专题10 函数与方程-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

### 专题10 函数与方程 狂练考点1 函数零点个数及所在区间判断 狂练考点2 由函数零点求参数 1.【高考典例】(2019·全国卷III真题)函数 的取值范围 1.【高考典例】(2023·天津卷)若函数/(x) f(x)=2sinx-sin2x在[0,2x]的零点个数 ax^②}-2x-x2-ax+1|有且仅有两个零点; 为 ( ) 则a的取值范围为 A.2 B.3 2.【课本典例】(2019版人教A版第一册)已知 C.4 D.5 [x2+2x-3,x<0. 函数/(x)= “则使方程 1-2+lnx,x0. 2.【课本典例】 (2019版人教A版第一册)函数 f(x)一( 0)的实数解个数为3时,的相 f(x)=e-1+4x-4在定义域上的零点个数 应取值范围为 为 3.【经典好题】(2024·海南琼中中学模拟)已知 3.【经典好题】(2024·吉林长春东北师大附中摸 [1x-3,x<3. 函数f(x)一 若函数 1-2+6x-9.x>3. 底)方程log。x十x三2的根所在区间是 g(x)-[f(x)]2-af(x)+2有6个零点,则 。 ) a的值可能为 ) A.(0.1) B.(1,2) C.-3 A.-1 B.-2 D.-4 C.(2.3) D.(3,4) 4.【好题精选】(2024·黑龙江牡丹江市第三高级 4.【好题精选】(2024·江西铜鼓中学阶段性测 中学月考)已知f(x)为定义在R上的函数 其图象关于y轴对称,当x三0时,有/(x+1) e{ =-f(x),且当xE[o,1)时,f(x)=log(x +1),若方程f(x)一x=0(>0)恰有5个 的方程f2(x)+mf(x)+m-1=0(m 1) 不同的实数解,则处的取值范围是 ( C ) 的实根个数可能有 #A..) B.[,1) 025 A.1个 B.2个 C.1) D.[,) 游 C.3个 D.4个 5.【新题展望】(多选)秋利克雷函数的解析式为 5.【新题展望】(2024·辽宁大连滨城高中联盟期中 (+1){}<0 1,x是有理数, 。 ) 已知函数/(x)二 D(x)一 则 函数y一 0..是无理数. A.D(x)二0 f(x)一a有四个不同的零点,从小到大依次 B.D(x)1 为x1,x,x,xt,则x1x+x十x.的取值范 围为 ( _~ C.y=D(x)一x有1个零点 A.(5,3十e] B.(4,4十e) # D.y=D(x)+2一有2个零点 C.[4,十oo) D.(-oo,4] 快乐考主 让学习快乐起来! 狂练综合 函数与方程 A.存在实数人,使得对任意实数n,函数 g(x)都有零点 一、单选题 1.(2024·海南琼中黎族苗族自治县琼中中学模 B.存在实数n,使得对任意实数,函数g(x) 至少有2个零点 拟)已知函数f(x)的图象在区间[1,3]上连 C.对于任意实数n,存在实数,使得函数 续不断,则“f(x)在[1,3]上存在零点”是 g(x)恰有2个零点 ( ) D.对于任意实数,存在实数,使得函数 A.充分不必要条件 g(x)恰有3个零点 二、多选题 B.必要不充分条件 6.(2024·重庆巴蜀中学适应性月考)已知函数 C. 充要条件 f(x)=all-llog。|xll(a>o且a1). D.既不充分也不必要条件 则下列说法正确的是 ) 2.(2024·陕西咸阳永寿中学模拟)若函数/(文) A.若函数y=f(x)有4个零点,则0<a<1 -ar-(a②+4)x+2a(a0)的一个零点 B. 