1.2.3 直线与平面的夹角-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解斜线和平面所成的角的定义， 体 会夹角定义的唯一性、 合理性 . 2. 会求直线与平面的夹角 . 要 点 精 析 要点 1 直线与平面的夹角 1. 垂线与平面所成的角： 一条直线垂直 于平面， 则它们所成的角是 90°. 2. 一条直线和平面平行或在平面内， 则 它们所成的角为 0°. 3. 斜线和平面所成的角： 一条直线与平 面 α 相交， 但不和平面 α 垂直， 这条直线称 为平面 α 的斜线 . 斜线与平面 α 的交点称为 斜足， 过斜线上斜足以外的点向平面引垂 线， 过垂足与斜足的直线称为斜线在平面 α 内的射影 . 平面的一条斜线和它在平面内的 射影所成的角， 称为这条斜线和这个平面所 成的角 . 4. 斜线和平面所成角的范围为 （ 0° ， 90° ） . 思考 用定义法求直线与平面夹角的 关键是什么？ 例 1 如图 1-2-18 所示， 在三棱锥 P鄄ABC 中， PA⊥ 平 面 ABC ， PA =AB ， ∠ABC = 60° ， ∠BCA=90°. （ 1 ） 求证： BC⊥ 平面 PAC ； （ 2 ） 若 D 为 PB 的中点， 试求 AD 与平 面 PAC 夹角的正弦值 . 分析 （ 1 ） 证明 BC 和平面 PAC 内的 两条相交直线垂直 . （ 2 ） 作出 AD 在平面 PAC 内的射影后， 构造三角形求解 . （ 1 ） 证明： ∵PA⊥ 平面 ABC ， BC奂 平面 ABC ， ∴PA⊥BC. 又 ∵∠BCA=90° ， ∴AC⊥BC. 又 ∵AC奂 平面 PAC ， PA奂 平面 PAC ， PA∩AC =A ， ∴BC⊥ 平面 PAC. （ 2 ） 解： 如图 1-2-19 ， 取 PC 的中点 E ， 连接 DE. ∵D 为 PB 的中点， ∴DE∥BC ， ∴DE⊥ 平面 PAC. 连接 AE ， 则 AE 是 AD 在平面 PAC 内的投影， ∴∠DAE 是直线 AD 与平面 PAC 的夹角 . 设 PA=AB=a ， 在 Rt△ABC 中， ∵∠ABC=60° ， ∠BCA=90° ， ∴BC= a 2 ， DE= a 4 . 在 Rt△ABP 中， AD= 2 姨 2 a ， ∴sin∠DAE= DE AD = a 4 2 姨 2 a = 2 姨 4 . 即 AD 与 平 面 PAC 夹 角 的 正 弦 值 为 2 姨 4 . 1.2.3 直线与平面的夹角 A B C D P A B C D P E 图 1-2-19 图 1-2-18 22 第一章 空间向量与立体几何 学 反思感悟 找直线在平面内的射影， 充分利用面 面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角 . 变式训练 1 （变结论） 若例 1 条件不变， 问题 （ 2 ） 改为： D 为 PB 上的一点， 且 BD= 1 3 PB ， 试 求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值 . 变式训练 2 （变结论） 若例 1 （ 2 ） 的条件不变， 求 AD 与平面 PBC 的夹角的正弦值， 结果如何？ 要点 2 最小角定理 例 2 ∠BOC 在平面 α 内， OA 是平面 α 的一条斜线， 若 ∠AOB=∠AOC=60° ， OA= OB=OC=a ， BC= 2 姨 a ， 求 OA 与平面 α 所 成的角 . 解： 方法一： ∵OA=OB=OC=a ， ∠AOB=∠AOC=60° ， ∴AB=AC=a. 又 ∵BC= 2 姨 a ， ∴AB 2 +AC 2 =BC 2 . ∴△ABC 为等腰直角三角形 . 同理 △BOC 也为等腰直角三角形 . 如图 1-2-20 ， 取 BC 的中点 H ， 连接 AH ， OH ， ∴AH= 2 姨 2 a ， OH= 2 姨 2 a ， AO=a ， AH 2 +OH 2 =AO 2 . ∴△AHO 为等腰直角三角形 . ∴AH⊥OH. 又 ∵AH⊥BC ， OH∩BC=H ， ∴AH⊥ 平面 α. ∴OH 为 AO 在 α 平面内的射影， ∠AOH 为 OA 与平面 α 所成的角 . 在 Rt△AOH 中， ∴sin∠AOH= AH AO = 2 姨 2 . α H O A B C α M O A B 兹 1 兹 2 兹 平面的斜线和它在平面内的射影所 成的角， 是斜线和这个平面内所有 直线所成角中最小的角 最 小 角 定 理 定理 最小角 如图， AB⊥α ， 则图中 兹 ， 兹 1 ， 兹 2 之间的关系是 cos兹=cos兹 1 · cos兹 2 角的关系式 线线角、 线面 图 1-2-20 23 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 ∴∠AOH=45°. ∴OA 与平面 α 所成的角为 45°. 方法二： ∵∠AOB=∠AOC=60° ， ∴OA 在 α 内的射影为 ∠BOC 的平分线 . 作 ∠BOC 的平分线 OH 交 BC 于 H ， 又 ∵OB=OC=a ， BC= 2 姨 a ， ∴∠BOC=90° ， 故 ∠BOH=45°. 