1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第一章 空间向量与立体几何 学 学 习 目 标 1. 掌握空间向量的坐标表示， 能在适当 的坐标系中写出向量的坐标 . 2. 掌握空间向量的坐标运算 . 3. 掌握空间向量的平行、 垂直关系的坐 标表示 . 4. 理解空间直角坐标系的定义、 建系方 法， 以及空间的点的坐标确定方法并能简单 运用 . 要 点 精 析 要点 1 空间中向量的坐标 1. 一般地， 如果空间向量的基底 {e 1 ， e 2 ， e 3 } 中， e 1 ， e 2 ， e 3 都是单位向量， 而且 这三个向量两两垂直， 就称这组基底为单位 正交基底； 在单位正交基底下向量的分解称 为向量的单位正交分解， 而且， 如果 p=xe 1 + ye 2 +ze 3 ， 则称有序实数组 （ x ， y ， z ） 为向量 p 的坐标， 记作 p= （ x ， y ， z ） . 其中 x ， y ， z 都称为 p 的坐标分量 . 2. 假设空间中两个向量 a ， b 满足 a= （ x 1 ， y 1 ， z 1 ） ， b= （ x 2 ， y 2 ， z 2 ） ， 则有以下 结论： （ 1 ） a+b= （ x 1 +x 2 ， y 1 +y 2 ， z 1 +z 2 ） . （ 2 ） 若 u ， v 是两个实数， ua+vb= （ ux 1 + vx 2 ， uy 1 +vy 2 ， uz 1 +vz 2 ） . （ 3 ） a · b=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 . （ 4 ） |a|= a · a 姨 = x 2 1 +y 2 1 +z 2 1 姨 . （ 5 ） 当 a≠0 且 b≠0 时， cos 〈 a ， b 〉 = a · b |a| · |b| = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 x 2 1 +y 2 1 +z 2 1 姨 x 2 2 +y 2 2 +z 2 2 姨 . 思考 若 a=xe 1 +ye 2 +ze 3 ， 则 a 的坐标一 定是 （ x ， y ， z ） 吗？ 例 1 （ 1 ） 如图 1-1- 13 ， 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD鄄A′B′C′D′ 中， E ， F ， G 分别为棱 DD′ ， D′C′ ， BC 的 中点， 以 {A A$ B ， A A$ D ， AA A$ ′} 为基底， 求下列向量的坐标 . ①A A$ E ， A A$ G ， A A$ F ； ②E A$ F ， E A$ G ， D A$ G . （ 2 ） 已知空间四点 A ， B ， C ， D 的坐标 分别是 （ -1 ， 2 ， 1 ）， （ 1 ， 3 ， 4 ）， （ 0 ， -1 ， 4 ）， （ 2 ， -1 ， -2 ） . 若 p=A A$ B ， q=C A$ D . 求： ①p+2q ； ②3p-q ； ③ （ p-q ）·（ p+q ） . 解： （ 1 ） ①A A$ E =A A$ D +D A$ E =A A$ D + 1 2 DD A$ ′= A A$ D + 1 2 AA A$ ′= 0 ， 1 ， 1 2 2 & . A A$ G =A A$ B +B A$ G =A A$ B + 1 2 A A$ D = 1 ， 1 2 ， 2 & 0 . A A$ F =AA A$ ′+A′D A$ ′+D′ A$ F =AA A$ ′+A A$ D + 1 2 A A$ B = 1 2 ， 1 ， 2 & 1 . ② E A$ F = A A$ F - A A$ E = AA A$ ′+A A$ D + 1 2 A A$ B 2 & - A A$ D + 1 2 AA A$ ′ 2 & = 1 2 AA A$ ′+ 1 2 A A$ B = 1 2 ， 0 ， 1 2 2 & . 