专题4 函数的概念及其表示-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

专题4 函数的概念及其表示 狂练考点1 函数的三要素 2.【课本典例】(人教A版第一册改编)(多选)函 1.【高考典例】(2022·北京真题)函数/(.c)-1 数y= [x]的函数值表示不超过x的最大整 数,例如[1.1]=1,[2.3]=2.设函数f() 士1一x的定义域是 [1-x2,1<0. 2.【课本典例】(人教A版第一册)下列函数中与 则下列说法正确的是 x-[],x>0, ( 函数y一x是同一个函数的为 ) A.y-(G)2 B.-# A.函数f(x)的值域为(-oo,0] C.y-v2 B.若x>0,则[f(x)]=0 3.【经典好题】(2024·陕西渭南韩城象山中学检 C.方程f(x)三1有无数个实数根 测)已知f(x)的定义域为[0,2,则函数 D.若方程f(x)三一x十a有两个不等的实数 根,则实数a的取值范围是[0,十) ( ) log(x-1) 3.【经典好题】(2024·江苏连云港海州高级中学 A.(1.③] B.[0,2] logx,x>0. 模拟)已知函数/(x)二 若 C.[1,2] D.(1,3] 2,x<0. 4.【好题精选】(2024·安徽院江名校联考)(多 f(a)-1,则a- ,若[]表示不超 10+1 4.【好题精选】(2024·四川绵阳一诊)已知函数 [e+e-2,x0, f(x)- 则/(x)的值 )架 .2+2x,x<0. 值可能是 C ) 域为 A.0 B.-1 5.【新题展望】(2024·江苏南京六校联合体联合 C.1 D.2 [2x-2,x>-1. 009 调研)已知/(x)三 5.【新题展望】(2024·河南部分名校核心模拟 若< le,:<-1. 已知函数f(x)对定义域x x去0内的任 斑游 意实数x满足/(2x)-2/(2)-4x,则/(zx) b,f(a)=f(b),则实数a-2b的取值范围 是 狂练综合 函数的概念及其表示 狂练考点2 分段函数 一、单选题 1.【高考典例】(2022·浙江真题)已知函数f(x) 1.(2024·全国乙卷大联考)若函数/(x)三 (-2+2,:<1. 则/()-; e-x,r<3, 则/(/(e2)一 lnr-2.x3. A.-1 若当xE[a,列时,1<f(x)<3,则b-a的 B.-2 # 最大值是 C.1 D.ln2-2 怯乐考士 让学习快乐起来! 2.(2023·河北唐山一中联考)已知函数f(x)的 A.(-o0.1) 定义域为[-2,2,则函数g(x)=f(2x)十 B.(-,-1] ( /2十logx的定义域为 C.[-1,1) A.[1,2] B.1,4] D.(-,-1]U[2,+oo) C.[,1 D.[,] 二、多选题 7.(2024·湖南三湘创新发展联合体月考)已知 3.(2024·陕西汉中多校联考)存在定义域为R 函数f(x)的定义域和值域均为[一3,3,则 的函数f(x),满足对任意xCR,使得下列等 ) ( 式成立的是 ) A.函数f(x一2)的定义域为[一1,5 A.f(y2)-③ B.函数/(3r) 2-T 的定义域为[-1,1) B. f(cosx)=x C.f(x2十x)-|xl C.函数f(x一2)的值域为[-3,3 D.f(lx|)-x2+1 D.函数f(2x)的值域为[-6,6] 8.(2024·黑龙江哈三中验收考试)已知函数 4.(2024·北京市人大附中质检)已知a0且a a,x<1. (3r-3a+1,x<0. f(x)二 若函数 =1,函数/(x)= 则下列结论正 -x+a,x1. log(r十a).x>0. 确的是 ) /(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大 A.若a三3,则f(x)是增函数 ( ) B.