专题8 指数函数与对数函数-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

f(x) r m=2,故)=故g)==行对于A 2-=合得=1+我=1一号所以图中= g(一x)=g(x),故g(x)是偶画数，图象关于y轴对称，故A错 溪：对于Bg0-1由于+1≥1.所以 1 +号6=1-号+4=5-号==1+号时2 0<2+1 ≤1.故g(x)∈[0.1D,故值域为[0,1)，故B错误：对 2十厄<6满足题高，当2张=6=5-号时=10气2> 于C:)=1十由于y产+1在0.+o)上单调递 “,满足题意.综上，k的值为2士2成10一区 2 4 增，故y=十在(0.+o)上单调递诚：故g)在(0，十0） 专题8 指数函数与对数函数 狂练考点1 指数函数 上递增，故C错误：对于D: r+1 2+1 解析：由函数的解析式可得了(x)=aInd十 而g)十()=十=1故D正：故D (1十a)1n(1十a)≥0在区间(0，+∞)上幢成立，则 7.ABD解析：四为西数「(x)的图象与直线y=x没有交点，所 1+a)rln1+a)≥-a'l,即+e 以f(x)>x(a>0)或f(x)<x(d<0)恒成立.图为f几f(x)] n可在区期 >f(x)>x或f[f(x)]<f(x)<r恒成立，所以ff(x)] Ina x没有实数根，故①正确：若a>0,则不等式[f(x)]>f(x) (0,+∞)上成立，故(1+）=1≥ ln(l+a而a+1∈ >x对一切实数x都成立，故②正确：若a<0,则不等式 几f(x)门<x对一切实数x都成立，所以不存在实数0，使 (1,2), 故1n(1十a)>0,故 fln(a+1)≥-lna·脚 10<4<1. f[f八x)门>xu,故③错误：由函数g(,x)=f(-x)与f(.x)的 图象关于y轴对称，所以g(.)和直线y=一x也一定没有交点， (a(u十1)≥1·故，1≤a<1.结合题意可得实数a的取值 10<a<1, 2 故④正确，故选ABD. 8.AC 解析：根据通意，函数y=工青=1=1 2.1解析：假设存在实数，使了(x)为奇函数，则（一x)= 对于八，国为一号<0，所以减画数在(0，十四)上是减画数，故 2 2 房厅必有x≠0期品 A正确：对于B,对于y=x景=】=L 一，所以a2号=-a十2脚a=2异十 周为2子十g子2.所以41 2 2 数的定义城为xx≠0，故B错误：对于C画数的定义城为{x3.D解析：a°=1，x)=a一-2馒过定点(1，-1)心m 1x≠0，且f-x)=(-x)导=1 1 =f(x),该 =1n=-1心g)=1十子共国象不经过第回象限，故 函数为偶函数，故C正确：对于D,函数的值域为(0，十∞)，故D 选D. 错误，故途AC, 9.(-∞，1解析：当m=0时，fx)=x2-2x+1x2-2x+2= 4B解析：对任意的x∈R,心+1>0，所以品数fr)=一 e+1 (,x-1)2-1+(x-1)+1=2(x-1)2,当x=1时，fx)取 得最小佳0：当x=1时，f(1)=1+m-2+|1-m-2+21= 的定义城为R,因为f(-)=e-1=(e-业_1-e ei-e(e+1)-1e m-1十m-1,当m≤1时.可得f(1)=m-1十1-m=0, 当m>1时，f(1)=2(m-1)>0.f(x)=(x-1)2-1+mx =一)，即函数fx)为寺函数，又因为x)=c心+12 e+1 +|(x-1)2+1-mr1.当(x-1)2≥mx-1时，f(x)=2 11 十且函餐y一心十1在R上为增画数，所以函教) 2 (x一1)≥0，当x=1时，取得最小值0，此时m≤1：当 (x一1)2<mx一1时，f(x)=2(ix一1)，由题意可得2(m一 1)≥0恒成主.则m的取值范周为(-6∞，1]. C一1在R上为增函牧，对任鹰的正教a,b,满足f八a)十(2h e+1 10.2+2或10-厘 解析：闲为(x)是奇函数，且图象关于直 -2)=0,则f(a)=-f(2b-2)=f(2-2b),所以a=2-26, 2 即a+2b=2, 线x=1对称，所以f(x+2)=/(1十(x+1))=f(1一(x十 1))=f(-x)=-f(x).f(x十4)=一f(x十2)=f(x),所以 所以+片=+(+)=(++) a (x)是周期函数，4是它的一个周期.由奇函数，周期性作出函 数的图象，如图. (+合·0) a十26-2.时，即当 a>0,b>0 V= b- 时，等号成立，故吕十青的最小值为.故选B 2 5.BD解析：周为)=2c-=2c+)-2-1 1+e2 1+e 2 ?