2.2.4 点到直线的距离-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 了解点到直线的距离公式的推导方法 和过程 . 2. 会使用点到直线的距离公式 . 3. 明确在使用点到直线距离公式时一定 要先将直线方程转化为一般式 . 4. 会使用两平行直线之间的距离公式， 知道两平行直线之间的距离公式的推导依据 是点到直线的距离公式 . 5. 明确使用两平行直线之间的距离公式 时这两条直线方程中的 x ， y 的系数必须是 对应相等的 . 要 点 精 析 要点 1 点到直线的距离公式 1. 推导方法 已知直线外一点 P （ x 0 ， y 0 ） ， 直线 l ： Ax+By+C=0 ， 求点 P 到直线 l 的距离 d. 方法一： 向量法 点 P 到直线 l 的距离 d 就是点 P 与直线 l 上的任意一点 P 1 的连线在直线 l 的法向量 上的投影长 . 由直线 l ： Ax+By+C=0 可知 v= （ A ， B ） 是直线 l 的一个法向量 . 设 P 1 （ x ， y ） 是直线 l 上任意一点， 则点 P （ x 0 ， y 0 ） 到直线 l ： Ax+ By+C=0 的距离 d 满足 d= ｜PP 1 1" · v｜ ｜v｜ . 由 PP 1 1" = （ x-x 0 ， y-y 0 ）， ∴d= ｜A （ x-x 0 ） +B （ y-y 0 ） ｜ A 2 +B 2 姨 = ｜Ax+By- （ Ax 0 +By 0 ） ｜ A 2 +B 2 姨 . 又 ∵P 1 （ x ， y ） 是直线 l 上一点， ∴Ax+By+C=0 ， ∴Ax+By=-C ， 从而 d= ｜Ax 0 +By 0 +C｜ A 2 +B 2 姨 . 方法二： 直接法 过点 P 作直线 l 的垂线， 垂足记为 P′ （ x 1 ， y 1 ）， 则点 P 到直线 l 的距离 d=｜PP′｜= （ x 1 -x 0 ） 2 + （ y 1 -y 0 ） 2 姨 . 由直线 l 的一个法向量 v= （ A ， B ）， 则 v 与 PP 1" ′ 共线 . 由 PP 1" ′= （ x 1 -x 0 ， y 1 -y 0 ）， ∴A （ y 1 -y 0 ） =B （ x 1 -x 0 ）， 整理得 B （ x-x 0 ） -A （ y 1 -y 0 ） =0. ① 又 ∵P′ （ x 1 ， y 1 ） 是直线 l 上的点， ∴Ax 1 +By 1 +C=0 ， 两边同减 Ax 0 +By 0 +C ， 故 A （ x 1 -x 0 ） +B （ y 1 -y 0 ） =- （ Ax 0 +By 0 +C ） . ② 将 ①② 两式分别平方后相加可得 （ A 2 +B 2 ）［（ x 1 -x 0 ） 2 + （ y 1 -y 0 ） 2 ］ = （ Ax 0 +By 0 +C ） 2 ， ∴ （ x 1 -x 0 ） 2 + （ y 1 -y 0 ） 2 = （ Ax 0 +By 0 +C ） 2 A 2 +B 2 ， 从而 d= ｜Ax 0 +By 0 +C｜ A 2 +B 2 姨 . 方法三： 等面积法 设 A≠0 ， B≠0. 过点 P 作 PR 平行于 x 轴交 l 于点 R ， 过点 P 作 PS 平行于 y 轴交 l 于点 S. 由两点间距离公式可得 ｜PS｜= Ax 0 +By 0 +C B ， ｜PR｜= Ax 0 +By 0 +C A . 2.2.4 点到直线的距离 62 第二章 平面解析几何 学 在 Rt△RPS 中， PP 1 是斜边上的高， d=｜PP 1 ｜= ｜PR｜ · ｜PS｜ ｜PR｜ 2 +｜PS｜ 2 姨 = ｜Ax 0 +By 0 +C｜ A 2 +B 2 姨 . 易证当 A=0 或 B=0 时， 上式也成立 . 2. 点到直线的距离公式 点 P （ x 0 ， y 0 ） 到直线 l ： Ax+By+C=0 的 距离 d= ｜Ax 0 +By 0 +C｜ A 2 +B 2 姨 . 反思感悟 （ 1 ） 上述公式当 A=0 或 B=0 时仍然成立 . （ 2 ） 使用点到直线距离公式时要将直 线方程转化为一般式 . 思考 （ 1 ） 你能试着用向量法写出空 间一点 P 到平面 琢 的距离吗？ （ 2 ） 如果点 P （ m ， n ） 到直线 x+y-1=0 的距离为 0 ， 你能写出 m ， n 满足的关系 式吗？ 3. 