2.2.3 两条直线的位置关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 掌握两条直线相交的判定方法， 会求 两条相交直线的交点坐标 . 2. 会根据直线的斜率和截距判断两条直 线是否相交、 平行、 重合 . 3. 能利用直线的法向量判断两条直线是 否相交、 平行、 重合 . 4. 会利用法向量推导出两条直线垂直的 条件： A 1 A 2 +B 1 B 2 =0 和 k 1 k 2 =-1 ， 并能熟练地 运用这两个条件解决有关垂直问题 . 5. 学会根据已知条件灵活选取恰当的方 法判定两条直线的位置关系 . 要 点 精 析 要点 1 两条直线的相交、 平行与重合 1. 判断方法 （ 1 ） 解方程组， 判断公共点个数 若直线 l 1 ： y=k 1 x+b 1 ， l 2 ： y=k 2 x+b 2 ， 则可 得方程组 y=k 1 x+b 1 ， y=k 2 x+b 2 2 ， 消去 y 整理可得 （ k 1 - k 2 ） x=- （ b 1 -b 2 ） . （ * ） ① 当且仅当 k 1 -k 2 ≠0 ， 即 k 1 ≠k 2 时， 方 程 （ * ） 有唯一的解， ∴ 方程组有唯一解 . 此 时直线 l 1 与 l 2 相交， 交点坐标即为方程组的 解 - b 1 -b 2 k 1 -k 2 ， b 2 k 1 -b 1 k 2 k 1 -k 2 2 $ ； ② 当且仅当 k 1 -k 2 =0 且 - （ b 1 -b 2 ） ≠0 ， 即 k 1 =k 2 且 b 1 ≠b 2 时， 方程 （ * ） 无解， 此时方 程组也无解， ∴ 直线 l 1 与 l 2 没有交点， 因此 两直线平行； ③ 当且仅当 k 1 -k 2 =0 且 - （ b 1 -b 2 ） =0 ， 即 k 1 =k 2 且 b 1 =b 2 时， 方程 （ * ） 有无数个解， 此 时方程组也有无数组解， 所以直线 l 1 与 l 2 的 方程完全一样， 因此两直线重合 . （ 2 ） 观察几何特征量： 斜率和截距 对于两条直线 l 1 ， l 2 ， 倾斜角分别为 琢 1 ， 琢 2 ， 则倾斜角相等是两直线平行的必要条件 . 对于倾斜角不为 仔 2 的直线， 可知其倾斜角和 斜率是一一对应的 . 如果两条直线的斜率分别记作 k 1 ， k 2 ， 则有： k 1 ≠k 2 时， 两直线相交； k 1 =k 2 时， 两直线平行或重合 . 此时要看 两直线是否平行， 还要看两直线的截距是否 相等 . 如截距不等， 则两直线平行； 如截距 相等， 则两直线重合 . 结论： 若直线 l 1 ： y=k 1 x+b 1 ， l 2 ： y=k 2 x+b 2 ， 则： l 1 与 l 2 相交 圳k 1 ≠k 2 ； l 1 与 l 2 平行 圳k 1 =k 2 且 b 1 ≠b 2 ； l 1 与 l 2 重合 圳k 1 =k 2 且 b 1 =b 2 . 思考 上面结论包括了平面直角坐标 系中所有的直线吗？ 如果没有， 请想一想 利用直线方程的哪种形式研究能包括所有 直线呢？ 2.2.3 两条直线的位置关系 第 1课时 两条直线的位置关系 54 第二章 平面解析几何 学 （ 3 ） 向量法： 可以利用直线的法向量推 导两直线的位置关系 . 设直线 l 1 ： A 1 x+B 1 y+C 1 =0 ， l 2 ： A 2 x+B 2 y+C 2 =0 ， 直线 l 1 ， l 2 的法向量 分别为 v 1 = （ A 1 ， B 1 ）， v 2 = （ A 2 ， B 2 ） . 利用 v 1 ， v 2 是否共线来判断直线的位置关系 . 显然： ①l 1 与 l 2 相交 圳v 1 ， v 2 不共线， 即 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ； ②l 1 与 l 2 平行 圳A 1 B 2 =A 2 B 1 ， A 1 C 2 ≠A 2 C 1 ， 即存在非零实数 姿 ， 使 A 1 =姿A 2 ， B 1 =姿B 2 ， C 1 ≠姿C 2 2 % % % % % $ % % % % % & ； ③l 1 与 l 2 重合 圳 A 1 =姿A 2 ， B 1 =姿B 2 ， C 1 =姿C 2 2 % % % % % 2 % % % % % & . 注： 可以利用对应项系数是否成比例来 进行记忆， 只是使用时要注意处在分母上的 数不能为 0. 2. 求两直线的交点 方法： 将两条直线方程联立， 解二元一 次方程组 A 1 x+B 1 y+C 1 =0 ， A 2 x+B 2 y+C 2 =0 0 ， 以这个方程组的解 为坐标的点即为这两条直线的交点 . 思考 判断两直线相交的方法有哪些？ 3. 平行直线系方程 与已知直线 l ： Ax+By+C=0 平行的直线 方程可设为 Ax+By+D=0 （ D≠C ） . 当 D 取异于 C 的不同值时， 方程 Ax+ By+D=0 代表不同的直线， 但这些直线都与 直线 l ： Ax+By+C=0 平行， 因此我们把方程 Ax+By+D=0 称为与直线 l 平行的直线系方 程 . 显然， 只要再知道一个具体条件， 就可 以确定 D 的值， 进而求出具体的直线方程 . 例 1 判断下列各对直线的位置关系， 如果相交， 求出交点的坐标 . （ 1 ） l 1 ： x-y=0 ， l 2 ： 3x+3y-10=0 ； （ 2 ） l 1 ： 3x-y+4=0 ， l 2 ： 6x-2y-1=0 ； （ 3 ） l 1 ： 3x+4y-5=0 ， l 2 ： 6x+8y-10=0. 解： （ 1 ） 由题知直线 l 1 ， l 2 的斜率分别 为 k 1 =1 ， k 2 =-1 ， k 1 ≠k 2 ， ∴ 直线 l 1 ， l 2 相交 . 解方程组 x-y=0 ， 3x+3y-10= 0 0 得 x= 5 3 ， y= 5 3 3 % % % % % % 2 % % % % % % & . ∴ 直线 l 1 ， l 2 的交点坐标为 5 3 ， 5 3 3 + . （ 2 ） 由题知 l 1 ， l 2 的斜率分别为 k 1 =3 ， k 2 =3 ， 截距分别为 b 1 =4 ， b 2 =- 1 2 . ∴k 1 =k 2 且 b 1 ≠b 2 ， ∴ 直线 l 1 ， l 2 平行 . （ 3 ） 由题知 l 1 ， l 2 的斜率分别为 k 1 =- 3 4 ， k 2 =- 3 4 ， 截距分别为 b 1 = 5 4 ， b 2 = 5 4 . ∴k 1 =k 2 且 b 1 =b 2 ， ∴ 直线 l 1 ， l 2 重合 . 变式训练 1 判断下列各对直线是否平行 . （ 1 ） 经过 A （ 2 ， 3 ）， B （ -1 ， 0 ） 两点的 直线 l 1 ， 与经过点 P （ 1 ， 0 ） 且斜率为 1 的直 线 l 2 ； （ 2 ） 经过 C （ 3 ， 1 ）， D （ -2 ， 0 ） 两点的 直线 l 3 ， 与经过点 M （ 1 ， -4 ） 且斜率为 -4 的 直线 l 4 . 55 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 例 2 已知直线 l 过点 A （ 1 ， 1 ）， 且与直 线 2x+3y+5=0 平行， 求直线 l 的方程 . 解： 方法一： 由 2x+3y+5=0 可知直线的 斜率 k=- 2 3 ， ∴ 直线 l 的斜率也为 - 2 3 . 又 ∵ 直线 l 过点 A （ 1 ， 1 ）， 由点斜式方程可知直 线 l 的方程为 y-1=- 2 3 （ x-1 ）， 即 2x+3y-5=0. 方法二： 由 2x+3y+5=0 可知直线的一个 法向量 v= （ 2 ， 3 ）， ∴ 直线 l 的一个法向量也 为 （ 2 ， 3 ） . 又 ∵ 直线 l 过点 A （ 1 ， 1 ）， 由 直线方程的点法式可知直线 l 的方程为 2 （ x- 1 ） +3 （ y-1 ） =0 ， 即 2x+3y-5=0. 方法三： 由直线 l 与直线 2x+3y+5=0 平 行， 可设直线 l 的方程为 2x+3y+D=0. 又 ∵ 直线 l 过点 A （ 1 ， 1 ）， ∴2×1+3×1+ D=0 ， 解得 D=-5. ∴ 直线 l 的方程为 2x+3y- 5=0. 变式训练 2 若直线 l 过点 （ 3 ， 4 ）， 且平行于直线 7x-2y-3=0 ， 则直线 l 的方程为 . 要点 2 两条直线的垂直 1. 