1.1.1 空间向量及其运算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第一章 空间向量与立体几何 学 学 习 目 标 1. 了解空间向量、 向量的模、 零向量、 相反向量、 相等向量、 共面向量等概念 . 2. 会用平行四边形法则、 三角形法则作 出向量的和与差， 掌握向量加法、 数乘向量 运算的意义及运算律 . 3. 掌握两个向量数量积的概念、 性质及 运算律 . 要 点 精 析 要点 1 空间向量的概念 1. 定义： 空间中既有大小又有方向的量 称为空间向量 . 2. 模 （或长度）： 向量的大小 . 3. 表示方法 （ 1 ） 几何表示法： 可以用有向线段来直 观地表示向量， 如始点为 A 终点为 B 的向 量， 记为 A A" B ， 模为 |A A" B | ； （ 2 ） 字母表示法： 可以用字母 a ， b ， c 表示， 模为 |a| ， |b| ， |c|. 4. 零向量： 始点和终点相同的向量称为 零向量， 记作 0. 5. 单位向量： 模等于 1 的向量称为单位 向量 . 6. 相等向量： 大小相等、 方向相同的向 量称为相等向量 . 7. 相反向量： 与向量 a 长度相等而方向 相反的向量， 称为 a 的相反向量， 记为 -a. A A" B 的相反向量为 B A" A . 8. 平行向量： 方向相同或者相反的两个 非零向量互相平行， 此时表示这两个非零向 量的有向线段所在的直线平行或重合 . 通常 规定零向量与任意向量平行 . 9. 共面向量： 一般地， 空间中的多个向 量， 如果表示它们的有向线段通过平移后， 都能在同一平面内， 则称这些向量共面 . 思考 空间中任意两个向量是否一定 能够平移到同一个平面内？ 例 1 下列命题中， 假命题是 （ ） A. 同平面向量一样， 任意两个空间向 量都不能比较大小 B. 两个相等的向量， 若起点相同， 则终 点也相同 C. 只有零向量的模等于 0 D. 共线的单位向量都相等 解析： 向量是有向线段， 不能比较大 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 1 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 小， 故 A 为真命题； 两向量相等， 则方向相 同， 模长相等， 起点相同， 则终点也相同， 故 B 为真命题； 模为 0 的向量为零向量， 故 C 为真命题； 共线的单位向量是相等向量或 相反向量， 故 D 为假命题 . 故选 D. 例 2 如图 1-1-1 所示， 以长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的 八个顶点中的两点为始点和 终点的向量中： （ 1 ） 试写出与 A A" B 是相等向量的所有向量； （ 2 ） 试写出 AA 1 A" 的相反向量； （ 3 ） 若 AB=AD=2 ， AA 1 =1 ， 求向量 AC 1 A" 的模 . 解： （ 1 ） 与向量 A A" B 是相等向量的 （除 它自身之外） 有 A 1 B 1 A" ， D A" C 及 D 1 C 1 A" . （ 2 ） 向量 AA 1 A" 的相反向量为 A 1 A" A ， B 1 A" B ， C 1 A" C ， D 1 A" D . （ 3 ） |AC 1 A" |= |A A" B | 2 +|A A" D | 2 +|AA 1 A" | 2 姨 = 2 2 +2 2 +1 2 姨 = 9 姨 =3. 反思感悟 两个向量的模相等， 则它们的长度相等， 但方向不确定， 即两个向量 （非零向量） 的 模相等是两个向量相等的必要不充分条件 . 变式训练 1 如图 1-1-2 ， 在平行六 面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， 有 下列四对 向 量 ： ① A A" B 与 C 1 D 1 A" ； ②AC 1 A" 与 BD 1 A" ； ③AD 1 A" 与 C 1 A" B ； ④A 1 A" D 与 B 1 A" C . 其中互为相反向量的 有 n 对， 则 n 等于 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 要点 2 空间向量的线性运算 1. 