1.2.2 空间中的平面与空间向量-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解平面的法向量的概念， 会求平面 的法向量 . 2. 会用平面的法向量证明平行与垂直 . 3. 理解并会应用三垂线定理及其逆定理 证明有关垂直问题 . 要 点 精 析 要点 1 平面的法向量 1. 如果 α 是空间中的一个平面， n 是空 间中的一个非零向量， 且表示 n 的有向线段 所在的直线与平面 α 垂直， 则称 n 为平面 α 的一个法向量， 此时也称 n 与平面 α 垂直， 记作 n⊥α. 2. 平面的法向量的性质 （ 1 ） 如果直线 l 垂直于平面 α ， 则直线 l 的任意一个方向向量都是平面 α 的一个法 向量 . （ 2 ） 如果 n 是平面 α 的一个法向量， 则 对任意的实数 λ≠0 ， 空间向量 λn 也是平面 α 的一个法向量， 且平面 α 的任意两个法向 量都平行 . （ 3 ） 如果 n 为平面 α 的一个法向量， A 为平面 α 上一个已知的点， 则对于平面 α 上 任意一点 B ， 向量 A A$ B 一定与向量 n 垂直， 即 n · A A$ B =0 ， 从而可知平面 α 的位置可由 n 和 A 唯一确定 . 3. 如果 v 是直线 l 的一个方向向量， n 是平面 α 的一个法向量 ， 则 n∥v圳 l⊥α ， n⊥v圳l∥α ， 或 l奂α. 4. 如果 n 1 是平面 α 1 的一个法向量， n 2 是平面 α 2 的一个法向量， 则 n 1 ⊥n 2 圳α 1 ⊥α 2 ， n 1 ∥n 2 圳α 1 ∥α 2 或 α 1 与 α 2 重合 . 思考 平面 α 的法向量唯一吗？ 如果 不唯一， 它们之间有什么关系？ 例 1 如图 1-2-9 ， 在 四棱锥 P鄄ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为矩形 ， PA⊥ 平面 ABCD ， E 为 PD 的 中 点 ， AB=AP=1 ， AD= 3 姨 ， 试建立恰当的空间直 角坐标系， 求平面 ACE 的一个法向量 . 解 ： ∵ 在四棱锥 P鄄 ABCD 中， 底面 ABCD 为 矩形， PA⊥ 平面 ABCD ， E 为 PD 的中点 ， AB=AP= 1 ， AD= 3 姨 ， ∴ 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴 ， AD 所在直线为 y 轴， AP 所在直线为 z 轴， 建立如图 1-2-10 所示的空间直角坐标系， 则 A （ 0 ， 0 ， 0 ）， C （ 1 ， 3 姨 ， 0 ）， D （ 0 ， 3 姨 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 1 ）， E 0 ， 3 姨 2 ， 1 2 2 * ， A A$ E = 0 ， 3 姨 2 ， 1 2 2 , ， A A$ C = （ 1 ， 3 姨 ， 0 ） . 设平面 ACE 的法向量 n= （ x ， y ， z ）， 1.2.2 空间中的平面与空间向量 E A B C D P x y z E A B C D P 图 1-2-9 图 1-2-10 18 第一章 空间向量与立体几何 学 则 n · A !" E = 3 姨 2 y+ 1 2 z=0 ， n · A !" C =x+ 3 姨 y=0 0 & & & & & % & & & & & ' ， 取 y=- 3 姨 ， 得 n= （ 3 ， - 3 姨 ， 3 ） . ∴ 平面 ACE 的一个法 向量为 n= （ 3 ， - 3 姨 ， 3 ） . 变式训练 1 如图 1-2-11 ， 在四棱锥 P鄄ABCD 中， 底 面 ABCD 为平行四边形， ∠DAB=60° ， AB= 2AD=2 ， PD⊥ 底面 ABCD ， 且 PD=AD ， 求平 面 PAB 的一个法向量 . 例 2 如图 1-2-12 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， M 分别 为棱 BB 1 ， CD ， AA 1 的 中 点 . 