1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 了解空间中的点与空间向量的关系 . 2. 理解直线的方向向量 . 3. 掌握利用空间向量求空间两直线所成 角的方法 . 4. 掌握利用空间向量证明两条直线平行 或垂直的方法 . 5. 理解公垂线段的概念并会求其长度 . 要 点 精 析 要点 1 空间中的点与空间向量 一般地， 如果在空间中指定一点 O ， 那 么空间中任意一点 P 的位置， 都可以由向量 O O" P 唯一确定， 此时， O O" P 通常称为点 P 的位 置向量 . 思考 空间中的向量与平面向量的 区别？ 例 1 已知 O 是坐标原点， A ， B ， C 三 点的坐标分别为 A （ 3 ， 4 ， 0 ）， B （ 2 ， 5 ， 5 ）， C （ 0 ， 3 ， 5 ） . （ 1 ） 若 O O" P = 1 2 （ A O" B -A O" C ）， 求 P 点的 坐标； （ 2 ） 若 P 是线段 AB 上的一点， 且 AP ∶ PB=1 ∶ 2 ， 求 P 点的坐标 . 分析 （ 1 ） 由条件先求出 A O" B ， A O" C 的 坐标， 再利用向量的运算求 P 点的坐标 . （ 2 ） 先把条件 AP ∶ PB=1 ∶ 2 转化为向量 关系， 再运算 . 解： （ 1 ） A O" B = （ -1 ， 1 ， 5 ）， A O" C = （ -3 ， -1 ， 5 ）， O O" P = 1 2 （ A O" B -A O" C ） = 1 2 （ 2 ， 2 ， 0 ） = （ 1 ， 1 ， 0 ）， ∴P 点的坐标为 （ 1 ， 1 ， 0 ） . （ 2 ） 由 P 是线段 AB 上的一点， 且 AP ∶ PB=1 ∶ 2 ， 知 A O" P = 1 2 A O" B . 设点 P 的坐标为 （ x ， y ， z ）， 则 A O" P = （ x-3 ， y-4 ， z ）， P O" B = （ 2-x ， 5-y ， 5-z ）， 故 （ x-3 ， y-4 ， z ） = 1 2 （ 2-x ， 5-y ， 5-z ）， 即 x-3= 1 2 （ 2-x ）， y-4= 1 2 （ 5-y ）， z= 1 2 （ 5-z ） ） % % % % % % % % % % $ % % % % % % % % % % & ， 得 x= 8 3 ， y= 13 3 ， z= 5 3 ） % % % % % % % % % % 3 % % % % % % % % % % & . 因此 P 点的坐标为 8 3 ， 13 3 ， 5 3 3 ) . 反思感悟 此类问题常转化为向量的共线、 向量 的相等解决 . 设出要求的点的坐标， 利用已 知条件得关于要求的点的坐标的方程或方 程组求解即可 . 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、 直线与空间向量 14 第一章 空间向量与立体几何 学 变式训练 1 已知点 A （ 2 ， 4 ， 0 ）， B （ 1 ， 3 ， 3 ）， 如 图 1-2-1 ， 以 A A" B 的方向为正方向， 在直线 AB 上建立一条数轴， P ， Q 为轴上的两点 . （ 1 ） 若 AP ∶ PB=1 ∶ 2 ， 求点 P 的坐标； （ 2 ） 若 AQ ∶QB=2 ∶ 1 ， 求点 Q 的坐标 . 要点 2 空间中的直线与空间向量 1. 如果 A ， B 是直线 l 上两个不同的点， 则 v=A A" B ， 即为直线 l 的一个方向向量 . 2. 如果 v 1 是直线 l 1 的一个方向向量， v 2 是直线 l 2 的一个方向向量， 则 v 1 ∥v 2 圳l 1 ∥l 2 或 l 1 与 l 2 重合 . 3. 设 v 1 ， v 2 分别是空间中直线 l 1 ， l 2 的 方向向量， 且 l 1 与 l 2 所成角的大小为 θ ， 则 θ= 〈 v 1 ， v 2 〉 或 θ=π- 〈 v 1 ， v 2 〉， ∴sinθ=sin 〈 v 1 ， v 2 〉， cosθ=|cos 〈 v 1 ， v 2 〉 |. 4. 〈 v 1 ， v 2 〉 = π 2 圳l 1 ⊥l 2 圳v 1 · v 2 =0. 5. 公垂线段： 一般地， 如果 l 1 与 l 2 是空 间中两条异面直线， M∈l 1 ， N∈l 2 ， MN⊥l 1 ， MN⊥l 2 ， 则称 MN 为 l 1 与 l 2 的公垂线段 . 两 条异面直线的公垂线段的长， 称为这两条异 面直线之间的距离 . 思考 直线 l 的方向向量唯一吗？ 如 果不唯一， 直线 l 的方向向量之间有怎样 的关系？ 例 2 （ 1 ） 若向量 a= （ x ， 4 ， 5 ）， b= （ 1 ， -2 ， 2 ）， 且 a 与 b 的夹角的余弦值为 2 姨 6 ， 则 x= （ ） A. 3 B. -3 C. -11 D. 3 或 -11 （ 2 ） 如图 1-2-2 ， BC=2 ， 原点 O 是 BC 的 中点， 点 A 的坐标为 3 姨 2 ， 1 2 ， ， *0 ， 点 D 在平面 yOz 上， 且 ∠BDC=90° ， ∠DCB=30°. ① 求向量 C A" D 的坐标； ② 求 A A" D 与 B A" C 的夹角的余弦值 . （ 1 ） 解析 ： ∵a · b =x-8 +10 =x+2 ， |a |= x 2 +41 姨 ， |b|= 1+4+4 姨 =3 ， ∴ 2 姨 6 =cos 〈 a ， b 〉 = a · b |a||b| = x+2 3 x 2 +41 姨 ， 则 x+2＞0 ， 即 x＞-2 ， 则整理方程得 x 2 +8x-33=0 ， 解得 x=-11 或 x=3. x=-11 舍去， ∴x=3. 