当0<a<1时,函数y=f(x)有4个零点 ( 为m(n1),则n的最小值为 ) C.若函数y=/(x)有2个零点,则a>1 A.2十/② B.1+2 D.当a1时,函数y=/(x)有2个零点 C. D 7.(2024·山东滨州新高考联合质量测评)已知 (|logx|.0 x<2 3.(2024·福建厦门一中月考)已知函数f(x) 函数/(x)一 若 sin({+),2<x<12 存在实数a使得方程f(x)三a有四个互不相 ln(x一2十a)的图象上存在关于直线x=1对 等的实数根,分别为x1,x,x,x,且习<x。 称的点,则a的取值范围是 ~ ( <x。<x,则下列说法正确的有 ) B.(一、#)# e C.(-v) D.(-) B2x+x2v2 026 C.()<a 4.(2024·陕西部分学校质量监测)已知5<0. f$x)=x2+(b-2)x+b,y=f(x)-x的两$ 1111 D. 1262+9/2 的取值范围为( 1 2 13 x4 1556 个零点是x1,r,则以下结论:①/(x)有两个 零点:②3aER,对VxER,f(x)ax; 三、填空题 ③x十x3:④x,ro也是/ff(x)]-x的 8.写出一个同时具有下列性质①②的函数 ) 零点,其中正确的个数是 f(x): r A.1 B.2 ①直线x三1是f(x)图象的对称轴;②f(x) C.3 D.4 在R上恰有三个零点 9.(2024·江苏盐城期中)若函数f(x)=x3十 5.(2024·北师大附中月考)已知f(x)三 ax2+br(a,bER)有三个零点xi,x?,x.且 re,x<0. g(x)=f(x)一m,其中. r2-r,x0, <x<x,xi+2x-x,则a+b的最大 值为 7 n是常数,则 )数学答案 —２３　 专题１０　 函数与方程 狂练考点１　 函数零点个数及所在区间判断 １．B　 解析:因为f(x)＝２sinx－sin２x＝２sinx(１－cosx),x∈ [０,２π],令f(x)＝０,得２sinx(１－cosx)＝０,即sinx＝０或１ －cosx＝０,解得x＝０,π,２π,所以f(x)＝２sinx－sin２x在[０, ２π]的零点个数为３个,故选B． ２．１　 解析:因为f(x)＝ex－１＋４x－４,其定义域为(－∞,＋∞), f(０)＜０,f(１)＞０,所以f(x)＝ex－１＋４x－４在区间(０,１)上 有一个零点．又因为f(x)＝ex－１＋４x－４在(－∞,＋∞)上是 增函数．所以f(x)在(－∞,＋∞)上有且仅有一个零点． ３．B　 解析:设f(x)＝log３x＋x－２,则方程log３x＋x＝２的根所 在区间即为f(x)零点所在区间,∵y＝log３x与y＝x－２在(０, ＋∞)上均为增函数,∴f(x)在(０,＋∞)上单调递增;对于 A, ∵f(１)＝log３１＋１－２＝－１,∴ 当x∈ (０,１)时,f(x)＜－１, A错误;对于B,∵f(１)＝－１＜０,f(２)＝log３２＋２－２＝log３２ ＞０,即f(１)f(２)＜０,∴∃x０ ∈ (１,２),使得f(x０)＝０,B正 确;对于 CD,当x＞２时,f(x)＞f(２)＞０,∴f(x)在区间(２, ３)和(３,４)上无零点,C错误,D错误．故选B． ４．ABC　 解析:设t＝f(x),关于f(x)的方程f２(x)＋mf(x)＋ m－１＝０,即t２＋mt＋m－１＝０,两根t１ ＝－１,t２ ＝１－m＞ ０．