子。一合-是一子。定又城为R调为y=中心在 2 当x∈[0,2]时，f(x)=x(2一x)=一(x一1)2十1，最大值为 定义城上单调递增，且y=1十e>1又y=-2在(1，+∞) 1.因此f(x)的最大值为1.且f(1D=1.f(5)=1,由于Mo.3 x =2Ms.21,国此1年[k,2k].f八x)在[0.1门上道增，所以若 <1,则M.<M.2],所以1∈[0.k].所以Mu,1-1, 上华润适增，所以）-是千。在定义城眼上单调送端， M的=分一定有表<4，否则M的=1，从万2张<元.由 政B运确：因为1计>1，所以0<1十2<1，所以-1< 数学答案一16 中<0-2<e<0则-<- 1 <2.B解析：当x<0时，令fx)=0.得2 ×3-a-5=0.故a=2×3-5,当 子即)e（日受）长C错送：令)=0：中号 x≥0时，令f(x)-0.得x2-4x-a 1,则4=x2一4x一1，令函数g(x)= 2。=0,解得x=-l3,所以当x<n8时，f)∈ 1+er 2×3-5,r<0,画出g(x)的图象 0x2-4x-1,x≥0， （人合0）令)-1：牌是一-子。-1，解得-a,所 和y=a的图象，如图所示， m3 由图可知，当a∈(-5，-3)时，直线y=a与g(x)的圈象有3 以当-ln3<x<ln3时f(x)∈(0，I),当x>ln3时fx)∈ 个交点.图为x2-4x一a>0对x≥0恒成立，所以(x-2)” (,2)）所以g)-[]- r1.x≥ln3. 4>a对x≥0恒成立，所以a<-4.故当f(x)有3个零点时 0,一ln3≤x<ln3,所以 a∈（一5，一4）.固为（一5，一4）是（一5，一3）的真子集，所以 -1,x<-ln3, “-5<a<-3”是“f(x)有3个零点”的必要不克分条件. g(x)的值城是(-1,0,1，故D正雍：星然g(5)≠g(-5),即 故选B. g(x)不是偶函数，故A错误.故迭BD. 3.B 狂练考点2 对数函数 解析：根据题意可知a=in音十o音=，亿im子十 1.[0,120] 60 解析：依题意10g(10)-10×g10- <n(停+）-n音-e=n肾+ 10广2 120(dB).10lg(10）-101g1=0(dB》.国此人听凳的声强级 后)>En子=1，可得1<a<:由6=3时+3可得 范圈为0dB-120dB.依题意11三10g0西-10×1g10= 6=)+9>1.69)t+=1.3+0.57=1.87,即 3 10×6=60(dB). b>1.87:易知23<32，即2<3行，所以log13<lDg2< 2.AC解析：由f(x)=lnr+ln(4-x)=ln(-x2+4.x),0<x <4,令t=一x2+4x,则t=一(x一2)2+4，当x∈(0,2)时 10g3,即号<16g2<号：又3=81>4=64，即3>4 1=一(.x一2)2+4单调递增，y=ll单调递增，则函效f(x)单 又32=243<4=256，可得3<4言；所以1og4号<1og13< 调递增，故A正确，B错误：Hx∈(0,4)，f2十x)=ln(2+x) +ln(2-x),f(2-x)=ln(2-x)+ln(2+x),则f(2+x)= log,,可得号<1g3<专可得号+是<c=log2十 f(2一x),则f(x)图象关于x一2对称，故C正确：由(1)- f(3)-ln3.则f(1)+f(3)-2ln3≠0，则f(.x)图象不关于(2 0)对称，故D错误，故选AC. 3.D解析：由图象可知，函较定义战为（一0,0）U(0,十)，图 g<<t<器<7<6，即a<t<故缘B 4 象关于原，点对称，函数是奇函数，x>1时f(x)>0,据此，f(x》 = 定义城不符合，排除A:若f八x) 解桥：一)++1=h 4.C x =-ln(√r+1-x)|=|n(√r+1-x)|=f(x),.f(x) 学u>0 在R上为偶离数，当x>0时，f(x)=|1n(√x2十1一x)| ln(-t(x<0) 则x>1时，f(x)<0,不符合图象，故排除 ln(√+1+x)单调递增，又3.1>3>l0g4>1>30> 2 0,∴.f(-31)-f(3.1)>flog4)>f(392),即c>a>b. 1(x>0 故选C B:若f(x) e 则当x趋向于0时，f(x)= 5.B解析：令log6r-m.logy-n.则x一6"y一4"，由x (.x+1)e(x<0), 46'一9'.y-9w'十6'可得6"=4-9"，4”-9”十 1趋向于-1.当x趋向于0时，八x)-(x+1D趋向于 e 6,逸两可()-1-（受）做（侵）+（受） 1,不转合图象，故除C,故选D. 1=0=>t 4。