2.5.1 椭圆的标准方程-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 掌握椭圆的定义， 会用椭圆的定义解 决问题 . 2. 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的 标准方程 . 3. 理解椭圆标准方程的推导过程， 并能 运用标准方程解决相关问题 . 要 点 精 析 要点 1 椭圆的定义及相关的概念 如果 F 1 ， F 2 是平面内的两个定点， a 是 一个常数， 且 2a>｜F 1 F 2 ｜ ， 则平面内满足 ｜PF 1 ｜+ ｜PF 2 ｜=2a 的动点 P 的轨迹称为椭圆， 其中， 两个定点 F 1 ， F 2 称为椭圆的焦点， 两个焦点 之间的距离 ｜F 1 F 2 ｜ 称为椭圆的焦距 . 思考 椭圆定义中， 将 “ 2a>｜F 1 F 2 ｜ ” 改 为 “ 2a<|F 1 F 2 ｜ ” 或 “ 2a=｜F 1 F 2 ｜ ”， 其他条件不 变， 动点 P 的轨迹是什么？ 例 1 平面内， 若点 M 到定点 F 1 （ -1 ， 0 ）， F 2 （ 1 ， 0 ） 的距离之和为 2 ， 则点 M 的轨 迹为 （ ） A. 椭圆 B. 直线 F 1 F 2 C. 线段 F 1 F 2 D. 线段 F 1 F 2 的垂直平分线 解析 ： 由 ｜MF 1 ｜+｜MF 2 ｜=2=｜F 1 F 2 ｜ 知 ， 点 M 的轨迹不是椭圆， 而是线段 F 1 F 2 . 故选 C. 变式训练 1 平面内 ， 若点 M （ x ， y ） 满足关系式 x 2 + （ y+3 ） 2 姨 + x 2 + （ y-3 ） 2 姨 =4 3 姨 ， 则点 M 的轨迹是 （ ） A. 不存在 B. 椭圆 C. 线段 D. 双曲线 要点 2 椭圆的标准方程 思考 （ 1 ） 确定椭圆的标准方程需要 知道哪些量？ （ 2 ） 如何判断椭圆的焦点位置？ 例 2 分别求满足下列条件的椭圆的标 准方程： 2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 第 1课时 求椭圆的标准方程 焦点位置 在 x 轴上 在 y 轴上 标准方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 图形 焦点坐标 （ -c ， 0 ）， （ c ， 0 ） （ 0 ， -c ）， （ 0 ， c ） a ， b ， c 的关系 a 2 =b 2 +c 2 x y O F 1 M F 2 x y O F 1 M F 2 87 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 （ 1 ） 两个焦点的坐标分别为 （ -2 ， 0 ） 和 （ 2 ， 0 ）， 椭圆上的点 P 到两焦点距离之 和等于 4 2 姨 ； （ 2 ） 经 过 点 A （ 3 姨 ， - 2 ） 和 点 B （ -2 3 姨 ， 1 ） . 分析 利用待定系数法求椭圆的标准 方程， 该解法的一般思路为： 先确定焦点 位置， 设出椭圆的标准方程； 如果不确定 焦点位置， 则应分类讨论， 再用待定系数 法求出 a ， b 的值 . 解 ： （ 1 ） 根据题意 ， 设点 P （ x ， y ） ， F 1 （ -2 ， 0 ） ， F 2 （ 2 ， 0 ） ， 则 有 ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜= 4 2 姨 >｜F 1 F 2 ｜=4. 结合椭圆的定义可得， 点 P 的轨迹即是 以 F 1 （ -2 ， 0 ）， F 2 （ 2 ， 0 ） 为焦点， 以 4 2 姨 为长轴的椭圆 ， ∴ 2a=4 2 姨 ， c=2 2 $ $ $ # $ $ $ % ， 因此 b 2 =a 2 - c 2 =4 ， 故点 P 的轨迹方程为 x 2 8 + y 2 4 =1. （ 2 ） 方法一： ① 当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） . 依题意有 （ 3 姨 ） 2 a 2 + （ -2 ） 2 b 2 =1 ， （ -2 3 姨 ） 2 a 2 + 1 b 2 =1 1 $ $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ $ % ， 解得 a 2 =15 ， b 2 =5 5 ， 故所求椭圆的标准方程为 x 2 15 + y 2 5 =1. ② 当焦点在 y 轴上时， 设椭圆的标准方 程为 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） . 依题意有 （ -2 ） 2 a 2 + （ 3 姨 ） 2 b 2 =1 ， 1 a 2 + （ -2 3 姨 ） 2 b 2 =1 2 $ $ $ $ $ $ $ 1 $ $ $ $ $ $ $ % ， 解得 a 2 =5 ， b 2 =15 5 . ∵a>b>0 ， ∴ 方程组无解 . 综上， 所求椭圆的标准方程为 x 2 15 + y 2 5 =1. 方法二： 设所求椭圆的方程为 mx 2 +ny 2 = 1 （ m>0 ， n>0 ， m≠n ）， 依题意有 3m+4n=1 ， 12m+n=1 5 ， 解得 m= 1 15 ， n= 1 5 1 $ $ $ $ $ $ 1 $ $ $ $ $ $ % ， ∴ 所求椭圆的标准方程为 x 2 15 + y 2 5 =1. 反思感悟 若椭圆的焦点位置不确定， 可用以下 两种方法： ① 分焦点在 x 轴上和在 y 轴上 两种情况讨论 . ② 可设椭圆的方程为 mx 2 + ny 2 =1 （ m>0 ， n>0 ， m≠n ）， 由于 m ， n 的 大小不确定， 所以焦点在 x 轴和 y 轴上的 情况都包含 . 