专题12 导数与函数的单调性，极值，最值-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

专题12导数与函数的单调性，极值，最值 狂练考点1导数与函数的单调性 2.【课本典例】(2019版 1.【高考典例】(2023·全国Ⅱ卷)已知函数 人教B版选择性第三 f(x)=ae一lnx在区间(1,2)上单调递增， 册)如图所示，某海岛码 则a的最小值为 头O离岸边最近点B的 A.e2 B.e 距离是150km,岸边的医药公司A与点B的 C.e-l D.e-2 距离为300km,现有一批药品要尽快送达海 2.【课本典例】(2019版人教A版选择性必修 岛码头.已知A与B之间有一公路，现要用海 第二册)lnx,x,e的大小关系为 陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速 A.I<Inr<e B.Inr<<e 为130km,快艇时速为50km.试在岸边选一 C.e<Inr<x D.<e<Ina 点C,先将药品用汽车从A送到C,再用快艇 3.【经典好题】(2024·安徽合肥市六校联盟期 中)定义域为R的可导函数y=f(x)的导函 从C运到海岛码头，则点B,C的距离为 数为(x),满足f(x)<f(x),且f(0)=3, km可使运输时间最短. 则不等式f(x)<3e的解集为 3.【经典好题】(2024·江苏无锡期中)当x=2 A.(-∞，0) B.(-∞，2) 时，函数f(x)=x3+bx2一12x取得极值，则 C.(0,+∞) D.(2,+∞) f(x)在区间[-4,4幻上的最大值为() 4.【好题精选】已知函数f(x)满足f(x)= A.8 B.12 f(2)e2-f(0).x+ 2，则f(x)的单调递 C.16 D.32 小 勉 减区间为 ( 4.【好题精选】(2024·新疆生产建设兵团第三师 社 练 A.(-∞，0) B.(1,+o∞) 图木舒克市第一中学月考)（多选）已知函数 C.(-o∞，1) D.(0,+oo) f(x）=x3一a.x2十hx十1，则下列说法正确的 029 5.【新题展望】 是 a.x3-ax2十x(x≤0)， A,当b=0时，f(x)有两个极值点 数 函数f(x)= 在R上 (4-a2)em-1r(.x>0) B.当a=0时，f(x)的图象关于(0,1)中心 单调，则实数a的取值范围是 对称 狂练考点2导数与函数的极值，最值 C.当a=0,b=一3时，f(x)有三个零点 1.【高考典例】(2023·全国Ⅱ卷)（多选）若函数 D.当f(x)在R上单调时，a2≤3b f(x)=alnx十b+S(a≠o)既有极大值也 5.【新题展望】(2024·山东烟台期中)已知函数 2 f(x)= sin2.r 有极小值，则 ( 1+cos2z+4-cos2r（0<x≤ A.be>0 B.ab0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 ),则fx)的最小值为 快乐考生 让学习快乐起来！ 狂练综合 导数与函数的单调性， 6.(2024·宁夏固原五中月考)已知函数f(x)= e(x2一x十1)，则下列选项正确的有() 极值，最值 A.函数f(x)极小值为一1 一、单选题 B.函数f(x)在（一1，十∞）上单调递增 L.已知定义域为(0， C.当x∈[一2.2]时，函数f(x)的最大值为3e 十o∞)的函数f(x)的 D当k<是时，方程f)=恰有3个不等 导函数为(x),且 实根 函数g(x)=(log3x 二、多选题 一1)·f'(x)的部分 7.(2024·河南阶段性测试)已知函数f(x)= 图象如图所示，则下列说法中正确的是 ( mlnx十+”在x=1处取得极大值一1，则 A.f(x)有极小值f(6),极大值f(1) 下列结论正确的是 () B.f(x)有极小值f(6),极大值f(10) 参考数据：ln2=0.7. C.f(x)有极小值f1),极大值f(3)和f(10) A.n=2 D.f(x)有极小值f(1),极大值f(10) B.m=-3 2.