专题5 函数的单调性与最值-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

ap 专题5函数的单调性与最值 狂练考点1函数的单调性 A.( 1.【高考典例】(2023·北京卷)下列函数中，在 B(1》 区间(0，+∞)上单调递增的是 A.f(r)=-Inx B.f(x)= C.(,)U1,+o) C.f(x)=- D.f(x)=3r-川 D.(-o∞，-1)U(3,+∞) x 2.【课本典例】（人教A版第一册改编）设函数y5.【新题展望】设a= 2020×2022,b= 20219 =f(x)的定义域为I,区间D二I,记△x= 2021X2023.c=2022X2024,则a,b,c 20222 20232 x1-x2,△y=f(x1)-f(x2),函数y=f(x) 的大小关系是 (用“<”连接) 在区间D上单调递增的充要条件是( 狂练考点2 函数的最值 A.V∈D≠都有会>0 1.【高考典例】(2021·新高考I卷)函数f(x)= 12x-1|-2lnr的最小值为 B31程∈D≠x2都有y>0 △.x 2.【课本典例】（人教B教材改编）对a,b∈R,记 a,a≥b, C.Vx12∈D,x1≠x2,都有Ay<0 max(a,6)= 函数f(x)=max{|x △x b,a<b, +1,x-2|}(x∈R)的最小值是( 以 D.3x12∈D,x1≠x2,都有Ay<0 酸 △.x A.0 &号 c D.3 在 练 3.【经典好题】(2024·江苏南通质量监测)已知 3.【好题精选】(2024·山东聊城颐中外国语学校 011 f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在 月考)已知函数f(x)= x十，若a∈ R上的奇函数，且f(x),g(x)在（一o∞，0]上 单调递减，则 [-2,2],3x∈[2]使不等式fx)≤m 学 A.f(f(x)在[0，十o∞)上单调递减 2am 14 3 成立，则实数m的取值范围 B.f(g(x)在[0，+o∞)上单调递减 为 C.g(g(x)在[0，+)上单调递减 4.【新题展望】(2024·河北石家庄二十七中月 D.g(f(x))在[0，十∞)上单调递减 考)已知函数f(x)=+的最大值为 x3+x2 4.【好题精选】(2024·四川成都彭州高三期中) m,则函数g(x)=+rlnr的最小值为 1+x 已知f(x)=e十e2r+x2一2x,则不等式 (结果用m表示) d%6 f(2x+1)<f(x)的解集为 快乐考生 让学习快乐起来！ 狂练综合 函数的单调性与最值 二、多选题 一、单选题 7.(2024·云南昆明一中双基检测)设偶函数 1.(2024·四川绵阳南山中学实验学校一诊)下 f(x)=logx-b|在（一o∞，0）上单调递增. 列函数中，既是奇函数，又在[0,1]上单调递 则下列结论中正确的是 减的是 ( A.f(a+2)>f(b+2) A.y =-sinx B.y=x3 B.f(a+2)<f(b+2) C.f(a+1)>f(b-2) C.y=x+1 D.y=elr D.f(a+1)<f(b-2) 2.设函数f(x)=2在区间(0,1)上单调递8.(2024·福建莆田一中月考)已知定义在R上 减，则a的取值范围是 的函数f(x)满足以下条件： A.(-∞，-2] B.[-2,0) (1)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)f(y) C.(0,2] D.[2,+o∞) +f(x)+f(y): 3.已知f(x)是R上的单调函数，若fLf(x) (2)当x>0时，f(x)的值域是(0，+∞)： ]=2,则g(x)= f(x)一2的值域为 (3)f(1)=1. f(x) 则下列说法正确的是 ( A.f(.x)值域为[-1，+o∞) A.[-1,0) B.