故选 A. （ 2 ） 解： ① 如图 1-2-3 ， 过点 D 作 DE⊥ BC 于 E ， A B P Q x O l z y 图 1-2-1 x y z A B C D O 图 1-2-2 x y z A B C D O E 图 1-2-3 15 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 则 DE=CD · sin30°= 3 姨 2 ， OE=OB-BD · cos60°=1- 1 2 = 1 2 ， ∴D 的坐标为 0 ， - 1 2 ， 3 姨 2 2 # . 又 ∵C （ 0 ， 1 ， 0 ）， ∴C C% D = 0 ， - 3 2 ， 3 姨 2 2 # . ② 依题设有 A 点坐标为 3 姨 2 ， 1 2 ， 2 #0 ， ∴A C% D = - 3 姨 2 ， -1 ， 3 姨 2 2 # ， B C% C = （ 0 ， 2 ， 0 ）， 则 A C% D 与 B C% C 夹角的余弦值： cos 〈 A C% D ， B C% C 〉 = A C% D · B C% C |A C% D ||B C% C | =- 10 姨 5 . 反思感悟 利用向量求异面直线所成角的步骤： （ 1 ） 确定空间两条直线的方向向量 . （ 2 ） 求两个向量夹角的余弦值 . （ 3 ） 确定线线角与向量夹角的关系 ： 当向量夹角为锐角时， 即为两直线的夹角； 当向量夹角为钝角时， 两直线的夹角为向 量夹角的补角 . 变式训练 2 侧棱垂直底面的三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中， 底面是边长为 2 的正三角形， 侧棱 AA 1 =2 ， 点 O ， M 分别是 BC ， A 1 C 1 的中点， 建立如 图 1-2-4 所示的空间直角坐标系 . （ 1 ） 写 出 三 棱 柱 各 顶 点 及 点 M 的 坐标； （ 2 ） 求异面直线 CM 与 BA 1 夹角的余 弦值 . 例 3 （ 1 ） 已知向量 a= （ 2 ， 4 ， 10 ）， b= （ 3 ， x ， 15 ） 分别是直线 l 1 ， l 2 的方向向 量， 若 l 1 ∥l 2 ， 则 x= . （ 2 ） 如图 1-2-5 所示 ， 已 知 正 方 体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2 ， E ， F 分别是 BB 1 ， DD 1 的 中 点 . 求 证 ： FC 1 ∥ 平面 ADE. （ 1 ） 解析： ∵l 1 ∥l 2 ， ∴ 存在实数 k 使得 b=ka ， ∴ 3=2k ， x=4k ， 15=10k k * * * * * ) * * * * * + ， 解得 x=6. （ 2 ） 证明： 如图 1-2-6 所示， 建立空间 直 角 坐 标系 D鄄xyz ， 则有 D （ 0 ， 0 ， 0 ） ， A （ 2 ， 0 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ， 0 ）， C 1 （ 0 ， 2 ， 2 ）， E （ 2 ， 2 ， 1 ）， F （ 0 ， 0 ， 1 ）， ∴FC 1 C% = （ 0 ， 2 ， 1 ）， D C% A = （ 2 ， 0 ， 0 ）， A C% E = （ 0 ， 2 ， 1 ） . ∵DA奂 平面 ADE ， AE奂 平面 ADE ， 且 （ 0 ， 2 ， 1 ） =0 （ 2 ， 0 ， 0 ） +1 （ 0 ， 2 ， 1 ）， x y z A B C M O A 1 B 1 C 1 图 1-2-4 E A B C D F A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-2-5 E A B C D F A 1 B 1 C 1 D 1 x y z 图 1-2-6 16 第一章 空间向量与立体几何 学 即 FC 1 !" =0D !" A +1A !" E ， ∴FC 1 奂 平面 ADE 或 FC 1 ∥ 平面 ADE. 又 ∵FC 1 埭 平面 ADE ， ∴FC 1 ∥ 平面 ADE. 变式训练 3 （变结论） 例 3 （ 2 ） 中， G ， H 分别为 AD ， B 1 C 1 的中点， 求证 ： EGFH 为平行四 边形 . 变式训练 4 （变结论） 例 3 （ 2 ） 的条件不变， 改为 求证： 平面 ADE∥ 平面 B 1 C 1 F. 数 学 文 化 例 《九章算术》 是古代中国乃至东方 的第一部自成体系的 数学专著 ， 书中记载 了一种名为 “刍甍” 的五面体 （如图 1-2- 7 ）， 其中四边形 ABCD 为矩形 ， EF∥AB ， 若 AB=3EF ， △ADE 和 △BCF 都是正三角 形， 且 AD=2EF ， 则异面直线 DE 与 BF 所成 角的大小为 （ ） A. π 2 B. π 4 C. π 3 D. π 6 分析 以矩形 ABCD 的中心 O 为原点， C !" B 的方向为 x 轴正方向建立空间直角坐标 系， 写出各点坐标， 利用空间向量数量积 坐标公式可得异面直线所成的角 . 