2.3.4 圆与圆的位置关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解圆与圆的位置关系的种类 . 2. 掌握圆与圆的位置关系的代数判断方 法与几何判断方法， 能够利用上述方法判断 两圆的位置关系 . 3. 体会根据圆的对称性灵活处理问题的 方法和它的优越性 . 要 点 精 析 要点 1 圆与圆位置关系的判定 1. 几何法： 若两圆的半径分别为 r 1 ， r 2 ， 两圆的圆心距为 d ， 则两圆的位置关系的判 断方法如下： 2. 代数法 ： 设两圆的一般方程为 C 1 ： x 2 +y 2 +D 1 x+E 1 y+F 1 =0 （ D 2 1 +E 2 1 -4F 1 >0 ）， C 2 ： x 2 +y 2 +D 2 x+E 2 y+F 2 =0 （ D 2 2 +E 2 2 -4F 2 >0 ）， 联立方程 x 2 +y 2 +D 1 x+E 1 y+F 1 =0 ， x 2 +y 2 +D 2 x+E 2 y+F 2 =0 0 ， 则方程组解的个数与两圆的位置关系 如下： 思考 将两个相交的非同心圆的方程 x 2 +y 2 +D i x+E i y+F i ＝0 （ i＝1 ， 2 ） 相减， 可得一 直线方程， 这个直线方程具有什么样的特 殊性呢？ 例 1 已知圆 C 1 ： x 2 +y 2 -2ax-2y+a 2 -15＝ 0 ， 圆 C 2 ： x 2 +y 2 -4ax-2y+4a 2 ＝0 （ a＞0 ） . 试求 a 为何值时， 两圆 C 1 ， C 2 的位置关系为： （ 1 ） 相切 ； （ 2 ） 相交 ； （ 3 ） 外离 ； （ 4 ） 内含 . 解： 圆 C 1 ， C 2 的方程经配方后可得 C 1 ： （ x-a ） 2 + （ y-1 ） 2 ＝16 ， C 2 ： （ x-2a ） 2 + （ y-1 ） 2 ＝1 ， ∴ 圆心 C 1 （ a ， 1 ）， C 2 （ 2a ， 1 ）， 半径 r 1 ＝ 4 ， r 2 ＝1 ， ∴|C 1 C 2 |＝ （ a-2a ） 2 + （ 1-1 ） 2 姨 ＝a. （ 1 ） 当 |C 1 C 2 |＝r 1 +r 2 ＝5 ， 即 a＝5 时， 两圆外 切； 当 |C 1 C 2 |＝r 1 -r 2 ＝3 ， 即 a＝3 时， 两圆内切 . （ 2 ） 当 3＜|C 1 C 2 |＜5 ， 即 3＜a＜5 时， 两圆 相交 . （ 3 ） 当 |C 1 C 2 |＞5 ， 即 a＞5 时， 两圆外离 . （ 4 ） 当 |C 1 C 2 |＜3 ， 即 a＜3 时， 两圆内含 . 变式训练 1 已知圆 C 1 ： x 2 +y 2 -2x+4y+4＝0 和圆 C 2 ： 4x 2 +4y 2 -16x+8y+19＝0 ， 则这两个圆的公切线 的条数为 （ ） A. 1 或 3 B. 4 C. 0 D. 2 2.3.4 圆与圆的位置关系 位置关系 图示 d 与 r 1 ， r 2 的关系 外离 d>r 1 +r 2 外切 d=r 1 +r 2 相交 ｜r 1 -r 2 ｜<d<r 1 +r 2 内切 d=｜r 1 -r 2 ｜ 内含 d<｜r 1 -r 2 ｜ r 1 d r 2 r 1 r 2 r 1 r 2 d r 1 r 2 d r 1 r 2 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点 的个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 78 第二章 平面解析几何 学 要点 2 两圆的公共弦问题 1. 求两圆公共弦长的方法 （ 1 ） 联立两圆方程求出交点坐标， 再用 距离公式求解 . （ 2 ） 先求出两圆公共弦所在的直线方 程， 再利用半径长、 弦心距和弦长的一半构 成的直角三角形求解 . 2. 过两圆的交点的圆的方程 已知圆 C 1 ： x 2 +y 2 +D 1 x+E 1 y+F 1 ＝0 与圆 C 2 ： x 2 +y 2 +D 2 x+E 2 y+F 2 ＝0 相交， 则过两圆交点的 圆的方程可设为 x 2 +y 2 +D 1 x+E 1 y+F 1 +λ （ x 2 +y 2 + D 2 x+E 2 y+F 2 ） ＝0 （ λ≠-1 ） . 例 2 已知两圆 x 2 +y 2 -2x+10y-24＝0 和 x 2 +y 2 +2x+2y-8＝0. （ 1 ） 判断两圆的位置关系； （ 2 ） 求公共弦所在的直线方程； （ 3 ） 求公共弦的长度 . 