一亭（答案不唯-，-3<m十n<号中的任行一值均可） 1同理可得（受）+（受）=1，令+- 解析：因为0=g计票是寺品数，所以+) 151=25()>0()>0均为方粒 0,即计器+器=（牛器·） +1-1=0的实数，故（）”=1生(） 1g-mr=0,即1，-m2r =1.解得m=士3，因为m≠3，所 -1+5,由于画数y= 为单调递增函数，所以m=H, 1-9x2 1-9.x2 2 以m=-3则)=g十器是>0解释：一号 2 J<- 所以)的定又为（） 的非空子集，即0< 6.D解析：由题意，g(x)=ce的反高数g1(x)=lnx.对于任意 的x2>1>0. ≤3，所以-3<m十n≤ Fx)-Fx2>2022,即F(x)-Fx1） 3 >2022(2-x1).可转化为F(x2)-20221>F(x1) 2022.x1,则西段y=F(x)-2022x=x2+k1nx-2022.x在(0， 狂练综合 指数函数与对数函数 +oe)上单调递增.设h(x)一x2+klnx一2022x,则h'(x)=2x 1.D 解析：因为a=log2 022e <log1:1=0.0<b= + k-2022≥0在(0，+∞)上慎成立，即k≥-2x+2022.x (2）m<(侣)”=1c=202>202=1.所以a< 在0+0)上根成之.又-2r+202r=-2(c-1g）十 0,0<b<1.c>1,所以a<b<.故选D. L011≤10.则≥101.故选D. 2 2 2 数学答案一17 7.ACD解析：由题可知x>0,y>0,则lgx2+log /y2-2lgx +2log而y=2,A正确：由lgx十logy=1,得gx十 递减，而g(8)=-ln8+是-1=号-ln8<号-lae2-号 21ogy=gx+gy=1g(y2)=1,所以0=10，B错 -2<0,所以g(x)<0在[8，+co)上但成立，故g(x)在[8， +eo)上单调递减，所以g(8)>g(9)>g(10).即10n8>91n9 :g(10.r)+log(10y)=Ig10+lg x+log 10+logo >8n10,所以l>n>g,令fr)=lg且r∈（e,+o). =1+2+lgx+log而y=3+1=4.C正确：当x>1,y>1 b 时，lgr>0..log./y>0,则ilog,10+log,V而=giog 1 1 则了(r)=一血严<0，所以八x)在(，十四)上单调递减，故 1 g+g四)=2+十限 c>b>a.故选B. 2.C ≥2+2 log /y 坚工=4，当且仅当x=y=而时， lg logy ,构建f(x)=x-1-lnx,x>0,期广(x)=1- 等号成立，所以log,10十log,√10的最小值为4，D正确.故 sin 1 012 选ACD. 8.ABD解析：对于A,f(x)-lnx十-2，显然是增函数.f(1) 1x>0,令(x)>0.解得r>1:令()<0，解得0 =lnl+1-2=-1<0,f(2)=l1n2+2-2=1n2>0.根据客 <x<1:则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十)上单调递 点存在定理，在(1,2)上存在唯一零点，正确：对于B,y= 增，可得f(x)≥f(1)=0,所以x-1≥lnx,x∈(0，十e∞)，当 ()）广是减，音 且仅当x=1时，等号成立，可得x>ln(x+1),x∈(-1， (2）是偶函数，当r>0时y 十oo),当且仅当x=0时，等号成主，令g(x)=x-sinr,x>0, 0时是增通数，所以在x=0处取得最大位（合） 则g'(x)=1一cosr≥0在(0，十∞)上恒成立，则g(x)在(0， =1,正确：对 十o)上单调递增，可得g(x)>g(0)=0,所以x>sinr,x∈ 于C,f(.x)=lgx2的定义城是(-∞，0)U(0,+∞)，g(r) (0,十∞)，可得：当x∈(0,1)时，则x>sinr,且inr∈(0,1)， 2lgr的定义越是(0，十o∞)，错误：对于D,f(r)=n(W1+x十 所以x>sinr>ln1+-sinr)E(0.l.令x=10i2,则1012 x),f-x)-n(1+x2-x)- (+7+】 >n1+sin1012.即b>as又因为r-1>nr,x∈(0.l), 一ln(√/1十x十x)=一f(x),是奇函数，正确.故选ABD. .号解析：由避意函数f代)g()定义城都为R,f()为寺品 则上-1>1h是=-rx∈+o.可得1w>1-子 1 1 上∈(1.+∞).