三角形法则： 一般地， 空间中给定两 个向量 a ， b ， 在该空间中任取一点 A ， 作 A A" B =a ， B A" C =b ， 再作向量 A A" C ， 则向量 A A" C 称 为向量 a 与 b 的和 （或和向量） . 2. 平行四边形法则： 已知不共线的向量 a ， b ， 作 A A" B =a ， A A" D =b ， 以向量 A A" B ， A A" D 为 邻边作平行四边形 ABCD ， 则对角线上的向 量 A A" C 为向量 a ， b 的和向量 . 3. 多边形法则： 已知 n 个向量， 依次把 这 n 个向量首尾相连， 以第一个向量的始点 为始点， 第 n 个向量的终点为终点的向量称 为这个向量的和向量 . 4. 向量加法运算律 交换律： a+b=b+a ； 结合律： （ a+b ） +c=a+ （ b+c ） . 思考 能否借助空间图形说明加法结 合律的合理性？ 例 3 （ 1 ） 如图 1-1-3 （ A ） 所示， 在 三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中， N 是 A 1 B 的中点， 若 C A" A =a ， C A" B =b ， CC 1 A" =c ， 则 C A" N = （ ） A. 1 2 （ a＋b-c ） B. 1 2 （ a＋b＋c ） C. a＋b＋ 1 2 c D. a＋ 1 2 （ b＋c ） A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-1-1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-1-2 A B C N A 1 B 1 C 1 A B C D A′ B′ C′ D′ 图 1-1-3 （ A ） 图 1-1-3 （ B ） 2 第一章 空间向量与立体几何 学 （ 2 ） 如图 1-1-3 （ B ） 所示， 已知长方 体 ABCD鄄A′B′C′D′ ， 化简下列向量表达式， 并在图中标出化简结果的向量 . ①AA A" ′-C A" B ； ②AA A" ′＋A A" B ＋B′C A" ′. （ 1 ） 解析： 若 AB 中点为 D ， 则 C A" N =C A" D ＋D A" N = 1 2 （ a＋b＋c ）， 故选 B. （ 2 ） 解 ： ①AA A" ′-C A" B =AA A" ′-D A" A =AA A" ′＋ A A" D =AD A" ′. ②AA A" ′＋A A" B ＋B′C A" ′= （ AA A" ′＋A A" B ） ＋B′C A" ′=AB A" ′ ＋B′C A" ′=AC A" ′. 在图中标出略 . 变式训练 2 如图 1-1-4 所示， 在 平行六面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 设 AA 1 A" =a ， A A" B =b ， A A" D =c ， M ， N ， P 分别是 AA 1 ， BC ， C 1 D 1 的 中 点 ， 试用 a ， b ， c 表示以下各向量： （ 1 ） A A" P ； （ 2 ） A 1 A" N ； （ 3 ） M A" P ＋NC 1 A" . 要点 3 数量积的运算及应用 1. 空间向量数量积的定义 已知两个非零向量 a ， b ， 则 |a||b|cos 〈 a ， b 〉 称为 a ， b 的数量积 （或内积）， 记作 a · b. 2. 数量积的几何意义 a 与 b 的数量积等于 a 在 b 上的投影 a′ 的数量与 b 的长度的乘积， 特别地， a 与单 位向量 e 的数量积等于 a 在 e 上的投影 a′ 的 数量 . 规定零向量与任意向量的数量积为 0. 3. 空间向量数量积的性质 （ 1 ） a⊥b圳a · b=0. （ 2 ） a · a=|a| 2 =a 2 . （ 3 ） |a · b|≤|a||b|. （ 4 ） （ λa ）· b=λ （ a · b ） . （ 5 ） a · b=b · a （交换律） . （ 6 ） （ a＋b ）· c=a · c＋b · c （分配律） . 例 4 如图 1-1-5 所示， 已知正四面体 O鄄ABC 的棱长为 1 ， 点 E ， F 分别是 OA ， OC 的中点 . 