 即 2c 2 +ac-a 2 =0 ， 即 2e 2 +e-1=0 ， 解得 e= 1 2 ， 故选 A. 随堂练习 1. C 【解析】 由椭圆 x 2 4 + y 2 2 =1 ， 可得 a=2 ， b= 2 姨 ， ∴c= a 2 -b 2 姨 = 2 姨 ， ∴ 椭圆的离心率为 e= c a = 2 姨 2 . 故选 C. 2. C 【解析】 联立 y=x+1 ， x 2 + y 2 2 =1 1 $ $ $ # $ $ $ % ， 消去 y， 得 3x 2 +2x-1= 0 ， ∵Δ=2 2 +12=16＞0 ， ∴ 直线与椭圆相交 . 故选 C. 3. A 【解析】 椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） 的离心率 e= c a = 5 姨 3 ， 椭圆上一点 P 到两焦点距离之和为 12 ， 即 2a=12 ， 可得 a=6 ， c=2 5 姨 ， ∴b= a 2 -c 2 姨 = 36-20 姨 =4 ， 则椭圆短轴长为 2b=8． 故选 A. 4. C 【解析】 ∵ 0 2 25 + （ -2 ） 2 36 <1 ， ∴ 点 （ 0 ， -2 ） 在椭圆 C ： x 2 25 + y 2 36 =1 的内部， 而直线 l 过点 （ 0 ， -2 ）， ∴ 直线 与椭圆相交， 交点个数为 2 ， 故选 C． 5. 6 【解析】 由题意设 F （ 2 ， 0 ）， 过焦点 F 的弦中 垂直于 x 轴的弦最短， 当 x=2 时， y=±3 ， ∴ 最短的弦长 是 6. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由题意 a=2 ， ∴|OP| 的最大值是 2. 故选 B. 2. B 【解析】 由题意得 y= 1 2 x- 3 2 ， 代入椭圆方程得 x 2 -2x+1=0 ， ∴Δ=2 2 -4=0 ， ∴ 直线和椭圆的交点的个数为 1 ， 故选 B. 3. D 【解析】 由方程形式可知， 曲线 x 2 16 + y 2 9 =1 的长 轴长是 8 ， 短轴长是 6 ， 焦距是 2 7 姨 ， 离心率 e= c a = 7 姨 4 ； 将 x 2 16 + y 2 9 =k （ k>0 ） 化简为标准方程为 x 2 16k + y 2 9k =1 （ k>0 ）， 可知该椭圆的长轴长是 8 k 姨 ， 短轴长是 6 k 姨 ， 焦距是 2 7 姨 k ， 离心率 e= c a = 7 姨 4 ， ∴ 离心 率相等 ． 故选 D． 4. A 【解析】 由 a=1 ， 得直线 y=x+1 过点 （ 0 ， 1 ） ． 又 ∵ 点 （ 0 ， 1 ） 在椭圆 C ： x 2 25 + y 2 16 =1 内部， 故 a=1圯 直 线 y=x+a 与椭圆 C ： x 2 25 + y 2 16 =1 有公共点， 而直线 y=x+a 与椭圆 C ： x 2 25 + y 2 16 =1 有公共点不一定 a=1 ， ∴ “ a=1 ” 是 “直线 y=x+a 与椭圆 C ： x 2 25 + y 2 16 =1 有公共点” 的充分不 必要条件 ． 故选 A． 5. A 【解析】 直线 y=kx-k+1=k （ x-1 ） +1 恒过定点 （ 1 ， 1 ）， 又 ∵ 1 2 9 + 1 2 4 = 13 36 <1 ， ∴ 点 （ 1 ， 1 ） 在椭圆内部， 故直线与椭圆相交 . 故选 A． 6. BCD 【解析】 ∵B ， C 的纵坐标相同， 横坐标的绝 对值不同， 根据椭圆的对称性可知点 B ， C 中有且只有 一个点在椭圆 E 上， 则 A ， D 必在椭圆上 . 