2.3.1 圆的标准方程-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 掌握圆的标准方程 . 2. 根据圆的标准方程和点的坐标， 可以 用代数法判断点与圆的位置关系 . 3. 会利用定义、 待定系数法或借助于圆 的几何性质求出圆的标准方程 . 4. 通过对圆的标准方程的学习， 使学生 感受到我们是用代数法研究圆， 初步形成用 代数法解决几何问题的能力 . 要 点 精 析 要点 1 圆的标准方程 圆的定义： 平面内到一定点的距离等于 定长的点的集合是圆， 其中定点是圆心， 定 长是圆的半径 . 思考 在平面直角坐标系中， 如何把 圆的问题转化为数和方程的问题， 用代数 运算来解决呢？ 圆的标准方程： 一般地， 如果平面直 角坐标系中 ⊙C 的圆心为 C （ a ， b ）， 半径为 r （ r>0 ）， 设 M （ x ， y ） 为平面直角坐标系中 任意一点， 则点 M 在☉ C 上的充要条件是 |CM|=r ， 即 （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 姨 =r ， 两边平方， 得 （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 ， 该式通常称为圆的标准方程 . 思考 确定圆的标准方程需要几个独 立条件？ 例 1 根据下列圆的方程， 写出各圆的 圆心及半径 . （ 1 ） x 2 + （ y-1 ） 2 =9 ； （ 2 ） （ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 =10. 解： （ 1 ） ∵x 2 + （ y-1 ） 2 =3 2 ， ∴ 圆心为 （ 0 ， 1 ）， 半径 r=3. （ 2 ） ∵ （ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 = （ 10 姨 ） 2 ， ∴ 圆心 为 （ 2 ， -1 ）， 半径 r= 10 姨 . 例 2 已知两点 A （ 1 ， 2 ） 和 B （ 3 ， -2 ） . （ 1 ） 求以点 A 为圆心， 且经过点 B 的圆 的方程； （ 2 ） 求以 AB 为直径的圆的方程 . 解： （ 1 ） 根据已知条件， 设圆 A 的方 程为 （ x-1 ） 2 + （ y-2 ） 2 =r 2 ， 由圆 A 经过点 B （ 3 ， -2 ）， 得 （ 3-1 ） 2 + （ -2-2 ） 2 =r 2 ， 解得 r 2 =20 ， ∴ 圆 A 的方程为（ x-1 ） 2 + （ y-2 ） 2 =20. （ 2 ） 方法一： 设圆的方程为 （ x-a ） 2 + （ y- b ） 2 =r 2 ， 则 （ a ， b ） 是圆心的坐标 . 由题意 可得， a= 1+3 2 =2 ， b= 2+ （ -2 ） 2 =0. 将点 B （ 3 ， -2 ） 代入圆的方程（ x-2 ） 2 +y 2 =r 2 ， 解得 r 2 = （ 3- 2 ） 2 + （ -2 ） 2 =5 ， ∴ 所求圆的方程为（ x-2 ） 2 +y 2 =5. 方法二： 设 P （ x ， y ） 为圆上任意一点， ∵AB 为圆的直径， 则 P P$ A · P P$ B =0 ， ∴ （ x-1 ）（ x- 3 ） + （ y-2 ）（ y+2 ） =0 ， ∴ （ x-2 ） 2 +y 2 =5. 思考 （ 1 ） 若圆 C ： （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 经过点 （ 2 ， -1 ） 且 r=1 ， 则该圆确定吗？ 如 果不确定， 那么圆 C （ a ， b ） 的位置有何特点？ 2.3 圆及其方程 2.3.1 圆的标准方程 66 第二章 平面解析几何 学 （ 2 ） 若圆 C 经过 A （ 2 ， 1 ）， B （ 0 ， 1 ） 两点， 则该圆确定吗？ 如果不确定， 那么 圆 C （ a ， b ） 的位置又有怎样的特点？ 