判断方法 （ 1 ） 利用方向向量： 若直线 l 1 ： y=k 1 x+ b 1 ， l 2 ： y=k 2 x+b 2 ， 则直线 l 1 与 l 2 的方向向量 分别记作 a 1 = （ 1 ， k 1 ）， a 2 = （ 1 ， k 2 ） . 当 l 1 ⊥l 2 时， 有 a 1 ⊥a 2 ， ∴a 1 · a 2 =1+k 1 k 2 =0 ， 即 k 1 k 2 =-1. 思考 上面结论包括了平面直角坐标 系中的所有的直线吗？ 如果不包括， 什么 样的直线无法用此结论判断呢？ 应该如何 判断？ （ 2 ） 利用法向量： 设直线 l 1 ： A 1 x+B 1 y+ C 1 =0 ， l 2 ： A 2 x+B 2 y+C 2 =0 ， 则直线 l 1 的法向 量为 v 1 = （ A 1 ， B 1 ）， 直线 l 2 的法向量为 v 2 = （ A 2 ， B 2 ） . 当直线 l 1 ⊥l 2 时， v 1 ⊥v 2 ， ∴v 1 · v 2 圳A 1 A 2 +B 1 B 2 =0. 2. 垂直直线系方程 由上述充要条件可以看出与直线 l ： Ax+ By+C=0 垂直的直线可设为 Bx-Ay+D=0. 与平行直线系方程一样， 当 D 取不同的 值时， 方程 Bx-Ay+D=0 代表不同的直线， 但这些直线都与直线 Ax+By+C=0 垂直， 因 此我们把方程 Bx-Ay+D=0 称为与直线 l 垂直 的直线系方程 . 显然， 只要再知道一个具体 条件， 就可以确定 D 的值， 进而求出具体的 直线方程 . 例 3 判断下列各对直线是否垂直 . （ 1 ） l 1 ： x+1=0 ， l 2 ： y-1=0 ； （ 2 ） l 1 ： （ 2 姨 +1 ） x+y=3 ， l 2 ： x- （ 2 姨 -1 ） y-1=0. 解： （ 1 ） 由 l 1 ： x+1=0 ， l 2 ： y-1=0 可 知 ， 直线 l 1 ⊥x 轴 ， 直线 l 2 ∥x 轴 ， ∴ 直线 l 1 ⊥l 2 . （ 2 ） 由 l 1 ： （ 2 姨 +1 ） x+y=3 ， l 2 ： x- （ 2 姨 -1 ） y-1=0 可知， A 1 A 2 +B 1 B 2 = 2 姨 +1- （ 2 姨 -1 ） =2≠0 ， ∴ 直线 l 1 与 l 2 不垂直 . 变式训练 3 已知直线 a （ a-1 ） x+y-1=0 与直线 3x+ay+ 1=0 垂直， 则实数 a= （ ） 56 第二章 平面解析几何 学 A. 1 2 B. 0 或 1 2 C. 0 或 2 3 D. 2 3 例 4 求过点 （ 1 ， 0 ） 且与直线 x-2y- 2=0 垂直的直线 l 的方程 . 解： 方法一： 由直线 x-2y-2=0 可知其 斜率为 1 2 ， ∴ 直线 l 的斜率 k=-2. 又 ∵ 直线 l 过点 （ 1 ， 0 ）， 根据直线方 程的点斜式， 直线 l 的方程为 y=-2 （ x-1 ）， 即 2x+y-2=0. 方法二： 由直线 x-2y-2=0 可知它的一 个方向向量 a= （ 2 ， 1 ）， 则此向量是直线 l 的 法向量 . 又 ∵ 直线 l 过点 （ 1 ， 0 ）， 根据直线方 程的点法式有 2 （ x-1 ） + （ y-0 ） =0 ， 即 2x+y-2=0. 方法三： 直线 l 可设为 2x+y+D=0 ， 又 ∵ 直线 l 过点 （ 1 ， 0 ）， ∴2×1+0+D=0 ， 解得 D=-2 ， ∴ 直线 l 的方程为 2x+y-2=0. 变式训练 4 过两直线 l 1 ： x-3y+1=0 ， l 2 ： x+2y+6=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 垂直的直线方程 为 （ ） A. x-3y+1=0 B. 3x+y+7=0 C. x-3y-11=0 D. 3x+y+13=0 数 学 文 化 例 如图 2-2-5 （ A ） 是某晶体的阴阳 离子单层排列的平面示意图 . 其阴离子排列 如图 2-2-5 （ B ） 所示， 图 2-2-5 （ B ） 中圆 的半径均为 1 ， 且相邻的圆都相切， A ， B ， C ， D 是其中四个圆的圆心， 建立如图所示 的平面直角坐标系 . （ 1 ） 求直线 AB 与 CD 的方程； （ 2 ） 判断直线 BD 与 x 轴的位置关系； （ 3 ） 判断直线 AB 与 CD 的位置关系 ， 若这两条直线相交， 求交点坐标 . 解： 由图 2-2-5 （ B ） 所示平面直角坐 标系可知 A ， B ， C ， D 四点坐标分别为 （ -5 ， 2 ）， （ -1 ， -2 ）， （ 0 ， 0 ）， （ 5 ， -2 ） . （ 1 ） 由直线方程的两点式可知， 直线 AB 的方程为 y- （ -2 ） 2- （ -2 ） = x- （ -1 ） -5- （ -1 ） ， 化为一般式为 x+y+3=0. 直线 CD 的方程为 y-0 -2-0 = x-0 5-0 ， 化为一 般式为 2x+5y=0. （ 2 ） 由题可知直线 BD 的方程为 y=-2 ， 与 x 轴平行 . （ 3 ） 解方程组 x+y+3=0 ， 2x+5y= = 0 得 x=-5 ， y=2 = . ∴ 直线 AB 与 CD 相交， 且交点为 （ -5 ， 2 ） . x y A B C D 图 2-2-5 （ A ） 图 2-2-5 （ B ） 57 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 会利用中点坐标公式求解点关于点对 称的问题 . 2. 会求点关于直线对称的对称点的坐标 . 3. 能将直线关于点对称问题转化为点关 于点对称问题 . 4. 会求直线关于直线对称的直线方程 . 5. 了解直线关于点或直线的对称问题可 以转化为直线上的点关于点或直线的对称 问题 . 要 点 精 析 要点 1 点的对称 1. 点关于点的对称 求点 P 1 （ x 1 ， y 1 ） 关于点 P 2 （ x 2 ， y 2 ） 的对 称点 P （ x ， y ） . 由中点坐标公式得 x 2 = x 1 +x 2 ， y 2 = y 1 +y 2 2 # # # # # # " # # # # # # $ ， 解得点 P 的坐标为 （ 2x 2 -x 1 ， 2y 2 -y 1 ） . 2. 点关于直线的对称 已知点 P （ x ， y ）， 直线 l ： Ax+By+C=0 （ A 2 +B 2 ≠0 ）， 求点 P 关于直线 l 的对称点的 坐标 . 设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′ （ x′ ， y′ ）， 因为直线 l 是线段 PP′ 的垂直平分线， 所以需满足两个条件： 垂直且平分， 可以分 两步来求： 第一步， 直线 l⊥PP′ ， ∴k l · k PP′ =-1 ① ； 第二步， PP′ 的中点在直线 l 上， 即点 x+x′ 2 ， y+y′ 2 2 ( 满足直线方程 Ax+By+C=0 ， 即 A x+x′ 2 +B y+y′ 2 +C=0 ②. 联立方程 ①② ， 即可求出 P′ 的坐标 . 思考 你能写出点 A （ a ， b ） 分别关于 x 轴、 y 轴、 直线 y=x 、 直线 y=-x 、 直线 x= m 、 直线 y=n 对称的点的坐标吗？ 例 1 已知点 A （ -3 ， 1 ）， C （ 1 ， y ） 关于 点 B （ -1 ， -3 ） 对称， 求 ｜AC｜. 解： 由中点坐标公式可得 y+1 2 =-3 ， 解得 y=-7 ， 即 C （ 1 ， -7 ）， ∴｜AC｜= （ -3-1 ） 2 + （ 1+7 ） 2 姨 =4 5 姨 . 变式训练 1 已知直线 l 经过点 P （ -2 ， -3 ）， 若直线 l 与直线 2x-y-2=0 和 x+y-1=0 分别相交得交 点 A ， B ， 且 A ， B 两点关于点 P 对称， 求 直线 l 的方程 ． 例 2 已知直线 l ： y=3x+3 ， 求点 P （ 4 ， 5 ） 关于直线 l 的对称点的坐标 . 分析 两个点关于一条直线对称满足 两个条件： 一是两点连线和对称轴垂直； 二是两点的中点在对称轴上 . 