解： （ 1 ） 将两圆方程配方化为标准方 程， 则 C 1 ：（ x-1 ） 2 + （ y+5 ） 2 ＝50 ， C 2 ：（ x+1 ） 2 + （ y+ 1 ） 2 ＝10 ， ∴ 圆 C 1 的圆心坐标为 （ 1 ， -5 ）， 半 径为 r 1 ＝5 2 姨 ， 圆 C 2 的圆心坐标为 （ -1 ， -1 ）， 半径为 r 2 ＝ 10 姨 . ∴|C 1 C 2 |＝2 5 姨 ， r 1 +r 2 ＝5 2 姨 + 10 姨 ， |r 1 - r 2 |＝|5 2 姨 - 10 姨 ｜ ， ∴|r 1 -r 2 |<|C 1 C 2 |<r 1 +r 2 ， ∴ 两 圆相交 . （ 2 ） 将两圆方程相减， 得公共弦所在的 直线方程为 x-2y+4＝0. （ 3 ） 方法一 ： 由 （ 2 ） 知圆 C 1 的圆心 （ 1 ， -5 ） 到直线 x-2y+4 ＝0 的距离为 d ＝ ｜1-2× （ -5 ） +4 ｜ 1 2 + （ -2 ） 2 姨 =3 5 姨 ， ∴ 公共弦长为 l＝ 2 r 2 1 -d 2 姨 =2 50-45 姨 =2 5 姨 . 方法二： 设两圆相交于点 A ， B ， 则 A ， B 两点满足方程组 x-2y+4=0 ， x 2 +y 2 +2x+2y-8=0 0 ， 解得 x=-4 ， y= 0 0 或 x=0 ， y=2 0 ， ∴ |AB |＝ （ -4-0 ） 2 + （ 0-2 ） 2 姨 ＝ 2 5 姨 . 即公共弦长为 2 5 姨 . 变式训练 2 圆 C 1 ： x 2 +y 2 ＝1 与圆 C 2 ： x 2 +y 2 -2x-2y+1＝ 0 的公共弦所在的直线被圆 C 3 ： （ x-1 ） 2 + （ y-1 ） 2 ＝ 25 4 所截得的弦长为 . 要点 3 两圆相切 处理两圆相切问题的步骤 （ 1 ） 定性， 即必须准确把握是内切还是 外切， 若只是告诉相切， 则必须分两圆内切 还是外切两种情况讨论 . （ 2 ） 转化思想， 即将两圆相切的问题转 化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对 值 （内切时） 或两圆半径之和 （外切时） . 例 3 与圆 x 2 +y 2 =1 和 （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 =16 都相切的一条直线的方程为 . 分析 本题以两个已知圆为背景， 通 过圆的方程可以确定两个圆的位置关系是 相外切， 因而公共切线有三条 . 但题目只要 求写出满足条件的其中一条即可， 所以利 用几何直观， 可以迅速作答 . 也可以利用待 定系数法建立方程求解 . 解析： 方法一： 几何直观法 . 根据圆心 和半径关系可知， x=-1 既是圆 x 2 +y 2 =1 的切 线， 也是圆 （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 =16 的切线， 故 x=-1 为所求 . 79 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 方法二： 几何直观法 . 两圆圆心距为 5 ， 圆心的连线方程为 y= 4 3 x ， 代入 x 2 +y 2 =1 ， 求 得交点坐标为 3 5 ， 4 5 5 " ， - 3 5 ， - 4 5 5 " ， 故 两个圆的公共点为 3 5 ， 4 5 5 " ， 从而公切线 可取过点 3 5 ， 4 5 5 " ， 且与两个圆心的连线 垂直的直线， 故 y=- 3 4 x+ 5 4 为所求 . 方法三： 待定系数法， 上面两个方法已 经求出了两圆的一条外公切线和一条内公切 线， 设另一条外公切线 l 的斜率为 k. 由两个圆心的连线方程 y = 4 3 x 与 x =-1 联立 ， 可求两条外公切线的交点为 -1 ， - 4 3 5 " ， 则 l 的方程为 y=kx+k- 4 3 ， 圆 心 O （ 0 ， 0 ） 到 l 的距离为 1 ， 即 k- 4 3 1-k 2 姨 =1 ， 解得 k= 7 24 ， 故 y= 7 24 x- 25 24 为所求 . 变式训练 3 已知以 C （ 4 ， -3 ） 为圆心的圆与圆 O ： x 2 +y 2 ＝1 相切， 求圆 C 的方程 . 数 学 文 化 例 太极图被称为 “中华第一图 ” . 