例 3 已知圆过两点 A （ 3 ， 1 ）， B （ -1 ， 3 ）， 且它的圆心在直线 3x-y-2=0 上， 求此 圆的标准方程 . 解： 方法一： 设所求圆的标准方程为 （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 . 依题意， 有 （ 3-a ） 2 + （ 1-b ） 2 =r 2 ， （ -1-a ） 2 + （ 3-b ） 2 =r 2 ， 3a-b-2=0 0 # # # # # " # # # # # $ ， 即 （ 3-a ） 2 + （ 1-b ） 2 = （ -1-a ） 2 + （ 3-b ） 2 ， 3a-b-2=0 0 ， 解得 a=2 ， b=4 ， r 2 =10 0 # # # # # " # # # # # $ . 故所求圆的标准方程为 （ x-2 ） 2 + （ y-4 ） 2 = 10. 方法二： 直线 AB 的斜率 k= 3-1 -1-3 =- 1 2 ， ∴ 线段 AB 的垂直平分线 m 的斜率为 2. 线段 AB 的中点的横坐标和纵坐标分别 为 x= 3-1 2 =1 ， y= 1+3 2 =2. 因此直线 m 的方程为 y-2=2 （ x-1 ）， 即 2x-y=0. 又 ∵ 圆心在直线 3x-y-2=0 上， ∴ 圆心是这两条直线的交点 . 联立方程， 得 2x-y=0 ， 3x-y-2=0 0 ， 解得 x=2 ， y=4 0 . 设圆心为 C ， ∴ 圆心坐标为 （ 2 ， 4 ） . 又 ∵ 半径长 r=｜CA｜= 10 姨 ， ∴ 所求圆的标准方程为（ x-2 ） 2 + （ y-4 ） 2 =10. 方法三： 设圆心为 C ， ∵ 圆心 C 在直线 3x-y-2=0 上， ∴ 可设圆心 C 的坐标为 （ a ， 3a-2 ） . 又 ∵｜CA｜=｜CB ｜ ， ∴ （ a-3 ） 2 + （ 3a-2-1 ） 2 姨 = （ a+1 ） 2 + （ 3a-2-3 ） 2 姨 ， 解得 a=2 ， ∴ 圆心为 （ 2 ， 4 ）， 半径长 r=｜CA｜= 10 姨 . 故所求圆的标准方程为（ x-2 ） 2 + （ y-4 ） 2 =10. 思考 回顾例 3 的求解过程， 说明（ 3- a ） 2 + （ 1-b ） 2 =r 2 与（ -1-a ） 2 + （ 3-b ） 2 =r 2 ， 消 r 2 得 到（ 3-a ） 2 + （ 1-b ） 2 = （ -1-a ） 2 + （ 3-b ） 2 表达的几 何意义， 并指出消元后得到的方程表示的 图形和 A （ 1 ， 3 ）， B （ 4 ， 2 ） 两点具有什么 样的位置关系 . 反思感悟 求圆的标准方程的方法： （ 1 ） 定义法： 已知圆心坐标和半径大 小， 直接代入圆的标准方程 . （ 2 ） 待定系数法： （ 3 ） 几何性质法： 结合圆的有关几何 性质， 更加直观地解决问题， 就是我们所 说的 “数形结合” 思想 . 常用的圆的几何性 质： 范围、 对称性、 圆心在弦的垂直平分 线上， 直径所对的圆周角为直角等； 一般 地， 三角形有唯一的外接圆， 圆心为三角 形三边垂直平分线的交点； 垂径定理 . 设方程 设所求圆的方程为（ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 列方程组 由已知条件 ， 建立关于 a ， b ， r 的方程组 解方程组 解方程组， 求出 a ， b ， r 得方程 将 a ， b ， r 代入所设方程， 得所 求圆的方程 67 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 点与圆的位置关系 圆 C ： （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 （ r>0 ）， 其圆心 为 C （ a ， b ）， 半径为 r ， 点 P （ x 0 ， y 0 ）， 设 d= |PC|= （ x 0 -a ） 2 + （ y 0 -b ） 2 姨 . 