专题14 三角函数的概念、同角的三角函数关系式与诱导公式-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

ap 专题14三角函数的概念、同角的三角函数关系式与诱导公式 狂练考点1三角函数的概念及同角 狂练考点2诱导公式 的三角函数关系式 1.【高考典例】(2019·新课标I卷)tan255°= L.(2023·全国乙卷)若0∈(0，牙)，tan0= 2 则sin0一cos0= A.-2-√3 B.-2+3 2.【课本典例】（人教B版教材）已知sina- C.2-3 D.2+3 ,求ana 2.【课本典例】（人教A版教材）已知sin(53° 5 B.2 a)=5,且-270<a<-90,则sin(37°+a) c.- D.号或2 3.若cos(a+)=号则sim(2a+） 3.已知角a3的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，α，3的终边关于y轴对 称，a的终边过点(3,4)，则sin(受+) A. B-3 C.o n- 4.已知0<x1<x2<2x,sinx1=sin.x2=3 A.一5 B- 则cos(x1一x2)= c n.青 A.号 c D.- 已知a∈(x,贸)，者+m2=2.则c2a 3 5.(2023·吉林省通化市梅河口市第五中学高三 的值为 最后一模)已知函数f(x)=sin(4x十) A青 B-青 狂 练 C.0 D.-考或0 sin4虹一君)，把f)的图象向右平移个 037 5.中国古代数学家赵类绘制 单位长度，得到函数g()的图象，则g(-高 “勾股圆方图”证明了勾股定 理（西方称之为“毕达哥拉斯 定理”).如图，四个完全相同 狂练综合 三角函数的概念、 学 的直角三角形和中间的小正 同角的三角函数关系式与诱导公式 方形拼接成一个大正方形，角a为直角三角 一、单选题 形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方 形的面积S1与大正方形面积S2之比为1： 1.(2024·安徽省高三上学期第一届百校大联 25,则sim(a+） ( 考)已知角a终边上有一点P(sm行，cos· A号 B.- 则x一a为 10 c D.-72 A.第一象限角 B.第二象限角 10 C.第三象限角 D.第四象限角 快乐考生 让学月快乐起来 2.(2024·河南省部分学校高三上学期一轮复 A.tana=√3 B.cosa= 1 习摸底)若sin(10°-0)+sin(10°+0)+ C.tang=43 √3sin(20°+8)=0，则tan0= ( Dosg-月 8.(2024·江西省部分高中学校高三上学期9月 A.-8 3 号 大联考)下列结论正确的是 C.-3 D.3 A,若a-B=受，则sina=cos9 3.若sin11°+cos11°=t,则cos112°=( A.t-1 B.1-t B.2sin'a+3sin2a-1+2sin(2a-) C.1-2 D.t2-1 C.若sina-cosa= 2,则sin2a=4 4已知cos(经+a+3cos(a- x)=0,则 D.若锐角a满足cosa= 则am(牙+a sina-sin'a= ( =-3 sin(2+a) 9.已知x= 2sin63°sin64° cos18'cos1gs=(1+tan26")(1+ A号 B-号 tan27),则 Ci D-品 A.=(1+tanl8)(1+tan19) B.x>y 5,在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点 C.ry=4 ),现将角α的终边按逆时针方向旋 D.x+y>4 小 三、填空题 题 转5，记此时角α的终边与单位圆交于点Q, 10.