解析： 如图 1-2-8 ， 以矩形 ABCD 的中 心 O 为原点， C !" B 的方向为 x 轴正方向建立 空间直角坐标系 . ∵ 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， EF∥AB ， △ADE 和 △BCF 都是正三角形， ∴EF奂 平面 yOz ， 且 z 轴是线段 EF 的垂直平分线 . 设 AB=3 ， 则 EF=1 ， AD=2 ， D -1 ， - 3 2 ， ， ( 0 ， E 0 ， - 1 2 ， 2 姨 ， * ， B 1 ， 3 2 ， ， * 0 ， F 0 ， 1 2 ， 2 姨 ， * ， ∴D !" E = （ 1 ， 1 ， 2 姨 ） ， B !" F = （ -1 ， -1 ， 2 姨 ） ， ∴D !" E · B !" F =-1×1 +1× （ -1 ） + 2 姨 × 2 姨 =0 ， ∴D !" E ⊥B !" F ， ∴ 异面直线 DE 与 BF 所成的角为 π 2 . 故选 A. E A B C D F 图 1-2-7 E A B C D F x y z O 图 1-2-8 17 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 姿=-2 ， x姿=4 ， 3姿=y ! # # # " # # # $ ， ∴ 姿=-2 ， x=-2 ， y=-6 ! # # # " # # # $ ， ∴x-y＝4. 7. 2仔 ３ 【解析】 （ 2a+b ）· c＝2a · c+b · c＝-10 ， 又 a · c＝4 ， ∴b · c＝-18. 又 ∵|c|＝3 ， |b|＝12 ， ∴cos 〈 b ， c 〉 ＝ b · c ｜b｜｜c｜ ＝- 1 2 . ∵ 〈 b ， c 〉 ∈ ［ 0 ， 仔 ］， ∴ 〈 b ， c 〉 ＝ 2仔 3 . 8. 6 +2 3 姨 【 解 析 】 如 图 ， S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝ 1 2 ×2×2＝2 ， S △ABC ＝ 3 姨 4 ×|AB | 2 ＝ 3 姨 4 ×8＝2 3 姨 ， 故 三棱锥的表面积 S＝6+2 3 姨 . 9. 解： ∵ O O) A ＝ （ 1 ， 0 ， 0 ）， O O) B ＝ （ 0 ， -1 ， 1 ）， ∴ O O) A + 姿 O O) B ＝ （ 1 ， -姿 ， 姿 ）， ∴ （O O) A +姿 O O) B ）·O O) B ＝姿+姿＝2姿. 又 ∵| O O) A +姿 O O) B |＝ 1+姿 ２ +姿 ２ 姨 ＝ １+２姿 2 姨 ， | O O) B |＝ 2 姨 ， ∴cos120°＝ （O O) A +姿 O O) B ）·O O) B ｜ O O) A +姿 O O) B ｜｜ O O) B ｜ ＝ 2姿 2 姨 · 1+2姿 2 姨 =- 1 2 ， ∴姿 2 ＝ 1 6 . 又 ∵ 2姿 2 姨 · 1+2姿 2 姨 ＜0 ， 即 姿＜0 ， ∴姿＝- 6 姨 6 . 10. 解： （ 1 ） ∵a∥b ， ∴ 存在实数 姿 ， 使 a＝姿b ， ∴ （ 2 ， 4 ， 5 ） ＝姿 （ 3 ， x ， y ）， ∴ 2=3姿 ， 4=姿x ， 5=姿y ! # # # " # # # $ ， ∴ 姿＝ 2 3 ， x=6 ， y= 15 2 ! # # # # # # " # # # # # # $ . （ 2 ） 向量 （ -3 ， -4 ， 5 ） 的模为 （ -3 ） 2 + （ -4 ） 2 +5 2 姨 ＝ 5 2 姨 ， ∴ 与向量 （ -3 ， -4 ， 5 ） 共线的单位向量为 ± 1 5 2 姨 （ -3 ， -4 ， 5 ） ＝± 2 姨 10 （ -3 ， -4 ， 5 ）， 即 3 2 姨 10 ， ， 2 2 姨 5 ， - 2 姨 2 2 和 - 3 2 姨 10 ， - 2 2 姨 5 ， 2 姨 2 ， 2 . 提升练习 11. C 【解析】 A O) B ＝ （ 3 ， 4 ， -8 ）， A O) C ＝ （ 5 ， 1 ， -7 ）， B O) C ＝ （ 2 ， -3 ， 1 ） ， ∴ | A O) B |＝ 3 2 +4 2 +8 2 姨 ＝ 89 姨 ， | A O) C |＝ 5 2 +1 2 +7 2 姨 ＝ 75 姨 ， | B O) C |＝ 2 2 +3 2 +1 2 姨 ＝ 14 姨 ， ∴| A O) C | 2 +| B O) C | 2 ＝ 75+14＝89＝| A O) B | 2 ， ∴△ABC 为直角三角形 . 故选 C. 12. C 【解析】 a+b＝ （ -1 ， -2 ， -3 ） ＝-a ， 故（ a+b ）· c＝ -a · c＝7 ， 得 a · c＝-7 ， 而 |a|＝ 1 2 +2 2 +3 2 姨 ＝ 14 姨 ， ∴cos 〈 a ， c 〉 ＝ a · c ｜a｜｜c｜ ＝- 1 2 ， 〈 a ， c 〉 ＝120°. 