例 4 判断点 M （ 6 ， 9 ）， N （ 3 ， 3 ）， Q （ 5 ， 3 ） 与圆（ x-5 ） 2 + （ y-6 ） 2 =10 的位置关系 . 解： ∵ 圆的方程为（ x-5 ） 2 + （ y-6 ） 2 =10 ， 分别将 M （ 6 ， 9 ）， N （ 3 ， 3 ）， Q （ 5 ， 3 ） 代入得 （ 6-5 ） 2 + （ 9-6 ） 2 =10 ， ∴M 在圆上； （ 3-5 ） 2 + （ 3-6 ） 2 =13＞10 ， ∴N 在圆外； （ 5-5 ） 2 + （ 3-6 ） 2 =9＜10 ， ∴Q 在圆内 . 变式训练 1 已知点 A （ 1 ， 2 ） 在圆 C ：（ x+a ） 2 + （ y-a ） 2 = 2a 2 的外部， 求实数 a 的取值范围 . 要点 3 与圆有关的最值问题 例 5 已知 x 和 y 满足（ x+1 ） 2 +y 2 ＝ 1 4 . （ 1 ） 求 x 2 +y 2 的最值； （ 2 ） 求 x+y 的最值 . 解： （ 1 ） 由题意知 ， x 2 +y 2 表示圆上 的点到坐标原点的距离的平方， 显然当圆 上的点与坐标原点的距离取最大值和最小 值时 ， 其平方也相应地取得最大值和最 小值 . 原点 （ 0 ， 0 ） 到圆心 （ -1 ， 0 ） 的距离 为 d＝1 ， 故圆上的点到坐标原点的最大距离 为 1+ 1 2 ＝ 3 2 ， 最小距离为 1- 1 2 ＝ 1 2 . 因此 x 2 +y 2 的最大值和最小值分别为 9 4 和 1 4 . （ 2 ） 令 x+y＝z ， 并将其变形为 y＝-x+z ， 问题转化为斜率为 -1 的直线在经过圆 上的点时， 在 y 轴上的截距的最值 . 当直线和圆相切时， 在 y 轴上的截距取 得最大值和最小值 . 此时有 ｜-1-z｜ 2 姨 ＝ 1 2 ， 解得 z＝± 2 姨 2 -1 ， 因此 x+y 的最大值为 2 姨 2 -1 ， 最小值 为 - 2 姨 2 -1. 反思感悟 最值问题转化成与圆相关的几何意义 的问题， 其中经常用到的是距离、 截距、 斜率等概念 . 位置 关系 d 与 r 的大小 图示 点 P 的坐标的特点 点在 圆外 d>r （ x 0 -a ） 2 + （ y 0 -b ） 2 >r 2 点在 圆上 d=r （ x 0 -a ） 2 + （ y 0 -b ） 2 =r 2 点在 圆内 d<r （ x 0 -a ） 2 + （ y 0 -b ） 2 <r 2 x y O d C P r x y O d C P r x y O d C P 68 第二章 平面解析几何 学 变式训练 2 若 P （ x ， y ） 是圆 C ： （ x-3 ） 2 +y 2 ＝4 上任意 一点， 请求出点 P （ x ， y ） 到直线 x-y+1＝0 的 距离的最大值和最小值 . 变式训练 3 圆的方程为 （ x+1 ） 2 +y 2 ＝4 ， 则过 （ 0 ， 0 ） 的弦中， 最长弦长为 ， 最短弦长为 . 数 学 文 化 例 （多选题） 古希腊著名数学家阿波 罗尼斯与欧几里得、 阿基米德齐名， 他发 现： 平面内到两个定点 A ， B 的距离之比为 定值 姿 （ 姿≠1 ） 的点所形成的图形是圆 . 后 来， 人们将这个圆以他的名字命名， 称为阿 波罗尼斯圆， 简称阿氏圆 . 已知在平面直角 坐标系 xOy 中， A （ -2 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ）， 点 P 满足 PA PB = 1 2 ， 设点 P 所构成的曲线为 C ， 下 列结论中正确的有 （ ） A. C 的方程为（ x+4 ） 2 +y 2 =16 B. 在 C 上存在点 D ， 使得 D 到点 （ 1 ， 1 ） 的距离为 3 C. 在 C 上存在点 M ， 使得 ｜MO｜=2｜MA｜ D. 