第 2课时 对称问题 58 第二章 平面解析几何 学 解 ： 设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′ （ x ， y ）， 则 y-5 x-4 · 3=-1 ， y+5 2 =3 · x+4 2 +3 3 # # # # # # " # # # # # # $ ， 解得 x=-2 ， y=7 % ， 故点 P （ 4 ， 5 ） 关于直线 l 的对称点为 P′ （ -2 ， 7 ） . 变式训练 2 已知 A （ 2 ， 4 ） 与 B （ 3 ， 3 ） 关于直线 l 对称， 则直线 l 的方程为 . 要点 2 直线的对称 1. 直线关于点的对称 已知直线 l ： Ax+By+C=0 ， 点 P （ x ， y ）， 求直线 l 关于点 P 的对称直线的方程 . 方法一： 直线关于点的对称实际上可以 转化为直线上的点关于点的对称 . 方法二： 直线 l ： Ax+By+C=0 关于点对 称的直线 l′ 平行于直线 l ， 故可设 l′ ： Ax+ By+C′=0. 在直线 l 上选取一个特殊点， 这个点的 对称点在直线 l′ 上， 代入设出的 l′ 的方程即 可求解 . 2. 直线关于直线的对称 已知直线 l 1 ： A 1 x+B 1 y+C 1 =0 ， l 2 ： A 2 x+ B 2 y+C 2 =0 ， 求直线 l 1 关于直线 l 2 的对称直线 的方程 . 方法一： 直线关于直线对称的实质是求 直线 l 1 上的任意一点关于直线 l 2 的对称点， 可采用相关点法求解对称的直线的方程 . 方法二： 分两种情况 （ 1 ） 若 l 1 ∥l 2 ， 可设所求直线方程为 A 1 x+B 1 y+C′=0 （ C′≠C 1 ， C′≠C 2 ）， 然后在 l 1 上找一点 P ， 求出点 P 关于直线 l 2 的对称点 P′ （ x′ ， y′ ）， 代入到所设直线方程中， 即可 解出 C′. （ 2 ） 若 l 1 与 l 2 相交， 则所求直线一定通 过此交点， 因此先求出 l 1 与 l 2 的交点 M 的 坐标， 再在 l 1 上找一点 P ， 求出点 P 关于直 线 l 2 的对称点 P′ （ x′ ， y′ ）， 由 M ， P′ 两点确 定所求直线的方程 . 思考 已知直线 l ： Ax+By+C=0 ， 你能 写出直线 l 分别关于 x 轴、 y 轴、 直线 y=x 、 直线 y=-x 对称的直线的方程吗？ 例 3 求直线 l ： x+2y-1=0 关于点 （ 1 ， -1 ） 对称的直线 l′ 的方程 . 解： 由题意得 l′∥l ， 故设 l′ ： x+2y+C=0 （ C≠-1 ）， 在 l 上取点 A （ 1 ， 0 ）， 则点 A （ 1 ， 0 ） 关于点 （ 1 ， -1 ） 的对称点是 A′ （ 1 ， -2 ）， ∴1+2× （ -2 ） +C=0 ， 即 C=3 ， 故直线 l′ 的方程为 x+2y+3=0. 变式训练 3 直线 ax+y+3a-1=0 恒过定点 M ， 则直线 2x+3y-6=0 关于 M 点对称的直线方程为 . 例 4 求直线 a ： 2x+y-4=0 关于直线 l ： 3x+4y-1=0 对称的直线 b 的方程 . 解 ： 方法一 ： 设直线 a 上任意一点 P （ x 0 ， y 0 ）， 它的对称点 P′ （ x ， y ） 在直线 b 上， 则点 P 与点 P′ 关于直线 l 对称， ∴ y-y 0 x-x 0 · - 3 4 4 ) =-1 ， 3 · x+x 0 2 +4 · y+y 0 2 -1=0 3 # # # # # # " # # # # # # $ ， 59 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 解得 x 0 = 6+7x-24y 25 ， y 0 = 8-24x-7y 25 5 # # # # # # " # # # # # # $ . ∵2x 0 +y 0 -4=0 ， ∴2 · ６+7x-24y 25 + 8-24x-7y 25 -4=0 ， 化简得直线 b 的方程为 2x+11y+16=0. 方法二： 由题知直线 a 与直线 l 相交， ∴ 直线 b 通过直线 a 与直线 l 的交点 . 由 2x+y-4=0 ， 3x+4y-1=0 0 ， 得直线 a 与直线 l 的交点 M 为 （ 3 ， -2 ） . 在直线 a 上取点 P （ 2 ， 0 ）， 设其关于直 线 l 的对称点为 P′ （ x 0 ， y 0 ）， 则有 y 0 -0 x 0 -2 · - 3 4 4 ' =-1 ， 3× 2+x 0 2 +4× y 0 2 -1=0 5 # # # # # # " # # # # # # $ ， 解得 x 0 = 4 5 ， y 0 =- 8 5 5 # # # # # # " # # # # # # $ . 由 M ， P′ 两点都在直线 b 上， 根据直线方程的两点式得直线 b 的方程 为 2x+11y+16=0. 变式训练 4 与直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的 直线的方程为 . 例 5 已知平面上两点 A （ 4 ， 1 ） 和 B （ 0 ， 4 ）， 在直线 l ： 3x-y-1=0 上求一点 M ： （ 1 ） 使 ｜｜MA｜-｜MB｜｜ 最大； （ 2 ） 使 ｜MA｜+｜MB｜ 最小 . 解： （ 1 ） 如图 2-2-6 （ A ）， 先作点 B 关于直线 l 的对称点 B′ ， 连接 AB′ 并延长交 l 于点 M ， 则点 M 即为所求 . 由图 2-2-6 （ A ） 知 ， A ， B′ ， M 三点共线且 M 在线段 AB′ 的延长线上时， ｜｜MA｜-｜MB｜｜ 最大 . 设 B′ （ x ， y ）， ∵ 点 B 、 点 B′ 关于直线 l 对称， ∴ y-4 x-0 · 3=-1 ， 3× x 2 - y+4 2 -1=0 5 # # # # # # " # # # # # # $ ， 解得 x=3 ， y=3 0 ， 即 B′ （ 3 ， 3 ）， ∴AB′ 所在直线的方程为 2x+y-9=0. 此时， 联立 2x+y-9=0 ， 3x-y-1=0 0 ， 解得 x=2 ， y=5 0 ， 即点 M 的坐标为 （ 2 ， 5 ） . （ 2 ） 如图 2-2-6 （ B ）， 连接 AB ， 交直 线 l 于点 M ， 则点 M 即为所求 . 由图 2-2-6 （ B ） 知， A ， M ， B 三点共线且 M 在线段 AB 上时， ｜MA｜+｜MB｜ 最小 . 由线段 AB 所在直线的方程为 3x+4y- 16=0. 联立 3x+4y-16=0 ， 3x-y-1=0 0 ， 解得 x= 4 3 ， y=3 5 # # # # " # # # # $ ， ∴ 点 M 的坐标为 4 3 ， 4 ， 3 . 数 学 文 化 例 在几何光学中可用一条表示光传播 方向的几何线来代表光， 并称这条线为光线 . 光在均匀透明的介质中， 遵循直线传播定律， 图 2-2-6 （ A ） x y O （ 4 ， 1 ） （ 0 ， 4 ） A B M 1 -1 图 2-2-6 （ B ） x y O （ 4 ， 1 ） A B M 1 -1 （ 0 ， 4 ） B′ l l 60 第二章 平面解析几何 学 即光的反射定律和折射定律 . 光的反射定律： 反射线在入射线和法线所决定的平面上， 反 射线和入射线分别位于法线的两侧； 反射角 和入射角相等 . 在反射现象里光路是可逆的 . （ 1 ） 如图 2-2-7 （ A ） 所示 . 一条光线从点 A （ 1 ， 2 ） 出发， 经过直线 y=x-2 反射后到达 点 B （ -3 ， 0 ）， 如图 2-2-7 （ B ） 所示 . 求反射 光线所在直线的方程， 并在图 2-2-7 （ B ） 中作出光线从 A 到 B 的入射和反射路径 . （ 2 ） 已知 C （ -1 ， 0 ）， 直线 l 的斜率小于 0 ， 且 l 经过点 D （ 4 ， 7 ）， l 与坐标轴交于 M ， N 两点， 试问 △CMN 的面积是否存在最值 . 若存在， 求出相应的最值； 若不存在， 请说 明理由 . 分析 （ 1 ） 求得点 A 关于直线 y=x-2 的对称点 A′ 的坐标， 由此求得反射光线所 在直线方程， 并画出图象 . （ 2 ） 设直线 l ： y-7=k （ x-4 ） （ k<0 ）， 求得 △CMN 的面积 S 的表达式， 结合基本不等式 求得 S 的取值范围， 由此确定正确结论 . 