函数f(x)＝|x|ex ＝ x ex ,x≥０, －x ex ,x＜０,{ 当x≥０时,f(x)≥０(x＝０时取等号),f′(x)＝１－xex ,当０≤ x＜１时,f′(x)＞０,即f(x)在[０,１)上为增函数,当x＞１时, f′(x)＜０,即f(x)在(１,＋∞)上为减函数,f(x)在x＝１处 取得极大值f(１)＝ １e． 当x＜０时,f(x)＞０,f′(x)＝x－１ex ＜０,即f(x)在(－∞,０)上为减函数,作出函数f(x)的图象如 图所示: 当t＞ １e 时,方程t＝f(x)有１个解,当t＝ １e 时,方程t＝ f(x)有２个解,当０＜t＜ １e 时,方程t＝f(x)有３个解,当t ＝０时,方程t＝f(x)有１个解,当t＜０时,方程t＝f(x)有 ０个解,所以当１－m ＞ １e ,即m ＜１－ １e 时,关于x 的方程 f２(x)＋mf(x)＋m－１＝０(m＜１)的实根有１个;当１－m＝ １ e ,即m＝１－ １e 时,关于x的方程f２(x)＋mf(x)＋m－１＝ ０(m ＜１)的实根有２个;当０＜１－m＜ １e ,即１－ １e ＜m＜ １时,关于x的方程f２(x)＋mf(x)＋m－１＝０(m＜１)的实根 有３个．故选 ABC． ５．ABC　 解析:因为D(x)的值域为{０,１},所以A,B正确;当x是 无理数时,由D(x)－x３ ＝０,得０－x３ ＝０,解得x＝０,不合题 意;当x是有理数时,由D(x)－x３ ＝０,得１－x３ ＝０,解得x＝ １,则y＝D(x)－x３ 有１个零点,故C正确;令y＝D(x)＋ ２ － x＝０,则D(x)＝ x－ ２,当D(x)＝１时,x＝３＋２ ２为 无理数,不合题意;当D(x)＝０时,x＝２为有理数,不合题意, 所以y＝D(x)＋ ２－ x 没有零点,故 D错误．故选 ABC． 狂练考点２　 由函数零点求参数的取值范围 １．(－∞,０)∪ (０,１)∪ (１,＋∞)　 解析:(１)当x２－ax＋１≥０ 时,f(x)＝０⇔(a－１)x２＋(a－２)x－１＝０,即[(a－１)x－１](x ＋１)＝０,若a＝１时,x＝－１,此时x２－ax＋１≥０成立;若a ≠１时,x＝ １a－１ 或x＝－１,若方程有一根为x＝－１,则１＋a ＋１≥０,即a≥－２且a≠１;若方程有一根为x＝ １a－１ ,则 ( １a－１) ２ －a× １a－１＋１≥０ ,解得:a≤２且a≠１;若x＝ １a－１ ＝－１时,a＝０,此时１＋a＋１≥０成立． (２)当x２－ax＋１＜０时,f(x)＝０⇔(a＋１)x２－(a＋２)x＋ １＝０,即[(a＋１)x－１](x－１)＝０,若a＝－１时,x＝１,显然 x２－ax＋１＜０不成立;若a≠－１时,x＝１或x＝ １a＋１ ,若方 程有一根为x＝１,则１－a＋１＜０,即a＞２;若方程有一根为 x＝ １a＋１ ,则 ( １a＋１) ２ －a× １a＋１＋１＜０ ,解得:a＜－２;若x ＝ １a＋１＝１ 时,a＝０,显然x２－ax＋１＜０不成立．综上,当a ＜－２时,零点为 １a＋１ , １ a－１ ;当 －２≤a＜０时,零点为 １a－１ , －１;当a＝０时,只有一个零点 －１;当０＜a＜１时,零点为 １ a－１ ,－１;当a＝１时,只有一个零点－１;当１＜a≤２时,零 点 为 １ a－１ ,－１;当a＞２时,零点为１,－１．所以当函数有两个零 点时,a≠０且a≠１． ２．－４＜k≤－３　 解析:作出f(x)的图象如图,方程f(x)＝k(k ＜０)的实数解的个数等于直线y＝k与y＝f(x)图象的交点 个数．∵f(x)＝ x２＋２x－３,x≤０, －２＋lnx,x＞０,{ 当x≤０时,f(x)＝x ２＋ ２x－３＝ (x＋１)２＋４,函数在(－∞,－１)上单调递减,[－１,０] 上单调递增,f(x)min ＝f(－１)＝－４,f(０)＝－３．