求下列向量的数量积： （ 1 ） O A" A · O A" B ； （ 2 ） E A" F · C A" B ； （ 3 ） （ O A" A ＋O A" B ）·（ C A" A ＋C A" B ） . 分析 根据数量积的定义进行计算， 求出每组向量中每个向量的模以及两向量 的夹角， 注意充分结合正四面体的特征 . 解： （ 1 ） 正四面体的棱长为 1 ， 则 |O A" A | =|O A" B |=1. △OAB 为等边三角形， ∠AOB=60° ， 故 O A" A · O A" B =|O A" A | |O A" B |cos 〈 O A" A ， O A" B 〉 = |O A" B ||O A" B |cos∠AOB=1×1×cos60°= 1 2 . （ 2 ） 由于 E ， F 分别是 OA ， OC 的中点， ∴EF ∥ = 1 2 AC ， ∴E A" F · C A" B =|E A" F ||C A" B |cos 〈 E A" F ， C A" B 〉 = 1 2 |C A" A | · |C A" B |cos 〈 A A" C ， C A" B 〉 M A B C D N P A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-1-4 E A B C O F 图 1-1-5 3 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 = 1 2 ×1×1×cos 〈 A !" C ， C !" B 〉 = 1 2 ×1×1×cos120°=- 1 4 . （ 3 ） （ O !" A ＋O !" B ）·（ C !" A ＋C !" B ） = （ O !" A ＋O !" B ）·（ O !" A -O !" C ＋O !" B -O !" C ） = （ O !" A ＋O !" B ）·（ O !" A ＋O !" B -2O !" C ） =O !" A 2 ＋O !" A · O !" B -2O !" A · O !" C ＋O !" B · O !" A ＋ O !" B 2 -2O !" B · O !" C =1＋ 1 2 -2× 1 2 ＋ 1 2 ＋1-2× 1 2 =1. 变式训练 3 （变条件， 变结论） 在例 4 中， 若 H 为 BC 的中点， 其他条件不变， 求 EH 的长 . 变式训练 4 （变结论） 在例 4 中， 求异面直线 OH 与 BE 所成角的余弦值 . 反思感悟 在几何体中求空间向量的数量积的 步骤： （ 1 ） 首先将各向量分解成已知模和夹 角的向量的组合形式 . （ 2 ） 利用向量的运算律将数量积展开， 转化成已知模和夹角的向量的数量积 . （ 3 ） 根据向量的方向， 正确求出向量 的夹角及向量的模 . （ 4 ） 代入公式 a · b=|a | · |b | · cos 〈 a ， b 〉 求解 . 数 学 文 化 例 晶胞是能完整反映晶体内部原子或 离子在三维空间分布之化学 - 结构特征的平 行六面体单元 . 整块晶体可以看成是无数晶 胞无隙并置而成的 . 已知在平行六面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， 以顶点 A 为端点的三条 棱长均为 1 ， 且它们彼此的夹角都是 60° ， 则 AC 1 的长为 （ ） A. 6 B. 6 姨 C. 9 2 D. 3 2 姨 2 分析 由空间向量加法的几何意义可 得 AC 1 !" =A !" D +A !" B +AA 1 !" ， 再利用向量数量积 的运算律求AC 1 !" 即可 . 解析 ： 由题设可得示意图如图 1-1-6 所示， ∴AC 1 !" =A !" C +CC 1 !" =A !" D +A !" B +AA 1 !" . 又 ∵ 以 A 为端点的三条棱长均为 1 ， 且彼此的夹角 都是 60° ， ∴AC 1 !" 2 =A !" D 2 +A !" B 2 +AA 1 !" 2 +2A !" D · A !" B +2A !" B · AA 1 !" +2A !" D · AA 1 !" =6 ， 即 |AC 1 !" |= 6 姨 . 故选 B. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 1-1-6 4 参 考 答 案 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 A !" B 与C 1 D 1 !" ， AD 1 !" 