由公式 cosθ=cosθ 1 · cos θ 2 ， 得 cos∠AOH= cos∠AOB cos∠BOH = 2 姨 2 ， ∴OA 与平面 α 所成的角为 45°. 反思感悟 求线面角的关键是确定斜线在平面上 射影的位置， 只有确定了射影， 才能将空 间角转化为平面角 . 在本例中， 也可以直接 作 AH⊥BC 于 H ， 进而证明 AH⊥ 平面 α ， 从而证明 H 是点 A 在平面 α 内的射影 . 解 法二则灵活应用公式 cosθ=cosθ 1 · cosθ 2 求线 面角， 也是常用的方法 . 变式训练 3 如图 1-2-21 所示， 在四棱锥 P鄄ABCD 中， ABCD 是 正 方 形 ， PD ⊥ 平 面 ABCD. 若 ∠PBC=60° ， 求直线 PB 与平面 ABCD 所成 的角 θ. 要点 3 用空间向量求直线与平面的夹角 如果 v 是直线 l 的一个方向向量， n 是 平面 α 的法向量， 设直线 l 与平面 α 所成角 的大小为 θ ， 则 θ= π 2 - 〈 v ， n 〉 或 θ= 〈 v ， n 〉 - π 2 . 特别地， cosθ=sin 〈 v ， n 〉 或 sinθ=|cos 〈 v ， n 〉 |. 思考 直线 l 的方向向量 s 与平面的法 向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ 例 3 如图 1-2-22 ， 在 直 三 棱 柱 A 1 B 1 C 1 鄄ABC 中 ， AC⊥BC ， AC=BC=1 ， CC 1 = 2 ， 点 M 是 A 1 B 1 的中点 . （ 1 ） 求证 ： B 1 C∥ 平面 AC 1 M ； （ 2 ） 求 AA 1 与平面 AC 1 M 所成角的正 弦值 . （ 1 ） 证明： 在直三棱柱 A 1 B 1 C 1 鄄ABC 中， AC⊥BC ， AC=BC=1 ， CC 1 =2 ， 点 M 是 A 1 B 1 的中点 . 以 C 为原点， 建立如图 1-2-23 所示空 间直角坐标系， 则 B 1 （ 0 ， 1 ， 2 ）， C （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 1 ， 0 ， 0 ）， C 1 （ 0 ， 0 ， 2 ）， A 1 （ 1 ， 0 ， 2 ）， M 1 2 ， 1 2 ， ， ' 2 ， B 1 1) C = （ 0 ， -1 ， -2 ）， AC 1 1) = （ -1 ， 0 ， 2 ）， A 1) M = - 1 2 ， 1 2 ， ， ， 2 . 设平面 AC 1 M 的法向量 n= （ x ， y ， z ）， A B C D P 图 1-2-21 M A 1 B 1 C 1 A B C M A 1 B 1 C 1 A B C x y z 图 1-2-23 图 1-2-22 24 第一章 空间向量与立体几何 学 则 n · A 1 !" C =-x+2z=0 ， n · A !" M =- 1 2 x+ 1 2 y+2z=0 0 % % % % % $ % % % % % & ， 取 z=1 ， 得 n= （ 2 ， -2 ， 1 ） . ∵B 1 !" C · n=0 ， B 1 C埭 平面 AC 1 M ， ∴B 1 C∥ 平面 AC 1 M. （ 2 ） 解： AA 1 !" = （ 0 ， 0 ， 2 ）， 平面 AC 1 M 的法向量 n= （ 2 ， -2 ， 1 ）， 设 AA 1 与平面 AC 1 M 所成角为 θ ， 则 AA 1 与平面 AC 1 M 所成角的正弦值 sinθ= |AA 1 !" · n| |AA 1 !" ||n| = 2 2×3 = 1 3 ， ∴ AA 1 与平面 AC 1 M 所成角的正弦值为 1 3 . 反思感悟 用向量法求线面角的步骤： （ 1 ） 建立空间直角坐标系 . （ 2 ） 求直线的方向向量 A !" B . （ 3 ） 求平面的法向量 n. （ 4 ） 计算 ： 设线面角为 θ ， 则 sinθ= |n · A !" B | |n||A !" B | . 变式训练 4 如图 1-2-24 ， 已知棱台 ABC鄄A 1 B 1 C 1 ， 平 面 AA 1 C 1 C⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 ， ∠B 1 A 1 C 1 =60° ， ∠A 1 B 1 C 1 =90° ， AA 1 =AC=CC 1 = A 1 C 1 2 ， D ， E 分 别是 BC 和 A 1 C 1 的中点 . （ 1 ） 求证： DE⊥B 1 C 1 ； （ 2 ） 求 DE 与平面 BCC 1 B 1 所成角的余 弦值 . 数 学 文 化 例 中国是风筝的故乡， 南方称 “鹞”， 北方称 “鸢” . 如图， 某种风筝的骨架模型 是四棱锥 P鄄ABCD ， 其中 AC⊥BD 于点 O ， OA=OB=OD=4 ， OC=8 ， PO⊥ 平面 ABCD. （ 1 ） 求证： PD⊥AC ； （ 2 ） 试验表明， 当 PO= 1 2 OA 时， 风筝 表现最好， 求此时直线 PD 与平面 PBC 所成 角的正弦值 . 