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 E A B C D G A′ B′ C′ D′ F 图 1-1-13 9 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 E !" G=A !" G-A !" E= A !" B+ 1 2 A !" D # $ - A !" D+ 1 2 AA !" ′ % & =A !" B - 1 2 A !" D - 1 2 AA !" ′= 1 ， - 1 2 ， - 1 2 % & . D !" G =A !" G-A !" D=A !" B+ 1 2 A !" D-A !" D=A !" B- 1 2 A !" D = 1 ， - 1 2 ， % & 0 . （ 2 ） 由于 A （ -1 ， 2 ， 1 ）， B （ 1 ， 3 ， 4 ）， C （ 0 ， -1 ， 4 ）， D （ 2 ， -1 ， -2 ）， ∴p=A !" B = （ 2 ， 1 ， 3 ）， q=C !" D= （ 2 ， 0 ， -6 ） . ①p+2q= （ 2 ， 1 ， 3 ） +2 （ 2 ， 0 ， -6 ） = （ 2 ， 1 ， 3 ） + （ 4 ， 0 ， -12 ） = （ 6 ， 1 ， -9 ）； ②3p-q=3 （ 2 ， 1 ， 3 ） - （ 2 ， 0 ， -6 ） = （ 6 ， 3 ， 9 ） - （ 2 ， 0 ， -6 ） = （ 4 ， 3 ， 15 ）； ③ （ p-q ）·（ p+q ） =p 2 -q 2 =|p| 2 -|q| 2 = （ 2 2 +1 2 + 3 2 ） - （ 2 2 +0 2 +6 2 ） =-26. 反思感悟 对空间向量进行坐标运算的规律是首 先进行数乘运算， 再进行加法或减法运算， 最后进行数量积运算 . 先算括号里， 后算括 号外 . 变式训练 1 已知 O 为坐标原点， A ， B ， C 三点的 坐标分别为 （ 2 ， -1 ， 2 ） ， （ 4 ， 5 ， -1 ） ， （ -2 ， 2 ， 3 ）， 求点 P 的坐标， 使 （ 1 ） O !" P = 1 2 （ A !" B -A !" C ）； （ 2 ） A !" P = 1 2 （ A !" B -A !" C ） . 要点 2 空间向量的坐标与空间向量的 平行、 垂直 1. 当 a≠0 时， a∥b圳b=λa圳 （ x 2 ， y 2 ， z 2 ） =λ （ x 1 ， y 1 ， z 1 ） 圳 x 2 =λx 1 ， y 2 =λy 1 ， z 2 =λz 1 1 , , , , , + , , , , , - ； 当 a 的每一个坐 标分量都不为零时， 有 a∥b圳 x 2 x 1 = y 2 y 1 = z 2 z 1 . 2. a⊥b圳a · b=0圳x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 =0. 3. 点 P （ x ， y ， z ） 到坐标原点 O （ 0 ， 0 ， 0 ） 的距离 OP= x 2 +y 2 +z 2 姨 . 4. 任意两点 P 1 （ x 1 ， y 1 ， z 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ， z 2 ） 间的距离 P 1 P 2 = （ x 2 -x 1 ） 2 + （ y 2 -y 1 ） 2 + （ z 2 -z 1 ） 2 姨 . 思考 空间向量的坐标与空间向量的 平行、 垂直的公式与平面向量有什么联系 和区别？ 例 2 已知空间三点 A （ -2 ， 0 ， 2 ） ， B （ -1 ， 1 ， 2 ）， C （ -3 ， 0 ， 4 ）， 设 a=A !" B ， b=A !" C . （ 1 ） 若 |c|=3 ， c∥B !" C ， 求 c ； （ 2 ） 若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直， 求 k 的值 . 分析 先求 a ， b ， 再根据向量平行与 垂直的充要条件列方程求解 . 