2.2.2 直线的方程-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 了解直线方程的定义， 明确两个条件 缺一不可 . 2. 熟练应用点斜式表示直线方程， 并明 确点斜式直线方程的限制条件 . 3. 了解斜截式是点斜式的特殊情况， 知 道斜截式表示方程的限制条件 . 4. 会根据不同的已知条件采用不同的方 程形式表示直线 . 要 点 精 析 要点 1 直线方程的定义 一般地， 如果直线 l 上的点的坐标都是 方程 F （ x ， y ） ＝0 的解 ① ， 而且以方程 Ｆ （ x ， y ） ＝0 的解为坐标的点都在直线 l 上 ② ， 则称 F （ x ， y ） ＝0 为直线 l 的方程， 而直线 l 称为方 程 F （ x ， y ） ＝0 的直线 . 此时， 为了简单起见， “直线 l ” 也可说成 “直线 F （ x ， y ） ＝0 ”， 并且 记作 l ： Ｆ （ x ， y ） ＝0. 反思感悟 ①② 这两个条件缺一不可， 直线的方 程和方程的直线本质上是一样的， 只是角 度不同而已， 单独满足一个条件， 都不能 说直线的方程或方程的直线 . 思考 如何判断平面直角坐标系中的 一个点是否在直线上呢？ 要点 2 直线的点斜式方程 在平面直角坐标系中， 如果已知直线上 一点 P 0 （ x 0 ， y 0 ）， 而且知道直线 l 的斜率 ， 就可以写出直线 l 的方程 . （ 1 ） 若直线 l 的斜率不存在， 则直线 l 的方程为 x=x 0 . （ 2 ） 如果直线 l 的斜率存在且为 k ， 则 直线 l 的方程为 y-y 0 =k （ x-x 0 ） . 此方程通常称 为直线的点斜式方程 . （ 3 ） 点斜式方程的推导 方法一： 利用两点的斜率公式 . 设 P （ x ， y ） 为直线 l 上不同于 P 0 的点， 则 k P 0 P =k ， 即 y-y 0 x-x 0 =k ， 化简可得 y-y 0 =k （ x-x 0 ） ① ， 而且点 P 0 （ x 0 ， y 0 ） 的坐 标也能使上式成立； 反之， 满足 ① 的解为坐 标的点也一定在直线 l 上， 从而 ① 就是直线 l 的方程 . 方法二： 利用方向向量 . ∵ 直线 l 的斜率为 k ， ∴ 直线 l 的一个方 向向量为 a= （ 1 ， k ） . 设 P （ x ， y ） 为直线 l 上 任意一点， 则 P 0 0" P 与 a 共线 . ∵P 0 0" P = （ x-x 0 ， y-y 0 ）， ∴y-y 0 =k （ x-x 0 ） . 思考 y-y 0 =k （ x-x 0 ）与 k= y-y 0 x-x 0 是否一致？ 例 1 写出下列直线的方程， 并在同一 平面直角坐标系中画出这些直线， 通过观 察， 指出方程 y-2=k （ x-1 ）表示的直线具有 2.2.2 直线的方程 第 1课时 直线方程的点斜式与斜截式 47 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 的与 k 的取值无关的特征 . （ 1 ） 经过点 （ 1 ， 2 ）， 斜率为 1 ； （ 2 ） 经过点 （ 1 ， 2 ）， 斜率为 -2 ； （ 3 ） 经过点 （ 1 ， 2 ）， 斜率为 0. 分析 使用点斜式方程求解即可 . 解： （ 1 ） ∵ 直线经过点 （ 1 ， 2 ）， 斜率 为 1 ， ∴ 直线方程为 y-2=1× （ x-1 ）， 化简得 y=x+1. （ 2 ） ∵ 直线经过点 （ 1 ， 2 ）， 斜率为 -2 ， ∴ 直线方程为 y-2= （ -2 ） × （ x-1 ）， 化简得 y=-2x+4. （ 3 ） ∵ 直线经过点 （ 1 ， 2 ）， 斜率为 0 ， ∴ 直线方程为 y-2=0× （ x-1 ）， 化简得 y=2. 在平面直角坐标系内画出直线如图 2-2- 4 所示 . 综上， 方程 y-2=k （ x-1 ）表示的直线具 有的与 k 的取值无关的特征为直线过定点 （ 1 ， 2 ） . 反思感悟 （ 1 ） 已知直线上一点和直线的斜率 ， 利用点斜式表示直线方程时要注意判断直 线的斜率是否存在， 存在时可以使用点斜 式表示直线方程 . （ 2 ） 如果直线方程中含有参数 k ， 可以 把直线整理成 y-y 0 =k （ x-x 0 ）的形式， 则直线 通过定点 （ x 0 ， y 0 ） . 变式训练 1 根据条件写出下列直线的方程 . （ 1 ） 经过点 （ 2 ， 5 ）， 斜率为 4 ； （ 2 ） 经过点 （ -1 ， 4 ）， 倾斜角为 90° ； （ 3 ） 经过点 （ -1 ， 4 ）， 且与 x 轴平行 . 变式训练 2 直线 mx+2y+3m-2=0 所过定点的坐标是 . 要点 3 直线的斜截式方程 1. 直线在两轴上的截距 一般地， 当直线 l 既不是 x 轴也不是 y 轴时： 若 l 与 x 轴的交点为 （ a ， 0 ）， 则称 l 在 x 轴上的截距为 a ； 若 l 与 y 轴的交点为 （ 0 ， b ）， 则称 l 在 y 轴上的截距为 b. 一条直 线在 y 轴上的截距简称为截距 . 思考 直线的截距是不小于 0 的实数吗？ 2. 直线的斜截式方程 若直线 l 的斜率为 k ， 截距为 b ， 则直 线方程为 y=kx+b. 这个表示直线的方程称为 直线的斜截式方程 . 反思感悟 （ 1 ） 直线的斜截式方程可以用点斜式 推导出来， 因此斜截式是点斜式的特例 . （ 2 ） 斜截式方程的适用条件与点斜式 方程的适用条件相同， 适用于直线的斜率 存在的情形 . x y O -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 y=x+1 y=2 y=-2x+4 图 2-2-4 48 第二章 平面解析几何 学 思考 一次函数 y=kx+b （ k≠0 ） 的图 象是一条直线， 与直线方程的斜截式比较， 可以发现一次函数解析式中的 k 就是直线 的斜率 . 在函数中， 我们更关注 y 随自变量 x 的变化而变化的关系， 那么能否用斜率 k= Δy Δx 来描述一次函数中 y 随自变量 x 的变 化规律呢？ 例 2 写出下列直线的斜截式方程 . （ 1 ） 倾斜角为 120° ， 在 y 轴上的截距 是 -2 ； （ 2 ） 斜率是 -2 ， 且过点 P （ 0 ， 4 ） . 解： （ 1 ） ∵ 倾斜角为 120° ， ∴ 斜率 k=- 3 姨 . 又 ∵ 直线在 y 轴上的截距是 -2 ， ∴ 直线方程为 y=- 3 姨 x-2. （ 2 ） 由直线过点 P （ 0 ， 4 ） 可知直线的 截距为 4 ， ∴ 直线的方程为 y=-2x+4. 反思感悟 已知所求直线的斜率， 并且知道直线在 y 轴上的截距， 一般选用直线的斜截式方程 . 变式训练 3 根据条件写出下列直线的方程： （ 1 ） 斜率为 2 ， 在 y 轴上的截距是 3 的 直线的方程： ； （ 2 ） 过点 （ 0 ， -2 ）， 斜率为 -3 的直线 的方程： . 例 3 已知直线 l ： y=ax+1-a 只通过第 一、 二、 三象限， 求实数 a 的取值范围 . 分析 采用数形结合的方法， 从直线 的斜率和截距入手， 根据斜率和截距的几 何意义， 求解 a 的取值范围 . 解： 方法一： 由题意知 a≠0. 令 x=0 ， 得直线在 y 轴上的截距为 1-a ； 令 y=0 ， 得直线在 x 轴上的截距为 a-1 a . ∵ 直线 l 只通过第一、 二、 三象限， ∴ 1-a>0 ， a-1 a <0 0 % % % % $ % % % % & ， 解得 0<a<1. 