若a一2,则函数y=f(x)十3有两个零点 #成2 C.若a二 )字 C.2或7 ## D.若f(x)有最大值,则实数a的取值范围是 [11,1) 5.高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子' 010 的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设。 三、填空题 ER,用[x]表示不超过x的最大整数,则= 9.(2024·贵州遵义监测)若函数f(x)= []称为高斯函数,例如:[-2.1]三-3, logx,0<x1. 则不等式f(x)2的解 (2十1)2 2-1,x>1, [3.1]一3,已知函数f(x)= 2十1 2) 集为 ( 则函数y一[f(x)]的值域是 ) (a,a<. 10.定义mina,b一 A.(0,1) B.(0,1,2) 若函数f(x)一 b,a>b, C./-1.0,1 D.(-1,0.1.2) minr-3r+3,-x-3+3,且f(x)在 [(1-a)x十a②,x<1. 会 区间[m_n上的值域为[3.7]1.则n-的 6.已知函数f(x)= 3x>1 函数g(x)=lnx的值域相同,则实数a的取 取值范围为 值范围是 )数学答案 —７　 错误;因为a＋４b＝ ( １a ＋ １ b ) (a＋４b)＝１＋４＋ ４b a ＋ a b ≥ ５＋２ ４ba 􀅰a b ＝９ ,当且仅当４b a ＝ a b 时,即a＝３,b＝ ３２ 时 等号成立,故B正确;因为a＞０,b＞０,１a ＋ １ b ＝１ ,由基本不 等式可知,１ a ＋ １ b ＝１≥２ １ ab ,计算得ab≥４,所以log２a＋ log２b＝log２ab≥log２４＝２,故C正确;令函数f(x)＝xe １ x (x＞ ０,x≠１),因为f′(x)＝e １ x － １xe １ x ＝e １ x (x－１x ) ,当x∈ (０, １)时,f′(x)＜０,x∈ (１,＋∞)时,f′(x)＞０,所以f(x)在(０, １)上单调递减,在(１,＋∞)上单调递增,所以f(x)＞f(１)＝ e,即xe １ x ＞e,得x＞e１－ １ x ,因为a＞０,b＞０,１a ＋ １ b ＝１ ,所 以 １ a ＝１－ １ b ,且a≠１,b≠１,所以e １ a ＝e１－ １ b ,因为b＞e１－ １ b , 即b＞e １ a ,故 D错误．故选BC． ７．ABC　 解析:因为２m ＝３n ＝６,则m＝log２６,n＝log３６,对于A 选项,１ m ＋ １ n ＝log６２＋log６３＝log６６＝１ ,A对;对于B选项, 由 A选项可知,１＝ １m ＋ １ n ＞ ２ mn ,则 mn＞２,即mn＞４, B对;对于C选项,m－１＝log２６－log２２＝log２３,n－１＝log３６ －log３３ ＝ log３２,所 以 (m－１)２ ＋ (n－１)２ ＝ (log３２)２ ＋ (log２３)２ ＞２log３２􀅰log２３＝ ２ln２ ln３ 􀅰ln３ ln２＝２ ,C对;对于D选项, m２＋n２ ＞２mn＞８,D错．故选 ABC． ８．ABD　 解析:对于 A,设A(m,n),则B(－m,－n),D(m,０),设 E(x１,y１)．由题意可知 m ≠０,m ≠x１,m＋ x１ ≠０．则 m２ １６＋ n２ ８ ＝１ ,x ２ １ １６＋ y２１ ８ ＝１ ,两式 相 减 得 m２－x２１ １６ ＋ n２－y２１ ８ ＝ ０． 即 (n＋y１)(n－y１) (m＋x１)(m－x１) ＝－ １２ ,即kBE􀅰kAE ＝ － １２ ,由kAB ＝ ２n ２m＝ n m ,kBD ＝ n ２m ,∴kBE ＝kBD ＝ １ ２kAB ,则 １ ２kAB 􀅰kAE ＝－ １ ２ ,∴kAB􀅰kAE ＝－１,即AB⊥AE,故A正确; 对于B,由A的分析可知m ２ １６＋ n２ ８ ＝１ ,不妨设点A在第一象限, 则m ＞０,n＞０,所以１＝ m ２ １６＋ n２ ８ ≥２ m２ １６× n２ ８ ,∴mn ≤ ４ ２,当且仅当m＝２ ２,n＝２时取等号．