1.1.2 空间向量基本定理-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第一章 空间向量与立体几何 学 学 习 目 标 1. 理解空间向量基本定理 . 2. 运用空间向量基本定理解决一些几何 问题 . 3. 理解基底、 基向量及向量的线性组合 的概念 . 要 点 精 析 要点 1 共面向量定理 如果两个向量 a ， b 不共线， 则向量 a ， b ， c 共面的充要条件是， 存在唯一的实数对 （ x ， y ）， 使 c=xa+yb. 思考 平面向量基本定理中对于向量 a 与 b 有什么要求？ 在空间中能成立吗？ 例 1 已知 A ， B ， C 三点不共线， 平面 ABC 外的一点 M 满足 O !" M = 1 3 O !" A + 1 3 O !" B + 1 3 O !" C . （ 1 ） 判断 M !" A ， M !" B ， M !" C 三个向量是否 共面； （ 2 ） 判断点 M 是否在平面 ABC 内 . 解： （ 1 ） 易知 O !" A +O !" B +O !" C =3O !" M ， ∴O !" A -O !" M = （ O !" M -O !" B ） + （ O !" M -O !" C ）， ∴M !" A =B !" M +C !" M =-M !" B -M !" C ， ∴ 向量 M !" A ， M !" B ， M !" C 共面 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知向量 M !" A ， M !" B ， M !" C 共 面， 三个向量的基线又有公共点 M ， ∴M ， A ， B ， C 共面， 即点 M 在平面 ABC 内 . 反思感悟 （ 1 ） 应用空间向量共面定理， 即其中 一个向量能用另两个向量线性表示， 通常 应结合图形， 选择其中某两个向量作为基 向量 ， 其他向量都用这两个基向量线性 表示 . （ 2 ） 选择目标向量以外的一组基底 ， 通过待定系数法， 建立这三个向量的一个 线性关系式 . 变式训练 1 如图 1 -1 -7 所示 ， P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， 连接 PA ， PB ， PC ， PD ， 点 E ， F ， G ， H 分别是 △PAB ， △PBC ， △PCD ， △PDA 的重心， 分别延长 PE ， PF ， PG ， PH ， 交对边于 M ， N ， Q ， R ， 并顺次 连接 MN ， NQ ， QR ， RM. 应用向量共面定 理证明： E ， F ， G ， H 四点共面 . 1.1.2 空间向量基本定理 E M A B C D N P G Q H R F 图 1-1-7 5 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 a ， b ， c 不共 面， 那么对空间中的任意一个向量 p ， 存在 唯一的有序实数组 （ x ， y ， z ）， 使得 p=xa+ yb+zc. 特别地 ， 当 a ， b ， c 不共面时 ， 可知 xa+yb+zc=0 时， x=y=z=0. 思考 平面向量的基底要求两个基向 量不共线， 那么构成空间向量基底的三个 向量有什么条件？ 例 2 如图 1-1-8 所示， 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 在 A 1 D 1 上， 且 A 1 1" E =2ED 1 1" ， F 在对角线 A 1 C 上， 且 A 1 1" F = 2 3 F 1" C . 求证： E ， F ， B 三点共线 . 证明： 设 A 1" B =a ， A 1" D =b ， AA 1 1" =c. ∵A 1 1" E =2ED 1 1" ， A 1 1" F = 2 3 F 1" C ， ∴A 1 1" E = 2 3 A 1 D 1 1" ， A 1 1" F = 2 5 A 1 1" C ， ∴A 1 1" E = 2 3 A 1" D = 2 3 b ， A 1 1" F = 2 5 （ A 1" C -AA 1 1" ） = 2 5 （ A 1" B +A 1" D -AA 1 1" ） = 2 5 a+ 2 5 b- 2 5 c. ∴E 1" F =A 1 1" F -A 1 1" E = 2 5 a- 4 15 b- 2 5 c= 2 5 a- 2 3 b- - $ c . 