从孔庙大成殿梁柱， 到楼观台、 三茅宫标 记物 ； 从道袍 、 卦摊 、 中医 、 气功到武 术……太极图无不跃居其上 . 这种广为人知 的太极图 ， 其形状如阴阳两鱼互抱在一 起 ， 因而被称为 “阴阳鱼太极图 ” . 在某 个太极图图案中 ， 阴影部分可表示为 A= （ x ， y ） x 2 + （ y-1 ） 2 ≤1 或 x 2 +y 2 ≤4 ， x 2 + （ y+1 ） 2 ≥1 ， x≤ ≤ ( ( ( ' ( ( ( ) 0 ≤ ( ( ( ' ( ( ( ) 0 ( ( ( + ( ( ( , . 设 点 （ x ， y ） ∈A ， 则 z=3x+4y 的最大值与最小 值之和为 （ ） A. -1 B. 19 C. 1 D. 20 分析 首先画出集合 A 所表示的区域， 结合图形， 平移直线 z=3x+4y 可得到， 当 直线与阴影部分相切时取得最值， 利用点 到直线的距离公式即可求得 . 解析： 画出 A= （ x ， y ） x 2 + （ y-1 ） 2 ≤1 或 x 2 +y 2 ≤4 ， x 2 + （ y+1 ） 2 ≥1 ， x≤ ≤ ( ( ( ' ( ( ( ) 0 ≤ ( ( ( ' ( ( ( ) 0 ( ( ( + ( ( ( , 表示 的区域， 如图 2-3-4. 由 z=3x+4y ， 得 y=- 3 4 x+ z 4 ， 当直线 y=- 3 4 x+ z 4 与圆 x 2 + （ y-1 ） 2 =1 相切时， 如图， 此时 z 的值最大， 此时圆心 （ 0 ， 1 ）到直线 3x+4y-z=0 的距离为 1 ， ∴ ｜4-z｜ 3 2 +4 2 姨 =1 ， 解得 z=9 或 z=-1 （舍）， ∴z max =9. 当直线 y=- 3 4 x+ z 4 与圆 x 2 +y 2 =4 相切时， 如图， 此时 z 的值最小 . 由圆心（ 0 ， 0 ）到直线 3x+4y-z=0 的距离 为 2 ， 得 ｜-z｜ 3 2 +4 2 姨 =2 ， 解得 z=10 （舍） 或 z= -10 ， ∴z min =-10 ， ∴z =3x +4y 的最 大 值与最小值之和为 9+ （ -10 ） =-1 ， 故选 A. x y O 1 2 -2 -1 1 -1 2 -2 图 2-3-4 80 参 考 答 案 ∵ y x = y-0 x-0 表示圆上的点 P （ x ， y ） 与坐标原点 O （ 0 ， 0 ） 连线的斜率， 结合图形可知， 当直线 OP 与圆相切时， 斜率取得 最值 . 设切线为 y=kx ， 即 kx-y=0 ， 圆心 M （ 2 ， 3 ） 到切线 kx-y=0 的距离 d= |2k-3| 1+k 2 姨 =r=1 ， 整理可得 3k 2 -12k+8=0 ， 解得 k 1 = 6-2 3 姨 3 ， k 2 = 6+2 3 姨 3 ， ∴ y x 的取值范围为 6-2 3 姨 3 ， 6+2 3 姨 3 3 # . * 15. 解： （ 1 ） 由题可知， 直线 AB 斜率显然存在， 设为 k ， 则直线 AB 的方程为 y=kx+1. ∵O 点到直线 AB 的距离 d 1 = 1 k 2 +1 姨 ， ∴ AB 2 2 % 2 + 1 k 2 +1 姨 2 % 2 =4 ， ∴AB=2 4k 2 +3 k 2 +1 姨 . 由 2 4k 2 +3 k 2 +1 姨 = 3 7 姨 2 ， 得 k 2 =15. ∵ 直线 AB 与直线 CD 互相垂直， 则直线 CD 的方程 为 y=- 1 k x+1 ， ∴M 点到直线 CD 的距离 d 2 = - 2 k +1-1 1+ - 1 k 2 % 2 姨 ， ∴ CD 2 2 % 2 =1- - 2 k +1-1 1+ - 1 k 2 % 2 姨 姨 ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) * * * * * * * * + 2 ， CD=2 1- 4 k 2 +1 姨 =2 1- 4 15+1 姨 = 3 姨 . （ 2 ） 直线 AB 的斜率为 2 ， 则直线 AB 的方程为 2x- y+1=0 ， ∴ 点 O 到直线 AB 的距离为 5 姨 5 . 