方法二： 直线的斜率为 a ， 在 y 轴上的 截距为 1-a. ∵ 直线 l 只通过第一、 二、 三象限， ∴ a>0 ， 1-a>0 0 ， 解得 0<a<1. 变式训练 4 直线 l 1 ： y=ax+b 与直线 l 2 ： y=bx+a （ ab≠ 0 ） 在同一个平面直角坐标系内的位置可能 是 （ ） 例 4 求斜率为 3 4 ， 且与坐标轴所围成 的三角形的周长为 12 的直线方程 . 分析 设出直线的斜截式方程， 表示 出直线在两坐标轴上的截距， 再利用三角 形的周长构造方程求解 . x y O l 1 l 2 x y O l 1 l 2 x y O l 1 l 2 x y O l 1 l 2 A B C D 49 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 解： 由直线的斜率为 3 4 ， 可设直线的方程为 y= 3 4 x+b. 令 x=0 ， 得 y=b ； 令 y=0 ， 得 x=- 4 3 b. 由题意知 ｜b｜+ - 4 3 b + b 2 + - 4 3 3 " b 2 姨 =12. ∴｜b｜+ 4 3 ｜b｜+ 5 3 ｜b｜=12 ， ∴b=±3. ∴ 所求直线的方程为 y= 3 4 x+3 或 y= 3 4 x-3. 变式训练 5 一条直线经过点 A （ -2 ， 2 ）， 并且与两 坐标轴围成的三角形的面积为 1 ， 求此直线 的方程 . 反思感悟 （ 1 ） 已知直线上一点， 求直线方程时 一般设直线的点斜式方程， 但要注意判断 斜率是否存在 . （ 2 ） 已知直线的斜率或截距求直线方 程时一般选择直线的斜截式方程 . 总之求直线方程采用的方法是待定系 数法， 选用何种直线方程的形式主要依据 是要使方程中需要确定的参数个数最少 . 数 学 文 化 例 数学是自然科学的基础， 物理学科 和数学的联系非常紧密， 很多物理问题的解 决都离不开数学知识或运算 . 已知一根弹簧， 挂 4 N 的物体时， 长 20 cm. 在弹性限度内， 所挂物体的重量每增加 1 N ， 弹簧就伸长 1.5 cm. 试写出弹簧的长度 l （单位： cm ） 与 所挂物体重量 G （单位 ： N ） 之间关系的 方程 . 分析 弹簧的长度和所挂物体的重量 成线性关系 . 因此本题属于直线与方程的题 目， 关键是根据已知条件找到直线上一点 和直线的斜率 . 解： 由题可知长度 l 与物体重量 G 成线 性关系 . 由所挂物体的重量每增加 1 N ， 弹簧就 伸长 1.5 cm 可知所求直线的斜率 k=1.5 ， 又 ∵ 弹簧挂 4 N 的物体时， 长 20 cm ， 可知直线过点 （ 4 ， 20 ） . 由直线方程的点斜式可知方程为 l-20=1.5 （ G-4 ）， 化简得 l=1.5G+14. 50 第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 会用直线方程的两点式、 截距式表示 直线， 并明确这两种形式的方程的使用条件 . 2. 会将直线方程的四种形式化成一般式 . 3. 能将直线方程的各种形式互相转化 . 4. 能根据不同的已知条件采用不同的方 程形式表示直线 . 5. 能根据一般式方程写出直线的一个法 向量， 并且依据法向量会写直线方程 . 要 点 精 析 要点 1 直线方程的两点式 1. 两点确定一条直线 如果已知直线上两点 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）， 当 x 1 ≠x 2 ， y 1 ≠y 2 时， 直线方程可以表 示为 y-y 1 y 2 -y 1 = x-x 1 x 2 -x 1 . 我们把这个方程称为直线 的两点式方程 . 反思感悟 （ 1 ） 利用直线方程的两点式表示直线 时， 给出的两点 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ） 需 要满足条件 x 1 ≠x 2 ， y 1 ≠y 2 时才能使用， 即 直线方程的两点式不能表示与坐标轴垂直 的直线 . （ 2 ） 当 x 1 =x 2 时， 直线方程为 x=x 1 ； 当 y 1 =y 2 时， 直线方程为 y=y 1 . 2. 直线方程两点式的推导 由 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ） 可知当 x 1 ≠x 2 时 ， 直线的斜率 k= y 2 -y 1 x 2 -x 1 ， 又过点 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， 根据直线的点斜式方程可得直线方程为 y-y 1 = y 2 -y 1 x 2 -x 1 （ x-x 1 ） . 当 y 1 ≠y 2 时 ， 上述方程可化为 y-y 1 y 2 -y 1 = x-x 1 x 2 -x 1 . 当 x 1 =x 2 或 y 1 =y 2 时， 直线方程为 x=x 1 或 y=y 1 . 思考 你能不进行讨论推导出直线方 程的两点式吗？ 试着推导一下 . 反思感悟 （ 1 ） 直线的两点式方程体现了 “两点 确定一条直线” 的数学理念 . （ 2 ） 两点式方程体现了方程结构上的 对称美， 方便记忆， 我们还可以把两点式 方程看成一个比例关系式 . 思考 （ x-x 1 ）（ y 2 -y 1 ） = （ y-y 1 ）（ x 2 -x 1 ）与 y-y 1 y 2 -y 1 = x-x 1 x 2 -x 1 相同吗？ 例 1 已知三角形的三个顶点分别是 A （ -5 ， 0 ）， B （ 3 ， -3 ）， C （ 3 ， 2 ）， 求这个三 角形的三边所在的直线方程 . 分析 已知两点坐标， 若 x 1 ≠x 2 ， y 1 ≠ y 2 ， 可以直接用两点式求直线的方程 . 解： 由两点式得三角形的 AB 边所在直 线的方程为 y-0 -3-0 = x- （ -5 ） 3- （ -5 ） ， 整理可得 y= - 3 8 x- 15 8 . 同理可得三角形的 AC 边所在直线 的方程为 y= 1 4 x+ 5 4 . ∵B ， C 两点的横坐标相等， ∴ 直线 BC 第 2课时 直线方程的两点式、 截距式及一般式 51 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 与 x 轴垂直， ∴ 边 BC 所在的直线方程为 x=3. 要点 2 直线的截距式方程 直线 l 经过点 A （ a ， 0 ）， B （ 0 ， b ）， 且 a≠0 ， b≠0 ， 可知 a ， b 分别是直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距， 称 x a + y b =1 为直线的截 距式方程 . 反思感悟 截距式是两点式的特殊情况， 所以截距 式不能表示垂直于坐标轴的直线； 又因为 ab≠0 ， 所以截距式也不能表示过原点的直线 . 例 2 根据下列条件， 求直线的方程 . （ 1 ） 过点 （ 0 ， 5 ）， 且在两坐标轴上的 截距之和为 2 ； （ 2 ） 过点 （ 5 ， 0 ）， 且在两坐标轴上的 截距之差为 2. 解： （ 1 ） 由直线过点 （ 0 ， 5 ）， 即直线 在 y 轴上的截距为 5 ， 设直线方程为 x a + y 5 = 1. 