几种点到特殊直线的距离 （ 1 ） 点 P （ x 1 ， y 1 ） 到 x 轴的距离 d=｜y 1 ｜. （ 2 ） 点 P （ x 1 ， y 1 ） 到 y 轴的距离 d=｜x 1 ｜. （ 3 ） 点 P （ x 1 ， y 1 ） 到与 x 轴平行的直线 y=b （ b≠0 ） 的距离 d=｜y 1 -b｜. （ 4 ） 点 P （ x 1 ， y 1 ） 到与 y 轴平行的直线 x=a （ a≠0 ） 的距离 d=｜x 1 -a｜. 例 1 求点 Ｐ （ 3 ， -2 ） 到下列直线的 距离 . （ 1 ） 3x-4y+1=0 ； （ 2 ） y=6 ； （ 3 ） y 轴 . 分析 直接利用点到直线的距离公式 求解即可 . 解： （ 1 ） 点 P （ 3 ， -2 ） 到直线 3x-4y+ 1=0 的距离 d= ｜3×3-4× （ -2 ） +1｜ 3 2 +4 2 姨 = 18 5 . （ 2 ） 点 P （ 3 ， -2 ） 到直线 y=6 的距离 d= ｜-2-6｜=8. （ 3 ） 点 P （ 3 ， -2 ） 到 y 轴的距离 d=｜3｜=3. 变式训练 1 点 （ 4 ， t ） 到直线 4x-3y=1 的距离不大 于 3 ， 则 t 的取值范围是 . 例 2 已知直线 l 在两坐标轴上的截距 相等， 且点 P （ 4 ， 3 ） 到直线 l 的距离为 3 2 姨 ， 求直线 l 的方程 . 分析 截距相等， 有两种情况： ① 截 距为 0 ， 此时直线过坐标原点， 可设方程 y=kx ； ② 截距不为零， 则斜率 k=-1 ， 可设 方程为 x+y-a=0 （ a≠0 ） . 解： 由直线 l 在两坐标轴上的截距相 等， 若截距为 0 ， 设所求直线 l 的方程为 y= kx （ k≠0 ）， ∴d= ｜4k-3｜ 1+k 2 姨 =3 2 姨 ， 解得 k= -12+3 14 姨 2 或 k= -12-3 14 姨 2 . 若截距不为 0 ， 设所求直线方程为 x+y-a=0 （ a≠0 ） . 由题知 d= ｜4+3-a｜ 2 姨 =3 2 姨 ， 解得 a=1 或 a=13. 综上， 所求直线方程为 y= -12+3 14 姨 2 x 或 y= -12-3 14 姨 2 x 或 x+y-1=0 或 x+y-13=0. x y O S P 1 P （ x 0 ， y 0 ） R 63 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 2 经过点 P （ -3 ， 5 ）， 且原点到其距离为 3 的直线方程为 . 要点 2 两条平行直线之间的距离 已知直线 l 1 ： Ax+By+C 1 =0 ， l 2 ： Ax+By+ C 2 =0 ， 则直线 l 1 与 l 2 之间的距离 d= ｜C 1 -C 2 ｜ A 2 +B 2 姨 . 注： 在使用公式时这两条直线的 x ， y 的系数需转化为对应相等 . 例 3 如图 2-2-9 ， 已知直线 l 1 ： x-2y+ 1=0 与直线 l 2 ： x-2y+4=0 ， 在 l 1 上任取一点 A ， 在 l 2 上任取一点 B ， 连接 AB ， 取 AB 靠 近点 A 的三等分点 C ， 过点 C 作 l 1 的平行线 l 3 ， 求 l 1 与 l 3 的距离 . 分析 l 1 与 l 3 的距离是 l 1 与 l 2 的距离 的 1 3 . 解： 由题可知， l 1 与 l 3 的距离是 l 1 与 l 2 的距离的 1 3 ， ∵l 1 与 l 2 的 距 离 为 d 1 = ｜4-1｜ 1 2 + （ -2 ） 2 姨 = 3 5 姨 ， ∴l 1 与 l 3 的距离 d= 1 3 d 1 = 1 5 姨 = 5 姨 5 . 变式训练 3 荀ABCD 的一组对边 AB 和 CD 所在直 线的方程分别是 6x+8y-3=0 与 6x+8y+5=0 ， 过 荀ABCD 的两条对角线的交点作 AB 所在 直线的平行线 l ， 求 l 与 CD 所在直线的距离 . 例 4 直线 l 1 过点 A （ 0 ， 1 ）， l 2 过点 B （ 5 ， 0 ）， 如果 l 1 ∥l 2 ， 且 l 1 与 l 2 之间的距离为 5 ， 求 l 1 ， l 2 的方程 . 分析 根据条件选择适当的方程， 注 意讨论斜率是否存在， 然后在其中一条直 线上任取一点， 求该点到另一条直线的距 离， 列方程求解 . 解： 若 l 1 ， l 2 的斜率存在， 由题可设直 线 l 1 的方程为 y=kx+1 ， 设直线 l 2 的方程为 y=k （ x-5 ） . ∴ 直线 l 1 上的点 A 到直线 l 2 的距离 d= ｜1+5k｜ 1+k 2 姨 =5. ∴25k 2 +10k+1=25k 2 +25 ， ∴k= 12 5 ， ∴l 1 ， l 2 的方程分别为 12x-5y+5=0 ， 12x- 5y-60=0. 