故S△ABD ＝ １ ２m×２n ＝mn≤４ ２,故B正确;对于 C,由题意 知C:x ２ １６＋ y２ ８ ＝１ 左焦点为F(－２ ２, ０),设右焦点为F′(２ ２,０),a＝４,b＝ ２ ２．则根据椭圆的对称性可知|BF|＝ |AF′|,故 △ABF周长为２a＋|AB|＝ ８＋|AB|．而|AB|的最小值为椭圆的短 轴长２b＝４２,由题意可知AB 不能与椭圆短轴重合,故 △ABF 周 长大于８＋４ ２,C错误;对于D,由C的分析可知,|AF|＋|BF|＝ |AF| ＋ |AF′| ＝ ２a ＝ ８． 故 １|AF| ＋ １６ |BF| ＝ １ ８ １ |AF|＋ １６ |BF|( )(|AF|＋|BF|)＝ １ ８ (１７＋| BF| |AF|＋ １６|AF| |BF| ) ≥ １ ８ (１７＋２ | BF| |AF| 􀅰１６|AF| |BF| ) ＝ ２５ ８ ,当且仅 当|AF|＝ ８５ ,|BF|＝ ３２５ 时取等号,D正确,故选 ABD． ９．８　 解析:由题可知a＋b＝ ３ba 　① ,ab＝ ca 　② , 由 ① 可得b＝ a ２ ３－a ,则０＜ a ２ ３－a＜a ,解得０＜a＜ ３２ , 由 ② 得cb ＝a ２,且a,b,c为正数,a＞b,可知a－b＞０, 则４c b ＋ １ b(a－b)＝４a ２＋ １b(a－b)≥４a ２＋ １[b＋(a－b)]２ ４ ＝ ４a２＋ ４ a２ ≥２ ４a２× ４ a２ ＝８,当且仅当 b＝a－b, ４a２ ＝ ４ a２ ,{ 即a＝２b ＝２c＝１时,等号成立,所以４cb ＋ １ b(a－b) 的最小值为８． １０．６－ ２４ 　 解析:由正弦定理有a＋ ２b＝２c,所以c＝a＋ ２b２ , cosC ＝ a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ３ ４a ２＋ １２b ２－ ２２ab ２ab ,由 于 ３ ４a ２ ＋ １ ２b ２ ≥２ ３４a ２􀅰 １ ２b ２ ＝ ６２ab ,故cosC ≥ ６－ ２４ ,所 以 cosC的最小值是 ６－ ２４ ． 专题４　 函数的概念及其表示 狂练考点１　 函数的三要素 １．(－ ∞,０)∪ (０,１]　 解析:因为f(x)＝ １x ＋ １－x ,所以 １－x≥０, x≠０,{ 解得x≤１且x≠０．故函数的定义域为(－∞,０) ∪ (０,１]． ２．B　 解析:对于 A,y＝ (x)２ ＝x(x∈ {x|x≥０}),它与函数 y＝x(x∈R)虽然对应关系相同,但是定义域不相同,所以这个 函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数,故 A错误;对于B, u＝ ３ v３ ＝v(v∈R),它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相 同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数y＝x(x∈ R)是 同 一 个 函 数, 故 B 正 确; 对 于 C,y ＝ x２ ＝|x |＝ －x,x＜０, x,x≥０,{ 它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R, 但是当x＜０时,它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同,所 以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．