由题可知 a+5=2 ， 解得 a=-3 ， ∴ 直线方程为 x -3 + y 5 =1 ， 即 y= 5 3 x+5. （ 2 ） 由直线过点 （ 5 ， 0 ）， 即直线在 x 轴上的截距为 5 ， 设直线方程为 x 5 + y b =1. 由题可知 b-5=2 或 5-b=2 ， 解得 b=7 或 b=3 ， ∴ 直线方程为 x 5 + y 7 = 1 或 x 5 + y 3 =1 ， 即 y=- 7 5 x+7 或 y=- 3 5 x+3. 变式训练 1 经过点 （ １ ， ２ ）， 且在 x 轴和 y 轴上的 截距相等的直线有几条？ 请写出这些直线的 方程 . 要点 3 直线方程的一般式 1. 直线方程可以统一写成 Ax+Ｂy+C=0 的形式 ， 其中 A ， B ， C 是实常数 ， 且 A 2 + B 2 ≠0. 我们把上面方程称为直线方程的一般式 . 反思感悟 （ 1 ） 平面上的任意一条直线可以用一 个关于 x ， y 的二元一次方程来表示 ， 反 之， 关于 x ， y 的二元一次方程一定表示一 条直线 . （ 2 ） 数学运算时， 最后结果一般将直 线方程化为一般式方程， 习惯上把 A 化成 一个大于 0 的常数 . 思考 有同学说， 要想用直线方程的 一般式求直线， 需要知道三个条件才行 . 想 一想， 这个观点正确吗？ 为什么？ 2. 直线的一个法向量坐标 如果直线 l 的一般式方程为 Ax+By+C=0 （ A 2 +B 2 ≠0 ）， 则 v= （ A ， B ） 是直线的一个法 向量 . 证明： 设 P 0 （ x 0 ， y 0 ） 为直线 l 上一个固 定的点， P （ x ， y ） 为直线 l 上任意一点， 则 Ax 0 +By 0 +C=0 ， ① Ax+By+C=0 ， ， ② 52 第二章 平面解析几何 学 ②-① 可得 A （ x-x 0 ） +B （ y-y 0 ） =0. 记 v= （ A ， B ）， 则 v 与向量 P 0 0" P = （ x-x 0 ， y-y 0 ） 垂直， ∴v= （ A ， B ） 是直线 l 的一个法向量 . 反思 如果直线 l 的一般式方程为 Ax+ By+C=0 （ A 2 +B 2 ≠0 ）， 则 v= （ A ， B ） 是直线 l 的一个法向量， a= （ B ， -A ） 是直线 l 的一个方向向量 . 3. 直线方程的点法式 A （ x-x 0 ） +B （ y-y 0 ） =0 ， 这个方程称为直线 方程的点法式 . 例 3 已知 △ABC 的三个顶点分别为 A （ 1 ， 2 ）， B （ -2 ， 1 ）， C （ 0 ， -1 ）， 求 BC 边 上的高所在直线的方程 . 分析 直线 BC 与高垂直， ∴B 0" C 是高 所在直线的一个法向量 . 利用法向量的坐标 和这条直线上的已知点 A ， 用点法式可以 写出直线的方程 . 解 ： 由已知 B 0" C = （ 2 ， -2 ） . ∵ B 0" C = （ 2 ， -2 ） 就是 BC 边上的高所在直线的法向量， 又 ∵ 所求直线经过点 A （ 1 ， 2 ）， ∴ 所求直线 方程为 2 （ x-1 ） -2 （ y-2 ） =0 ， 即 x-y+1=0. 变式训练 2 已知直线 l 经过点 A （ 3 ， 1 ）， 且与 P （ -1 ， 0 ）， Q （ 3 ， 2 ） 两点的连线垂直， 求直线 l 的 方程 . 数 学 文 化 例 除了直线的点斜式、 斜截式、 两点 式、 截距式、 一般式方程外， 还有一种形式 的直线方程与向量有紧密的联系， 它由一个 定点和这条直线的方向向量唯一确定， 与直 线的点斜式方程本质上是一致的 . 设直线 l 经过点 P 0 （ x 0 ， y 0 ）， a= （ m ， n ） 是它的一个方向向量， P （ x ， y ） 是直线 l 上 的任意一点， 则向量 P 0 0" P 与 a 共线 . 根据向量 共线的充要条件， 存在唯一的实数 t ， 使 P 0 0" P =tv ， 即 （ x-x 0 ， y-y 0 ） =t （ m ， n ）， ∴ x=x 0 +mt ， y=y 0 +nt t . ① 在这个式子中， 实数 t 是对应点 P 的参变 量 ， 简称参数 . 把方程 ① 称为直线的参数 方程 . 已知直线 l 的参数方程为 x=1+2t ， y=2-3 t t （ t 是参数） . （ 1 ） 请写出直线 l 的一个方向向量； （ 2 ） 请写出直线 l 的一般式方程 . 分析 根据参数方程的推导过程可以 写出直线的一个方向向量， 将参数方程中 的参数 t 消掉， 即可得到直线的一般式方程 . 解 ： （ 1 ） 直线 l 的一个方向向量 a= （ 2 ， -3 ） . （ 2 ） 由 x=1+2t ， y=2-3 t t 可得 x-1=2t ， y-2=-3t t . 当 y≠2 时， 两式相除可得 x-1 y-2 =- 2 3 ， 化简可得 3x+2y-7=0. 经检验当 y=2 时 对应点 P 0 （ 1 ， 2 ） 也在直线 l 上， ∴ 直线 l 的一般式方程为 3x+2y-7=0. 53 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故 D 正确； 直线 l 的一个方向向量为 M !" N = 2- （ -2 ）， t- 1 t $ 2 - t+ 1 t & 2 t & = （ 4 ， -4 ） ， 故 B 正确； 由 4×4+4× （ -4 ） =0 ， ∴ 向量 （ 4 ， 4 ） 与直线 l 垂直， 故 C 正确 . 故选 BCD. 7. （ 3 ， -2 ） （ 2 ， 3 ） （答案不唯一） 【解 析 】 直 线 y =- 2 3 x - 5 3 的 一 个 方 向 向 量 是 1 ， - 2 3 t & ， 即 （ 3 ， -2 ）， ∴ 一个法向量是 （ 2 ， 3 ） . 8. -2 【解析】 由已知可得 m= 2-0 0-1 =-2. 9. 3 【解析】 由 AB 所在直线的方向向量A !" B = （m+2 ， -5 ）， AC 所在直线的方向向量A !" C = （ 6 ， -6 ） . ∵A ， B ， C 三点共线， ∴-6 （ m+2 ） =-30 ， 解得 m=3. 10. 解： （ 1 ） 把 A（1 ， 0 ） 代入直线 l 的方程， 得 a 2 - 2a+1=0 ， 解得 a=1 ， 此时直线 l 的方程为 3x-y-3=0 ， 故 直线 l 的一个方向向量为 （1 ， 3 ） . （ 2 ） ∵a≠0 ， ∴ 直线 l 的斜率 k= a 2 -2a+4 a =a+ 4 a -2 ， ∴ 当 a>0 时， k=a+ 4 a -2≥2 a · 4 a 姨 -2=2 ， 当且仅当 a=2 时等号成立； 当 a<0 时， k=- （ -a ） + - 4 a t $a + -2≤-2 （ -a ）· - 4 a t & 姨 -2=-6 ， 当且仅当 a=-2 时等号成立 . 综上所述， 斜率 k∈ （ -∞ ， -6 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ） . 提升练习 11. C 【解析】 由题可知直线方程为 x=- 3 姨 ， 这是 一条垂直于 x 轴的直线， 故方向向量也垂直于 x 轴， 只 有 C 选项的向量是满足题意的， 故选 C. 12. A 【解析 】 设 l 的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹= 3 姨 ， ∴兹=60°. 