(2024·辽宁名校联盟联考)已知函数f(x) C.f(x)在x=2处取得极小值 32+22-2x+1,若)在(2aa+3)内 D)在区间[合]的最小值为3n2-号 存在最小值，则a的取值范围为 8.(2024·湖南部分学校联考)定义在(0，十∞) A.(-2.2》 上的函数f(x)的导函数为f(x),f(x)>0 B.(-2,3) 且xf'(x)[f(x)]-x2(x)<[f(.x)]3恒 c[-》 D.(-5,-1) 成立，则 小 3.(2024·辽宁大连金州高级中学期中)若函数 Af12)[f1)-2f2)]>f)-f2 告 狂 f(x)=(x十1)ln.x-ax在(0，十o∞)具有单 调性，则a的取值范围是 ( BVa0,+eo函数y=四+7元女 练 A.(2,+∞) B.[2,+∞) >0)有极值 030 C.(-∞，2] D.(-∞，2) C.f2)[1)-2f2)]<f)-f2) 4.(2024·湘豫名校联考诊断)函数f(x)=ax3 数 十2x2+ax+1在(-1，+o)上存在极大值 D.1a0,十o),函数y=f2+7 f(x1)和极小值f(x2),且x1<x2,则实数a >0)为单调函数 的取值范围为 三、填空题 A(o.2 a(停2g 9.(2024·山东济南莱芜一中月考)已知函数 f(x)=2x一msin.x在R上不是单调函数，则 c1.2 实数m的取值范围是 D.(1,2) 10.(2024·贵州六盘水纽绅中学联考)已知函 5.已知函数f(x)=x21nx+a.x存在减区间，则 数f(x)= 一ex十alnx的最小值为1，则 实数a的取值范围为 ( ra A.(e,十o∞) B.(2e-,十oo) a的取值范围为 C.(-o∞，e) D.(-o∞，2e)选ACD. (1)-e,故→-,即a→-,即a的最小值为,故 8.ACD 解析:由题可知f(x)=+b,所以/(1)=a十b= 选C. 2.对于A:ab(“) 2. B 解析:由题设,lnr<x等价于x-lnxo,r<e等价于e 一1,当且仅当a二b一1时等号成立, >0.令f(c)=r-lnr,则/(s)=1--,而r(1)=1 A正确;对于B令a-3,b=-1,则-+1 -- 2 <2,B错 ③ 1-0.0<x<1时,r(r)<0,/(r)单调递减;r1时。 误;对于C:因为2(a}+)(a+b){},所以a^}+2,当且 仅当a-6-1时等号成立,C正确;对于D:3*+3^* #(r)→0,f(x)单调递增;故f(x)三f(1)=1在x>0上 $2 3x3{-2V3+-6,当且仅当a-b=1时等号成立,D$ 成立,即x-lnx三1→o.lnr x在(0,十)上短成立,令 ($--r,则 ()--1,而$(o)-”-1-0. 正确,故选ACD #s.inx十 &(o,+o)时,g(x)0,g(x)单调递增,故g(x)g(0)= 0在(0,+o)上恒成立,即-x0.,x 在(0,+)上 解析:数f(c)2 3sinr+2r 9.1 2十cosx 恒成立,综上,lnx x e在(0,十o)上恒成立,故选B. 4十2cosr 3.A 解析:令g(x)(r).则g'(c)-(c)f(xi)e 4+2cos.r (e) #(x)一f(x)o,所以g(x)在R上单调递增./(x)<3e → 3sin(-)+2(-)sinr+2r -一g(x),即函数g(x) e{ 4+2cos(一x) 4+2cosr f()<3-f(0),即(x)<g(0),所以x<0.故选A. 是R上的奇画数.f(x)=g(c)十,因此/(-1)十/()= e0 4.A 解析:由题设/(1)一(2)e-?一f(0)十x,则’(2) $$(2)-f(0)+2,可得f(0)-2,而f(0)-f(2)e-2,则 g(-)=-g(r)两边求导得:-g'(-r)=-g'(r),即g’(-) #(2)-2”,所以/(x)-2-2x+*,即/(n)-2- =g'(x).而/(x)=g’(x),于是得f(x)-/(-x)=g’(x) '(r)-0./(-2023)-/(2023)-0,所以f(-2023)十 $+.则f(0)-0且/(x)递增,当x 0时r(x) 0,即f() (-2023)+f(2023)-/(2023)=1. 