变式训练 2 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： （ 1 ） a=10 ， c=6 ； （ 2 ） 经过点 （ 2 ， 3 ）， 且与椭圆 9x 2 +4y 2 = 36 有共同的焦点 . 要点 3 利用椭圆定义求轨迹方程 某动点的轨迹符合椭圆的定义， 则可根据 定义设方程， 求待定系数得到动点的轨迹方程 . 思考 利用定义法求轨迹方程的一般 步骤是什么？ 88 第二章 平面解析几何 学 例 3 如图 2-5-1 ， 圆 C ： （ x+1 ） 2 +y 2 =25 及点 A （ 1 ， 0 ）， Q 为圆上一点， AQ 的 垂直平分线交 CQ 于 M ， 求 点 M 的轨迹方程 . 分析 根据垂直平分线的性质， 利用 椭圆定义法可求出轨迹方程 . 解： 由垂直平分线性质可知 ｜MQ｜=｜MA｜ ， ｜CM｜+｜MA｜=｜CM｜+｜MQ｜=｜CQ｜ ， ∴｜CM｜+｜MA｜=5. ∴M 点的轨迹为椭圆， 其中 2a=5 ， 焦点 为 C （ -1 ， 0 ）， A （ 1 ， 0 ）， ∴a= 5 2 ， c=1 ， ∴b 2 = a 2 -c 2 = 21 4 ， ∴ 所求轨迹方程为 x 2 25 4 + y 2 21 4 =1. 反思感悟 在求动点的轨迹方程时， 要对动点仔 细分析， 当发现动点到两定点的距离之和 为定值且大于两定点之间的距离时， 由椭 圆的定义知其轨迹是椭圆， 这时可根据定 值及两定点的坐标分别求出 a ， c ， 即可写 出其方程， 这种求轨迹方程的方法称为定 义法 . 变式训练 3 已知两圆 C 1 ： （ x-4 ） 2 +y 2 =169 ， C 2 ： （ x+4 ） 2 + y 2 =9 ， 动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相内切 ， 和圆 C 2 相外切， 求动圆圆心的轨迹方程 . 数 学 文 化 例 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面 切割圆锥的方法来研究圆锥曲线， 用垂直于 圆锥轴的平面去截圆锥， 得到的截面是圆； 把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆 . 若用 周长为 72 的矩形 ABCD 截某圆锥得到椭圆 τ ， 且 τ 与矩形 ABCD 的四边相切 . 设椭圆 τ 在平面直角坐标系中的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a> b>0 ）， 下列选项中满足题意的方程为 （ ） A. x 2 81 + y 2 16 =1 B. x 2 16 + y 2 81 =1 C. x 2 100 + y 2 64 =1 D. x 2 64 + y 2 100 =1 分析 在平面图形中求解， 利用圆锥 曲线的来源来理解矩形 ABCD 的四边与椭 圆相切， 得到 a ， b 的关系式 . 解析： 由题意椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a> b>0 ）， 排除 BD. 矩形 ABCD 的四边与椭圆相切， 则矩形 的周长为 2 （ 2a+2b ） =4a+4b=72 ， a+b=18. 在椭圆 x 2 81 + y 2 16 =1 中， a=9 ， b=4 ， a+b= 13 ， 故 A 不满足题意 . 在椭圆 x 2 100 + y 2 64 =1 中， a=10 ， b=8 ， a+ b=18 ， 满足题意 . 故选 C. x y O M Q A C 图 2-5-1 89 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 用坐标法探求有关椭圆的轨迹方程 . 2. 培养学生将实际问题情境抽象为数学 问题模型的能力 . 要 点 精 析 要点 1 与椭圆有关的实际问题应用 例 1 某隧道设计为双向四车道， 车道 总宽 22 m. 要求通行车辆限高 4.5 m ， 隧道 全长 2.5 km ， 隧道的拱线近似地看成半个椭 圆形状 （如图 2-5-2 ） . 若最大拱高 h 为 6 m ， 则隧道设计的拱宽 l 是多少米？ 解： 建立如图 2-5-3 所示的平面直角坐 标系， 则点 P （ 11 ， 4.5 ）， 设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1. 将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程， 得 a= 44 7 姨 7 ， 此时 l =2a= 88 7 姨 7 ≈ 33.26 ， 因此隧道的拱宽 l 约为 33.26 m. 变式训练 1 某海域有 A ， B 两个岛屿， B 岛在 A 岛 正东 40 n mile 处， 经多年观察研究发现 ， 某种鱼群洄游的路线像一个椭圆， 其焦点恰 好是 A ， B 两岛， 曾有渔船在距 A 岛正西 20 n mile 发现过鱼群 . 某日， 研究人员在 A ， B 两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探 测信号 （传播速度相同）， A ， B 两岛收到鱼 群反射信号的时间比为 5 ∶ 3. 你能否确定鱼 群此时分别与 A ， B 两岛的距离？ 要点 2 用坐标法探求有关椭圆的轨迹 方程 求曲线方程的常用方法： （ 1 ） 定义法； （ 2 ） 直接法； （ 3 ） 代入 法 （相关点法） . 思考 探究 （ x+c ） 2 +y 2 姨 =a+ c a x 的几何 特征 . 例 2 动点 M （ x ， y ） 与定点 F （ 4 ， 0 ） 的距离和 M 到定直线 l ： x= 25 4 的距离的比是 常数 4 5 ， 则动点 M 的轨迹方程是 . 