与C 1 !" B 长度相 等， 方向相反， 互为相反向量； AC 1 !" 与BD 1 !" 长度相等， 方向不相反； A 1 !" D 与B 1 !" C 长度相等， 方向相同. 故互为相 反向量的有 2 对 . 故选 B. 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵P 是 C 1 D 1 的中点， ∴A !" P ＝ AA 1 !" + A 1 D 1 !" + D 1 !" P ＝a+ A !" D + 1 2 D 1 C 1 !" ＝a+c+ 1 2 A !" B ＝a+c+ 1 2 b. （ 2 ） ∵N 是 BC 的中点， ∴A 1 !" N ＝ A 1 !" A + A !" B + B !" N ＝-a+b+ 1 2 B !" C ＝-a+b+ 1 2 A !" D ＝-a+b+ 1 2 c. （ 3 ） ∵M 是 AA 1 的中点， ∴M !" P ＝ M !" A + A !" P ＝ 1 2 A 1 !" A + A !" P ＝- 1 2 a+ a+c+ 1 2 2 $ b ＝ 1 2 a+ 1 2 b+c. 又 ∵NC 1 !" ＝ N !" C + CC 1 !" ＝ 1 2 B !" C + AA 1 !" ＝ 1 2 A !" D + AA 1 !" ＝ 1 2 c+a ， ∴M !" P + NC 1 !" ＝ 1 2 a+ 1 2 b+ + & c + a+ 1 2 + & c ＝ 3 2 a+ 1 2 b+ 3 2 c. 变式训练 3 解： 如图， 由题意知 O !" H ＝ 1 2 （O !" B + O !" C ）， O !" E ＝ 1 2 O !" A ， ∴E !" H ＝ O !" H - O !" E ＝ 1 2 （O !" B + O !" C - O !" A ）， ∴|E !" H | 2 ＝ 1 4 （O !" B 2 + O !" C 2 + O !" A 2 +2 O !" B·O !" C -2 O !" B·O !" A - 2 O !" C·O !" A ） . 又 ∵|O !" B |＝| O !" C |＝| O !" A |＝1 ， 且 〈O !" B ， O !" C 〉 ＝ 60° ， 〈O !" B ， O !" A 〉 ＝60° ， 〈O !" C ， O !" A 〉 ＝60°. ∴ O !" B·O !" C ＝ 1 2 ， O !" B·O !" A ＝ 1 2 ， O !" C·O !" A ＝ 1 2 . ∴| E !" H | 2 ＝ 1 4 1+1+1+2× 1 2 + - 2× 1 2 -2× 1 2 & ＝ 1 2 ， 即|E !" H |＝ 2 姨 2 ， ∴EH 的长为 2 姨 2 . 变式训练 4 解： 在 △AOB 及 △BOC 中， 易知 BE＝OH＝ 3 姨 2 . 又 ∵B !" E ＝ 1 2 O !" A - O !" B ， O !" H ＝ 1 2 （O !" B + O !" C ）， ∴B !" E· O !" H ＝ 1 4 O !" A·O !" B + 1 4 O !" A·O !" C - 1 2 O !" B 2 - 1 2 O !" B·O !" C ＝ 1 4 × 1 2 + 1 4 × 1 2 - 1 2 - 1 2 × 1 2 ＝- 1 2 . ∴cos 〈 B !" E ， O !" H 〉 ＝ B !" E·O !" H ｜B !" E ｜｜ O !" H ｜ ＝- 2 3 . 又 ∵ 异面直线所成角的范围为 0 ， 仔 2 2+ ， 故异面直线 OH 与 BE 所成角的余弦值为 2 3 . 随堂练习 1. A 【解析 】 四个选项中两个向量的夹角依次是 45° ， 135° ， 90° ， 180° ， 故选 A. 2. D 【解析】 A !" E·A !" F ＝ 1 2 （A !" B + A !" C）· 1 2 A !" D ＝ 1 4 （A !" B· A !" D + A !" C·A !" D） ＝ 1 4 × （ 2+2 ） ＝1. 故选 D. 3. 0 【解析】 2A !" B +2 B !" C +3 C !" D +3 D !" A + A !" C ＝2 （A !" B + B !" C + C !" D + D !" A） + C !" D + D !" A + A !" C ＝0+C !" A + A !" C ＝0+0＝0. 