若 l 1 ， l 2 的斜率不存在， 则 l 1 的方程为 x=0 ， l 2 的方程为 x=5 ， 它们之间的距离为 5 ， 同样满足条件 . 综上， 满足条件的直线方程有两组： l 1 ： 12x-5y+5=0 ， l 2 ： 12x-5y-60=0 或 l 1 ： x=0 ， l 2 ： x=5. x y O A B C l 1 l 2 l 3 图 2-2-9 64 第二章 平面解析几何 学 变式训练 4 两条相互平行的直线分别过点 A （ 6 ， 2 ）， B （ -3 ， -1 ）， 并且分别绕点 A ， B 旋转， 如 果两条平行直线之间的距离为 d. （ 1 ） 求 d 的取值范围； （ 2 ） 当 d 取最大值时 ， 求两条直线的 方程 . 数 学 文 化 例 恩格斯在 《自然辩证法》 一书中指 出： 数学中的转折点是笛卡儿的变数， 有了 变数， 运动进入了数学， 有了变数， 辩证法 进入了数学， 有了变数， 微分和积分也就立 刻成为必要的了 . 解析几何的创立提供了研究几何问题的 一种新方法， 借助于坐标系， 把几何问题转 化为代数问题来研究 . 这种方法具有一般性， 它沟通了数学内部数与形、 代数与几何两大 学科之间的联系 . 从此代数和几何互相汲取 新鲜的活力， 得到迅速的发展 . 建立适当的坐标系， 证明： 等腰三角形 底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰 上的高的长 . 分析 等腰三角形一般以底边所在直 线为轴， 底边中点为坐标原点建立直角坐 标系， 通过设点的坐标， 使用点到直线的 距离公式即可证明 . 解 ： 设 △ABC 是等 腰三角形， 以底边 CA 所 在的直线为 x 轴， 连接顶 点 B 和底边中点 O 的直 线为 y 轴， 建立如图 2- 2-10 所示的平面直角坐标系 . 设 A （ a ， 0 ）， B （ 0 ， b ）， C （ -a ， 0 ） （ a> 0 ， b>0 ）， 则直线 AB 的方程为 bx+ay-ab=0 ， 直线 BC 的方程为 bx-ay+ab=0. 设底边 AC 上任意一点为 P （ x ， 0 ）， -a≤ x≤a. 过点 P 作 PF⊥BC 于点 F ， PE⊥AB 于 点 E ， 则点 P 到 AB 的距离 ｜PE｜= ｜bx-ab｜ a 2 +b 2 姨 = b （ a-x ） a 2 +b 2 姨 ， 点 P 到 BC 的距离 ｜PF｜= ｜bx+ab｜ a 2 +b 2 姨 = b （ a+x ） a 2 +b 2 姨 ， 点 A 到 BC 的距离 h= ｜ba+ab｜ a 2 +b 2 姨 = 2ab a 2 +b 2 姨 . ∴｜PE｜+｜PF｜= b （ a-x ） a 2 +b 2 姨 + b （ a+x ） a 2 +b 2 姨 = 2ab a 2 +b 2 姨 =h ， 即等腰三角形底边上任意一点到两腰的 距离之和等于一腰上的高的长 . x y O E F A B C 图 2-2-10 P 65 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 对于 D ， 方法一： 联立 ax-y+1=0 ， x+ay+1=0 ! ， 解得 x= -a-1 a 2 +1 ， y= -a+1 a 2 +1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 即 M -a-1 a 2 +1 ， -a+1 a 2 +1 1 ' ， ∴|MO|= -a-1 a 2 +1 1 1 2 + -a+1 a 2 +1 1 1 2 姨 = 2 a 2 +1 姨 ≤ 2 姨 ， ∴|MO| 的最大值是 2 姨 ， 故 D 正确 . 方法二 ： 由 l 1 ⊥l 2 ， l 1 过定点 B （ 0 ， 1 ）， l 2 过定点 （ -1 ， 0 ）， ∴A ， M ， B ， O 四点共圆， 且 AB 是此圆的直径 . 显然 ， 当 MO 也为圆的直径时 ， |MO| 最大 . 此时 |MO| max = 2 姨 . 故 D 正确 . 故选 AD. 14. 293 姨 【解析】 d= x 2 +y 2 +6x-10y+34 姨 + x 2 +y 2 -4x-30y+229 姨 = （ x+3 ） 2 + （ y-5 ） 2 姨 + （ x-2 ） 2 + （ y-15 ） 2 姨 ， 即 d 可看作点 A （ -3 ， 5 ） 和 B （ 2 ， 15 ） 与直线 x-y+ 1=0 上的点 （ x ， y ） 的距离之和 . 