第 2课时 求有关椭圆的轨迹方程 4.5 h （单位： m ） l 22 图 2-5-2 4.5 h x/m y O l 22 P 图 2-5-3 90 第二章 平面解析几何 学 解析： ∵ 动点 M （ x ， y ） 与定点 F （ 4 ， 0 ） 的距离和 M 到定直线 l ： x= 25 4 的距离的比是 常数 4 5 ， ∴ （ x-4 ） 2 +y 2 姨 x- 25 4 = 4 5 ， 即 25 ［（ x-4 ） 2 + y 2 ］ =16 x- 25 4 4 # 2 ， 整理可得 9x 2 +25y 2 =225 ， 即 x 2 25 + y 2 9 =1. 反思感悟 这也称为椭圆的第二定义， 即椭圆上 的点到焦点的距离与到相应定直线 （准线） 的距离的比值为常数 （离心率） . 变式训练 2 已知 P 是椭圆 x 2 4 + y 2 8 ＝1 上一动点， O 为 坐标原点， 则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为 . 要点 3 与椭圆有关的最值问题 与椭圆有关的最值问题涉及的知识点有 椭圆的定义、 基本不等式和三点共线的几何 性质 . 思考 基本不等式的内容是什么？ 例 3 设 P 是椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 上一点， M ， N 分别是两圆： （ x+4 ） 2 +y 2 =1 和（ x-4 ） 2 +y 2 =1 上 的点， 则 ｜PM｜+｜PN｜ 的最小值和最大值分别为 （ ） A. 9 ， 12 B. 8 ， 11 C. 8 ， 12 D. 10 ， 12 解析： 如图 2-5-4 ， 由椭圆及圆的方程 可知两圆圆心分别为 A （ -4 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ）， 恰好是椭圆的两个焦点， 由椭圆定义知 ｜PA｜+ ｜PB｜=2a=10. 连接 PA ， PB 分别与两圆相交于 M 1 ， N 1 两点， 此时 ｜PM 1 ｜+｜PN 1 ｜ 最小， 最小值 为 ｜PA｜+｜PB｜-2r=8 ； 连接 PA ， PB 并延长， 分 别 与 两 圆 相 交 于 M 2 ， N 2 两 点 ， 此 时 ｜PM 2 ｜+｜PN 2 ｜ 最大， 最大值为 ｜PA ｜+｜PB ｜+2r=12. 故选 C. 反思感悟 此题的难点从条件看， 动点 P 在椭圆 上， M ， N 分别是两圆上的动点， 背景是圆 外的点到圆上的点的距离最值问题 . 方法是 以静制动， 发现两圆圆心是椭圆的焦点是 关键， 考查了椭圆的定义， 动点 P 和两个 圆心的距离和是定值 . 变式训练 3 已知椭圆 x 2 8 +y 2 =1 的左、 右焦点分别为 F 1 ， F 2 ， 点 P 在椭圆上， 则 ｜PF 1 ｜ · ｜PF 2 ｜ 的最大 值是 （ ） A. 2 2 姨 B. 8 C. 10 D. 4 2 姨 数 学 文 化 例 如图 2-5-5 所示， 椭圆有这样的光 学性质： 从椭圆的一个焦点出发的光线， 经 x y O -5 5 A B P M 1 M 2 N 1 N 2 图 2-5-4 91 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 椭圆反射后， 反射光线经过椭圆的另一个焦 点 . 根据椭圆的光学性质解决下题： 已知曲 线 C 的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ， 其左、 右焦点分别 是 F 1 ， F 2 ， 直线 l 与椭圆 C 切于点 P ， 且 ｜PF 1 ｜= 3 2 ， 过点 P 且与直线 l 垂直的直线 l′ 与 F 1 F 2 交于点 M ， 则 ｜F 1 M｜ ∶ ｜F 2 M｜= . 解析： 由椭圆的光学性质得到直线 l′ 平 分 ∠F 1 PF 2 ， 由角平分线定理知 ｜F 1 M｜ ｜F 2 M｜ = ｜PF 1 ｜ ｜PF 2 ｜ ， 由椭圆定义知 ｜PF 1 ｜= 3 2 ， ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜=4 ， ∴｜PF 2 ｜= 5 2 ， 故 ｜F 1 M｜ ∶ ｜F 2 M｜=3 ∶ 5. 切线 法线 M l F 1 P l′ F 2 图 2-5-5 92 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 圆 C ： （ x-2 ） 2 +y 2 =r （ r>0 ） 的圆心坐标为 （ 2 ， 0 ）， 半 径为 r ， 两圆的圆心距为 3 ， 当两圆外切时， r+2=3 ， 得 r=1 ， 当两圆内切时， |r-2|=3 ， 得 r=5． 故选 AD. * 13. ABC 【解析】 ∵xy≠0 ， ∴ 曲线 C 与坐标轴无公 共点， 故 A 正确； 用 （ -x ， -y ） 替换 （ x ， y ）， 得 1 （ -x ） 2 + 1 （ -y ） 2 =1 ， ∴ 1 x 2 + 1 y 2 =1 ， ∴ 曲线 C 关于原点对称， 故 B 正确； ∵ 1 y 2 =1- 1 x 2 >0 ， ∴x 2 >1 ， 即 x 的取值范围是 （-∞ ， -1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ）， 故 C 正确； 联立 1 x 2 + 1 y 2 =1 和 x 2 +y 2 =2 ， 可得 x 2 y 2 =2 ， 根据 2=x 2 + y 2 ≥2|xy |圯 |xy |≤1 可知 ， 方程组无解 ， D 错误 ． 故选 ABC． 14. x 2 4 +y 2 =1 【解析】 设动点 P （ x ， y ）， ∵ 点 P 满足O &' P =m O &' A +n O &' B ， 其中 m ， n∈R ， ∴ （ x ， y ） = （ 2m+2n ， m-n ）， ∴x=2m+2n ， y=m-n ， ∴m= x+2y 4 ， n= x-2y 4 ， ∴m 2 +n 2 = 1 2 ， ∴ x+2y 4 4 * 2 + x-2y 4 4 , 2 = 1 2 ， 即 x 2 4 +y 2 =1． 