求证： （ 1 ） C 1 M∥ 平面 ADE ； （ 2 ） 平面 ADE⊥ 平面 A 1 D 1 F. 证明 ： （ 1 ） 以 D 为原点 ， 向量 D !" A ， D !" C ， DD 1 !" 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的 正方向建立如图 1-2-13 所示的空间直角坐 标系， 设正方体的棱长为 1 ， 则 D （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 1 ， 0 ， 0 ）， E 1 ， 1 ， 1 2 2 , ， C 1 （ 0 ， 1 ， 1 ）， M 1 ， 0 ， 1 2 2 , ， D !" A = （ 1 ， 0 ， 0 ）， D !" E = 1 ， 1 ， 1 2 2 , ， C 1 !" M = 1 ， -1 ， - 1 2 2 , . 设平面 ADE 的法向量为 m= （ a ， b ， c ）， 则 m · D !" A =0 ， m · D !" E = 0 & & & & % & & & & ' 0 圯 a=0 ， a+b+ 1 2 c=0 0 & & & & % & & & & ' . 令 c=2 ， 得 m= （ 0 ， -1 ， 2 ） . ∵m · C 1 !" M = （ 0 ， -1 ， 2 ）· 1 ， -1 ， - 1 2 2 , = 0+1-1=0 ， ∴C 1 !" M⊥m. 又 ∵C 1 M埭 平面 ADE ， ∴C 1 M∥ 平面 ADE. （ 2 ） 由 D 1 （ 0 ， 0 ， 1 ） ， A 1 （ 1 ， 0 ， 1 ） ， F 0 ， 1 2 ， 2 , 0 ， 得 D 1 A 1 !" = （ 1 ， 0 ， 0 ）， D 1 !" F = 0 ， 1 2 ， - 2 , 1 . 设平面 A 1 D 1 F 的法向量为 n= （ x ， y ， z ）， 则 n · D 1 A 1 !" =0 ， n · D 1 !" F = 0 & & & & % & & & & ' 0 圯 x=0 ， 1 2 y-z=0 0 & & & & % & & & & ' . 令 y=2 ， 则 n= （ 0 ， 2 ， 1 ） . ∵m · n= （ 0 ， -1 ， 2 ）·（ 0 ， 2 ， 1 ） =0-2+2=0 ， ∴m⊥n. ∴ 平面 ADE⊥ 平面 A 1 D 1 F. A B C D P E M A B C D F A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-2-11 图 1-2-12 E M A B C D F A 1 B 1 C 1 D 1 x y z 图 1-2-13 19 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 利用向量法证明空间中平行或垂直的 关系， 关键是建立坐标系， 用坐标向量， 证 法的核心是利用向量的数量积或数乘运算 . 变式训练 2 （变结论） 例 2 条件不变， 试求直线 D 1 E 的一个方向向量和平面 EFM 的一个法向量 . 变式训练 3 （变条件， 变结论） 在例 2 中， 设 D 1 B 1 的中点为 N ， 其他条件不变 . 试证： EN⊥ 平 面 B 1 AC. 要点 2 三垂线定理及其逆定理 1. 三垂线定理： 如果平面内的一条直线 与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直， 则它也和这条斜线垂直 . 2. 三垂线定理的逆定理： 如果平面内的 一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它 也和这条斜线在该平面内的射影垂直 . 例 3 如图 1 -2 -14 ， 已 知 在 正 方 体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 连 接 BD 1 ， AC ， CB 1 ， B 1 A ， 求 证 ： BD 1 ⊥ 平面 AB 1 C. 