专题15 三角化简与求值-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

专题15 三角化简与求值 狂练考点1利用两角和与差的三角 C.3-⑤ D.-1+5 4 4 函数公式化简与求值 2.【课本典例】(2019·版苏教版教材)已知 1.(2023·新课标全国I卷)已知sin(a一3)= 3,cosasin9=6,则cos(2a+2g》=( 1 sim开+a)小sim(开-a）=言，且ae(受x小： 则tan4a= A B号 2cos a C.- 9 D- 3.若a∈o,}U(登aa 3-2sin 2.【课本典例】（人教A版教材）已知a,3都是 则cosa= () 锐角，cosa= 7msa+》=一是则o明 A-号 B号 3.已知sin(于+a)cos(年-a=3,则sina十 c- n cos'a 4.已知ane+g） 5则sm(-2a) A号 B.1 c n品 公 4.(2024·湖南省长沙市明德中学高三上学期入 c号 D 狂 学考试)已知sina= 哥a∈（经小.若 练 5.(2024·甘肃省民乐县第一中学高三上学期第 sin(a+2=4,则tan(a十B)= 039 cos3 一次诊断)若tan20°十msin20°=√3，则m的 A. 16 &-日 值为 c.l 狂练综合 三角函数化简与求值 学 号 一、单选题 狂练考点2利用二倍角公式、 1.(2024·四川省雅安市天立高级中学高三上学期 辅助角公式等化简求值 零诊模拟)化简 1-cos160 +√1-sinl60°的结 2 1.(2023·新课标全国Ⅱ卷)a为锐角，cosa 果是 ( 1中5.则m号 ( A.cos10 B.sin10 A.3-⑤ B.-1+5 C.2sinl0°+cos10 D.2cos10°-sin10 8 8 快乐考生 让学习快乐起来！ 2.已知cos(昏-a=号则sin(2a-晋)月 .25 c碧 n岩 A器 &一器 6.已知a∈(o,)9∈(o,君)且maa=21 c n话 cos3),则 () 3.已知a∈( 2+2sin2a 若1十cos2a =9,则 A是<a<号 B.是<B<号 os号+如号 C号<g<e D号<a<B cos号-in号 二、多选题 7.(人教A版题目改编)下列四个等式正确的是 A-司 B.5-2 () c D.2-5 A.6os207cos40rc0c80°=3 B.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=45 4.(2024·江西省高三第一次稳 P3,15 C.sin63°-sin33cos30= 派大联考)在平面直角坐标 c0s33 2 系xOy中，锐角0的大小如图 0 √3 0 sin10 c0s10°-4 所示，则。 sin20 2 cos20-3sin20 8.(2024·辽宁省鞍山市第一中学高三二模)已 ( 知tana=2tan3,则 () 小 A.-2 B.2 题 A3a9∈(0，)，使得a=2g 狂 练 c D.3 B.若singcos3= 号则sna一》=吉 5.（2024·贵州省高三上学期入学 040 考试)已知“水滴”的表面是一 C.若sinacos3= 号则cos(2a十20=- 25 个由圆锥的侧面和部分球面（常 D.若a8∈(o,）,则ana一m的最大值为 4 学 称为“球冠”)所围成的几何体 三、填空题 如图所示，将“水滴”的轴截面 看成由线段AB,AC和优弧BC所围成的平面 g.已知sina十cosg=l,coa+n=含，则sin(a 图形，其中点B,C所在直线与水平面平行， +)= AB和AC与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直10.（人教A版教材）在△ABC中，已知tanA, 高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指的是平行 tanB是关于x的方程x2+p(.x+1)+1=0 于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的 的两个实根，则C= 最大值)的比值为号，则sin∠BAC=()数学答案 —４０　 cosαsinβ＝ １ ６ － ２ ３ ＝－ １ ２ ,因为α,β∈ (０,π),所以α－β∈ (－π,π),因为sin(α－β)＝ ５ ６ ＞０ ,所以α－β∈ (０,π),α＞β, 因为tanα tanβ ＝－ １４ ＜０ ,所以tanα,tanβ异号,从而α∈ ( π２ ,π) , β∈ (０,π２ ) ,故α＋β∈ ( π ２ ,３π ２ ) ,故α＋β＝ ７ ６π． １２．