15. 解： （ 1 ） 设 P （ x ， y ） ， 则由题意 A （ 3 ， 0 ） ， B （ 12 ， 0 ）， 根据题意可知 |PA| |PB| = 1 2 ， ∴2|PA|=|PB| ， ∴2 （ x-3 ） 2 +y 2 姨 = （ x-12 ） 2 +y 2 姨 ， x 2 +y 2 =36 ， ∴ 曲线 E 的方程为 x 2 +y 2 =36. （ 2 ） 如图， ∵C 在该海上平台正南 2 11 姨 n mile 处， ∴C （ 0 ， -2 11 姨 ） . ∵ 轮船向北偏东 30° 方向航行， ∴ 轮船航行直线 CD 的倾斜角为 60° ， 即直线 CD 的斜率为 3 姨 ， ∴ 轮船航行直线 CD 的方程为 y+2 11 姨 = 3 姨 （ x-0 ）， 即 3 姨 x-y-2 11 姨 =0. ∵ 曲线 E 的方程为 x 2 +y 2 =36 ， 圆心 O （ 0 ， 0 ）， 半径为 r=6 ， ∴ 圆心 O 到直线 CD 的距离 d= 2 11 姨 1 2 + （ 3 姨 ） 2 姨 = 11 姨 <6=r ， ∴ 如果轮船不改变航向， 轮 船一定会进入安全预警区 . ∴ 直线 CD 被圆 O 截得的弦长 l=2 36-11 姨 =10. ∵ 轮船的速度 v 为每小时 10 n mile ， ∴ 它在安全预 警区中的航行时间 t= l v = 10 10 =1 h. 答： 如果轮船不改变航向， 轮船一定会进入安全预 警区， 它在安全预警区中的航行时间为 1 小时 ． 2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 第 1 课时 求椭圆的标准方程 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 x 2 + （ y+3 ） 2 姨 + x 2 + （ y-3 ） 2 姨 =4 3 姨 表示平面内点 M （ x ， y ） 到点 （ 0 ， -3 ）， （ 0 ， 3 ） 的距离 之和为 4 3 姨 ， 而 3- （ -3 ） =6<4 3 姨 ， ∴ 点 M 的轨迹是 椭圆 . 故选 B. 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵ 椭圆的长半轴为 a=10 ， 半焦距 长为 c=6 ， ∴b= a 2 -c 2 姨 =8 ， ∴ 椭圆方程为 x 2 100 + y 2 64 =1 或 x 2 64 + y 2 100 =1. （ 2 ） 将椭圆 9x 2 +4y 2 =36 化为标准方程， 得 x 2 4 + y 2 9 = 1 ， 焦点为 （ 0 ， ± 5 姨 ）， ∴ 设经过点 （ 2 ， 3 ） 且与椭圆 9x 2 +4y 2 =36 有共同焦点的椭圆方程为 x 2 b 2 + y 2 a 2 =1 （ a>b>0 ）， 由题意， 得 a 2 -b 2 =5 ， 4 b 2 + 9 a 2 =1 1 0 0 0 / 0 0 0 1 ， 解得 a 2 =15 ， b 2 =10 ， ∴ 所求椭圆 方程为 x 2 10 + y 2 15 =1. 变式训练 3 解： 如图所示， 设动圆圆心为 M （ x ， y ）， 半径为 r. 由题意动圆 M 内切于圆 C 1 ， ∴|MC 1 |=13-r. 圆 M 外切于圆 C 2 ， ∴|MC 2 |=3+r. ∴|MC 1 |+|MC 2 |=16>|C 1 C 2 |=8 ， ∴ 动圆圆心 M 的轨迹是以 C 1 ， C 2 为焦点的椭圆， 且 2a=16 ， 2c=8 ， b 2 =a 2 -c 2 =48 ， 故所求轨迹方程为 x 2 64 + y 2 48 =1. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） 姨 【解析】 由椭圆定义即 可判断 . 2. C 【解析】 由题意可知 k-4>0 ， 10-k>0 ， k-4>10-k 1 0 0 0 / 0 0 0 1 ， ∴7<k<10 ， 故选 C. 3. B 【解析】 由题意知 25-m>0 ， m+9>0 ， m+9>25-m 1 0 0 0 / 0 0 0 1 ， 解得 8<m<25 ， x y O C D 第 15 题答图 x y O C 2 C 1 M 变式训练 3 答图 92 参 考 答 案 故选 B. 4. ①② 【解析 】 只需保证 a=2 2 姨 ， b=2 ， c=2 即 可， 故选 ①②. 5. x 2 16 + y 2 8 =1 【解析】 根据椭圆的焦点在 x 轴上， 可 设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ）， 根据 △ABF 2 的周长为 16 得 4a=16 ， 则 a=4. ∵a= 2 姨 c， ∴c=2 2 姨 ， 则 b 2 =a 2 - c 2 =16-8=8 ， 故椭圆的标准方程为 x 2 16 + y 2 8 =1. 6． x 2 4 +y 2 =1 【解析】 椭圆 C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） 的 面积等于 2π ， ∴πab=2π ， ∴ab=2. ∵ 椭圆 C 的焦距为 2 3 姨 ， ∴2c=2 3 姨 ， ∵ ab=2 ， 2c=2 3 姨 ， a 2 +b 2 =c 2 2 % % % % $ % % % % & ， ∴a=2 ， b=1 ， ∴ 椭圆方程为 x 2 4 +y 2 =1. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 A 中方程为圆的方程， B ， D 中方程不 是椭圆的方程 ． 故选 C. 2. C 【解析】 若椭圆的焦点在 x 轴上， 则 c=1 ， b= 2 ， 得 a 2 =5 ， 此时椭圆的方程是 x 2 5 + y 2 4 =1 ； 若焦点在 y 轴上， 则 a=2 ， c=1 ， 得 b 2 =3 ， 此时椭圆的方程是 x 2 3 + y 2 4 = 1. 