已知受<x<,sinx+cox= ,则sinr 1 练 则点Q的坐标为 ( coSt 038 A2》 A(-2 11.(2024·福建省福清第一中学高三上学期10 C.(1,0) D.(0,1) 月月考)已知a,9∈(0x,sina-》=吾， 学 6.(2024·湖北省武汉市江汉区高三上学期7月 tana 新起点摸底)已知a,3均为锐角，且e“一e月 tan3 子则a+B 12.在平面直角坐标系Oy中，已知锐角α的终 =sina-cog+受，则 边与单位圆交于A(1y),角(a+于)的终 A.sina cosp B.cosa >cos8 边与单位圆交于B(x2,y2),则x1x2十y1y2 C.cosa>sinp D.sina>sing 二、多选题 的值为 者+=得则 7.已知a∈(，2a).sinm==1am号则 2 的值为数学答案 —３８　 方程g(x)＝a在区间 [０,５π１８] 上有两个不同的实数根,故 ３ ２ ≤a＜１． ９．(－∞,－ １３ ) 　 解析:作出函数f(x)的 图象,如图所示: 令t＝f(x),则当t＜０时,方程f(x)＝ t无解;当t＝０时,方程f(x)＝t有１个 实数解;当０＜t≤１时,方程f(x)＝t有 ３个实数解;当t＞１时,方程f(x)＝t有２个实数解．因为F(x) ＝f２(x)－２af(x)＋３a＋１２ 有３个不同的零点,则关于t的方程 t２－２at＋３a＋１２ ＝０ 有解,设此关于t的方程的解为t１、t２,不妨 设t１ ≤t２,由题设可得关于x的方程f(x)＝t１ 和f(x)＝t２ 共 有３个不同的解,可分为以下几类情况: (１)当方程t２－２at＋３a＋１２ ＝０ 有两个相等的实数根,即t１ ＝ t２ 时,且f(x)＝t１ 有３个实数根．此时,由Δ＝４a２－４× ３a＋１ ２ ＝２(２a２－３a－１)＝０,解得a＝３± １７４ , 当a＝３－ １７４ 时,t＝a＝３－ １７４ ＜０ ,由函数f(x)图象可 知,f(x)＝３－ １７４ 无解,即函数F(x)＝f２(x)－２af(x)＋ ３a＋１ ２ 无零点,故不合题意; 当a＝３＋ １７４ 时,t＝a＝３＋ １７４ ＞１ ,由函数f(x)图象可 知,函数y＝f(x)的图象与直线y＝３＋ １７４ 有两个交点,即 函数F(x)＝f２(x)－２af(x)＋３a＋１２ 有２个 零 点,也 不 合 题意; (２)当方程t２－２at＋３a＋１２ ＝０ 有两个不等的实数根,即t１ ＜ t２ 时,此时,由Δ＝２(２a２－３a－１)＞０,解得a＜ ３－ １７ ４ ,或 a＞３＋ １７４ ,设φ(t)＝t２－２at＋ ３a＋１ ２ , ① 关于x的方程f(x)＝t１ 没有实数根,且方程f(x)＝t２ 有３ 个实数根．由f(x)＝t１ 没有实数根,得t１＜ ０,f(x)＝t２ 有３个实数根,得０＜t２ ≤１, 即二次方程t２ －２at＋３a＋１２ ＝０ 一根在 (－∞,０),另一根在(０,１],由二次函数y＝ φ(t)的图象开口向上,结合图象可得, φ(０)＝ ３a＋１ ２ ＜０ , φ(１)＝１－２a＋ ３a＋１ ２ ≥０ ,{ 解 得 a ＜－ １３ , 满足a＜３－ １７４ ,则a＜－ １３ 满足题意; ② 关于x的方程f(x)＝t１ 有１个实数根,且方程f(x)＝t２ 有 ２个实数根．由方程f(x)＝t１ 有１个实数根,得t１ ＝０,方程 f(x)＝t２ 有２个实数根,得t２＞１,即二次方程t２－２at＋ ３a＋１ ２ ＝０一根为０,另一根在(１,＋∞),则φ(０)＝ ３a＋１ ２ ＝０ ,解得a ＝－ １３ ,此时,方程为t２＋ ２３t＝０ ,解得t１ ＝０,t２ ＝ － ２ ３ ∉ (１,＋∞),不合题意．