设直线 m 的倾斜角为 琢 ， 由题意知 琢=兹-45°=60°-45°. cos琢 =cos （60° -45° ） =cos60° cos45° +sin60° sin45° = 6 姨 + 2 姨 4 ， sin琢 =sin （60° -45° ） =sin60° cos45° -cos60° sin45° = 6 姨 - 2 姨 4 ， ∴ 直 线 m 的 一 个 方 向 向 量 为 （ cos琢 ， sin琢 ） = 6 姨 + 2 姨 4 ， 6 姨 - 2 姨 4 t $ . 故选 A. 13. ①③ 【解析】 由题可知， 直线的一个方向向量 为 （ cos135° ， sin135° ） = - 2 姨 2 ， 2 姨 2 t $ ， ②④ 的向量 均与此向量平行， ∴ 它们都是直线的方向向量， 而 ①③ 的向量与 - 2 姨 2 ， 2 姨 2 t $ 不平行， ∴①③ 不是直线的 方向向量 . 14. （ -2 ， -3 ） 【解析】 设点 P （ x 1 ， y 1 ） （ x 1 ≠1 ）， 则 y 1 =x 2 1 +2x 1 -3. ∵A （ 1 ， 0 ）， ∴k PA = y 1 -0 x 1 -1 = x 2 1 +2x 1 -3 x 1 -1 =x 1 +3. 又 ∵ 直线 PA 的一个方向向量为 （ 1 ， 1 ）， ∴k PA =1 ， ∴x 1 +3=1 ， 即 x 1 =-2. 当 x 1 =-2 时， y 1 =-3 ， ∴ 点 P 的坐标为 （ -2 ， -3 ） . 15. 2 3 姨 -3 （ 1 ， - 3 姨 ） （答案不唯一） 【解析】 设直线 AB 的倾斜角为 琢 ， 则直线 AC 的倾 斜角为 2琢 ， tan琢= 3 姨 -0 2-1 = 3 姨 ， 且 0°≤琢<180° ， ∴琢=60° ， 2琢＝120° ， ∴k AC = 2m m-1 =tan120°=- 3 姨 ， 得 m=2 3 姨 -3 ， 直线 AC 的一个方向向量为 （ 1 ， - 3 姨 ） . 16. 解： 设点 A （ a ， a 2 ）， B （ b ， b 2 ）， C （ c ， c 2 ）， 则 k AB = a 2 -b 2 a-b =a+b ， k BC = b 2 -c 2 b-c =b+c ， k AC = a 2 -c 2 a-c =a+c. 不妨设直线 AB 的方向向量为 （ 1 ， 2 姨 ）， 则 k AB = 2 姨 ， 且直线 AB 的倾斜角为 琢. ∵△ABC 是等边三角形， ∴k BC =tan 琢+ 仔 3 t $ ， k AC =tan 琢- 仔 3 t $ ， ∴a+b+c= 1 2 （ k AB +k BC +k AC ） = 1 2 2 姨 +tan 琢+ 仔 3 t $ +tan 琢- 仔 3 t $t $ = 2 姨 2 + 1 2 · tan琢+tan 仔 3 1-tan琢tan 仔 3 + 1 2 · tan琢-tan 仔 3 1+tan琢tan 仔 3 =- 3 2 姨 10 . 2.2.2 直线的方程 第 1 课时 直线方程的点斜式与斜截式 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 由直线的点斜式方程可知直线方 程为 y-5=4 （ x-2 ）， 整理得 y=4x-3. （ 2 ） 由直线的倾斜角为 90° ， ∴ 直线的斜率不存在， ∴ 直线方程为 x=-1. （ 3 ） 由直线与 x 轴平行， ∴ 直线的斜率为 0 ， ∴ 直 线方程为 y=4. 变式训练 2 （ -3 ， 1 ） 【解析】 直线方程 mx+2y+3m- 56 参 考 答 案 2=0 可化为 y-1=- m 2 （ x+3 ）， ∴ 直线过定点 （ -3 ， 1 ） . 变式训练 3 （ 1 ） y=2x+3 （ 2 ） y=-3x-2 【解析】 （ 1 ） 由直线方程的斜截式方程可知此直线 方程为 y=2x+3. （ 2 ） 由直线过点 （ 0 ， -2 ） 可知直线的截距为 -2 ， ∴ 直线的方程为 y=-3x-2. 变式训练 4 D 【解析】 由 l 1 得 a>0 ， b<0 ， 而由 l 2 得 a> 0 ， b>0 ， 矛盾， 故 A 错误； 由 l 1 得 a<0 ， b>0 ， 而由 l 2 得 a>0 ， b>0 ， 矛盾， 故 B 错误； 由 l 1 得 a>0 ， b<0 ， 而由 l 2 得 a<0 ， b>0 ， 矛盾， 故 C 错误； 由 l 1 得 a>0 ， b>0 ， 由 l 2 得 a>0 ， b>0 ， 故 D 正确 . 故 选 D. 变式训练 5 解： 根据题意可知直线的斜率存在且不等 于 0 ， 故设所求直线方程为 y-2=k （ x+2 ） . 令 x=0 ， 得 y=2k+2 ， 令 y=0 ， 得 x=- 2 k -2. 由该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 ， ∴ 1 2 ｜２k＋2｜ - 2 k -2 =1 ， 即 2 （ k+1 ） 1 k + + " 1 =1 ， ∴2 k+ 1 k + + " 2 =1 或 2 k+ 1 k + + " 2 =-1 ， 即 2k 2 +3k+2=0 （无解） 或 2k 2 +5k+2=0 ， 解得 k=-2 或 k=- 1 2 . ∴ 直线方程为 y-2= （ -2 ）（ x+2 ）或 y-2= - 1 2 + " （ x+２ ）， 化简得 y=-2x-2 或 y=- 1 2 x+1. 随堂练习 1. 3 姨 ６0° 【解析】 由直线的点斜式方程 y+2= 3 姨 （ x+1 ）， 可得 k= 3 姨 . 设直线的倾斜角为 琢 ， 且 0°≤ 琢<180° ， 则 k=tan琢= 3 姨 ， 即 琢=60°. 2. C 【解析】 将直线方程 3x+y+4=0 转化为 y=-3x- 4 ， ∴ 直线的斜率为 -3 ， 截距为 -4. 故选 C. 3. A 【解析 】 由 kx+y+1-2k=0 ， 得 y+1=-k （ x-2 ）， ∴ 所有直线都通过定点 （ 2 ， -1 ） . 故选 A. 4. AB 【解析】 由 l 1 的图象可知 ， a>0 ， b>0 ， 由 l 2 的图象可知， -b<0 ， a>0 ， 故 A 可能成立； 由 l 1 的图象可知 ， a>0 ， b<0 ， 由 l 2 的图象可知 ， -b>0 ， a>0 ， 故 B 可能成立； 由 l 1 的图象可知 ， a<0 ， b>0 ， 由 l 2 的图象可知 ， -b<0 ， a>0 ， 故 C 不成立； 由 l 1 的图象可知 ， a<0 ， b>0 ， 由 l 2 的图象可知 ， -b>0 ， a>0 ， 故 D 不成立 . 故选 AB. 5. 解： （ 1 ） ∵ 直线的倾斜角为 仔 6 ， ∴ 直线的斜率 k= 3 姨 3 . 又 ∵ 直 线 过 点 A （ 4 ， 3 ） ， ∴ 直 线 方 程 为 y -3 = 3 姨 3 （x-4 ）， 即 y= 3 姨 3 x+3- 4 3 姨 3 . （ 2 ） 过点 B 且平行于 x 轴的直线的斜率为 0 ， ∴ 直 线方程为 y=2 ； 过点 B 且平行于 y 轴的直线的斜率不存在， ∴ 直线 方程为 x=4. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 A （ 2 ， 3 ） 关于 y 轴的对称点为 （ -2 ， 3 ）， 由于入射光线与 a= （ 8 ， 4 ） 平行， ∴ 反射光线的斜率是 - 4 8 =- 1 2 ， ∴ 反射光线所在直 线方程为 y-3=- 1 2 （ x+2 ）， 整理得 y=- 1 2 x+2. 