故选 C. 3. D 【解析 】 由题得 x 2 k + y 2 4 =1 ， ∵ 方程 4x 2 +ky 2 =4k 表示焦点在 y 轴上的椭圆， ∴0<k<4. 故选 D. 4. B 【解析】 由题意， 方程 x 2 m+1 + y 2 2m =1 表示焦点 在 x 轴上的椭圆， 则满足 m+1>2m>0 ， 解得 0<m<1. 当 0<m<1 则必有 m>0 ， 但若 m>0 ， 则不一定有 0< m<1 成立， ∴ “ m>0 ” 是 “方程 x 2 m+1 + y 2 2m =1 表示焦点在 x 轴上 的椭圆” 的必要非充分条件 ． 故选 B． 5. B 【解析】 对椭圆方程 x 2 +5y 2 =25 变形得， x 2 25 + y 2 5 = 1 ， 易得 a=5. 由椭圆的定义可得， |PF 1 |+|PF 2 |=2×5=10 ， 又 ∵|PF 1 |=7 ， ∴|PF 2 |=10-7=3. 故选 B. 6. A 【解析】 由于椭圆与矩形 ABCD 的四边都相切， ∴ 矩形两边长分别为 2a ， 2b ， 由矩形面积为 48 ， 得 2a× 2b=48. 由于 a<b ， 故 B ， D 不符合条件， 不正确； a=4 ， b=3 ， 满足题意， 故 A 正确； a=2 ， b= 3 姨 ， 不满足题意， 故 C 不正确 . 故选 A. 7. 5 【解析】 ∵ 圆 x 2 +y 2 -6x+8=0 ， 化为标准方程可得 （ x-3 ） 2 +y 2 =1 ， 故其圆心为 （ 3 ， 0 ）， ∴ 椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a> b>0 ） 的一个焦点为 F （ 3 ， 0 ）， 得 c=3. 又 ∵b=4 ， ∴a= b 2 +c 2 姨 =5. 8. x 2 4 + y 2 3 =1 【解析 】 动点 P （ x ， y ） 的坐标满足 （ x+1 ） 2 +y 2 姨 + （ x-1 ） 2 +y 2 姨 =4 ， ∴ 动点 P （ x ， y ） 到 A （ -1 ， 0 ） 和 B （ 1 ， 0 ） 的距离之 和等于 4>|AB|=2 ， ∴ 动点 P 的轨迹是以点 A ， B 为焦点的椭圆， 设其 方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ）， 由题得 c=1 ， 2a=4 ， ∴a=2 ， b 2 =4-1=3. ∴ 动点 P 的轨迹方程是 x 2 4 + y 2 3 =1. 9. 解： ∵△ABC 的周长为 10 ， ∴|AB|+|AC|+|BC|=10 ， 其中 |BC|=4 ， 即有 |AB|+|AC|=6>4 ， ∴A 点的轨迹为椭圆， 且除去直线 BC 与椭圆的两个 交点 . ∵2a=6 ， 2c=4 ， ∴a=3 ， c=2 ， b 2 =5 ， ∴A 点的轨迹方程为 x 2 9 + y 2 5 =1 （ y≠0 ） . 10. 解： （ 1 ） 方法一： ∵ 椭圆的焦点在 y 轴上， ∴ 可设它的标准方程为 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （a>b>0 ） ． 由椭圆的定义知 2a= （ 4-0 ） 2 + （ 3 2 姨 +2 ） 2 姨 + （ 4-0 ） 2 + （ 3 2 姨 -2 ） 2 姨 = 12 ， ∴a=6. 又 ∵c=2 ， ∴b= a 2 -c 2 姨 =4 2 姨 ， ∴ 椭圆的标准方程为 y 2 36 + x 2 32 =1. 方法二： ∵ 椭圆的焦点在 y 轴上， ∴ 可设其标准方程为 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （a>b>0 ） ． 由题意得 18 a 2 + 16 b 2 =1 ， a 2 =b 2 +4 2 % % % 4 % % % & ， 解得 a 2 =36 ， b 2 =32 2 . ∴ 椭圆的标准方程为 y 2 36 + x 2 32 =1. （ 2 ） 方法一： 若椭圆的焦点在 x 轴上， 设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） ． 由已知条件得 4 a 2 + 2 b 2 =1 ， 1 a 2 + 14 4b 2 =1 1 % % % % $ % % % % & ， 解得 1 a 2 = 1 8 ， 1 b 2 = 1 4 1 % % % % $ % % % % & . ∴ 所求椭圆的标准方程为 x 2 8 + y 2 4 =1. 同理可得， 焦点在 y 轴上的椭圆不存在． 93 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 综上， 所求椭圆的标准方程为 x 2 8 + y 2 4 =1. 方法二： 设椭圆的一般方程为 Ax 2 +By 2 =1 （A＞0 ， B＞ 0 ， A≠B）． 将两点 （ 2 ， - 2 姨 ）， -1 ， 14 姨 2 2 $ 代入， 得 4A+2B=1 ， A+ 14 4 B=1 1 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解得 A= 1 8 ， B= 1 4 1 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴ 所求椭圆的标准方程为 x 2 8 + y 2 4 =1. 提升练习 11. BD 【解析】 当 m=-1 时， y 2 -x 2 =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线， 故 A 错误； 当 m=1 时， x 2 +y 2 =1 表示圆心为原点， 半径为 1 的 圆， 故 B 正确； 当 m>0 时， y 2 +mx 2 =1 表示的曲线不确定， 故 C 错误； 当 0<m<1 时， 方程为 x 2 1 m +y 2 =1 ， 由于 1 m >1 ， 故表 示焦点在 x 轴上的椭圆， 故 D 正确 . 