分析 （ 1 ） 利用 PO⊥ 平面 ABCD 可 得 PO⊥AC ， 再利用 AC⊥BD 即可 . （ 2 ） 以 O 为坐标原点 ， 分别以 O !" B ， O !" C ， O !" P 的方向为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴正方 向， 建立空间直角坐标系即可求出 ； 或 利用等体积法 V 三棱锥 P鄄BCD =V 三棱锥 D鄄PBC 也可 . E A 1 B 1 C 1 A B C D 图 1-2-24 O A B C D P 图 1-2-25 （ A ） 图 1-2-25 （ B ） 25 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 （ 1 ） 证明： ∵PO⊥ 平面 ABCD ， AC奂 平 面 ABCD ， ∴PO⊥AC. 又 ∵AC⊥BD ， PO∩BD=O ， PO奂 平面 POD ， BD奂 平面 POD ， ∴AC⊥ 平面 POD. 又 ∵PD奂 平面 POD ， ∴PD⊥AC. （ 2 ） 解： 方法一： 如图 1-2-26 （ A ）， 以 O 为坐标原点 ， 分别以 O O% B ， O O% C ， O O% P 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立 空间直角坐标系 O鄄xyz ， 则 B （ 4 ， 0 ， 0 ）， C （ 0 ， 8 ， 0 ）， D （ -4 ， 0 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 2 ）， ∴P O% B = （ 4 ， 0 ， -2 ） ， P O% C = （ 0 ， 8 ， -2 ） ， P O% D = （ -4 ， 0 ， -2 ） . 设 m= （ a ， b ， c ） 为平面 PBC 的法向量， 则 m · P O% B =0 ， m · P O% C =0 0 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 即 4a-2c=0 ， 8b-2c=0 0 ， 令 c=4 ， 则 m= （ 2 ， 1 ， 4 ） . 设直线 PD 与平面 PBC 所成角为 兹 ， 则 sin兹= |P O% D · m| |P O% D ||m| = |-4×2+0×1-2×4| 16+4 姨 × 4+1+16 姨 = 8 105 姨 105 . 方法二： 如图 1-2-26 （ B ）， 在 Rt△POB 中 ， 由 PB 2 =PO 2 +OB 2 ， 得 PB=2 5 姨 . 在 Rt△POC 中， 由 PC 2 =PO 2 +OC 2 ， 得 PC = 2 17 姨 . 在 Rt△POD 中， 由 PD 2 =PO 2 +OD 2 ， 得 PD=2 5 姨 . 在 Rt△BOC 中 ， 由 BC 2 =BO 2 +OC 2 ， 得 BC=4 5 姨 . 在 Rt△PBC 中， 由余弦定理， 得 cos∠PBC= PB 2 +BC 2 -PC 2 2PB · BC = （ 2 5 姨 ） 2 + （ 4 5 姨 ） 2 - （ 2 17 姨 ） 2 2×2 5 姨 ×4 5 姨 = 2 5 ， ∴sin∠PBC= 1-cos 2 ∠PBC 姨 = 21 姨 5 ， S △PBC = 1 2 PB · BC · sin∠PBC= 1 2 ×2 5 姨 × 4 5 姨 × 21 姨 5 =4 21 姨 . 设点 D 到平面 PBC 的距离为 h ， 由 V 三棱锥 P鄄BCD =V 三棱锥 D鄄PBC ， 得 1 3 × 1 2 ×BD×OC×OP= 1 3 ×S △PBC ×h ， 即 h= BD×OC×OP 2S △PBC = 8×8×2 2×4 21 姨 = 16 21 姨 21 . 设直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 兹 ， 则 sin兹＝ h PD ＝ 16 21 姨 21 2 5 姨 = 8 105 姨 105 . x y z O A B C D P O A B C D P 图 1-2-26 （ A ） 图 1-2-26 （ B ） 26 参 考 答 案 AC⊥CD. 又 ∵AP∩AC＝A ， ∴CD⊥ 平面 PAC. （ 2 ） 设侧棱 PA 的中点是 E ， 则 E 0 ， 0 ， 1 2 2 $ ， B %& E ＝ -1 ， 0 ， 1 2 2 2 . 设平面 PCD 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ） ， 则 n ·C %& D =0 ， n ·P %& D =0 0 . ∵ C %& D ＝ （ -1 ， 1 ， 0 ） ， P %& D ＝ （ 0 ， 2 ， -1 ） ， ∴ -x+y=0 ， 2y-z=0 0 ， 取 x＝1 ， 则 y＝1 ， z＝2 ， ∴ 平面 PCD 的一个法 向量为 n＝ （ 1 ， 1 ， 2 ）， ∴n ·B %& E ＝ （ 1 ， 1 ， 2 ）· -1 ， 0 ， 1 2 2 2 ＝0 ， ∴n⊥ B %& E . ∵BE埭 平面 PCD ， ∴BE∥ 平面 PCD. 