故选 B. 2. D 【解析】 由直线 l 1 ： y=3x+1 ， 设直线 l 1 的倾斜 角为 琢 ， 则 k=tan琢=3. ∵ 直线 l 2 的倾斜角是 l 1 的倾斜角的 2 倍， ∴ 直线 l 2 的斜率为 tan2琢= 2tan琢 1-tan 2 琢 = 2×3 1-3 2 =- 3 4 . ∵ 直线 l 2 过点 （ 1 ， 0 ） ， ∴ 直线 l 2 的方程为 y= - 3 4 （ x-1 ）， 故选 D. 3. D 【解析】 由（ 2姿+1 ） x-姿y-2 （ 姿+１ ） ＝0 （ 姿∈R ） 得， 姿 （ 2x-y-2 ） + （ x-2 ） =0. ∵ 该式对 姿∈R 恒成立， ∴ 2x-y-2=0 ， x-2=0 0 ， 解得 x=2 ， y=2 0 ， ∴ 直线恒过定点 （ 2 ， 2 ）， 故选 D. 4. AC 【解析】 由直线经过点 A （ 1 ， 0 ）， B （ m ， 1 ）， 因此该直线斜率不可能为零， 但有可能不存在 . ① 当直线斜率不存在， 即 m=1 时， 直线方程为 x=1 ； ② 当直线斜率存在， 即 m≠1 时， 有 k AB = 1 m-1 ， ∴ 直线方程为 y= 1 m-1 （ x-1 ）， 故选 AC. 5. BC 【解析】 直线 l ： x-my-1=0 ， 即 x-1=my ， 直 线 l 恒过定点 （ 1 ， 0 ）， 故 A 正确； 当 m=0 时 ， 直线 l ： x=1 ， 此时斜率不存在， 故 B 错误； 当 m= 3 姨 时， 直线 l ： y= x 3 姨 - 1 3 姨 ， 此时斜率 为 3 姨 3 ， 倾斜角为 30° ， 故 C 错误； 57 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 当 m=2 时， 直线 l ： x-2y-1=0 ， 在 x 轴、 y 轴上的截 距分别为 1 ， - 1 2 ， 此时直线 l 与两坐标轴围成的三角形 面积为 1 2 ×1× 1 2 = 1 4 ， 故 D 正确 . 故选 BC. 6. AC 【解析】 由图 A 可得直线 l 1 的斜率 a>0 ， 在 y 轴上的截距 b<0 ； 而 l 2 的斜率 b<0 ， 在 y 轴上的截距-a<0 ， 即 a>0 ， 故 A 可能成立 . 由图 B 可得直线 l 1 的斜率 a>0 ， 在 y 轴上的截距 b>0 ； 而 l 2 的斜率 b<0 ， 在 y 轴上的截距-a<0 ， 即 a>0 ， 矛盾， 故 B 不可能成立 . 由图 C 可得直线 l 1 的斜率 a<0 ， 在 y轴上的截距 b>0 ； 而 l 2 的斜率 b>0 ， 在 y 轴上的截距-a>0 ， 即 a<0 ， 故 C 可能成立 . 由图 D 可得直线 l 1 的斜率 a<0 ， 在 y 轴上的截距 b<0 ； 而 l 2 的斜率 b>0 ， 在 y 轴上的截距 -a>0 ， 即 a<0 ， 矛盾， 故 D 不可能成立 . 故选 AC. 7. x=2 【解析】 直线 y=-x-1 的斜率为 -1 ， 倾斜角为 3仔 4 ， 故比它的倾斜角小 仔 4 的直线的倾斜角为 仔 ２ ， 再根 据此直线过点 （ 2 ， 1 ）， 故要求的直线的方程为 x=2. 8. y= 5 12 x+5 【解析】 由题意， 可设 y= 5 12 x+b ， 则该 直线与坐标轴交点分别为 （ 0 ， b ）， - 12 5 b ， ， " 0 且 b>0 ， ∴b+ - 12 5 b + b 2 + - 12 5 ， " b 2 姨 =30 ， 可得 b=5 ， ∴ 直线 l 的方程为 y= 5 12 x+5. 9. 解： 已知斜率和截距， 使用直线方程的斜截式即 可写出直线方程， ∴ 直线方程分别为 y=-2x-1 ， y=-2x ， y=-2x+1 ， y=-2x+2. 所画图形如图所示， 经观察发现 y=-2x+b 的斜率相 同， 当 b 取值不同时直线是平行的 . 10. 解： （ 1 ） ∵ 直线 l 在两坐标轴上截距和为零， ∴ 直线 l 的斜率存在且不为 0 ， 故不妨设斜率为 k ， 则直线 l 的方程为 y-2=k （ x+1 ）， ∴ 直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 -1- 2 k ， k+2 ， ∴-1- 2 k +k+2=0 ， 整理得 k 2 +k-2=0 ， 解得 k=-2 或 k=1 ， ∴ 直线 l 的方程为 y=-2x 或 y=x+3. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 A -1- 2 k ， ， " 0 ， B （0 ， k+2 ）， ∵k>0 ， ∴△AOB 的 面 积 为 S = 1 2 × 1+ 2 k ， " （ k +2 ） = 1 2 × 4+k+ 4 k ， " ≥ 1 2 × 4+2 k · 4 k 姨 ， " =4. 当且仅当 k= 4 k ， 即 k=2 时等号成立， ∴△AOB 面积 的最小值为 4. 提升练习 11. B 【解析】 ∵ 直线 l 的方程为 y+1=2 x+ 5 2 ， " ， ∴ 直线 l 的斜率为 2 ， 在 y 轴上的截距为 4 ， 即 a=2 ， b=4 ， ∴log a b=log 2 4=2 ， 故选 B. 12. D 【解析】 ∵ 直线 y=- a b x+a （ a>0 ， b>0 ）， 当 x= 0 时， y=a ， 当 y=0 时， x=b ， ∴ 该直线在 x 轴与 y 轴上的 截距分别为 b ， a. 又 ∵ 直线 y=- a b x+a （ a>0 ， b>0 ） 过点 （ 1 ， 1 ） ， ∴a+b=ab ， 即 1 a + 1 b =1 ， ∴a+b= （ a+b ） 1 a + 1 b ， " =2+ b a + a b ≥2+2 b a · a b 姨 =4 ， 当且仅当 a=b=2 时等号成立 . ∴ 直线 在 x 轴与 y 轴上的截距之和的最小值为 4. 故选 D. 13. BC 【解析】 由题意， 可得（ 3x+y ） 5 + （ 3x+y ） = （ -x ） 5 + （ -x ）， 又由 y=x 5 +x 单调递增 ， 得 3x+y=-x ， 则 y=-4x ， 故满足条件的点 （ x ， y ） 有无穷多个 ， 且都在直线 y= -4x 上 . 故选 BC. 14. y- （ -4 ） =- 3 4 （ x-3 ） 【解析】 ∵sin琢+cos琢=- 1 5 ， 且 sin 2 琢+cos 2 琢=1 ， 解得 sin琢= 3 5 ， cos琢=- 4 5 5 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) 或 sin琢=- 4 5 ， cos琢= 3 5 5 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) . ∵琢∈ ［ 0 ， 仔 ）， ∴sin琢>0 ， 即 sin琢= 3 5 ， cos琢=- 4 5 5 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴tan琢= sin琢 cos琢 =- 3 4 ， 即直线的斜率 k=- 3 4 ， ∴ 直线方程为 y- （ -４ ） =- 3 4 （ x-3 ） . 