如图 ， 作 A （ -3 ， 5 ） 关于直线 x-y+1=0 的对称点 A′ （ x 0 ， y 0 ）， 由题意得 x 0 -3 2 - y 0 +5 2 +1=0 ， y 0 -5 x 0 +3 =-1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x 0 =4 ， y 0 =-2 ! ， 故 A′ （ 4 ， -2 ）， 则 d min =|A′B|= （ 4-2 ） 2 + （ -2-15 ） 2 姨 = 293 姨 . * 15. 5 【解析】 如图， 设点 P 关于直线 l 的对称点为 M ， 则 M 一定在第一次的反射光线所在直线上， 设 M 关 于 x 轴的对称点为 N ， 则 N 必在第二次的反射光线所在 直线上 . 设 M （ x ， y ）， 则 y x-a =-3 ， a+x 2 -3× y 2 =0 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x= 4 5 a ， y= 3 5 a 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 即 M 4 5 a ， 3 5 5 1 a ， ∴N 4 5 a ， - 3 5 1 1 a . 由题意 k QN = - 3 5 a 4 5 a-b = 1 3 ， 整理得 b= 13 5 a， ∵b≥13 ， ∴ 13 5 a≥13 ， a≥5 ， 即实数 a 的最小值为 5. * 16. 解： 当 k=0 时， 此时点 A 和点 D 重合， 折痕所 在的直线方程为 y= 1 2 . 当 k≠0 时， 将矩形折叠后点 A 落在线段 DC 上的 点为 G （ a， 1 ） （ 0<a≤2 ）， ∴A 与 G 关于折痕所在的直线对称 ， 由 k OG ·k=-1 ， 即 1 a ·k=-1 ， 解得 a=-k. 由 0<a≤2 ， ∴-2≤k<0 ， 且 G（-k ， 1 ） （ -2≤k<0 ）， 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标为 M - k 2 ， 1 2 5 1 ， 折痕所在的直线方程为 y- 1 2 =k x+ k 2 5 1 ， 即 y=kx+ k 2 2 + 1 2 （ -2≤k<0 ） . 综上所述， 折痕所在的直线方程为 2kx-2y+k 2 +1=0 （ -2≤k<0 ） . 2.2.4 点到直线的距离 学习手册 变式训练 1 0≤t≤10 【解析】 由题意得 |16-3t-1| 4 2 + （ -3 ） 2 姨 ≤ 3 ， 即 |3t-15|≤15 ， ∴-15≤3t-15≤15 ， 解得 0≤t≤10. 变式训练 2 8x+15y-51=0 或 x=-3 【解析】 当直线斜率 存在时， 由直线过点 P（-3 ， 5 ）， ∴ 设直线方程为 y-5= k （ x +3 ） ， ∴kx -y +5 +3k =0. 原 点 到 该 直 线 的 距 离 d = |3k+5| 1+k 2 姨 =3 ， 解得 k=- 8 15 ， ∴ 所求直线的方程为 y-5= - 8 15 （ x+3 ）， 即 8x+15y-51=0. 当直线斜率不存在时， 由直线过点 P （ -3 ， 5 ）， ∴ 直 线方程为 x=-3 ， 此时原点到直线的距离 d=3 ， 满足题意 . 综上所述， 所求直线方程为 8x+15y-51=0 或 x=-3. 变式训练 3 解： 由 荀ABCD 的两条对角线的交点是对 角线的中点， ∴ 过中点作 AB 所在直线的平行线 l ， 同时 也平行于 CD 所在直线， ∴l 与 CD 所在直线的距离是 AB 所在直线与 CD 所在直线的距离的 1 2 . 由 AB 和 CD 所在直线的方程分别是 6x+8y-3=0 与 6x+8y+5=0 ， ∴AB 和 CD 所在直线的距离 d 1 = |-3-5| 6 2 +8 2 姨 = 4 5 ， ∴l 与 CD 所在直线的距离 d= 1 2 d 1 = 2 5 . x y O 5 10 15 10 5 -5 A′ A B -5 第 14 题答图 第 15 题答图 x y O M N Q l P 68 参 考 答 案 变式训练 4 解： 方法一： （ 1 ） 当两条直线的斜率不存 在时， 两条直线的方程分别为 x=6 ， x=-3 ， 则 d=9. 当两条直线的斜率存在时， 设两条直线的方程分别 为 y-2=k （ x-6 ）和 y+1=k （ x+3 ）， 即 kx-y+2-6k=0 ， kx-y+3k-1=0 ， ∴d= |9k-3| k 2 +1 姨 ， 由此可得 （ 81-d 2 ） k 2 -54k+9-d 2 =0. 