故C错误;对 于 D,m ＝n ２ n ＝n (n∈ {n|n≠０}),它与函数y＝x(x∈R)的 对应关系相同但定义域不相同,所以这个函数与函数y＝x(x ∈R)不是同一个函数,故 D错误,故选B． ３．A　 解析:由题设 ０≤x２－１≤２, log１ ２ (x－１)＞０, x－１＞０, { 则 １≤x ２ ≤３, ０＜x－１＜１,{ 可得 １＜x≤ ３,所以函数定义域为(１,３]．故选 A． ４．AB　 解析:因为１０x ＞０,则 １ １０x ＋１＞１,所以函数f(x)＝ １０x １０x＋１ ＝ １ １＋ １ １０x 的值域是(０,１),则f(x)－ １２ 的取值范围是 (－ １２ , １ ２ ) ,于是y＝ f(x)－ １ ２[ ] 的函数值可能是 －１或 ０,故选 AB． ５．－ ２３x－ １６ ３x　 解析:由f(２x)－２f( ２x ) ＝４x,得f(２x)－ ２f( ４２x ) ＝２􀅰(２x),即f(x)－２f( ４ x ) ＝２x①,将x换为 ４ x , 得f( ４x ) －２f(x)＝２× ４ x ② ,由 ①＋２②,得－３f(x)＝２x ＋１６x ,故f(x)＝－ ２３x－ １６ ３x． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —８　 狂练考点２　 分段函数 １．３７２８　３＋ ３　 解析:由 已 知f １２( ) ＝－ １ ２( ) ２ ＋２＝ ７４ , f ７４( ) ＝ ７ ４ ＋ ４ ７ －１＝ ３７ ２８． 所以f(f １２( ) ) ＝３７２８．当x≤ １时,由１≤f(x)≤３可得１≤－x２＋２≤３,所以 －１≤x≤ １,当x＞１时,由１≤f(x)≤３可得１≤x＋ １x －１≤３ ,所以 １＜x≤２＋ ３．１≤f(x)≤３等价于－１≤x≤２＋ ３,所以 [a,b]⊆ [－１,２＋ ３]．所以b－a的最大值为３＋ ３． ２．BD　 解析:当x∈ [０,１)时,[x]＝０,所以f(x)＝x－[x]＝ x;当x∈ [１,２)时,[x]＝１,所以f(x)＝x－[x]＝x－１;当 x∈ [２,３)时,[x]＝２,所以f(x)＝x－[x]＝x－２;当x∈ [３,４)时,[x]＝３,所以f(x)＝x－[x]＝x－３;􀆺 当x∈ [n, n＋１),n∈N时,[x]＝n,所以f(x)＝x－[x]＝x－n;作出 函数f(x)＝ １－x２,x＜０, x－[x],x≥０{ 的图象,如下图所示: 由图象可知,函数f(x)的值域为(－∞,１),故A错误;由图象可 知,若x≥０,则f(x)∈ [０,１),所以[f(x)]＝０,故B正确;由图 象可知,函数f(x)与y＝１没有交点,所以方程f(x)＝１无实 数根,故 C错误;在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)和函 数y＝－x＋a的图象,如下图所示: 由图象可知,若方程f(x)＝－x＋a有两个不等的实数根,则实 数a的取值范围是[０,＋∞),故 D正确,故选BD． ３．２或０　 解析:当a＞０时,log２a＝１,解得a＝２;当a≤０时, ２a ＝１,解得a＝０,所以a＝０或２． ４．[－１,＋∞)　 解析:由题意可知x≥０时,y＝ex＋e－x－２≥ ２ ex􀅰e－x－２＝０,当且仅当x＝０时取得等号;x＜０时,y＝ x２＋２x＝ (x＋１)２－１≥－１,当且仅当x＝－１时取得等号,故 f(x)≥－１． ５．(－∞,－ １e －３] 　解析:作函数f(x) 的图象,如图, 设f(a)＝f(b)＝t,则０＜t≤ １e ,∵a ＜b,∴a ≤－１,１ ＜b ≤ ２e＋１２e ,又 ∵f(a)＝ea＝t,f(b)＝２b－２＝t,∴a ＝lnt,b＝ １２ (t＋２),∴a－２b＝lnt－ t－２,设g(t)＝lnt－t－２,０＜t≤ １e ,g′(t)＝ １t －１＝ １－t t , 当０＜t≤ １e 时,g′(t)＞０,函数g(t)为增函数,∴g(t)≤ g( １e ) ＝ln １ e － １ e －２＝－ １ e －３ ,即实数a－２b的取值范 围是 (－∞,－ １e －３] ． 