专题3 不等式与基本不等式-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

数学答案 —３　 ４ ３ ,故 D正确．故选 ACD． ９．{a|０＜a ＜１或a ≥３}　 解析:因 为f(x)＝ ３a x－１ ax＋１ ＝ ３(ax＋１)－４ ax＋１ ＝３－ ４ ax＋１ ,若a＞１,由于y＝ ４ax＋１ 单调递 减,则f(x)在 R上单调递增;若０＜a＜１,由于y＝ ４ax＋１ 单 调递增,则f(x)在 R 上单调递减,又f(x)＋f(－x)＝６－ ４ ax＋１ － ４ a－x＋１ ＝２,故２－f(－x)＝f(x),因为 ∃x∈(０,３), f(x２＋３)＋f(－ax－a)－２≥０是假命题,故 ∀x∈ (０,３), f(x２＋３)＋f(－ax－a)－２＜０恒成立为真命题,即不等式 f(x２＋３)＜２－f(－ax－a)＝f(ax＋a)对 ∀x∈ (０,３)恒 成立,当a＞１时,x２＋３＜a(x＋１)⇒x ２＋３ x＋１ ＜a ,即(x＋１)＋ ４ x＋１－２＜a 在 ∀x∈ (０,３)恒成立,设t＝x＋１(１＜t＜４), 即a＞t＋ ４t －２ 在t∈ (１,４)恒成立．由于对勾函数h(t)＝t ＋ ４t －２ 在(１,２)上单调递减,在(２,４)上单调递增,因为h(t) ＜h(１)＝h(４)＝３,因此a≥３;当０＜a＜１时,x２＋３＞a(x ＋１)⇒a＜x ２＋３ x＋１ ,即a＜ (x＋１)＋ ４x＋１－２ 在 ∀x∈ (０,３) 恒成立,当t＝２时,函数h(t)＝t＋ ４t －２ 有最小值f(２)＝２, 即a＜２,又因为０＜a＜１,故０＜a＜１．综上可知:{a|０＜a ＜１或a≥３}． １０．０　 ( － ∞,５６ ] 　 解析:当a ＝２ 时,不 等 式 x－ １ ２ ＋ x－ ２３ ≥２ 对x＝１不成立,所以p 为假命题,故m ＝０; 因为m ＝１,所以命题p为真命题, 令f(x)＝ x－ １２ ＋ x－ ２ ３ , 则f(x)＝ ７ ６ －２x ,x≤ １２( ) , １ ６ , １ ２ ＜x＜ ２ ３( ) , ２x－ ７６ ,x≥ ２３( ) , ì î í ï ï ï ï 所以当x≤ １２ 时,f(x)为减函数,当x≥ ２３ 时,f(x)为增函 数,要使 ∀x∈Z,x－ １２ ＋ x－ ２ ３ ≥a 成立,只需x＝ ０和 x ＝ １ 时, x－ １２ ＋ x－ ２ ３ ≥a 都 成 立,所 以 a≤ ７６ , a≤ ５６ ,{ 得a≤ ５６ ． 专题３　 不等式与基本不等式 狂练考点１　 等式性质与不等式性质 １．B　 解析:设f(x)＝２x＋log２x,则f(x)为增函数,因为２a ＋ log２a＝４b＋２log４b＝２２b＋log２b,所以f(a)－f(２b)＝２a ＋ log２a－(２２b＋log２２b)＝２２b＋log２b－(２２b＋log２２b)＝log２ １ ２ ＝－１＜０．所以f(a)＜f(２b),所以a＜２b．f(a)－f(b２)＝２a ＋log２a－(２b ２ ＋log２b２)＝２２b＋log２b－(２b ２ ＋log２b２)＝２２b－ ２b ２ －log２b,当b＝１时,f(a)－f(b２)＝２＞０,此时f(a)＞ f(b２),有a＞b２．当b＝２时,f(a)－f(b２)＝－１＜０,此时f(a) ＜f(b２),有a＜b２,所以 C、D错误．故选B． ２．ab ＜ a＋m b＋m　 解析:b＞a＞０,m ＞０时,ab ＜ a＋m b＋m． 