综上所述， 当 E 为 PA 的中点时， BE∥ 平面 PCD. 1.2.3 直线与平面的夹角 学习手册 变式训练 1 解： 由已知 BC⊥AC ， BC⊥PA ， AC∩PA＝A ， ∴BC⊥ 平面 PAC ， BC⊥PC. 如图， 过 PB 的三等 分点 D 作 DE∥BC ， 则 DE⊥ 平面 PAC. 连接 AE ， AD ， 则 ∠DAE 为 AD 与 平 面 PAC 的 夹 角 . 不 妨 设 PA ＝AB ＝1 ， ∵∠ABC ＝60° ， ∴BC ＝ 1 2 ， DE＝ 2 3 × 1 2 ＝ 1 3 ， PB＝ 2 姨 ， BD＝ 2 姨 3 . 在 △ABD 中 ， AD 2 ＝AB 2 +BD 2 -2AB · BD · cos45°＝ 5 9 ， ∴AD＝ 5 姨 3 ， ∴sin∠DAE＝ DE AD ＝ 1 3 5 姨 3 ＝ 5 姨 5 ， 即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 5 姨 5 . 变式训练 2 解 ： 由例题 （ 1 ） 知 BC⊥ 平面 PAC ， ∴ 平面 PAC⊥ 平面 PBC. 如 图 ， 过 点 A 作 AE⊥PC ， ∴AE ⊥ 平 面 PBC. 连 接 ED ， 则 ∠ADE 为 AD 与平面 PBC 的夹角 . 设 PA＝2a ， AB＝2a ， ∴PB＝2 2 姨 a. 故 AD＝ 2 姨 a. 在 △APC 中 ， AP＝ 2a ， AC＝AB · sin60°＝2a× 3 姨 2 ＝ 3 姨 a ， ∴PC＝ 3a 2 +4a 2 姨 ＝ 7 姨 a. 设 ∠ACP＝θ ， 则 AE＝AC · sinθ＝AC · AP PC ＝ 3 姨 a · 2a 7 姨 a ＝ 2 3 姨 7 姨 a＝ 2 21 姨 7 a ， ∴sin∠ADE＝ AE AD ＝ 2 21 姨 a 7 2 姨 a ＝ 42 姨 7 ， 即 AD 与平面 PBC 夹角的正弦值为 42 姨 7 . 变式训练 3 解： 由题意得 ∠CBD＝45° ， ∠PBD 即为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 θ. ∵cos∠PBC＝cosθ · cos∠CBD ， ∠PBC＝60°. 即 cos60°＝cosθ · cos45° ， ∴cosθ＝ 2 姨 2 ， θ＝45°. 变式训练 4 （ 1 ） 证明： 如图， 过点 A 作 AO⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 ， 交 A 1 C 1 于 点 O ， 连 接 B 1 O ， 设 AA 1 ＝AC＝CC 1 ＝ A 1 C 1 2 ＝2 ， 则 A 1 O＝ 1 ， A 1 B 1 ＝2 ， ∴B 1 O⊥A 1 C 1 ， B 1 O＝ 3 姨 . 以 O 为原点 ， 建立如图 所示的空间直角坐标系， 则 B 3 姨 2 ， 1 2 ， 3 姨姨 2 ， C （ 0 ， 2 ， 3 姨 ）， D 3 姨 4 ， 5 4 ， 3 姨姨 2 ， E （ 0 ， 1 ， 0 ）， B 1 （ 3 姨 ， 0 ， 0 ）， C 1 （ 0 ， 3 ， 0 ）， D %& E ＝ - 3 姨 4 ， - 1 4 ， - 3 姨姨 2 ， B 1 C 1 %& ＝ （ - 3 姨 ， 3 ， 0 ） . 又 ∵ D %& E·B 1 C 1 %& ＝0 ， ∴DE⊥B 1 C 1 . （ 2 ） 解 ： CB 1 %& ＝ （ 3 姨 ， -2 ， - 3 姨 ）， CC 1 %& ＝ （ 0 ， 1 ， - 3 姨 ）， 设平面 BCC 1 B 1 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·CB 1 %& = 3 姨 x-2y- 3 姨 z=0 ， n ·CC 1 %& =y- 3 姨 z=0 0 ， 取 y＝ 3 姨 ， 得 n＝ （ 3 ， 3 姨 ， 1 ）， D %& E ＝ - 3 姨 4 ， - 1 4 ， - 3 姨姨 2 . 设 DE 与平面 BCC 1 B 1 所成角为 θ ， 则 sinθ＝ ｜D %& E·n｜ ｜D %& E ｜｜n｜ ＝ 4 3 姨 13 . ∴cosθ＝ 1- 4 3 姨 13 姨 2 2 姨 ＝ 11 13 . ∴DE 与平面 BCC 1 B 1 所成角的余弦值为 11 13 . 随堂练习 1. D 【解析】 由最小角定理知直线 l 与直线 a 所成的 最小角为 仔 3 ， 又 ∵l ， a 为异面直线， 则所成角的最大值为 仔 2 . 