解： （ 1 ） 设点 A 关于直线 y=x-2 的对 称点为 A′ （ x ， y ） ， 则 y-2 x-1 =-1 ， y+2 2 = x+1 2 -2 2 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， 解得 x=4 ， y=-1 1 ， ∴A′ （ 4 ， -1 ）， ∴ 反射光线所在直线 为 A′B ， 其方程为 y= -1-0 4+3 （ x+3 ）， 即 x+7y+3=0. 光线从 A 到 B 的入射和反射路径如图 2-2-8 所示 . （ 2 ） 由题意可设直线 l ： y-7=k （ x-4 ） （ k<0 ） . 不妨假设 M 在 x 轴上， 则 M 4- 7 k ， ， ( 0 ， N （ 0 ， 7-4k ）， 则 △CMN 的面积 S= 1 2 4- 7 k + ， + 1 （ 7-4k ） = 1 2 63- 49 k -20 ， + k . ∵k<0 ， ∴- 49 k >0 ， -20k>0 ， ∴S≥ 1 2 × （ 63+2 49×20 姨 ） = 63+28 5 姨 2 ， 当且仅当 - 49 k =-20k （ k<0 ）， 即 k=- 7 5 姨 10 时， 等号成立 . 故 △CMN 的面积存在最小值， 不存在 最大值， 且最小值为 63+28 5 姨 2 . 图 2-2-7 （ A ） 图 2-2-7 （ B ） 图 2-2-8 A B x y O 2 -2 4 A′ A B x y O 1 -3 2 -2 61 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 可得直线 FH 的方程为 y-3=- 1 4 （ x-2 ）， 化简得 x+4y- 14=0. 16. 解 ： （ 1 ） 如图 ， 过点 M 作 MN⊥OA 于点 N ， 故 △AMN∽△ABO ， ∴ |MN| |BO| = |AN| |AO| = |AM| |AB| = 1 3 . 由 M （ 2 ， 1 ） 可得 |MN|=1 ， |NO|=2 ， ∴|AO|=|BO|=3 ， 故 A （ 3 ， 0 ）， B （ 0 ， 3 ）， ∴ 直线 l 的方程为 x 3 + y 3 = 1 ， 即 x+y-3=0. （ 2 ） 由题意， 设直线 l 的方程为 x a + y b =1 （a>0 ， b>0 ）， 则 |OA|=a ， |OB|=b ， ∴S △AOB = 1 2 ab. 由于直线过 M （ 2 ， 1 ）， 故 2 a + 1 b =1. 由于 a>0 ， b>0 ， 故 1= 2 a + 1 b ≥2 2 a · 1 b 姨 ， 当且仅当 2 a = 1 b ， 即 a=4 ， b=2 时等号成立， 即 2 2 a · 1 b 姨 ≤1 ， ∴ab≥8 ， 故 S △AOB = 1 2 ab≥4. 此 时直线 l 的方程为 x 4 + y 2 =1 ， 即 x+2y-4=0. 2.2.3 两条直线的位置关系 第 1 课时 两条直线的位置关系 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 由两点的斜率公式可知直线 l 1 的 斜率 k 1 = 0-3 -1-2 =1 ， 又 ∵ 直线 l 2 的斜率 k 2 =1 ， ∴k 1 =k 2 . 由 直线 l 1 过点 B （ -1 ， 0 ）， 直线 l 2 过点 P （ 1 ， 0 ）， ∴ 直线 l 1 与 l 2 平行 . （ 2 ） 由两点的斜率公式可知直线 l 3 的斜率 k 3 = 0-1 -2-3 = 1 5 ， 又 ∵ 直线 l 4 的斜率 k 4 =-4 ， ∴k 3 ≠k 4 ， ∴ 直线 l 1 与 l 2 相交， 此时这两直线不平行 . 变式训练 2 7x-2y-13=0 【解析】 由直线 l 平行于直线 7x-2y-3=0 ， 可设直线 l 的方程为 7x-2y+D=0. 又 ∵ 直线 l 过点 （ 3 ， 4 ）， ∴7×3-2×4+D=0 ， 解得 D=-13 ， ∴ 直线 l 的方程为 7x-2y-13=0. 变式训练 3 C 【解析】 ∵ 直线 a （ a-1 ） x+y-1=0 与直线 3x+ay+1=0 垂直， ∴3a （ a-1 ） +a=0 ， 解得 a=0 或 a= 2 3 . 故 选 C. 变式训练 4 A 【解析】 联立直线 l 1 ， l 2 的方程， 解方程 组 x-3y+1=0 ， x+2y+6=0 0 ， 解得 x=-4 ， y=-1 0 . ∴ 直线 l 1 与 l 2 的交点坐标为 （ -4 ， -1 ） . 设与直线 3x+y-1=0 垂直的直线方程为 x-3y+D=0 ， ∴-4-3× （ -1 ） +D=0 ， 解得 D=1 ， ∴ 所求直线方程为 x-3y+1=0. 故选 A. 随堂练习 1. D 【解析】 ∵ 直线 3x-4y+4=0 与直线 ax+8y+7=0 平行， ∴3×8- （ -4 ） a=0 ， 解得 a=-6. 故选 D. 2. C 【解 析 】 由 x+y-4=0 ， 2x-y-5=0 0 ， 得 x=3 ， y=1 0 ， 故 A∩B = { （ 3 ， 1 ） }. 故选 C. 3. BC 【解析】 当 B=0 时， 直线斜率不存在， 故 A 错误； 由题意， α∈ ［ 0 ， π ）， 故 sinα≥0 ， B 正确； 由直线垂直的判定知 ， 两条直线的斜率之积等于 -1 ， 则两条直线垂直， C 正确； 直线在两坐标轴上的截距都为 0 ， 且斜率不等于 -1 时， 直线的方程不可写为 x+y-a=0 ， D 错误 . 故选 BC. 4. 1 2 【解析】 ∵ 直线 l 1 ： x+ay+6=0 和 l 2 ： （ a-2 ） x+ 3y+2a=0 ， 且 l 1 ⊥l 2 ， ∴ （ a-2 ） ×1+3a=0 ， 解得 a= 1 2 . 5. 解： 方法一： 直线 l 的方程可化为 y=- 3 4 x+3 ， ∴ 直线 l 的斜率为 - 3 4 . （ 1 ） 由直线 l′ 与 l 平行得， 直线 l′ 的斜率为 - 3 4 . 又 ∵ 直线 l′ 过点 （ -1 ， 3 ）， 由点斜式知直线 l′ 的方程为 y- 3=- 3 4 （ x+1 ）， 即 3x+4y-9=0. （ 2 ） 由直线 l′ 与 l 垂直得， 直线 l′ 的斜率为 4 3 . 又 ∵ 直线 l′ 过点 （ -1 ， 3 ）， 由点斜式知直线 l′ 的方程为 y-3= 4 3 （ x+1 ）， 即 4x-3y+13=0. 方法二： （ 1 ） 由直线 l′ 与 l 平行， 可设直线 l′ 的方 程为 3x+4y+m=0 （ m≠-12 ） . 将点 （ -1 ， 3 ） 的坐标代入上式得 m=-9 ， ∴ 直线 l′ 的方程为 3x+4y-9=0. （ 2 ） 由直线 l′ 与 l 垂直， 可设直线 l′ 的方程为 4x- 3y+n=0. 将点 （ -1 ， 3 ） 的坐标代入上式得 n=13 ， ∴ 直线 l′ x y O E M N G H F A B C 第 15 题答图 第 16 题答图 x y O M N A B 62 参 考 答 案 的方程为 4x-3y+13=0. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 由两直线平行得 a 2 -1=0 ， 解得 a=±1. 又当 a=1 时， 直线 l 1 ： x+y+1=0 与直线 l 2 ： x+y+1=0 重合， 与题意不符； 当 a=-1 时， 直线 l 1 ： -x+y+1=0 与直线 l 2 ： x-y-3=0 平行， 符合题意 . 故选 B. 2. C 【解析】 由两直线垂直可得 a 2 -1+2 （a-1 ） =0 ， 解 得 a=-3 或 1. 故选 C. 3. A 【解析】 ∵A （ -4 ， 3 ） ， B （ 2 ， 5 ） ， C （ 3 ， 2 ） ， D （ -3 ， 0 ）， ∴k AB = 3-5 -4-2 = 1 3 ， k BC = 5-2 2-3 =-3 ， k CD = 2-0 3- （ -3 ） = 1 3 ， k AD = 3-0 -4- （ -3 ） =-3 ， ∴k AB =k CD ， k BC =k AD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 故选 A. 4. C 【解析】 ∵ 直线 l 1 ： 2x+2y-1=0 ， l 2 ： 4x+ny+3=0 ， 且 l 1 ∥l 2 ， ∴2n=2×4 ， 解得 n=4 ， 经检验成立 . ∵ 直线 l 1 ： 2x+2y-1=0 ， l 3 ： mx+6y+1=0 ， 且 l 1 ⊥l 3 ， ∴2m+2×6=0 ， 解得 m=-6 ， ∴m+n=-2 ， 故选 C. 5. AB 【解析】 直线 2x-y+1=0 的斜率为 2 ， 则过点 （ -1 ， 2 ） 且与直线 2x-y+1=0 平行的直线的方程为 y-2= 2 （ x+1 ）， 即 2x-y+4=0 ， A 正确 . 