证 明 如 下: a b － a＋m b＋m ＝ a(b＋m)－b(a＋m) b(b＋m) ＝ ab＋am－ba－bm b(b＋m) ＝ m(a－b) b(b＋m) ,∵b＞a＞０,∴a－b＜０,b＞ ０,∵m ＞０,∴b＋m ＞０,∴m (a－b) b(b＋m)＜０ ,∴ ab ＜ a＋m b＋m． ３．D　 解析:由c＜d＜０⇒－ １d ＞－ １ c ＞０ ,又a＞b＞０,由不 等式性质知:－ ad ＞－ b c ＞０ ,所以a d ＜ b c ,故选 D． ４．CD　 解析:实数a,b,c满足２＜a＜b＜c,函数y＝x－ １x 在 (２,＋∞)上单调递增,则a－ １a ＜b－ １ b ,即a＋ １b ＜b＋ １ a , A选 项 错 误;由 a＋b ＜ a＋２ ab ＋b,得 ( a＋b) ２ ＜ (a＋ b) ２,即 a＋b＜ a＋ b,B选项错误;由 ba － b＋c a＋c＝ b(a＋c)－a(b＋c) a(a＋c) ＝ c(b－a) a(a＋c)＞０ ,得 b a ＞ b＋c a＋c ,C选项正 确;由a＞２,有lg(a＋１)＞lga＞lg(a－１)＞０,log(a－１)a－ loga(a＋１)＝ lga lg(a－１)－ lg(a＋１) lga ＝ lg２a－lg(a－１)lg(a＋１) lgalg(a－１) ,而 lg(a － １)lg(a ＋ １) ＜ lg (a－１)＋lg(a＋１) ２[ ] ２ ＝ lg(a２－１) ２[ ] ２ ＜ (lga ２ ２ ) ２ ＝lg２a,即lg２a－lg(a－１)lg(a＋１) ＞０,又lg(a－１)lga＞０,则lg ２a－lg(a－１)lg(a＋１) lgalg(a－１) ＞０ ,所以 log(a－１)a－loga(a＋１)＞０,即log(a－１)a＞loga(a＋１),D选项正 确．故选 CD． ５．CD　 解析:对于 A,a２－２a－(b２－２b)＝ (a－b)(a＋b)－２(a －b)＝ (a－b)(a＋b－２),由于a＋b,２的大小不确定,无法比 较大小,错误;对于B,当a＝ １ ５ ,b＝ １３ 时,２log５a＝－１,log３b ＝－１,此时２log５a＝log３b,错误;对于C,由已知有 ２a＋５＞ ２b＋５＞０,所以 １ ２a＋５ ＜ １ ２b＋５ ,正确;对于 D,由已知 有 １ a２ ＜ １ b２ ,且０＜ ６－２＜１,所以(６－２) １ a２ ＞ (６－２) １ b２, 正确．故选 CD． 狂练考点２　 基本不等式 １．BC　 解析:因为ab≤ (a＋b２ ) ２ ≤a ２＋b２ ２ (a,b∈R),由x２＋y２ －xy＝１可变形为(x＋y)２－１＝３xy≤３(x＋y２ ) ２ ,解得－２ ≤x＋y≤２,当且仅当x＝y＝－１时,x＋y＝－２,当且仅当x ＝y＝１时,x＋y＝２,所以 A错误,B正确;由x２＋y２－xy＝ １可变形为(x２＋y２)－１＝xy≤x ２＋y２ ２ ,解得x２＋y２ ≤２,当 且仅当x＝y＝±１时取等号,所以C正确;因为x２＋y２－xy＝ １变形可得 (x－ y２ ) ２ ＋ ３４y ２ ＝１,设x－ y２ ＝cosθ ,３ ２y＝ sinθ,所以x＝cosθ＋ １ ３ sinθ,y＝ ２ ３ sinθ,因此x２＋y２ ＝cos２θ ＋ ５３ sin ２θ＋ ２ ３ sinθcosθ＝１＋ １ ３ sin２θ－ １３cos２θ＋ １ ３ ＝ ４ ３ ＋ ２３sin(２θ－ π ６ ) ∈ [ ２ ３ ,２] ,所以当x＝ ３３ ,y＝－ ３ ３ 时满 足等式,但是x２＋y２ ≥１不成立,所以 D错误．