15. y= 3+ 3 姨 2 x- 3+ 3 姨 2 【解析】 由题意可得 k OA = x y O 2 1 -2 -1 1 2 -1 -2 y=-2x y=-2x+2 y=-2x-1 y=-2x+1 第 9 题答图 58 参 考 答 案 tan45°=1 ， k OB =tan （ 180°-30° ） =tan150°=- 3 姨 3 ， ∴ 直线 OA 的方程为 y=x ， 直线 OB 的方程为 y= - 3 姨 3 x. 设 A （ m ， m ）， B （ - 3 姨 n ， n ）， ∴AB 的中点 C m- 3 姨 n 2 ， m+n 2 2 # . 由点 C 在直线 y= 1 2 x 上， 且 A ， P ， B 三点共线得 m+n 2 = 1 2 · m- 3 姨 n 2 ， m-0 m-1 = n-0 - 3 姨 n-1 1 & & & & & % & & & & & ' ， 解得 m= 3 姨 ， ∴A （ 3 姨 ， 3 姨 ） . 又 ∵P （ 1 ， 0 ）， ∴k AB =k AP = 3 姨 -0 3 姨 -1 = 3+ 3 姨 2 ， ∴ 直线 AB 的方程是 y= 3+ 3 姨 2 （ x-1 ） = 3+ 3 姨 2 x- 3+ 3 姨 2 . * 16. 解： （ 1 ） ∵ 直线 l ： （ k+ 3 姨 ） x-y-2k=0 可化为 y=k （ x-2 ） + 3 姨 x ， ∴ x-2=0 ， y= 3 姨 x x ， 解得 x=2 ， y=2 3 姨 x ， 故直线 l 经过的定点 坐标为 （ 2 ， 2 3 姨 ） . （ 2 ） ∵A （ 6 ， 6 3 姨 ）， B （ 0 ， 0 ）， C （ 12 ， 0 ）， ∴｜AB｜= ｜AC｜=｜BC｜=12. 由题可得直线 AB 的方程为 y= 3 姨 x ， 故直线 l 经 过的定点 Ｐ （ ２ ， ２ 3 姨 ） 在直线 AB 上， ∴｜AP｜= （ 6-2 ） 2 + （ 6 3 姨 -2 3 姨 ） 2 姨 =8. 设直线 l 与 AC 交于点 D ， ∴ 有 S △APD = 1 2 S △ABC ， 即 1 2 ｜AP ｜｜AD ｜sinA= 1 2 × 1 2 ×｜AB ｜｜AC ｜sinA ， ∴ ｜AD ｜= 3 4 ｜AC｜=9. 设 D （ x 0 ， y 0 ）， ∴ A A+ D = 3 4 A A+ C ， 即 （ x 0 -6 ， y 0 -6 3 姨 ） = 3 4 （ 6 ， -6 3 姨 ）， ∴x 0 = 21 2 ， y 0 = 3 3 姨 2 ， ∴D 21 2 ， 3 3 姨 2 2 - . 将 D 点坐标代入直线 l 的方程， 解得 k=- 18 3 姨 17 ， ∴ 直线 l 的方程为 y=- 3 姨 17 x+ 36 3 姨 17 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 可知 △ABC 为等边三角形， ∴S △APF = 1 2 ｜AP｜｜AF｜sin60° ， S △BPE = 1 2 ｜BP｜｜BE｜sin60° ， 而 S △APF =S △BPE ， ｜AP｜=8 ， ｜BP｜=4 ， ∴ 有 ｜BE｜=2｜AF｜. 设 E （ x ， 0 ） （ 0<x≤12 ）， 则 ｜BE｜=x ， ∴｜AF｜= x 2 . ∵F 在 AC 上， 设 F （ x 1 ， y 1 ）， ∴ A A+ F = x 2 12 A A+ C = x 24 A A+ C ， 即 （ x 1 -6 ， y 1 -6 3 姨 ） = x 24 （ 6 ， -6 3 姨 ）， 解得 x 1 =6+ x 4 ， y 1 =6 3 姨 - 3 姨 4 x ， ∴F 6+ x 4 ， 6 3 姨 - 3 姨 4 x 2 - ， ∴ P A+ E = （ x-２ ， -2 3 姨 ）， P A+ F = 4+ x 4 ， 4 3 姨 - 3 姨 4 x 2 - ， 故P A+ E·P A+ F = （ x-2 ） 4+ x 4 2 - -2 3 姨 4 3 姨 - 3 姨 4 x 2 - = 1 4 x 2 +5x-32. ∵0<x≤12 ， ∴ P A+ E·P A+ F ∈ （ -32 ， 64 ］ . 第 2 课时 直线方程的两点式、 截距式及一般式 学习手册 变式训练 1 解： 若直线过原点， 则直线在两轴上的截 距为 0 ， 满足题意 . 由直线经过点 （ 1 ， 2 ）， ∴ 直线的斜率为 2 ， 此时直 线方程为 y=2x. 若直线不经过原点， 由直线在两轴上的截距相等， 可设直线方程为 x a + y a =1. 又 ∵ 直线经过点 （ 1 ， 2 ）， ∴ 1 a + 2 a =1 ， ∴a=3 ， ∴ 直 线方程为 y=3-x. 综上， 截距相等的直线有两条， 分别为 y=2x 和 y= 3-x. 变式训练 2 解 ： ∵PQ⊥l ， ∴P A+ Q = （ 3+1 ， 2-0 ） = （ 4 ， 2 ） 为直线 l 的一个法 向量 . 又 ∵ 直线 l 经过点 A （ 3 ， 1 ）， 代入直线的点法式方 程， 得 4 （ x-3 ） +2 （ y-1 ） =0 ， 化简为 2x+y-7=0. 随堂练习 1. C 【解析 】 ∵ 直线过两点 （ 1 ， 1 ） 和 （ 2 ， -1 ）， ∴ 直线的两点式方程为 y- （ -1 ） 1- （ -1 ） ＝ x-2 1-2 ， 整理得 2x+y-3= 0. 故选 C. 2. 4x+3y=0 或 x+2y-5=0 【解析】 直线过原点时， 设 59 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 直线方程为 y=kx ， 则 -3k=4 ， k=- 4 3 ， 方程为 y=- 4 3 x ， 即 4x+3y=0 ； 直线不过原点时， 设直线方程为 x 2b + y b =1 ， 则 -3 2b + 4 b =1 ， b= 5 2 ， 直线方程为 x 5 + y 5 2 =1 ， 即 x+2y-5=0. 3. x+2y=0 【解析】 由直线方程的点法式可知直线方 程为 1 （ x-2 ） +2 （ y+1 ） =0 ， 整理得 x+2y=0. 4. 解： 经过点 A （ 6 ， -2 ）， 且斜率为 - 2 3 的直线方程 的点斜式是 y+2=- 2 3 （ x-6 ） . 化成一般式， 得 2x+3y-6=0. 把常数项移到方程的右边， 再把方程的两边同时除 以 6 ， 得到截距式 x 3 + y 2 =1. 5. 解： （ 1 ） 经过点 A （ -1 ， 2 ）， 且与 x 轴垂直的直 线方程为 x=-1. （ 2 ） 经过两点 A （ -3 ， 5 ）， B （ 4 ， -2 ）， 可得斜率 k= -2-5 4- （ -3 ） =-1 ， ∴ 直线方程为 y-5=- （ x+3 ）， 整理得 x+y-2=0. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 ∵ 直线 l 过点 （ -1 ， -1 ） 和 （ 2 ， 5 ）， 由直线的两点式方程 ， 得直线 l 的方程为 y- （ -1 ） 5- （ -1 ） ＝ x- （ -1 ） 2- （ -1 ） ， 化简得 y=2x+1. 由于点 （ 1 009 ， b ） 在直线 l 上， 将点 （ 1 009 ， b ） 代入方程 y=2x+1 ， 得 b=2×1 009+ 1 ， 解得 b=2 019. 故选 A. 2. B 【解析】 向量B B" C = （ -6 ， -4 ） 是高所在直线的一 个法向量， 又 ∵BC 边上的高过点 A ， ∴ 由直线方程的点 法式可知高所在的直线方程为 -6 （ x-4 ） -4y=0 ， 即 3x+2y- 12=0. 