直线 2x-y+1=0 的斜率为 2 ， 则过点 （ -1 ， 2 ） 且与 直线 2x-y+1=0 垂直的直线的方程为 y-2=- 1 2 （ x+1 ）， 即 x+2y-3=0 ， B 正确 . 直线 l 1 ： ax+3y+4=0 的斜率为 - a 3 ， ∵ 直线 l 1 与直线 l 2 平行， 则直线 l 2 的斜率存在， 且 - 1 a-2 =- a 3 ， 解得 a= -1 或 3. 当 a=-1 时， 两直线重合， 当 a=3 时， 两直线平 行， C 错误 . ∵ 直线过点 M （ -3 ， 2 ）， 且在两坐标轴上的截距相 等， 则当截距都为 0 时， 直线方程为 y=- 2 3 x ， 截距不 为 0 时， 直线方程为 x+y+1=0 ， D 错误 . 故选 AB. 6. BD 【解析】 ∵M= （ x ， y ） y-3 x-2 =a+ + $ 1 ， ∴ （ 2 ， 3 ） 埸M. 将点 （ 2 ， 3 ） 代入 （ a 2 -1 ） x+ （ a-1 ） y=15 ， 得 2 （ a 2 -1 ） +3 （ a-1 ） =15 ， 解得 a=-4 （舍去） 或 a= 5 2 . 当 x≠2 时， y-3 x-2 =a+1 可变形为 （ a+1 ） x-y-2a+1=0 ， 当直线 （ a+1 ） x-y-2a+1=0 与 （ a 2 -1 ） x+ （ a-1 ） y=15 平 行时， 有 M∩N=芰 ， ∴ （ a-1 ）（ a+1 ） =- （ a 2 -1 ）， 解得 a=1 或 a=-1 （舍去） . 当 a= 5 2 或 a=1 时， 符合题意 . 故选 BD. 7. 1 或 -2 【解析】 若直线（ 2-m ） x+my+3=0 的法向量 恰为直线 x-my-3=0 的方向向量， 则这两条直线垂直， ∴2-m-m 2 =0 ， 解得 m=1 或 m=-2. 8. -2 【解析 】 二元一次方程组 4x+my-m+2=0 ， mx+y+m= + 0 有 无穷多组解， 即两个方程对应的直线重合， 由 4×1=m×m ， 解得 m=2 或 m=-2. 当 m =2 时 ， 二 元 一 次 方 程 组 为 4x+2y=0 ， 2x+y+2= + 0 圯 2x+y=0 ， 2x+y+2=0 + ， 两直线不重合， 不符合题意 . 当 m=-2 时 ， 二元一次方程组为 4x-2y+4=0 ， -2x+y-2= + 0 圯 2x-y+2=0 ， 2x-y+2=0 + ， 两直线重合， 符合题意 . 综上所述， m 的值为-2. 9. 解： 若选择条件 ① ， ∵ 点 C 在直线 AB 上， ∴k AB = k AC ， 即 3+2 -2-3 = 3-m -2- 1 2 ， 解得 m= 1 2 . 若选择条件 ② ， ∵ 直线 AC 与直线 BD 平行， ∴k AC = k BD ， ∴ 3-m -2- 1 2 = -2- （ -3 ） 3-0 ， 解得 m= 23 6 . 经检验两直线不 重合， ∴m= 23 6 . 若选择条件 ③ ， ∵ 直线 AC 与直线 BC 垂直， 两直 线斜率均存在， ∴k AC · k BC =-1 ， ∴ 3-m -2- 1 2 · -2-m 3- 1 2 =-1 ， 解 得 m= 1±5 2 姨 2 . 10. 解： （ 1 ） 设顶点 R 的坐标为 （ x ， y ） . 由题意 知 k OP = t-0 1-0 =t ， k PQ = 2+t-t 1-2t-1 =- 1 t ， 易知 OP∥QR ， PQ∥OR ， ∴t= y-2-t x-1+2t ， - 1 t = y-0 x-0 ， 解得 x=-2t ， y=2 2 ， 即点 R 的坐标为 （ -2t ， 2 ） . （ 2 ） 易得 S 矩形 OPQR =|OP| · |OR|=2 （ 1+t 2 ） . 如图 1 ， 当 1-2t≥0 ， 即 0<t≤ 1 2 时， 设线段 RQ 与 y 轴交于点 M ， 易知直线 RQ 的方程 为 y-2=t （ x+2t ）， 则点 M 的坐标为 （ 0 ， 2+2t 2 ）， ∴S △OMR = 1 2 |OM||x R |=2t （ 1+t 2 ）， 63 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴S （ t ） =S 矩形 OPQR -S △OMR =2 （ 1-t ）（ 1+t 2 ） . 如图 2 ， 当 1-2t<0 ， 即 t> 1 2 时， 设线段 QP 与 y 轴交于点 N ， 易知直线 QP 的方程为 y-t=- 1 t （ x-1 ）， 则点 N 的坐标是 0 ， t+ 1 t t # ， ∴S （ t ） =S △OPN = 1 2 |ON| · x P = 1+t 2 2t . 综上所述， S （ t）= 2 （ 1-t ）（ 1+t 2 ）， 0<t≤ 1 2 ， 1+t 2 2t ， t> 1 2 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( . 提升练习 11. A 【解析】 ∵ 直线 mx+4y-2=0 与直线 2x-y+n=0 垂直， ∴2m-4=0 ， ∴m=2. ∵ 垂足为 （ 1 ， p ）， ∴ m+4p-2=0 ， 2-p+n=0 0 ， 得 2+4p-2=0 ， 2-p+n=0 0 ， 解 得 n=-2. 故选 A. 12. C 【解析 】 ∵a ， b ， c 分别是 △ABC 中内角 A ， B ， C 所对边的边长， ∴ 直线 xsinA+ay+c=0 的斜率为 - sinA a ， 直线 bx- ysinB+sinC=0 的斜率为 b sinB . 由正弦定理可知 - sinA a · b sinB =-1 ， ∴ 两条直线垂直 . 故选 C. 13. AD 【解析】 若 A ， B 两个镇到马路 l 的距离相 等， 当 l 与直线 AB 平行时， 则 k= -4-3 -3-6 = 7 9 . 当直线 AB 与 l 相交时 ， 则直线过 AB 的中点 . 又 ∵AB 的中点为 3 2 ， - 1 2 t 2 ， ∴k= - 1 2 +1 3 2 -0 = 1 3 ， 故 k= 7 9 或 1 3 . 若 A ， B 两个镇位于马路的两侧， 则 k AC = -1+4 3 =1 ， k BC = 3+1 6 = 2 3 ， 故 k 的取值范围为 -∞ ， 2 3 3 2 ∪ （ 1 ， +∞ ）， 故选 AD. * 14. （ -4 ， 2 ） 3x+y+10=0 【解析】 由内角 ∠ABC 的 平分线所在直线方程为 2x-y+10=0 知， 点 B 在直线 2x- y+10=0 上 . 设 B （ m ， 2m +10 ） ， 则 AB 中 点 D 的 坐 标 为 m+2 2 ， 2m+14 2 t 2 . 由 AB 边上的中线所在直线方程为 x+ 2y-5=0 知 ， 点 D 在 直 线 x +2y -5 =0 上 ， ∴ m+2 2 +2 × 2m+14 2 -5=0 ， 解得 m=-4 ， ∴ 点 B 的坐标为 （ -4 ， 2 ） . 由直线 AB 的方程为 y-2 4-2 = x+4 2+4 ， 即 x-3y+10=0 ， ∴ 它的一个方向向量 a= （ 3 ， 1 ） . 又 ∵∠ABC 的平分线所在直线方程为 2x-y+10=0 ， ∴ 直线 BC 的斜率 k 存在 . 通过画图可知直线 BC 的倾斜角是钝角， ∴ 取直线 BC 的一个方向向量为 b= （ -1 ， -k ） （ k<0 ）， ∴∠ABC 的平分线所在直线的一个方向向量 c= a |a| + b |b| = 3 10 姨 - 1 1+k 2 姨 ， 1 10 姨 - k 1+k 2 姨 3 2 ， ∴ 1 10 姨 - k 1+k 2 姨 3 10 姨 - 1 1+k 2 姨 =2 ， ∴ 1 10 姨 - k 1+k 2 姨 =2 3 10 姨 - 1 1+k 2 姨 3 2 ， ∴ 2-k 1+k 2 姨 = 5 10 姨 ， 解得 k=-3 ， ∴ 直线 BC 的方程为 y-2=-3 （ x+4 ）， 即 3x+y+10=0. 