２２ 　－ ２ ４ 　 解析:x１x２＋y１y２ ＝OA→􀅰OB→ ＝|OA→|􀅰|OB→| 􀅰cosπ４ ＝ ２ ２ ． 由三角函数的定义可知,x１ ＝cosα,y１ ＝sinα, x２ ＝cos α＋ π ４( ) ,y２ ＝sin α＋ π ４( ) ,则 x１y２ ＋x２y１ ＝ cosαsin α＋ π４( ) ＋ cos α＋ π ４( )sinα ＝ sin ２α＋ π ４( ) ＝ ２ ２ (sin２α＋cos２α)＝ ２２ 􀅰２tanα＋１－tan ２α tan２α＋１ ＝ ２１０． 所以３tan２α －５tanα－２＝０,解得tanα＝２或tanα＝－ １３ (舍去),则x２ y１ ＝ cos α＋ π４( ) sinα ＝ ２ ２ (cosα－sinα) sinα ＝ ２ ２ １ tanα－１( ) ＝ － ２ ４ ． 故答案为:２ ２ ,－ ２４ ． 专题１５　 三角化简与求值 狂练考点１　 利用两角和与差的 三角函数公式化简与求值 １．B　解析:因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ ,而cosαsinβ ＝ １６ ,因此sinαcosβ＝ １ ２ ,则sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ ＝ ２３ ,所以cos(２α＋２β)＝cos２(α＋β)＝１－２sin２(α＋β)＝ １－２× ( ２３ ) ２ ＝ １９ ． 故选B． ２．１２ 　 解析:由cosα＝ １７ ,α是锐角,得sinα＝ １－cos２α＝ １－ １７( ) ２ ＝４ ３７ ． 因为α,β是锐角,所以α＋β∈(０,π)．又因 为cos(α＋β)＝－ １１ １４ ,所以sin(α＋β)＝ １－cos２(α＋β)＝ １－ －１１１４( ) ２ ＝５ ３１４ ,所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋ β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝ － １１ １４( )× １ ７ ＋ ５ ３ １４ × ４ ３ ７ ＝ １ ２ ． ３． D　 解 析: 由 sin π４ ＋α( )cos π ４ －α( ) ＝ １ ３ , 得 ２ ２cosα＋ ２ ２sinα( ) ２ ＝ １３ ,即 (sinα＋cosα)２ ＝ ２３ ,１＋ ２sinαcosα ＝ ２３ , 所 以 sin２α ＝－ １３ ,sin４α ＋ cos４α ＝ １－cos２α ２( ) ２ ＋ １＋cos２α２( ) ２ ＝１＋cos ２２α ２ ＝ ２－sin２２α ２ ＝ １７ １８． 故选 D． ４．C　 解 析:因 为 sinα ＝ ３５ ,α ∈ ( π２ ,π) ,所 以 cosα ＝ － １－sin２α＝－ ４５ ,tanα＝sinαcosα＝－ ３ ４ ,因为sin(α＋β) cosβ ＝ sinαcosβ＋cosαsinβ cosβ ＝sinα＋cosα􀅰tanβ＝ ３ ５ － ４ ５tanβ＝４ ,所 以 tanβ ＝－ １７ ４ , 所 以 tan(α ＋ β) ＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ － ３４ － １７ ４ １－ (－ ３４ ) × (－ １７ ４ ) ＝ １６７ ． 故选 C． 狂练考点２　 利用二倍角公式、 辅助角公式等化简求值 １．D　 解析:因为cosα＝１－２sin２ α２ ＝ １＋ ５ ４ ,而α为锐角,解得: sinα２ ＝ ３－ ５ ８ ＝ (５－１) ２ １６ ＝ ５－１ ４ ． 故选 D． ２．４ ２７ 　 解析:因为sin π４ －α( ) ＝sin[ π２ － ( π ４ ＋α) ] ＝ cos π４ ＋α( ) ,则原等式可化为sin( π４ ＋α)cos( π ４ ＋α) ＝ １ ６ ． 即 １ ２sin ２ π ４ ＋α( )[ ] ＝ １ ６ ,于是得sin( π２ ＋２α) ＝ １ ３ , 则有cos２α＝ １３ ． 因为α∈ π２ ,π( ) ,即２α∈ (π,２π),从而得 sin２α＝－ １－cos２２α＝－２ ２３ ,则tan２α＝sin２αcos２α＝－２ ２ ,因 此,tan４α＝ ２tan２α １－tan２２α ＝－ ４ ２ １－(－２ ２)２ ＝４ ２７ ． ３．