专题4.9 数列全章十三大基础题型归纳（基础篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.9 数列全章十三大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 求数列的通项或项 1．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 题型2 数列的单调性的判断 1．（23-24高二下·吉林·期中）已知数列是递增数列，则其通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·青海海西·期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，设数列的通项公式为． (1)若，求的最小值； (2)若，试判断的单调性． 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 题型3 等差数列的基本量的求解 1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）等差数列满足，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求及； (3)已知，，，求项数. 题型4 利用等差数列的性质计算 1．（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 2．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 3．（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，且，求． 4．（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）在等差数列中， (1)若，求； (2)已知，求. 题型5 等差数列的通项公式 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·新疆喀什·阶段练习）已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 4．（2024高二·全国·专题练习）已知无穷等差数列的首项，公差，依次取出序号为被4除余3的项组成数列． (1)求和； (2)求的通项公式； (3)中的第110项是中的第几项？ 题型6 等差数列前n项和的性质 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 2．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知两个等差数列、的前n项和分别为和，且，求的值． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 题型7 等差数列的应用 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 2．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 3．（24-25高二上·全国·课后作业）某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小（即最下面一层根数最少），则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 4．（23-24高二下·全国·单元测试）用分期付款的方式购买家用电器需11500元，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%，若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问： (1)分期付款的第10个月应交付多少钱？ (2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？ 题型8 等比数列的基本量的求解 1．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（    ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 4．（23-24高二上·广西·期末）在等比数列中. (1)已知，，求前4项和； (2)已知公比，前6项和，求. 题型9 等比数列性质的应用 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，公比，则（    ） A．128 B． C．64 D． 2．（2024·云南大理·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．（23-24高二上·甘肃·期中）已知是等比数列，，且，求. 4．（23-24高二下·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 题型10 等比数列的通项公式 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二·全国·专题练习）已知数列为等比数列，若，，求数列的通项公式. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，请判断是否存在使得，若存在，求出的最大（小）值，若不存在，说明理由． 题型11 等比数列前n项和的性质 1．（2024高二·全国·专题练习）已知在等比数列中，为其前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 题型12 等比数列的应用 1．（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 2．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（    ） （参考数据：，）    A．5 B．8 C．10 D．12 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）我市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2018年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，则： (1)我市在2024年应该投入电力型公交车多少辆？ (2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ （参考数据：，，） 4．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，） (1)试求的表达式； (2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. 题型13 数学归纳法的证明步骤 1．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.9 数列全章十三大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 求数列的通项或项 1．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【解题思路】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式. 【解答过程】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负， 故第项的正负可以用表示； 而， 故数列的通项可为. 