综上所述,函数F(x)＝f２(x)－２af(x)＋ ３a＋１ ２ 的零点个数为３,则a的取值范围为 (－∞,－ １３ ) ． 专题１４　 三角函数的概念、同角 的三角函数关系式与诱导公式 狂练考点１　 三角函数的概念及 同角的三角函数关系式 １．－ ５５ 　 解析:因为θ∈ (０,π２ ) ,则sinθ＞０,cosθ＞０,又因为 tanθ＝sinθcosθ＝ １ ２ ,则cosθ＝２sinθ,且cos２θ＋sin２θ＝４sin２θ＋ sin２θ＝５sin２θ＝１,解得sinθ＝ ５５ 或sinθ＝－ ５５ (舍去),所以 sinθ－cosθ＝sinθ－２sinθ＝－sinθ＝－ ５５ ． ２．D　 解 析:由 题 意 和 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式,有 sinα－cosα＝－ ５５ , sin２α＋cos２α＝１,{ 消去sinα,得５cos ２α－ ５cosα－２＝０．解 得cosα＝２ ５５ 或cosα＝－ ５５ ． 当cosα＝２ ５５ 时,可得sinα＝ ５ ５ ,此时tanα＝sinαcosα＝ １ ２ ． 当cosα＝－ ５５ 时,可得sinα＝ －２ ５５ ,此时tanα＝２．所以tanα＝ １２ 或２．故选 D． ３．B　 解析:∵α,β的终边关于y轴对称,且α的终边过点(３,４),则 β的 终 边 过 点 (－３,４);由 三 角 函 数 的 定 义 可 得,cosβ ＝ －３ (－３)２＋４２ ＝－ ３５ ,则sin π２ ＋β( ) ＝cosβ＝－ ３ ５ ． 故选B． ４．B　 解析:１－sin２α１＋cos２α＝２ 得cos ２α＋sin２α－２sinαcosα ２cos２α ＝２,进而 可得１＋tan ２α－２tanα ２ ＝２⇒tan ２α－２tanα－３＝０,由于α∈ (π,３π２ ) ,所以tanα＞０,故tanα＝３,又cos２α＝ cos２α－sin２α cos２α＋sin２α ＝１－tan ２α １＋tan２α ＝１－９１＋９＝－ ４ ５ ,故选B． ５．C　 解析:如图所示,由图中小正方形的面 积S１ 与大正方形面积S２ 之比为１∶２５,可 得DC ＝５EH,因为CE ＝DCsinα,可得 DE ＝DCcosα＝EC－EH ＝ DCsinα－ １ ５DC ,所以sinα－cosα＝ １５ ,所以１－ ２sinαcosα＝ １２５ ,所以２sinαcosα＝ ２４２５． 所 以(sinα＋cosα)２＝１＋２sinαcosα＝４９２５ ,因为α∈ ０,π２( ) ,所以 sinα＋cosα＝ ７５ ,所以sin α＋ π４( ) ＝sinαcos π ４ ＋cosαsin π ４ ＝ ２２ (sinα＋cosα)＝７ ２１０ ． 故选 C． 狂练考点２　 诱导公式 １．D　 解析:tan２５５°＝tan(１８０°＋７５°)＝tan７５°＝tan(４５°＋３０°) ＝ tan４５°＋tan３０°１－tan４５°tan３０°＝ １＋ ３３ １－ ３３ ＝２＋ ３．故选 D． ２．－２ ６５ 　 解析:设β＝５３°－α,γ＝３７°＋α,那么β＋γ＝９０°．从 而γ＝９０°－β．于是sinγ＝sin(９０°－β)＝cosβ．因为－２７０°＜ α＜－９０°,所以１４３°＜β＜３２３°．由sinβ＝ １ ５ ＞０ ,得１４３°＜β ＜１８０°,所以cosβ＝－ １－sin２β＝ １－ １ ５( ) ２ ＝－２ ６５ ． 