故选 D. 2. C 【解析】 如图 ， 连接 A 1 C 1 交 B 1 D 1 于点 O ， 由已知得 C 1 O⊥ B 1 D 1 ， 且 平 面 BDD 1 B 1 ⊥ 平 面 A 1 B 1 C 1 D 1 ， ∴C 1 O⊥ 平面 BDD 1 B 1 ， 连 接 BO ， 则 BO 为 BC 1 在平面 BDD 1 B 1 内的射影， ∠C 1 BO 即为所求 . C 1 O＝ 1 2 × 4 2 +4 2 姨 ＝2 2 姨 ， BC 1 ＝ 4 2 +2 2 姨 ＝2 5 姨 ， E A B C D P 变式训练 1 答图 E A B C D P θ 60° 90° 30° 变式训练 2 答图 z y x E O A B C D A 1 B 1 C 1 变式训练 4 答图 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O 第 2 题答图 33 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴sin∠C 1 BO＝ C 1 O BC 1 ＝ 2 2 姨 2 5 姨 ＝ 10 姨 5 . 故选 C. 3. 7 3 姨 15 【解析】 设 l 与平面 α 所成的角为 θ ， 则 sinθ＝ ｜1×0+1×3+1×4｜ 3 姨 × 0 2 +3 2 +4 2 姨 ＝ 7 3 姨 × 25 姨 ＝ 7 3 姨 15 . 4. 15 姨 4 【解析】 如图 ， 在正 三棱锥 P鄄ABC 中， PA＝4 ， AB＝ 3 姨 ， 设 P 在底面上的射影为 O ， 则 O 为 △ABC 的中心， 由已知求得 AO＝1. 又 ∵PA＝4 ， ∴PO ＝ ４ ２ -１ ２ 姨 ＝ １５ 姨 ， ∴sin∠PAO＝ PO PA ＝ １５ 姨 ４ ， 即侧棱 PA 与底面 ABC 所成角 的正弦值为 １５ 姨 ４ . 5. 解： 如图， 以 O 为原点建 立空间直角坐标系 O鄄xyz ， 设 OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a ， 则 A （ a， 0 ， 0 ）， B（0 ， a ， 0 ）， C （ -a， 0 ， 0 ）， P 0 ， - a 2 ， a 2 2 % ， 从而C C' A ＝ （ 2a ， 0 ， 0 ） ， A C' P ＝ -a ， - a 2 ， a 2 2 % ， C C' B ＝ （a， a ， 0 ） . 设平面 PAC 的一个法 向量为 n ， 可求得 n＝ （ 0 ， 1 ， 1 ）， 则 cos 〈C C' B ， n 〉 ＝ C C' B· n ｜C C' B ｜｜n｜ ＝ a 2a 2 姨 · 2 姨 ＝ 1 2 ， ∴ 〈C C' B· n 〉 ＝60° ， ∴ 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 90°-60°＝30°. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 如图 ， 以 D 为 坐标原点， 分别以 DA ， DC ， DD 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立 空间直角坐标系 . 设正方体的棱 长为 1 ， 则平面 A 1 BC 1 的一个法 向量为 n＝ （ 1 ， 1 ， 1 ）， D C' A ＝ （ 1 ， 0 ， 0 ）， 设直线 AD 与平面 A 1 BC 1 所 成角为 θ ， ∴sinθ＝|cos 〈 n ， D C' A 〉 |＝ n ·D C' A ｜n｜｜ D C' A ｜ ＝ 1 1× 3 姨 ＝ 3 姨 3 . 故选 C. 2. B 【解析】 设 OC 与平面 OAB 所成的角为 θ ， 则 cos60°＝cosθ · cos30° ， ∴cosθ＝ 3 姨 3 . 故选 B. 3. A 【解析 】 ∵ 在长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， AB＝BC＝2 ， 该长方体的体积为 8 2 姨 ， ∴2× 2×AA 1 ＝8 2 姨 ， 解得 AA 1 ＝2 2 姨 . 如图， 以 D 为原点， DA ， DC ， DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 ， 建立空间直角坐标系 ， A （ 2 ， 0 ， 0 ）， C 1 （ 0 ， 2 ， 2 2 姨 ）， AC 1 C' ＝ （ -2 ， 2 ， 2 2 姨 ）， 平面 BB 1 C 1 C 的法向量 n＝ （ 0 ， 1 ， 0 ）， 设直线 AC 1 与平面 BB 1 C 1 C 所成的角为 θ ， sinθ＝ ｜n ·AC 1 C' ｜ ｜n｜｜AC 1 C' ｜ ＝ 2 4 ＝ 1 2 ， ∴θ＝30° ， ∴ 直线 AC 1 与平面 BB 1 C 1 C 所成的角为 30°. 故选 A. 4. A 【解析 】 ∵OP⊥ 平面 ABC ， OA＝OC ， AB＝BC ， ∴OA⊥OB ， OA⊥OP ， OB⊥OP. 设 AB＝ 2 姨 a ， 则 PA＝ 2 2 姨 a ， OP＝ 7 姨 a ， A （ a ， 0 ， 0 ）， B（0 ， a， 0 ）， C（-a ， 0 ， 0 ）， P （0 ， 0 ， 7 姨 a ）， ∴ P C' A ＝ （a， 0 ， - 7 姨 a ）， P C' B ＝ （ 0 ， a ， - 7 姨 a）， B C' C ＝ （ -a ， -a ， 0 ） . 