递减,故((x)的递减区间为(一,0).故选A. 10.(6. 5.(1.2) 解析:当x 0时,f(x)=ar-ar+x.f(0)-0.所 以f'(x)-3ar-2ar+1,/(0)0.所以x-0不是f(x)的 极值点,因为f(x)在R上单调,所以△-(-2a)②}-4×3a 0 解得o<a<3,当a-0,f(x)一x在(-oo,0]上单调递增,当 (v-1-2x 0 a 3,P(x)为开口向上的抛物线,所以f(x)在(一o,0] 则 上单调道增,所以/(x)在R上为单调递增函数,所以当x0 时,f(x)=(4-a^{})e{a-1为单调递增函数, 二 (4->0. -(2+4)-41+3-0.所以-(2+4)第-4 所以{-1。 1(4-)0(4-a^?})e*0, (-2<a<2.” #####_ (>2或a<-2. 所以1. 或<1, (舍).解得1<a<2 1-22 1-2<<2 3-4ln,又由 满足题意,所以实数a的取值范围是(1,2). 狂练考点2 ##)} 导数与函数的极值,最值 #()一 +),求导得/(c)---2---2C.,因为函 _) ,令(t)-t+4ln-1,可得 () 数/(x)既有极大值也有极小值,则函数/(x)在(0,十)上有 (3-4ln){ 两个变号零点,而a去0,因此方程ar{一br一2c=0有两个不 -1+4→0,&数e(t)在(0,e)上单调递增,且(1)-0. (△-b+8ac>0. 当0 1 ]时,c(ì) 0.即h(t) 0,此时函数h(t)单调 等的正根,r。,于是 {十= 20. 减,当1<!<e时,(ì)0.即h'(ì)0,此时函数h(t)单 ” 调递增,所以h(1)n一h(l)一3.且当i趋近于0时,h(t)趋近 : 正无穷,所以画数h(t)的值域为[3,十c),所以-→3且a> ab0.ac 0.显然a^{}b 0.即b 0,A错误,BCD正确.故 选BCD. 0.解得0<a二.即实数。的取范因为(0.] 2.25 解析:设点C与点B的距离为xkm,运输时间为T(x)小 2 专题12 导数与函数的 时,则T(o)-150+300-,0<<300,因为r'(c) 50 130 单调性,极值,最值 1(150{+*)×2r1 ) 1 130 50 2 狂练考点1 50 V150+130.因此 导数与函数的单调性 1.C 解析:依题可知,/(x)=a -1三0在(1,2)上惊成立。 显然a0.所以xe-,设g(c)-xe’,c(1,2),所以 这就是说,点C选在离B点为125km时可使运输时间最短. g'(r)-(x+1)e0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,g(x) 2 数学答案-27 3.C 解析:因为f(x)-+hr-12r,所以/(x)-3.r}+2hr a,当函数f(x)一(x十1)lnr一ax在(0,+)上单调递增时, -12,又f(x)在x-2取极值,所以f(2)=12+4b-12-0. #r()>o恒成立,得a<lnr+-+1,设g(c)=ln+-+ $$=0,所以f(x)=-12r,()=3-12,[-4,] 令¥()0.得-4<<-2或2 4;令f(x)<0.得 -2<x 2:所以f(x)在[-4.-2]和[2,4]上单调递增,在 ._ [-2,2]上单调递减,故b-0满足题意,又/(-2)=-8+24 调递增,当0 x l时,(x) 0,g(x)单调递减,所以 16./(4)-64-48-16,故f(t)a -16,故选C g(x)-g(1)-2,因此有a<2,当函数/(x)-(x+1)lnr 4.BCD 解析:对于A选项,当a=0且b-0时,/(x)=+1. 一ar在(0,十co)上单调递减时,/(x)<0恒成立,得a一lnx 则f(x)一3r0对任意的xR悟成立,此时,画数f(x)在 B上为增品数,无极值点,A错;对于B选项,当a一0时,/(x) ” x+hr十1,该品数的定义域为R,且f(一x)十f(x)一(一x) 当x1时,g'(r)>0.g(x)单调递增,当0 x<1时,g’(r) -hr十1十r十hx十1-2,所以当a-0时,f(x)的图象关千 <0.g(x)单调递减,所以g(x)m。