15. 4 或 -1 或 1 【解析】 当三条直线 l 1 ， l 2 ， l 3 中至少 有两条平行时， 三条直线不能构成三角形 . 显然 l 1 与 l 3 不平行， 只可能 l 1 ∥l 2 或 l 2 ∥l 3 . 当 l 1 ∥l 2 时， m=4 ； 当 l 2 ∥l 3 时， m=-1. 当直线 l 1 ， l 2 ， l 3 通过同一点时， 也不能构成三角形 . 由 x-y+1=0 ， 4x+y+4=0 0 ， 得 x=-1 ， y=0 0 . 代入 l 2 的方程得 -m+1=0 ， 即 m=1. 综上所述， m=4 或 m=-1 或 m=1. 16. （ 1 ） 证明： 直线 l 1 ： ax+y+a+1=0 整理得 a （ x+1 ） + y+1=0 ， 该式为恒等式， 故 x+1=0 ， y+1=0 0 ， ∴x=-1 ， y=-1 ， ∴ 直线 l 1 过定点， 该定点的坐标为 （ -1 ， -1 ） . （ 2 ） 解 ： ∵l 1 ， l 2 不重合 ， 且垂直于同一条直线 ， Q P （ 1 ， t ） （ 1-2t ， 2+t ） x y O M R P （ 1 ， t ） x y O N R Q 图 1 第 10 题答图 图 2 64 参 考 答 案 ∴l 1 ∥l 2 ， ∴ a （ a-1 ） =2×1 ， a×3≠2× （ a+1 ） # ， 解得 a=-1. （ 3 ） 解： ∵a=0 ， 直线 l 与 l 2 垂直， ∴ 直线 l 2 ： 2x-y+ 3=0 ， 可得直线 l 2 的斜率为 2 ， 则直线 l 的斜率为- 1 2 . 选 ① ： 直线 l过坐标原点， 故直线 l的方程为 y=- 1 2 x， 即 x+2y=0. 选 ② ： 直线 l 与 l 1 交点的横坐标为 2 ， 又由 l 1 ： y+1= 0 ， 可知交点为 （ 2 ， -1 ）， ∴ 直线 l 的方程为 y+1=- 1 2 （x-2 ）， 即 x+2y=0. 第 2 课时 对称问题 学习手册 变式训练 1 解： 设直线 l 与直线 2x-y-2=0 交于点 A （ x 1 ， y 1 ）， 与直线 x+y-1=0 交于点 B （ x 2 ， y 2 ） . 由 A ， B 两点关于点 P 对称， 即线段 AB 被点 P 平 分， ∴x 1 +x 2 =-4 ， y 1 +y 2 =-6 ， 则 x 2 =-4-x 1 ， y 2 =-6-y 1 . ∵ 2x 1 -y 1 -2=0 ， x 2 +y 2 -1=0 # ， 则 2x 1 -y 1 =2 ， x 1 +y 1 =-11 # ， 解得 x 1 =-3 ， y 1 =-8 ， 即 A （ -3 ， -8 ）， 直线 l 的斜率 k= -8- （ -3 ） -3- （ -2 ） =5 ， ∴ 直 线 l 的方程为 y- （ -3 ） =5 ［ x- （ -2 ）］， 即 y=5x+7. 变式训练 2 x-y+1=0 【解析 】 由题可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线， 直线 AB 的斜率 k= 4-3 2-3 =-1 ， ∴ 直线 l 的斜率 k l =1. ∵ 线段 AB 的中点坐标为 5 2 ， 7 2 2 % ， ∴ 直线 l 的方 程为 y- 7 2 =x- 5 2 ， 即 x-y+1=0. 变式训练 3 2x+3y+12=0 【解析】 由 ax+y+3a-1=0 ， 整理 得（ x+3 ） a+ （ y-1 ） =0 ， 当 x=-3 时， y=1 ， ∴M （ -3 ， 1 ） . 设直线 2x+3y-6=0 关于 M 点对称的直线方程为 2x+ 3y+C=0 （ C≠-6 ）， 在直线 2x+3y-6=0 上取点 A （ 0 ， 2 ）， 设 A （ 0 ， 2 ） 关 于点 M （ -3 ， 1 ） 的对称点 A′ （ x ， y ）， ∴ 0+x 2 =-3 ， 2+y 2 =1 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 解得 x=-6 ， y=0 # ， 即 A′（-6 ， 0 ）， 代入直线 2x+3y+C=0 ， 解得 C=12 ， ∴ 直线 2x+3y-6=0 关于 M 点对称的直线方程为 2x+ 3y+12=0. 变式训练 4 x+2y-3=0 【解析】 直线 x-2y+1=0 与直线 x= 1 的交点 A （ 1 ， 1 ）， 在直线 x-2y+1=0 上取点 P （ -1 ， 0 ）， 则点 P 关于直线 x=1 的对称点为 P′ （ 3 ， 0 ）， ∴ 由 A （ 1 ， 1 ） 和 P′ （ 3 ， 0 ）， 利用直线方程的两点式可得对称 直线方程为 y-0 1-0 = x-3 1-3 ， 化简得 x+2y-3=0. 随堂练习 1. 17 姨 【解析】 根据中点坐标公式， 得 x-2 2 =1 ， 且 5-3 2 =y. 解得 x=4 ， y=1 ， ∴ 点 P 的坐标为 （4 ， 1 ）， 则点 P （ x ， y） 到原点的 距离 d= （ 4-0 ） 2 + （ 1-0 ） 2 姨 = 17 姨 . 2. C 【解析】 设点 B 的坐标是 （ x ， y ）， 则 AB 的中 点坐标为 -1+x 2 ， 2+y 2 2 % . 由题意得 -1+x 2 + 2+y 2 -3=0 ， y-2 x+1 =1 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 解得 x=1 ， y=4 # ， ∴ 点 B 的 坐标是 （ 1 ， 4 ） . 故选 C. 3. B 【解析】 由已知直线方程 3 姨 x-y-4=0 ， 令 y=0 可得 x= 4 3 姨 3 ， 令 x=0 可得 y=-4 ， 即入射光线所在直线与 x 轴 、 y 轴分别相交于点 A 4 3 姨 3 ， 2 % 0 ， B （ 0 ， -4 ） . 由反射原理， 反射光线必经过点 A 4 3 姨 3 ， 2 % 0 和 点 B 关于 x 轴的对称点 B′ （ 0 ， 4 ）， 故可得其斜率为 4-0 0- 4 3 姨 3 =- 3 姨 ， 由斜截式方程 可得， 所求反射光线所在直线方程为 y=- 3 姨 x+4. 故 选 B. 4. x+2y+3=0 【解析】 ∵ 直线 l 1 与 l 2 关于原点对称， 则只需将 l 1 的方程中 x 改为 -x ， y 改为 -y ， 可得 l 2 的方 程是 -x+2 （ -y ） -3=0 ， 即 x+2y+3=0. 5. 解： （ 1 ） 设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′ （ x 0 ， y 0 ）， 则线段 PP′ 的中点 M 在对称轴 l 上， 且 PP′⊥l. ∴ y 0 +1 x 0 +2 × - 1 2 2 % =-1 ， x 0 -2 2 +2× y 0 -1 2 -2=0 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 解得 x 0 = 2 5 ， y 0 = 19 5 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴P′ 的坐标为 2 5 ， 19 5 2 % . （ 2 ） 设直线 l 关于点 A （ 1 ， 1 ） 的对称直线为 l′ ， 则 直线 l 上任意一点 P （ x 1 ， y 1 ） 关于点 A 的对称点 P′ （ x ， y ） 一定在直线 l′ 上 ， 反之也成立 . 由 x+x 1 2 =1 ， y+y 1 2 =1 1 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 解得 65 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 x 1 =2-x ， y 1 =2-y y . 将 （ x 1 ， y 1 ） 的坐标代入直线 l 的方程得 x+2y-4=0. ∴ 直线 l′ 的方程为 x+2y-4=0. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 ∵ 已知点 A （ 1 ， 3 ） 关于直线 l 的对称 点为 B （ -5 ， 1 ）， 故直线 l 为线段 AB 的中垂线 . ∵AB 的 中点坐标为 （ -2 ， 2 ）， AB 的斜率为 1-3 -5-1 = 1 3 ， 故直线 l 的斜率为 -3 ， ∴ 直线 l 的方程为 y-2=-3 （ x+2 ）， 即 3x+y+ 4=0. 