[-1,1) B.f(x)单调递增 C.(-1,1) D.[-1,+o∞) C.f(8)=255 4.设定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,且 对任意的xy∈R,都有2f(xy+1)= D九F门≥千得的解集为[1，十) 公 f(x)·f(y)-f(y)一2x+6,则函数g(x)= 三、填空题 驱 x一√(x)的值域为 ( 9.(2024·福建福州质检)已知定义城为R的函 练 A.1,+∞) B.[-1,+o∞) 数f(x)同时具有下列三个性质，则f(x)= ,(写出一个满足条件的函数 012 C.[0,+∞) D.[-2+∞ 即可) 数 5已知函数f)）=e.记a=f（受)b ①f(x十y)=f(x)十f(y):②(x)是偶函 数：③当x+y>0时，f(x)+f(y)<0. f)e=f(),则 10.(2024·黑龙江哈尔滨市哈三中验收考试) A.b>c>a B.b>ac 若存在常数(k>O),使得对函数f(x)的 C.c>ha D.c>a>b 定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有 6.(2024·江西南昌江西师大附中素养测试)对 |f(x1)一f(x2)|≤k|x1一x2|成立，则称 V∈1，当<时，安-() 函数∫(x)在其定义域D上是“k一利普希兹 函数”.若函数f(x)=√x2一2x十6(1≤无 >0,则实数a的取值范围是 ≤3)是“k一利普希兹函数”，则k的最小值 A.(3,+∞) B.[3,+o∞) 为 C.(9,+∞) D.[9,+∞)单调递增,由复合画数的单调性可知y一log(x十3)也是单调 递增的,3-8--7 log。(0+3)-1,所以画数/x)是增& 减,所以/(x)---在(0.+oo)上单调递增,故C正确;对于 数,故A正确;a一2时,/(x)一 --3,则3-5--3,解得x-log20(含去);log(x+2) --3.解得x-- 15<o(含去).故B错误:a= 8 f(2)-32-1|-3,显然/(c)-3-1在(0,+)上不单调, 3-1,r<0. D错误,故选C. 2.A解析:(1)充分性:不妨设x<x,则△r=x一r<0,因 为→0,所以△y-f(x)-/(x。)<o,即/(x)>/(r), <0.由复合画数的单调性可知y=log}(x+)是单调减 △ 所以f(x)在D上单调递增,必要性:若y一f(c)在D上单调递 增,则Vxi.。D,不妨设x r.r=x-0.则y 的,所以lo{(+)<二1.故/(i)的值域为(-0o1]),故C正 <y,△y--y<o.所以0.即Vx Dxr. △) 确;当0<a<1时,则/(x)在(一o,0)上单调递增,在(0. 十)上单调递减,即/(x)有可能存在最大值,当x 0时,易 知1-3a<3-3a+1<2-3a,当x0时,f(x)=log.(x 3.D 解析:不妨设/(x)-^},g(x)--r,满足题意,此时 +a)单调递减,所以f(x)-log(x+a) 1,即有1一2-3a. /(/(x))一(x)?一r在[o,十)上单调递增,故A错误; f(g(x))一(一r)一r”在[0,十oo)上单调递增,故B错误; g(g(x))一一(一x)一x在[0,十oo)上单调递增,故C错误:对 单调递增,在(0,十一)上单调递增,此时/(x)无最大值,不符 于D选项,因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R 合题意.故D正确.故选ACD. 上的奇函数,所以有/(x)=f(一x),g(x)=一g(一x),又 .(0.) 解析:因为/(x)一2,则有:当0<x< U(2,十) f(x),g(x)在(-oo,0]上单调递减,且当一x 0时,有x0。 