又 ∵E 1" B =EA 1 1" +A 1 1" A +A 1" B =- 2 3 b-c+a=a- 2 3 b-c ， ∴E 1" F = 2 5 E 1" B . ∴E ， F ， B 三点共线 . 反思感悟 判断向量共线就是利用已知条件找到 实数 x ， 使 a=xb 成立， 同时要充分利用空 间向量的运算法则， 结合图形， 化简得出 a=xb ， 从而得出 a∥b ， 即向量 a 与 b 共线， 共线向量定理还可用于证明两直线平行或 证明三点共线 . 变式训练 2 如图 1-1-9 所示， 四边形 ABCD 和四边 形 ABEF 都是平行四边形， 且不共面， M ， N 分别是 AC ， BF 的中点， 判断 C 1" E 与 M 1" N 是 否共线？ 要点 3 相关概念 1. 线性组合： 表达式 xa+yb+zc 一般称 为向量 a ， b ， c 的线性组合或线性表达式 . 2. 基底： 空间中不共面的三个向量 a ， b ， c 组成的集合 {a ， b ， c} ， 常称为空间向 量的一组基底 . 3. 基向量： 基底 {a ， b ， c} 中 a ， b ， c 都称为基向量 . 4. 分解式： 如果 p=xa+yb+zc ， 则称 xa+ yb+zc 为 p 在基底 {a ， b ， c} 下的分解式 . 5. 拓展： 设 O ， A ， B ， C 是不共面的四 E A B C D F A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-1-8 图 1-1-9 E M A B C D N F 6 第一章 空间向量与立体几何 学 点， 则对空间任一点 P ， 都存在唯一的有序 实数组 {x ， y ， z} ， 使 O !" P =xO !" A +yO !" B +zO !" C ， 当且仅当 x+y+z=1 时 ， P ， A ， B ， C 四点 共面 . 思考 基向量和基底一样吗？ 0 能否 作为基向量？ 例 3 （ 1 ） 若 {a ， b ， c} 是空间的一 个基底， 试判断 {a+b ， b+c ， c+a} 能否作为 该空间的一个基底 . （ 2 ） 如图 1-1-10 ， 在 三棱柱 ABC鄄A′B′C′ 中， 已 知 AA !" ′=a ， A !" B =b ， A !" C =c ， 点 M ， N 分别是 BC′ ， B′C′ 的中点， 试用基底 {a ， b ， c} 表示向量 A !" M ， A !" N . 分析 （ 1 ） 判断 a+b ， b+c ， c+a 是否 共面， 若不共面， 则可作为一个基底， 否 则， 不能作为一个基底 . （ 2 ） 借助图形寻找待求向量与 a ， b ， c 的关系， 利用向量运算进行分析， 直至向 量用 a ， b ， c 表示出来 . 解： （ 1 ） 假设 a+b ， b+c ， c+a 共面， 则存在实数 λ ， μ 使得 a+b=λ （ b+c ） + μ （ c+a ）， ∴a+b=λb+μa+ （ λ+μ ） c. ∵ {a ， b ， c} 为基底 ， ∴a ， b ， c 不共 面 . ∴ 1=μ ， 1=λ ， 0=λ+μ μ % % % % % $ % % % % % & . 此方程组无解， ∴a+b ， b+c ， c+a 不共面 . ∴ {a+b ， b+c ， c+a} 可以作为空间的一 个基底 . （ 2 ） A !" M =A !" B +B !" M =A !" B + 1 2 BC !" ′ =A !" B + 1 2 （ BB !" ′+B !" C ） =A !" B + 1 2 BB !" ′+ 1 2 （ A !" C -A !" B ） =b+ 1 2 a+ 1 2 （ c-b ） =b+ 1 2 a+ 1 2 c- 1 2 b = 1 2 a+ 1 2 b+ 1 2 c. A !" N =AA !" ′+A′B !" ′+B′ !" N =AA !" ′+A′B !" ′+ 1 2 B′C !" ′ =a+b+ 1 2 （ A′C !" ′-A′B !" ′ ） =a+b+ 1 2 （ c-b ） =a+ 1 2 b+ 1 2 c. 