故选：D. 2．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 【解题思路】根据数列前的几项归纳出，即可求出结果. 【解答过程】由题知，所以， 故选：B. 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式. 【解题思路】将条件式变形，利用累加法求出通项. 【解答过程】由，得， ，…，， 则 ， 化简得，又， 所以. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）已知数列的前n项和，求的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的通项公式． 【解题思路】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）运用累乘法进行求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 当时，，符合上式， 所以的通项公式是． （2）因为，所以当时，， 所以，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘， 得，即， 所以． 当时，，符合上式． 所以数列的通项公式是． 题型2 数列的单调性的判断 1．（23-24高二下·吉林·期中）已知数列是递增数列，则其通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】逐个分析选项，根据后一项是否比前一项大判断是否为递增数列. 【解答过程】对于选项A，，是递增数列，A正确； 对于选项B，，，不是递增数列，B不正确； 对于选项C，，，不是递增数列，C不正确； 对于选项D，，不是递增数列，D不正确． 故选：A. 2．（23-24高二下·青海海西·期中）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意有，解得的取值范围； 【解答过程】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即对都成立， 所以．（或通过二次函数的对称性求解） 故选：D. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，设数列的通项公式为． (1)若，求的最小值； (2)若，试判断的单调性． 【解题思路】（1）直接令，解不等式即可； （2）化简，分析函数的单调性，即可判断数列的单调性. 【解答过程】（1）由题可知， 若，即，解得，故最小值为． （2）因为， 因为，所以，， 所以， 令，取，， 则， 所以， 所以在上是递增的， 所以是递增的， 即数列是递增数列. 4．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【解题思路】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案. （2）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得. 【解答过程】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 题型3 等差数列的基本量的求解 1．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】根据题意，进行求解即可. 【解答过程】在等差数列中， 故选：B. 2．（24-25高二上·福建龙岩·开学考试）等差数列满足，，则该等差数列的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据条件，利用等差数列的下标和性质结合，进而得到，即可求解. 【解答过程】因为，，所以 故. 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【解题思路】（1）由，结合，求出公差，再利用，把代入求出； （2）由，把，公差，，代入求出； （3）由，把，，代入得到关于的方程组，求解即可得到的通项公式. 【解答过程】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求及； (3)已知，，，求项数. 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式以及求和公式求得，进而可得结果； （2）根据等差数列求和公式求得，进而可得结果； （3）根据等差数列性质可得，再结合等差数列求和公式运算求解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）因为， 整理得，解得或（舍去）， 所以． （3）因为，， 可得，即． 又因为，所以． 题型4 利用等差数列的性质计算 1．（23-24高二下·四川自贡·期中）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【解题思路】直接由等差数列的性质即可求解. 【解答过程】由题意. 故选：C. 2．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 【解题思路】根据下标和性质计算可得. 【解答过程】因为，且，所以， 又，所以， 又，所以，解得. 故选：B. 3．（23-24高二上·上海·课后作业）已知数列是等差数列，且，求． 【解题思路】根据等差数列下标和性质，结合对数运算法则可求得结果. 【解答过程】由等差数列性质知：， ，. 4．（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）在等差数列中， (1)若，求； (2)已知，求. 【解题思路】 根据等差数列的性质：若，则求解. 【解答过程】（1）在等差数列中, ∴， ∴， ∴ . （2）∵， ∴. ∴. 题型5 等差数列的通项公式 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等差数列的定义知为首项为5，公差为的等差数列，进而求出通项公式. 【解答过程】依题意，，所以，即， 所以数列是首项为5，公差为的等差数列，所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·新疆喀什·阶段练习）已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据，可求出，进一步判断选项即可. 【解答过程】因为， 所以时， ， 又时， ,符合上式， 故，所以公差. 故选： 3．（2024高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【解题思路】（1）设出公差，列出方程组，求出首项和公差，从而得到通项公式； （2）数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点，画出图象； （3）由公差得到数列的单调性. 【解答过程】（1）设数列的公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得 因此． （2）由（1）可知，数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点， 其中且， 如图， （3）由（1）可知公差，所以等差数列为递减数列． 4．（2024高二·全国·专题练习）已知无穷等差数列的首项，公差，依次取出序号为被4除余3的项组成数列． (1)求和； (2)求的通项公式； (3)中的第110项是中的第几项？ 【解题思路】求出，找出数列中序号能被4除余3的项，求出和； （2）设中的第项是的第项，求出和的关系，求出； （3）求出，设它是中的第项，求出. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 因为数列中序号能被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，…， 所以，； （2）设中的第项是的第项， 即，则（）， 所以， 所以是等差数列， 其通项公式为（）； （3）因为， 设它是中的第项， 则，则， 所以是中的第439项． 题型6 等差数列前n项和的性质 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 【解题思路】利用等差数列片段和的性质可求得的值. 【解答过程】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列， 所以，，则， 故选：B. 2．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可. 【解答过程】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知两个等差数列、的前n项和分别为和，且，求的值． 【解题思路】由等差数列前n项和与通项的关系即可解决. 【解答过程】等差数列中， 可令等差数列、的前n项和分别为， 则， ， 所以． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 【解题思路】（1）利用等差数列的前项和公式及项的性质化简后，代入即得； （2）利用等差数列的片段和的性质得到新的等差数列，由等差数列的前项和公式求出新数列的公差，通过求新数列的第11项即可求出. 【解答过程】（1）∵为等差数列，∴，， ∴． （2）∵数列为等差数列， ∴，，，…，也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为， 即（*）．又∵，代入（*）式，解得， ∴， ∴． 题型7 等差数列的应用 1．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 【解题思路】根据题意建立数列模型，由等差数列定义可求得首项和公差，即可求出结果. 【解答过程】设从下至上各节的容积分别为， 由题意知为等差数列，公差为， 因为，即， 解得 所以． 故选：A. 2．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【解题思路】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可. 【解答过程】设第一个尺码为，公差为， 则， 则， 当时，， 故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为 码， 所有缺货尺码的和为码， 又因为缺货的一个尺寸为码， 则另外一个缺货尺寸码， 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小（即最下面一层根数最少），则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 【解题思路】设最下面一层放n根，最多可堆n层，利用等差数列前n项和公式求和，建立不等式并构造函数，借助函数单调性求出n的最小值，即可推理得解. 【解答过程】设最下面一层放n根，则最多可堆n层，共堆放根数， 整理得，令， 当时，单调递增，而，， 因此，即最下面一层最少放35根，而， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共（根）， 再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层． 所以最下面一层放35根，共堆了28层． 4．（23-24高二下·全国·单元测试）用分期付款的方式购买家用电器需11500元，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%，若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问： (1)分期付款的第10个月应交付多少钱？ (2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？ 【解题思路】（1）根据给定条件，构建数列，计算前3项，得出规律并计算第10项即可. （2）利用（1）的信息求出数列的通项，再求出项数及总和即得. 【解答过程】（1）设每月付款依次构成数列，， 则，， ，…， 显然，， 故第10个月应交付527.5元． （2）由（1）可得， 则为等差数列，且，数列前20项的和为， 所以， 所以买家用电器实际花了12025元． 题型8 等比数列的基本量的求解 1．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】设出公比，利用等比数列通项公式基本量计算列出方程，求出答案 【解答过程】设公比为，则， 解得或. 故选：D. 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知等比数列的前2项和为12，， 则公比的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【解题思路】根据等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解. 【解答过程】由题意知，设等比数列的公比为， 则，即， 解得，. 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【解题思路】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可. 【解答过程】（1）因为，则，解得， 当时，； 当时，． 综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． 4．（23-24高二上·广西·期末）在等比数列中. (1)已知，，求前4项和； (2)已知公比，前6项和，求. 【解题思路】（1）先求出公比，再利用求和公式求解； （2）直接利用求和公式解方程即可. 【解答过程】（1）设公比为q，由，，得， 所以， 所以； （2）由得，. 题型9 等比数列性质的应用 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，公比，则（    ） A．128 B． C．64 D． 【解题思路】先根据等比数列项的性质得出，再结合已知得出公比，最后写出等比数列的通项公式，代入计算即可. 【解答过程】由题得， 所以. 又因为， 所以， 所以， 解得或（舍去）， 则， 所以． 故选：A. 2．（2024·云南大理·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【解题思路】根据等比数列的性质得到，计算出答案. 【解答过程】∵各项均为正数的等比数列中，， ∴. 故选：C. 3．（23-24高二上·甘肃·期中）已知是等比数列，，且，求. 【解题思路】根据等比数列的性质求得正确答案. 【解答过程】根据等比数列的性质可知： ， 由于，所以. 4．（23-24高二下·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【解题思路】（1）根据给定条件，利用等比数列性质计算即得. （2）（3）利用等比数列通项公式求解即得. 【解答过程】（1）在等比数列中，，而， 所以. （2）依题意，，则， 所以. （3）依题意，. 题型10 等比数列的通项公式 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先证明数列为等比数列，再根据首项和公比求数列的通项公式. 【解答过程】因为，所以，即， 则数列是等比数列，公比为． 