专题7 二次函数与幂函数-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

专题7二次函数与幂函数 狂练考点1二次函数的图象与性质 5.【新题展望】(2024·河南顶级名校月考)（多 1.【高考典例】(2019·新课标Ⅱ真题)设函数 选)已知函数f(x)=x2+a.x+b,(a一1)2 4b<0,则以下正确的是 f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x), 且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x一1)，若对任 A.3x∈R,f(x)≤x B.Hx∈R,f(x)>x 意x∈（一∞，m],都有f(x)≥- 8则m的 C.Hx∈R,f(f(x)>x 取值范围是 D.a+b>0 狂练考点2 幂函数 1.【高考典例】(2023·天津卷)若a=1.010.5,b c(←，] =1.0106,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 2.【课本典例】(2019版人教A版第一册)已知函 数f(.x)=x2十红一12的图象满足f(1一x) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c =f(一2+x),则/f(x)有意义的x的取值集 2.【课本典例】(2019版人教A版第一册改编)已 合为 3.【经典好题】(2024·江苏连云港赣马高级中学 知幂函数f(x)=x的图象过点(2，√2)，则 检测)若对于任意的x∈[1,2]，m(x2一x+ f(2022)与f(2023)的大小关系为( 1)<5恒成立，则实数m的取值范围是 A.f(2022)≥f(2023) B.f(2022)>f(2023) C.f(2022)<f(2023) A.(-∞，0] ，》 D.f(2022)≤f(2023) 小 c[o》 n.(0,》 3.【经典好题】(2024·陕西咸阳永寿县中学模 祛 拟)已知幂函数f(.x)=(2m2一m)xm在区 练 4.【好题精选】(2024·河北邯郸永年二中月 间(0，十∞)上单调递增，则m= 考)（多选）已知二次函数y=a.x2十hx十c的 A.-2 B.1 017 图象如图所示，有以下结论：①a十b+c>0: c.-2 1 ②a-b+e<0:③abc>0:④b2>4ac:⑤-3 D.-1 <b<-2,下面的选项中所有序号结论全正 4.【好题精选】已知幂函数f(x)=(a2一 学 3)xa+u-2在(0，十o∞)上单调递减，函数 确的是 h(x)=3十m,对任意x1∈[1,3]，总存在 x2∈[1,2]使得f(x1)=h(x2),则m的取 值范围为 5.【新题展望】(2024·四川眉山仁寿一中学校南 校区阶段测试)已知幂函数f(x)=(m十m 一1)xm的图象与坐标轴没有公共点，则 A.①②④ B.②③④ f(2)= do C.①④⑤ D.③④⑤ 快乐考生 让学习快乐起来！ 狂练综合 二次函数与幂函数 6.已知幂函数f(x)=(2m2一5m十3).xm为偶 一、单选题 函数，则关于函数g(x)= f)十的下列四 f(x) 1.(2024·安徽合肥一中质量检测)已知函数 个结论中正确的是 八)=()2“在区间(2，+∞)上单调递 A.g(x)的图象关于原点对称 B.g(x)的值域为[0,1] 减，则a的取值范围是 ( C.g(x)在(0，十∞)上单调递减 A.(-o,8] B.(-∞，8) C.[8,+o∞) D.(8,+o∞) D.g(x)+g）=1 2.(2024·陕西汉中多校联考)已知f(x)= 二、多选题 ()log9∈[2]，则)的值 7.若二次函数f(x)=ax2十r十c(a≠0)的图 象和直线y=x无交点，现有下列结论 域为 ①方程Lf(x)门=x一定没有实数根： A.[-3,1] B.[-1,3] ②若a>0,则不等式f[f(x)]>x对一切实 C.