证明： 如图 1-2-15 ， 连接 BD ， A 1 B ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD. 又 ∵DD 1 ⊥ 平面 ABCD ， ∴BD 是斜线 BD 1 在平 面 ABCD 内的射影， ∴BD 1 ⊥AC. 而 A 1 B 是 BD 1 在平面 ABB 1 A 1 内的射影， ∴BD 1 ⊥AB 1 . ∵ 又 AB 1 ∩AC=A ， ∴BD 1 ⊥ 平面 AB 1 C. 反思感悟 利用三垂线定理证明垂直的步骤： （ 1 ） 找平面 （基准面） 及平面的垂线 . （ 2 ） 找射影线 （平面上的直线与斜线） . （ 3 ） 证明射影线与直线垂直， 从而得 线线垂直， 更进一步证明线面垂直或面面 垂直 . 变式训练 4 在四面体 P鄄ABC 中 ， PA⊥BC ， PB⊥ AC ， 求证： PC⊥AB. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-2-14 图 1-2-15 20 第一章 空间向量与立体几何 学 数 学 文 化 例 《九章算术》 第五卷中涉及一种隧 道——羡除 . 书中描述如下： 今有羡除， 下 广六尺， 上广一丈， 深三尺， 末广八尺， 及 无深袤七尺 . 根据描述， 可知该羡除是一个 如图 1-2-16 所示的多面体 ABCDFE ， 四边形 ABCD 、 四边形 ABEF 均为等腰梯形， AB∥ CD∥EF ， 平面 ABCD⊥ 平面 ABEF ， 梯形 ABCD ， 梯形 ABEF 的高分别为 3 ， 7 ， 且 AB=6 ， CD=10 ， EF=8 ， 则 A A$ D · B A$ F = . 分析 过点 A 分别作 CD ， EF 的高 ， 垂足分别为 N ， M ， 可证明 AN ， AB ， AM 两两垂直， 然后建立空间直角坐标系， 求 出 B ， D ， F ， A 的坐标， 从而求出 A A$ D · B A$ F 的值即可 . 解析： 如图 1-2-17 所示， 过点 A 分别作 CD ， EF 的高， 垂足分别 为 N ， M ， ∵ 平面 ABCD⊥ 平面 ABEF ， AB∥CD∥ EF ， 平面 ABCD∩ 平面 ABEF=AB ， 故 NA⊥ 平面 ABEF ， 故 AN⊥AB ， AN⊥AM. 又 ∵AM⊥AB ， 故 AN ， AB ， AM 两两垂直 . 以 A 为坐标原点， A A$ B ， A A$ M ， A A$ N 的方 向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 A鄄xyz ， 则由题意 可知： B （ 6 ， 0 ， 0 ）， D （ -2 ， 0 ， 3 ）， F （ -1 ， 7 ， 0 ）， A （ 0 ， 0 ， 0 ）， 故 B A$ F = （ -7 ， 7 ， 0 ）， A A$ D = （ -2 ， 0 ， 3 ）， 故 A A$ D · B A$ F =14. E A B C D F M N x y z E A B C D F 图 1-2-16 图 1-2-17 21 参 考 答 案 解得 p=1 或 q=1 ， 即 n= （ 1 ， 1 ， 1 ） . 1.2.2 空间中的平面与空间向量 学习手册 变式训练 1 解： ∵∠DAB＝60° ， AB＝2AD ， 由余弦定理得 BD＝ 3 姨 AD， 从而 BD 2 +AD 2 ＝AB 2 ， 故 BD⊥AD. 如图 ， 以点 D 为坐标 原点 ， 射线 DA ， DB ， DP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空 间直角坐标系 D-xyz， 则 A（1 ， 0 ， 0 ）， B（0 ， 3 姨 ， 0 ）， P（0 ， 0 ， 1 ）， ∴ A A% B ＝ （ -1 ， 3 姨 ， 0 ）， P A% B ＝ （ 0 ， 3 姨 ， -1 ） . 