在 C 上存在点 N ， 使得 ｜NO｜ 2 +｜NA｜ 2 =4 解析： 设 P （ x ， y ）， 由 A （ -2 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ）， ｜PA｜ ｜PB｜ ＝ 1 2 ， 可得 （ x-4 ） 2 +y 2 姨 =2 （ x+2 ） 2 +y 2 姨 ， 两边平方整理可得 x 2 +y 2 +8x=0 ， 即为（ x+4 ） 2 +y 2 =16 ， 故曲线 C 的方程为（ x+4 ） 2 +y 2 =16 ， 故 A 正确； 曲线 C 的方程表示圆心为（ -4 ， 0 ）， 半 径为 4 的圆， 点（ 1 ， 1 ）与圆上的点的距离的最小值为 26 姨 -4 ， 最大值为 26 姨 +4 ， 而 3∈ ［ 26 姨 -4 ， 26 姨 +4 ］， 故 B 正确； 设 M （ x ， y ）， 由 MO=2MA ， 可得 x 2 +y 2 姨 =2 （ x+2 ） 2 +y 2 姨 ， 两边平方整理可得 x 2 +y 2 + 16 3 x+ 16 3 =0 ， 联立方程 x 2 +y 2 +8x=0 与 x 2 +y 2 + 16 3 x+ 16 3 = 0 ， 解得 x=2 ， y 无实数解， 故 C 错误； 设 N （ x ， y ）， 由 ｜NO｜ 2 +｜NA｜ 2 =4 ， 可得 x 2 + y 2 + （ x+2 ） 2 +y 2 =4 ， 整理可得 x 2 +y 2 +2x=0 ， 联立方程 x 2 +y 2 + 8x=0 与 x 2 +y 2 +2x=0 ， 解得 x=0 ， y=0 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 69 参 考 答 案 当 t≠6 时， 由 y=2x ， y= 8 6-t （ x-t ） " $ $ $ # $ $ $ % ， 得 x= 4t t-2 ， y= 8t t-2 2 $ $ $ $ # $ $ $ $ % （ t>2 ）， ∴ 点 C 4t t-2 ， 8t t-2 2 ( （ t>2 ）， ∴S= 1 2 t · 8t t-2 = 4t 2 t-2 （ t> 2 ） . 综上， S （ t ） = 36 ， t=6 ， 4t 2 t-2 ， t>2 且 t≠6 " $ $ $ 6 $ $ $ % . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得当 t>2 且 t≠6 时， S= 4t 2 t-2 =4 （ t-2 ） + 16 t-2 +16≥2 4 （ t-2 ）· 16 t-2 姨 +16=32 ， 当且仅当 4 （ t-2 ） = 16 t-2 ， 即 t=4 时取等号， 而当 t=6 时， S=36>32 ， ∴ 当 t=4 时， S 有最小值， 即抢救最及时. * 14. （ 1 ） 证明： 由直线 l 1 ： ax+y+a+1=0 整理得 a （ x+ 1 ） +y+1=0 ， 该式为恒等式， 故 x+1=0 ， y+1=0 0 ， ∴x=-1 ， y=-1 ， ∴ 直线 l 1 过定点， 该定点的坐标为 （ -1 ， -1 ） . （ 2 ） 解 ： ∵l 1 ， l 2 不重合 ， 且垂直于同一条直线 ， ∴l 1 ∥l 2 ， ∴ 有 a （ a-1 ） =2×1 ， a×3≠2× （ a+1 ） 0 ， 从而 a=-1 ， ∴l 1 ： -x+y=0 ， 即 x-y=0 ， l 2 ： 2x-2y+3=0 ， 即 x-y+ 3 2 =0 ， ∴|AB|= 0- 3 2 1 2 +1 2 姨 = 3 2 姨 4 . （ 3 ） ∵a=0 ， 直线 l 与 l 2 垂直， ∴ 直线 l 2 ： 2x-y+3=0 ， 可得直线 l 2 的斜率为 2 ， 则直线 l 的斜率为 - 1 2 . 选 ① ： ∵ 直线 l 过坐标原点， 故直线 l 的方程为 y= - 1 2 x ， 即 x+2y=0. 选 ② ： 坐标原点到直线 l 的距离为 1 ， 设直线 l 的方 程为 x+2y+c=0 ， 由 |c| 1 2 +2 2 姨 =1 ， 得 c=± 5 姨 ， ∴ 直线 l 的方程为 x+ 2y± 5 姨 =0. 