D　 解析:已知tanα＝ ２cosα２ ３－２sinα２ ,得:sinα cosα＝ ２cosα２ ３－２sinα２ ,即 ２sinα２cos α ２ cosα ＝ ２cosα２ ３－２sinα２ ．∵α ∈ ０,π２( ) ∪ π ２ ,π( ) ． ∴cosα２ ≠０ ,∴ sinα２ cosα ＝ １ ３－２sinα２ ,化简得cosα＝３sinα２ －２sin２ α２ ,由二倍角公式得１－２sin２ α２ ＝３sin α ２ －２sin ２ α ２ , 解得:sinα２ ＝ １ ３ ,cosα＝１－２sin２ α２ ＝１－２× １ ３( ) ２ ＝１ － ２９ ＝ ７ ９ ,故选 D． ４．C　 解 析: 因 为 tan α＋１９π６( ) ＝ tan α＋ π ６ ＋３π( ) ＝ tan α＋ π６( )＝ ６ ３ ,所以sin π６ －２α( ) ＝sin[ π２ －２(α＋ π ６ ) ] ＝cos[２(α＋ π ６ ) ] ＝ cos２ α＋ π６( )－sin ２ α＋ π６( ) cos２ α＋ π６( )＋sin ２ α＋ π６( ) ＝ １－tan２ α＋ π６( ) １＋tan２ α＋ π６( ) ＝ １ ５ ,故选 C． ５．４　解析:由tan２０°＋msin２０°＝ ３,得msin２０°＝tan６０°－tan２０° ＝sin６０°cos６０°－ sin２０° cos２０°＝ sin６０°cos２０°－cos６０°sin２０° cos６０°cos２０° ＝ sin４０° １ ２cos２０° ＝ ４sin２０°cos２０° cos２０° ＝４sin２０° ,而sin２０°＞０,所以m ＝４． 狂练综合 　 三角函数化简与求值 １．D　 解 析: 原 式 化 简 为 １＋cos２０°２ ＋ １－sin２０° ＝ １＋(２cos２１０°－１) ２ ＋ １－２sin１０°cos１０°＝cos１０°＋cos１０° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —４１　 －sin１０°＝２cos１０°－sin１０°．故选 D． ２．D　解析:因为２α－ π６ ＋２ π ３ －α( ) ＝ π ２ ,所以２α－ π６ ＝ π ２ － ２ π３ －α( ) , 则 sin ２α－ π ６( ) ＝ cos２( π３ － α) ＝ ２cos２ π３ －α( )－１＝２× ３ ５( ) ２ －１＝－ ７２５． 故选 D． ３．D　 解析:２＋２sin２α１＋cos２α ＝ ２(sinα＋cosα)２ ２cos２α ＝９,由α∈ π,３π２( ) , 得sinα＜０,cosα＜０,所以sinα＋cosαcosα ＝３ ,即sinα＝２cosα,联立 sin２α＋cos２α ＝ １,解 得 sinα ＝－２ ５５ ,cosα ＝－ ５５ ,所 以 cosα２ ＋sin α ２ cosα２ －sin α ２ ＝ cosα２ ＋sin α ２( ) ２ cosα２ －sin α ２( ) cos α ２ ＋sin α ２( ) ＝ １＋sinα cosα ＝ １－２ ５５ － ５５ ＝２－ ５．故选 D． ４．B　 解析:因为点P(３,１５)是角θ＋ π４ 终边的一点,所以tan(θ ＋ π４ ) ＝ １５ ３ ＝ ５ ,所 以tanθ＝tan[ (θ＋ π４ ) － π ４ ] ＝ tan(θ＋ π４ ) －tan π ４ １＋tan(θ＋ π４ ) 􀅰tan π ４ ＝ ５－１１＋５×１＝ ２ ３ ,由tanθ＝ ２３ 可 知,cosθ ≠ ０,所 以 sin２θ ２cos２θ－３sin２θ ＝ ２sinθcosθ ２cos２θ－３sin２θ ＝ ２tanθ ２－３tan２θ ＝ ２× ２３ ２－３× ( ２３ ) ２ ＝２．故选B． ５．D　 解析:设优弧BC 所在圆的圆心为O,半径 为R,连接OA,OB,OC,如图所示．易知“水滴” 的“竖直高度”为OA＋R,“水平宽度”为２R,由 题意知OA＋R ２R ＝ ４ ３ ,解得 OA ＝ ５３R． 因为 AB 与圆 弧 相 切 于 点 B,所 以 OB ⊥ AB．在 Rt△ABO 中,sin∠BAO＝OBOA ＝ R ５ ３R ＝ ３５ ,又 ∠BAO ∈ (０,π２ ) ,所 以 cos∠BAO ＝ １－sin２∠BAO ＝ ４ ５ ． 由对称性知,∠BAO ＝ ∠CAO,则 ∠BAC＝２∠BAO,所以 sin∠BAC ＝２sin∠BAOcos∠BAO ＝２× ３５ × ４ ５ ＝ ２４ ２５． 故 选 D． ６．