所以由复合函数单调性可知,f(x)一/(一x),g(x)-一g(一x) 1时,可得log{>2-log{}士,解得0<<1; 在[0,十一)上分别单调递增、单调递减,不妨设0 x: x。,则 f(x.)<fxo),g(f(x.))>g(f(xo)),所以g(f(x))在[0. 当x1时,可得2-2,则x-1>1,解得x>2; +)上单调递减,故D正确.故选D. 4.B 解析:函数f(x)-+e+r*-2c的定义域为R,显然 f(2-x)-+e+(2-x)-2(2-x)= ++r- [] 10. 解析:根据定义作出函数y一/(x)的图象如图: 2x=f(x),则函数/(x)的图象关于直线x-1对称,当x>1 时,/(x)=e-+2x-2,显然x2-x,ee*,于是 (实线部分的曲线) /(r)0,即函数f(x)在(1,十)上递增,则不等式/(2x十 1 (x)等价于|2x+1-1| x-1|,即 2x<|-1|. 整理得3x*+2x-1<0,解得-1<x< +1)</(c)的解集为(-一1.).故选B _2 (x)-在(0.十)上为减函数知/(n)在N*上单调增, 故f(2021)</(2022)<f(2023),即a<bc. 其中A(1.1).B(3.3). 狂练考点2 函数的最值 即/r)一 1.1 解析:由题设知:/(x)一 2x一1一2lnx定义域为(0. +oo),所以当0<x时,f(x)=1-2x-2lnx,此时/(x) 单调递减;当<x<1时,/f(x)-2x-1-2lnz,有/(c)- 2-2<o.此时/(c)单调道减;当x>1时,/(o)-2r-1- 当x3时,/(x)一 2lnx,有/(c)-2-20,此时/(x)单调送增;又/(r)在各 在区间[n上的值战为[] ,所以区间[n,n]长度的 分段的界点处连续,所以综上有:0<x1时,f(i)单调递减. x1时,f(r)单调递增,所以f(x)二f(1)=1. 最大值为x一二 21 2.C 解析:由|x十1|二x-2,可 得(+1)(x-2),即x>. -l-21 -17-1.故n-的值范因为[1.]. 1 =f+1 所 以 专题5 /() 函数的单调性与最值 作 出函数 狂练考点1 函数的单调性 1.C 解析:对于A,因为y一lnr在(0,十)上单调递增,所以 /(x)的图象如图所示. f(x)一-lnx在(0,十oo)上单调递减,故A错误;对于B,因为 所以(c)n=/()- {+1|-,故选C. 3.(-0,-5]U[5,+o)解析:令g(a)-2am+m*}-14. 数学答案-9 [] 上有g(n) io三 则问题可转化为在a[-2,2],xE ##+3-4>0,即-1>1-3. ,由二次函数性质知 #(5)<(),为--(号)-+4# 增,故(2) #()- $ (+ ②)-4=8+4 3-16-4 ③-8=4 3-) <-#(#)→>#(#)#,综上^#(# 0. ①当m<0时,g(a)在[-2,2]上单调递增,则g(a)ìn-n^}+$ #<&()<(^#),#y-^为增西数,故a<<6,即#> 得m(-oo,-5]: c>a.故选A. 3 ③当m0时,g(a)在[-2,2]上单调递减,则g(a)m-m- ##价()#等0)四等 mE[5.+o).综上所述,m(-2,-5]U[5,+). #()# 价于3r.-3r。alnr.-alnr:,即等价于3x:-alnr3x。 解析:因为/(c)一 alnr,令/(x)-3x-alnr,x(1,3],即等价于对\x, 4.1-n 3十 (1.3],当xr x时,f(x)f(r。).即函数f(x)在(1,3]上 1-1nx 单调遂减,即对vx(1,3],r(c)-3-<0,即a3x, _n.则1-() )} 1十2 由x(1,3],则3x(3,9],所以a9,所以实数a的取值范 围是[9,+).故选D. $&lnr-十1十王-g(2),当x的取值范围为(0,+)时,1 7. BC 解析:因为函数f(x)为偶&数,所以力一0;又因为偶函数 1+7 f$x)=log。