设平面 PAB 的法向量为 n＝ （x ， y ， z）， 则 n⊥ A A% B ， n⊥ P A% B B ， 即 n ·A A% B =0 ， n ·P A% B =0 B ， 即 -x+ 3 姨 y=0 ， 3 姨 y-z=0 B ， ∴ 可取 n＝ （ 3 姨 ， 1 ， 3 姨 ） . ∴ 平面 PAB 的一个法向量为 （ 3 姨 ， 1 ， 3 姨 ） . 变式训练 2 解： 如例 2 ， 建立空间直角坐标系， D 1 （ 0 ， 0 ， 1 ）， E 1 ， 1 ， 1 2 2 ) ， M 1 ， 0 ， 1 2 2 2 ， ∴ D 1 A% E ＝ 1 ， 1 ， - 1 2 2 2 ， 即直线 D 1 E 的一个方向向量. 设平面 EFM 的法向量为 n＝ （x ， y ， z ）， ∵F 0 ， 1 2 ， 2 2 0 ， ∴ E A% F ＝ -1 ， - 1 2 ， - 1 2 2 2 ， E A% M ＝ （ 0 ， -1 ， 0 ）， 由 n ·E A% F =0 ， n ·E A% M =0 B ， 即 -x- 1 2 y- 1 2 z=0 ， -y=0 0 . . . - . . . / . ∴ z=-2x ， y=0 B . 令 x＝1 ， 则 z＝-2. ∴ 平面 EFM的一个法向量为 （1 ， 0 ， -2 ） . 变式训练 3 证明： 如例 2 ， 建立空间直角坐标系， 则 E 1 ， 1 ， 1 2 2 2 ， N 1 2 ， 1 2 ， 2 2 1 ， A （ 1 ， 0 ， 0 ）， B 1 （ 1 ， 1 ， 1 ）， C （ 0 ， 1 ， 0 ）， ∴ E A% N ＝ - 1 2 ， - 1 2 ， 1 2 2 2 ， AB 1 A% ＝ （ 0 ， 1 ， 1 ）， A A% C ＝ （ -1 ， 1 ， 0 ）， ∴ E A% N·AB 1 A% ＝0 ， E A% N·A A% C ＝0 ， ∴ E A% N ⊥ AB 1 A% ， E A% N ⊥ A A% C ， 即 EN⊥AB 1 ， EN⊥AC. 又 ∵AB 1 ∩AC＝A ， ∴EN⊥ 平面 B 1 AC. 变式训练 4 证明 ： 如图 ， 过点 P 作 PH⊥ 平面 ABC ， 连接 AH 并延 长交 BC 于点 E ， 连接 BH 并延长交 AC 于点 F ， PH⊥ 平面 ABC ， PA⊥ BC ， 而 PA 在面 ABC 内的射影为 AH ， 由 三 垂 线 定 理 的 逆 定 理 知 BC⊥AH ， 同理可证 BF⊥AC ， 则 H 为 △ABC 的垂心 . 连接 CH 并延长交 AB 于点 G ， 于是 CG⊥AB ， 而 CH 是 PC 在平面 ABC 的射影， 故 PC⊥AB. 随堂练习 1. A 【解析】 ∵ 直线 l 的方向向量 a＝ （ 1 ， 2 ， -1 ）， 平面 α 的一个法向量 m＝ （ -2 ， -4 ， k ）， l⊥α ， ∴a∥m ， ∴ 1 -2 ＝ 2 -4 ＝ -1 k ， 解得 k＝2. 故选 A. 2. D 【解析】 ∵α⊥β ， ∴a⊥b ， ∴a · b＝1× （ -2 ） +2× （ -4 ） + （ -2 ）· k＝0 ， ∴k＝-5. 故选 D. 3. A 【解析 】 设平面 ABC 的一个法向量 n= （ x ， y ， z ）， 则 n ·A A% B =x+2y+3z=0 ， n ·A A% C =x+2y+z=0 B ， 取 x=-1 ， 得到平面 ABC 的一 个法向量为 （ -1 ， 2 ， -1 ） . 故选 A. 4. -9 【解析】 由题意知 u⊥v ， ∴u · v＝3+6+z＝0 ， ∴z＝ -9. 5. 证 明 ： 如 图 ， 连 接 AC 1 ， ∵ AC MC 1 ＝ 3 姨 6 姨 2 ＝ 2 姨 ， CC 1 C 1 A 1 ＝ 6 姨 3 姨 ＝ 2 姨 ， ∠ACC 1 ＝∠A 1 C 1 M ， ∴Rt△ACC 1 ∽Rt△MC 1 A 1 ， ∠AC 1 C＝∠MA 1 C 1 ， ∴∠A 1 MC 1 + ∠AC 1 C＝∠A 1 MC 1 +∠MA 1 C 1 ＝90° ， ∴A 1 M⊥AC 1 . 由三垂线 定理知， AB 1 ⊥A 1 M. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 M 构成的图形经过点 A ， 且是以 n 为 法向量的平面 . 故选 C. 2. D 【解析】 由题意知 PA⊥ 平面 ABCD ， ∴ 与平面 上的线 AB ， CD 都垂直， A ， B 正确 . 又 ∵ 菱形的对角线互 相垂直， AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影且 AC⊥BD ， 由 三垂线定理的逆定理知 PC⊥BD ， 故 C 正确 . 故选 D. 3. A 【解析】 ∵μ＝ （ 2 ， 2 ， -1 ） 是平面 α 的法向量， a＝ （ -3 ， 4 ， 2 ） 是直线 l 的方向向量， μ · a＝-6+8-2＝0 ， ∴ 直 线 l 与平面 α 的位置关系是平行或直线在平面内 . 故选 A. 4. D 【解析】 ∵ 平面 α 经过三点 O （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 2 ， 2 ， 0 ）， B （ 0 ， 0 ， 2 ）， ∴O A% A ＝ （ 2 ， 2 ， 0 ）， O A% B ＝ （ 0 ， 0 ， 2 ） . 设平面 α 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·O A% A =2x+2y=0 ， n ·O A% B =2z=0 B ， 取 x＝-1 ， 得 n＝ （ -1 ， 1 ， 0 ）， ∴ 平面 α 的法向量可以是 （ -1 ， 1 ， 0 ） . 故选 D. 5. B 【解析】 ∵A A% B ⊥ B A% C ， ∴ A A% B·B A% C ＝0 ， 即 3+5-2z＝ 0 ， 得 z＝4. 又 ∵BP⊥ 平面 ABC ， ∴ B A% P ⊥ A A% B ， B A% P ⊥ B A% C ， 则 （ x-1 ） +5y+6=0 ， 3 （ x-1 ） +y-12=0 B ， 解得 x= 40 7 ， y=- 15 7 0 . . . . - . . . . / . 故选 B. z y x A B C D P 变式训练 1 答图 E G H F A B C P 变式训练 4 答图 M A B C A 1 B 1 C 1 第 5 题答图 31 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 6. 1 4 【解析】 由题意可得 s⊥n ， ∴s · n＝-2+2y+2x＝ 0 ， 可得 x+y＝1 ， 取 x ， y＞0 ， 则 1≥2 xy 姨 ， 可得 xy≤ 1 4 ， 当且仅当 x＝y＝ 1 2 时取等号 . 7. 1 【解析】 A %& B ＝ （ 1 ， 1 ， 0 ）， A %& C ＝ （ -1 ， -1 ， -2 ）， ∵a＝ （ -1 ， y ， z ） 为平面 ABC 的法向量， ∴a ·A %& B ＝0 ， a· A %& C ＝0 ， ∴-1+y＝0 ， 1-y-2z＝0 ， 联立解得 y＝1 ， z＝0 ， ∴y+z＝1. 8. ①④ 【解析】 ∵a＝ （ 1 ， -1 ， 2 ）， b＝ 2 ， 1 ， - 1 2 ( ， ∴a ·b＝1×2-1×1+2× - 1 2 2 2 ＝0 ， ∴a⊥b ， ∴ 直线 l 与 m 垂 直， 故 ① 正确； a＝ （ 0 ， 1 ， -1 ） ， n＝ （ 1 ， -1 ， -1 ） ， ∴a ·n＝0×1+1× （ -1 ） + （ -1 ） × （ -1 ） ＝0 ， ∴a⊥n ， ∴l∥α 或 l奂α ， 故 ② 错误； ∵n 1 ＝ （ 0 ， 1 ， 3 ）， n 2 ＝ （ 1 ， 0 ， 2 ）， ∴n 1 与 n 2 不共线， ∴α∥β 不成立， 故 ③ 错误； ∵ 点 A （ 1 ， 0 ， -1 ）， B （ 0 ， 1 ， 0 ）， C （ -1 ， 2 ， 0 ）， ∴ A %& B ＝ （ -1 ， 1 ， 1 ）， B %& C ＝ （ -1 ， 1 ， 0 ）， 向量 n＝ （ 1 ， u ， t ） 是平面 α 的法向量， ∴ n ·A %& B =0 ， n ·B %& C =0 0 ， 即 -1+u+t=0 ， -1+u=0 0 ， 则 u+t＝ 1 ， 故 ④ 正确 . 