则血>0<r<1.令x=10丽则 数，则K0)=0,由g)=f+古)可得+号） h/013 101 >d丽可得88器>02甲c>6蜂上所 1 (告+（合+=合--(-） 述：c>b>a.故选C. 3.D 解析：构造函数f(x)=工一 r-z=,则r=1+分fu+1)=-f),即f)=-f0 -2nx,其中x>1.则f(x) -1),枚f(1og5)=-f(1og25-1)=f(1og25-2)= 1+-2一二D>0,所以函数f（x)在(1，+0) g:）:<2oe年<…(le） 为增函数，降以1.》-是-吕-21-是-吕 2%-1=由+号）=（合-释s(号） nl.21>)=0,所以a=0-9>l.21>nl.2=6, 2 (告+号)-f(合-）-fo)=o,故g)+ 令)-a2r+D-第其中>0时g)-2 2 2.r (x+1)>(十1)>0对任意的x>0蓝成立，所以函数 10.5+2log:3解析：由题意知：在[5,6]上f(,r)-1og:(r十3)为 g)在(0，十0)上为增画数，所以g0.1)=lnl.2-0号 1.1 常数，不妨设为t∈[5,6]，则f(x)=log2(x+3)+1,由f(1) ni.2-是>g0)=0,即6=lm.2>品令A)=e- 2 =8,log(1十3)+t=8.解得：1=5，故fx)=loge(.x+3)十 5,x∈[5.6]由f(x+2)= 1+f(x) 可得f(x十4) 一1，其中x>0,则h'(x)=e一1>0对任意的x>0恒成立， 1-f(x) 所以函数h(x)在(0，十o)上为增画数.则h(0.1)=e1一1. 2 1+f(x+2) 1+芒温 1 1>g(0)=0.则e1>L.1,所以c= 1-f(x+2) 1-1+/x) I(x)' 从而f(x十8)= 5<5×1.=i 1-f(x) 综上所述a>b>.故迭D. =(x),故函数f(.x)是周期函数，且 4.C /(x+4) 解析：设fx)=-sinr(0<x<受）则f(x)=1 f(r) 周期为8.故f(2022)=f(8×252+6)=f6)=1og:(6+3) cosr>0...f(r 在(0，受）上为增函数，故x)-一im> +5=5十21ogg3. 痛点3 巧构函数，比较大小 f0)=0.当0<r<受时，inr<im<子，设 g(x)=e-1-x,x∈(0.lD,则g'(x)=e-1-1<0.∴当x∈ 狂练痛点1 根据表达式构造函数比较大小 (0,1)时，g(x)=e1-x为减函数，∴g(x)>g(1)=0,即当 1.B 解析：由把=kn8, 2=kno.g =kn10,得n xe0)时e>e-1>是，又：是>晋 a 10kIn8.Inbn9.Inc -8kin10.g()-(18-)Inr 6>a又-=日-}>0.且6>0e>0ic>6 综上，a<万<C.故选C ∈[8，+o).则g(x)=-1nr+18-1且在[8.十o)上单调5.ABC 解桥：令)=n1+)-千=r≥0).则了) 数学答案一18专题8 指数函数与对数函数 狂练考点1 指数函数 狂练考点2对数函数 1.【高考典例(2023·全国乙卷)设a∈(0.1)，若1.【课本典例】(2019版人教A版第一册)声强 函数f(x)=a2+(1十a)P在(0，十o∞)上单调递 增，则a的取值范围是 级L1(单位：dB》由公式L=10g(10)给 出，其中I为声强（单位：W/m).若一般正常 2.【课本典例】(2019版人教A版第一册)函数 人听觉能忍受的最高声强为1W/m,能听到 f(x）=a 2十a∈R)为奇函数，则a的 2 的最低声强为10一12W/m,则人听觉的声强级 范围为 dB.若平时常人交谈时的声强 值为 约为106W/m,则其声强级为 dB. 3.【经典好题】(2024·重庆巴蜀中学适应性月 2.【经典好题】(2024·海南儋州洋浦中学月 考)已知函数f(.x)=a一1-2(a>0,a≠1) 考)（多选）已知函数f(.x)=ln.x+ln(4-x), 恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m十x”的 则f(x) 图象不经过 ) A.在(0,2)上单调递增 A.第一象限 B.第二象限 B.在(0,2)上单调递减 C.第三象限 D.第四象限 C.图象关于直线x=2对称 4.【好题精选】(2024·辽宁实验中学期中)已知 D.图象关于点(2,0)对称 3.【好题精选】已知函数f(x)图象如图所示，那 函数f(x)= g一}，若对任意的正数a,b,满 er+1 么该函数可能为 足@)+j2b-2)=0,则名+2的最小值 为 A.2 B.4 感 C.6 D.8 A.f(x)= 狂 5.