|xl在(-xo,0)上单调递增,则0<a 1,所以1 <a+1<2,2<a+2<3,且由函数f(x)为偶函数知f(x)在 的最大值与/(x)的最大值 (0.+)上单调递减,故对于选项A和B,*,'a十2→2-b+2 相等,均为m,所以g(c)-1+rlnr的最小值为1-m. f(x)在(0,+)上单调递减,'f(a+2) f(b+2),故A错 误,B正确;对于选项C和D.·1 a+1 2,b-2--2.函数 1十2 f(x)为偶函数,f(x)在(0,十oo)上单调递减,.f(a十1) 狂练综合 函数的单调性与最值 f2)=f(-2)=f(b-2),故C正确,D错误,故选BC. 8.BCD 解析:对选项A:令x=1.y=0可得f(1)=f(1)f(0) 1.A 解析:由y=一sinx定义域为R且一sin(一x)=sinx,易知 十f(0)十f(1),故f(0)=0,令y=-x可得f(0)= [0吾].故y--sinr在[o. f(-x)f(x)十f(x)+f(-x),f(-x)子-1,f(r)= y--sinr为奇画数,又[o.1]二 一/(一c) 1 1]上递减,A符合,由y=1^{*}在[0,1]上递增,B不符合;由y= f(一x)+1 10 x+-定义域为{x|x0),显然区间[0,1]不满足定义域,C 错误;对选B:任取x,x:B且xx,f(r-x)0. 不符合;由y=定义域为R且e一,即y一}为偶$ $r)-1,则 f(x)-fx)=f(r-+x)-f(r)= &数,D不符合,故选A. fr-x)fr。)+fxr-)=fxx)[fx)+1]0. 2.D 解析:函数y-2在B上单调递增,而函数f(x)一2(- 所以函数y一/(x)在R上单调递增,正确;对选项C:取x-y 在区间(0,1)上单调递减,则有函数y=x(x-a) -1得到f(2)=f(1)f(1)+f1)+f(1)=3;取x=y=2得 到$(4)=f(2)f(2)+f(2)+f(2)-15;取x=y=4得到 f(8)-f(4)f(4)+f(4)十f(4)-255,正确; 对选项D.f(x)]>3=().(c)][1+f(c)]>3- 一2.所以a的取值范围是[2,十o).故选D. 3一/x) 3.B 解析:令1-/(x)-,所以f(x)=1+,则令x=1.所 $(x),即/[(x)](x)+f(x)+/f(x)]=/x+f(x)] 以/(t)=1+,又因为//(x)- -2.所以ft)-2.所以 f(2).即x十f(x)→2,函数g(x)一x十/(x)单调递增,且g(1) 十-2.解得:t=1,所以f(x)=1十&.所以g(x)= =1+1-2,故x一1,正确,故选BCD. 9.一r(答案不唯一,r(k 0)均可)解析:由条件①,设f(r) 1十& 1十冠 区十1 一r,则/f(x)一h,满足条件②,此时易知f(r)为奇函数,再 由条件③,当x一y时,有((x)<一f(y)=f(一y),可知f(x) 为R上的减函数,所以h 0.故答案为一x(答案不唯一,(k 1 十1 <0)均可). 值域为[-1,1).故选B 过10.2 4.B 解析:令x=y=0.得2/(1)=f(0)·f(0)-f(0)-2x 解析:显然函数f(x)--2x十6在[1,3]上单调递 0+6,即/1)-3:令y-0,则2f(1)-f(x)·f(0)-f(0) 增,依题意,Vx,[1,3,x:去t,不妨令x&x,有 2x+6,即f(x)-2x+1;因为g(x)-x-f(x),所以g(x) If(x)-fr)|<k|xr-xlfx)-f(r)<(r -r-v②r+I.(r- r.)f(x)-kx f(x)-kx,令g(x)=f(r)-kx, [1.3],则有Vx,[1,3],x<x:.g(x)g(x),于是 &数g(x)=x-2x十6一br在[1,3]上递减,求导得 V/(c)的值域是[一1,十oo).