[0,1] D.[-3,0] 数x都成立： ③若a<0,则必存在实数xo,使f兀f()] 3.(2024·辽宁大连长兴岛高级中学月考)幂函 >x0: 数f(x)=(m2-6m+9).xm-3m-2在(0， ④函数g(x)=a.x2一br+c(a≠0)的图象 +o∞)上单调递增，若f(2.x一1)≥1，则x的 与直线y=一x一定没有交点. 取值范围是 其中，正确的是 A.(-∞，0] A.① B.② B.[1,+co) C.③ D.④ 公 C.[0,1] 8.(2024·新疆英吉沙县实验中学期中)下列关 题 狂 D.(-∞，0]U[1,+∞) 于函数y=x号的说法中，正确的是() 练 4.(2024·黑龙江实验中学月考)函数f(x) A.在(0，十o∞)上是减函数 018 (m2一m-1).xn+m-3是幂函数，对任意：x1,x2 B.定义域为R ∈(0，+∞)，且x1≠x2,满足/）-f2) C.是偶函数 D.值域为[0，十∞) x1-2 学 <0,若a,b∈R,且a<0<b,|a|<b|, 三、填空题 则f(a)+f(b)的值 9.(2024·江苏徐州邳州新世纪学校统练)若函 数f(x)=x2+(m-2)x+x2-(m+2)x A.恒大于0 B.恒小于0 十2|的最小值为0，则m的取值范围 C.等于0 D.无法判断 为 5.已知二次函数f(x)=ax2+2x十c(x∈R)的 10.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，且图 值域为[1，十∞)，则上+4的最小值为 象关于直线x=1对称，当x∈[0,2]时， f(x)=x(2一x).对于闭区间I,用M1表示 y=f(x)在I上的最大值，若正实数k满足 A.-3 B.3 M[0.k1=2Mk,21,则k的值是 C.-4 D.4数学答案 —１５　 ３]上的奇函数,最大值为M－(a＋３),最小值为m－(a＋３),所 以 M－(３＋a)＋m－(３＋a)＝０,又因为M＋m＝８,所以a＝ １． 专题７　 二次函数与幂函数 狂练考点１　 二次函数的图象与性质 １．B　解析:∵x∈(０,１]时,f(x)＝x(x－１),f(x＋１)＝２f(x), ∴f(x)＝２f(x－１),即f(x)右移１个单位,图象变为原来的２ 倍．如图所示:当２＜x≤３时,f(x)＝４f(x－２)＝４(x－２)(x －３),令４(x－２)(x－３)＝－ ８９ ,整理得:９x２－４５x＋５６＝０, ∴(３x－７)(３x－８)＝ ０,∴x１ ＝ ７ ３ ,x２ ＝ ８ ３ (舍),∴x ∈ (－∞,m]时,f(x)≥－ ８９ 成立,即 m ≤ ７３ ,∴m ∈ ( － ∞, ７ ３ ] ,故选B． ２．{x|x≥３或x≤－４}　 解析:函数f(x)＝x２＋tx－１２的图 象满足f(１－x)＝f(－２＋x),所以f(x)的图象关于直线x ＝－ １２ 对称,所以t＝１,即f(x)＝x２＋x－１２,由x２＋x－１２ ≥０知(x＋４)(x－３)≥０,解得x≥３或x≤－４,因此 f(x) 有意义的x的取值集合为{x|x≥３或x≤－４}． ３．B　 解析:函数f(x)＝x２－x＋１＝ (x－ １２ ) ２ ＋ ３４ ＞０ ,依 题意,∀x∈ [１,２]时,m＜ ５ x２－x＋１ ,显然函数f(x)在[１,２] 上单 调 递 增,于 是 当 x ＝ ２ 时,f(x)取 得 最 大 值 ３,因 此 ( ５x２－x＋１) min ＝ ５ ３ ,从而m ＜ ５３ ,所以实数m 的取值范围 是m ＜ ５３ ． 故选B． ４．AC　 解析:由图可知f(１)＝a＋b＋c＞０,故结论 ① 正确;由 图可知f(－１)＝a－b＋c＜０,故结论 ② 正确;由图可知二次 函数图象开口向下,所以a＜０,且f(０)＝c＞０,对称轴x＝ － b２a ＞１＞０⇒b＞０ ,所以abc＜０,故结论 ③ 不正确;由图可 知二次函数图象与x轴有两个交点,所以Δ＝b２－４ac＞０⇒b２ ＞４ac,故结论 ④ 正确;由图可知对称轴１＜－b２a＜ ３ ２ ⇒－３＜ b a ＜－２ ,故结论 ⑤ 正确．