4. 22 【解析】 ∵|a+b| 2 ＝a 2 +2a · b+b 2 ＝13 2 +2a · b+19 2 ＝24 2 ， ∴2a · b＝46 ， |a-b| 2 ＝a 2 -2a · b+b 2 ＝530-46＝484 ， ∴|a-b|＝22. 5. A 【解析】 若 SC 与 BD 垂直， 又 ∵SA 与 BD 垂直， 则平面 SAC 与 BD 垂直， 则 AC 与 BD 垂直， 与 AC 与 BD 不一定垂直矛盾， ∴SC 与 BD 不一定垂直， 即向量 S !" C ， B !" D 不一定垂直， 则向量S !" C ， B !" D 的数量积不一定 为 0 ， 故 A 符合题意； 有 SA⊥ 平面 ABCD ， 则 SA⊥AD ， 又由 AD⊥AB ， 则有 AD⊥ 平面 SAB ， 进而有 AD⊥SB ， 即向量D !" A ， S !" B 一定垂直， 则向量D !" A ， S !" B 的数量积一 定为 0 ， 故 B 不符合题意； 有 SA⊥ 平面 ABCD ， 则 SA⊥ AB ， 又由 AD⊥AB ， 则有 AB⊥ 平面 SAD ， 进而有 AB⊥ SD ， 即向量S !" D ， A !" B 一定垂直， 则向量S !" D ， A !" B 的数量积 一定为 0 ， 故 C 不符合题意； 有 SA⊥ 平面 ABCD ， 则 SA⊥ CD ， 即向量SA !" ， C !" D 一定垂直， 则向量S !" A ， C !" D 的数量积 一定为 0 ， 故 D 不符合题意 . 故选 A． 6. 解： ∵∠ACD=90° ， 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠BAC=90° ， ∴ A !" C·C !" D =0 ， B !" A·A !" C =0. ∵AB 与 CD 成 第一章 空间向量与立体几何 参 考 答 案 E H O A B C 变式训练 3 答图 21 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 60° 角， ∴ 〈B !" A ， C !" D 〉 =60° 或 120° ， ∴｜ B !" D ｜ 2 =｜ B !" A + A !" C + C !" D ｜ 2 =｜ B !" A ｜ 2 +｜ A !" C ｜ 2 +｜ C !" D ｜ 2 +2 B !" A·A !" C +2 B !" A·C !" D +2 A !" C·C !" D = 3+2 ｜ B !" A ｜ · ｜ C !" D ｜cos 〈B !" A ， C !" D 〉 =3+2cos 〈B !" A ， C !" D 〉 . 当 〈B !" A ， C !" D 〉 =60° 时， ｜ B !" D ｜ 2 =4 ， 解得 ｜ B !" D ｜＝２ ； 当 〈B !" A ， C !" D 〉 =120° 时， ｜ B !" D ｜ 2 =2 ， 解得 ｜ B !" D ｜= 2 姨 . ∴BD 的长为 2 或 2 姨 . 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 ∵a+b+c＝0 ， ∴a+b＝-c ， （ a+b ） 2 ＝|a| 2 +|b| 2 + 2ab＝|c| 2 ， ∴a · b＝ 3 2 ， ∴cos 〈 a · b 〉 ＝ a · b ｜a｜｜b｜ ＝ 1 4 . 故选 D. 2. D 【解析】 根据空间向量的加法法则以及正方体 的性质逐一进行判断： ① （A !" B + B !" C ） + CC 1 !" ＝ A !" C + CC 1 !" ＝ AC 1 !" . ② （AA 1 !" + A 1 D 1 !" ） + D 1 C 1 !" ＝ AD 1 !" + D 1 C 1 !" ＝ AC 1 !" . ③ （A !" B + BB 1 !" ） + B 1 C 1 !" ＝ AB 1 !" + B 1 C 1 !" ＝ AC 1 !" . ④ （AA 1 !" + A 1 B 1 !" ） + B 1 C 1 !" ＝ AB 1 !" + B 1 C 1 !" ＝ AC 1 !" . 故所给 4 个式子的运算结果都是AC 1 !" . 