反思感悟 用基底表示向量的步骤： （ 1 ） 定基底： 根据已知条件， 确定三 个不共面的向量构成空间的一个基底 . （ 2 ） 找目标： 用确定的基底 （或已知 基底） 表示目标向量， 需要根据三角形法 则及平行四边形法则， 结合相等向量的代 换、 向量的运算进行变形、 化简， 最后求 出结果 . （ 3 ） 下结论： 利用空间向量的一个基 底 {a ， b ， c} 可以表示出空间所有向量 . 表 示要彻底， 结果中只能含有 a ， b ， c ， 不能 含有其他形式的向量 . M A B C N A′ B′ C′ 图 1-1-10 7 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 3 （变条件） 若把例 3 （ 2 ） 中的 AA A" ′=a 改 为 AC A" ′=a ， 其他条件不变， 则结果又是什么？ 变式训练 4 （变条件、 变结论） 如图 1-1-11 所示， 例 3 （ 2 ） 中增加条件 “ P 在线段 AA′ 上， 且 AP=2PA′ ”， 试用基底 {a ， b ， c} 表示向量 M A" P . 数 学 文 化 例 粽子是由竹叶包裹糯米蒸制而成的 食品， 是中国传统节庆食物之一 . 粽子作为 中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一， 传播亦甚远 . 而大多数的粽子的形状是三棱 锥结构 ， 如图 1-1-12 设 O鄄ABC 是正三棱 锥， G 1 是 △ABC 的重心， G 是 OG 1 上的一 点， 且 OG=3GG 1 ， 若 O A" G =xO A" A +yO A" B +zO A" C ， 则 （ x ， y ， z ） 为 （ ） A. 1 4 ， 1 4 ， 1 4 4 % B. 3 4 ， 3 4 ， 3 4 4 % C. 1 3 ， 1 3 ， 1 3 4 % D. 2 3 ， 2 3 ， 2 3 4 % 分析 如图 1-1-12 所示， 连接 AG 1 并 延长交 BC 于点 M ， 则 M 为 BC 的中点， 利 用空间向量的运算法则求得 O A" G = 3 4 OG 1 A" = 1 4 O A" A + 1 4 O A" B + 1 4 O A" C ， 即得 （ x ， y ， z ） . 解析： 如图 1-1-12 所示， 连接 AG 1 并 延长交 BC 于点 M ， 则 M 为 BC 的中点， A A" M = 1 2 （ A A" B +A A" C ） = 1 2 （ O A" B -2O A" A +O A" C ）， AG 1 A" = 2 3 A A" M = 1 3 （ O A" B -2O A" A +O A" C ） . ∵OG=3GG 1 ， ∴O A" G =3GG 1 A" =3 （ OG 1 A" -O A" G ）， ∴O A" G = 3 4 OG 1 A" . 则 O A" G = 3 4 OG 1 A" = 3 4 （ O A" A +AG 1 A" ） = 3 4 O A" A + 1 3 O A" B - 2 3 O A" A + 1 3 O A" C 4 % = 1 4 O A" A + 1 4 O A" B + 1 4 O A" C ， ∴x= 1 4 ， y= 1 4 ， z= 1 4 ， 故选 A. M A B C A′ B′ C′ P a b c 图 1-1-11 M A B C G O G 1 图 1-1-12 8 参 考 答 案 ∴cos 〈 a ， b 〉 ＝ a · b ｜a｜｜b｜ ＝ - 3 2 3 ＝- 1 2 ， ∴ 〈 a ， b 〉 ＝120°. 故选 B. 13. -13 【解析】 ∵a+b+c＝0 ， ∴ （ a+b+c ） 2 ＝0 ， ∴a 2 +b 2 +c 2 +2 （ a · b+b · c+c · a ） ＝0 ， ∴a · b+b · c+c · a＝- 3 2 +1 2 +4 2 2 ＝-13. 14. 