当 81-d 2 =0 ， 即 d= 9 时， k=- 4 3 ， ∴d=9 成立 . 当 d≠9 时， 由于 k 存在， 即方程有解， 可得 Δ= （ -54 ） 2 - 4 （ 81-d 2 ）（ 9-d 2 ） ≥0 ， 即 d 4 -90d 2 ≤0 ， ∴0<d≤3 10 姨 且 d≠9. 综上， d∈ （ 0 ， 3 10 姨 ］ . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知 d 的最大值为 3 10 姨 ， 此时 k=-3. 故两条直线的方程分别为 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. 方法二： （ 1 ） 显然两平行直线的距离 d>0 ， 当两直 线旋转到与 AB 所在直线垂直时， |AB| 即为两直线的距 离 d ， 此时 d 最大 . d max =|AB|= ［ 6- （ -3 ）］ 2 + ［ 2- （ -1 ）］ 2 姨 = 3 10 姨 . ∴d∈ （ 0 ， 3 10 姨 ］ . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知， 当 d 取最大值时， AB 所在直线 与这两条平行直线垂直 . 由 k AB = 1 3 ， ∴ 这两条直线的斜 率为 -3. ∴ 这两条直线的方程分别为 3x+y-20=0 和 3x+y+ 10=0. 随堂练习 1. B 【解析】 直线方程 y=x-2 ， 即 x-y-2=0 ， 点 （ 1 ， 2 ） 到直线 x-y-2=0 的距离 d= |1-2-2| 1+1 姨 = 3 2 姨 = 3 2 姨 2 ， 故 选 B. 2. C 【解析】 根据题意， 点 A （ 4 ， 0 ）， 点 B （ 6 ， 6 ）， 则直线 AB 的斜率 k= 6-0 6-4 =3 ， 则直线 AB 的方程为 y-0＝3 （ x-4 ）， 即 3x-y-12＝0. 点 C 到直线 AB 的距离 d= |-2-12| 9+1 姨 = 7 10 姨 5 . 在梯形 ABCD 中， AB∥CD ， 则此梯形的高就是点 C 到直线 AB 的距离， 即此梯形的高是 7 10 姨 5 . 故选 C. 3. ABD 【解析 】 由题意得 b=2 ， 1+b+a=0 0 ， 解得 a=-3 ， b=2 ， 故 AB 正确； ∴ 点 P（1 ， 2 ） 到直线 -3x+2y+3=0 的距离 d= |-3+4+3| （ -3 ） 2 +2 2 姨 = 4 13 姨 13 ， 故 C 错误， D 正确 . 故选 ABD. 4. -6 或 1 2 【解析】 ∵A （ 3 ， 2 ） 和 B （ -1 ， 4 ） 两点到 直线 mx+y+3=0 的距离相等， ∴ |3m+2+3| m 2 +1 姨 = |-m+4+3| m 2 +1 姨 ， 整理得 （ 2m-1 ）（ m+6 ） =0 ， 解得 m= 1 2 或 m=-6. 5. 解： 当直线斜率存在时， ∵ 直线过点 P （ 3 ， 5 ）， ∴ 可设所求直线的方程为 y-5=k （ x-3 ）， 化为一般式 得 kx-y+5-3k=0. 原点到该直线的距离 d= |5-3k| k 2 +1 2 姨 =3 ， 解得 k= 8 15 ， 故所求直线的方程为 y-5= 8 15 （ x-3 ）， 即 8x-15y+51=0. 当直线斜率不存在时， 过点 P （ 3 ， 5 ） 的直线方程为 x=3 ， 此时原点到直线 x=3 的距离 d=|0-3|=3 ， 符合题意 . 综上可得， 所求直线的方程为 8x-15y+51=0 或 x=3. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 由点到直线的距离公式可知， |0+0+a| 1 2 +1 2 姨 < 2 姨 ， 解得 -2<a<2 ， 故实数 a 的取值范围为 （-2 ， 2 ） . 故选 A. 2. B 【解析】 由直线 y=kx-2k+1 可得 y=k （ x-2 ） +1 ， 则直线过定点 A（2 ， 1 ） . 根据题意， 当直线 AB 与直线 x+ y-1=0 垂直时， |AB| 最小， 点 A（2 ， 1 ） 到直线 x+y-1=0 的距离 d= |2+1-1| 2 姨 = 2 姨 ， 即 |AB | 的最小值为 2 姨 . 