点 M 到直线 AB 的距离为 d= 4 5 姨 5 ， ∴AB=2 4- 1 5 姨 = 2 95 姨 5 ， ∴S △ABM = 1 2 AB · d= 4 5 19 姨 . （ 3 ） 当直线 AB 的斜率不存在时， △ABE 的面积 S= 1 2 ×4×2=4 ； 当直线 AB 的斜率存在时， 设为 k ， 则直线 AB ： y= kx+1 ， k≠0 ， 直线 CD ： y=- 1 k x+1. ∵ 直线 CD 与圆 M 相交 ， ∴ - 2 k +1-1 1+ - 1 k 2 % 2 姨 <1 ， 解得 k 2 >3 ， ∴k∈ （ -∞ ， - 3 姨 ） ∪ （ 3 姨 ， +∞ ） ． ∵ AB 2 2 % 2 + 1 k 2 +1 姨 2 % 2 =4 ， ∴AB=2 4k 2 +3 k 2 +1 姨 . ∵ 点 E 为 CD 的中点， ∴EM⊥CD ， ∴EM∥AB ， ∴ 点 E 到直线 AB 的距离即点 M 到直线 AB 的距离 d= |2k+1-1| 1+k 2 姨 = |2k| 1+k 2 姨 ， ∴△ABE 的面积 S= 1 2 AB · d=2 （ 4k 2 +3 ） k 2 （1+k 2 ） 2 姨 . 令 t=k 2 +1>4 ， 则 S=2 4t 2 -5t+1 t 2 姨 =2 4- 5 t + 1 t 2 % 2 姨 . ∵t>4 ， ∴0< 1 t < 1 4 ， ∴S∈ 3 5 姨 2 ， 2 % 4 . 综上， △ABE 面积的取值范围是 3 5 姨 2 ， ， 4 2 . 2.3.4 圆与圆的位置关系 学习手册 变式训练 1 D 【解析 】 对两个圆的方程配方得圆 C 1 ： （ x-1 ） 2 + （ y+2 ） 2 =1 及圆 C 2 ： （ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 = 1 4 ， 则圆心距 d=|C 1 C 2 |= 1 2 +1 2 姨 = 2 姨 ， 1- 1 2 < 2 姨 <1+ 1 2 ， 故两个圆 相交， 则这两个圆的公切线有 2 条 . 故选 D. 变式训练 2 23 姨 【解析】 由题意将两圆的方程相减， 可得圆 C 1 和圆 C 2 公共弦所在的直线 l 的方程为 x+y-1= 0. 圆 C 3 的圆心坐标为 （ 1 ， 1 ）， 其到直线 l 的距离为 d= |1+1-1| 1 2 +1 2 姨 = 2 姨 2 . 设圆 C 3 的半径为 r ， 由条件知， r 2 -d 2 = 25 4 - 1 2 = 23 4 ， ∴ 弦长为 2× 23 姨 2 = 23 姨 . 变式训练 3 解 ： 设圆 C 的半径为 r ， 圆心距为 d= （ 4-0 ） 2 + （ -3-0 ） 2 姨 =5 ， 当圆 C 与圆 O 外切时， r+1=5 ， r=4 ； 当圆 C 与圆 O 内切时， r-1=5 ， r=6. ∴ 圆 C 的方程为 （ x-4 ） 2 + （ y+3 ） 2 =16 或 （ x-4 ） 2 + （ y+ 3 ） 2 =36. 随堂练习 1. AB 【解析】 根据直线与圆位置关系的确定， 有 一个公共点时相切， 有两个公共点时相交 ． 相离时无公 共点 ． 故选 AB． 2. C 【解析 】 由题知 ， 两圆圆心分别为 （ 0 ， 0 ）， （ 3 ， 4 ）， 半径 r 1 =1 ， r 2 =4 ， 圆心距 d= （ 3-0 ） 2 + （ 4-0 ） 2 姨 = 5 ， ∴d=r 1 +r 2 ， 即两圆外切 . 故选 C. 3. 3 【解析】 C 1 （ 1 ， 2 ）， r 1 =2 ； C 2 （ -2 ， -2 ）， r 2 =3 ， |C 1 C 2 |=5 ， r 1 +r 2 =5 ， 因此两圆外切 ．∴ 公切线有 3 条 ． 4. 1 【解析】 将两圆的方程相减， 得相交弦所在的 83 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 直线方程为 y= 1 a ， 圆心 （ 0 ， 0 ） 到直线的距离为 d= 1 a = 2 2 - （ 3 姨 ） 2 姨 =1 ， ∴a=1. 5. 1 【解析】 O （ 0 ， 0 ）， C （ 3 ， 0 ）， 两圆半径均为 1 ， ∵|OC|= 3 2 +0 2 姨 =3 ， ∴|PQ| 的最小值为 3-1-1=1. 6. 解： 易得圆 C 1 ： （ x-m ） 2 + （ y+2 ） 2 =9 ， 圆 C 2 ： （ x+1 ） 2 + （ y-m ） 2 =4. （ 1 ） 如果圆 C 1 与圆 C 2 外切， 则 （ m+1 ） 2 + （ m+2 ） 2 姨 = 3+2 ， ∴m 2 +3m-10=0 ， 解得 m=2 或 m=-5. （ 2 ） 如果圆 C 1 与圆 C 2 内含， 则 （ m+1 ） 2 + （ m+2 ） 2 姨 < 3-2 ， ∴m 2 +3m+2<0 ， 解得 -2<m<-1. 