2 3 姨 【解析】 | A "# B + B "B C |＝| A "B C |＝2 ， E "B F ＝ 1 2 B "B D ， B "B D·B "B C ＝2×2×cos60°＝2 ， 故 | B "B C - E "B F | 2 ＝ B "B C - 1 2 B "B D 2 ＝ B "B C 2 - B "B C·B "B D + 1 4 B "B D 2 ＝4-2+ 1 4 ×4＝3 ， 故 | B "B C - E "B F |＝ 3 姨 . * 15. 解 ： ∵ M "B N ＝ M "B B + B "B C + C "B N ＝ 2 3 A "B B + （A "B C - A "B B） + 1 3 （A "B D - A "B C ） ＝- 1 3 A "B B + 1 3 A "B D + 2 3 A "B C ， ∴ M "B N·M "B N ＝ - 1 3 A "B B + 1 3 A "B D + 2 3 A "B C C ' 2 ＝ 1 9 A "# B 2 - 2 9 A "# D· A "# B + 4 9 A "# C·A "# D - 4 9 A "# B·A "# C + 1 9 A "# D 2 + 4 9 A "# C 2 ＝ 1 9 a 2 - 1 9 a 2 + 2 9 a 2 - 2 9 a 2 + 1 9 a 2 + 4 9 a 2 ＝ 5 9 a 2 ， 故 | M "# N |＝ M "# N·M "# N 姨 ＝ 5 姨 3 a ， 即 | M "# N |＝ 5 姨 3 a. 1.1.2 空间向量基本定理 学习手册 变式训练 1 证明： ∵E ， F ， G ， H 分别是所在三角形的 重心， ∴M ， N ， Q ， R 为所在边的中点 . 顺次连接 M ， N ， Q ， R ， 所得四边形为平行四边形， 且有P "# E ＝ 2 3 P "# M ， P "# F ＝ 2 3 P "# N ， P "# G ＝ 2 3 P "# Q ， P "# H ＝ 2 3 P "# R . ∵ 四边形 MNQR 为平行四边形， ∴ E "# G ＝ P "# G - P "# E ＝ 2 3 P "# Q - 2 3 P "# M ＝ 2 3 M "# Q ＝ 2 3 （M "# N + M "# R） ＝ 2 3 （P "# N - P "# M） + 2 3 （P "# R - P "# M） ＝ 2 3 3 2 P "# F - 3 2 P "# E C E + 2 3 3 2 P "# H - 3 2 P "# E C E ＝ E "# F + E "# H ， ∴ 由共面向量定理得E "# G ， E "# F ， E "# H 共面， ∴E ， F ， G ， H 四点共面 . 变式训练 2 解： C "# E 与M "# N 共线 . ∵M ， N 分别是 AC ， BF 的中点， 而四边形 ABCD 、 四边形 ABEF 都是平行四边形， ∴ M "# N ＝ M "# A + A "# F + F "# N ＝ 1 2 C "# A + A "# F + 1 2 F "# B . 又 ∵ M "# N ＝ M "# C + C "# E + E "# B + B "# N ＝- 1 2 C "# A + C "# E - A "# F - 1 2 F "# B ， ∴ 1 2 C "# A + A "# F + 1 2 F "# B ＝- 1 2 C "# A + C "# E - A "# F - 1 2 F "# B ， ∴ C "# E ＝ C "# A +2 A "# F + F "# B ＝2 （M "# A + A "# F + F "# N） ＝2 M "# N ， ∴ C "# E ∥ M "B N ， 即C "B E 与M "B N 共线 . 变式训练 3 解： A "B M ＝ A "B B + B "B M ＝ A "B B + 1 2 BC "B ′ ＝ A "B B + 1 2 （AC "B ′ - A "B B） ＝b+ 1 2 （ a-b ） ＝ 1 2 a+ 1 2 b. A "B N ＝ AC "B ′ + C′ "B N ＝ AC "B ′ + 1 2 C′B "B ′ ＝ AC "B ′ - 1 2 B′C "B ′ ＝ AC "B ′ - 1 2 （A′C "B ′ - A′B "B ′） ＝a- 1 2 （ c-b ） ＝a+ 1 2 b- 1 2 c. 