又因为，所以或（舍去）， 则数列的通项公式为． 故选：A. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【解答过程】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知数列为等比数列，若，，求数列的通项公式. 【解题思路】由，可得，从而得的前三项依次为，2，2q，再根据，解得或，即可得答案. 【解答过程】解：将代入，得，解得． 设数列的公比为q（）， 则的前三项依次为，2，2q，则有， 整理得，解得或． 所以或， 所以或． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，请判断是否存在使得，若存在，求出的最大（小）值，若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）由等比通项列出方程组，求解得出数列的通项公式； （2）由（1）得出，判断其单调性，即可求解. 【解答过程】（1）依题意，解得或（舍）， 则，即． （2）由（1）知，则． 因为，即数列递减， 当时，，所以数列递减， 要使， 当时，， 当时，， 故满足的的最小值为6． 题型11 等比数列前n项和的性质 1．（2024高二·全国·专题练习）已知在等比数列中，为其前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据等比数列前项和的性质直接列方程计算即可. 【解答过程】 为等比数列，且，且，公比， ，，是公比为的等比数列， 即，，是公比为的等比数列． ，解得或（舍去）. 故选：A． 2．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【解答过程】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B. 3．（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 【解题思路】（1）由等比数列片断和数列的性质可求； （2）设该等比数列有项，由偶数项和与奇数项和之比得公比，再由前项和为，利用公式法得方程解即可. 【解答过程】（1）∵为等比数列，由知数列的公比不等于， 也成等比数列， ，则， ； （2）设等比数列的公比为，项数为． 记，， 则 ，则， 根据，得，解得. 此数列的公比为，项数为. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【解题思路】（1）应用等比数列前项和公式，代入基本量运算即可； （2）应用等比数列前项和公式建立方程组求解基本量，再由通项公式可得； （3）由等比数列的定义可得，化奇数项和为偶数项和，整体求解可得. 【解答过程】（1）由已知， 则 ； （2）若，则，不符合题意，， ，且， 两式相除得， 解得或． 当时，；当时，， 或； （3），则，即， ， ， ． 题型12 等比数列的应用 1．（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 【解题思路】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，根据前六天的路程之和为里，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答过程】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 结合题意可得：， 解得， 则第三天走的路程为里. 故选：A. 2．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（    ） （参考数据：，）    A．5 B．8 C．10 D．12 【解题思路】观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求出与，从而得到关于的不等式，解得即可.. 【解答过程】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的倍，边长是相邻前一个图形的， 因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 因此数列是首项，公比为的等比数列，， 数列的前项和为， 若，则，即， 所以， 所以，又为正整数，所以的最小值为. 故选：C. 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）我市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2018年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，则： (1)我市在2024年应该投入电力型公交车多少辆？ (2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ （参考数据：，，） 【解题思路】（1）结合题意计算即可得； （2）借助等比数列求和公式即对数运算法则解不等式即可得. 【解答过程】（1）设第年投入辆电力型公交车，则， 2024年应该投入电力型公交车辆； （2）设第年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的， 有， 则有， 即， 整理得，即， 即， 即年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的. 4．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，） (1)试求的表达式； (2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. 【解题思路】（1）由题意求出累计投入，可判断出每年的收入为等比数列，根据等比数列求和公式求解出累计收入，从而表示出； （2）由（1）可得，根据的正负判断出的单调性，再根据的单调性即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入为（千万元）， 设第年的收入为，前年的累计收入为， 由题意得，， 所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列， 则有（千万元）， （千万元）， 所以，即（千万元）. 所以的表达式为； （2）因为， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，， 所以该新产品将从第9年开始并持续赢利. 所以该新产品将从2030年开始并持续赢利. 题型13 数学归纳法的证明步骤 1．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】列出增加的项，即可得解. 【解答过程】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【解题思路】根据题意，结合变到时，左边由项增加到项，即可求解. 【解答过程】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 【解题思路】按数学归纳法写出证明过程即可得答案. 【解答过程】设当时，能被整除， 所以时， ， 因此必须有代数式． 故答案为：. 4．（24-25高二·上海·随堂练习）利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 【解题思路】分别写出和左边的式子，两对照可得答案. 【解答过程】当时，左边式子为， 当时，左边式子为， 故左边增乘的因式是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$