练习手册 效果评价 1． A 【解析】 圆 O 1 的圆心为 （ 0 ， 0 ）， 半径为 1 ， 圆 O 2 的圆心为 （ 3 ， -4 ）， 半径为 4 ， ∴ 两圆圆心距为 （ 0-3 ） 2 + （ 0+4 ） 2 姨 =5 ， 恰好等于它们的半径之和， ∴ 两个圆外切 . 故选 A. 2． D 【解析】 圆 M ： （ x-a ） 2 +y 2 =4 （ a>0 ） 的圆心为 M （ a ， 0 ）， 半径为 2 ， 圆 N ： x 2 + （ y-1 ） 2 =1 的圆心为 （ 0 ， 1 ）， 半径为 1. 由题意知 a 2 +1 姨 =2+1 ， 且 a>0 ， 解得 a=2 2 姨 ， 则圆心 M （ 2 2 姨 ， 0 ） 到直线 x-y- 2 姨 =0 的距离 d= |2 2 姨 -0- 2 姨 | 2 姨 =1 ， ∴ 直线 x-y- 2 姨 =0 被圆 M 截得的线段的长度为 2 4-1 姨 =2 3 姨 . 故选 D. 3. D 【解析】 由题意可得圆 C 1 的圆心为 （ 0 ， -m ）， 半径为 2 姨 ， 圆 C 2 的圆心为 （ m ， 0 ）， 半径为 2 2 姨 ， ∵ 两圆恰有两条公切线， ∴ 两圆相交， ∴ 2 姨 <|C 1 C 2 | <3 2 姨 . ∵|C 1 C 2 |= （ 0-m ） 2 + （ -m-0 ） 2 姨 = 2 姨 |m| ， ∴ 2 姨 < 2 姨 |m|<3 2 姨 ， 解得 -3<m<-1 或 1<m<3. 故选 D. 4． C 【解析 】 如图所示 ， 连接 OO 1 ， 记 AB 与 OO 1 的交点为 C ， 在 Rt△OO 1 A 中， |OA|= 5 姨 ， |O 1 A|=2 5 姨 ， ∴|OO 1 |=5 ， ∴|AC|= 5 姨 ×2 5 姨 5 =2 ， ∴|AB|=4． 故选 C. 5． CD 【解析 】 由圆 x 2 +y 2 -2x+2y-2=0 和圆 x 2 +y 2 - 2ax-2ay+2a 2 -9=0 ， 两式相减， 可得公共弦所在直线的方程为 （ 2a-2 ） x+ （ 2a+2 ） y+7-2a 2 =0. ∵ 两圆的公共弦长为 3 7 姨 2 ， 且圆 x 2 +y 2 -2x+2y-2=0 的圆心为 （ 1 ， -1 ）， 半径为 2 ， 设圆心（ 1 ， -1 ）到直线（ 2a-2 ） x+ （ 2a+2 ） y+7-2a 2 =0 的 距离 d ， 可得 d= r 2 - 3 7 姨 4 4 $ 2 姨 = 1 4 . 又 由 圆 心 （ 1 ， -1 ） 到 直 线 的 距 离 为 d = |2a-2-2a-2+7-2a 2 | 8a 2 +8 姨 ， 即 |2a-2-2a-2+7-2a 2 | 8a 2 +8 姨 = 1 4 ， 解得 a=±1 或 a=± 34 姨 4 . 故选 CD. 6． BCD 【解析】 由 （ 3+m ） x+4y-3+3m=0 ， 得 3x+4y- 3+m （ x+3 ） =0 ， 联立 x+3=0 ， 3x+4y-3=0 0 ， 解得 x=-3 ， y=3 0 ， ∴ 直线 （ 3+m ） x+4y-3+3m=0 （ m∈R ） 恒过定点 （ -3 ， 3 ）， 故 A 错误； ∵ 圆心 （ 0 ， 0 ） 到直线 l ： x-y+ 2 姨 =0 的距离等于 1 ， ∴ 直线与圆相交， 而圆的半径为 2 ， 故到直线 l 的距离为 1 的两条直线中， 一条与圆相 切， 一条与圆相交， 因此圆上有三个点到直线 l ： x-y+ 2 姨 =0 的距离等 于 1 ， 故 B 正确； 两圆有三条公切线， 则两圆外切， 曲线 C 1 ： x 2 +y 2 + 2x=0 化为标准式 （ x+1 ） 2 +y 2 =1 ， 曲线 C 2 ： x 2 +y 2 -4x-8y+m=0 化为标准式 （ x-2 ） 2 + （ y- 4 ） 2 =20-m>0 ， 圆心距为 （ 2+1 ） 2 +4 2 姨 =5=1+ 20-m 姨 ， 解得 m=4 ， 故 C 正确； 设点 P 的坐标为 （ m ， n ）， ∴ m 4 + n 2 =1 ， 以 OP 为直 径的圆的方程为 x 2 +y 2 -mx-ny=0 ， 两圆的方程作差得直线 AB 的方程为 mx+ny=1 ， 消 去 n 得 m x- y 2 4 2 +2y-1=0 ， 令 x- y 2 =0 ， 2y-1=0 ， 解得 x= 1 4 ， y= 1 2 ， 故直线 AB 经过定点 1 4 ， 1 2 4 2 ， 故 D 正确 ． 