设平面 PBC 的法 向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·P C' B =0 ， n ·B C' C =0 0 ， 即 ay- 7 姨 az=0 ， -ax-ay=0 0 ， 令 x＝1 ， 则 y＝-1 ， z＝- 7 姨 7 ， ∴ 平面 PBC 的一个法向量为 n＝ 1 ， -1 ， - 7 姨 7 2 % ， ∴cos 〈P C' A ， n 〉 ＝ P C' A·n ｜P C' A ｜｜n｜ ＝ 210 姨 30 ， ∴PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 210 姨 30 . 故选 A. 5. A 【解析】 如图， 以 C 为原 点， 在平面 ABC 中过 C 作 BC 的垂 线为 x 轴， CB 为 y 轴， CC 1 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 A （ 3 姨 ， 1 ， 0 ）， A 1 （ 3 姨 ， 1 ， 3 ）， B 1 （ 0 ， 2 ， 3 ）， C 1 （ 0 ， 0 ， 3 ）， AA 1 C' ＝ （ 0 ， 0 ， 3 ）， AB 1 C' ＝ （ - 3 姨 ， 1 ， 3 ）， AC 1 C' ＝ （ - 3 姨 ， -1 ， 3 ） . 设平面 AB 1 C 1 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·AB 1 C' =- 3 姨 x+y+3z=0 ， n ·AC 1 C' =- 3 姨 x-y+3z=0 0 ， 取 x＝ 3 姨 ， 得 n＝ （ 3 姨 ， 0 ， 1 ） . 设 AA 1 与平面 AB 1 C 1 所成的角为 θ， 则 sinθ＝ ｜AA 1 C' · n｜ ｜AA 1 C' ｜｜n｜ ＝ ３ ３ ４ 姨 ＝ 1 2 ， ∴θ＝ 仔 6 ， ∴AA 1 与平面 AB 1 C 1 所成的角为 仔 6 . 故选 A. O A B C D P 第 4 题答图 O z y x S A B C D P 第 5 题答图 y z x A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 z y x 第 1 题答图 第 3 题答图 第 5 题答图 A 1 C 1 B 1 A C B z y x 34 参 考 答 案 6. 45° 【解析】 如图， 作 CO⊥ α ， O 为垂足 ， 连接 AO ， MO ， 则 ∠CAO ＝30° ， ∠CMO 为 CM 与 α 所成的角 . 在 Rt△AOC 中， 设 CO＝ 1 ， 则 AC＝2. 在等腰 Rt△ABC 中 ， 由 AC＝2 得 CM＝ 2 姨 . 在 Rt△CMO 中， sin∠CMO＝ CO CM ＝ 1 2 姨 ＝ 2 姨 2 ， ∴∠CMO＝45°. 7. 2 姨 【解析】 如图， 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DA 1 为 z 轴 ， 建立空间直角坐标 系 ， 设 AB＝1 ， 则 B （ 1 ， 1 ， 0 ） ， D 1 （ -1 ， 0 ， 1 ）， BD 1 1& ＝ （ -2 ， -1 ， 1 ）， 平 面 A 1 B 1 CD 的 法 向 量 n ＝ （ 1 ， 0 ， 0 ） . 设直线 BD 1 与平面 A 1 B 1 CD 所成角为 θ ， 则 sinθ＝ ｜BD 1 1& · n｜ ｜BD 1 1& ｜｜n｜ ＝ 2 6 姨 ， ∴cosθ＝ 1- 2 6 姨 姨 ( 2 姨 ＝ 2 姨 6 姨 ， ∴ 直线 BD 1 与平面 A 1 B 1 CD 所成角的正切值是 tanθ＝ sinθ cosθ ＝ 2 姨 . 8. 2 姨 3 【解析 】 如图 ， 设 A 1 在平面 ABC 内的射影为 O ， 以 O 为坐标原点， OA ， OA 1 所在直线分别为 x 轴、 z 轴， 过 O 作 OA 的垂线为 y 轴， 建立空 间直角坐标系 . 设 △ABC 的边长 为 1 ， 则 A 3 姨 3 ， 0 ， 姨 ， 0 ， B 1 - 3 姨 2 ， 1 2 ， 6 姨 3 姨 ， ， ∴AB 1 1& ＝ - 5 3 姨 6 ， 1 2 ， 6 姨 3 姨 ， . 平面 ABC 的法向量 n＝ （ 0 ， 0 ， 1 ）， 则 AB 1 与底面 ABC 所成角 α 的正弦值为 sinα＝|cos 〈AB 1 1& ， n 〉 |＝ 6 姨 3 75 36 + 1 4 + 6 9 姨 ＝ 2 姨 3 . 9. （ 1 ） 证明： 如图， 取 PB 的 中点 M ， 连接 EM ， FM ， ∵E ， M 分 别是 PC ， PB 的中点 ， ∴EM∥BC ， EM＝ 1 2 BC. ∵ 四边形 ABCD 是正方 形 ， F 是 AD 的中点 ， ∴DF∥BC ， DF＝ 1 2 BC ， ∴ 四边形 DEMF 是平行 四边形， ∴DE∥FM. 