解： （ 1 ） ∵B !" C = （ -2 ， -1 ， 2 ）， 且 c∥ B !" C ， ∴ 设 c=λB !" C = （ -2λ ， -λ ， 2λ ）， 得 |c|= （ -2λ ） 2 + （ -λ ） 2 + （ 2λ ） 2 姨 =3|λ|=3 ， 解得 λ=±1 ， 即 c= （ -2 ， -1 ， 2 ） 或 c= （ 2 ， 1 ， -2 ） . （ 2 ） ∵a=A !" B = （ 1 ， 1 ， 0 ）， b=A !" C = （ -1 ， 10 第一章 空间向量与立体几何 学 0 ， 2 ）， ∴ka+b= （ k-1 ， k ， 2 ）， ka-2b= （ k+2 ， k ， -4 ） . 又 ∵ （ ka+b ） ⊥ （ ka-2b ）， ∴ （ ka+b ）·（ ka-2b ） =0 ， 即 （ k-1 ， k ， 2 ）·（ k+2 ， k ， -4 ） =2k 2 +k- 10=0 ， 解得 k=2 或 k=- 5 2 . 故所求 k 的值为 2 或 - 5 2 . 反思感悟 解决空间向量垂直、 平行问题的思路： （ 1 ） 向量已知， 通常需要设出向量的 坐标， 例如， 设向量 a= （ x ， y ， z ） . （ 2 ） 在有关平行的问题中， 通常需要 引入参数， 例如， 已知 a∥b ， 则引入参数 λ ， 有 a=λb ， 再转化为方程组求解 . （ 3 ） 选择向量的坐标形式， 可以达到 简化运算的目的 . 变式训练 2 （变条件） 将例 2 （ 1 ） 中 “ c∥B #$ C ” 改 为 “ c⊥a 且 c⊥b ”， 求 c. 变式训练 3 （变条件） 将例 2 （ 2 ） 改为 “若 ka-b 与 ka+2b 互相垂直”， 求 k 的值 . 例 3 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 D 1 D ， BD 的中点， G 在棱 CD 上， 且 CG= 1 4 CD ， H 为 C 1 G 的中 点， 试建立适当的坐标系， 写出 E ， F ， G ， H 的坐标， 并求 GH 的长度 . 解： 建立如图 1-1-14 所示的空间直角 坐标系 . 点 E 在 z 轴上， 它的 x 坐标、 y 坐标 均为 0 ， 而 E 为 DD 1 的中点 ， 故其坐标为 0 ， 0 ， 1 2 2 & . 过点 F 作 FM⊥AD 于点 M ， FN⊥DC 于 点 N ， 由平面几何知 FM= 1 2 ， FN= 1 2 ， 则 F 点坐标为 1 2 ， 1 2 ， 2 & 0 . ∵ 点 G 在 y 轴上， ∴ 其 x ， z 坐标均为 0. ∵ 又 GD= 3 4 ， 故 G 点坐标为 0 ， 3 4 ， 2 & 0 . E A B C D G F x y z A 1 B 1 C 1D 1 M N H K 图 1-1-14 11 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 过点 H 作 HK⊥CG 于 K 点， 由于 H 为 C 1 G 的中点， 故 HK= 1 2 ， CK= 1 8 . ∴DK= 7 8 ， 故 H 点坐标为 0 ， 7 8 ， 1 2 " # . ∴G G% H = 0 ， 1 8 ， 1 2 2 # ， ∴GH=|G G% H |= 0 2 + 1 8 2 # 2 + 1 2 2 # 2 姨 = 17 姨 8 . 变式训练 4 如图 1-1-15 所示 ， 在长方体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中， |AB|=|AD|=3 ， |AA 1 |=2 ， 点 M 在 A 1 C 1 上， |MC 1 |=2|A 1 M| ， N 在 D 1 C 上且为 D 1 C 的中点， 求线段 MN 的长度 . 反思感悟 （ 1 ） 建立空间直角坐标系时应遵循以 下原则： ① 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐 标平面内； ② 充分利用几何图形的对称性 . （ 2 ） 求某点的坐标时， 一般先找出这 一点在某一坐标平面上的射影， 确定其两 个坐标， 再找出它在另一轴上的射影 （或 者通过它到这个坐标平面的距离加上正负 号）， 确定第三个坐标 . 