设椭圆 E 的方程为 x 2 m + y 2 n =1 （ m>0 ， n>0 ）， 将点 A ， D 代入椭圆方程得 4 m =1 ， 3 m + 1 4n =1 1 $ $ $ $ 1 $ $ $ $ % ， 解得 m=4 ， n=1 ， ∴ 椭圆 E 的方程为 x 2 4 +y 2 =1 ， A 错误； 将点 B ， C 分别代入椭圆 E 的方程中， 则点 B 坐标不满足 x 2 4 +y 2 =1 ， 点 C 坐标满 足 x 2 4 +y 2 =1 ， 即点 B 不在椭圆 E 上， 点 C 在椭圆 E 上， B 正确； 椭圆 E 上的点到其焦点的距离的最大值为 a+c= 2+ 3 姨 ， C 正确； 椭圆的一个顶点 （此顶点为上顶点或 下顶点） 和它的两个焦点相连接所得三角形的面积 S= 1 2 ×2c×b= 3 姨 ， D 正确 . 故选 BCD. 7. x 2 4 +y 2 =1 【解析】 ∵ 过焦点垂直于长轴的弦长为 1 ， ∴ 2b 2 a =1. 又 ∵ 焦点与短轴两端点构成等边三角形， ∴2b=a ， 联立解得 a=2 ， b=1 ， ∴ 椭圆方程为 x 2 4 +y 2 =1. 8. x+2y-4=0 【解析 】 设直线与椭圆的两个交点为 A（x 1 ， y 1 ）， B（x 2 ， y 2 ）， ∵A ， B 在椭圆上， ∴ x 2 1 16 + y 2 1 4 =1 ， x 2 2 16 + y 2 2 4 =1 1 $ $ $ $ 1 $ $ $ $ % ， ∴ x 2 1 16 - x 2 2 16 =- y 2 1 4 - y 2 2 4 4 ) ， ∴ y 2 1 -y 2 2 x 2 1 -x 2 2 =- 4 16 ， ∴ y 1 -y 2 x 1 -x 2 · y 1 +y 2 x 1 +x 2 =- 4 16 ， ∴k AB · 1×2 2×2 =- 4 16 ， ∴k AB =- 1 2 ， ∴AB 的方程为 y-1=- 1 2 （ x-2 ）， 即 x+2y-4=0. 9. 解： 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得方程 99 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 组 y=2x+m ， x 2 4 + y 2 2 =1 ! # # # " # # # $ ， 消去 y ， 得 9x 2 +8mx+2m 2 -4=0. ① 方程 ① 的判别式 Δ= （ 8m ） 2 -4×9× （ 2m 2 -4 ） =-8m 2 +144. （ 1 ） 当 Δ＞0 ， 即 -3 2 姨 ＜m＜3 2 姨 时， 方程 ① 有两 个不同的实数根， 可知原方程组有两组不同的实数解， 这时直线 l 与椭圆 C 有两个公共点 ． （ 2 ） 当 Δ=0 ， 即 m=±3 2 姨 时， 方程 ① 有两个相同 的实数解， 可知原方程组有两组相同的实数解， 这时直 线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 ． （ 3 ） 当 Δ＜0 ， 即 m＜-3 2 姨 或 m＞3 2 姨 时， 方程 ① 没有实数解， 可知原方程组没有实数解， 这时直线 l 与 椭圆 C 没有公共点 ． 10. 解： （ 1 ） 由题意可知 c=1 ， b 2 a = 3 2 ! # # # " # # # $ ， 解得 a=2 ， c= 1 ， b= 3 姨 ， ∴ 椭圆的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1. （ 2 ） 设 l 的方程为 y=k （ x-1 ）， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立方程组得 y=k （ x-1 ）， 3x 2 +4y 2 =12 2 ， 可得（ 3+4k 2 ）x 2 -8k 2 x+4k 2 - 12=0 ， 则 x 1 +x 2 = 8k 2 3+4k 2 ， x 1 x 2 = 4k 2 -12 3+4k 2 ， ∴|AB|= 1+k 2 姨 （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 = 12 （ 1+k 2 ） 3+4k 2 ， O 到直线 l 的距离为 |k| 1+k 2 姨 ， ∴△OAB 的面积 S= 1 2 × |k| 1+k 2 姨 × 12 （ 1+k 2 ） 3+4k 2 = 6 2 姨 7 ， 解得 k 2 =1 ， 即直线的斜率为 ±1. 