综上， 真命题的序号是 ①④. 9. 证明： 如图所示， 取 BC 的 中点 O ， 连接 AO 交 BD 于点 E ， 连 接 PO. ∵PB＝PC ， ∴PO⊥BC. 又 ∵ 平面 PBC⊥ 平面 ABCD ， 平面 PBC∩ 平 面 ABCD＝BC ， ∴PO⊥ 平面 ABCD ， ∴AP 在平面 ABCD 内的射影为 AO. 在直角梯形 ABCD 中 ， 由于 AB＝BC＝2CD ， 易知 Rt △ABO ≌Rt △BCD ， ∴ ∠BEO ＝ ∠OAB + ∠DBA ＝ ∠DBC+∠DBA＝90° ， 即 AO⊥BD. 由三垂线定理 ， 得 PA⊥BD. 10. 证明 ： 以 C 为坐标原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角坐标系， 则 A （ 2 姨 ， 2 姨 ， 0 ）， B （ 0 ， 2 姨 ， 0 ）， D （ 2 姨 ， 0 ， 0 ） ， F （ 2 姨 ， 2 姨 ， 1 ） ， M 2 姨 2 ， 2 姨 2 ， 2 2 1 ， ∴ A %& M ＝ - 2 姨 2 ， - 2 姨 2 ， 2 2 1 ， D %& F ＝ （ 0 ， 2 姨 ， 1 ）， B %& D ＝ （ 2 姨 ， - 2 姨 ， 0 ） . 设 n＝ （ x ， y ， z ） 是平面 BDF 的法向量， 则 n⊥ B %& D ， n⊥ D %& F ， ∴ n ·B %& D = 2 姨 x- 2 姨 y=0 ， n ·D %& F = 2 姨 y+z= 0 0 圯 x=y ， z=- 2 姨 y 0 ， 取 y＝1 ， 得 x＝1 ， z＝- 2 姨 ， 则 n＝ （ 1 ， 1 ， - 2 姨 ） . ∵ A %& M ＝ - 2 姨 2 ， - 2 姨 2 ， 2 2 1 ， ∴n＝- 2 姨 A %& M ， 得 n 与A %& M 共线， ∴AM⊥ 平面 BDF. 提升练习 11. AB 【解析】 设平面 α 内一点 P （ x ， y ， z ）， 则 M %& P ＝ （ x-1 ， y+1 ， z-2 ） . ∵n＝ （ 6 ， -3 ， 6 ） 是平面的法向 量， ∴n⊥ M %& P ， n ·M %& P ＝6 （ x-1 ） -3 （ y+1 ） +6 （ z-2 ） ＝6x-3y+ 6z-21 ， ∴ 由 n ·M %& P ＝0 ， 得 6x-3y+6z-21＝0. 把各选项代 入上式， 可知 A 和 B 选项适合 . 故选 AB. 12. B 【解析】 设平面 AEF 的一个法向量为 n＝ （ x ， y ， z ）， 正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， 则 A （ 1 ， 0 ， 0 ）， E 1 ， 1 ， 1 2 2 2 ， F 1 2 ， 0 ， 2 2 1 ， 故A %& E ＝ 0 ， 1 ， 1 2 2 2 ， A %& F ＝ - 1 2 ， 0 ， 2 2 1 . 又 ∵ A %& E· n=0 ， A %& F· n=0 0 ， 即 y+ 1 2 z=0 ， - 1 2 x+z=0 0 4 4 4 4 3 4 4 4 4 5 ， ∴ y=- 1 2 z ， x=2z 0 4 4 4 3 4 4 4 5 . 当 z＝-2 时， n＝ （ -4 ， 1 ， -2 ） . 故选 B. 13. α⊥β α∥β 【解析】 ∵u ， v 分别为平面 α ， β 的 法向量且 u＝ （ -2 ， 2 ， 5 ）， 当 v＝ （ 3 ， -2 ， 2 ） 时 ， u · v＝ -6-4+10＝0 ， ∴u⊥v ， 即 α⊥β ； 当 v＝ （ 4 ， -4 ， -10 ） 时， v＝-2μ ， ∴u∥v ， 即 α∥β. 14. 