例 4 如图 1-1-16 所示， 在棱长为 1 的正方体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E ， F 分 别 是 D 1 D ， BD 的中点， G 在棱 CD 上， 且 CG= 1 4 CD ， H 为 C 1 G 的中点 . （ 1 ） 求证： EF⊥B 1 C ； （ 2 ） 求 EF 与 C 1 G 所成角的余弦值； （ 3 ） 求 FH 的长 . 分析 根据正方体的特殊性， 可考虑 建立空间直角坐标系， 写出相关点及向量 的坐标 ， 运用数量积 、 夹角 、 模长公式 计算即可 . （ 1 ） 证明： 如图 1-1-17 所示， 以 D 为坐 标原点， 建立空间直角坐标系 D鄄xyz ， 易知 E 0 ， 0 ， 1 2 2 # ， F 1 2 ， 1 2 ， 2 # 0 ， C （ 0 ， 1 ， 0 ）， C 1 （ 0 ， 1 ， 1 ）， B 1 （ 1 ， 1 ， 1 ）， G 0 ， 3 4 ， 2 # 0 ， H 0 ， 7 8 ， 1 2 2 # . ∵E G% F = 1 2 ， 1 2 ， 2 # 0 - 0 ， 0 ， 1 2 2 # = 1 2 ， 1 2 ， - 1 2 2 # ， B 1 G% C = （ 0 ， 1 ， 0 ） - （ 1 ， 1 ， 1 ） = （ -1 ， 0 ， -1 ）， ∴E G% F ·B 1 G% C = 1 2 × （ -1 ） + 1 2 ×0+ - 1 2 2 # × （ -1 ） =0 ， ∴E G% F⊥B 1 G% C ， 即 EF⊥B 1 C. （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 易知 C 1 G% G = 0 ， 3 4 ， 2 # 0 - （ 0 ， 1 ， 1 ） = 0 ， - 1 4 ， - 2 # 1 ， E G% F= 1 2 ， 1 2 ， - 1 2 2 # ， ∴|C 1 G% G |= 17 姨 4 ， |E G% F |= 3 姨 2 ， E G% F·C 1 G% G = M A B C D N A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-1-15 E A B C D G H F A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-1-16 E A B C D G F x y z A 1 B 1 C 1 D 1 H 图 1-1-17 12 第一章 空间向量与立体几何 学 1 2 ×0+ 1 2 × - 1 4 ! " + - 1 2 ! " × （ -1 ） = 3 8 ， ∴cos 〈 E #$ F ， C 1 #$ G 〉 = E #$ F · C 1 #$ G |E #$ F ||C 1 #$ G | = 51 姨 17 ， 即异面直线 EF 与 C 1 G 所成角的余弦值 为 51 姨 17 . （ 3 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 F 1 2 ， 1 2 ， ! " 0 ， H 0 ， 7 8 ， 1 2 ! " ， ∴F #$ H = - 1 2 ， 3 8 ， 1 2 ! " ， ∴|F #$ H |= - 1 2 ! " 2 + 3 8 ! " 2 + 1 2 ! " 2 姨 = 41 姨 8 . 即 FH 的长为 41 姨 8 . 反思感悟 通过分析几何体的结构特征， 建立适 当的坐标系， 使尽可能多的点落在坐标轴 上， 以方便写出点的坐标 . 建立坐标系后， 写出相关点的坐标， 然后再写出相应向量 的坐标表示， 把向量坐标化， 然后利用向 量的坐标运算求解夹角和距离问题 . 