=g(1)一2,显然无论a取何 (0.1)中心对称,B对;对于C选项,当a一0,b一-3时,则/(x) 实数,不等式/(x)三0不能恒成立,综上所述,a的取值范围是 =-3x+1,该函数的定义域为R,f(x)=3xr-3=3( (一.2,故选C. 1)(x+1).由/(x)<0可得-1<x<1,由/(x)>0可得 4.C 解析:由题可得,/'(x)-3ax+4x十a,当a0时,方程 x-1或x1,所以函数f(x)的单调递增区间为(一,一1)。 /(r)=0在(-1,十o)上有两个不同的实根x,x,且x (1,十o),单调递减区间为(一1,1),函数/(x)的极大值为 4-16-12a2>0. f(-1)--1+3+1-3,极小值为f(1)-1-3+1--1,又 二21. r。,则 3 解得1<a< 因为f(-2)--8+6+1--1<0,f(2)-8-6+1-3 0.则f-2)f-1)0.f-1)(1)<0.f(1)f(2)<0,由 (/(-1)>0. 点存在定理可知,函数f(1)有三个零点,C对;对于D选项,因 /(x)一4r,不满足题意;当a<0时,/(x)的图象开口向下,若 为f(x)一3r一2ar十b,则画数/(x)的图象开口向上,所以 方程/(x)一0在(一1,十)上有两个不同的实根x1,,则 若f(x)在R上单调,则f(x)在R上只可能单调递增,不可能单 f(x)的极大值点工,大于极小值点工。,与题意矛盾,综上所述,1 调递减,所以对任意的xR,/(x)0,则△-4a-12b 0. 可得a3,D对,故选BCD 5.D 解析:由题可知/(x)一2xlnr十工十a,因为函数/(r)一 5.- 解析:由同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简 r”lnr十ax存在减区间,则/(x)<0有解,即2xlnr十x十a sin2r f(x).即/(x)= 0有解,令g(x)-2xlnr+x+a,g'(x)-2lnr+3,令g(x) 1+cos2x+4(1-cos2x) 2cost + 0.解得xe;令g'(x)<0,解得o<xe.所以g(x)在 1,即 (0.e})上单调递减,(e-},+oo)上单调递增,所以g(x)mn= 4X2sint co}) 4sin) (c)-1+tan{}x+tan( g(e)=-3e-}++a=-2e-}+a,因为2xlnr+x+a <0有解,所以-2e+a<0,解得a 2e,故选D 6.C 解析:f(c)=e(xr+x)=e·x(x十1),令f(x)>0. 解得x<-1或x>0,令f(x)<0,解得-1<x 0,所以f() 在(一,一1),(0,+)上单调递增.(一1.0)上单调递减,故B 时,()< 错误;f(x)在x一0处取得极小值,极小值为1,故A错误; (1 f(-2)(-1)-3./(2)3e”所以/(c)在[-2.2] 0.此时g(()为单调递减函数,当1 时,g'()一0.此 上的最大值为3e,故C正确; 时 (t)为单调递增函数,所以(一 f(x)的大致图象如下: 。 #(#)一1+()# 7.综上所述,/(x)的最小 4×2 值为 1= 狂练综合 导数与函数的单调性,极值,最值 1.D 解析:观察图象知,当g(x)>0时,0<x1或3<x<10 方程/(x)一人的根的个数可以转化为画数f(r)的图象与y一 且x6,当g(x)<0时,1 x<3或x→10,而当0 人的图象的交点个数,由图可知,当1二k一3时,图象有3个交 3时,logx-1<0,当x>3时,logx-10,因此当0 1或t>10时,/(x)<0,当1 r 10时,/(x)0,当且仅 点,即方程f(x)一b有3个不等实根,故D错误,故选C. 当x一6时取等号,则f(x)在(0,1).(10,十)上单调递减,在 7. B BCD 解析:对A.B./(x)-mlnr十x十-,故/()-二十 (1.10)上单调递增,所以f(x)有极小值f(1),极大值f(10). 