故选 AC． ５．BCD　 解析:因为f(x)－x＝x２＋(a－１)x＋b,其图象为开口 向上的抛物线,Δ＝ (a－１)２－４b＜０,即f(x)－x＝x２＋(a－ １)x＋b＝０无实数根,故 ∀x∈R,x２＋(a－１)x＋b＞０,即 f(x)＞x,故B正确,A错误;由B正确可知:f(f(x))＞f(x)＞ x,故 C正确;因为(a－１)２－４b＜０,故b＞ １４ (a－１)２,所以a ＋b＞a＋ １４ (a－１)２＝ １４ (a＋１)２≥０,故D正确．故选BCD． 狂练考点２　 幂函数 １．D　 解析:由y＝１．０１x 在 R 上递增,则a＝１．０１０．５ ＜b＝ １．０１０．６,由y＝x０．５ 在[０,＋∞)上递增,则a＝１．０１０．５ ＞c＝ ０．６０．５．所以b＞a＞c．故选 D． ２．C　 解析:由已知 ２＝２α,得α＝ １２ ,即f(x)＝x １ ２ ,易得f(x) 是[０,＋∞)上的增函数,所以f(２０２２)＜f(２０２３),故选 C． ３．B　 解析:由题意有２m２－m ＝１,解得m ＝１或m ＝－ １２ , ① 当m ＝－ １２ 时,f(x)＝x－１,在区间(０,＋∞)上单调递减, 不合题意; ② 当m＝１时,f(x)＝x １ ２ ,在区间(０,＋∞)上单调递增,符合 题意．故选B． ４． －８,－２６９[ ] 　 解析:因为函数f(x)＝ (a ２－３)x １ ２a ２＋a－２ 是幂 函数,则a２－３＝１,a＝±２．∵f(x)在(０,＋∞)上单调递减, 则 １ ２a ２＋a－２＜０,可得a＝－２,∴f(x)＝x－２＝ １x２ ,∴f(x) 在[１,３]上的值域为 １９ ,１[ ] ,h(x)在[１,２]上的值域为[３＋ m,９＋m]．根据题意有 ９＋m ≥１, ３＋m ≤ １９{ ⇒ m ≥－８, m ≤－２６９ ,{ ∴m 的取 值范围为 －８,－２６９[ ] ． ５．１２ 　 解析:由题意可知m２＋m－１＝１⇒m＝１或m＝－２,又 当m ＝１时,f(x)＝x与坐标轴有交点,不符合题意,所以 m ＝－２,此时f(x)＝x－２⇒f(２)＝ １ (２) ２ ＝ １ ２ ． 狂练综合 　 二次函数与幂函数 １．A　 解析:令u＝２x２－ax,则二次函数u＝２x２－ax 的图象开 口向上,对称轴为直线x＝ a４ ,因为外层函数y＝ ( １３ ) u 为R 上的减函数,函数f(x)＝ ( １３ ) ２x２－ax 在区间(２,＋∞)上单调 递减,所以函数u＝２x２－ax 在(２,＋∞)上为增函数,所以a４ ≤２,解得a≤８．故选 A． ２．A　 解析:令log２x＝t,则t∈ [－１,３],又log４ １６ x２ ＝log４１６－ log４x２ ＝２－log２x＝２－t,所以原函数可变为y＝t(２－t)＝ －(t－１)２＋１,t∈ [－１,３],所以ymax ＝１,ymin ＝－３,所以 f(x)的值域为[－３,１]．故选 A． ３．D　 解析:因为f(x)＝ (m２－６m＋９)xm ２－３m－２ 是幂函数,所以 m２－６m＋９＝１,解得m＝２或m＝４,当m＝２时,f(x)＝x－４, 在(０,＋∞)上单调递减,不满足题意;当m＝４时,f(x)＝x２, 在(０,＋∞)上单调递增,满足题意,所以f(x)＝x２,且f(x)是 偶函数,由于f(２x－１)≥１＝f(１),所以|２x－１|≥１,解得x ≤０或x≥１,故选 D． ４．B　 解析:因为对任意x１,x２ ∈ (０,＋ ∞),且x１ ≠x２,满足 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜０,所以f(x)在(０,＋∞)上为减函数,由已知 f(x)＝ (m２－m－１)xm ２＋m－３ 是幂函数,可得m２－m－１＝１, 解得m ＝２或m＝－１,当m＝２时,f(x)＝x３,在(０,＋∞)上 为增函数,故不成立．