变式训练 5 如图 1-1-18 所示， 在直三棱柱 （侧棱 垂直于底面的棱柱 ） ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， CA= CB=1 ， ∠BCA=90° ， 棱 AA 1 =2 ， N 为 A 1 A 的 中点 . 求： （ 1 ） BN 的长； （ 2 ） BA 1 #$ 与 CB 1 #$ 夹角的余弦值 . 数 学 文 化 例 笛卡儿是世界著名的数学家， 他因 将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何 之父 . 据说在他生病卧床时， 还在反复思考一 个问题： 通过什么样的方法， 才能把 “点” 和 “数” 联系起来呢？ 突然， 他看见屋顶角上有 一只蜘蛛正在拉丝织网， 受其启发建立了笛 卡儿坐标系的雏形 . 在如图 1-1-19 所示的空 间直角坐标系中， 单位正方体顶点 A 关于 y 轴对称的点的坐标是 （ ） A. （ -1 ， -1 ， 1 ） B. （ 1 ， -1 ， 1 ） C. （ 1 ， -1 ， -1 ） D. （ -1 ， -1 ， -1 ） 分析 由图写出点 A 的坐标， 然后再 利用关于 y 轴对称的点的性质写出对称点 的坐标 . 解析： 由图 1-1-19 可知， 点 A （ 1 ， -1 ， -1 ）， ∴ 点 A 关于 y 轴对称的点的坐标为 （ -1 ， -1 ， 1 ） . 故选 A. A B C N A 1 B 1 C 1 图 1-1-18 A B C D x y A 1 B 1 C 1 D 1 z 图 1-1-19 13 参考答案 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 =V3. 学习手册 .线段BN的长为3。 变式训练1 解:AB=(2.6,-3).AC=(-4.3.1). (2)依题意得A(1.0.2),C(0.0.0),B(0.1. :AB-4C=(6. 3. -4). 0).B(0. 1.2).BA =(1.-1.2).CB =(0.1,2). (1)#P-(#-(6 3. 4)#(3.-# 2). BA CB =1x0+(-1)x1+2x2-3. 又:1BA lV6, CB l=V5.:cosBA'.CB 10 (2)设点P的坐标为(x,y,).则AP=(x-2.y+ 1.z-2). 随堂练习 P(-4)-(3.3.-2), 1. B【解析】3a+b=3(1,1.0)+(-1,0,2)=(3,3. 0)+(-1.0.2)=(2.3.2).故选B x-2-3, -5. 2.B【解析】P(1.3.-5)关于平面x0y对称的点 .0). 的坐标为(1.3.5).故选B ,=0. :-2--2. 3.B【解析】 0V6+#3(2#7=1. 变式训练2 解:a=AB=(1.1.0),b-AC=(-1.0.2). 设c=(x.y.z). 2+y2+=9, =2. x--2, $-1,k,2),2a-b=2(1.1,0)-(-1,0.2)=(3,2 由题意得x+y-0. 解得--2,或-2. -2).两向量互相垂直,则有(k-1)x3+kx2+2x(-2)=0 2--1. 1,=1 -x+2=0. 解得1-. 即c=(2.-2.1)或c=(-2.2.-1). 变式训练3 解::a=4B=(1.1.0).b-AC=(-1.0. 2). 5.120*【解析】由于AB=(-2.-1.3).CA=(-1 k-b=(k+1.k.-2).ka+2b=(k-2,h.4). 3. -2)..AB·CA=(-2)x(-1)+(-1)x3+3x(-2)--7. 一(ka-b)1(ka+2b)..(ka-b)·(ka+2b)=0.即(k+1. 又:1ABl-14. 1CAl=V14.:cos=cosAB.CA k.-2)·(k-2.k,4)=(k+1)(k-2)+}-8=0.解得k ABCA 1: 变式训练4 解:如图所示,分 练习手册 别以AB,AD,AA;所在的直线 效果评价 为x轴、y轴,:轴建立空间直 1.A【解析】b-a-(a-b)=(1,-2.1)-(-1.2.-1) 角坐标系.由题意可知C(3.3. =(2.-4,2).故选A. 0). D(0. 3.0).