故选BC． ２．６ ２　１０８－７２ ２　 解析:如 图,设 AB ＝ xcm,由 矩 形 ABCD(AB ＞AD)的周长为２４cm,可知AD ＝ (１２－x)cm,设 PC ＝acm,则DP ＝ (x－a)cm,∵∠APD ＝ ∠CPB′,∠ADP ＝ ∠CB′P ＝９０°,AD ＝CB′,∴Rt△ADP ≌Rt△CB′P．∴AP ＝PC ＝acm．在 Rt△ADP 中,由勾股定理得AD２ ＋DP２ ＝ AP２,即(１２－x)２＋(x－a)２ ＝a２,解得a＝x ２－１２x＋７２ x ,所 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —４　 以DP ＝x－a＝１２x－７２x ． 所以 △ADP 的面积为S ＝ １２AD 􀅰DP ＝ １２ (１２ － x)􀅰１２x－７２x ＝ ６ 􀅰 －x ２＋１８x－７２ x ＝６ － x＋７２x( )＋１８[ ] ． 由 基 本 不 等 式 与 不 等 式 的 性 质, 得 S ≤ ６ × －２ x􀅰７２x ＋１８( ) ＝１０８－７２ ２,当且仅当x＝ ７２ x 时,即当 x＝６ ２时,△ADP 的面积最大,面积的最大值为(１０８－７２ ２) cm２． ３．C　解析:易知圆O:x２＋y２＝８在点P(２,２)处的切线的方程为 x＋y＝４,所以a＋b＝４,a＞０,b＞０,所以 １a ＋ ４ b ＝ １ ４ (a ＋b)( １a ＋ ４ b ) ＝ １ ４ (５＋ b a ＋ ４a b ) ≥ ５ ４ ＋ １ ２ b a 􀅰４a b ＝ ９４ ,当且仅当a＝ ４３ ,b＝ ８３ 时,等号成立．所以 １a ＋ ４ b 的 最小值为 ９ ４ ． 故选 C． ４．C　 解析:一方面由题意有f(x)＋f(－x)＝x３ ＋ ２ x＋１ ２x＋１ ＋ (－x３＋ ２ －x＋１ ２－x＋１) ＝ ２x＋１ ２x＋１ ＋ ２ ２x＋１ ＝２ (２x＋１) ２x＋１ ＝２,另一方 面若有f(x)＋f(y)＝２成立,结合以上两方面有f(－x)＝ f(y),且注意到f(x)＝x３＋ ２ x＋１ ２x＋１ ＝x３＋２× (２x＋１－１) ２x＋１ ＝ x３－ ２ ２x＋１ ＋２,所以由复合函数单调性可得f(x)在R上严格 单调递增,若f(－x)＝f(y),则只能－x＝y,因此f(x)＋f(y) ＝２当且仅当－x＝y时成立;又已知f(a２)＋f(２b２－３)＝２, 所以a２＋２b２ －３＝０,即a２ ＋２b２ ＝３,由 基 本 不 等 式 得a １＋b２ ≤２ a ２􀅰 ２＋２b２ ２ ２ ≤a ２＋２＋２b２ ２ ２ ＝ ５ ２ ２ ＝５ ２４ , 当且仅当 a＞０, a２ ＝２＋２b２, a２＋２b２ ＝３,{ 即 a＝ １０２ , b＝± １２ { 时,等号成立,所 以a １＋b２ 的最大值为５ ２４ ． 故选 C． ５．B　 解析:由随机变量ξ~ N(１,σ２),则正态分布的曲线的对称 轴为ξ＝１, 又因为P(ξ≤０)＝P(ξ≥a),所以０＋a＝２,所以a＝２．当０ ＜x＜２时,１x ＋ ９ ２－x＝ １ x ＋ ９ ２－x( )􀅰 x＋(２－x) ２ ＝ １ ２ ＋２－x２x ＋ ９x ２(２－x)＋ ９ ２ ≥５＋２ ２－x ２x 􀅰 ９x ２(２－x)＝８． 当且 仅当２－x ２x ＝ ９x ２(２－x) ,即x＝ １２ 时等号成立,故最小值为８． 故选B． 狂练综合 　 不等式与基本不等式 １．