故 选 B. 3. D 【解析 】 3x+2y+1=0 与 3x+2y+4=0 间距离 d 1 = |1-4| 3 2 +2 2 姨 = 3 13 姨 13 ， 4x-6y+c 1 =0 与 4x-6y+c 2 =0 间距离 d 2 = |c 1 -c 2 | 4 2 +6 2 姨 = 13 姨 26 |c 1 -c 2 |. 又由正方形可知 d 1 =d 2 ， 即 3 13 姨 13 = 13 姨 26 |c 1 -c 2 | ， 解得 |c 1 -c 2 |=6. 故选 D. 4. B 【解析】 根据一元二次方程根与系数之间的关系， 两条直线之间的距离 |a-b| 2 姨 = 1+4c 姨 2 姨 ∈ 2 姨 2 ， 3 姨 2 2 ) ， 故选 B. 5. BC 【解析 】 ∵A ， B 两点到直线 l 的距离相等 ， ∴AB∥l 或 l 过 AB 的中点 ， ∴ 4-2 -1-3 =-m 或 m+3+3=0 ， ∴m= 1 2 或 m=-6 ， 故选 BC. 6. AC 【解析 】 当 PQ 垂直直线 3x-4y+5=0 时 ， PQ 最短， Q 到直线的距离为 |3-4+5| 3 2 +4 2 姨 = 4 5 ， 故 A 正确； 69 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故 PQ 的长度范围为 4 5 ， + ! ∞ " ， 2 3 < 4 5 ， 故 D 错误； 当 PQ 最短时， 设 P m ， 3m+5 4 4 ! ， 则 k PQ = 1- 3m+5 4 1-m =- 4 3 ， 解得 m= 13 25 ， ∴P 13 25 ， 41 25 5 ! ， 故 C 正确； 此时直线 PQ 的方程是 y-1 41 25 -1 = x-1 13 25 -1 ， 即 4x+3y-7= 0 ， 故 B 错误 . 故选 AC. 7. （ 2 ， 2 ） x+y=0 【解析 】 ∵ 直线 l 1 ： （ m+1 ） x- （ m-3 ） y-8=0 （ m∈R ）， 整理得 m （ x-y ） + （ x+3y-8 ） =0 ， ∴ x-y=0 ， x+3y-8=0 0 ， 解得 x=y=2 ， 则直线 l 1 恒过定点 A （ 2 ， 2 ） . 过原点作直线 l 2 ∥l 1 ， 则当直线 l 1 与 l 2 的距离最大 时， l 2 与 OA 所在直线垂直 . 由 O （ 0 ， 0 ）， A （ 2 ， 2 ） 可知 直线 OA 的方程为 y=x ， ∴ 直线 l 2 的方程为 y=-x ， 即 x+ y=0. 8. 4 【解析】 ∵ 点 A （ 0 ， 2 ）， B （ 2 ， 0 ）， ∴ 直线 AB 的 方程为 x 2 + y 2 =1 ， 即 x+y-2=0 ， 且 |AB|=2 2 姨 . ∵△ABC 的面积为 2 ， 设点 C 到直线 AB 的距离为 d ， 则 1 2 ×2 2 姨 d=2 ， 可得 d= 2 姨 . 设点 C （ t ， t 2 ）， 则点 C （ t ， t 2 ） 到 x+y-2=0 的距离 d= |t+t 2 -2| 2 姨 = 2 姨 ， 可得 |t+t 2 -2|=2 ， ∴t 2 +t=4 或 t 2 +t=0 ， 解得 t 1 = -1- 17 姨 2 ， t 2 = -1+ 17 姨 2 ， t 3 =-1 ， t 4 =0 ， ∴ 使得 △ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 4 个 . 9. 解 ： （ 1 ） 坐 标 原 点 O 到 直 线 l 1 的 距 离 d 1 = |0-0+ 2 姨 | 1 2 + （ -1 ） 2 姨 =1 ， 坐标原点 O 到直线 l 2 的距离 d 2 =1+2 ， 坐标原点 O 到直线 l 3 的距离 d 3 =1+2+3 ， …， 坐标原 点 O 到直线 l 10 的距离 d 10 =1+2+3+ … +10=55. ∵d 10 = c 10 2 姨 ， ∴c 10 =55 2 姨 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， 直线 l 10 的方程为 x-y+55 2 姨 =0. 直线 l 10 与 x 轴交于点 M （ -55 2 姨 ， 0 ）， 与 y 轴交于 点 N （ 0 ， 55 2 姨 ）， 则 S △OMN = 1 2 · |OM|×|ON|= 1 2 × （ 55 2 姨 ） 2 =3 025. 10. 解： （ 1 ） ∵A （ -1 ， -1 ）， C （ 1 ， 1 ）， ∴k AC = -1-1 -1-1 = 1 ， ∴ 直线 AC 的方程为 y-1=1 （ x-1 ）， 即 x-y=0. （ 2 ） 若选 ① ， 若 △ABC 是等边三角形， 则 AC⊥BD. ∵AC 的中点坐标为 （ 0 ， 0 ）， ∴BD 过坐标原点 ， 则直线 BD 的方程为 y=-x. 