所 以sin(３７°＋α)＝sinγ＝－２ ６５ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —３９　 ３．D　 解析:由二倍角公式有cos(２α＋ π６ ) ＝cos[２􀅰(α＋ π １２) ] ＝２cos２(α＋ π１２) －１,又已知cos(α＋ π １２) ＝ １ ３ ,代入即得 cos(２α＋ π６ ) ＝２× ( １ ３ ) ２ －１＝－ ７９ ,由诱导公式有sin(２α ＋２π３ ) ＝sin[ (２α＋ π ６ ) ＋ π ２ ] ＝cos(２α＋ π ６ ) ,因此sin(２α ＋２π３ ) ＝cos(２α＋ π ６ ) ＝－ ７ ９ ． 故选 D． ４．B　 解析:因为０＜x１ ＜x２ ＜２π,sinx１ ＝sinx２ ＝ １ ３ ＞０ ,所 以 x１＋x２ ２ ＝ π ２ ,即x１＋x２＝π,x２＝π－x１,所以cos(x１－x２) ＝cos(２x１－π)＝－cos２x１＝－(１－２sin２x１)＝－ (１－２× １９ ) ＝－ ７９ ． 故选B． ５．０　 解析:因 为f(x)＝sin(４x＋ π３ ) －sin(４x－ π ６ ) ＝ sin(４x＋ π３ ) －sin(４x＋ π ３ － π ２ ) ＝sin(４x＋ π ３ ) ＋ cos(４x＋ π３ ) ＝ ２sin(４x＋ π ３ ＋ π ４ ) ＝ ２sin(４x＋ ７π １２) , 将函数f(x)的图象向右平移 π１２ 个单位长度,得到函数g(x)的 图象,则g(x)＝ ２sin[４(x－ π１２) ＋ ７π １２] ＝ ２sin(４x＋ π ４ ) , 因此,g(－ π１６) ＝ ２sin(－ π ４ ＋ π ４ ) ＝０． 狂练综合 　 三角函数的概念、同角的三角 函数关系式与诱导公式 １．C　 解析:已知角α终边上有一点P (sin２π３ ,cos ２π ３ ) ,即 点 P( ３２ ,－ １ ２ ) ,∴α＝－ π ６ ＋２kπ (k∈Z),∴π－α＝７π６ －２kπ (k ∈Z)为第三象限角．故选 C． ２．A　 解析:因为sin(１０°－θ)＋sin(１０°＋θ)＋ ３sin(２０°＋θ) ＝２sin１０°cosθ＋ ３sin２０°cosθ＋ ３cos２０°sinθ＝０, 所以tanθ＝２sin１０°＋ ３sin２０° － ３cos２０° ＝２sin (３０°－２０°)＋ ３sin２０° － ３cos２０° ＝ ２× ( １２cos２０°－ ３ ２sin２０°) ＋ ３sin２０° － ３cos２０° ＝－ ３３ ． 故选 A． ３．C　 解析:由sin１１°＋cos１１°＝t,平方可得１＋２sin１１°cos１１°＝ t２,解得２sin１１°cos１１°＝t２－１,即sin２２°＝t２－１,又由cos１１２° ＝cos(９０°＋２２°)＝ －sin２２°＝１－t２．故选 C． ４．D　 解 析:因 为 cos π２ ＋α( ) ＋３cos(α － π)＝ ０,所 以 －sinα－３cosα ＝ ０, 所 以 tanα ＝－ ３． sinα－sin ３α sin π２ ＋α( ) ＝ sinα(１－sin２α) cosα ＝sinαcosα＝ tanα tan２α＋１ ＝－ ３１０． 故选 D． ５．B　解析:由三角函数定义知:sinα＝ ３２ ,cosα＝ １２ ,将角α的终 边按逆时针方向旋转 π ３ ,此时角变为α＋ π３ ,故点Q 的横坐标 为cos α＋ π３( ) ＝cosαcos π ３ －sinαsin π ３ ＝－ １ ２ ,点Q的纵坐 标为sin α＋ π３( ) ＝sinαcos π ３ ＋cosαsin π ３ ＝ ３ ２ ． 故点Q的坐 标为 － １２ ,３ ２( ) ．