C　 解析:对于 A,由a＞b＞ １a ＞０ ,得a＋b＞a＋ １a ＞ ２ a􀅰 １a ＝２ ,A正确;对于B,由a＞b＞ １a ＞０ ,得a＞ １a ＞０,即a２ ＞１,解得a＞１,B正确;对于C,取a＝３,b＝ １２ 显 然满足条件,C错误;对于 D,(a－ １b ) － (b－ １ a ) ＝ (a－b) ＋b－aab ＝ (a－b)(１－ １ab ) ,由a＞b,得a－b＞０,由b＞ １ a ＞０,得 １ab ＜１ ,即１－ １ab ＞０ ,因此a－ １b ＞b－ １ a ,D正确． 故选 C． ２．D　 解析:对于 A:c＝０时,不成立,A错误;对于B:若a＞b＞ ０,则 １a ＜ １ b ,B错误;对于C:令a＝－２,b＝－１,代入不成立, C错误;对于 D:若a＞b,１a ＞ １ b ,则a＞０,b＜０,则ab＜０, D正确．故选 D． ３．D　 解析:设７a－５b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝ (m＋n)a－(m －n)b,所以 m＋n＝７ , m－n＝５,{ 解得 m ＝６, n＝１,{ 所以７a－５b＝６(a－b) ＋(a＋b);又a－b∈ [５,２７],a＋b∈ [６,３０],所以７a－５b＝６(a －b)＋(a＋b)∈ [３６,１９２],故选 D． ４．A　 解析:由ab＝３－a－b得:(a＋１)(b＋１)＝ab＋a＋b＋１ ＝４,又a＞０,b＞０,∴a＋１＞１,b＋１＞１,∴３a＋２b＝３(a＋ １)＋２(b＋１)－５≥２ ６(a＋１)(b＋１)－５＝４ ６－５(当且仅 当３(a＋１)＝２(b＋１),即a＝２ ６３ －１ ,b＝ ６－１时取等号), ∴m ≤４ ６－５,则m 的最大值为４ ６－５．故选 A． ５．A　 解析:由题意,有AM ＝２００－x ２ ４x ,又AM ＞０,有０＜x＜ １０ ２．S＝４２００x２＋２１０×(２００－x２)＋８０×２× ２００－x ２ ４x( ) ２ ＝４２００x２ ＋４２０００－２１０x２ ＋４０００００＋１０x ４－４０００x２ x２ ＝ ４０００x２＋４０００００ x２ ＋３８０００≥２ ４０００x２×４０００００ x２ ＋３８０００ ＝８００００＋３８０００＝１１８０００,当且仅当４０００x２ ＝４０００００ x２ ,即 x＝ １０ 时取“＝”．∴ 当x ＝ １０ m 时,S 最小且S最小 ＝ １１８０００元．故选 A． ６．A　 解析:由c－a＝２lnca ＞０ 得c－２lnc＝a－２lna且c＞ a,构造函数f(x)＝x－２lnx,所以f′(x)＝１－ ２x ,易得f(x) 在(０,２)上单调递减,在(２,＋∞)上单调递增,其函数图象如下 图所示: 由图可得０＜a＜２＜c,易知函数 y＝ ( １０)x 及y＝３x＋１交于点 (２,１０),作出函数y＝ ( １０)x 及 y＝３x＋１的图象如下图所示: 由图知０＜a＜b＜２所以０＜a ＜b＜２＜c,即a＜b,２＜c,由此 可得a＋２＜b＋c,即c－a＞２－ b．故选 A． ７．AC　 解析:关于x的不等式ax２＋bx＋c≥０的解集为(－∞, －３]∪ [４,＋∞),所以二次函数y＝ax２＋bx＋c的开口方向 向 上,即a＞０,故A正确;且方程ax２＋bx＋c＝０的两根为－３、 ４,由韦达定理得 － ba ＝－３＋４ , c a ＝－３×４ ,{ 解得 b＝－a,c＝－１２a,{ 对于B,bx＋c＞０⇔－ax－１２a＞０,由于a＞０,所以x＜－１２, 所以不等式bx＋c＞０的解集为{x|x＜－１２},故B不正确;对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —５　 于 C,因为 b＝－a , c＝－１２a,{ 所以cx ２－bx＋a＜０,即－１２ax２＋ax＋ a＜０,所以１２x２－x－１＞０,解得x＜－ １４ 或x＞ １３ ,所以不 等式cx２－bx＋a＜０的解集为{x|x＜－ １４ 或x＞ １ ３ } ,故 C正确;对于 D,a＋b＋c＝a－a－１２a＝－１２a＜０,故D不正 确．