故选 BD. 12. ABD 【解析】 由已知条件可得 a 2 1 -b 2 1 =a 2 2 -b 2 2 ， 可 得 a 2 1 -a 2 2 =b 2 1 -b 2 2 ， 而 a 1 >a 2 ， 则 b 1 >b 2 ， 可知两椭圆无公共 点， 故 A 正确； 又 ∵a 2 1 -a 2 2 =b 2 1 -b 2 2 ， 故 B 正确； 由 a 2 1 -b 2 1 =a 2 2 -b 2 2 ， 可得 a 2 1 +b 2 2 =b 2 1 +a 2 2 ， 则 a 1 b 2 与 a 2 b 1 的 大小关系不确定， a 1 a 2 > b 1 b 2 不正确， 故 C 错误； ∵a 1 >b 1 >0 ， a 2 >b 2 >0 ， ∴a 1 +a 2 >b 1 +b 2 >0 ， 而又由 （ a 1 + a 2 ）（ a 1 -a 2 ） = （ b 1 +b 2 ）（ b 1 -b 2 ）， 可得 a 1 -a 2 <b 1 -b 2 ， 故 D 正确 ． 故选 ABD． 13. ABD 【解析】 由椭圆的方程可知， 椭圆的焦点 在 x 轴上， 故 A 正确； ∵c= 16-9 姨 = 7 姨 ， 而 △PF 1 F 2 的周长为 2a+2c=8+ 2 7 姨 ， 故 B 正确； ∵P 不在 x 轴上， ∴a-c<|PF 1 |<a+c ， ∴|PF 1 | 的取值范围 为 （ 4- 7 姨 ， 4+ 7 姨 ）， 故 C 不正确； △PF 1 F 2 面积的最大值为 1 2 · 2c · b=3 7 姨 ， 故 D 正 确 . 故选 ABD. 14. 解： 在 △PF 1 F 2 中， ∠F 1 PF 2 =α ， |F 1 F 2 | 2 =|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 -2|PF 1 ||PF 2 |cosα ， 即 36=|PF 1 | 2 +|PF 2 | 2 -2|PF 1 ||PF 2 |cosα. 由椭圆的定义得 |PF 1 |+|PF 2 |=4 3 姨 ， 即 36= （ |PF 1 |+|PF 2 | ） 2 -2|PF 1 ||PF 2 |cosα-2|PF 1 ||PF 2 | ， 36=48-2|PF 1 ||PF 2 |cosα-2|PF 1 ||PF 2 | ， |PF 1 ||PF 2 |cosα+|PF 1 ||PF 2 |=6. ① S △F 1 PF 2 = 1 2 |PF 1 ||PF 2 |sinα= 3 姨 ， ② 由 ①② 得 sinα 1+cosα =tan α 2 = 3 姨 3 ， 即 ∠F 1 PF 2 =α=60°. 15． 解： 设圆 M 的半径为 r， ∵ 圆过点 F′ （ 1 ， 0 ）， 且与圆 F 相内切， ∴MF′=r ， ∴MF=2 2 姨 -MF′ ， 即 MF+MF′=2 2 姨 ， ∴ 点 M 的轨迹 E 是以 F ， F′ 为焦点的椭圆， 其中 2a=2 2 姨 ， c=1 ， ∴a= 2 姨 ， b=1 ， ∴ 圆心 M 的 轨迹 E 的方程为 x 2 2 +y 2 =1. 第 2 课时 求有关椭圆的轨迹方程 学习手册 变式训练 1 解： 以 AB 的中点为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 . 设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） 且 c= a 2 -b 2 姨 ， ∵ 焦点 A 的正西方向椭圆上的点距原点的距离为 a ， ∴a-c=20. 又 ∵|AB|=2c=40 ， 则 c=20 ， a=40 ， 故 b=20 3 姨 ， ∴ 鱼群的运动轨迹方程是 x 2 1 600 + y 2 1 200 =1. 由于 A ， B 两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5 ∶ 3 ， 因此设此时距 A ， B 两岛的距离分别为 5k ， 3k ， 由椭圆的定义可知 5k+3k=2×40=80 ， ∴k=10 ， 即鱼群分别距 A ， B 两岛的距离为 50 n mile 和 30 n mile． 变式训练 2 x 2 + y 2 2 =1 【解析】 设 Q （ x ， y ）， P （ x 0 ， y 0 ）， 由点 Q 是线段 OP 的中点知 x 0 =2x ， y 0 =2y. ∵ x 0 2 4 + y 0 2 8 =1 ， ∴ （ 2x ） 2 4 + （ 2y ） 2 8 =1 ， 即 x 2 + y 2 2 =1. 变式训练 3 B 【解析】 根据椭圆的方程知 a 2 =8 ， ∵|PF 1 | · |PF 2 |≤ |PF 1 |+|PF 2 | 2 2 - 2 = 2a 2 2 - 2 =a 2 =8 ， 当且仅当 |PF 1 |=|PF 2 | 时取等号 . 故选 B． 随堂练习 1. C 【解析】 由题意可知 AC+AB=20-8=12>BC ， 则 点 A 的轨迹是焦点在 y 轴上， 且焦点为 B （ 0 ， -4 ）， C （ 0 ， 4 ） 的椭圆， 且点 A 不在 y 轴上， a=6 ， c=4 ， b 2 =6 2 -4 2 = 20 ， 即 x 2 20 + y 2 36 =1 （ x≠0 ）， 故选 C. 2. D 【解析】 要使动点 M 的轨迹是椭圆， 则 P （ m ， 0 ） 必须在圆 x 2 +y 2 =9 内， 即 m 2 <9 ， 故选 D. 3. 25 【解析】 由题知， |PF 1 |+|PF 2 |=10 ， 由基本不等式得 |PF 1 | · |PF 2 |≤ |PF 1 |+|PF 2 | 2 2 - 2 =25 ， 94 参 考 答 案 当且仅当 |PF 1 |=|PF 2 |=5 时等号成立， ∴|PF 1 | · |PF 2 | 的最大值为 25. 