故选B． ６．A　 解析:因为eα－e π ２－β ＝sinα－cosβ＋ π ２ ,所以eα－sinα＝ e π ２－β－sin( π２ －β) ＋ π ２ ,可得eα－sinα＞e π ２－β－sin( π２ －β) , 令f(x)＝ex－sinx,x∈ (０,π２ ) ,f′(x)＝ex －cosx＞１－ cosx＞０,所以f(x)在 (０,π２ ) 上为增函数,则α＞ π ２ －β ,∵α, β均为锐角,∴cosα＜cos( π２ －β) ,sinα＞sin( π ２ －β) ,∴cosα ＜sinβ,sinα＞cosβ,故 A正确C错误;因为β＝ π ４ ,α＞ π２ －β ＝β;α＝ π ４ ,β＞ π ２ －α＝α 无法确定α,β的大小,故BD错误; 故选 A． ７．BD　 解析:因为sinα＝tanαcosα＝tanα２ ,所以cosα＝ １２ ,又α∈ (π,２π),所以sinα＝－ ３２ ,tanα＝－ ３,故A错误,B正确．tanβ２ ＝－ ３２ ． 所 以 tanβ ＝ ２tanβ２ １－tan２ β２ ＝－ ４ ３．cosβ ＝ cos２ β２ －sin ２ β ２ sin２ β２ ＋cos ２ β ２ ＝ １－tan２ β２ １＋tan２ β２ ＝ １７ ,故C错误,D正确．故选 BD． ８．ACD　解析:因为α＝β＋ π ２ ,所以sinα＝sin(β＋ π２ ) ＝cosβ, 故 A正确．因为２sin２α＋ ３sin２α＝１－cos２α＋ ３sin２α＝１＋ ２sin(２α－ π６ ) ,故B错误;将方程sinα－cosα＝ １ ２ 两边平方, 得１－sin２α＝ １４ ,解得sin２α＝ ３４ ,故C正确;因为cosα＝ ５５ , 所以sinα＝ ２ ５５ ,tanα＝２,则tan( π４ ＋α) ＝ １＋tanα １－tanα ＝ １＋２ １－１×２＝－３ ,D正确．故选 ACD． ９．ACD　解析:因为x＝２sin６３°sin６４°cos１８°cos１９°＝ ２sin(４５°＋１８°)􀅰２sin(４５°＋１９°) cos１８°cos１９° ＝sin１８°＋cos１８°cos１８° × sin１９°＋cos１９° cos１９° ＝ (１＋tan１８°)(１＋tan１９°),故A 正确;由正切函数在 (０,π２ ) 上恒为正且单调递增得x＝ (１＋ tan１８°)(１＋tan１９°)＜ (１＋tan２６°)(１＋tan２７°)＝y,故B错误; 注意到１＝tan(１８°＋２７°)＝ tan１８°＋tan２７°１－tan１８°tan２７° ,所以tan１８°＋ tan２７°＋tan１８°tan２７°＝１,同理tan１９°＋tan２６°＋tan１９°tan２６° ＝１,于是xy ＝ (１＋tan１８°)(１＋tan２７°)􀅰(１＋tan１９°)(１＋ tan２６°)＝ (１＋tan１８°＋tan２７°＋tan１８°tan２７°)(１＋tan１９°＋ tan２６°＋tan１９°tan２６°)＝２×２＝４,故C正确;由基本不等式可 得x＋y＞２ xy ＝４,故 D正确．故选 ACD． １０．７５ 　 解析:(sinx＋cosx)２＝１＋２sinxcosx＝ １２５ ,得２sinxcosx ＝－２４２５ ,(sinx－cosx)２＝１－２sinxcosx＝４９２５． 因为 π ２ ＜x＜ π,所以sinx＞cosx,故sinx－cosx＝ ７５ ． １１．