选 ③ ： 由直线 l 与 l 1 交点的横坐标为 2 ， 且 l 1 ： y+1= 0 ， 可知交点为 （ 2 ， -1 ）， ∴ 直线 l 的方程为 y+1=- 1 2 （ x-2 ）， 即 x+2y=0. 15. 解： 设 l ： y－1＝k （ x－2 ） （ k＜0 ）， 则 A 2- 1 k ， ， ( 0 ， B （ 0 ， 1－2k ） . （ 1 ） 由 S＝ 1 2 （ 1－2k ） 2- 1 k ， ( ＝ 1 2 4-4k- 1 k ， ( ≥ 1 2 4+2 （ -4k ）· - 1 k ， ( 姨 姨 0 ＝4 ， 当且仅当 －4k＝－ 1 k ， 即 k＝－ 1 2 时等号成立， ∴△AOB 的面积的最小值为 4 ， 此时 l 的方程是 x＋ 2y－4＝0. （ 2 ） ∵|MA| · |MB|＝ 1 k 2 +1 姨 · 4+4k 2 姨 ＝ 2 （ 1+k 2 ） |k| ＝2 - 1 k ， ( + （ -k 姨 k ） ≥4 ， 当且仅当 －k＝－ 1 k 即 k＝－1 时等号成立， 此时 l 的方 程为 x＋y－3＝0. （本题也可以设截距式方程求解） 2.3 圆及其方程 2.3.1 圆的标准方程 学习手册 变式训练 1 解： ∵ 点 A 在圆的外部， ∴ （ 1+a ） 2 + （ 2-a ） 2 > 2a 2 . ∴2a-5<0 ， a< 5 2 . 又 ∵2a 2 >0 ， ∴a≠0 ， ∴a 的取值范 围为 （ -∞ ， 0 ） ∪ 0 ， 5 2 ， ( . 变式训练 2 解： P （ x ， y ） 是圆 C 上的任意一点， 而圆 C 的半径为 2 ， 圆心 C （ 3 ， 0 ）， 圆心 C 到直线 x-y+1=0 的距离 d= |3-0+1| 1 2 + （ -1 ） 2 姨 =2 2 姨 ， ∴ 点 P 到直线 x-y+1=0 的距离的最大值为 2 2 姨 +2 ， 最小值为 2 2 姨 -2. 变式训练 3 4 2 3 姨 【解析】 点 O （ 0 ， 0 ） 在圆内， 最 长的弦为过点 O 的直径， ∴ 最长的弦长为 2r=4. 最短弦 是过点 O 且与过点 O 的直径垂直的弦， ∵O （ 0 ， 0 ） 与圆 心的距离为 1 ， ∴ 最短弦长为 2 4-1 姨 =2 3 姨 . 随堂练习 1. D 【解析】 由圆的标准方程的定义可知， 圆的标 准方程为 （ x-3 ） 2 + （ y-1 ） 2 =25. 故选 D. 2. D 【解析 】 依题意有 （ 5a ） 2 +144a 2 <1 ， ∴169a 2 <1 ， ∴a 2 < 1 169 ， 即 |a|< 1 13 . 故选 D. 3. A 【解析】 方法一 （直接法）： 设圆的圆心为 C （ 0 ， b ）， 则 （ 1-0 ） 2 + （ 2-b ） 2 姨 =1 ， ∴b= 2 ， ∴ 圆的标准方程是 x 2 + （ y-2 ） 2 =1. 73 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 方法二 （数形结合法）： 作图 （如图）， 根据点 （ 1 ， 2 ） 到圆心的距离为 1 易知 ， 圆心为 （ 0 ， 2 ）， 故圆的标准方程是 x 2 + （ y- 2 ） 2 =1. 故选 A. 4. （ x-4 ） 2 +y 2 =1 【解析】 设圆心 A （ 3 ， -1 ） 关于直线 x+y-3=0 对称 的点 B 的坐标为 （ a ， b ）， 则 b+1 a-3 ·（ -1 ） =-1 ， a+3 2 + b-1 2 -3=0 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 a=4 ， b=0 0 ， 故所求圆的标准方 程为 （ x-4 ） 2 +y 2 =1. 5. 解： 设圆的标准方程为（ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 ， 根据已 知条件可得 （ 1-a ） 2 + （ -1-b ） 2 =r 2 ， （ -1-a ） 2 + （ 1-b ） 2 =r 2 ， a+b-2=0 0 # # # " # # # $ ， 解得 a=1 ， b=1 ， r=2 0 # # # " # # # $ ， ∴ 所求圆的标准方程为 （ x-1 ） 2 + （ y-1 ） 2 =4. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 以 （ 2 ， -1 ） 为圆心， 4 为半径的圆的 方程为（ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 =16 ， 故选 C． 2. AD 【解析】 由已知条件可得 （ 1-a ） 2 + （ 1+a ） 2 <4 ， 即 2a 2 +2<4 ， 解得 -1<a<1. 故选 AD. 3. C 【解析】 由于方程中 y 不能是负值， ∴ 方程对 应的图象是圆的上半部分 . 故选 C. 4. A 【解析】 圆 （ x-1 ） 2 +y 2 =1 的圆心坐标为 （ 1 ， 0 ）， ∴ 圆心到直线 y= 3 姨 3 x 的距离为 d= 3 姨 3 1+ 3 姨 3 3 ( 2 姨 = 1 2 ， 故选 A． 5. A 【解析】 设圆心 C （ x ， y ）， 则 （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 姨 = 1 ， 化简得 （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 =1 ， ∴ 圆心 C 的轨迹是如图所示的以 M （ 3 ， 4 ） 为圆心， 1 为半径的圆， ∴|OC|+1≥|OM|= 3 2 +4 2 姨 =5 ， ∴|OC|≥5-1= 4 ， 当且仅当点 C 在线段 OM 上时取得等号 . 故选 A. 6. AB 【解析】 如图， 圆 C 的方程为 （ x-2 ） 2 + （ y-1 ） 2 = 3-m ， 故 C （ 2 ， 1 ）， 半径为 3-m 姨 （ m<3 ） ． ∵| A A+ C + B A+ C |≤| A A+ C - B A+ C | ， ∴| C A+ A + C A+ B |≤| C A+ B - C A+ A | ， 两边同时平方整理得C A+ A·C A+ B ≤0 ， ∴C∈ π 2 ， ( π π ， ∴C 点到 x 轴的距离 d≤ 2 姨 2 r ， 即 1≤ 2 姨 2 · 3-m 姨 ， 解得 m≤1. 故选 AB. 7. x 2 + （ y-1 ） 2 =25 【解析】 记点 A （ -3 ， 5 ）， B （ 3 ， -3 ）， 当经过 A ， B 两点的圆的面积最小时， AB 为圆的直径， ∴ 圆心为 （ 0 ， 1 ）， 半径为 1 2 × （ -3-3 ） 2 + （ 5+3 ） 2 姨 =5 ， ∴ 圆的方程为 x 2 + （ y-1 ） 2 =25. 8. （ -∞ ， -2 ） 【解析】 圆 C 的标准方程为（x+a ） 2 + （ y-2a ） 2 =4 ， ∴ 圆心为 （ -a ， 2a ）， 半径 r=2 ， 故由题意知 a<0 ， |-a|>2 ， |2a|>2 0 # # # " # # # $ ， 解得 a<-2 ， 故实数 a 的取值范围为 （ -∞ ， -2 ） ． 9. 解： ∵ 圆心是 C （ -3 ， -4 ）， 且经过原点， ∴ 圆的半径 r= （ -3-0 ） 2 + （ -4-0 ） 2 姨 =5 ， ∴ 圆的标准方程为 （ x+3 ） 2 + （ y+4 ） 2 =25. ∵ |P 1 C |= （ -1+3 ） 2 + （ 0+4 ） 2 姨 = 4+16 姨 =2 5 姨 <5 ， ∴P 1 （ -1 ， 0 ） 在圆内； ∵|P 2 C|= （ 1+3 ） 2 + （ -1+4 ） 2 姨 =5 ， ∴P 2 （ 1 ， -1 ） 在圆上； ∵|P 3 C|= （ 3+3 ） 2 + （ -4+4 ） 2 姨 =6>5 ， ∴P 3 （ 3 ， -4 ） 在圆外 ． 10. 