狂练综合 　 函数的概念及其表示 １．C　 解析:因 为 e２ ＞ ３,所 以 f(e２)＝lne２ －２＝ ０,所 以 f(f(e２))＝f(０)＝e０－０＝１．故选 C． ２．D　 解析:由题意得: －２≤２x≤２ , ２＋log２x≥０,{ 解得 １ ４ ≤x≤１ ,即g(x) 的定义域为 [ １４ ,１] ．故选 D． ３．D　 解析:对于 A,因为x２ ＝a(a＞０)有两个不相等的根 a和 － a,所以当x＝ a 时,f(a)＝a ３ ２ ;当x＝－ a 时,f(a)＝ －a ３ ２ ,与函数的定义不符,故 A 不成立;对于 B,令x＝０,则 f(cos０)＝f(１)＝０,令x＝２π,则f(cos２π)＝f(１)＝２π,与函数 定义不符,故B不成立;对于C,令x＝０,则f(０)＝０,令x＝－１,则 f(０)＝|－１|＝１,与函数定义不符,故C不成立;对于D,f(|x|)＝ x２＋１＝|x|２＋１,∀x∈R,f(x)唯一确定,符合函数定义．故D成 立,故选D． ４．D　 解析:① 当０＜a＜１时,函数f(x)在[０,１]上是减函数,在 (１,２]上也是减函数．∵f(０)＝a０＝１＞－１＋a,∴ 函数的最大 值为f(０)＝１,而f(２)＝－２＋a＜a＝f(１),∴ 函数f(x)的 最小值为f(２)＝－２＋a,∴－２＋a＋ ５２ ＝１ ,解得a＝ １２ ∈ (０,１),符合题意． ② 当a＞１时,函数f(x)在[０,１]上是增函数,在(１,２]上是减 函数．∵f(１)＝a＞－１＋a,∴ 函数f(x)的最大值为f(１)＝ a,而f(２)＝－２＋a,f(０)＝a０ ＝１,当a∈ (１,３)时,－２＋a ＜１,此时函数f(x)的最小值为f(２)＝－２＋a,因此有－２＋a ＋ ５２ ＝a ,无解;当a∈[３,＋∞)时,－２＋a≥１,此时函数f(x) 的最小值为f(０)＝１,因此有１＋ ５２ ＝a ,解得a＝ ７２ ∈ (３, ＋∞),符合题意．综上所述,实数a的值为 １２ 或 ７ ２ ． 故选 D． ５．C　 解析:显然,f(０)＝ １２ ． 当x≠０时,f(x)＝ (x＋１)２ x２＋１ － １２ ＝２ (x＋１)２－(x２＋１) ２(x２＋１) ＝x ２＋４x＋１ ２(x２＋１) ＝ １２ ＋ ２ x＋ １x ,令t＝ x＋ １x ,当x＞０时,t＝x＋ １x ≥２ x 􀅰 １ x ＝２ ,０＜ １t ≤ １ ２ ,１ ２ ＜f (x)≤ １２ ＋２× １ ２ ＝ ３ ２ ,当且仅当x＝１时,等号 成立;当x＜０时,t＝x＋ １x ≤－２ (－x)􀅰 － １x( ) ＝－２, － １２ ≤ １ t ＜０ ,f(x)≥ １２ －２× １ ２ ＝－ １ ２ ,且f(x)＜ １２ , 当且仅 当 x ＝－１ 时,等 号 成 立．综 上 所 述,f(x)的 值 域 为 － １２ ,３ ２[ ] ,所以根据高斯函数的定义,函数y＝[f(x)]的值 域是{－１,０,１},故选 C． ６．B　 解 析:因 为 g(x)＝ lnx 的 值 域 为 R,所 以 f(x)＝ (１－a)x＋a２,x＜１, ３x,x≥１{ 的值域为R．当x≥１时,３ x ≥３１ ＝３． 当x＜１时,① 若１－a＝０,即a＝１,f(x)＝１,此时不满足条 件;② 若１－a＜０,即a＞１,f(x)＞１－a＋a２,此时f(x)的 值域不可能为 R;③ 若１－a＞０,即a＜１,f(x)＜１－a＋a２, 要使f(x)的值域为R,则１－a＋a２ ≥３,即a２－a－２≥０,解 得a≥２或a≤－１,又因为a＜１,所以a≤－１．故选B． ７．