故选 BCD． 7． 0≤k≤ 4 3 【解析】 由 x 2 +y 2 -8x+15=0 可得 （ x-4 ） 2 + y 2 =1 ， O O 1 A B C 第 4 题答图 84 参 考 答 案 因此圆 C 的圆心为 C （ 4 ， 0 ）， 半径为 1. 若直线 y=kx-2 上至少存在一点， 使得以该点为圆 心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点， 只需点 C （ 4 ， 0 ） 到直线 y=kx-2 的距离 d= |4k-2| 1+k 2 姨 ≤ 1+1=2 ， 即 （ 2k-1 ） 2 ≤1+k 2 ， ∴3k 2 -4k≤0 ， 解得 0≤k≤ 4 3 ， ∴k 的取值范围是 0≤k≤ 4 3 . 8． 3 【解析】 由平面几何性质知， 两相交圆圆心的 连线与两圆的公共弦垂直， 且经过弦的中点， 则 3+1 1-m =-1 ， 解得 m=5. ∵ （ 1 ， 3 ） 和 （ 5 ， -1 ） 的中点为 （ 3 ， 1 ） 在直线 x- y+c=0 上， ∴3-1+c=0 ， 解得 c=-2 ， ∴m+c=3． 9． 解： （ 1 ） 当 m=1 时， 圆 C 1 的标准方程为 （ x-1 ） 2 + （ y+2 ） 2 =9 ， 则 C 1 （ 1 ， -2 ）， 半径 r 1 =3 ， 圆 C 2 的方程为 （ x+1 ） 2 +y 2 =1 ， 则 C 2 （ -1 ， 0 ）， 半径 r 2 =1 ， ∴ 两圆的圆心距 d= （ 1+1 ） 2 + （ -2-0 ） 2 姨 =2 2 姨 . ∵r 1 +r 2 =4 ， r 1 -r 2 =2 ， ∴r 1 -r 2 <d<r 1 +r 2 ， 故圆 C 1 和圆 C 2 相交 ． （ 2 ） 不存在 ． 理由如下： 圆 C 1 的方程可化为 （ x-m ） 2 + （ y+2 ） 2 =9 ， 则 C 1 （ m ， -2 ）， 半径 r 1 =3 ， 而 C 2 （ -1 ， 0 ）， 半径 r 2 =1． 假设存在实数 m ， 使得圆 C 1 和圆 C 2 内含， 则圆心距 d= （ m+1 ） 2 + （ -2-0 ） 2 姨 <3-1 ， 即 （ m+1 ） 2 <3 ， 此不等式无解 ． 故不存在实数 m ， 使得圆 C 1 和圆 C 2 内含 ． 10． 解： （ 1 ） 圆 C 1 的方程可化为 （ x+2 ） 2 + （ y-2 ） 2 =13 ， 圆 C 2 的方程可化为 （ x-4 ） 2 + （ y+2 ） 2 =13 ， 因此两圆心分别为 C 1 （ -2 ， 2 ）， C 2 （ 4 ， -2 ）， 两圆的半径 r 1 =r 2 = 13 姨 ， 圆心距 |C 1 C 2 |= （ -2-4 ） 2 + （ 2+2 ） 2 姨 =2 13 姨 =r 1 +r 2 ， ∴ 两 圆外切 ． 由 x 2 +y 2 +4x-4y-5=0 ， x 2 +y 2 -8x+4y+7=0 0 ， 两式相减得 3x-2y-3=0. 易知直线 C 1 C 2 经过切点 ， 且 C 1 C 2 的方程为 y-2= - 2 3 （x+2 ）， 即 2x+3y-2=0 ， 由 2x+3y-2=0 ， 3x-2y-3=0 0 ， 解得 x=1 ， y=0 0 ， ∴ 切点坐标为 （ 1 ， 0 ） ． （ 2 ） 与两圆切于点 M（1 ， 0 ） 的圆的圆心必在已知 两圆的圆心连线 C 1 C 2 ： 2x+3y-2=0 上 . 设圆心为 P （ a ， b）， 则 2a+3b-2=0 ， （ a-1 ） 2 +b 2 = （ a-2 ） 2 + （ b-3 ） 2 0 ， 解得 a=-4 ， b= 10 3 3 & & & % & & & ' ， ∴r 2 =|PM| 2 = 325 9 ， 故所求圆的方程为（ x+4 ） 2 + y- 10 3 3 ) 2 = 325 9 ． 提升练习 11. A 【解析】 由圆 C 1 ： x 2 +y 2 -kx+2y=0 ， 圆 C 2 ： x 2 + y 2 +ky-2=0 ， 得圆 C 1 与圆 C 2 的公共弦所在直线方程为 k （ x+y ） - 2y-2=0 ， 求得定点 P （ 1 ， -1 ） . ∵P （ 1 ， -1 ） 在直线 mx-ny-2=0 上， m+n=2 ， 即 n= 2-m ， ∴mn= （ 2-m ） m=- （ m-1 ） 2 +1 ， ∴mn 的取值范围是 （ -∞ ， 1 ］ . 