故选 D. 3. B 【解析 】 由题意可得F !" G ＝ 1 2 A !" C ， ∴ F !" G·A !" B ＝ 1 2 ×1×1×cos60°＝ 1 4 . 故选 B. 4. D 【解析】 如图所示， ∵ O !" A· B !" C ＝ O !" A·（O !" C - O !" B） ＝ O !" A·O !" C - O !" A· O !" B ＝| O !" A | · | Ｏ !" Ｃ ｜ · cos∠AOC-| O !" A ｜ · | O !" B | · cos∠AOB＝0 ， ∴ O !" A ⊥ B !" C ， ∴ 〈O !" A ， B !" C 〉 ＝ 仔 2 ， cos 〈O !" A ， B !" C 〉 ＝0. 故选 D. 5. D 【解析】 如图所示， O !" G ＝ O !" A + A !" G ＝ O !" A + 1 3 （A !" B + A !" C ） ＝ O !" A + 1 3 （O !" B - O !" A + O !" C - O !" A） ＝ 1 3 （ a+b+c ） . 故选 D. 6. 3 4 仔 【解析 】 cos 〈 a · b 〉 ＝ a · b ｜a｜｜b｜ ＝ - 2 姨 2 2 姨 × 2 姨 2 ＝ - 2 姨 2 ， 又 ∵ 〈 a · b 〉 的取值范围为［ 0 ， 仔 ］， ∴ 〈 a ， b 〉 ＝ 3 4 仔. 7. 3 姨 【解析】 ∵|a-2b+c| 2 ＝a 2 +4b 2 +c 2 -4a · b-4b · c+ 2a · c＝1+4+1-4×cos60°-4×cos60°+2×cos60°＝3 ， ∴ |a-2b+ c|＝ 3 姨 . 8. 2 姨 【解析 】 如图 ， 四 棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 各棱长均为 1 ， ∠A 1 AB＝∠A 1 AD＝∠BAD＝60° ， ∴ BD 1 !" ＝ B !" A + A !" D + DD 1 !" ， ∴ BD 1 !" 2 ＝ （B !" A + A !" D + DD 1 !" ） 2 ＝ B !" A 2 + A !" D 2 + DD 1 !" 2 +2 B !" A·A !" D +2 B !" A·DD 1 !" +2 A !" D·DD 1 !" ＝1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120°+2×1×1× cos60°＝2 ， ∴| BD 1 !" |＝ 2 姨 ， ∴ 点 B 与点 D 1 两点间的距离 为 2 姨 . 9. 解： （ 1 ） AA !" ′ - C !" B ＝ AA !" ′ + B !" C ＝ AA !" ′ + A′D !" ′ ＝ AD !" ′ . （ 2 ） AB !" ′ + B′C !" ′ + C′D !" ′ ＝ AD !" ′ . （ 3 ） 如图， 设 M 是线段 AC′ 的 中点， 则 1 2 A !" D + 1 2 A !" B - 1 2 A′ !" A ＝ 1 2 A !" D + 1 2 A !" B + 1 2 AA !" ′ ＝ 1 2 （A !" D + A !" B + AA !" ′） ＝ 1 2 AC !" ′ ＝ A !" M . 向量AD !" ′， A !" M 如图所示 . 10. 解： （ 1 ） A !" M ＝ 1 2 （AC 1 !" + AD 1 !" ） ＝ 1 2 ［（A !" B + A !" D + AA 1 !" ） + （A !" D + AA 1 !" ）］ ＝ 1 2 （A !" B +2 A !" D +2 AA 1 !" ） ＝ 1 2 a+b+c. （ 2 ） A !" N ＝ A !" C + C !" N ＝ A !" C + 4 5 （AA 1 !" - A !" C） ＝ 1 5 A !" B + 1 5 A !" D + 4 5 AA 1 !" ＝ 1 5 a+ 1 5 b+ 4 5 c. 提升练习 11. ABCD 【解析】 A !" B + B !" C + C !" A ＝ A !" C + C !" A ＝0 ， 故 A 符合题意； O !" A - O !" D + A !" D ＝ D !" A + A !" D ＝0 ， 故 B 符合题意； N !" Q + Q !" P + M !" N - M !" P ＝ （N !" Q + Q !" P） + （M !" N - M !" P） ＝ N !" P + P !" N ＝ 0 ， 故 C 符合题意； M !" N + B !" M + N !" B ＝ M !" N + N !" B + B !" M ＝ M !" B + B !" M ＝0 ， 故 D 符 合题意 . 