故选 C. 13. - 2 3 4 3 ， 4 3 ， 8 3 ， 2 【解析】 设O O) Q ＝姿 O O) P ＝ （ 姿 ， 姿 ， 2姿 ） ， 故 Q （ 姿 ， 姿 ， 2姿 ） ， ∴ Q O) A ＝ （ 1 -姿 ， 2 -姿 ， 3 - 2姿 ）， Q O) B ＝ （ 2-姿 ， 1-姿 ， 2-2姿 ）， ∴ Q O) A·Q O) B ＝6姿 2 -16姿+10＝ 6 姿- 4 3 ， 2 2 - 2 3 ， ∴ Q O) A·Q O) B 的最小值为 - 2 3 ， 此时 姿＝ 4 3 ， Q 点的坐标为 4 3 ， 4 3 ， 8 3 ， 2 . 14. 3 13 ， 4 13 ， 12 13 ， 2 或 - 3 13 ， - 4 13 ， - 12 13 ， 2 【解析】 设 a＝ （ x ， y ， z ）， 由题意有 a ·A O) B =0 ， a ·A O) C =0 ， ｜a｜=1 ! # # # # " # # # # $ ， 代入坐标可解得 x= 3 13 ， y= 4 13 ， z= 12 13 ! # # # # # # # " # # # # # # # $ 或 x=- 3 13 ， y=- 4 13 ， z=- 12 13 ! # # # # # # # " # # # # # # # $ . * 15. 解： 以点 A 为原点， 建立 如图所示的空间直角坐标系 A鄄xyz. 由 题 意 知 A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， C （ 0 ， 2 ， 0 ）， B （ 3 姨 ， 1 ， 0 ）， B 1 （ 3 姨 ， 1 ， 2 ）， M 3 姨 2 ， 3 2 ， ， 2 0 . 又 ∵ 点 N 在 CC 1 上， 可设 N （ 0 ， 2 ， m ） （ 0≤m≤2 ） ， 则 AB 1 O) ＝ （ 3 姨 ， 1 ， 2 ） ， M O) N ＝ - 3 姨 2 ， 1 2 ， ， 2 m ， ∴ | AB 1 O) |＝2 2 姨 ， | M O) N |＝ m 2 +1 姨 ， AB 1 O) ·M O) N ＝2m-1. 如果异面直线 AB 1 和 MN 所夹的角等于 45° ， 那么向量AB 1 O) 和M O) N 的夹角等于 45° 或 135°. 又 ∵cos 〈AB 1 O) ， M O) N 〉 ＝ AB 1 O) ·M O) N ｜AB 1 O) ｜｜ M O) N ｜ ＝ 2m-1 2 2 姨 × m 2 +1 姨 ， ∴ 2m-1 2 2 姨 × m 2 +1 姨 ＝± 2 姨 2 ， 解得 m＝- 3 4 ， 这与 0≤m≤ 2 矛盾， ∴ 在 CC 1 上不存在点 N ， 使得异面直线 AB 1 和 MN 所夹的角等于 45°. 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、 直线与空间向量 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 由已知， 得P O) B ＝2 A O) P ， 即O O) B - O O) P ＝2 （O O) P - O O) A ）， O O) P ＝ 2 3 O O) A + 1 3 O O) B . 设点 P 坐标为 （ x ， y ， z ）， 则上式换用坐标表示， 得 （ x ， y ， z ） ＝ 2 3 （ 2 ， 4 ， 0 ） + 1 3 （ 1 ， 3 ， 3 ）， x y z O A B C 第 8 题答图 M x y z A B C A 1 B 1 C 1 第 15 题答图 28 参 考 答 案 即 x＝ 4 3 + 1 3 ＝ 5 3 ， y＝ 8 3 + 3 8 ＝ 11 3 ， z＝0+1＝1. 故点 P 的坐标是 5 3 ， 11 3 ， ， " 1 . （ 2 ） ∵AQ ∶QB＝2 ∶ 1 ， ∴ A A$ Q ＝-2 Q A$ B ， O A$ Q - O A$ A ＝-2 （O A$ B - O A$ Q）， O A$ Q ＝- O A$ A +2 O A$ B . 设点 Q 的坐标为 （ x′ ， y′ ， z′ ）， 则上式换用坐标表示， 得（ x′ ， y′ ， z′ ） ＝- （ 2 ， 4 ， 0 ） +2 （ 1 ， 3 ， 3 ） ＝ （ 0 ， 2 ， 6 ）， 即 x′＝0 ， y′＝2 ， z′＝6. 故点 Q 的坐标 是 （ 0 ， 2 ， 6 ） . 变式训练 2 解： （ 1 ） 根据图形可求得下列点的坐标： A （ 3 姨 ， 0 ， 0 ） ， B （ 0 ， -1 ， 0 ） ， C （ 0 ， 1 ， 0 ） ， A 1 （ 3 姨 ， 0 ， 2 ） ， B 1 （ 0 ， -1 ， 2 ） ， C 1 （ 0 ， 1 ， 2 ） ， M 3 姨 2 ， 1 2 ， ， " 2 . （ 2 ） C A$ M ＝ 3 姨 2 ， - 1 2 ， ， " 2 ， BA 1 A$ ＝ （ 3 姨 ， 1 ， 2 ）， ∴ C A$ M·BA 1 A$ ＝5 ， | C A$ M |＝ 5 姨 ， | BA 1 A$ |＝2 2 姨 ， ∴cos 〈C A$ M ， BA 1 A$ 〉 ＝ 5 2 10 姨 ＝ 10 姨 4 . 