变式训练 4 解： M "B P ＝ MC "B ′ + C′A "B ′ + A′ "B P ＝ 1 2 BC "B ′ - A′C "B ′ - 1 3 AA "B ′ ＝ 1 2 （BB "B ′ + B "B C） - A "B C - 1 3 AA "B ′ ＝ 1 2 ［AA "B ′ + （A "B C - A "B B）］ - A "B C - 1 3 AA "B ′ ＝ 1 2 （ a+c-b ） -c- 1 3 a ＝ 1 6 a- 1 2 b- 1 2 c. 随堂练习 1. D 【解析】 由O "B A ， O "B B ， O "B C 不能构成基底， 知 O "B A ， O "B B ， O "B C 三向量共面， ∴O ， A ， B ， C 四点共面 . 故选 D. 2. D 【解析】 根据基底的概念， 知空间中任何三个 不共面的向量都可作为空间的一组基底， 否则就不能构 成空间的一组基底， 显然 ② 正确 . 由B "B A ， B "B M ， B "B N 共面 且过相同点 B ， 故 A ， B ， M ， N 共面， 故 ③ 正确 . 假设 d 与 a ， b 共面， 则存在实数 λ ， μ ， 使 d＝λa+μb ， ∵d 与 c 共线， c≠0 ， ∴ 存在实数 k ， 使 d＝kc. ∵d≠0 ， ∴k≠ 0 ， 从而 c＝ λ k a+ μ k b ， ∴c 与 a ， b 共面与条件矛盾， ∴d 与 a ， b 不共面， 故 ① 正确 . 同理可证 ④ 也是正确的 . 故选 D. 3. - 2 3 a+ 1 2 b+ 1 2 c 【解析】 G "B H ＝ P "B H - P "B G ＝ 1 2 （ b+c ） - 2 3 a. 4. 2 【解析】 如图， 由已知 O "B G ＝ 3 4 OG 1 "B ＝ 3 4 （O "B A + AG 1 "B ） ＝ 3 4 O "B A + 1 3 （A "B B + A "B C C , ） ＝ 3 4 O "B A + 1 4 ［（O "B B - O "B A） + （O "B C - O "B A）］ ＝ 1 4 O "B A + 1 4 O "B B + 1 4 O "B C ， ∴x＝y＝z＝ 1 4 ， ∴2x+4y+2z＝2. 5. 解： 如图， 在平行六面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， 连 接 AC ， AD 1 . （ 1 ） A "B P ＝ 1 2 （A "B C + AA 1 "B ） G O G 1 A B C 第 4 题答图 23 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ＝ 1 2 （A !" B + A !" D + AA 1 !" ） ＝ 1 2 （ a+b+c ） . （ 2 ） A !" M ＝ 1 2 （A !" C + AD 1 !" ） ＝ 1 2 a+b+ 1 2 c. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 p＝2a＝m+n ， 即 p 可由 m ， n 线性表示， ∴m ， n ， p 共面 . 故选 D. 2. B 【解析】 ∵ O !" P ＝ 1 3 O !" A + 1 3 O !" B + 1 3 O !" C ， ∴3 O !" P ＝ O !" A + O !" B + O !" C ， ∴ O !" P - O !" A ＝ （O !" B - O !" P） + （O !" C - O !" P ）， ∴ A !" P ＝ P !" B + P !" C ， ∴ P !" A ＝- P !" B - P !" C ， ∴P ， A ， B ， C 共面 . 故选 B. 3. D 【解析】 如图， 由条件 AF＝ 1 2 EF 知， EF＝2AF ， ∴AE＝AF+EF＝3AF ， ∴ A !" F ＝ 1 3 A !" E ＝ 1 3 （AA !" ′ + A′ !" E） ＝ 1 3 AA !" ′ + 1 2 A′C !" ′ ′ $ ＝ 1 3 AA !" ′ + 1 6 （A′D !" ′ + A′B !" ′） ＝ 1 3 AA !" ′ + 1 6 A !" D + 1 6 A !" B . 