故选 AC． ８．ABD　 解析:对于 A,因为ab＝a＋４b≥４ ab,所以 ab ≥ ４( ab≤０舍去),所以ab≥１６,当且仅当 a＝４b , a＋４b＝ab,{ 即a＝ ４b＝８时取等号,所以ab的最小值为１６,故A正确;对于B,因为 a＋４b＝ab(a＞０,b＞０),所以 ４a ＋ １ b ＝１ ,则a＋b＝ (a＋ b)( ４a ＋ １ b ) ＝５＋ ４b a ＋ a b ≥５＋２ ４b a 􀅰a b ＝９ ,当且仅 当４b a ＝ a b ,即a＝２b＝６时取等号,所以a＋b的最小值为９, 故B正确;对于C,由B得 ４a ＋ １ b ＝１ ,则 １ b ＝１－ ４ a ,则 １ a ＋ １ b ＝１－ ３ a ＜１ ,故 C错误;对于 D,４ a２ ＋ １ b２ ＝ ４ a２ ＋ (１－ ４ a ) ２ ＝ ２０ a２ － ８a ＋１ ,当 １ a ＝ １ ５ ,即a＝５时,２０ a２ － ８a ＋１ 取 得最小值 １ ５ ,所以当a＝b＝５时,４ a２ ＋ １ b２ 的最小值为 １ ５ ,故 D正确．故选 ABD． ９．４(答案不唯一,只要a＞３即可)　 解析:因为x＞a,所以x－a ＞０,所以x＋ ４x－a＝x－a＋ ４ x－a＋a≥２ ４＋a＝a＋４ , 当且仅当x－a＝ ４x－a ,即x＝a＋２时,等号成立,所以x＋ ４ x－a 的最小值为a＋４,由a＋４＞７,得a＞３．故答案为:４(答 案不唯一,只要a＞３即可)． １０．９　 解析:设切点为(x０,y０),由y＝ex－１－b＋１得y′＝ex－１, 由题意 ex０－１ ＝１, y０ ＝x０＋２a, y０ ＝ex０－１－b＋１, { 解得x０ ＝１,所以１＋２a＝２－b, 即２a＋b＝１,故 ２a ＋ １ b ＝ ( ２ a ＋ １ b ) (２a＋b)＝５＋ ２b a ＋ ２a b ≥５＋２ ４＝９ ,当且仅当a＝b＝ １３ 时,等号成立． 痛点１　“神通广大”的基本不等式 狂练痛点１　 解决代数式的最值问题 １．ACD　 解析:由３x２ ＋３y２ －２xy ＝５,整理得４(x２ ＋y２)＝ (x＋y)２＋５,因为x２＋y２ ≥ (x＋y)２ ２ ,当且仅当x＝y＝± ５２ 时,等号成立,即４(x２＋y２)＝ (x＋y)２＋５≥２(x＋y)２,解得 － ５≤x＋y≤ ５,故 A正确,B错误;因为３x２＋３y２－２xy＝ ５,整理得２xy ＝３(x２＋y２)－５;因为x２＋y２ ≥－２xy,当且仅 当x＝－y＝± １０４ 时,等号成立,即x２＋y２ ≥－[３(x２＋y２) －５],解得 ５４ ≤x ２＋y２,故C正确;因为x２＋y２ ≥２xy,当且仅 当x＝y＝± ５２ 时,等号成立,即x２＋y２ ≥３(x２＋y２)－５,解 得x２＋y２ ≤ ５２ ,故 D正确．故选 ACD． ２．