设 B （ x ， -x ） （ x>0 ）， 由 |AC|=|BC| ， 则 （ -1-1 ） 2 + （ -1-1 ） 2 姨 = （ x-1 ） 2 + （ -x-1 ） 2 姨 ， 解得 x= 3 姨 或 x=- 3 姨 （舍去）， ∴B 点的坐标为 （ 3 姨 ， - 3 姨 ） . 若选 ② ， ∵k AC =1 ， ∴ 过点 E （ 3 姨 ， 3 姨 ） 垂直于 AC 的直线方程为 y- 3 姨 =- （ x- 3 姨 ）， 即 y=-x+2 3 姨 . 令 x=0 ， 则 y=2 3 姨 ， 令 y=0 ， 则 x=2 3 姨 ， 即 M （ 2 3 姨 ， 0 ）， N （ 0 ， 2 3 姨 ）， ∴|MN|= （ 2 3 姨 ） 2 + （ 2 3 姨 ） 2 姨 =2 6 姨 . ∵MN∥BD ， AC 的中点坐标为 （ 0 ， 0 ）， ∴BD 过坐 标原点， ∴ 直线 BD 的方程为 y=-x. 设 B （ x ， -x ） （ x>0 ）， 则 D （ -x ， x ）， ∵MN=BD ， ∴ （ 2x ） 2 + （ -2x ） 2 姨 =2 6 姨 ， 解得 x= 3 姨 或 x=- 3 姨 （舍去）， ∴B 点的坐标为 （ 3 姨 ， - 3 姨 ） . 若选 ③ ， ∵ 点 E （ -2 ， 0 ）， ∴k AE = -1-0 -1- （ -2 ） =-1. ∵AE∥ BD ， AC 的中点坐标为 （ 0 ， 0 ）， ∴BD 过坐标原点 ， ∴ 直线 BD 的方程为 y=-x. 设 B （ x ， -x ） （ x>0 ）， 则 D （ -x ， x ）， ∴ 点 B 到 AC 的距离 d= 2x 1 2 + （ -1 ） 2 姨 = 2 姨 x. 又 ∵|AC|= （ -1-1 ） 2 + （ -1-1 ） 2 姨 =2 2 姨 ， ∴S 荀ABCD =2S △ABC =2× 1 2 ×|AC | · d=4 3 姨 ， 即 2 2 姨 × 2 姨 x=4 3 姨 ， 解得 x= 3 姨 ， ∴ 点 B 的坐标为 （ 3 姨 ， - 3 姨 ） . 提升练习 11. A 【解析 】 ∵a ， b ， c 为直角三角形的三边长 ， 且 c 为斜边， ∴a 2 +b 2 =c 2 . ∵ 点 （ m ， n ） 在直线 ax+by+c=0 上 ， m 2 +n 2 姨 表示 原点到点 （ m ， n ） 的距离， ∴ 当原点到点 （ m ， n ） 的线段与直线 ax+by+c=0 垂 直时， m 2 +n 2 最小 . ∵ 原点到直线 ax+by+c=0 的距离为 |c| a 2 +b 2 姨 =1 ， ∴ m 2 +n 2 姨 的最小值为 1. 故选 A. 12. C 【解析】 点 M 到直线的距离为 d= 0 5 =0<2 ， 故 直线上存在点 P 使 |PM|=2 ， 符合 “ 2 域直线 ” 的定义 ， 故 A 正确； 点 M 到直线的距离为 d=2 ， 故直线上存在点 P 使 | PM|=2 ， 符合 “ 2 域直线” 的定义， 故 B 正确； 70 参 考 答 案 点 M 到直线的距离为 d= |3-4×4| 17 姨 = 13 17 姨 >2 ， 故直线 上不存在点 P 使 |PM |=2 ， 不符合 “ 2 域直线” 的定义 ， 故 C 错误； 点 M 到直线的距离为 d=2 ， 故直线上存在点 P 使 |PM|=2 ， 符合 “ 2 域直线” 的定义， 故 D 正确 . 故选 C. 13. BCD 【解析】 设 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）， 若 d 1 =d 2 =1 ， 则 ax 1 +by 1 +c=ax 2 +by 2 +c= a 2 +b 2 姨 ， 则点 P 1 ， P 2 在直线的同一侧， 且到直线距离相等 ， ∴ 直线 P 1 P 2 与直线 l 平行， 故 A 正确； 点 P 1 ， P 2 在直线 l 的两侧且到直线 l 的距离相等， 直线 P 1 P 2 不一定与 l 垂直， 故 B 错误； 若 d 1 =d 2 =0 ， 满足 d 1 +d 2 =0 ， 即 ax 1 +by 1 +c=ax 2 +by 2 +c= 0 ， 则点 P 1 ， P 2 都在直线 l 上， ∴ 此时直线 P 1 P 2 与直线 l 重合， 故 C 错误； 若 d 1 · d 2 ≤0 ， 即（ ax 1 +by 1 +c ）（ ax 2 +by 2 +c ） ≤0 ， ∴ 点 P 1 ， P 2 分别位于直线 l 的两侧或在直线 l 上， ∴ 直线 P 1 P 2 与 直线 l 相交或重合， 故 D 错误 . 