当m＝－１时,f(x)＝x－３,在(０,＋∞)上 为减函数,满足条件,故m ＝－１,f(x)＝x－３,故f(x)为奇函 数,因为a＜０＜b,|a|＜|b|,所以０＜－a＜b,所以f(－a) ＞f(b),所以 －f(a)＞f(b),所以f(a)＋f(b)＜０．故选B． ５．B　 解析:若a＝０,则函数f(x)的值域为R,不合乎题意,因为 二次函数f(x)＝ax２＋２x＋c(x∈R)的值域为[１,＋∞),则 a＞０,且f(x)min ＝ ４ac－４ ４a ＝ ac－１ a ＝１ ,所以,ac－１＝a,可 得a＝ １c－１＞０ ,则c＞１,所以,１a ＋ ４ c ＝c＋ ４ c －１≥ ２ c􀅰 ４c －１＝３ ,当且仅当c＝２时,等号成立,因此,１a ＋ ４ c 的最小值为３．故选B． ６．D　 解析:因为f(x)＝ (２m２－５m＋３)xm 是幂函数,所以２m２ －５m＋３＝１,解得m ＝２或m ＝ １２ ． 又f(x)是偶函数,所以 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —１６　 m ＝２,故f(x)＝x２．故g(x)＝ f (x) f(x)＋１＝ x２ x２＋１ ．对于 A: g(－x)＝g(x),故g(x)是偶函数,图象关于y轴对称,故 A错 误;对于B:g(x)＝ x ２ x２＋１ ＝１－ １ x２＋１ ,由于x２＋１≥１,所以 ０＜ １ x２＋１ ≤１,故g(x)∈ [０,１),故值域为[０,１),故B错误;对 于C:g(x)＝１－ １x２＋１ ,由于y＝x２＋１在(０,＋∞)上单调递 增,故y１＝ １ x２＋１ 在(０,＋∞)上单调递减,故g(x)在(０,＋∞) 上递增,故C错误;对于 D:g １x( ) ＝ １ x( ) ２ １ x( ) ２ ＋１ ＝ １ x２＋１ ,从 而g(x)＋g １x( ) ＝ １ x２＋１ ＋ x ２ x２＋１ ＝１,故 D正确,故选 D． ７．ABD　 解析:因为函数f(x)的图象与直线y＝x没有交点,所 以f(x)＞x(a＞０)或f(x)＜x(a＜０)恒成立．因为f[f(x)] ＞f(x)＞x或f[f(x)]＜f(x)＜x恒成立,所以f[f(x)]＝ x没有实数根,故 ① 正确;若a＞０,则不等式f[f(x)]＞f(x) ＞x对一切实 数x 都 成 立,故 ② 正 确;若a ＜０,则 不 等 式 f[f(x)]＜x对一切实数x 都成 立,所 以 不 存 在 实 数x０,使 f[f(x０)]＞x０,故 ③ 错误;由函数g(x)＝f(－x)与f(x)的 图象关于y轴对称,所以g(x)和直线y＝－x也一定没有交点, 故 ④ 正确,故选 ABD． ８．AC　 解析:根据题意,函数y＝x－ ２ ３ ＝ １ x ２ ３ ＝ １３ x２ 对于 A,因为－ ２３ ＜０ ,所以该函数在(０,＋∞)上是减函数,故 A正确;对于B,对于y＝x－ ２ ３ ＝ １ x ２ ３ ＝ １３ x２ ,必有x≠０,则函 数的定义域为{x|x≠０},故B错误;对于C,函数的定义域为{x |x≠０},且f(－x)＝ (－x)－ ２ ３ ＝ １ (－x) ２ ３ ＝ １３ x２ ＝f(x),该 函数为偶函数,故C正确;对于D,函数的值域为(０,＋∞),故D 错误．故选 AC． ９．(－∞,１]　 解析:当m＝０时,f(x)＝x２－２x＋|x２－２x＋２|＝ (x－１)２－１＋|(x－１)２＋１|＝２(x－１)２,当x＝１时,f(x)取 得最小值０;当x＝１时,f(１)＝１＋m－２＋|１－m－２＋２|＝ m－１＋|m－１|,当m≤１时,可得f(１)＝m－１＋１－m＝０, 当m＞１时,f(１)＝２(m－１)＞０,f(x)＝ (x－１)２－１＋mx ＋|(x－１)２ ＋１－mx|,当(x－１)２ ≥ mx－１时,f(x)＝２ (x－１)２ ≥０,当 x ＝１ 时,取 得 最 小 值 ０,此 时 m ≤ １;当 (x－１)２ ＜mx－１时,f(x)＝２(mx－１),由题意可得２(mx－ １)≥０恒成立．则m 的取值范围为(－∞,１]． １０．