提升练习 11. B 【解析】 圆 C 的方程可整理为 （ x-1 ） 2 + （ y+1 ） 2 = 16 ， ∴ 圆 C 的半径为 4 ， ∴ 2a=8 ， e= c a = 1 2 ! # # # " # # # $ ， 解得 a=4 ， c=2 2 ， ∴b 2 = a 2 -c 2 =12 ， 椭圆的标准方程为 x 2 16 + y 2 12 =1. 故选 B. 12. AD 【解析】 由于直线 y=kx+1 可化为 y-1=k （ x- 0 ）， 恒过点 （ 0 ， 1 ）， 故 A 正确； 方程 x 2 5 + y 2 m =1 表示椭圆的条件为 m>0 且 m≠5 ， 故 B ， C 错误； 若直线与椭圆总有公共点， 则点 （ 0 ， 1 ） 必在椭圆 内或椭圆上， 则 0< 1 m ≤1 且 m≠5 ， 故 m≥1 且 m≠5 ， 故 D 正确 . 故选 AD. 13. BCD 【解析】 ∵a=2b ， 且 a 2 =b 2 +c 2 ， 解得离心率 e= c a = 3 姨 2 ， 故 A 错误； 根据椭圆离心率的性质 “离心率越小椭圆越圆 ”， 故 B 正确； 根据椭圆的定义， |AF 1 |+|AF 2 |=2a ， |BF 1 |+|BF 2 |=2a ， ∴△ABF 2 的周长为 |AB|+|AF 2 |+|BF 2 |=|AF 1 |+|AF 2 |+|BF 1 |+ |BF 2 |=4a ， 故 C 正确； 根据题意 ， A 1 （ -a ， 0 ）， A 2 （a， 0 ）， 设点 P （ x ， y）， 其中 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ， ∴k PA 1 · k PA 2 = y x+a · y x-a = y 2 x 2 -a 2 = b 2 a 2 （ a 2 -x 2 ） x 2 -a 2 =- b 2 a 2 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. * 14. 解： （ 1 ） 由题意可知， 轨迹 C 为椭圆， 设椭圆 的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） . 由椭圆的定义知， 2a=8 ， 故 a 2 =16. ∵ 在 Rt△F 1 MF 2 中， |F 1 F 2 |=2c. 设 |MF 1 |=x ， |MF 2 |=y （ x ， y>0 ）， 又 ∵△F 1 MF 2 的面积为 4 cm 2 ， ∴ x+y=8 ， xy=8 2 ， 故 4c 2 =x 2 + y 2 = （ x+y ） 2 -2xy=48 ， ∴c 2 =12 ， b 2 =a 2 -c 2 =4 ， ∴ 椭圆的标准方程为 x 2 16 + y 2 4 =1. （ 2 ） 方法一： 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， ∵ 弦 AB 的 中点为 N （ 2 ， 1 ）， ∴x 1 +x 2 =4 ， y 1 +y 2 =2 且 x 1 ≠x 2 . 又 ∵A ， B 均在椭圆上， ∴ x 2 1 +4y 2 1 =16 ， x 2 2 +4y 2 2 =16 2 ， 整理得 x 2 1 -x 2 2 =-4 （ y 2 1 -y 2 2 ）， 即 （ x 1 +x 2 ）·（ x 1 -x 2 ） =-4 （ y 1 +y 2 ）·（ y 1 -y 2 ）， ∴ （ x 1 -x 2 ） =-2 （ y 1 -y 2 ） . ∵x 1 ≠x 2 ， ∴k AB = y 1 -y 2 x 1 -x 2 =- 1 2 ， 故直线 AB 的方程为 x+2y-4=0. 