变式训练 3 证明： 如图所示， 建立空间直角坐标系， 则 E （ 2 ， 2 ， 1 ）， G （ 1 ， 0 ， 0 ）， F （ 0 ， 0 ， 1 ）， H （ 1 ， 2 ， 2 ） . ∴ E A$ G = （ -1 ， -2 ， -1 ）， F A$ H = （ 1 ， 2 ， 1 ） . ∴ F A$ H =- E A$ G ， ∴ F A$ H ∥ E A$ G . 显然 EG 与 FH 不重合， 故 EG∥FH. 又 ｜ E A$ G ｜= （ -1 ） 2 + （ -2 ） 2 + （ -1 ） 2 姨 = 6 姨 ， ｜ F A$ H ｜= 1 2 +2 2 +1 2 姨 = 6 姨 ， ∴EG=FH ， ∴ 四边形 EGFH 为平行四边形 . 变式训练 4 证明 ： 如图所示 ， 建立空间直角坐标系 ， 则 A （ 2 ， 0 ， 0 ） ， D （ 0 ， 0 ， 0 ） ， B 1 （ 2 ， 2 ， 2 ）， C 1 （ 0 ， 2 ， 2 ）， E （ 2 ， 2 ， 1 ）， F （ 0 ， 0 ， 1 ）， 得D A$ E = （ 2 ， 2 ， 1 ）， FB 1 A$ = （ 2 ， 2 ， 1 ）， D A$ A = （ 2 ， 0 ， 0 ）， B 1 C 1 A$ = （ -2 ， 0 ， 0 ） ， ∴ D A$ E = FB 1 A$ ， D A$ A =- B 1 C 1 A$ . 又相互不共面 ， ∴DE∥FB 1 ， DA∥B 1 C 1 . 又 DA∩DE=D ， FB 1 ∩B 1 C 1 =B 1 ， ∴ 平面 ADE∥ 平面 B 1 C 1 F. 随堂练习 1. B 【解析】 A A$ B ＝ （ 2 ， 3 ， 4 ） - （ 1 ， 0 ， 1 ） ＝ （ 1 ， 3 ， 3 ） . 故选 B. 2. C 【解析】 ∵ 向量 a＝ （ x ， 1 ， -2 ）， b＝ （ 3 ， x ， 4 ）， a⊥b ， ∴a · b＝3x+x-8＝0 ， 解得 x＝2. 故选 C. 3. 垂直 【解析 】 ∵v 1 · v 2 ＝-1× （ -2 ） +1×0+2× （ -1 ） ＝0 ， ∴v 1 ⊥v 2 . 4. 45° 【解析】 ∵a · b＝1× 2 姨 +0×0+ （ -1 ） ×0＝ 2 姨 ， |a|＝ 2 姨 ， |b|＝ 2 姨 ， ∴cos 〈 a ， b 〉 ＝ a · b ｜a｜｜b｜ ＝ 2 姨 2 . 又 ∵0≤ 〈 a ， b 〉 ≤180° ， ∴ 〈 a ， b 〉 ＝45°. 5. 解 ： 以 C 1 为坐标原点 ， 建 立 如 图所 示 的 空 间 直 角 坐 标系 . 设 BC＝CA＝CC 1 ＝2 ， 则 A （ 2 ， 0 ， 2 ）， N （ 1 ， 0 ， 0 ）， M （ 1 ， 1 ， 0 ） ， B （ 0 ， 2 ， 2 ） ， ∴A A$ N ＝ （ -1 ， 0 ， -2 ） ， B A$ M ＝ （ 1 ， -1 ， -2 ） ， |A A$ N |＝ （ -1 ） 2 +0 2 + （ -2 ） 2 姨 ＝ 5 姨 ， |B A$ M |＝ 1 2 + （ -1 ） 2 + （ -2 ） 2 姨 ＝ 6 姨 ， ∴cos 〈A A$ N ， B A$ M 〉＝ A A$ N·B A$ M ｜A A$ N ｜｜B A$ M ｜ ＝ -1+4 5 姨 × 6 姨 ＝ 3 30 姨 ＝ 30 姨 10 . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 设 C （ x ， y ， z ）， 则B A$ C ＝ （ x-1 ， y-2 ， z- 1 ）， O A$ A ＝ （ 2 ， 3 ， 4 ）， ∴3O A$ A ＝ （ 6 ， 9 ， 12 ） . 由B A$ C ＝3O A$ A ， 得 x-1=6 ， y-2=9 ， z-1=12 2 , , , + , , , - ， ∴ x=7 ， y=11 ， z=13 2 , , , + , , , - ， ∴C （ 7 ， 11 ， 13 ） . 故选 C. 2. C 【解析】 向量 a＝ （ -1 ， 0 ， 3 ）， b＝ （ 3 ， -2 ， x ）， 若 a⊥b ， 则 -1×3+0× （ -2 ） +3x＝0 ， 解得 x＝1. 故选 C. 3. C 【解析】 ∵A A$ B ＝ （ 9 ， 2 ， 1 ） - （ 9 ， -3 ， 4 ） ＝ （ 0 ， 5 ， -3 ）， ∴AB∥ 平面 yOz. 故选 C. 4. B 【解析】 ∵ 向量 a＝ （ 2 ， 2 ， 0 ）， b＝ cos琢 ， - 1 2 ， ， " 1 ， （ 0°＜琢＜180° ）， a⊥b ， ∴a · b＝2cos琢-1＝0 ， ∴cos琢＝ 1 2 . ∵0°＜ 琢＜180° ， ∴琢＝60°. 