解： （ 1 ） 由已知可设圆心 N （ a ， 3a-2 ）， 又由已 知得 |NA|=|NB| ， 从而有 （ a-3 ） 2 + （ 3a-2-1 ） 2 姨 = （ a+1 ） 2 + （ 3a-2-3 ） 2 姨 ， 解得 a=2 ， 于是圆 N 的圆心 N （ 2 ， 4 ）， 半径 r= （ a-3 ） 2 + （ 3a-2-1 ） 2 姨 = 10 姨 ， ∴ 圆 N 的方程为 （ x-2 ） 2 + （ y-4 ） 2 =10. （ 2 ） N （ 2 ， 4 ） 关于 x-y+3=0 的对称点为 （ 1 ， 5 ）， ∴ 圆 N 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的方程为 （ x-1 ） 2 + （ y- 5 ） 2 =10. （ 3 ） 设 M （ x ， y ）， D （ x 1 ， y 1 ）， 则由 C （ 3 ， 0 ） 及 M 为 线段 CD 的中点得 x= x 1 +3 2 ， y= y 1 +0 2 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 x 1 =2x-3 ， y 1 =2y 0 . 又 ∵ 点 D 在圆 N ： （ x-2 ） 2 + （ y-4 ） 2 =10 上 ， ∴ 有 （ 2x-3-2 ） 2 + （ 2y-4 ） 2 =10 ， 化简得 x- 5 2 2 0 2 + （ y-2 ） 2 = 5 2 ， 故 所求的轨迹方程为 x- 5 2 3 0 2 + （ y-2 ） 2 = 5 2 ． x y O 1 2 （ 1 ， 2 ） 第 3 题答图 x y O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 M C （ 3 ， 4 ） 第 5 题答图 第 6 题答图 x y O A B C 74 参 考 答 案 提升练习 11. D 【解析】 由题意， （ x 2 +y 2 -2 ） x-3 姨 =0 可化为 x-3=0 或 x 2 +y 2 -2=0 （x-3≥0 ）， ∵x-3=0 在 x 2 +y 2 -2=0 右方 ， ∴x 2 +y 2 -2=0 （x-3≥0 ） 不成立， ∴x-3=0 ， ∴ 方程 （ x 2 +y 2 -2 ） x-3 姨 =0 表示的曲线 是一条直线 . 故选 D. 12． A 【解析】 ∵ 直线 x+y+2=0 分别与 x 轴、 y 轴交 于 A ， B 两点， ∴A （ -2 ， 0 ）， B （ 0 ， -2 ）， 则 |AB|=2 2 姨 . ∵ 点 P 在圆 （ x-2 ） 2 +y 2 =2 上， ∴ 圆心为 （ 2 ， 0 ）， 则圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d 1 = |2+0+2| 2 姨 =2 2 姨 ， 故点 P 到直线 x+y+2=0 的距离 d 2 的取值范围为 ［ 2 姨 ， 3 2 姨 ］， 则 S △ABP = 1 2 |AB|d 2 = 2 姨 d 2 ∈ ［ 2 ， 6 ］ . 故选 A. 13. ABD 【解析】 圆心坐标为 （ k ， k ）， 在直线 y=x 上， 故 A 正确； 令（ 3-k ） 2 + （ 0-k ） 2 =4 ， 化简得 2k 2 -6k+5=0 ， ∵Δ=36- 40=-4<0 ， ∴2k 2 -6k+5=0 无实数根， 故 B 正确； 由（ 2-k ） 2 + （ 2-k ） 2 =4 ， 化简得 k 2 -4k+2=0 ， ∵Δ=16-8= 8>0 ， 方程有两不等实根， ∴ 经过点 （ 2 ， 2 ） 的圆 C k 有 两个， 故 C 错误； 由圆的半径为 2 ， 得圆的面积为 4π ， 故 D 正确 ． 故选 ABD． 14. 18 5 ， 24 5 5 & 【解析】 设 P （ x ， y ）， 则 d=|PA| 2 +|PB| 2 = x 2 + （ y+1 ） 2 +x 2 + （ y-1 ） 2 =2 （ x 2 +y 2 ） +2 ， x 2 +y 2 姨 的几何意义是 P （ x ， y ） 到原点的距离 . 