联立 x+2y-4=0 ， x 2 +4y 2 -16=0 2 ， 整理得 x 2 -4x=0. 解得 x 1 =0 ， x 2 =4 ， ∴A （ 0 ， 2 ）， B （ 4 ， 0 ）， ∴S △OAB = 1 2 ×2×4=4 ， 即 △OAB 的面积为 4 cm 2 . 方法二： 易知直线的斜率 k 存在， ∴ 可设直线 l 的方程为 y-1=k （ x-2 ）， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立 y=k （ x-2 ） +1 ， x 2 +4y 2 -16=0 2 ， 得 （ 4k 2 +1 ）x 2 -8 （ 2k 2 -k ） x+ 4 （ 2k-1 ） 2 -16=0. ∵ 点 N（2 ， 1 ） 在椭圆的内部， 则必有 Δ>0 ， ∴x 1 +x 2 = 8 （ 2k 2 -k ） 4k 2 +1 ， x 1 x 2 = 4 （ 2k-1 ） 2 -16 4k 2 +1 . 又 ∵ 点 N（2 ， 1 ） 为弦 AB 的中点， ∴x 1 +x 2 =4 ， 故 2 （ 2k 2 -k ） =4k 2 +1 ， 解得 k=- 1 2 ， 100 参 考 答 案 ∴ 直线 l 的方程为 x+2y-4=0 且 x 1 ·x 2 =0. 在方程 x+2y-4=0 中， 令 x=0 ， 得 y=2 ， ∴ 直线 l 与 y 轴交于点 Q（0 ， 2 ）， ∴S △OAB = 1 2 |OQ | · |x 1 -x 2 |= 1 2 ×2× （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 = 1 2 × 2×4=4 ， ∴△OAB 的面积为 4 cm 2 . 15. 解： （ 1 ） 依题意可知， 观测区域边界曲线是以 A ， B 为 焦点的椭圆， 设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） ， 则 2a=40 ， 2c=20 ， a 2 =b 2 +c 2 2 % % % $ % % % & ， 解得 a=20 ， b=10 3 姨 ， ∴ 观测区域边界曲线的方程为 x 2 400 + y 2 300 =1. （ 2 ） 设轮船在观测区域内航行的时间为 t h ， 航线与 区域边界的交点为 C ， D. ∵C （ 20 ， 0 ）， k CD =tan135°=-1 ， ∴ 直线 CD 的方程为 y=-x+20. 联立方程 y=-x+20 ， x 2 400 + y 2 300 =1 2 % % % 1 % % % & ， 整理得 7x 2 -160x+400=0 ， 解得 x 1 =20 ， x 2 = 20 7 ， ∴|CD|= 2 姨 · 20- 20 7 = 120 7 2 姨 ≈24 ， ∴t= 24 8 =3 h ， ∴ 轮船大约在当日上午 10 时离开观 测区域 . 阶段性练习卷 （六） 1. B 【解析】 椭圆的离心率 e= c a = 1 2 ， c 2 =a 2 -b 2 ， 化 简得 3a 2 =4b 2 ， 故选 B. 2. B 【解析】 设 m=1 ， n=-1 ， x 2 +y 2 =1 表示圆， 不一 定为椭圆 . 反之， 若方程表示椭圆， 则 mn<0. 故 “ mn<0 ” 是 “方程 mx 2 -ny 2 =1 表示椭圆” 的必要不充分条件 . 故选 B. 3. A 【解析 】 过椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的焦点 F （ c ， 0 ） 的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦， 最短 弦长是 2b 2 a . 