一1DDl=lCC l= 2. A【解析】由WAl=MBl,得(x-3)+(v-4)+(z-5) AA l=2.C(3. 3.2).D.(0. 变式训练4答图 (x+2)+(y-3)+.化简得10x+2y+10-37=0,故选A. 3.C【解析】由题意得a+2b=(2+2k,5),且a-b 0. 解得故选C。 (2-k,2),又.a+2b和a-b平行,则2(2+2k)-5(2-k) 的三等分点且辈近Ai点,.M(1.1.2):MN=(,2). .VN-NV1+217 4.C【解析】由cos(a. b-a-b2-^+4-8 albl V5+·V9 变式训练5 解:如图所示,以CA. CB.CC'为正交基底建立空间直角 坐标系C-xyz. 5.B【解析】ABl-(2a-1)+(-7-a)+(-2+5) (1)依题意得B(0,1.0). =V5+10a+59=5(a+1)+54. N(1.0.1). 当a=-1时.BlV54=36.故选B$$$ -1BVl-(1-0)+(0-1)+(1-0)} 变式训练5答图 6.4【解析】:a/b,:b=xa. 高中数学选择性必修 第一册(人教B版)精编版 --2. A--2. A.2),故(.A.2).:0A=(1-A.2-^,3- x-4,x-2,-y=4. 3=v, --6. $ $).0B=(2-$A.1-.2-2).040B=6-16+$0 点的坐标为(4). 14.(3.4.)(-3 -4.-13) “(b,c)=[0.n],(b.c)-2- aAB=0. 8.6+23【解析】如图. 【解析】设a=(x.y.2),由题意有a·AC-0, lal=1, 3x1AB1-3×8=2V3.故 { - 三校锥的表面积S-6+23. 第8题答图 9.解:0A=(1.0.0).0B=(0.-1.1).:0A+ $$B=(1.-A.A).:(OA+OB)OB=A+A=2. 15.解:以点A为原点,建立 又:10A +0Bl=V1+*+A=V1+2A.10Bl=2. 如图所示的空间直角坐标系A-xvz. A C& .cos120(04+0B)0B 2 由题意知A(0.0.0),C(0. 10A+A0BlI0BI V2.V1+2 2. 0).B(3.1. 0).B(3. 2A #}). 2·V1+2 6 10.解:(1):a/b,:.存在实数入,使a=Ab. 又点N在CC上,可设N(O. 第15题答图 2=3. 2. m)(0<m<2),则AB=(V3,1. 2).MV= (2.4.5)=A(3,x,y),4=Ax,x=6, (-3.. ),1AB 1-V2,1V1+Vm+T, 5-Ay, {-1. AB ·MN-2m-1.如果异面直线AB.和MN所夹的角等于 (2)向量(-3.-4.5)的模为(-3)+(-4)+5= 459.那么向量AB 和MN的夹角等于45*或135{ 5 2,.与向量(-3.-4.5)共线的单位向量为 又:co(AB.MV)ABMN 2m-1 AB IMVI 2V2xVm+I' 5V2 10 2m-1 #42.2#和-#22). ,。 2V2xVm+l 提升练习 2矛盾,.在CC上不存在点V,使得异面直线AB;和 MN所夹的角等于45*。 11. C【解析】AB=(3.4. -8).AC=(5,1.-7). B$=(2.-3.1).1ABl-V3+4+8=V89.1ACl- 1.2 空间向量在立体几何中的应用 51+7=75.|BC②+3+1=14CBC 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 75 +14=89=1ABf△ABC为直角三角形.故选C 学习手册 12.C【解析】a+b=(-1.-2.-3)=-a.故(a+b)·c 变式训练1解:(1)由已知,得PB=2AP. -·=7.得ac=-7. 而lal=1+2+3=14,:cosa. 即OB-0P=2(0P-0A). 0P-00B 设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示。 13.(4.4,8)【解析】设0→→oP-=(A. 得(x y )-2}(2.4.0)(1. 3. 3).