由已知， 圆心 O （ 3 ， 4 ）， 半径为 1 ， C 到 O 的距离 |CO|=5 ， ∴ x 2 +y 2 姨 的最大值是 5+1=6 ， ∴d 的最大值为 2×6 2 +2=74. 由直线 y= 4 3 x 与圆 C ： （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 =1 ， 可得（ 5x- 12 ）（ 5x-18 ） =0 ， ∴x= 12 5 或 x= 18 5 ， ∴ 当 |PA| 2 +|PB| 2 取最大值时点 P 的 坐标是 18 5 ， 24 5 5 & ． 15. 解： （ 1 ） ∵ 点 A 的坐标满足方程 x 2 +y 4 =4 ， ∴t 4 =4 ， 解得 t=- 2 姨 或 t= 2 姨 （舍去）， ∴A （ 0 ， - 2 姨 ） . 设 △ABC 的外接圆的圆心为 （ a ， b ）， 半径为 r ， 则 △ABC 的外接圆的方程为 （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 . 将 A ， B ， C 三点坐标代入可得 a 2 + （ - 2 姨 -b ） 2 =r 2 ， （ 2-a ） 2 +b 2 =r 2 ， a 2 + （ 2 姨 -b ） 2 =r 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， 解得 a= 1 2 ， b=0 ， r= 3 2 2 ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) * ， ∴△ABC 的外接圆的方程为 x- 1 2 5 & 2 +y 2 = 9 4 . BA=BC= 2 2 + （ 2 姨 ） 2 姨 = 6 姨 ， AC=2 2 姨 ， cos∠ABC= BA 2 +BC 2 -AC 2 2BA · BC = 6+6-8 2× 6 姨 × 6 姨 = 1 3 >0 ， 因此 △ABC 是锐角三角形， ∴△ABC 的最小覆盖圆的方程是 x- 1 2 5 & 2 +y 2 = 9 4 . （ 2 ） ∵ 线段 BD 的最小覆盖圆是以 BD 为直径的圆， ∴ 线段 BD 的最小覆盖圆的方程为 x 2 +y 2 =4. 又 ∵|OA|=|OC|= 2 姨 <2 ， ∴ 点 A ， C 在圆 x 2 +y 2 =4 内， ∴ 四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程是 x 2 +y 2 =4. （ 3 ） ∵ 平面图形 W 是中心对称图形， 设 P （ a ， b） 是平面图形 W 上一点， 则 |OP| 2 =a 2 +b 2 =-b 4 +b 2 +4=- b 2 - 1 2 5 & 2 + 17 4 （ - 2 姨 ≤b≤ 2 姨 ）， 当 b 2 = 1 2 ， 即 b=± 2 姨 2 时， |OP| max = 17 姨 2 ， ∴ 平面图形 W 的最小覆盖圆的方程是 x 2 +y 2 = 17 4 . 2.3.2 圆的一般方程 学习手册 变式训练 1 解： ① 方程可变形为 （ x-2 ） 2 +y 2 =4 ， 故方程 表示圆， 圆心为 C （ 2 ， 0 ）， 半径 r=2. ② 方程可变形为 2 x- 3 4 5 & 2 +2 （ y+1 ） 2 =- 23 8 ， 此方程无 实数解， 故方程不表示任何图形 ． ③ 原方程可化为 （ x+a ） 2 +y 2 =a 2 . 当 a=0 时， 方程表示点 （ 0 ， 0 ）， 不表示圆； 当 a≠0 时， 方程表示以 （ -a ， 0 ） 为圆心， |a| 为半 径的圆 ． 变式训练 2 解： 圆心 C - D 2 ， - E 2 5 & ， ∵ 圆心在直线 x+y-1=0 上， ∴- D 2 - E 2 -1=0 ， 即 D+E=-2. ① 又 ∵ 半径长 r= D 2 +E 2 -12 姨 2 = 2 姨 ， ∴D 2 +E 2 =20. ② 75