故选 BCD. 14. 1 2 【解析】 由 x 2 -y 2 -x+3y-2=0 ， 可得 x- 1 2 2 $ 2 = y- 3 2 2 & 2 ， 即 x-y+1=0 或 x+y-2=0 ， 原点 O 到直线 x-y+1=0 的距离的平方为 d 2 = 1 2 姨 2 & 2 = 1 2 ， 原点 O 到直线 x+y-2=0 的距离的平方为 d 2 = |2| 2 姨 2 & 2 =2 ， ∴x 2 +y 2 的最小值为原点 O 到直线 x-y+1=0 的距离的 平方为 1 2 . * 15. 5 2 ， 11 5 ， 11 53 53 姨 【解析】 由已知显然 t>0 ， 等 式同除 a 2 +b 2 姨 ， 整理得 |2a+b+3| a 2 +b 2 姨 = |5a-3b+3| a 2 +b 2 姨 =t. 上面等式可以看成两个已知点 A （ 2 ， 1 ） 和 B （ 5 ， -3 ） 到直线 l ： ax+by+3=0 （不过原点） 的距离均为 t ， 即这 两个点到直线 l 的距离相等 . 由 |AB|= （ 5-2 ） 2 + （ -3-1 ） 2 姨 = 5. （ 1 ） 当 t= |AB| 2 = 5 2 ， 此时， 易得符合题意的直线 l 为线段 AB 的垂直平分线 6x-8y-29=0 以及与直线 AB 平 行的两条直线 8x+6y+3=0 和 8x+6y-47=0. （ 2 ） 当 t< |AB| 2 = 5 2 时， 有 4 条直线 l 会使得点 A （ 2 ， 1 ） 和 B （ 5 ， -3 ） 到它们的距离相等， ∵l 不过原点， ∴ 当其中一条直线过原点时， 会作为增根被舍去， 设点 A 到 l 的距离为 d. ① 作为增根被舍去的直线 l ， 过原点和 A ， B 的中点 M 7 2 ， - 2 & 1 ， 其方程为 2x+7y=0 ， 此时 t=d= 11 53 姨 < 5 2 ， 符合； ② 作为增根被舍去的直线 l ， 过原点且以A A( B 为方向 向量， 其方程为 4x+3y=0 ， 此时 t=d< 11 5 < 5 2 ， 符合 . 综上， 满足题意的实数 t 为 5 2 ， 11 5 ， 11 53 53 姨 . * 16. 解： （ 1 ） ∵ax+y-a-2= 0 ， 整理得 y=-a （ x-1 ） +2 ， ∴ 直 线过定点 Q （ 1 ， 2 ） . 当 OQ⊥l 1 时， 原点到直线 l 1 距离最 大 ， 此 时 最 大 值 为 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 ， 此时直线 l 1 的斜率为 - 1 2 ， 即 a= 1 2 ， ∴ 直线 l 1 的方程为 1 2 x+y- 1 2 -2=0 ， 即 x+2y-5=0. （ 2 ） 根据 ax+y-a-2=0 （ a>0 ） 得 A a+2 a ， 2 $ 0 ， B （ 0 ， a+2 ）， 直线 l 2 ： mx+ny=1 表示不经过原点的任意一条直线， 同时 l 2 与线段 AB 有且只有一个公共点 . 考虑 m 2 +n 2 姨 对应 l 2 的几何意义 ， ∵ 原点到直线 l 2 的距离为 d= 1 m 2 +n 2 姨 ， ∴ m 2 +n 2 姨 = 1 d . 如图， 若 P 是线段 AB 与直线 l 2 的公共点， 则 d≤OP≤max a+2 a ， a+ + + 2 = a+2 a ， 0<a≤1 ， a+2 ， a>1 1 . . . - . . . / . 当 a>1 时， m 2 +n 2 姨 ≥ 1 a+2 ， 当且仅当直线 l 2 过点 B， 且与 y 轴垂直时等号成立； 当 0<a≤1 时， m 2 +n 2 姨 ≥ a+2 2 ， 当且仅当直线 l 2 过 点 A， 且与 x 轴垂直时等号成立. ∴ f （ a）= 1 a+2 ， a>1 ， a a+2 ， 0<a≤1 1 . . . . - . . . . / . 阶段性练习卷 （四） 1. D 【解析】 可求斜率为 - 3 姨 3 ， 即 tanα=- 3 姨 3 ， ∵α∈ ［ 0 ， π ）， ∴α= 5π 6 . 故选 D. 2. A 【解析】 所求直线过原点， 且与已知直线垂直， 可得直线 y=- 1 3 x ， 向右平移 １ 个单位后的直线方程为 y=- 1 3 （ x-1 ） . 故选 A. x y O d A B P l 1 l 2 第 16 题答图 71