D　 解析:∵x∈ ０,π６( ) ,令f(x)＝x－sinx,g(x)＝tanx－ x,则f′(x)＝１－cosx＞０,g′(x)＝ １cos２x －１＞０,∴f(x)、 g(x)在x∈ ０,π６( ) 上递增,∴f(x)min＞f(０)＝０,g(x)min＞ g(０)＝０,∴sinx＜x＜tanx,∴tanα＝２ (１－cosβ) β ＝ ４sin２ β２ β ＜ ４ β２( ) ２ β ＝β,∵tanα ＞α,∴α ＜β,∵tanα ＝ ４sin２ β２ β ＝ ４sinβ２cos β ２ β 􀅰 sinβ２ cosβ２ ＝２sinβ β 􀅰tanβ２ ． 令t(x)＝２sinx－x, x∈ ０,π６( ) ,∴t′＝２cosx－１＞２cos π ６ －１＝ ３－１＞０ , ∴t(x)是增函数．∴t(x)＞t(０)＝０,∴２sinx ＞x,∴tanα＞ tanβ２ ,∴α＞ β２ ,综上所述β ２ ＜α＜β ,故选 D． ７．ACD　 解析:cos２０°cos４０°cos８０°＝ ２sin２０°cos２０°cos４０°cos８０° ２sin２０° ＝ ２sin４０°cos４０°cos８０° ２２sin２０° ＝２sin８０°cos８０° ２３sin２０° ＝sin１６０°８sin２０°＝ sin２０° ８sin２０°＝ １ ８ ,所以 A正确;设A ＝sin２１°＋sin２２°＋sin２３°＋ 􀆺 ＋sin２８９°,则 A ＝cos２８９°＋ cos２８８°＋cos２８７°＋􀆺＋cos２１°,而sin２α＋cos２α＝１,故２A＝８９, 即A ＝ ８９２ ,故B错误． sin６３°－sin３３°cos３０° cos３３° ＝ sin(３３°＋３０°)－sin３３°cos３０° cos３３° ＝sin３３°cos３０°＋cos３３°sin３０°－sin３３°cos３０°cos３３° ＝ cos３３°sin３０° cos３３° ＝ sin３０°＝ １２ ,所以 C正确; １sin１０°－ ３ cos１０°＝ cos１０°－ ３sin１０° sin１０°cos１０° ＝ ２ １ ２cos１０°－ ３ ２sin１０°( ) sin１０°cos１０° ＝ ２(sin３０°cos１０°－cos３０°sin１０°) １ ２ ×２sin１０°cos１０° ＝ ２sin２０°１ ２sin２０° ＝４,所以 D正确,故选 ACD． ８．BD　 解析:若α＝２β,可得tanα＝tan２β＝ ２tanβ １－tan２β ,因为tanα ＝２tanβ,可得 ２tanβ １－tan２β ＝２tanβ,解得tanβ＝０,又因为β∈ (０, π ２ ) 时,tanβ＞０,所以方程无解,故A错误;因为tanα＝２tanβ, 可得sinα cosα＝ ２sinβ cosβ ,所以sinαcosβ＝２cosαsinβ,又因为sinαcosβ＝ ２ ５ ,所以cosαsinβ＝ １ ５ ,则sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ５ ,故 B正确;由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋ cosαsinβ＝ ３ ５ ,则 cos(２α＋２β)＝１－２sin２(α＋β)＝ ７ ２５ ,故C错误;因为β∈ (０, π ２ ) ,可 得 tanβ ＞ ０,且 tanα ＝ ２tanβ,则 tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ＝ tanβ １＋２tan２β ＝ １１ tanβ ＋２tanβ ≤ １ ２ ２ ＝ ２４ ,当且 仅当 １ tanβ ＝２tanβ时,即tanβ＝ ２ ２ 时,等号成立,所以tan(α－β) 的最大值为 ２ ４ ,故 D正确．故选BD． ９．７１８　 解析:由于sinα＋cosβ＝１,cosα＋sinβ＝ ４ ３ ,故(sinα＋ cosβ)２ ＝１,(cosα＋sinβ)２ ＝ １６ ９ ． 两式相加得:２＋２(sinαcosβ＋ cosαsinβ)＝ ２５ ９ ． 故 sinαcosβ＋cosαsinβ＝ ７ １８ ,即 sin(α＋β) ＝ ７１８． １０．３π４ 　 解析:∵tanA,tanB是关于x的方程x２＋p(x＋１)＋１＝ ０,即x２＋px＋p＋１＝０的两个实根．∴tanA＋tanB＝－p, tanAtanB＝p＋１,∴tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B) ＝－tanA＋tanB１－tanAtanB＝－ －p １－(p＋１)＝－１． 由于０＜C＜π,∴C ＝３π４ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