７６π　 解析:tanα tanβ ＝ sinαcosα 􀅰cosβ sinβ ＝－ １４ ,故 cosαsinβ ＝ －４sinαcosβ,又 sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ＝ ５ ６ ,故 sinαcosβ＋４sinαcosβ＝５sinαcosβ＝ ５ ６ ,解得sinαcosβ＝ １ ６ ,故 cosαsinβ＝－４sinαcosβ＝－ ２ ３ ,则 sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —４０　 cosαsinβ＝ １ ６ － ２ ３ ＝－ １ ２ ,因为α,β∈ (０,π),所以α－β∈ (－π,π),因为sin(α－β)＝ ５ ６ ＞０ ,所以α－β∈ (０,π),α＞β, 因为tanα tanβ ＝－ １４ ＜０ ,所以tanα,tanβ异号,从而α∈ ( π２ ,π) , β∈ (０,π２ ) ,故α＋β∈ ( π ２ ,３π ２ ) ,故α＋β＝ ７ ６π． １２．２２ 　－ ２ ４ 　 解析:x１x２＋y１y２ ＝OA→􀅰OB→ ＝|OA→|􀅰|OB→| 􀅰cosπ４ ＝ ２ ２ ． 由三角函数的定义可知,x１ ＝cosα,y１ ＝sinα, x２ ＝cos α＋ π ４( ) ,y２ ＝sin α＋ π ４( ) ,则 x１y２ ＋x２y１ ＝ cosαsin α＋ π４( ) ＋ cos α＋ π ４( )sinα ＝ sin ２α＋ π ４( ) ＝ ２ ２ (sin２α＋cos２α)＝ ２２ 􀅰２tanα＋１－tan ２α tan２α＋１ ＝ ２１０． 所以３tan２α －５tanα－２＝０,解得tanα＝２或tanα＝－ １３ (舍去),则x２ y１ ＝ cos α＋ π４( ) sinα ＝ ２ ２ (cosα－sinα) sinα ＝ ２ ２ １ tanα－１( ) ＝ － ２ ４ ． 故答案为:２ ２ ,－ ２４ ． 专题１５　 三角化简与求值 狂练考点１　 利用两角和与差的 三角函数公式化简与求值 １．B　解析:因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ ,而cosαsinβ ＝ １６ ,因此sinαcosβ＝ １ ２ ,则sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ ＝ ２３ ,所以cos(２α＋２β)＝cos２(α＋β)＝１－２sin２(α＋β)＝ １－２× ( ２３ ) ２ ＝ １９ ． 故选B． ２．１２ 　 解析:由cosα＝ １７ ,α是锐角,得sinα＝ １－cos２α＝ １－ １７( ) ２ ＝４ ３７ ． 因为α,β是锐角,所以α＋β∈(０,π)．又因 为cos(α＋β)＝－ １１ １４ ,所以sin(α＋β)＝ １－cos２(α＋β)＝ １－ －１１１４( ) ２ ＝５ ３１４ ,所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋ β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝ － １１ １４( )× １ ７ ＋ ５ ３ １４ × ４ ３ ７ ＝ １ ２ ． ３． D　 解 析: 由 sin π４ ＋α( )cos π ４ －α( ) ＝ １ ３ , 得 ２ ２cosα＋ ２ ２sinα( ) ２ ＝ １３ ,即 (sinα＋cosα)２ ＝ ２３ ,１＋ ２sinαcosα ＝ ２３ , 所 以 sin２α ＝－ １３ ,sin４α ＋ cos４α ＝ １－cos２α ２( ) ２ ＋ １＋cos２α２( ) ２ ＝１＋cos ２２α ２ ＝ ２－sin２２α ２ ＝ １７ １８． 故选 D． ４．