当x＞０时, f(x)＝－２＋lnx,函数在(０,＋∞)上单调递增． ∴ 当实数解的个数为３时,－４＜k≤－３． ３．C　 解析:由题可得,f(３)＝f(－３)＝ ０,f(x)在(－∞,０),(３,＋∞)上单调 递减,在(０,３)上单调递增,则据此可 作出函数f(x)大致图象如图所示, 令f(x)＝t,则由题意可得t２－at＋２ ＝０有２个不同的实数解t１,t２,且t１,t２ ∈ (－３,０),则 Δ＝a２－８＞０ －６＜t１＋t２ ＝a＜０ t１t２ ＝２＞０ (t１＋３)(t２＋３)＝１１＋３a＞０ { ⇒－１１３ ＜a＜－２ ２ ,观察选项可知,a＝－３满足题意．故选C． ４．C　 解析:当x≥０时,有f(x＋１)＝－f(x),所以f(x＋２)＝ －f(x＋１)＝f(x),所以函数f(x)在[０,＋∞)上是周期为２ 的函数,从而当x∈ [１,２)时,x－１∈ [０,１),有f(x－１)＝ log２x,又f[(x－１)＋１]＝－f(x－１),f(x－１)＝－f(x)＝ log２x,f(x)＝－log２x,即f(x)＝ log２(x＋１),x∈ [０,１), －log２x,x∈ [１,２),{ 又 易知f(x)为定义在 R上的偶函数,所以可作出函数f(x)的图 象与直线y＝kx(k＞０)有５个不同的交点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —２４　 所以 ５k＜１, ７k≥１, －４k＞－１, －６k≤－１, { 解得 １６ ≤k＜ １５ ,故选 C． ５．A　 解析:∵x≤０时,f(x)＝e(x＋１) ２ ,∴f′(x)＝e(x＋１) ２ 􀅰２(x ＋１),∴f(x)在(－∞,－１)上单调递减,在(－１,０)上单调递 增,f(－１)＝１,f(０)＝e,∵x ＞０时,f(x)＝x＋ ４x －３ , ∴f(x)在(０,２)上单调递减,在(２,＋∞)上单调递增,f(２)＝ １,画出f(x)的图象如下图,y＝f(x)－a有四个零点即y ＝ f(x)的图象与y＝a有四个不同交点, 由 图可得１＜a≤e,x１,x２ 是方程e(x＋１) ２ ＝a的两根,即x２＋２x ＋１－lna＝０的两根,x３,x４ 是方程x＋ ４ x －３＝a 的两根,即 x２－(３＋a)x＋４＝０的两根,∴x１x２ ＝１－lna,x３＋x４ ＝３＋ a,则x１x２＋x３＋x４ ＝１－lna＋３＋a＝４＋a－lna(１＜a≤ e),设g(a)＝４＋a－lna,１＜a≤e,则g′(a)＝１－ １a ＞０ , ∴g(a)在(１,e)上单调递增,∴ 当１＜a≤e时,g(１)＜g(a)≤ g(e),即５＜g(a)≤３＋e．故选 A． 狂练综合 　 函数与方程 １．B　 解析:因为∑ ３ i＝１ f(i)＝０,i∈N∗ ⇔f(１)＋f(２)＋f(３)＝０． “f(x)在[１,３]上存在零点”时,不一定有“∑ ３ i＝１ f(i)＝０,i∈ N∗”,故充分性不成立; 但“∑ ３ i＝１ f(i)＝０,i∈ N∗”时,若f(１)、f(２)、f(３)中有０,则 f(x)在[１,３]上存在零点,若f(１)、f(２)、f(３)都不为０,不妨 设f(１)≥f(２)≥f(３),由f(１)＋f(２)＋f(３)＝０,则f(１)＞ ０、f(３)＜０,所以f(１)f(３)＜０,则f(x)在[１,３]上存在零点, 综上可得由∑ ３ i＝１ f(i)＝０,i∈N∗ 一定有“f(x)在[１,３]上存在 零点”,故必要性成立．故选B． ２．