4. x 2 16 + y 2 12 =1 【解析】 设 d 是点 M 到直线 x=8 的距 离 ， 根据题意 ， 所求轨迹就是集合 P= M |MF| d = 1 2 2 " ， 由此得 （ x-2 ） 2 +y 2 姨 |8-x| = 1 2 ． 将上式两边平方并化简， 得 3x 2 +4y 2 =48 ， 即点 M 的轨迹方程为 x 2 16 + y 2 12 =1． 5. 8 2 姨 【解析】 如图， 由题可知， 光线经过 B 点 后， 会到达 N 点， 然后再回到 A 点， 根据椭圆的定义 |PA|+|PB|=|NA|+|NB|=2a. ∵ 椭圆的方程为 x 2 8 + y 2 6 =1 ， ∴a=2 2 姨 ， 小球经过的路程为 |PA|+|PB|+|NA|+|NB|=4a=8 2 姨 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 设 PM 的中点坐标为 （ x ， y ）， 则 P （ x ， 2y ）， ∵ 点 P 在椭圆上， 故 x 2 9 + 4y 2 5 =1 ， 故选 B. 2. C 【解析】 当 a=2 时， F 1 （ -2 ， 0 ）， F 2 （ 2 ， 0 ）， |PF 1 | +|PF 2 |=4 ， 则点 P 的轨迹是线段； 当 a≠2 时， |PF 1 |+|PF 2 |=a+ 4 a >4 ， 这时点 P 的轨迹是 椭圆 ． 故选 C． 3. A 【解析】 由题意知|PF 1 |+|PF 2 |=2|F 1 F 2 |=4 ， 而 F 1 （ 0 ， -1 ）， F 2 （ 0 ， 1 ）， ∴2a=4 ， c=1 ， 且焦点在 y 轴上， ∴ 点 P 的轨迹方程为 x 2 3 + y 2 4 =1. 故选 A. 4. B 【解析】 设动点 P 的坐标为 （ x ， y ）， 则由条件 得 y+ 2 姨 x · y- 2 姨 x =-2 ， 即 y 2 2 +x 2 =1 （ x≠0 ） ． ∴ 动点 P 的轨迹方程为 y 2 2 +x 2 =1 （ x≠0 ） ． 故选 B． 5. AD 【解析】 若方程 x 2 m-3 + y 2 11-m =1 表示一个圆， 则 1 m-3 = 1 11-m >0 ， 解得 m=7 ， 故 A 正确； 当 m<3 时， m-3<0 ， 11-m>0 ， B 不正确； 当 3<m<7 时， 0<m-3<4<11-m ， 方程表示一个焦点 在 y 轴上的椭圆， C 不正确， D 正确 . 故选 AD. 6. 100 【解析】 ∵a=10 ， 20=|PF 1 |+|PF 2 |≥2 |PF 1 | · |PF 2 | 姨 ， ∴|PF 1 | · |PF 2 |≤100 ， 当且仅当 |PF 1 |=|PF 2 | 时取等号， ∴|PF 1 | · |PF 2 | 的最大值为 100． 7. x 2 100 + y 2 64 =1 （ x≠±10 ） 【解析】 设边 AB ， AC 的 中点分别为 D ， E ， 故 |CD|+|BE|=30 ， ∴|CG|+|BG|=20>12=|BC| ， ∴ 点 G 的轨迹为椭圆， 且 其两个焦点分别为点 B 和 C ， ∴ 轨迹方程为 x 2 100 + y 2 64 =1 且 x≠±10. 8. 解： 设 P （ x ， y ）， 由题意得 （ x-2 ） 2 +y 2 姨 |x-4| = 2 姨 2 ， 整理得 （ x-2 ） 2 +y 2 = 1 2 （ x-4 ） 2 ， 化简得 x 2 8 + y 2 4 =1 ， 即曲线 C 的方程为 x 2 8 + y 2 4 =1. 9. 解： 设 M （ x ， y ）， ∵ 线段 MB 的垂直平分线 l 交 MA 于点 P ， ∴|PB|=|PM| ， 即有 |PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|AM|=4>|AB| ， ∴ 点 P 的轨 迹是以 A ， B 为焦点， 焦距为 2 的椭圆 . 若以 AB 所在直线为 x 轴 ， AB 的垂直平分线为 y 轴， 则 2a=4 ， 2c=2 ， b 2 =a 2 -c 2 =3 ， 故动点 P 的轨迹方程 为 x 2 4 + y 2 3 =1． 10. 解： （ 1 ） ∵ 曲线 C ： x 2 a + y 2 4 =1 ， 当 a∈ （ 4 ， +∞ ） 时， 曲线为椭圆， ∴c 2 =a-4 ， ∴ 曲线 C 的焦点坐标为 （ - a -4 姨 ， 0 ）， （ a-4 姨 ， 0 ） . （ 2 ） 曲线 C ： x 2 a + y 2 4 =1 ， 当 a=4 时， 曲线为圆； 当 a>4 时， 曲线为焦点在 x 轴上的椭圆； 当 0<a<4 时， 曲线为焦点在 y 轴上的椭圆 . 提升练习 11. ACD 【解析】 ∵|AF|=5>|BF|=3 ， ∴ 仅有 4 种情况 符合条件 . ① 当 A （ a ， 0 ）， B （ -a ， 0 ） 时， 此时 |AF|=a+c=5 ， |BF|= a-c=3 ， 解得 a=4 ， c=1 ， b= 4 2 -1 姨 = 15 姨 ， 椭圆的方程 为 x 2 16 + y 2 15 =1 ， 故 D 正确； ② 当 A （ a ， 0 ）， B （ 0 ， b ） 或 （ 0 ， -b ） 时， 此时 |AF|= a+c=5 ， |BF|=a=3 ， 解得 a=3 ， c=2 ， b= 3 2 -2 2 姨 = 5 姨 ， 椭 圆的方程为 x 2 9 + y 2 5 =1 ， 故 A 正确； ③ 当 A（0 ， b ） 时， B （ -a， 0 ）， 此时 |AF|=a=5 ， |BF|= a-c=3 ， 解得 a=5 ， c=2 ， b= 5 2 -2 2 姨 = 21 姨 ， 椭圆的方程 为 x 2 25 + y 2 21 =1 ， 故 C 正确 . 故选 ACD. 