故选 B. 3. C 【解析】 当直线 l 过原点时， 设直线 l ： y=kx ， 将点 P （ 2 ， 3 ） 代入可得 3=2k ， 可得 k= 3 2 ， 此时直线 l ： y= 3 2 x. 当直线 l 不过原点时， 设直线 l ： x a + y b =1 ， 且 |a|=|b|. 当 a=b 时， 2 a + 3 a =1 ， 可得 b=a=5 ， 此时直线 l ： x+ y-5=0 ； 当 a=-b 时， 2 a + 3 -a =1 可得 a=-1 ， b=1 ， 此时直线 l ： -x+y=1 ， 即 x-y+1=0. ∴ 满足条件的直线 l 为 y= 3 2 x 或 x+y-5=0 或 x-y+1= 0 ， ∴ 满足条件的直线 l 的条数为 3. 故选 C. 4. C 【解析】 由题可知 k AB = 5-1 2-4 =-2 ， ∴ 线段 AB 的 方程为 y-1=-2 （ x-4 ）， x∈ ［ 2 ， 4 ］， 即 y=-2x+9 ， x∈ ［ 2 ， 4 ］， ∴2x-y=2x- （ -2x+9 ） =4x-9 ， x∈ ［ 2 ， 4 ］ . 设 h （ x ） =4x-9 ， 显然 h （ x ）在 ［ 2 ， 4 ］ 上单调递增， ∴h （ x ） max =h （ 4 ） =4×4-9=7. 故选 C. 5. BCD 【解析】 与坐标轴垂直的直线也不能用截距 式表示， 故 A 错误； AB 的中点为 （ 4 ， 1 ）， 那么 A （ 8 ， 0 ）， B （ 0 ， 2 ）， 则 直线 l 的方程为 x 8 + y 2 =1 ， 故 B 正确； 过原点时， 直线的方程为 y＝x ， 不过原点时， 直线 的方程为 x＋y＝2 ， 故 C 正确； 方程 3x-2y＝4 可化为 x 4 3 + y -2 =1 ， 故 D 正确 . 故选 BCD. 6. BD 【解析】 若直线过原点， 则直线在 x 轴、 y 轴 上的截距都为零， 不能用方程 x a + y a =1 表示， 故 A 不 正确； 当 m=0 时， 平行于 y 轴的直线方程为 x=2 ， 故 B 正确； 若直线的倾斜角为 90° ， 则该直线的斜率不存在， 不能用 y-1= （ x-1 ） tan兹 表示 ， 故 C 不正确 ； 设点 P （ x ， y ） 是经过两点 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P （ x 2 ， y 2 ） 的直线上的任意一 点， 根据P 1 P 2 B" ∥ P 1 B" P 可得 （y 2 -y 1 ）·（x-x 1 ） - （x 2 -x 1 ）·（y-y 1 ） = 0 ， 故 D 正确 . 故选 BD. 7. x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 【解析】 由题设所求直线 方程为 x a + y b =1 （a≠0 ， b≠0 ） . ∵ 点 A（-2 ， 2 ） 在该直线上， ∴- 2 a + 2 b =1. ① ∵ 该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 ， ∴ 1 2 |a||b|=1. ② 由 ①② 可得 a-b=1 ， ab= = 2 （ 1 ） 或 a-b=-1 ， ab=-2 = . （ 2 ） 解 60 参 考 答 案 方程组 （ 1 ） 得 a=2 ， b= = 1 或 a=-1 ， b=-2 = . 方程组 （ 2 ） 无解 . ∴ 所求直线方程为 x 2 + y 1 =1 或 x -1 + y -2 =1 ， 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0. 8. 5x-2y-5=0 【解析】 设 C （ x 0 ， y 0 ）， 则 M 5+x 0 2 ， y 0 -2 2 2 # ， N 7+x 0 2 ， y 0 +3 2 2 2 . 由 M 在 y 轴上， 则 5+x 0 2 =0 ， 即 x 0 =-5. 由 N 在 x 轴 上， 则 y 0 +3 2 =0 ， 即 y 0 =-3. ∴C （ -5 ， -3 ）， 故 M 0 ， - 5 2 2 2 ， N（1 ， 0 ）， ∴ 直线 MN 的方程为 x 1 + y - 5 2 =1 ， 即 5x-2y-5=0. 9. 解： （ 1 ） 由直线与 x 轴平行， 则方程的形式为 y=y 0 ≠0 ， ∴ 当 A=0 ， B≠0 ， C≠0 时满足题意 . （ 2 ） 由直线与 y 轴平行， 则方程的形式为 x=x 0 ≠0 ， ∴ 当 B=0 ， A≠0 ， C≠0 时满足题意 . （ 3 ） 由直线与 x 轴重合， 则方程为 y=0 ， ∴A=C=0 ， B≠0 时满足题意 . （ 4 ） 由直线与 y 轴重合， 则方程为 x=0 ， ∴B=C=0 ， A≠0 时满足题意 . 10. 解： （ 1 ） 设直线 l 上任意一点 M （ x ， y ）， 则P '( M = （ x-x 0 ， y-y 0 ） . 由直线 l 的方向向量为 a= （ u ， v ）， ∴ P '( M ∥a ， ∴u （ y-y 0 ） =v （ x-x 0 ）， 整理得 vx-uy+uy 0 -vx 0 =0. （ 2 ） 设直线 l 上任意一点 M （ x ， y ）， 则P '( M = （ x-x 0 ， y-y 0 ） . 由直线 l 的法向量为 n= （ u ， v ）， ∴ 根据直线方程的 点法式可得 u （ x-x 0 ） +v （ y-y 0 ） =0 ， 整理可得 ux+vy-ux 0 -vy 0 =0. 提升练习 11. D 【解析】 由题可设 A （ a ， 0 ）， B （ 0 ， b ） （ a>0 ， b>0 ）， 则直线 l 的方程为 x a + y b =1. ∵ 直线 l 过点 P （ 2 ， 3 ）， 则有 2 a + 3 b =1 ， 于是得 2|OA|+3|OB|=2a+3b= （ 2a+3b ） 2 a + 3 b 2 # =13+ 6 b a + a b 2 # ≥13+6×2 b a · a b 姨 =25 ， 当且仅当 b a = a b 时取等号 . 由 b a = a b ， 且 2 a + 3 b =1 ， 解得 a=b=5 ， 即当 a=b=5 时， 2|OA|+3|OB| 取最小值， 直线 l： x 5 + y 5 =1 ， ∴ 直线 l 的方程为 x+y-5=0. 故选 D. 12. B 【解析】 由题意可得A '( B 是线段 AB 的垂直平分 线的一个法向量 . 由A '( B = （ -6 ， -2 ）， 且线段 AB 的中点 M 的横坐标为 x M = 1-5 2 =-2 ， 中点 的纵坐标为 y M = 3+1 2 =2 ， 据此可得垂直平分线方程是 -6 （x+2 ） -2 （y-2 ） =0 ， 整 理得 3x+y+4=0. 故选 B. * 13. ACD 【解析 】 由题意得 b 1 =ka 1 +1 ， b 2 =ka 2 +1 = ， 则 a 1 b 2 - a 2 b 1 =a 1 （ka 2 +1 ） -a 2 （ka 1 +1 ） =a 1 -a 2 . ∵ 直线 y=kx+1 的斜率存在， ∴a 1 ≠a 2 ， 即 a 1 -a 2 ≠0 ， ∴a 1 b 2 -a 2 b 1 ≠0. 