故选 D. 4. C 【解析】 ∵a＝ 1 2 p+ 1 2 q ， ∴a 与 p ， q 共面 . ∵b＝ 1 2 p- 1 2 q ， ∴b 与 p ， q 共面 . ∵ 不存在 λ ， μ ， 使 c＝λp+ μq ， ∴c 与 p ， q 不共面， 故 {c ， p ， q} 可作为空间的一 组基底， 故选 C. 5. B 【解析】 由 6 O !" P ＝ O !" A +2 O !" B +3 O !" C 得， O !" P - O !" A ＝ 2 （O !" B - O !" P） +3 （O !" C - O !" P ）， 即A !" P ＝2 P !" B +3 P !" C ， ∴ A !" P ， P !" B ， P !" C 共面 . 又 ∵ 它们有同一公共点 P ， ∴P ， A ， B ， C 四点 共面 . 故选 B. 6. 1 -1 【解析】 ∵m 与 n 共线， ∴ 存在实数 λ ， 使 m＝λn ， 即 a-b+c＝λxa+λyb+λc ， 于是有 1=λx ， -1=λy ， 1=λ 姿 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解得 x=1 ， y=-1 1 . 7. x＝y＝z＝0 【解析】 若 x≠0 ， 则 a＝- y x b- z x c ， 即 a 与 b ， c 共面， 由 {a ， b ， c} 是空间的一组基底知 a ， b ， c 不共面， 故 x＝0. 同理 y＝z＝0. 8. - 1 2 a+ 1 2 b-c 【解析】 B 1 !" M ＝ A !" M - AB 1 !" ＝ 1 2 （A !" B + A !" D） - （A !" B + AA 1 !" ） ＝- 1 2 A !" B + 1 2 A !" D - AA 1 !" ＝- 1 2 a+ 1 2 b-c. 9. 解： 连接 AC ， AD′ ， AC′ （图略） . （ 1 ） A !" P ＝ 1 2 （A !" C + AA !" ′） ＝ 1 2 （A !" B + A !" D + AA !" ′） ＝ 1 2 （ a+b+c ） . （ 2 ） A !" M ＝ 1 2 （A !" C + AD !" ′） ＝ 1 2 （A !" B +2 A !" D + AA !" ′） ＝ 1 2 a+b+ 1 2 c. （ 3 ） A !" N ＝ 1 2 （AC !" ′ + AD !" ′） ＝ 1 2 ［（A !" B + A !" D + AA !" ′） + （A !" D + AA !" ′）］ ＝ 1 2 （A !" B +2 A !" D +2 AA !" ′） ＝ 1 2 a+b+c. （ 4 ） A !" Q ＝ A !" C + C !" Q ＝ A !" C + 4 5 （AA !" ′ - A !" C） ＝ 1 5 A !" C + 4 5 AA !" ′ ＝ 1 5 A !" B + 1 5 A !" D + 4 5 AA !" ′ ＝ 1 5 a+ 1 5 b+ 4 5 c. 10. 证明： ∵ O !" A + A !" B ＝ O !" B ， ∴kO !" A +kA !" B ＝kO !" B ， 而 O !" E ＝kO !" A ， O !" F ＝kO !" B ， ∴O !" E +kA !" B ＝k （O !" A+A !" B）＝kO !" B ＝ O !" F . 又 ∵O !" E +E !" F ＝O !" F ， ∴E !" F ＝kA !" B ， 同理E !" H ＝kA !" D ， E !" G ＝kA !" C . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ A !" C ＝ A !" B + A !" D ， ∴ E !" G k ＝ E !" F k + E !" H k ， 即E !" G ＝ E !" F + E !" H . 又 ∵ 它们有同一个 公共点 E ， ∴ 点 E ， F ， G ， H 共面 . 提升练习 11. B 【解析】 如图， O !" G ＝ 1 2 （O !" M + O !" N） ＝ 1 2 O !" M + 1 2 × 1 2 （O !" B + O !" C） ＝ 1 4 O !" A + 1 4 O !" B + 1 4 O !" C ＝ 1 4 （O !" A + O !" B + O !" C） . 