ABC　 解析:函数f(x－２)中的x需满足－３≤x－２≤３,解 得－１≤x≤５,故函数f(x－２)的定义域为[－１,５],故A正确; 函数f(３x) x－１ 中的x需满足 －３≤３x≤３ , x－１≠０,{ 解得－１≤x＜１,故 函数f(３x) x－１ 的定义域为[－１,１),故 B正确;函数f(x－２)和 f(２x)的值域都为[－３,３],故 C正确,D错误．故选 ABC． ８．ACD　 解析:由a＝３,则f(x)＝ ３x－８,x＜０, log３(x＋３),x≥０,{ y＝３ x－８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —９　 单调递增,由复合函数的单调性可知y＝log３(x＋３)也是单调 递增的,３０－８＝－７＜log３(０＋３)＝１,所以函数f(x)是增函 数．故 A正确;a＝２时,f(x)＝ ３x－５,x＜０, log２(x＋２),x≥０,{ 由f(x) ＝－３,则３x－５＝－３,解得x＝log３２＞０(舍去);log２(x＋２) ＝－３,解得x＝－１５８ ＜０ (舍去)．故B错误;a＝ ２３ 时,f(x)＝ ３x－１,x＜０, log２ ３ (x＋ ２３ ) ,x≥０,{ y＝３x－１单调递增,即－１＜３x－１ ＜０,由复合函数的单调性可知y＝log２ ３ (x＋ ２３ ) 是单调递减 的,所以log２ ３ (x＋ ２３ ) ≤１,故f(x)的值域为(－∞,１],故C正 确;当０＜a＜１时,则f(x)在(－ ∞,０)上单调递增,在(０, ＋∞)上单调递减,即f(x)有可能存在最大值,当x＜０时,易 知１－３a＜３x－３a＋１＜２－３a,当x≥０时,f(x)＝loga(x ＋a)单调递减,所以f(x)＝loga(x＋a)≤１,即有１≥２－３a, 且０＜a＜１,解得 １３ ≤a＜１ ,当a＞１时,f(x)在(－∞,０)上 单调递增,在(０,＋∞)上单调递增,此时f(x)无最大值,不符 合题意．故 D正确．故选 ACD． ９．(０,１４ ) ∪ (２,＋∞)　 解析:因为f(x)＞２,则有:当０＜x＜ １时,可得log１ ２ x＞２＝log１ ２ １ ４ ,解得０＜x＜ １４ ; 当x≥１时,可得２x－１ ＞２,则x－１＞１,解得x＞２; 综上所述:不等式f(x)＞２的解集为 (０,１４ ) ∪ (２,＋∞)． １０．１,７４[ ] 　 解析:根据定义作出函数y＝f(x)的图象如图: (实线部分的曲线)． 其中A(１,１)、B(３,３), 即f(x)＝ ３－|x－３|,x≤１或x≥３, x２－３x＋３,１＜x＜３,{ 当f(x)＝ ３ ４ 时, 当x≤１或x≥３时,由３－|x－３|＝ ３４ ,解得:xC ＝ ３ ４ 或 xG ＝ ２１ ４ ;当f(x)＝ ７４ 时,当１＜x＜３时,由x２－３x＋３＝ ７ ４ 解得:xE ＝ ５ ２ ． 当x≤１时,f(x)＝ ７４ ,得x＝ ７４ (舍去); 当x≥３时,f(x)＝ ７４ ,得xF ＝ １７ ４ ． 由图象知,若函数f(x) 在区间[m,n]上的值域为 ３４ ,７ ４[ ] ．所以区间[m,n]长度的 最大值为xE －xC ＝ ５ ２ － ３ ４ ＝ ７ ４ ,最小值为xG －xF ＝ ２１ ４ －１７４ ＝１． 故n－m 的取值范围为 １,７４[ ] ． 专题５　 函数的单调性与最值 狂练考点１　 函数的单调性 １．C　 解析:对于 A,因为y＝lnx在(０,＋∞)上单调递增,所以 f(x)＝－lnx在(０,＋∞)上单调递减,故 A错误;对于B,因为 y＝２x 在(０,＋∞)上单调递增,所以f(x)＝ １２x 在(０,＋∞)上 单调递减,故B错误;对于C,因为y＝ １x 在(０,＋∞)上单调递 减,所以f(x)＝－ １x 在(０,＋∞)上单调递增,故C正确;对于 D,因为f( １２ ) ＝３| １ ２－１|＝３ １ ２ ＝ ３,f(１)＝３|１－１|＝３０ ＝１, f(２)＝３|２－１| ＝３,显然f(x)＝３|x－１| 在(０,＋∞)上不单调, D错误．