故选 A. 2. D 【解析】 如图， 设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′ （ x 0 ， y 0 ）， 则线段 PP′ 的中点在对称轴 l 上， 且 PP′⊥l ， ∴ y 0 -1 x 0 +2 =-1 ， x 0 -2 2 - y 0 +1 2 +1=0 0 % % % % $ % % % % & ， 解得 x 0 =0 ， y 0 =-1 y ， ∴ 点 P′ 的坐标为 （ 0 ， -1 ） . 由反射原理， 反射光线必经过点 P′ （ 0 ， -1 ） 和点 Q （ 1 ， 2 ）， 则反射光线所在直线的斜率是 2- （ -1 ） 1-0 =3. 故选 D. 3. C 【解析】 设所求直线上任意一点 M （ x ， y ）， 点 M 关于直线 x-y-2=0 的对称点为 M′ （ x 1 ， y 1 ）， 则 y-y 1 x-x 1 =-1 ， x+x 1 2 - y+y 1 2 -2=0 0 % % % % $ % % % % & ， 解得 x 1 =y+2 ， y 1 =x-2 y . （ * ） ∵ 点 M′ 在直线 3x-2y-6=0 上 ， ∴ 将 （ * ） 式代入 ， 得 3 （ y+2 ） -2 （ x-2 ） -6=0 ， 化简得 2x-3y-4=0 ， 即为 l 1 关于 l 2 对称的直线方程 . 故选 C. 4. C 【解析】 设 A （ 2 ， 0 ）， B （ -2 ， 4 ）， 则 A ， B 所 在直线的斜率为 k AB = 4-0 -2-2 =-1. 由题知过点 （ 2 021 ， 2 022 ） 与点 （ m ， n ） 的直线 与直线 AB 平行， ∴ n-2 022 m-2 021 =-1 ， 整理得 m+n=2 021+2 022=4 043. 故 选 C. 5. B 【解析】 由 x+2y-5=0 ， 4x+13y-10=0 y ， 解得 x=9 ， y=-2 y ， ∴ 点 B 的坐标为 （ 9 ， -2 ） . 设点 A （ ４ ， ３ ） 关于直线 x+2y-5=0 的对称点为 A′ （ x 0 ， y 0 ）， 则 3-y 0 4-x 0 · - 1 2 2 ) =-1 ， 4+x 0 2 +2× 3+y 0 2 -5=0 0 % % % % $ % % % % & ， 解得 x 0 =2 ， y 0 =-1 1 ， ∴A′ （ 2 ， -1 ） . ∵ 点 A′ （ 2 ， -1 ） 在直线 BC 上， ∴ 直线 BC 的方程 为 y- （ -1 ） = -2- （ -1 ） 9-2 （ x-2 ）， 即 x+7y+5=0. 设点 C 的坐标为 C （ x 1 ， y 1 ）， 则 AC 的中点坐标为 x 1 +4 2 ， y 1 +3 2 2 , ， ∴ x 1 +7y 1 +5=0 ， 2 （ x 1 +4 ） + 13 2 （ y 1 +3 ） -10=0 0 % % % $ % % % & ， 解得 x 1 =-12 ， y 1 =1 y ， ∴ 点 C 的坐标为 （ -12 ， 1 ）， ∴k AC = 3-1 4- （ -12 ） = 1 8 ， ∴ 边 AC 所在直线的方程为 y-3= 1 8 （ x-4 ）， 即 x-8y+20=0 ， 故选 B. 6. AB 【解析】 直线 x-y-2=0 与两坐标轴分别交于 点 （ 0 ， -2 ）， （ 2 ， 0 ）， ∴ 围成的三角形面积为 1 2 ×2×2= 2 ， 故 A 正确； 点 （ 0 ， 2 ） 和 （ 1 ， 1 ） 的中点 1 2 ， 3 2 2 , 在直线 y= x+1 上， 且连线的斜率为 2-1 0-1 =-1 ， 可得与直线 y=x+1 垂 直， ∴ 点 （ 0 ， 2 ） 关于直线 y=x+1 的对称点为 （ 1 ， 1 ）， 故 B 正确； 联立直线方程 x-2y+3=0 ， x+y-3=0 y ， 可得交点坐标为 （ 1 ， 2 ）， 取直线 x-2y+3=0 上一点 （ -3 ， 0 ）， 设其对称点为 （ a ， b ）， 则 a-3 2 + b 2 -3=0 ， b a+3 × （ -1 ） =-1 0 % % % % $ % % % % & ， 解得 a=3 ， b=6 y ， 故对称直线的斜 率为 6-2 3-1 =2 ， 故方程为 y-2=2 （ x-1 ）， 即 2x-y=0 ， 故 C 错误； 若直线经过原点， 满足题意， 此时的直线方程为 y= x ， 故 D 错误 . 故选 AB. 7. x-y-5=0 【解析】 ∵l 1 ∥l ， ∴l 1 ′∥l ， 设直线 l 1 ′ 的方 程为 x-y+c=0 （ c≠3 ， 且 c≠-1 ） . 在直线 l 1 上取点 M （ 0 ， 3 ）， 设点 M 关于直线 l 的对 称点为 M′ （ a ， b ）， x y O x-y+1=0 P′ （ 0 ， -1 ） （ 1 ， 2 ） （ -2 ， 1 ） Q P 第 2 题答图 66 参 考 答 案 则 b-3 a ×１=-１ ， a+0 2 - b+3 2 -1=0 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 a=4 ， b=-1 1 ， 即点 M′ 的坐标为 （ 4 ， -1 ） . 把点 M′ 的坐标代入直线 l 1 ′ 的方程， 得 4- （ -1 ） +c=0 ， 解得 c=-5 ， ∴ 直线 l 1 ′ 的方程为 x-y-5=0. 8. 10x-3y+8=0 【解析 】 如图所示， 设点 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′ ， 点 D 关 于 y 轴的对称点为 D′ ， 则易 得 A′ （ -2 ， -4 ）， D′ （ 1 ， 6 ） . 由反射角等于入射角可 得 A′D′ 所在直线经过点 B 与 点 C ， 故 BC 所在直线的方程为 y-6 -4-6 = x-1 -2-1 ， 即 10x-3y+ 8=0. 9. 解： （ 1 ） 设点 A （ -4 ， 4 ） 关于直线 l ： 3x+y-2=0 对称的点为 A′ （ x ， y ）， ∴ y-4 x+4 ·（ -3 ） =-1 ， 3 · x-4 2 + y+4 2 -2=0 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 x=2 ， y=6 1 ， ∴ 点 A 关于直线 l 对称的点为 A′ （ 2 ， 6 ） . （ 2 ） 取直线 l 上任一点 （ x ， y ）， 其关于点 P （ 2 ， -1 ） 的对称点 （ 4-x ， -2-y ） 在直线 3x-y-4=0 上， ∴3 （ 4-x ） - （ -2-y ） -4=0 ， 整理得 3x-y-10=0 ， 即所求 直线 l 的方程为 3x-y-10=0. （ 3 ） 由 x-2y-1=0 ， x+y-1= 1 0 得 x=1 ， y=0 1 ， ∴ 两直线的交点为 A （ 1 ， 0 ） . 在直线 x-2y-1=0 上取点 B 0 ， - 1 2 2 ' ， 设点 B 关于 直线 x+y-1=0 的对称点为 C （ x 0 ， y 0 ）， 则有 0+x 0 2 + - 1 2 +y 0 2 -1=0 ， y 0 - - 1 2 2 2 x 0 -0 ·（ -1 ） =-1 0 # # # # # # # " # # # # # # # $ ， 解得 x 0 = 3 2 ， y 0 =1 0 # # # " # # # $ ， 即点 C 的 坐标为 3 2 ， 2 2 1 . 由于所求直线经过 A ， C 两点， 则有 y-0 1-0 = x-1 3 2 -1 ， 即 2x-y-2=0 ， ∴ 所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0. 10. 解： （ 1 ） ∵ 直线 AC 的斜率为 k AC = 1 2 ， ∴ 直线 AC 的方程为 y-3= 1 2 （ x-2 ）， 即直线 AC 的方程为 x-2y+ 4=0. （ 2 ） 问题 ① ： 设点 D 的坐标为 （ m ， n ）， 则 n+1 m · 1 2 =-1 ， m 2 -2 · n-1 2 +4=0 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 m=- 12 5 ， n= 19 5 0 # # # # " # # # # $ ， 即点 D 的坐标 是 - 12 5 ， 19 5 2 2 . 