又 ∵DE埭 平面 PFB ， FM奂 平面 PFB ， ∴DE∥ 平面 PFB. （ 2 ） 解 ： ∵PD⊥ 平 面 ABCD ， BC奂 平 面 ABCD ， ∴PD⊥BC. ∵ 四边形 ABCD 是正方 形 ， ∴BC⊥CD. 又 ∵PD奂 平面 PCD ， CD奂 平面 PCD ， PD∩CD＝D ， ∴BC⊥ 平面 PCD ， ∴∠BPC 为直线 PB 与平面 PCD 所成的角 . ∵PD＝DC＝BC ， ∴PC＝ 2 姨 CD＝ 2 姨 BC ， ∴tan∠BPC＝ BC PC ＝ 2 姨 2 . 10. （ 1 ） 证明： 以 A 为原点， 在平面 ACD 中， 过 A 作 AD 的垂 线为 x 轴 ， AD 为 y 轴 ， AB 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 A （ 0 ， 0 ， 0 ）， C （ 3 姨 ， 1 ， 0 ）， D （ 0 ， 2 ， 0 ）， F 3 姨 2 ， 3 2 ， ， ， 0 ， B （ 0 ， 0 ， 1 ）， E （ 0 ， 2 ， 2 ）， A 1& F ＝ 3 姨 2 ， 3 2 ， ， ， 0 ， B 1& C ＝ （ 3 姨 ， 1 ， -1 ）， B 1& E ＝ （ 0 ， 2 ， 1 ） . 设平面 BCE 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·B 1& C = 3 姨 x+y-z=0 ， n ·B 1& E =2y+z=0 0 ， 取 y＝1 ， 得 n＝ （ - 3 姨 ， 1 ， -2 ） . ∵ A 1& F· n＝0 ， AF埭 平面 BCE ， ∴AF∥ 平面 BCE. （ 2 ） 解 ： A 1& D ＝ （ 0 ， 2 ， 0 ）， 平面 BCE 的法向量 n＝ （ - 3 姨 ， 1 ， -2 ）， 设直线 AD 与平面 BCE 所成角为 θ ， 则 sinθ＝ ｜n ·A 1& D ｜ ｜n｜｜ A 1& D ｜ ＝ 2 2 8 姨 ＝ 2 姨 4 ， ∴ 直线 AD 与平面 BCE 所成角的正弦值为 2 姨 4 . 提升练习 11. BC 【解析】 由已知可得， 四棱锥 P鄄ABCD 为正 四棱锥， ∵ 正四棱锥外接球的表面积为 81仔 4 ， ∴ 正四棱 锥外接球的半径 R＝ 9 4 . 如图， 连接 AC ， BD 交于 E ， 设 球心为 O ， 连接 PO ， BO ， 则 E 在 PO （或其延长线 ） 上， PO＝BO＝R ， ∴BE＝ 1 2 BD＝ 1 2 ×2 2 姨 ＝ 2 姨 . 又 ∵R＝ 9 4 ， OE＝ R 2 -BE 2 姨 ＝ 81 16 -2 姨 ＝ 7 4 ， ∴PE＝R-OE＝ 9 4 - 7 4 ＝ 1 2 或 PE＝R+OE＝ 9 4 + 7 4 ＝4. 当 PE＝ 1 2 时， PA＝ 2+ 1 4 姨 ＝ 3 2 ， PA 与底面 ABCD 所成角的正弦值为 1 2 3 2 ＝ 1 3 ； 当 PE＝4 时， PA＝ 16+2 姨 ＝3 2 姨 ， PA 与底面 ABCD 所成角 z y x A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 7 题答图 E M F A B C D P 第 9 题答图 z y x E F A B C D 第 10 题答图 z y x A B C A 1 B 1 C 1 O 第 8 题答图 α M O A B C 第 6 题答图 35 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 的正弦值为 4 3 2 姨 ＝ 2 2 姨 3 . ∴PA 与底面 ABCD 所成角 的正弦值为 1 3 或 2 2 姨 3 . 故选 BC. 12. B 【解析 】 如图 ， 设 AB＝2a ， 则 OA ＝2a ， O 1 A ＝O 1 B ＝O 1 C ＝a ， ∴OO 1 ＝ 4a 2 -a 2 姨 ＝ 3 姨 a ， OC＝ 3a 2 +a 2 姨 ＝2a. ∵CO 1 ⊥AB ， CO 1 ⊥OO 1 ， AB∩OO 1 ＝ O 1 ， ∴CO 1 ⊥ 平面 AOB ， ∴∠COO 1 是 OC 与平面 OAB 所成角， sin∠COO 1 ＝ CO 1 CO ＝ 1 2 ， ∴∠COO 1 ＝30° ， ∴OC 与平面 OAB 所成角为 30°. 故 选 B. 13. 10 姨 5 2 姨 6 【解析 】 如图， 以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴， 建立空 间直角坐标系， 设 AB＝2 ， 则 C （ 0 ， 2 ， 0 ） ， D 1 （ 0 ， 0 ， 2 ）， A 1 （ 2 ， 0 ， 2 ）， C 1 （ 0 ， 2 ， 2 ）， E （ 2 ， 1 ， 0 ）， F （ 1 ， 2 ， 0 ）， ∴CD 1 1& ＝ （ 0 ， -2 ， 2 ）， E 1& F ＝ （ -1 ， 1 ， 0 ）， EA 1 1& ＝ （ 0 ， -1 ， 2 ） ， C 1 1& F ＝ （ 1 ， 0 ， -2 ） ， cos 〈CD 1 1& ， C 1 1& F 〉 ＝ ｜CD 1 1& ·C 1 1& F ｜ ｜CD 1 1& ｜｜ C 1 1& F ｜ ＝ 4 （ -2 ） 2 +2 2 姨 × 1 2 + （ -2 ） 2 姨 ＝ 4 2 2 姨 × 5 姨 ＝ 10 姨 5 . 