由方程组 a 1 x+b 1 y=1 ， a 2 x+b 2 y= = 1 可得 a 1 a 2 x+b 1 a 2 y=a 2 ， a 1 a 2 x+b 2 a 1 y=a 1 = ， ∴ （a 1 b 2 - a 2 b 1 ）y=a 1 -a 2 . ∵a 1 b 2 -a 2 b 1 ≠0 ， ∴ 上述方程有唯一解 . 故 A ， D 错误， B 正确 . 若 x=1 ， y= = 2 是方程组的一组解 ， 则 a 1 +2b 1 =1 ， a 2 +2b 2 =1 = ， 则点 （a 1 ， b 1 ）， （a 2 ， b 2 ） 在直线 x+2y=1 ， 即 y=- 1 2 x+ 1 2 上， 但已知这两个点在直线 y=kx+1 上， y=- 1 2 x+ 1 2 与 y=kx+1 表示的直线不是同一条直线， ∴ x=1 ， y= = 2 不可能是方程组的一组解， C 错误 . 故选 ACD. 14. 8 x+4y-8=0 【解析】 设直线 l 为 x a + y b =1 （a> 0 ， b>0 ）， ∵ 直线 l 过点 （4 ， 1 ）， ∴ 4 a + 1 b =1. 又 ∵ 4 a + 1 b ≥2 4 a · 1 b 姨 ， 即 １≥2 4 ab 姨 ， ab≥16 ， 当且仅当 4 a = 1 b ， 即 a=8 ， b=2 时取等号， ∴ （ S △AOB ） min = 1 2 ×16=8 ， 此时直线 l 为 x 8 + y 2 =1 ， 即 x+4y-8=0. 15. x+4y-14=0 【解析】 分别过点 H ， F 作 y 轴的垂 线， 垂足分别为 M ， N. ∵ 四边形 ACGH 为正方形， ∴Rt△AHM≌Rt△CAO ， ∴AM=OC ， MH=OA. ∵A （ 0 ， 2 ）， C （ 1 ， 0 ）， ∴MH=OA=2 ， AM=OC=1 ， ∴OM=OA+AM=3 ， ∴ 点 H 的坐标为 （ 2 ， 3 ） . 同理 得到 F （ -2 ， 4 ）， ∴ 直线 FH 的斜率为 k= 4-3 -2-2 =- 1 4 ， 61 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 可得直线 FH 的方程为 y-3=- 1 4 （ x-2 ）， 化简得 x+4y- 14=0. 16. 解 ： （ 1 ） 如图 ， 过点 M 作 MN⊥OA 于点 N ， 故 △AMN∽△ABO ， ∴ |MN| |BO| = |AN| |AO| = |AM| |AB| = 1 3 . 由 M （ 2 ， 1 ） 可得 |MN|=1 ， |NO|=2 ， ∴|AO|=|BO|=3 ， 故 A （ 3 ， 0 ）， B （ 0 ， 3 ）， ∴ 直线 l 的方程为 x 3 + y 3 = 1 ， 即 x+y-3=0. （ 2 ） 由题意， 设直线 l 的方程为 x a + y b =1 （a>0 ， b>0 ）， 则 |OA|=a ， |OB|=b ， ∴S △AOB = 1 2 ab. 由于直线过 M （ 2 ， 1 ）， 故 2 a + 1 b =1. 由于 a>0 ， b>0 ， 故 1= 2 a + 1 b ≥2 2 a · 1 b 姨 ， 当且仅当 2 a = 1 b ， 即 a=4 ， b=2 时等号成立， 即 2 2 a · 1 b 姨 ≤1 ， ∴ab≥8 ， 故 S △AOB = 1 2 ab≥4. 此 时直线 l 的方程为 x 4 + y 2 =1 ， 即 x+2y-4=0. 2.2.3 两条直线的位置关系 第 1 课时 两条直线的位置关系 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 由两点的斜率公式可知直线 l 1 的 斜率 k 1 = 0-3 -1-2 =1 ， 又 ∵ 直线 l 2 的斜率 k 2 =1 ， ∴k 1 =k 2 . 由 直线 l 1 过点 B （ -1 ， 0 ）， 直线 l 2 过点 P （ 1 ， 0 ）， ∴ 直线 l 1 与 l 2 平行 . （ 2 ） 由两点的斜率公式可知直线 l 3 的斜率 k 3 = 0-1 -2-3 = 1 5 ， 又 ∵ 直线 l 4 的斜率 k 4 =-4 ， ∴k 3 ≠k 4 ， ∴ 直线 l 1 与 l 2 相交， 此时这两直线不平行 . 变式训练 2 7x-2y-13=0 【解析】 由直线 l 平行于直线 7x-2y-3=0 ， 可设直线 l 的方程为 7x-2y+D=0. 又 ∵ 直线 l 过点 （ 3 ， 4 ）， ∴7×3-2×4+D=0 ， 解得 D=-13 ， ∴ 直线 l 的方程为 7x-2y-13=0. 变式训练 3 C 【解析】 ∵ 直线 a （ a-1 ） x+y-1=0 与直线 3x+ay+1=0 垂直， ∴3a （ a-1 ） +a=0 ， 解得 a=0 或 a= 2 3 . 故 选 C. 变式训练 4 A 【解析】 联立直线 l 1 ， l 2 的方程， 解方程 组 x-3y+1=0 ， x+2y+6=0 0 ， 解得 x=-4 ， y=-1 0 . ∴ 直线 l 1 与 l 2 的交点坐标为 （ -4 ， -1 ） . 设与直线 3x+y-1=0 垂直的直线方程为 x-3y+D=0 ， ∴-4-3× （ -1 ） +D=0 ， 解得 D=1 ， ∴ 所求直线方程为 x-3y+1=0. 故选 A. 随堂练习 1. D 【解析】 ∵ 直线 3x-4y+4=0 与直线 ax+8y+7=0 平行， ∴3×8- （ -4 ） a=0 ， 解得 a=-6. 故选 D. 2. C 【解 析 】 由 x+y-4=0 ， 2x-y-5=0 0 ， 得 x=3 ， y=1 0 ， 故 A∩B = { （ 3 ， 1 ） }. 故选 C. 3. BC 【解析】 当 B=0 时， 直线斜率不存在， 故 A 错误； 由题意， α∈ ［ 0 ， π ）， 故 sinα≥0 ， B 正确； 由直线垂直的判定知 ， 两条直线的斜率之积等于 -1 ， 则两条直线垂直， C 正确； 直线在两坐标轴上的截距都为 0 ， 且斜率不等于 -1 时， 直线的方程不可写为 x+y-a=0 ， D 错误 . 故选 BC. 4. 1 2 【解析】 ∵ 直线 l 1 ： x+ay+6=0 和 l 2 ： （ a-2 ） x+ 3y+2a=0 ， 且 l 1 ⊥l 2 ， ∴ （ a-2 ） ×1+3a=0 ， 解得 a= 1 2 . 5. 解： 方法一： 直线 l 的方程可化为 y=- 3 4 x+3 ， ∴ 直线 l 的斜率为 - 3 4 . （ 1 ） 由直线 l′ 与 l 平行得， 直线 l′ 的斜率为 - 3 4 . 又 ∵ 直线 l′ 过点 （ -1 ， 3 ）， 由点斜式知直线 l′ 的方程为 y- 3=- 3 4 （ x+1 ）， 即 3x+4y-9=0. （ 2 ） 由直线 l′ 与 l 垂直得， 直线 l′ 的斜率为 4 3 . 又 ∵ 直线 l′ 过点 （ -1 ， 3 ）， 由点斜式知直线 l′ 的方程为 y-3= 4 3 （ x+1 ）， 即 4x-3y+13=0. 方法二： （ 1 ） 由直线 l′ 与 l 平行， 可设直线 l′ 的方 程为 3x+4y+m=0 （ m≠-12 ） . 将点 （ -1 ， 3 ） 的坐标代入上式得 m=-9 ， ∴ 直线 l′ 的方程为 3x+4y-9=0. （ 2 ） 由直线 l′ 与 l 垂直， 可设直线 l′ 的方程为 4x- 3y+n=0. 将点 （ -1 ， 3 ） 的坐标代入上式得 n=13 ， ∴ 直线 l′ x y O E M N G H F A B C 第 15 题答图 第 16 题答图 x y O M N A B 62