故选 B. 12. BCD 【解析】 ∵M ， N 分别是四面体 OABC 的边 OA ， BC 的中点， P ， Q 是 MN 的三等分点 （ Q 靠近点 M ）， ∴ A !" B ＝ O !" B - O !" A ， B !" C ＝ O !" C - O !" B ， ∴ M !" N ＝ M !" A + A !" B + B !" N ＝ 1 2 O !" A + A !" B + 1 2 B !" C ＝ 1 2 O !" A + （O !" B - O !" A） + 1 2 （O !" C - O !" B） ＝- 1 2 O !" A + 1 2 O !" B + 1 2 O !" C ， ∴ O !" Q ＝ O !" M + M !" Q ＝ 1 2 O !" A + 1 3 M !" N ＝ 1 2 O !" A - 1 6 O !" A + 1 6 O !" B + 1 6 O !" C ＝ 1 3 O !" A + 1 6 O !" B + 1 6 O !" C . 故选 BCD. E F A′ B′ C′ D′ A B C D 第 3 题答图 M N G O A B C 第 11 题答图 第 5 题答图 M A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D P 24 参 考 答 案 13. 3a- 5 2 b+3c 不能 【解析】 E !" F ＝ 1 2 （E !" D + E !" B） ＝ 1 4 （A !" D + C !" D） + 1 4 （A !" B + C !" B）＝ 1 4 A !" B+ 1 4 B !" D+ 1 4 C !" D+ 1 4 A !" B+ 1 4 C !" D+ 1 4 D !" B＝ 1 2 （A !" B+C !" D）＝3a- 5 2 b+3c. 假设A !" B ， C !" D ， E !" F 共面 ， 则E !" F ＝λA !" B +μC !" D ＝λa- 2λc+5μa-5μb+8μc＝ （ λ+5μ ） a-5μb+ （ 8μ-2λ ） c＝3a- 5 2 b+3c. ∴ λ+5μ=3 ， -5μ=- 5 2 ， 8μ-2λ=3 3 % % % % % $ % % % % % & ， 解得 λ= 1 2 ， μ= 1 2 3 % % % % 2 % % % % & ， ∴E !" F ， A !" B ， C !" D 共面， ∴ 不能构成一组基底 . 14. 4 3 【解析】 设A !" B ＝a ， A !" D ＝b ， 则A !" C ＝a+b ， A !" E ＝ 1 2 a+b ， A !" F ＝a+ 1 2 b ， ∴λA !" E +μA !" F ＝λ 1 2 a+ + ) b +μ a+ 1 2 + 2 b ＝ 1 2 λ+ + 2 μ a+ λ+ 1 2 + 2 μ b ， ∴a+b＝ 1 2 λ+ + 2 μ a+ λ+ 1 2 + 2 μ b ， ∴ 1 2 λ+μ=1 ， λ+ 1 2 μ=1 3 % % % % 2 % % % % & ， ∴ λ= 2 3 ， μ= 2 3 3 % % % % 2 % % % % & ， ∴λ+μ＝ 4 3 . * 15. 解： 在长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， O 为 AC 的 中点 . （ 1 ） A 1 !" O - 1 2 A !" B - 1 2 A !" D ＝A 1 !" O - 1 2 （A !" B+A !" D） ＝A 1 !" O - 1 2 A !" C ＝A 1 !" O -A !" O ＝A 1 !" O +O !" A ＝A 1 !" A . （ 2 ） ∵E 是棱 DD 1 上的点， 且D !" E ＝ 2 3 DD 1 !" ， ∴O !" E ＝O !" D +D !" E ＝ 1 2 B !" D + 2 3 DD 1 !" ＝ 1 2 （B !" A+B !" C）+ 2 3 AA 1 !" ＝ 1 2 B !" A + 1 2 B !" C + 2 3 AA 1 !" ＝- 1 2 A !" B + 1 2 A !" D + 2 3 AA 1 !" ， ∴E !" O ＝-O !" E ＝ 1 2 A !" B - 1 2 A !" D - 2 3 AA 1 !" . 