故选 A. * 12. A 【解析】 令 y= 2-x 2 姨 ， 则 x 2 +y 2 =2 （ y≥0 ）， ∴ f （ x）≤2 有解化为 （x-a） 2 + （y-a-4 ） 2 ≤2 有解， 则问题转化为半圆 x 2 +y 2 =2 （y≥0 ） 与圆 （x-a） 2 + （y- a-4 ） 2 =2 有交点 . ∵ 圆 （x-a） 2 + （y-a-4 ） 2 =2 的圆心在直线 y=x+4 上 ， 如图， ∴ 圆心距 a 2 + （ a+4 ） 2 姨 ≤ 2 姨 + 2 姨 ， 即 a 2 +4a+4≤ 0 ， 即 （a+2 ） 2 ≤0 ， 解得 a=-2. 故选 A. * 13. B 【解析】 根据题意， 建立如图所示的平面直 角坐标系 . 设 BC=2r ， 则 AC=4r ， AB=6r ， 根据坐标系可得 C （ 0 ， 0 ）， Q 1 （ -2r ， 0 ）， O （ -r ， 0 ）， O 2 （ r ， 0 ）， 设 O 3 （ -a ， t ）， O 4 （ b ， v ）， 则 （ 2r+a ） 2 - （ 2r-a ） 2 =t 2 ， 得 t=2 2ar 姨 ， ∴O 3 （ -a ， 2 2ar 姨 ） . 由圆 O 与圆 O 3 内切， 得 （ -a+r ） 2 + （ 2 2ar 姨 ） 2 姨 =3r- a ， 解得 a= 2 3 r． 同理 （ r+b ） 2 - （ r-b ） 2 =v 2 ， 得 v=2 br 姨 ， 由圆 O 与圆 O 4 内切， 得 （ b+r ） 2 + （ 2 2br 姨 ） 2 姨 =3r-b ， 解得 b= 2 3 r ， 于是阿基米德 “皮匠刀定理” 得证 ． S 阴 影 = 1 2 π ·（ 3r ） 2 - 1 2 π ·（ 2r ） 2 - 1 2 πr 2 -2 · π · 2r 3 3 , 2 = x y O 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 y=x+4 M x y O A B CO 1 O 2 O 3 O 4 第 12 题答图 第 13 题答图 85 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 10πr 2 9 ， ∴ S 阴影 S 大半圆 = 10πr 2 9 9 2 πr 2 = 20 81 . 故选 B． 14. （ 2 2 姨 ， 4 ） 【解析】 连接 ON ， 由O O# M + O 1 O1 N =0 知四边形 ONO 1 M 为平行四边形， 故 |ON|=|MO 1 |=r=1 ， ∴ 圆 O 1 的方程为 （ x-a ） 2 +y 2 =1. ∵ON∥MO 1 ， ∴ON∥AM. 又 ∵O 为 AB 的中点， ∴ON 为 △ABM 的中位线， 故 |AM |= 2|ON|=2 ， 可得 |AO 1 |=3 ， 故点 A 在以 O 1 为圆心， 3 为半 径的圆上， 该圆的方程为 （ x-a ） 2 +y 2 =9 ， 故圆 （ x-a ） 2 +y 2 = 9 与圆 O ： x 2 +y 2 =1 在第一象限有交点， 当圆 （ x-a ） 2 +y 2 =9 与圆 O ： x 2 +y 2 =1 相交时， 2<a<4. 由 （ x-a ） 2 +y 2 =9 ， x 2 +y 2 =1 1 ， 解得 x= a 2 -8 2a ， ∴ a 2 -8 2a >0 ， 解得 a>2 2 姨 ， 故 a 的取值范围为 （ 2 2 姨 ， 4 ） . * 15. 解： （ 1 ） 设以 MC 1 为直径的圆的圆心为 C 3 ， 则 C 3 -1 ， 3 2 2 + ， 半径为 r= 1 2 C 1 M= 5 2 ， 则圆 C 3 的方程为 （ x+1 ） 2 + y- 3 2 2 + 2 = 25 4 . ∵AB 是圆 C 1 与圆 C 3 的相交弦， ∴AB 的方程为 ［（ x+3 ） 2 +y 2 ］ - （ x+1 ） 2 + y- 3 2 2 + 2 2 - =4- 25 4 ， 化为 4x+3y+8=0. （ 2 ） 设 P 点坐标为 （ m ， n ）， 直线 l 1 的斜率为 k ， （不妨设 k≠0 ）， 则 l 1 ， l 2 的方程分别为 l 1 ： y-n=k （ x-m ）， 即 l 1 ： kx- y+n-km=0 ， l 2 ： y-n=- 1 k （ x-m ）， 即 l 2 ： x+ky-kn-m=0. ∵ 直线 l 1 被圆 C 1 截得的弦长的 2 倍与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等， 又已知圆 C 2 的半径是圆 C 1 的半径的 2 倍， 由垂径定理得： 圆心 C 1 到直线 l 1 的距离的 2 倍与圆 心 C 2 到直线 l 2 的距离相等， 故有 2|-3k+n-km| k 2 +1 姨 = |4+5k-kn-m| k 2 +1 姨 ， 化简得 2|3k-n+km|=|4+5k-nk-m| ， 即有（ 2m+n+1 ）k+ （ m-2n-4 ） =0 或 （ 2m-n+11 ）k+ （ 4- 2n-m ） =0 ， 由于关于 k 的方程有无穷多解， ∴ 2m+n+1=0 ， m-2n-4= 1 0 或 2m-n+11=0 ， -m-2n+4=0 1 ， 解得 m= 2 5 ， n=- 9 5 5 2 2 2 2 1 3 3 3 3 4 或 m=- 18 5 ， n= 19 5 5 2 2 2 2 1 2 2 2 2 6 ， ∴ 所有 满 足 条 件 的 点 P 的 坐 标 为 2 5 ， - 9 5 2 + 或 - 18 5 ， 19 5 2 + . 阶段性练习卷 （五） 1． C 【解析】 圆 （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 =1 的圆心为 （ 3 ， 4 ）， 半径为 1 ， 圆心到原点的距离为 3 2 +4 2 姨 =5 ， ∴ 圆上一点 到原点的距离的最大值为 5+1=6. 故选 C. 2． A 【解析】 直线 l ： y=kx+ 1 恒过定点 E （ 0 ， 1 ）， 圆心 C （ 1 ， 0 ）， 如图所示， 当直线 l 与 CE 垂直时 ， 弦长 |AB| 最短 ， 此时 k CE =-1 ， ∴k=1． 故选 A． 3． A 【解析 】 ∵ 圆 O ： x 2 + y 2 =4 ， 直线 l ： y=x+b ， 且圆 O 上 恰有三个点到直线 l 的距离等于 1 ， ∴ 圆心 O （ 0 ， 0 ） 到 直线 l ： y=x+b 的距离 d=1 ， ∴ |b| 2 姨 =1 ， 解得 b= 2 姨 或 b=- 2 姨 ． 故选 A． 4． B 【解析】 圆 C 1 ： x 2 + （ y-a 2 ） 2 =a 4 的圆心为 （ 0 ， a 2 ）， 半径为 a 2 . 圆心到直线 x-y-2=0 的距离为 d= |0-a 2 -2| 1 2 +1 2 姨 =2 2 姨 ， 解得 a 2 =2 ， ∴ 圆 C 1 ： x 2 + （ y-2 ） 2 =4 的圆心为 A （ 0 ， 2 ）， 半径为 r 1 =2. 圆 C 2 ： x 2 +y 2 -2x-4y+4=0 的标准方程为 （ x-1 ） 2 + （ y- 2 ） 2 =1 ， 圆心坐标为 B （ 1 ， 2 ）， 半径 r 2 =1. 圆心距 d= （ 0-1 ） 2 + （ 2-2 ） 2 姨 =1=r 1 -r 2 ， ∴ 两圆相内切， 故选 B. 5． B 【解析】 圆 M 的标准方程为 （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 =25 ， 即该圆是以 M （ 3 ， 4 ） 为圆心， 5 为半径的圆， 且 （ 0-3 ） 2 + （ 4-4 ） 2 =9<25 ， 即点 P （ 0 ， 4 ） 在圆内， 则最短的弦是以 P （ 0 ， 4 ） 为中点的弦， ∴25= |AC| 2 2 + 2 +9 ， ∴|AC|=8. 过点 P （ 0 ， 4 ） 最长的弦 BD 为直径， ∴|BD|=10 ， 且 AC⊥BD ， 故 S ABCD = 1 2 |AC| · |BD|=40. 故选 B. 6. D 【解析 】 设 Q 点坐标为 （ 2cos兹 ， 2sin兹 ）， 兹∈ ［ 0 ， 2π ）， ∴L PQ =|1-2cos兹|+|2-2sin兹|＝|1-2cos兹|+2-2sin兹. ① 当 2cos兹≥1 即 cos兹≥ 1 2 ， 兹∈ 0 ， π 3 2 - ∪ 5π 3 ， 2 + π 2 ， L PQ =2cos兹-1+2-2sin兹＝1+2cos兹-2sin兹 x y O E A B C y=kx+1 （ 0 ， 1 ） （ 1 ， 0 ） 第 2 题答图 86