故选 A. 4. C 【解析】 设椭圆 C 的焦距为 2c ， 长轴长为 2a. 根据题意可得地球与太阳的最远距离为 a+c ， 最近距离 为 a-c ， 则 a+c a-c =姿 ， 解得 c a = 姿-1 姿+１ ， 即椭圆 C 的离心 率为 姿-1 姿+1 . 故选 C. 5. D 【解析】 由题意易知椭圆的短半轴长 b=4 ， 故 B 错误； ∵ 截面与底面所成的角为 兹=60° ， ∴ 椭圆的长轴长为 2a= 2×4 cos60° =16 ， 故 A 错误； ∴a=8 ， 又 ∵b=４ ， ∴c= a 2 -b 2 姨 = 64-16 姨 =4 3 姨 ， ∴e= c a = 4 3 姨 8 = 3 姨 2 ， 故 C 错误； 当以椭圆中心为原点 ， 椭圆的长轴所在直线为 x 轴， 短轴所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系时， 椭圆的方程为 x 2 64 + y 2 16 =1 ， 故 D 正确 . 故选 D. 6. A 【解析】 ∵ 过点 F 1 的直线 MF 1 是圆 F 2 的切线， MF 2 =c ， F 1 F 2 =2c ， ∴MF 1 = 3 姨 c. 由椭圆定义可得 MF 1 +MF 2 = 3 姨 c+c=2a ， 可得椭圆 的离心率 e= c a = 2 1+ 3 姨 = 3 姨 -1. 故选 A. 7. BC 【解析】 设 P （ x 0 ， y 0 ）， 由题意可知PF 1 1* ·PF 2 1* <0 ， 即PF 1 1* ·PF 2 1* = （ x 0 + 3 姨 ）（ x 0 - 3 姨 ） +y 2 0 =x 2 0 +y 2 0 -3<0. ∵ 点 P 在椭圆上， ∴y 2 0 =1- x 2 0 4 ， ∴x 2 0 + 1- x 2 0 4 4 , -3<0 ， 解 得 - 2 6 姨 3 <x 0 < 2 6 姨 3 ， 即 x 0 的 取 值 范 围 是 - 2 6 姨 3 ， 2 6 姨 3 4 , . 由 4 3 < 2 6 姨 3 < 5 3 ， ∴-1 ， 4 3 ∈ - 2 6 姨 3 ， 2 6 姨 3 4 , ， 故选 BC. 8. AB 【解析】 由题意有 Δ=4b 2 -4ac≥0 ， 由 b 2 =a 2 -c 2 ， 可得 a 2 -c 2 -ac≥0 ， 故 e 2 +e-1≤0 ， 解得 - 5 姨 -1 2 ≤ e≤ 5 姨 -1 2 ， 而 0<e<1 ， ∴0<e≤ 5 姨 -1 2 . 故选 AB. 9. 6 姨 3 【解析 】 依题意 ， 设椭圆中心在原点 O ， 焦点在 x 轴上， 方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ）， 椭圆的端点 为 A 1 （ -a ， 0 ）， A 2 （ a ， 0 ）， B 1 （ 0 ， -b ）， B 2 （ 0 ， b ） . 于是得 △B 2 A 1 A 2 是等腰三角形 ， ∠A 1 B 2 A 2 =120° ， ∠OA 2 B 2 =30° ， 而 OB 2 ⊥A 1 A 2 ， 则有 b a =tan30°= 3 姨 3 ， 离心率 e= 1- b a 4 , 2 姨 = 6 姨 3 ， ∴ 椭圆的离心率为 6 姨 3 . 10. - 3 4 【解析】 由题意知， A 1 （ -2 ， 0 ）， A 2 （ 2 ， 0 ） . 设 P （ x 0 ， y 0 ）， 则 k 1 · k 2 = y 0 x 0 +2 · y 0 x 0 -2 = y 2 0 x 2 0 -4 . ∵ 点 P 在椭圆 C 上， 即 y 2 0 = 3 4 （ 4-x 2 0 ）， ∴k 1 · k 2 =- 3 4 . 11. ［ 2 ， 2 2 姨 ） 【解析】 由 C ： x 2 2 +y 2 =1 可得 a= x y O A B C D 北 第 15 题答图 101