２＋ ２２ 或１０－ ２ ４ 　 解析:因为f(x)是奇函数,且图象关于直 线x＝１对称,所以f(x＋２)＝f(１＋(x＋１))＝f(１－(x＋ １))＝f(－x)＝－f(x)．f(x＋４)＝－f(x＋２)＝f(x),所以 f(x)是周期函数,４是它的一个周期．由奇函数、周期性作出函 数的图象,如图． 当x∈ [０,２]时,f(x)＝x(２－x)＝－(x－１)２＋１,最大值为 １,因此f(x)的最大值为１,且f(１)＝１,f(５)＝１,由于M[０,k] ＝２M[k,２k],因此１∉ [k,２k]．f(x)在[０,１]上递增,所以若k ＜１,则 M[０,k] ＜ M[k,２k],所以１∈ [０,k]．所以 M[０,k]＝１, M[k,２k]＝ １ ２ ． 一定有k＜４,否则M[k,２k]＝１,从而２k＜５．由 x(２－x)＝ １２ 得x＝１＋ ２２ 或x＝１－ ２２ ,所以图中a＝１ ＋ ２２ ,b＝１－ ２２ ＋４＝５－ ２ ２ ． 当k＝a＝１＋ ２２ 时,２k＝ ２＋ ２＜b,满足题意,当２k＝b＝５－ ２２ 时,k＝１０－ ２４ ＞ a,满足题意．综上,k的值为２＋ ２２ 或１０－ ２ ４ ． 专题８　 指数函数与对数函数 狂练考点１　 指数函数 １．[ ５－１２ ,１) 　 解析:由函数的 解 析 式 可 得f′(x)＝axlna＋ (１＋a)xln(１＋a)≥ ０ 在 区 间 (０,＋ ∞)上 恒 成 立,则 (１＋a)xln(１＋a)≥－axlna,即 (１＋aa ) x ≥－ lnaln(１＋a) 在区间 (０,＋∞)上恒成立,故 (１＋aa ) ０ ＝１≥－ lnaln(１＋a) ,而a＋１∈ (１,２), 故 ln(１ ＋ a) ＞ ０, 故 ln (a＋１)≥－lna, ０＜a＜１,{ 即 a(a＋１)≥１, ０＜a＜１,{ 故 ５－１ ２ ≤a＜１ ,结合题意可得实数a的取值 范围是 [ ５－１２ ,１) ． ２．１　 解析:假设存在实数a,使f(x)为奇函数,则f(－x)＝ －f(x)．所以a－ ２２－x＋１ ＝－a＋ ２ ２x＋１ ,即 ２a ＝ ２ ２x＋１ ＋ ２ ２－x＋１ ,因为 ２ ２x＋１ ＋ ２ ２－x＋１ ＝２,所以a＝１． ３．D　 解析:∵a０ ＝１,∴f(x)＝ax－１－２恒过定点(１,－１),∴m ＝１,n＝－１,∴g(x)＝１＋ １x ,其图象不经过第四象限,故 选 D． ４．B　 解析:对任意的x∈R,ex＋１＞０,所以函数f(x)＝e x－１ ex＋１ 的定义域为 R,因为f(－x)＝e －x－１ e－x＋１ ＝e x(e－x－１) ex(e－x＋１) ＝１－e x １＋ex ＝－f(x),即函数f(x)为奇函数,又因为f(x)＝e x＋１－２ ex＋１ ＝ １－ ２ ex＋１ ,且函数y＝ex＋１在R上为增函数,所以函数f(x) ＝e x－１ ex＋１ 在R上为增函数,对任意的正数a,b,满足f(a)＋f(２b －２)＝０,则f(a)＝－f(２b－２)＝f(２－２b),所以a＝２－２b, 即a＋２b＝２, 所以 ２ a ＋ １ b ＝ １ ２ (a＋２b)( ２a ＋ １ b ) ＝ １ ２ (４＋ a b ＋ ４b a ) ≥ １２ (４＋２ a b 􀅰４b a ) ＝４,当且仅当 a b ＝ ４b a , a＋２b＝２, a＞０,b＞０ { 时,即当 a＝１, b＝ １２{ 时,等号成立,故 ２ a ＋ １ b 的最小值为４．故选B． ５．BD　 解析:因为f(x)＝ ２e x １＋ex － １２ ＝ ２(ex＋１)－２ １＋ex － １２ ＝ ２－ ２ １＋ex － １２ ＝ ３ ２ － ２ １＋ex ,定义域为R,因为y＝１＋ex 在 定义域上单调递增,且y＝１＋ex ＞１,又y＝－ ２x 在(１,＋∞) 上单调递增,所以f(x)＝ ３２ － ２ １＋ex 在定义域R上单调递增, 故B正确;因为１＋ex ＞１,所以０＜ １ １＋ex ＜１,所以 －１＜ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