问题 ② ： 设点 E 的坐标为 t ， 1 2 t+ 2 2 2 ， ∵|BE|=3 ， ∴ t 2 + 1 2 t+2+ 2 2 1 2 姨 =3 ， 解得 t=0 或 t=- 12 5 ， ∴ 点 E 的坐标 为 （ 0 ， 2 ） 或 - 12 5 ， 4 5 2 2 ， ∴ 直线 l 的方程为 x=0 或 3x+ 4y+4=0. 提升练习 11. C 【解析】 由题意可知 直线 BC 的方程为 x+y-2=0 ， P （ 1 ， 0 ） . 如图 ， 记点 P 关于 AC 对 称的点为 P 1 （ -1 ， 0 ）， 设 P 关于 BC 对称的点为 P 2 （ a ， b ）， ∴ a+1 2 + b 2 =2 ， b-0 a-1 =1 0 # # # # " # # # # $ ， 解得 a=2 ， b=1 1 ， ∴P 2 （ 2 ， 1 ） . 由对称性知 |PR|=|P 1 R| ， |PQ|=|P 2 Q| ， ∴L=|PQ|+|QR|+|PR|=|P 1 R|+|QR|+|P 2 Q| ， 易知当 P 1 ， Q ， R ， P 2 四点共线时， L=|P 1 R|+|QR|+|P 2 Q| 的值最小， ∴L min = |P 1 P 2 |= 10 姨 . 故选 C. 12. A 【解析】 ∵A （ a-1 ， a+1 ） ， B （ a ， a ） ， ∴k AB = a+1-a a-1-a =-1. 线段 AB 的中点为 2a-1 2 ， 2a+1 2 2 2 ， ∵A ， B 两点关 于直线 l 对称， 则 k l =1 ， ∴ 直线 l 的方程为 y- 2a+1 2 =x- 2a-1 2 ， 整理得 x-y+ 1=0. 故选 A. 13. AD 【解析】 a×1+ （ -1 ） ×a=0 恒成立， l 1 与 l 2 互相 垂直恒成立， 故 A 正确； 当 a≠0 时， l 1 与 x 轴的交点 A - 1 a ， ， 2 0 ， 点 A 到 原点的距离为 1 |a| ， 故 B 错误； 在 l 1 上任取一点 （ x ， ax+1 ）， 关于直线 x＋y＝0 对称 的点的坐标为 （ -ax-1 ， -x ）， 代入 l 2 ： x＋ay＋1＝0 ， 则左 边不等于 0 ， 故 C 错误； x y O A′ D′ A B C D （ -4 ， -2 ） y=x 第 8 题答图 x y A Q R B C P P 1 P 2 第 11 题答图 67 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 对于 D ， 方法一： 联立 ax-y+1=0 ， x+ay+1=0 ! ， 解得 x= -a-1 a 2 +1 ， y= -a+1 a 2 +1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 即 M -a-1 a 2 +1 ， -a+1 a 2 +1 1 ' ， ∴|MO|= -a-1 a 2 +1 1 1 2 + -a+1 a 2 +1 1 1 2 姨 = 2 a 2 +1 姨 ≤ 2 姨 ， ∴|MO| 的最大值是 2 姨 ， 故 D 正确 . 方法二 ： 由 l 1 ⊥l 2 ， l 1 过定点 B （ 0 ， 1 ）， l 2 过定点 （ -1 ， 0 ）， ∴A ， M ， B ， O 四点共圆， 且 AB 是此圆的直径 . 显然 ， 当 MO 也为圆的直径时 ， |MO| 最大 . 此时 |MO| max = 2 姨 . 故 D 正确 . 故选 AD. 14. 293 姨 【解析】 d= x 2 +y 2 +6x-10y+34 姨 + x 2 +y 2 -4x-30y+229 姨 = （ x+3 ） 2 + （ y-5 ） 2 姨 + （ x-2 ） 2 + （ y-15 ） 2 姨 ， 即 d 可看作点 A （ -3 ， 5 ） 和 B （ 2 ， 15 ） 与直线 x-y+ 1=0 上的点 （ x ， y ） 的距离之和 . 如图 ， 作 A （ -3 ， 5 ） 关于直线 x-y+1=0 的对称点 A′ （ x 0 ， y 0 ）， 由题意得 x 0 -3 2 - y 0 +5 2 +1=0 ， y 0 -5 x 0 +3 =-1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x 0 =4 ， y 0 =-2 ! ， 故 A′ （ 4 ， -2 ）， 则 d min =|A′B|= （ 4-2 ） 2 + （ -2-15 ） 2 姨 = 293 姨 . * 15. 5 【解析】 如图， 设点 P 关于直线 l 的对称点为 M ， 则 M 一定在第一次的反射光线所在直线上， 设 M 关 于 x 轴的对称点为 N ， 则 N 必在第二次的反射光线所在 直线上 . 设 M （ x ， y ）， 则 y x-a =-3 ， a+x 2 -3× y 2 =0 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 解得 x= 4 5 a ， y= 3 5 a 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 即 M 4 5 a ， 3 5 5 1 a ， ∴N 4 5 a ， - 3 5 1 1 a . 由题意 k QN = - 3 5 a 4 5 a-b = 1 3 ， 整理得 b= 13 5 a， ∵b≥13 ， ∴ 13 5 a≥13 ， a≥5 ， 即实数 a 的最小值为 5. * 16. 解： 当 k=0 时， 此时点 A 和点 D 重合， 折痕所 在的直线方程为 y= 1 2 . 当 k≠0 时， 将矩形折叠后点 A 落在线段 DC 上的 点为 G （ a， 1 ） （ 0<a≤2 ）， ∴A 与 G 关于折痕所在的直线对称 ， 由 k OG ·k=-1 ， 即 1 a ·k=-1 ， 解得 a=-k. 由 0<a≤2 ， ∴-2≤k<0 ， 且 G（-k ， 1 ） （ -2≤k<0 ）， 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标为 M - k 2 ， 1 2 5 1 ， 折痕所在的直线方程为 y- 1 2 =k x+ k 2 5 1 ， 即 y=kx+ k 2 2 + 1 2 （ -2≤k<0 ） . 综上所述， 折痕所在的直线方程为 2kx-2y+k 2 +1=0 （ -2≤k<0 ） . 2.2.4 点到直线的距离 学习手册 变式训练 1 0≤t≤10 【解析】 由题意得 |16-3t-1| 4 2 + （ -3 ） 2 姨 ≤ 3 ， 即 |3t-15|≤15 ， ∴-15≤3t-15≤15 ， 解得 0≤t≤10. 变式训练 2 8x+15y-51=0 或 x=-3 【解析】 当直线斜率 存在时， 由直线过点 P（-3 ， 5 ）， ∴ 设直线方程为 y-5= k （ x +3 ） ， ∴kx -y +5 +3k =0. 原 点 到 该 直 线 的 距 离 d = |3k+5| 1+k 2 姨 =3 ， 解得 k=- 8 15 ， ∴ 所求直线的方程为 y-5= - 8 15 （ x+3 ）， 即 8x+15y-51=0. 当直线斜率不存在时， 由直线过点 P （ -3 ， 5 ）， ∴ 直 线方程为 x=-3 ， 此时原点到直线的距离 d=3 ， 满足题意 . 综上所述， 所求直线方程为 8x+15y-51=0 或 x=-3. 变式训练 3 解： 由 荀ABCD 的两条对角线的交点是对 角线的中点， ∴ 过中点作 AB 所在直线的平行线 l ， 同时 也平行于 CD 所在直线， ∴l 与 CD 所在直线的距离是 AB 所在直线与 CD 所在直线的距离的 1 2 . 由 AB 和 CD 所在直线的方程分别是 6x+8y-3=0 与 6x+8y+5=0 ， ∴AB 和 CD 所在直线的距离 d 1 = |-3-5| 6 2 +8 2 姨 = 4 5 ， ∴l 与 CD 所在直线的距离 d= 1 2 d 1 = 2 5 . x y O 5 10 15 10 5 -5 A′ A B -5 第 14 题答图 第 15 题答图 x y O M N Q l P 68