切线 法线 P A B 60° N 第 5 题答图 95 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 12. A 【解析 】 椭圆 E ： x 2 4 + y 2 3 =1 的顶点坐标为 （ -2 ， 0 ）， （ 2 ， 0 ）， （ 0 ， 3 姨 ）， （ 0 ， - 3 姨 ）， 圆 C ： （ x-m ） 2 +y 2 =1 ， 表示以 （ m ， 0 ） 为圆心， 1 为半径的圆 . 当 m=-3 时， 椭圆 E 与圆 C 只有一个交点 （ -2 ， 0 ）； 当 -3<m<-1 时， 圆 C 向右平移， 与椭圆 E 有两个 交点； 当 m=-1 时， 圆 C 与椭圆 E 只有 1 个交点； 当 -1<m<1 时， 圆 C 在椭圆 E 内部， 此时椭圆 E 与 圆 C 无公共点 . ∴ 当 m 在闭区间 ［ -3 ， 3 ］ 从小到大连续变化时， 椭圆 E 和圆 C 公共点个数的变化规律是 1 ， 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 1． 故选 A． 13. A 【解析】 如图， 根据椭 圆的定义 ， 得 |PF 1 |+|PF 2 |=2a=10 ， ∴7 =10 - （ 1 +2 ） ≤|PM |+|PN |≤10 + （ 1+2 ） =13 ， 即所求取值范围为 ［ 7 ， 13 ］ ． 故选 A. 14. 解： （ 1 ） 以下底 AB 所在直线为 x 轴， 等腰梯 形所在的对称轴为 y 轴， 建立平面直角坐标系， 可得椭圆的方程为 y 2 4r 2 + x 2 r 2 =1 ， r=1 ， CD= 3 2 ， ∴x C = 3 4 代入椭圆方程得 y C = 7 姨 2 ， ∴CB= 1- 3 4 4 $ 2 + 7 姨 2 2 & 2 姨 = 29 姨 4 ， ∴ 梯形 ABCD 的周长为 7+ 29 姨 2 . （ 2 ） 由题意得 x C =x ， ∴y C =2r 1- x 2 r 2 姨 ， S= 1 2 （ 2r+ 2x ） 2r 1- x 2 r 2 姨 =2 （ r+x ） r 2 -x 2 姨 ， 定义域为 x∈ （ 0 ， r ） . 15. 解： 设 F 2 为椭圆的右焦点， 5x 2 +9y 2 =45 可化为 x 2 9 + y 2 5 =1. 由已知， 得 |PF 1 |+|PF 2 |=2a=6 ， ∴|PF 1 |=6-|PF 2 | ， ∴|PA|+|PF 1 |=6- （ |PF 2 |-|PA| ） ． ① 当 |PA|>|PF 2 | 时， 有 0<|PA|-|PF 2 |≤|AF 2 | ， 等号成立 时 ， |PA|+|PF 1 | 最大 ， 此时点 P 是射线 AF 2 与椭圆的交 点， |PA|+|PF 1 | 的最大值是 6+ 2 姨 ． ② 当|PA|<|PF 2 |时， 有 0<|PF 2 |-|PA|≤|AF 2 | ， 等号成立 时 ， |PA|+|PF 1 |最小 ， 此时点 P 是射线 F 2 A 与椭圆的交 点， |PA|+|PF 1 |的最小值是 6- 2 姨 ． 综上， 可知 |PA|+|PF 1 |的最大值为 6+ 2 姨 ， 最小值 为 6- 2 姨 ． 2.5.2 椭圆的几何性质 第 1 课时 研究椭圆几何性质的思想方法 学习手册 变式训练 1 解： ∵ 椭圆的标准方程为 x 2 4 + y 2 9 =1 ， ∴a 2 = 9 ， b 2 =4 ， 焦点在 y 轴上 ． ∴ 顶点坐标为 （ 0 ， ±3 ）， （ ±2 ， 0 ）， 焦点坐标为 （ 0 ， ± 5 姨 ） ． 长轴长、 短轴长、 焦距、 离心率分别为 6 ， 4 ， 2 5 姨 ， 5 姨 3 . 变式训练 2 解： （ 1 ） 设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ） 或 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （a>b>0 ） ． 由已知得 2a=6 ， ∴a=3. 又 ∵e= c a = 2 3 ， ∴c=2 ， ∴b 2 =a 2 -c 2 =9-4=5. ∴ 椭圆的标准方程为 x 2 9 + y 2 5 =1 或 y 2 9 + x 2 5 =1. （ 2 ） 由题意知焦点在 x 轴上， 故可设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a>b>0 ）， 且两焦点 为 F′ （ -3 ， 0 ）， F （ 3 ， 0 ） ． 如图所示， △A 1 FA 2 为等腰 直角三角形， OF 为斜边 A 1 A 2 的中线， 且 |OF|=c ， |A 1 A 2 |=2b ， ∴c= b=3 ， ∴a 2 =b 2 +c 2 =18 ， ∴ 所求椭圆的标准方程为 x 2 18 + y 2 9 =1. 变式训练 3 4 5 【解析】 根据题意得 2b=6 ， a+c=9 或 a- c=9． 当 a+c=9 时， 由 a 2 -b 2 =c 2 ， b=3 ， 解得 a=5 ， c=4 ， 故 e= c a = 4 5 . 当 a-c=9 时 ， 由 a 2 -b 2 =c 2 ， b=3 ， 解得 a=5 ， c=-4 （舍去） . 随堂练习 1. C 【解析】 3x 2 +y 2 =1 ， 即 x 2 1 3 +y 2 =1 ， 表示焦点在 y 轴上的椭圆， a 2 =1 ， ∴a=1 ， 长轴长为 2a=2. 故选 C. 2. A 【解析】 ∵ 椭圆的右焦点到短轴端点距离为 2 ， 到左顶点的距离为 3 ， ∴a=2 ， a+c=3 ， 即 a=2 ， c=1 ， ∴b= a 2 -c 2 姨 = 3 姨 . ∵ 椭圆的焦点在 x 轴上， ∴ 椭圆的标准方程是 x 2 4 + y 2 3 =1. 故选 A. x y O M N P F 1 F 2 第 13 题答图 x y O F A 2 F′ A 1 变式训练 2 答图 96