故选 ABCD. 12. B 【解析】 a · b＝ （ e 1 +e 2 ）·（ e 1 -2e 2 ） ＝e 2 1 -e 1 · e 2 -2e 2 2 ＝1-1×1× 1 2 -2＝- 3 2 ， |a|＝ a 2 姨 ＝ （ e 1 +e 2 ） 2 姨 ＝ e 2 1 +2e 1 · e 2 +e 2 2 姨 ＝ 1+1+1 姨 ＝ 3 姨 ， |b|＝ b 2 姨 ＝ （ e 1 -2e 2 ） 2 姨 ＝ e 2 1 -4e 1 · e 2 +4e 2 2 姨 ＝ 1-2+4 姨 ＝ 3 姨 ， O A B C 第 4 题答图 G O A B C 第 5 题答图 O 1 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D 第 8 题答图 第 9 题答图 M A′ B′ C′ D′ A B C D 22 参 考 答 案 ∴cos 〈 a ， b 〉 ＝ a · b ｜a｜｜b｜ ＝ - 3 2 3 ＝- 1 2 ， ∴ 〈 a ， b 〉 ＝120°. 故选 B. 13. -13 【解析】 ∵a+b+c＝0 ， ∴ （ a+b+c ） 2 ＝0 ， ∴a 2 +b 2 +c 2 +2 （ a · b+b · c+c · a ） ＝0 ， ∴a · b+b · c+c · a＝- 3 2 +1 2 +4 2 2 ＝-13. 14. 2 3 姨 【解析】 | A "# B + B "B C |＝| A "B C |＝2 ， E "B F ＝ 1 2 B "B D ， B "B D·B "B C ＝2×2×cos60°＝2 ， 故 | B "B C - E "B F | 2 ＝ B "B C - 1 2 B "B D 2 ＝ B "B C 2 - B "B C·B "B D + 1 4 B "B D 2 ＝4-2+ 1 4 ×4＝3 ， 故 | B "B C - E "B F |＝ 3 姨 . * 15. 解 ： ∵ M "B N ＝ M "B B + B "B C + C "B N ＝ 2 3 A "B B + （A "B C - A "B B） + 1 3 （A "B D - A "B C ） ＝- 1 3 A "B B + 1 3 A "B D + 2 3 A "B C ， ∴ M "B N·M "B N ＝ - 1 3 A "B B + 1 3 A "B D + 2 3 A "B C C ' 2 ＝ 1 9 A "# B 2 - 2 9 A "# D· A "# B + 4 9 A "# C·A "# D - 4 9 A "# B·A "# C + 1 9 A "# D 2 + 4 9 A "# C 2 ＝ 1 9 a 2 - 1 9 a 2 + 2 9 a 2 - 2 9 a 2 + 1 9 a 2 + 4 9 a 2 ＝ 5 9 a 2 ， 故 | M "# N |＝ M "# N·M "# N 姨 ＝ 5 姨 3 a ， 即 | M "# N |＝ 5 姨 3 a. 1.1.2 空间向量基本定理 学习手册 变式训练 1 证明： ∵E ， F ， G ， H 分别是所在三角形的 重心， ∴M ， N ， Q ， R 为所在边的中点 . 顺次连接 M ， N ， Q ， R ， 所得四边形为平行四边形， 且有P "# E ＝ 2 3 P "# M ， P "# F ＝ 2 3 P "# N ， P "# G ＝ 2 3 P "# Q ， P "# H ＝ 2 3 P "# R . ∵ 四边形 MNQR 为平行四边形， ∴ E "# G ＝ P "# G - P "# E ＝ 2 3 P "# Q - 2 3 P "# M ＝ 2 3 M "# Q ＝ 2 3 （M "# N + M "# R） ＝ 2 3 （P "# N - P "# M） + 2 3 （P "# R - P "# M） ＝ 2 3 3 2 P "# F - 3 2 P "# E C E + 2 3 3 2 P "# H - 3 2 P "# E C E ＝ E "# F + E "# H ， ∴ 由共面向量定理得E "# G ， E "# F ， E "# H 共面， ∴E ， F ， G ， H 四点共面 . 