【新题展望】（多选）高斯是德国著名的数学 练 家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的 Inz >0) B.f(r)= 019 称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数 ln(-x2(x<0) 学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设∈ 数 R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y x-1(x>0) C.f(x)= [x]称为高斯函数，例如：[一3.5]=一4， (x+1)e(x<0) [2.1]=2,已知函数fx)= 2e 2, D.f(r)= Inz 1+e g(x)=[f(x)],则下列叙述正确的是 4.【新题展望】(2024·黑龙江齐齐哈尔期中)设 m,n∈R,且m≠3，n>0,若定义在区间 A.g(x)是偶函数 1十mx是奇函 (一n,m)上的函数fx)=lg1+3元 B.f(x)在R上是增函数 数，则m十n的值可以是 (写 C.f(x)的值域是(2，+∞） 出一个值即可) D.g(x)的值域是{-1,0,1} 快乐考生 让学习快乐起来！ 狂练综合 指数函数与对数函数 互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明 一、单选题 先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与 指数函数互为反函数，即对数函数f(x) 1.已知e是自然对数的底数，a=log2o2 ,b= e logx(a>0且a≠1)的反函数为广(x)= ,c=2022,则 ( a(a>0且a≠1).已知函数g(x）=er, F(.x)=x2十kg1(x),则对于任意的x2>x1 A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c >0,有F(x,）-F>202恒成立，则实 x2-x1 2.(2024·辽宁朝阳名校联考)已知函数f(x)= 数k的取值范围为 2×3r-a-5,x<0, B.[2,+oo) 则“-5<a<一3” A.(-∞，2] ln(x2-4x-a),x>≥0， C.(1011,+o∞) 是“f(x)有3个零点”的 A,充要条件 二、多选题 B.必要不充分条件 7.已知lgx+log/oy=1,则 C.充分不必要条件 A.Igx2+log /Ty=2 D.既不充分也不必要条件 B.ry=10 C.1g(10x)+logo(10y)=4 3.(2024·江苏苏州高中联考)已知a=sin匹+ 13 D.当x>1,y>1时，logr10+log10的最 c0s高b=3+3.c=logs2+1og3,则 小值为4 8.下列命题正确的有 A.函数f(x)=lnx十x一2有1个零点 A.a<b<c B.a<c<h y=(合) 的最大值为1 题 C.c<b<a D.c<a<b 存 4.(2024·甘肃兰州一中期中)已知函数f(x) C.f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数 练 =In(vz2+1-x),a=f(logs4),b= D.f(x)=ln(W1+x2十x)是奇函数 三、填空题 020 f(342),c=f(-3.1),则 ( 9.(2024·陕西部分学校质量监测)函数f(x), A.a>b>c B.b>a>c g(x)定义域都为R,f(x)为奇函数，且满足 C.c>a>b D.c>6>a 学 5.(2024·江苏淮安五校联盟测试)已知x g)=红+)g(x+)=2-小在 4og一9logr,y=9log,y十6log,y,则t的值为 区间(0,7)上，f(x)=24-1,则f(1og25)+ A.5+1 B.5-1 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十2) 2 2 C.5+1 D.5-1 甘铝若f)在[5.6】上是单调函 6.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简 数，且f[f(x)-log2(x+3)]=8,则 化计算而发明对数：1637年笛卡尔开始使用 f(2022)= 指数运算：1770年，欧拉发现了指数与对数的