C　 解 析:因 为 sinα ＝ ３５ ,α ∈ ( π２ ,π) ,所 以 cosα ＝ － １－sin２α＝－ ４５ ,tanα＝sinαcosα＝－ ３ ４ ,因为sin(α＋β) cosβ ＝ sinαcosβ＋cosαsinβ cosβ ＝sinα＋cosα􀅰tanβ＝ ３ ５ － ４ ５tanβ＝４ ,所 以 tanβ ＝－ １７ ４ , 所 以 tan(α ＋ β) ＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ － ３４ － １７ ４ １－ (－ ３４ ) × (－ １７ ４ ) ＝ １６７ ． 故选 C． 狂练考点２　 利用二倍角公式、 辅助角公式等化简求值 １．D　 解析:因为cosα＝１－２sin２ α２ ＝ １＋ ５ ４ ,而α为锐角,解得: sinα２ ＝ ３－ ５ ８ ＝ (５－１) ２ １６ ＝ ５－１ ４ ． 故选 D． ２．４ ２７ 　 解析:因为sin π４ －α( ) ＝sin[ π２ － ( π ４ ＋α) ] ＝ cos π４ ＋α( ) ,则原等式可化为sin( π４ ＋α)cos( π ４ ＋α) ＝ １ ６ ． 即 １ ２sin ２ π ４ ＋α( )[ ] ＝ １ ６ ,于是得sin( π２ ＋２α) ＝ １ ３ , 则有cos２α＝ １３ ． 因为α∈ π２ ,π( ) ,即２α∈ (π,２π),从而得 sin２α＝－ １－cos２２α＝－２ ２３ ,则tan２α＝sin２αcos２α＝－２ ２ ,因 此,tan４α＝ ２tan２α １－tan２２α ＝－ ４ ２ １－(－２ ２)２ ＝４ ２７ ． ３．D　 解析:已知tanα＝ ２cosα２ ３－２sinα２ ,得:sinα cosα＝ ２cosα２ ３－２sinα２ ,即 ２sinα２cos α ２ cosα ＝ ２cosα２ ３－２sinα２ ．∵α ∈ ０,π２( ) ∪ π ２ ,π( ) ． ∴cosα２ ≠０ ,∴ sinα２ cosα ＝ １ ３－２sinα２ ,化简得cosα＝３sinα２ －２sin２ α２ ,由二倍角公式得１－２sin２ α２ ＝３sin α ２ －２sin ２ α ２ , 解得:sinα２ ＝ １ ３ ,cosα＝１－２sin２ α２ ＝１－２× １ ３( ) ２ ＝１ － ２９ ＝ ７ ９ ,故选 D． ４．C　 解 析: 因 为 tan α＋１９π６( ) ＝ tan α＋ π ６ ＋３π( ) ＝ tan α＋ π６( )＝ ６ ３ ,所以sin π６ －２α( ) ＝sin[ π２ －２(α＋ π ６ ) ] ＝cos[２(α＋ π ６ ) ] ＝ cos２ α＋ π６( )－sin ２ α＋ π６( ) cos２ α＋ π６( )＋sin ２ α＋ π６( ) ＝ １－tan２ α＋ π６( ) １＋tan２ α＋ π６( ) ＝ １ ５ ,故选 C． ５．４　解析:由tan２０°＋msin２０°＝ ３,得msin２０°＝tan６０°－tan２０° ＝sin６０°cos６０°－ sin２０° cos２０°＝ sin６０°cos２０°－cos６０°sin２０° cos６０°cos２０° ＝ sin４０° １ ２cos２０° ＝ ４sin２０°cos２０° cos２０° ＝４sin２０° ,而sin２０°＞０,所以m ＝４． 狂练综合 　 三角函数化简与求值 １．D　 解 析: 原 式 化 简 为 １＋cos２０°２ ＋ １－sin２０° ＝ １＋(２cos２１０°－１) ２ ＋ １－２sin１０°cos１０°＝cos１０°＋cos１０° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