A　 解析:由f(０)＝２a＞０,可得m≠０,又由f(m)＝０,可得 am２－(a２＋４)m＋２a＝０,有m２－a ２＋４ a m＋２＝０ ,有a ２＋４ a ＝m ２＋２ m ,由a ２＋４ a ≥ ２ ４a２ a ＝４ ,当且仅当a＝２时,等号成 立,得m ２＋２ m ≥４ ,解得m ≥２＋ ２或０＜m ≤２－ ２,又由m ＞１,可得m ≥２＋ ２．所以m 的最小值为２＋ ２．故选 A． ３．D　 解析:设f(x)的图象上一点A 的 坐标为 (x０,x２０＋ex０ － １２ ) (x０ ＜０), 关于直线x＝１对称的点A′坐标为 (２ －x０,x２０ ＋ex０ － １ ２ ) ,函 数f(x)与 g(x)的图象上存在关于直线x＝１对称的点,则存在x０ 使得(２ －x０－２)２＋ln(２－x０－２＋a)＝x２０＋ex０ － １ ２ ,即ln(a－x０) ＝ex０ － １２ (x０ ＜０)成立,即函数y＝ln(a－x)(x＜０)与函 数y＝ex－ １２ (x＜０)的图象存在交点, 由图可知,当y＝ln(a－x)(x＜０)经过点 (０,１２ ) 时恰好没有 交点,此时a＝ e,将y＝ln(e－x)的图象向左平移,函数y＝ ln(a－x)(x＜０)与函数y＝ex－ １２ (x＜０)的图象会存在交 点,所以a＜ e．故选 D． ４．C　 解析:对于 ①,令x２＋(b－２)x＋b＝０,则Δ１ ＝ (b－２)２－ ４b,∵b＜０,∴－４b＞０,(b－２)２ ＞０,∴Δ１ ＞０,∴ 方程x２＋ (b－２)x＋b＝０有两个不等实根,即f(x)有两个零点,① 正确; 对于 ②,∵f(x)－ax ＝ x２ ＋ (b－２－a)x ＋b,∴Δ２ ＝ (b－a－２)２－４b,∵b＜０,∴－４b＞０,(b－a－２)２ ≥０,∴Δ２ ＞０,∴f(x)－ax＞０不恒成立,即 ∃x∈R,使得f(x)≤ax, ② 错误; 对于 ③,∵f(x)－x＝x２＋(b－３)x＋b,∴x１＋x２ ＝－(b－３) ＝３－b＞３,③ 正确; 对于 ④,∵x１,x２ 是y＝f(x)－x的两个零点,∴f(x１)＝x１, f(x２)＝x２,∴f(f(x１))＝f(x１)＝x１,f(f(x２))＝f(x２)＝ x２,即x１,x２ 是方程f(f(x))－x＝０的两根,∴x１,x２ 也是y＝ f(f(x))－x的零点,④ 正确． 故选 C． ５．B　 解析:由解析式可知,当x≤０时,f(x)＝xex,则f′(x)＝ (x＋１)ex;易知当x∈ (－∞,－１)时,f′(x)＜０,当x∈ (－１, ０)时,f′(x)＞０;即可得函数f(x)在(－∞,－１)上单调递减, 在(－１,０)上单调递增;所以函数f(x)在x＝－１处取得极小 值,也是最小值为－ １e ,且易知当x≤０时,f(x)＝xex ≤０;即 可得f(x)＝xex 在(－∞,０]上的值域为 － １e ,０[ ] ,易知,当k ＝０时,函数f(x)＝ xex,x≤０, －x,x＞０{ 的图象,如下图所示: 当k＞０时,易知二次函数y＝kx２－x的对称轴x＝ １２k ＞０ , 且开口向上,其图象大致如下图所示: 当k＜０时,易知二次函数y＝kx２－x的对称轴x＝ １２k ＜０ , 且开口向下, 其图象大致如下图所示: 由以上三种情况可知,当k≤０时,函数f(x)的值域为(－ ∞, ０],当k＞０时,易知y＝kx２－x在对称轴x＝ １２k 处取得最小 值 － １４k ,所以当k≥ e４ 时,－ １４k ≥－ １ e ,此时函数f(x)的值 域为 － １e ,＋∞[ ) ,当０＜k＜ e４ 时,－ １ ４k＜－ １ e ,此时函数 f(x)的值域为 － １４k ,＋∞[ ) ; 对于 A,若使得对任意实数m,函数g(x)都有零点,即函数y＝ m与函数f(x)必有交点,此时须满足存在实数k使得f(x)的值 域为 R,由图象可知,不管k取何值时,函数f(x)的值域都不为 R,故 A错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —２５　 对于B,易知当m∈ (－ １e ,０) 时,y＝m与f(x)＝xex 在x∈ (－∞,０]上 有 两 个 交 点,所 以 不 管k 取 何 值 时,只 需 m ∈ (－ １e ,０) ,函数f(x)与y＝m至少有两个交点,即存在实数m ∈ (－ １e ,０) ,使得对任意实数k,函数g(x)至少有２个零点, 故B正确; 对于 C,根据图象可得,对于任意实数m ＞０,不管k取何值时, 函数f(x)与y＝m 最多有一个交点,即m ＞０时,不满足对于 任意实数m,存在实数k,使得函数g(x)恰有２个零点,即 C错 误;对于 D,当k≤０时,易知不管k 取何值时,仅存在 m ∈ (－ １e ,０) ,使得函数g(x)恰有３个零点;由图可知当０＜k＜ e ４ 时,易知m ∈ (－ １e ,０) 时,函数g(x)有４个零点,即对于 任意实数k,不存在实数m,使得函数g(x)恰有３个零点,故 D 错误．故选B． ６．BC　解析:令f(x)＝a|x|－|loga|x||＝０,则a|x|＝|loga|x||, y＝a|x| 与y＝|loga|x||都是偶函数,只需考虑x＞０时,y ＝a|x| ＝ax 与y＝|loga|x||＝|logax|的图象的交点;当０ ＜a＜１时,作出函数y＝ax,y＝|logax|的图象,如图(１)所 示, 可得函数y＝ax,y＝|logax|的图象有两个交点,所以当０＜ a＜１时,函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为２;当a＞１ 时,作出函数y＝ax,y＝|logax|的图象,此时两个函数图象的 交点个数取决于方程ax ＝logax 的解的个数,y＝ax 与y ＝ logax 的函数图象关于y＝x对称,故临界情况是y＝ax 与y＝ logax 都与y ＝x 相切,此时有 ax ＝x, axlna＝１,{ 可得a＝x １ x ,即 xlnx １ x ＝lnx＝１,所以 x＝e, a＝e １ e ,{ 当x＞０时,１＜a＜e １ e 时, 函数y＝ax,y＝|logax|的图象有３个交点,如图(２)所示;当 a＝e １ e 时,函数y＝ax,y＝|logax|的图象有２个交点,如图 (３)所示;当a＞e １ e 时,函数y＝ax,y＝|logax|的图象有１个 交点,如图(４)所示．综上所述:当a＞e １ e 时,函数y＝f(x)的 图象有２个零点;当０＜a＜１或a＝e １ e 时,函数y＝f(x)的 图象有４个零点;当１＜a＜e １ e 时,函数y＝f(x)的图象有６ 个零点．故选BC． ７．