变式训练 2 解： C "# E 与M "# N 共线 . ∵M ， N 分别是 AC ， BF 的中点， 而四边形 ABCD 、 四边形 ABEF 都是平行四边形， ∴ M "# N ＝ M "# A + A "# F + F "# N ＝ 1 2 C "# A + A "# F + 1 2 F "# B . 又 ∵ M "# N ＝ M "# C + C "# E + E "# B + B "# N ＝- 1 2 C "# A + C "# E - A "# F - 1 2 F "# B ， ∴ 1 2 C "# A + A "# F + 1 2 F "# B ＝- 1 2 C "# A + C "# E - A "# F - 1 2 F "# B ， ∴ C "# E ＝ C "# A +2 A "# F + F "# B ＝2 （M "# A + A "# F + F "# N） ＝2 M "# N ， ∴ C "# E ∥ M "B N ， 即C "B E 与M "B N 共线 . 变式训练 3 解： A "B M ＝ A "B B + B "B M ＝ A "B B + 1 2 BC "B ′ ＝ A "B B + 1 2 （AC "B ′ - A "B B） ＝b+ 1 2 （ a-b ） ＝ 1 2 a+ 1 2 b. A "B N ＝ AC "B ′ + C′ "B N ＝ AC "B ′ + 1 2 C′B "B ′ ＝ AC "B ′ - 1 2 B′C "B ′ ＝ AC "B ′ - 1 2 （A′C "B ′ - A′B "B ′） ＝a- 1 2 （ c-b ） ＝a+ 1 2 b- 1 2 c. 变式训练 4 解： M "B P ＝ MC "B ′ + C′A "B ′ + A′ "B P ＝ 1 2 BC "B ′ - A′C "B ′ - 1 3 AA "B ′ ＝ 1 2 （BB "B ′ + B "B C） - A "B C - 1 3 AA "B ′ ＝ 1 2 ［AA "B ′ + （A "B C - A "B B）］ - A "B C - 1 3 AA "B ′ ＝ 1 2 （ a+c-b ） -c- 1 3 a ＝ 1 6 a- 1 2 b- 1 2 c. 随堂练习 1. D 【解析】 由O "B A ， O "B B ， O "B C 不能构成基底， 知 O "B A ， O "B B ， O "B C 三向量共面， ∴O ， A ， B ， C 四点共面 . 故选 D. 2. D 【解析】 根据基底的概念， 知空间中任何三个 不共面的向量都可作为空间的一组基底， 否则就不能构 成空间的一组基底， 显然 ② 正确 . 由B "B A ， B "B M ， B "B N 共面 且过相同点 B ， 故 A ， B ， M ， N 共面， 故 ③ 正确 . 假设 d 与 a ， b 共面， 则存在实数 λ ， μ ， 使 d＝λa+μb ， ∵d 与 c 共线， c≠0 ， ∴ 存在实数 k ， 使 d＝kc. ∵d≠0 ， ∴k≠ 0 ， 从而 c＝ λ k a+ μ k b ， ∴c 与 a ， b 共面与条件矛盾， ∴d 与 a ， b 不共面， 故 ① 正确 . 同理可证 ④ 也是正确的 . 故选 D. 3. - 2 3 a+ 1 2 b+ 1 2 c 【解析】 G "B H ＝ P "B H - P "B G ＝ 1 2 （ b+c ） - 2 3 a. 4. 2 【解析】 如图， 由已知 O "B G ＝ 3 4 OG 1 "B ＝ 3 4 （O "B A + AG 1 "B ） ＝ 3 4 O "B A + 1 3 （A "B B + A "B C C , ） ＝ 3 4 O "B A + 1 4 ［（O "B B - O "B A） + （O "B C - O "B A）］ ＝ 1 4 O "B A + 1 4 O "B B + 1 4 O "B C ， ∴x＝y＝z＝ 1 4 ， ∴2x+4y+2z＝2. 5. 解： 如图， 在平行六面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， 连 接 AC ， AD 1 . （ 1 ） A "B P ＝ 1 2 （A "B C + AA 1 "B ） G O G 1 A B C 第 4 题答图 23