垂直 【解析】 以 D 为原点， DA ， DC ， DP 所在 直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 （图略）， 则 E 1 2 ， 1 2 ， 1 2 2 2 ， F 1 2 ， 0 ， 2 2 0 ， ∴ E %& F ＝ 0 ， - 1 2 ， - 1 2 2 2 . 平面 PBC 的一个法向量 n＝ （ 0 ， 1 ， 1 ）， ∵ E %& F ＝- 1 2 n ， ∴ E %& F ∥n ， ∴EF⊥ 平面 PBC. * 15. 解 ： ∵∠PAD＝90° ， ∴PA⊥AD. 又 ∵ 侧面 PAD⊥ 底面 ABCD ， 且侧面 PAD∩ 底面 ABCD＝AD ， ∴PA⊥ 底 面 ABCD. 又 ∵∠BAD＝90° ， ∴AB ， AD ， AP 两两垂直 . 分 别以 AB ， AD ， AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系 . 设 AD＝2 ， 则 A （ 0 ， 0 ， 0 ）， B （ 1 ， 0 ， 0 ）， C （ 1 ， 1 ， 0 ）， D （ 0 ， 2 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 1 ） . （ 1 ） 证明： A %& P ＝ （ 0 ， 0 ， 1 ）， A %& C ＝ （ 1 ， 1 ， 0 ）， C %& D ＝ （ -1 ， 1 ， 0 ）， 可得A %& P·C %& D ＝0 ， A %& C·C %& D ＝0 ， ∴AP⊥CD ， 第 10 题答图 E O A B C D P 第 9 题答图 E M F A C D B z y x z y x A B C D P 第 15 题答图 32 参 考 答 案 AC⊥CD. 又 ∵AP∩AC＝A ， ∴CD⊥ 平面 PAC. （ 2 ） 设侧棱 PA 的中点是 E ， 则 E 0 ， 0 ， 1 2 2 $ ， B %& E ＝ -1 ， 0 ， 1 2 2 2 . 设平面 PCD 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ） ， 则 n ·C %& D =0 ， n ·P %& D =0 0 . ∵ C %& D ＝ （ -1 ， 1 ， 0 ） ， P %& D ＝ （ 0 ， 2 ， -1 ） ， ∴ -x+y=0 ， 2y-z=0 0 ， 取 x＝1 ， 则 y＝1 ， z＝2 ， ∴ 平面 PCD 的一个法 向量为 n＝ （ 1 ， 1 ， 2 ）， ∴n ·B %& E ＝ （ 1 ， 1 ， 2 ）· -1 ， 0 ， 1 2 2 2 ＝0 ， ∴n⊥ B %& E . ∵BE埭 平面 PCD ， ∴BE∥ 平面 PCD. 综上所述， 当 E 为 PA 的中点时， BE∥ 平面 PCD. 1.2.3 直线与平面的夹角 学习手册 变式训练 1 解： 由已知 BC⊥AC ， BC⊥PA ， AC∩PA＝A ， ∴BC⊥ 平面 PAC ， BC⊥PC. 如图， 过 PB 的三等 分点 D 作 DE∥BC ， 则 DE⊥ 平面 PAC. 连接 AE ， AD ， 则 ∠DAE 为 AD 与 平 面 PAC 的 夹 角 . 不 妨 设 PA ＝AB ＝1 ， ∵∠ABC ＝60° ， ∴BC ＝ 1 2 ， DE＝ 2 3 × 1 2 ＝ 1 3 ， PB＝ 2 姨 ， BD＝ 2 姨 3 . 在 △ABD 中 ， AD 2 ＝AB 2 +BD 2 -2AB · BD · cos45°＝ 5 9 ， ∴AD＝ 5 姨 3 ， ∴sin∠DAE＝ DE AD ＝ 1 3 5 姨 3 ＝ 5 姨 5 ， 即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 5 姨 5 . 变式训练 2 解 ： 由例题 （ 1 ） 知 BC⊥ 平面 PAC ， ∴ 平面 PAC⊥ 平面 PBC. 如 图 ， 过 点 A 作 AE⊥PC ， ∴AE ⊥ 平 面 PBC. 连 接 ED ， 则 ∠ADE 为 AD 与平面 PBC 的夹角 . 