故选 B. 5. A 【解析】 如图， 以点 D 为坐标原点， D A$ A ， D A$ C ， DD 1 A$ 的 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建 立空间直角坐标系， 则 F （ 1 ， 0 ， 0 ）， D 1 （ 0 ， 0 ， 2 ）， O （ 1 ， 1 ， 0 ）， E （ 0 ， 2 ， 1 ）， 则O A$ E ＝ （ -1 ， 1 ， 1 ）， FD 1 A$ ＝ （ -1 ， 0 ， 2 ）， ∴|O A$ E |＝ 3 姨 ， | FD 1 A$ |＝ 5 姨 ， O A$ E·FD 1 A$ ＝3 ， ∴cos 〈O A$ E ， FD 1 A$ 〉 ＝ O A$ E·FD 1 A$ ｜O A$ E ｜｜ FD 1 A$ ｜ ＝ A 1 B 1 C 1 D 1 E F A B C D x y z G H 变式训练 3 答图 z y x A 1 B 1 C 1 A B C M N 第 5 题答图 变式训练 4 答图 y z x A 1 B 1 C 1 D 1 E F A B C D y z x A 1 B 1 C 1 D 1 E F A B C D O 第 5 题答图 29 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 3 3 姨 · 5 姨 ＝ 15 姨 5 . 故选 A. 6. 3 2 ， - 3 2 ， - - # 1 【解析 】 设 C （ x ， y ， z ）， A $% C ＝ （ x-1 ， y-1 ， z+4 ）， A $% B ＝ （ 1 ， -5 ， 6 ）， 由A $% C ＝ 1 2 A $% B 得 x-1= 1 2 ， y-1=- 5 2 ， z+4=3 3 ( ( ( ( ( ( ' ( ( ( ( ( ( ) ， ∴ x= 3 2 ， y=- 3 2 ， z=-1 3 ( ( ( ( ( ( ' ( ( ( ( ( ( ) . ∴C 3 2 ， - 3 2 ， - - - 1 . 7. 0 【解析】 由题意， 得A $% B ＝ （ -1 ， -2-y ， z-3 ）， 则 -1 2 ＝ -2-y 1 ＝ z-3 3 ， 解得 y＝- 3 2 ， z＝ 3 2 ， ∴y+z＝0. 8. 7 10 姨 30 【解析】 如图， 以 D 为原点， DA 为 x 轴 ， DC 为 y 轴， DD 1 为 z 轴， 建立空间直角坐 标系， B （ 1 ， 1 ， 0 ）， M 1 2 ， 1 ， ， - 1 ， D （ 0 ， 0 ， 0 ） ， N 1 2 ， 1 2 ， - - 2 ， B $% M ＝ - 1 2 ， 0 ， - 1 ， D $% N ＝ 1 2 ， 1 2 ， - - 2 . 设向量B $% M 与 D $% N 的夹角为 θ ， 则 cosθ ＝ B $% M·D $% N ｜B $% M ｜｜ D $% N ｜ ＝ 7 4 5 4 姨 · 18 4 姨 ＝ 7 10 姨 30 . 故向量B $% M 与D $% N 夹角的余弦值为 7 10 姨 30 . 9. 证明： 如图， 以 D 为原 点， DA ， DC ， DD 1 所在直线分 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直 角 坐 标 系 ， 设 正 方 体 的 棱 长为 1 ， 可求得 M 0 ， 1 ， 1 2 - - ， N 1 2 ， 1 ， - - 1 ， D （ 0 ， 0 ， 0 ） ， A 1 （ 1 ， 0 ， 1 ）， 于是M $% N = 1 2 ， 0 ， 1 2 - - ， DA 1 $% = （ 1 ， 0 ， 1 ）， 得DA 1 $% =2 M $% N ， ∴ DA 1 $% ∥ M $% N ， ∴DA 1 ∥MN. 而 MN埭 平面 A 1 BD ， DA 1 奂 平面 A 1 BD ， ∴MN∥ 平面 A 1 BD. 10. （ 1 ） 解： 如图， 以 C 为原 点， CA ， CB ， CC 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立空间直角坐 标系， A 1 （ 1 ， 0 ， 2 ）， B （ 0 ， 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 0 ， 0 ）， B 1 （ 0 ， 1 ， 2 ）， BA 1 $% ＝ （ 1 ， -1 ， 2 ）， CB 1 $% ＝ （ 0 ， 1 ， 2 ）， ∴cos 〈BA 1 $% ， CB 1 $% 〉 ＝ BA 1 $% ·CB 1 $% ｜BA 1 $% ｜｜ CB 1 $% ｜ ＝ 3 6 姨 · 5 姨 ＝ 30 姨 10 . （ 2 ） 证明： A 1 （ 1 ， 0 ， 2 ）， B （ 0 ， 1 ， 0 ）， C 1 （ 0 ， 0 ， 2 ） ， M 1 2 ， 1 2 ， ， - 2 ， A 1 $% B ＝ （ -1 ， 1 ， -2 ） ， C 1 $% M ＝ 1 2 ， 1 2 ， ， - 0 ， 又 ∵ A 1 $% B·C 1 $% M ＝0 ， ∴A 1 B⊥C 1 M. 提升练习 11. ABD 【解析】 a＝ （ 1 ， 3 ， 5 ）， a⊥b ， ∴a · b＝0 ， 即 a · b＝ （ 1 ， 3 ， 5 ）·（ 5 ， 0 ， -1 ） ＝1×5+3×0+5× （ -1 ） ＝0 ， 故 A 正确 ； a · b＝ （ 1 ， 3 ， 5 ）· -2 ， 3 ， - 7 5 ， - ＝1× （ -2 ） +3×3+5× - 7 5 ， - ＝0 ， 故 B 正确； a · b＝ （ 1 ， 3 ， 5 ）·（ 5 ， -3 ， -1 ） ＝1× 5+3× （ -3 ） +5× （ -1 ） ＝-9≠0 ， 故 C 错误； a · b＝ （ 1 ， 3 ， 5 ）· （ 8 ， -1 ， -1 ） ＝1×8+3× （ -1 ） +5× （ -1 ） ＝0 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 12. B 【解析 】 向量 a＝ （ 1 ， 2 ， x ）， b＝ （ -2 ， y ， 4 ）， 若 a∥b ， 则 1 -2 ＝ 2 y ＝ x 4 ， 解得 y=-4 ， x=-2 2 ， ∴x-y＝-2- （ -4 ） ＝2. 