BD　 解析:作出f(x)在(０,１２]上的图象,如图所示: 对于 A,因为f( ２２ ) ＝f(２)＝f(４)＝f(１２)＝ １ ２ ,又因为 方程f(x)＝a有四个互不相等的实数根,所以０＜a≤ １２ ,故 A错误;对 于 B,由 题 意 可 得 －log２x１ ＝log２x２,log２x１ ＝ －log２x２ ＝log２ １ x２ ,且有 ２ ２ ≤x１ ＜１ ,１＜x２ ≤ ２,所以x１ ＝ １ x２ ,故２x１＋x２ ＝ ２ x２ ＋x２ ≥２ x２􀅰 ２ x２ ＝２ ２,当 ２x２ ＝x２, 即x２＝ ２时,等号成立,故B正确;对于C,由题意可得f( ７２ ) ＝sin( π６ × ７ ２ ＋ π ６ ) ＝sin ３π ４ ＝ ２ ２ ＞ １ ２ ,由 A可知０＜a ≤ １２ ,所以f( ７２ ) ＞a,故C错误;对于D,由题意可知x３ 与x４ 关于直线x＝８对称,且４≤x３ ＜５,１１＜x４ ≤１２,所以x３＋ x４ ＝１６,故 １ x３ ＋ １x４ ＝ x３＋x４ x３x４ ＝ １６x３x４ ．因为x３＋x４ ＝１６,所 以x３ ＝１６－x４．又因为１１＜x４ ≤１２,所以x３􀅰x４ ＝ (１６－ x４)x４ ＝－x２４＋１６x４＝６４－(x４－８)２,在(１１,１２]上单调递减, 故４８≤６４－(x４－８)２＜５５,所以 １ ５５＜ １ x３x４ ≤ １４８ ,１６ ５５＜ １６ x３x４ ≤ １３ ,所以１６ ５５＜ １ x３ ＋ １x４ ≤ １３ ． 因为x１x２ ＝１,x２ ∈ (１,２], 所以 １ x１ ＋ １x２ ＝ x１＋x２ x１x２ ＝x１＋x２ ＝ １ x２ ＋x２,在(１,２]单调 递增,所以 １ x２ ＋x２ ∈ (２,３ ２２ ] ,故 １ x１ ＋ １x２ ∈ (２,３ ２２ ] ,所以 １ x１ ＋ １x２ ＋ １x３ ＋ １x４ 的取值范围为 (１２６５５, ２＋９ ２ ６ ] ,故D正确． 故选BD． ８．f(x)＝x(x－１)２(x－２)(答案不唯一,也可写f(x)＝ (x－ １)２(２－|x－１|)　 解析:由题可知先找出一个偶函数,且有三 个零点,例如g(x)＝x２(x２－１),再将g(x)的图象向右平移１ 个单位长度,得到f(x)＝(x－１)２[(x－１)２－１]＝x(x－１)２(x －２)的图象．故答案为f(x)＝x(x－１)２(x－２)． ９．１８ 　 解析:由函数f(x)＝x(x２＋ax＋b)＝０有三个根,其中 有一个根为０,又由x１ ＜x２ ＜x３ 满足x１＋２x３ ＝x２,则x２ ＝ ０,所以x１＋２x３ ＝０,且x１,x３ 是方程x２＋ax＋b＝０的两根, 则x１＋x３ ＝－a,x１x３ ＝b,所以a＝x３,b＝－２x２３,则a＋b＝ －２x２３＋x３ ＝－２(x２３－ １２x３＋ １ １６) ＋ １ ８ ≤ １ ８ ,所以a＋b的 最大值为 １ ８ ． 专题１１　 导数的概念及其几何意义 狂练考点１　 导数的运算 １．１　 解析:由 函 数 的 解 析 式 可 得:f′(x)＝ e x(x＋a)－ex (x＋a)２ ＝ ex(x＋a－１) (x＋a)２ ,则:f′(１)＝e １×(１＋a－１) (１＋a)２ ＝ ae(a＋１)２ ,据此 可得: ae (a＋１)２ ＝ e４ ,整理可得:a２－２a＋１＝０,解得:a＝１． ２．２＋１　 解析:因为f(x)＝f′ π４( )sinx－cosx,所以f′(x)＝ f′ π４( )cosx＋sinx,所以f′ π ４( ) ＝f′ π ４( )cos π ４ ＋sin π ４ , 解得f′ π４( ) ＝ ２＋１． ３．B　 解析:仿照题目给定的方法,f(x)＝x＋１,g(x)＝ １x＋１ , (x＞０),所 以 f′(x)＝ １,g′(x)＝－ １(x＋１)２ ,所 以 y′ ＝ － １(x＋１)２ ln(x＋１)＋ １x＋１ 􀅰 １ x＋１[ ] (x＋１) １ x＋１ ＝ １－ln (x＋１) (x＋１)２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