故选 C． ２．A　 解析:(１)充分性:不妨设x１ ＜x２,则Δx＝x１－x２ ＜０,因 为Δy Δx＞０ ,所以 Δy＝f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＞f(x２), 所以f(x)在D上单调递增．必要性:若y＝f(x)在D上单调递 增．则 ∀x１,x２ ∈D,不妨设x１ ＜x２,Δx＝x１－x２ ＜０,则y１ ＜y２,Δy＝y１－y２＜０,所以 Δy Δx＞０ ,即 ∀x１,x２∈D,x１≠x２, 都有Δy Δx＞０． 故选 A． ３．D　 解析:不 妨 设 f(x)＝x２,g(x)＝－x,满 足 题 意,此 时 f(f(x))＝ (x２)２ ＝x４ 在[０,＋ ∞)上单调递增,故 A 错误; f(g(x))＝ (－x)２ ＝x２ 在[０,＋∞)上单调递增,故 B错误; g(g(x))＝－(－x)＝x在[０,＋∞)上单调递增,故C错误;对 于 D选项,因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R 上的奇 函 数,所 以 有 f(x)＝f(－x),g(x)＝－g(－x),又 f(x),g(x)在(－∞,０]上单调递减,且当－x≤０时,有x≥０, 所以由复合函数单调性可知,f(x)＝f(－x),g(x)＝－g(－x) 在[０,＋∞)上分别单调递增、单调递减,不妨设０≤x１＜x２,则 f(x１)＜f(x２),g(f(x１))＞g(f(x２)),所以g(f(x))在[０, ＋∞)上单调递减,故 D正确．故选 D． ４．B　 解析:函数f(x)＝ex＋e２－x＋x２－２x的定义域为R,显然 f(２－x)＝e２－x＋ex＋(２－x)２－２(２－x)＝ex＋e２－x＋x２－ ２x＝f(x),则函数f(x)的图象关于直线x＝１对称,当x＞１ 时,f′(x)＝ex－e２－x＋２x－２,显然x＞２－x,ex ＞e２－x,于是 f′(x)＞０,即函数f(x)在(１,＋∞)上递增,则不等式f(２x＋ １)＜f(x)等价于|２x＋１－１|＜|x－１|,即|２x|＜|x－１|, 整理得３x２＋２x－１＜０,解得－１＜x＜ １３ ,所以不等式f(２x ＋１)＜f(x)的解集为 (－１,１３ ) ．故选B ５．a＜b＜c　 解析:f(n)＝ (n－１)(n＋１) n２ ＝１－ １ n２ ．由幂函数 g(x)＝ １x２ 在(０,＋∞)上为减函数知f(n)在N∗ 上单调递增, 故f(２０２１)＜f(２０２２)＜f(２０２３),即a＜b＜c． 狂练考点２　 函数的最值 １．１　 解析:由 题 设 知:f(x)＝|２x－１|－２lnx 定 义 域 为(０, ＋∞),所以当０＜x≤ １２ 时,f(x)＝１－２x－２lnx,此时f(x) 单调递减;当 １ ２ ＜x≤１ 时,f(x)＝２x－１－２lnx,有f′(x)＝ ２－ ２x ≤０ ,此时f(x)单调递减;当x＞１时,f(x)＝２x－１－ ２lnx,有f′(x)＝２－ ２x ＞０ ,此时f(x)单调递增;又f(x)在各 分段的界点处连续,所以综上有:０＜x≤１时,f(x)单调递减, x＞１时,f(x)单调递增．所以f(x)≥f(１)＝１． ２．C　 解析:由|x＋１|≥|x－２|,可 得(x＋１)２ ≥ (x－２)２,即x≥ １２ ． 所 以 f(x) ＝ |x＋１|,x≥ １２ , |x－２|,x＜ １２ ． { 作 出 函 数 f(x)的图象如图所示． 所以f(x)min ＝f １ ２( ) ＝ １ ２ ＋１ ＝ ３ ２ ,故选 C． ３．(－∞,－５]∪ [５,＋∞)　 解析:令g(a)＝－２am＋m２－１４３ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