故选 B. 13. 2 姨 60° 【解析 】 向量 a＝ （ 1 ， 0 ， -1 ） ， b＝ （ 1 ， 1 ， 0 ） ， 则 |a |＝ 1 2 +0 2 + （ -1 ） 2 姨 ＝ 2 姨 ； cos 〈 a ， b 〉 ＝ a · b ｜a｜｜b｜ ＝ 1 2 姨 × 2 姨 ＝ 1 2 ， ∴ 向量 a 与 b 的夹角是 60°. 14. - 122 7 或 2 【解 析 】 向 量 a ＝ （ 1 ， 2 ， λ ） ， b ＝ （ 2 ， 2 ， -1 ）， ∴a · b＝2+4-λ＝6-λ ， |a|＝ 1+4+λ 2 姨 ＝ 5+λ 2 姨 ， |b|＝ 4+4+1 姨 ＝3. 若 cos 〈 a ， b 〉 ＝ 4 9 ， 则 a · b ｜a｜｜b｜ ＝ 6-λ 5+λ 2 姨 ×3 = 4 9 ， 化简得 7λ 2 +108λ-244＝0 ， 解得 λ＝- 122 7 或 λ＝2 ， 则 实数 λ 的值为 - 122 7 或 2. 15. 解： （ 1 ） 由已知可得 A （ 0 ， 0 ， 0 ）， B （ 1 ， 0 ， 0 ）， C （ 1 ， 1 ， 0 ）， D （ 0 ， 2 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 2 ）， ∵E 为 PD 的中 点， ∴E （ 0 ， 1 ， 1 ）， ∴| B $% E |＝ （ 0-1 ） 2 + （ 1-0 ） 2 + （ 1-0 ） 2 姨 ＝ 3 姨 . （ 2 ） A $% E ＝ （ 0 ， 1 ， 1 ）， D $% C ＝ （ 1 ， -1 ， 0 ）， ∴cos 〈A $% E ， D $% C 〉 ＝ A $% E·D $% C ｜A $% E ｜｜D $% C ｜ ＝- 1 2 姨 × 2 姨 ＝- 1 2 . ∵ 〈A $% E ， D $% C 〉 ∈ ［ 0 ， π ］， ∴ 〈A $% E ， D $% C 〉 ＝ 2π 3 ， 即异面直线 AE 与 CD 所成的角为 π 3 . （ 3 ） ∵n⊥ 平面 PCD ， ∴n⊥PD ， n⊥CD. 又 ∵n= （ 1 ， p ， q ）， P $% D = （ 0 ， 2 ， -2 ）， C $% D = （ -1 ， 1 ， 0 ）， ∴n ·P $% D =2p-2q=0 ， n ·C $% D =-1+p=0 ， y z x A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D M N 第 8 题答图 z y x A 1 B 1 C 1 A B C M N 第 10 题答图 第 9 题答图 y z x M N A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D 30 参 考 答 案 解得 p=1 或 q=1 ， 即 n= （ 1 ， 1 ， 1 ） . 1.2.2 空间中的平面与空间向量 学习手册 变式训练 1 解： ∵∠DAB＝60° ， AB＝2AD ， 由余弦定理得 BD＝ 3 姨 AD， 从而 BD 2 +AD 2 ＝AB 2 ， 故 BD⊥AD. 如图 ， 以点 D 为坐标 原点 ， 射线 DA ， DB ， DP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空 间直角坐标系 D-xyz， 则 A（1 ， 0 ， 0 ）， B（0 ， 3 姨 ， 0 ）， P（0 ， 0 ， 1 ）， ∴ A A% B ＝ （ -1 ， 3 姨 ， 0 ）， P A% B ＝ （ 0 ， 3 姨 ， -1 ） . 设平面 PAB 的法向量为 n＝ （x ， y ， z）， 则 n⊥ A A% B ， n⊥ P A% B B ， 即 n ·A A% B =0 ， n ·P A% B =0 B ， 即 -x+ 3 姨 y=0 ， 3 姨 y-z=0 B ， ∴ 可取 n＝ （ 3 姨 ， 1 ， 3 姨 ） . ∴ 平面 PAB 的一个法向量为 （ 3 姨 ， 1 ， 3 姨 ） . 变式训练 2 解： 如例 2 ， 建立空间直角坐标系， D 1 （ 0 ， 0 ， 1 ）， E 1 ， 1 ， 1 2 2 ) ， M 1 ， 0 ， 1 2 2 2 ， ∴ D 1 A% E ＝ 1 ， 1 ， - 1 2 2 2 ， 即直线 D 1 E 的一个方向向量. 设平面 EFM 的法向量为 n＝ （x ， y ， z ）， ∵F 0 ， 1 2 ， 2 2 0 ， ∴ E A% F ＝ -1 ， - 1 2 ， - 1 2 2 2 ， E A% M ＝ （ 0 ， -1 ， 0 ）， 由 n ·E A% F =0 ， n ·E A% M =0 B ， 即 -x- 1 2 y- 1 2 z=0 ， -y=0 0 . . . - . . . / . ∴ z=-2x ， y=0 B . 