设 PA＝2a ， AB＝2a ， ∴PB＝2 2 姨 a. 故 AD＝ 2 姨 a. 在 △APC 中 ， AP＝ 2a ， AC＝AB · sin60°＝2a× 3 姨 2 ＝ 3 姨 a ， ∴PC＝ 3a 2 +4a 2 姨 ＝ 7 姨 a. 设 ∠ACP＝θ ， 则 AE＝AC · sinθ＝AC · AP PC ＝ 3 姨 a · 2a 7 姨 a ＝ 2 3 姨 7 姨 a＝ 2 21 姨 7 a ， ∴sin∠ADE＝ AE AD ＝ 2 21 姨 a 7 2 姨 a ＝ 42 姨 7 ， 即 AD 与平面 PBC 夹角的正弦值为 42 姨 7 . 变式训练 3 解： 由题意得 ∠CBD＝45° ， ∠PBD 即为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 θ. ∵cos∠PBC＝cosθ · cos∠CBD ， ∠PBC＝60°. 即 cos60°＝cosθ · cos45° ， ∴cosθ＝ 2 姨 2 ， θ＝45°. 变式训练 4 （ 1 ） 证明： 如图， 过点 A 作 AO⊥ 平面 A 1 B 1 C 1 ， 交 A 1 C 1 于 点 O ， 连 接 B 1 O ， 设 AA 1 ＝AC＝CC 1 ＝ A 1 C 1 2 ＝2 ， 则 A 1 O＝ 1 ， A 1 B 1 ＝2 ， ∴B 1 O⊥A 1 C 1 ， B 1 O＝ 3 姨 . 以 O 为原点 ， 建立如图 所示的空间直角坐标系， 则 B 3 姨 2 ， 1 2 ， 3 姨姨 2 ， C （ 0 ， 2 ， 3 姨 ）， D 3 姨 4 ， 5 4 ， 3 姨姨 2 ， E （ 0 ， 1 ， 0 ）， B 1 （ 3 姨 ， 0 ， 0 ）， C 1 （ 0 ， 3 ， 0 ）， D %& E ＝ - 3 姨 4 ， - 1 4 ， - 3 姨姨 2 ， B 1 C 1 %& ＝ （ - 3 姨 ， 3 ， 0 ） . 又 ∵ D %& E·B 1 C 1 %& ＝0 ， ∴DE⊥B 1 C 1 . （ 2 ） 解 ： CB 1 %& ＝ （ 3 姨 ， -2 ， - 3 姨 ）， CC 1 %& ＝ （ 0 ， 1 ， - 3 姨 ）， 设平面 BCC 1 B 1 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·CB 1 %& = 3 姨 x-2y- 3 姨 z=0 ， n ·CC 1 %& =y- 3 姨 z=0 0 ， 取 y＝ 3 姨 ， 得 n＝ （ 3 ， 3 姨 ， 1 ）， D %& E ＝ - 3 姨 4 ， - 1 4 ， - 3 姨姨 2 . 设 DE 与平面 BCC 1 B 1 所成角为 θ ， 则 sinθ＝ ｜D %& E·n｜ ｜D %& E ｜｜n｜ ＝ 4 3 姨 13 . ∴cosθ＝ 1- 4 3 姨 13 姨 2 2 姨 ＝ 11 13 . ∴DE 与平面 BCC 1 B 1 所成角的余弦值为 11 13 . 随堂练习 1. D 【解析】 由最小角定理知直线 l 与直线 a 所成的 最小角为 仔 3 ， 又 ∵l ， a 为异面直线， 则所成角的最大值为 仔 2 . 故选 D. 2. C 【解析】 如图 ， 连接 A 1 C 1 交 B 1 D 1 于点 O ， 由已知得 C 1 O⊥ B 1 D 1 ， 且 平 面 BDD 1 B 1 ⊥ 平 面 A 1 B 1 C 1 D 1 ， ∴C 1 O⊥ 平面 BDD 1 B 1 ， 连 接 BO ， 则 BO 为 BC 1 在平面 BDD 1 B 1 内的射影， ∠C 1 BO 即为所求 . C 1 O＝ 1 2 × 4 2 +4 2 姨 ＝2 2 姨 ， BC 1 ＝ 4 2 +2 2 姨 ＝2 5 姨 ， E A B C D P 变式训练 1 答图 E A B C D P θ 60° 90° 30° 变式训练 2 答图 z y x E O A B C D A 1 B 1 C 1 变式训练 4 答图 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O 第 2 题答图 33