故选B. 2-2r+6 5.A 解析:令g(z)--(x-1),则g(x)开口向下,对称轴为r 0.即二一 -2+6 _-2r十6 {-2x+6 (r一1) 数学答案-10 (1.3]上单调送增,当x-3时 3a-x-.则 →,所以k f(0)-1-2--1.f(3)-f(2)-f1)--1-1--2./(4) -f-2)-/2)--1. 5)-f-1)-f1)-1.f6) 的最小值为}. f(0)=2,所以一个周期内的f(1)十f(2)十...十/(6)一0.由 于22除以6余4,所以/(b)=f(1)+/(2)+/(3)+/(4)= 专题6 函数的奇偶性与周期性 1-1-2-1--3.故选A. 狂练考点1 函数的奇偶性质 2.B 解析:因为f(x)在R上以6为周期,对称轴为工一3,且在 (0.3)内单调递减,所以/f(3.5)-f(2.5)./(6.5)=/(0.5). 解析:因为/(z)-re 因为0<0.5$1.5 2.5 3.所以$2.5)<f1.5) 1.D 为偶函数,则/(r)一/(一r)一 _二) f(0.5),即f(3.5)f(1.5)<f(6.5).故选B. 3.A 解析:由f(一x)十f(x)-0,f(2十x)=f(x),联立可得: e*-16“-1 e-1 /(2十x)=一f(一x),即画数/(x)图象关于点(1,0)对称,由 可得 --ì-0.即={-l,则r=(a-1),即1= f(2十x)一f(x)可得/(x)为周期函数,且周期为2,y=sinrr 的周期为2.关于点(h,0),h乙对称,由图象知;y一f(x)与y a一1,解得a-2.故选D. 一sinzr在[一1,1)上有4个交点,其交点横坐标分别为x一 2.(1.-2)y-f(x+a)解析:因为f(x)--3r^}-(x -3(x-1)-2,所以 (+1)=-3x-2.(+1+ #1,所以若函数F(c)-()- $=r-3r,设g(x)-x-3r,则g(-r)-(-x)-3(- =-r”十3x=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以f(x)=x 3r的图象关于点(1,-2)对称,即/(x)-r一3.r}的图象的 ” 对称中心是点(1,一2),函数y-f(工)的图象关于直线工-a成 轴对称图形的充要条件是函数y一f(x十a)为偶函数。 3.C 解析:对于A中,函数f(1十x)为偶函数,则有/(1十x) ###A f(1一x),可得f(2十x)=/(一x),又由/(x)为奇函数,则 -i7 f(-2-x)--f(2+x),/(-x)-/(x),则有f(-2-x) 一f(-x),所以-f-2-x)--f(x),即f-2-x)-f(. 所以A错误;对于B中,函数f(1十x)为偶函数,则有/(1十工) =f(1一x),所以B不正确;对于C中,由f(2十x)=f(一x)= 一f(x),则f(x十4)一-f(x十2)=f(x),所以f(x)是周期为 4.C 解析:y-f(x十1)的最小正周期是2,则y-f(x)的最小 4的周期函数,所以f(x十2)=f(工一2),所以C正确;对于D 正周期是2,故B错误;所以/(一1)-一/(1)又f(-1)=f(1). 中,由f(-)是周期为4的周期函数,可得f(2023)一/(-1十 所以/(1)=f(-1)=0,故C正确;若f(x+1)=f(-x+1). 506×4)一f(-1)一一f(1),其中结果不一定为0,所以D错误。 又f(x+1)=fx-1),则f(x-1)=f-x+1),令x-1 故选C. 1.则有/(t)一f(一t),因此f(x)是偶函数,与题意不符,故A错 4.C 解析:令g(x)=f(x)一1=x”十x,易知g(x)为奇函数且 误;/()-/(一)-/().所以/()+/() g(x)在B上单调递增,化简/(1-x)+f(2x)>2→f(1-x) $+ (2x)-1>0,即g(1-x)+g(2x)>0→g(1-) 0.