1-2+n-”,由题意f(1)-1+n--1,/(1)-1 A.B.C不正确.D正确.故选D. 2.C 解析:因为/(x)二- 。 +m一n-0.解得n--2.m--3.故A错误,B正确;对C,故 +x-2-(x-1)(x+2),令/(x)-0,解得x--2或x-1. f()--3nr十r- 2./()- 所以f(x)在(-,-2),(1,+)内单调递增,在(-2,1)内 (r-1)(r-2).(r>0).令/(c)0可得0<x<1或x> 单调递减,所以极小值为/(1)-一 ,则(2r +7)(x-1)#-0.所以/(-)--由题意得-<2a 2.令/(r)0可得1<x2,故f(x)在(0,1)与(2,+o)上 单调递增,在(1,2)上单调递减,故/(x)在x一2处取得极小 <1<a十3,所以a的取值范回为[一).故选C. 3.C 解析:由/(c)=(c+1)lnx-ax→/'(r)-lnx+-+1- 数学答案-28 -4-3tn2-,f(2)--3ln2+2--3ln2+13ln2 #*sineoo,s()5-寸( 8. AD #(())[)]-[) C/()了 ()了 0.所以g(c)在(0.+oo)上单调递减,故B错误,D正确.从而g(1) -2sin父co).g'(0)-1-2cos20-0.0-.g(0)在(0,)单 #22)因为f(c)→0,所以f(1) 调减,在(吾))单调增,故g(o) =8())-一 >0.f(2)0.所以/(1)/(2)(1)-/(2)] 1>/(1)一 f(2),故C错误,A正确.故选AD. 9.m -2或m2 解析:因为f(.x)=2x一msinx,所以 () 一2一mcosr,又f(x)不是单调函数,所以函数f(x)有极值点; 即/(x)在R上有变号零点,则2一mcost=0成立,当cosr 0时,2-mcosr-0可化为2-0,显然不成立;当cosx关0时. 狂练痛点2 导数与立体几何 2,因为xR.-1<cosx<1,所以<-2或2 n三 cos cos.r .cosr 一2,所以实数m的取值范围为m<-2或m>2(因为要有变号 零点,故不能取等号),经检验,m 一2或n2满足要求,故答 设圆柱的高为h,底面圆的半径为r,所以r^{}h- 案为:n<-2或n>2. 2]) 解析:/(c)一 10.(-o.0)U[e.+o) -er+alnr- , 2-(4 )对() 2-(2-)-- _ 数单调递减;当1(1,十)时,g(1)0,函数单调递增;故 时,i(r)取得最小值233r,即S最小值为23π ③ 8(t)ma-g(1)-1,故1- 故选D. 2.B 解析:设AC=a(a0),则AB-2a. 在△ABC中,由余弦定理知,BC{=AC{}+AB{}-2AC·AB· 1-lnx,当x(0.e)时,h'(x)>0.函数单调递增;当x(e. e2 值已含去).由PA+BC=3.知PA=3-3a..PA I 平面 出函数图象,如图所示: -。 -3).设g(a)-3a-③a(0<a<③),则g'(a)-6a- (0.2)时,(a) o.,则g(a) 3v3a*-3a(2-3a).当aE (→: “#(#) 上单调逆增;当a 根据图象知士<,解得a<o或ac^②},即a(-,0) 3 此时SA= [十). 2.故选B. 痛点4 “无处不在”的导数大招 3 狂练痛点3 导数与解析几何 狂练痛点1 导数与三角函数 1.C 解析:由题意,抛物线y{一4x的焦点坐标为F。(1,0),则 1.D 解析:设g(x)=(x)-2eosr,则g'(x)=2/(x)· (x) F.(-1,0),a^}-b-1.又因为寡函数f(x)=^过点P(4,2). 十2sinx→o.故y-g(c)在定义域R上是增函数,所以x(吾) 故4-2,解得。= #1.故/(x)-r.设点Q的坐标为(x。。 ##*#(#)#,即#()→#(一)#以#())## 2V (一).故选D. 1(x-xa。),且攀画数在点Q处的切线过点Fi(-1,0),故 2/x。 2.0-2sino()0 解析:Sox一 2/x。 rcosf= -1,而a-6-1,可得-3+v5. 数学答案-29