又 ∵E !" O ＝xA !" B +yA !" D +zAA 1 !" ， ∴x＝ 1 2 ， y＝- 1 2 ， z＝- 2 3 . 阶段性练习卷 （一） 1. A 【解析】 根据空间向量的基本概念知四个命题 都不对 . 故选 A. 2. B 【解析】 由 6O !" P ＝ O !" A +2 O !" B +3 O !" C ， 得（O !" A - O !" P） ＝ 2 （O !" P - O !" B） +3 （O !" P - O !" C ）， 即P !" A ＝2B !" P +3C !" P . 由共面向量定理， 知 P ， A ， B ， C 四点共面 . 故选 B. 3. C 【解析】 A !" B ＝A !" C +C !" D +D !" B ， ∴A !" B·C !" D＝ （A !" C+C !" D+D !" B）·C !" D＝A !" C·C !" D +C !" D 2 +D !" B·C !" D ＝0+1 2 +0＝1. 又 ∵|A !" B |＝2 ， |C !" D |＝1 ， ∴cos 〈A !" B ， C !" D 〉＝ A !" B·C !" D ｜A !" B ｜｜C !" D ｜ ＝ 1 2×1 ＝ 1 2 . ∴a 与 b 所成的角是 60°. 故选 C. 4. C 【解析】 ∵ （ a+b ） + （ a-b ） =2a ， ∴ 向量 a ， a+b ， a-b 是共面向量， 因此这三个向量不能构成基底， 故 A 不符合题意； ∵ （ a+b ） + （ -1 ）（ a-b ） =2b ， ∴ 向量 b ， a+b ， a-b 是共面向量， 因此这三个向量不能构成基底， 故 B 不符合题意； ∵ {a ， b ， c} 为空间的一组基底， ∴ 这三 个向量不共面， 若 c ， a+b ， a-b 不构成一组基底， 则有 c=x （ a+b ） +y （ a-b ） 圯c= （ x+y ） a+ （ x-y ） b ， ∴ 向量 a ， b ， c 是共面向量， 这与这三个向量不共面矛盾， 故假设不正 确， 因此 c ， a+b ， a-b 能构成一组基底， 故 C 符合题 意； ∵2a+b= 3 2 （ a+b ） + 1 2 （ a-b ）， ∴ 向量 a+b ， a-b ， 2a+b 是共面向量， 因此 a+b ， a-b ， 2a+b 不能构成一组基底， 故 D 不符合题意 . 故选 C. 5. C 【解析】 如图， O !" G=O !" M+M !" G =O !" M+ 2 3 M !" N =O !" M+ 2 3 （M !" O+O !" C+C !" N） = 1 3 O !" M+ 2 3 O !" C+ 1 3 （O !" B-O !" C） = 1 6 O !" A+ 1 3 O !" B+ 1 3 O !" C， 故选 C. 6. A 【解析 】 如图所示 ， 连接 AG 1 交 BC 于点 E ， 则 E 为 BC 中点， A !" E= 1 2 （A !" B+A !" C）=- 1 2 （O !" B-2O !" A+O !" C）， AG 1 !" = 2 3 A !" E= 1 3 （O !" B-2O !" A+O !" C）. ∵O !" G=3GG 1 !" =3 （OG 1 !" -O !" G）， ∴OG= 3 4 OG 1 ， 则O !" G= 3 4 OG 1 !" = 3 4 （O !" A+AG 1 !" ） = 3 4 O !" A+ 1 3 O !" B- 2 3 O !" A+ 1 3 O !" C + 2 = 1 4 O !" A+ 1 4 O !" B+ 1 4 O !" C. 故选 A. 7. ACD 【解析】 若向量 a ， b 与空间任意向量都不 能构成基底， 则两个向量只能为共线向量， 即 a∥b ， 故 A 正确； 若非零向量 a ， b ， c 满足 a⊥b ， b⊥c ， 则 a 与 c M N G O A B C G O G 1 A B C E 第 5 题答图 第 6 题答图 25