故D错误.故选C. -g(2x)=g(-2x),所以1-x-2x,解得x-1,故选C. 5.2 解析:由已知可得,f(x)=f(4一x),所以f(一x)=f(4十 5.ABD 解析:A选项,/(2)-1 x).又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(一x)一一f(x),所 的定义域为R,一f(x)一 +1 以f(4十x)=一f(x),所以f(8十c)=-f(4十x),所以f(8十 -11- x)一/(x),所以/(x)的周期为8.所以/(2023)-/(252×8 =g(x),所以曲线y=f(c)与曲线y= a十1十1 +7)-f(7).令x-3,代入((4一x)一-f(-x)可得,f(7) g(x)关于:轴对称,A正确:B选项,因为/(x)-l的定义 =-f(3).令x=3代入f(c)=/(4-x)可得,f(3)=f(1). 又f(1)-1-3--2,所以f(3)--2,f(7)-2,所以$ 十1 f(2023)-2. 1-1 1- 狂练综合 一r(x),故曲线 函数的奇偶性与周期性 ~1 11 -1{ 1.B 解析:因为晶数/(x)-ar+2hr十a-b是奇函数,所以 y=f(x)与曲线y=g(x)关于y轴对称,B正确;CD选项,y f(工)的定义域关于原点对称,所以为3a一4十a-0,解得a (2)#-一一)# 1.又因为f(x)=文十2b十1-b为奇函数,所以f(-x) /(x)g(x)-一 一一1.则 一 (x),即--2br+1-b---2hr-1+b,所以2-2 b 解得一1,故选B. 十1 2.C 解析:令f(x)=工显然不是偶函数,但y=f(一x)十f(x) 一0是偶画数,所以“y=f(x)十f(一x)为偶函数”不是“f(x) 且(0,1),又y一一(t-1)*在t(0,1)上单调递增,故当 a1时,函数y=/f(x)g(x)在(0,十一)上单调递减,C错误; 为偶函数”的充分条件;若f(x)为偶函数,则有f(一x)一 f(x),令F(x)=f(c)+f(-x)=2/(x),则F(-x)= 当0<a<1时,:2 在(0,十)上单调递增,且t(1 十1 2./(-x)=2f(x),所以F(x)为偶函数,即y=f(x)十f(-) 为偶函数,所以”y一f(x)十f(一x)为偶函数”是“f(x)为偶函 2),又y=-(t-1)}在1(1,2)上单调递减,故当0 a l 时,函数y-f(x)g(r)在(0,十oo)上单调递减,D正确,故 数”的必要条件,综上所述,“y一/(x)十/(一x)为偶函数”是 “f(x)为偶函数”的必要不充分条件,故选C. 选ABD. 3.D 解析:令g(x)=xf(r),则g(y+1)=(y+1)f(y+1),所 狂练考点2 函数的周期性 以g(x)=g(y+1),且x,y+1为定义域内任意值,故g(x)为 常画数.令g(x)-k,则f(x)一_为奇函数且没有极值点,C 1.A 解析:因为f(x十y)十f(x一y)=f(x)f(y),令x-1,y= 0可得,2f(1)=f(1)/f(0),所以f(0)=2,令x=0可得,f(y) 错,D对;所以f(x)0不恒成立,f(1)=1不一定成立,A、B 十f(一y)一2f(y),即f(y)=f一y),所以函数f(x)为偶 错,故选D. 数,令y-1得,f(x+1)+f(x-1)-f(x)f(1)-f(x),即 4.B 解析:因为/(6一x)一/(一x).所以/(x)是周期为6的周 有f(x+2)+f(x)=fx+1),从而可知f(x+2)--f( 期函数,又f(2023)-3,所以f(6×337+1)-f(1)-3,所以 1.f(x-1)--f(x-4),故fx+2)-f(x-4),即f() 2 f(x十6),所以&数f(x)的一个周期为6.因为f(2)一f(1)一 数学答案-11