设平面 A 1 C 1 FE 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·E 1& F =-x+y=0 ， n ·EA 1 1& =-y+2z=0 0 ， 取 z＝1 ， 得 n＝ （ 2 ， 2 ， 1 ） . 设直线 CD 1 与平面 A 1 C 1 FE 所成角为 θ ， 则 sinθ＝ ｜CD 1 1& · n｜ ｜CD 1 1& ｜｜n｜ ＝ 2 8 姨 · 9 姨 ＝ 2 姨 6 . ∴ 直 线 CD 1 与 平 面 A 1 C 1 FE 所 成 角 的 正 弦 值 为 2 姨 6 . 14. 1 3 【解析】 如图， 取 AB 的中点为 O ， 连接 CO ， PO ， ∵PA⊥ 平面 ABC ， ∴PA⊥OC. ∵AC＝BC ， O 是 AB 的 中点， ∴AB⊥OC. 又 ∵PA∩AB＝A ， ∴CO⊥ 平面 PAB ， 则 ∠CPO 为 PC 和平面 PAB 所成的角 . ∵AC＝BC＝2 ， AC⊥BC ， ∴AB＝2 2 姨 ， CO＝ 1 2 AB＝ 2 姨 ， ∴PO＝ PA 2 +OA 2 姨 ＝ 3 2 姨 ， ∴tan∠CPO＝ CO OP ＝ 1 3 ， ∴PC 和平面 PAB 所成角的正切值为 1 3 . * 15. （ 1 ） 证明： 取 AB 的中点 G ， 连接 DG ， 则 CD ∥ = 1 2 AB ， ∴CD ∥ = BG ， ∴ 四边形 BCDG 是平行四边形 ， ∴DG＝BC＝ 1 2 AB＝AG＝BG ， ∴AD⊥BD. 又 ∵ 平面 ABCD⊥ 平面 BFED ， 且平面 ABCD∩ 平面 BFED＝BD ， ∴AD⊥ 平 面 BFED. 又 ∵AD奂 平面 ADE ， ∴ 平面 ADE⊥ 平面 BFED. （ 2 ） 解 ： 由于 BFED 是 矩 形 ， ∴BD⊥DE ， 由 （ 1 ） 知 AD⊥ 平面 BFED ， 如图 ， 以 D 为坐标原点， DA ， DB ， DE 所在直线为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴， 建立空间直角坐标系， D （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 2 ， 0 ， 0 ）， B （ 0 ， 2 3 姨 ， 0 ）， D 1& A ＝ （ 2 ， 0 ， 0 ）， 设点 P （ 0 ， t ， 2 ）， A 1& B ＝ （ -2 ， 2 3 姨 ， 0 ）， A 1& P ＝ （ -2 ， t ， 2 ） . 令平面 PAB 的法向量 m＝ （ x ， y ， z ）， ∴ m ·A 1& B =-2x+2 3 姨 y=0 ， m ·A 1& P =-2x+ty+2z=0 0 ， 取 y＝2 ， 得平面 PAB 的 一 个 法 向 量 为 m ＝ （ 2 3 姨 ， 2 ， 2 3 姨 -t ） ， ∴sinθ ＝ ｜D 1& A· m｜ ｜D 1& A ｜｜m｜ ＝ 4 3 姨 2 16+ （ 2 3 姨 -t ） 2 姨 ， 当 t＝2 3 姨 时， （ sinθ ） max ＝ 3 姨 2 ， ∴θ max ＝ 仔 3 ， ∴θ 的最大值为 仔 3 . 阶段性练习卷 （二） 1. B 【解析】 ∵m · n=0 ， 即 m⊥n ， 不一定有 l∥琢 ， 也可能 l奂琢 ， ∴ “ m · n=0 ” 是 “ l∥琢 ” 的不充分条件 . ∵l∥琢 ， 可以推出 m⊥n ， ∴ “ m · n=0 ” 是 “ l∥琢 ” 是必要 条件 . 综上所述， “ m · n=0 ” 是 “ l∥琢 ” 的必要不充分条 件 . 故选 B. 2. B 【解析 】 分别以 DA ， DC ， DD 1 所在直线为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴建立空间直角坐标系 （图略 ）， 不妨 设正方体的棱长为 1 ， 则DA 1 1& = （ 1 ， 0 ， 1 ）， A 1& C = （ -1 ， 1 ， 0 ） ， E 1 3 ， 0 ， 1 3 3 + ， F 2 3 ， 1 3 ， 3 + 0 ， E 1& F = 1 3 ， 1 3 ， 1 3 3 + ， ∴ E 1& F·DA 1 1& =0 ， E 1& F·A 1& C =0 ， ∴EF⊥A 1 D ， E O A B C D P E O A B C D P 图 2 图 1 第 11 题答图 O A B C O 1 第 12 题答图 y z x A 1 B 1 C 1 D 1 E F A B C D 第 13 题答图 z y x E G F A B C D P 第 １５ 题答图 O A B C P 第 14 题答图 36