令 x＝1 ， 则 z＝-2. ∴ 平面 EFM的一个法向量为 （1 ， 0 ， -2 ） . 变式训练 3 证明： 如例 2 ， 建立空间直角坐标系， 则 E 1 ， 1 ， 1 2 2 2 ， N 1 2 ， 1 2 ， 2 2 1 ， A （ 1 ， 0 ， 0 ）， B 1 （ 1 ， 1 ， 1 ）， C （ 0 ， 1 ， 0 ）， ∴ E A% N ＝ - 1 2 ， - 1 2 ， 1 2 2 2 ， AB 1 A% ＝ （ 0 ， 1 ， 1 ）， A A% C ＝ （ -1 ， 1 ， 0 ）， ∴ E A% N·AB 1 A% ＝0 ， E A% N·A A% C ＝0 ， ∴ E A% N ⊥ AB 1 A% ， E A% N ⊥ A A% C ， 即 EN⊥AB 1 ， EN⊥AC. 又 ∵AB 1 ∩AC＝A ， ∴EN⊥ 平面 B 1 AC. 变式训练 4 证明 ： 如图 ， 过点 P 作 PH⊥ 平面 ABC ， 连接 AH 并延 长交 BC 于点 E ， 连接 BH 并延长交 AC 于点 F ， PH⊥ 平面 ABC ， PA⊥ BC ， 而 PA 在面 ABC 内的射影为 AH ， 由 三 垂 线 定 理 的 逆 定 理 知 BC⊥AH ， 同理可证 BF⊥AC ， 则 H 为 △ABC 的垂心 . 连接 CH 并延长交 AB 于点 G ， 于是 CG⊥AB ， 而 CH 是 PC 在平面 ABC 的射影， 故 PC⊥AB. 随堂练习 1. A 【解析】 ∵ 直线 l 的方向向量 a＝ （ 1 ， 2 ， -1 ）， 平面 α 的一个法向量 m＝ （ -2 ， -4 ， k ）， l⊥α ， ∴a∥m ， ∴ 1 -2 ＝ 2 -4 ＝ -1 k ， 解得 k＝2. 故选 A. 2. D 【解析】 ∵α⊥β ， ∴a⊥b ， ∴a · b＝1× （ -2 ） +2× （ -4 ） + （ -2 ）· k＝0 ， ∴k＝-5. 故选 D. 3. A 【解析 】 设平面 ABC 的一个法向量 n= （ x ， y ， z ）， 则 n ·A A% B =x+2y+3z=0 ， n ·A A% C =x+2y+z=0 B ， 取 x=-1 ， 得到平面 ABC 的一 个法向量为 （ -1 ， 2 ， -1 ） . 故选 A. 4. -9 【解析】 由题意知 u⊥v ， ∴u · v＝3+6+z＝0 ， ∴z＝ -9. 5. 证 明 ： 如 图 ， 连 接 AC 1 ， ∵ AC MC 1 ＝ 3 姨 6 姨 2 ＝ 2 姨 ， CC 1 C 1 A 1 ＝ 6 姨 3 姨 ＝ 2 姨 ， ∠ACC 1 ＝∠A 1 C 1 M ， ∴Rt△ACC 1 ∽Rt△MC 1 A 1 ， ∠AC 1 C＝∠MA 1 C 1 ， ∴∠A 1 MC 1 + ∠AC 1 C＝∠A 1 MC 1 +∠MA 1 C 1 ＝90° ， ∴A 1 M⊥AC 1 . 由三垂线 定理知， AB 1 ⊥A 1 M. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 M 构成的图形经过点 A ， 且是以 n 为 法向量的平面 . 故选 C. 2. D 【解析】 由题意知 PA⊥ 平面 ABCD ， ∴ 与平面 上的线 AB ， CD 都垂直， A ， B 正确 . 又 ∵ 菱形的对角线互 相垂直， AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影且 AC⊥BD ， 由 三垂线定理的逆定理知 PC⊥BD ， 故 C 正确 . 故选 D. 3. A 【解析】 ∵μ＝ （ 2 ， 2 ， -1 ） 是平面 α 的法向量， a＝ （ -3 ， 4 ， 2 ） 是直线 l 的方向向量， μ · a＝-6+8-2＝0 ， ∴ 直 线 l 与平面 α 的位置关系是平行或直线在平面内 . 故选 A. 4. D 【解析】 ∵ 平面 α 经过三点 O （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 2 ， 2 ， 0 ）， B （ 0 ， 0 ， 2 ）， ∴O A% A ＝ （ 2 ， 2 ， 0 ）， O A% B ＝ （ 0 ， 0 ， 2 ） . 设平面 α 的法向量 n＝ （ x ， y ， z ）， 则 n ·O A% A =2x+2y=0 ， n ·O A% B =2z=0 B ， 取 x＝-1 ， 得 n＝ （ -1 ， 1 ， 0 ）， ∴ 平面 α 的法向量可以是 （ -1 ， 1 ， 0 ） . 故选 D. 5. B 【解析】 ∵A A% B ⊥ B A% C ， ∴ A A% B·B A% C ＝0 ， 即 3+5-2z＝ 0 ， 得 z＝4. 又 ∵BP⊥ 平面 ABC ， ∴ B A% P ⊥ A A% B ， B A% P ⊥ B A% C ， 则 （ x-1 ） +5y+6=0 ， 3 （ x-1 ） +y-12=0 B ， 解得 x= 40 7 ， y=- 15 7 0 . . . . - . . . . / . 故选 B. z y x A B C D P 变式训练 1 答图 E G H F A B C P 变式训练 4 答图 M A B C A 1 B 1 C 1 第 5 题答图 31