D　 解析:因 为 x,y 为 正 数,所 以 x ＋ y ＞ ０,所 以t≤ ２􀅰 x＋y x＋ y ,则有t≤ ( ２􀅰 x＋yx＋ y ) min,令m＝ ２􀅰 x＋y x＋ y ＞０,则 １m ＝ x＋ y ２􀅰 x＋y ,所以 １ m２ ＝x＋y＋２ xy２(x＋y) ＝ １ ２ ＋ xy x＋y≤ １ ２ ＋ xy ２ xy ＝１,当且仅当x＝y时,等号成立,所以 １m２ ≤１,m２ ≥１,又m ＞０,所以m ≥１,即 ２ 􀅰 x＋y x＋ y ≥１,所以 ２􀅰 x＋y x＋ y 的最小值为１,所以t≤１,即t的最大值为１．故选D． ３． B　 解 析: xyz ＝ xy x２－３xy＋４y２ ＝ １x y ＋ ４y x －３ ≤ １ ２ xy 􀅰４y x －３ ＝１,当且仅当x＝２y时成立,因此z＝４y２ －６y２＋４y２ ＝２y２,所以 ２x ＋ １ y － ２ z ＝ ２ y － １ y２ ＝－ ( １y －１) ２ ＋１≤１．故选B． ４． －∞,１２( ] 　解析:由F(x,y)≥０,得x＋y≥a(x＋２ ２xy)． ∵x,y∈ R＋,∴a ≤ x＋y x＋２ ２xy 恒 成 立,∴a 的 最 大 值 为 x＋y x＋２ ２xy 的最小值．∵２ ２xy ≤x＋２y,∴ x＋y x＋２ ２xy ≥ x＋y x＋(x＋２y)＝ １ ２ ,当且仅当x＝２y＞０时,等号成立,即a的 最大值为 １ ２ ．∴a∈ －∞ ,１ ２( ] ． ５．６４ 　 解析:∵ ab＋bc ２a２＋b２＋c２ ＝ ab＋bc ２a２＋ １３b ２( )＋ ２３b ２＋c２( ) ≤ ab＋bc ２ ２３ab＋２ ２ ３bc ＝ １ ２ ２３ ＝ ６４ (当且仅当 ２a＝ ３３b , ６ ３b＝c 时取等号),∴ ab＋bc ２a２＋b２＋c２ 的最大值为 ６ ４ ,故答案 为 ６ ４ ． 狂练痛点２　 基本不等式与其他知识点的交汇 １．(２ ３３ , ４ ３ ) 　 解析:在 △ABC 中,sin(A ＋C)＝sinB,S ＝ １ ２acsinB ,由sin(A＋C)＝ ２S b２－a２ 得sinB＝acsinB b２－a２ ,因为sinB ≠０,所以b２－a２ ＝ac,由余弦定理得b２ ＝a２＋c２－２accosB, 则ac＝c２－２accosB,故c＝２acosB＋a,又由正弦定理得sinC ＝２sinAcosB＋sinA＝sinAcosB＋cosAsinB,整理得sin(B－A) ＝sinA,因为A,B∈ (０,π),故B－A＝A或B－A＝π－A(舍 去 ), 得 B ＝ ２A,△ABC 为 锐 角 三 角 形, 故 ０＜A ＜ π２ , ０＜２A ＜ π２ , ０＜π－３A ＜ π２ , ì î í ï ï ï ï 解得 π ６ ＜A＜ π ４ ,故 ３ ３ ＜tanA＜１ ,而 tanA＋ １３tan(B－A)＝tanA＋ １ ３tanA ,∴ 根据对勾函数的性质 可知,tanA＋ １３tanA 在tanA ＝ ３３ 时取最小值２ ３ ３ ,且tanA＋ １ ３tanA ＜ １＋ １ ３×１ ＝ ４ ３ ,∴tanA ＋ １３tanA ∈ ( ２ ３ ３ ,４ ３ ) , ∴tanA＋ １３tan(B－A) 的取值范围是 (２ ３３ , ４ ３ ) ． ２．D　 解析:由题设,{an}是首项、公比都为２的等比数列,故an ＝ ２n,Sn ＝ ２×(１－２n) １－２ ＝２ (２n－１),所以Sn－４７＜a２n－tan,即 ２􀅰２n－４９＜２２n－t􀅰２n,１≤n≤３１,n∈N∗ ,所以t＜２n＋４９ ２n 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ### 专题3 不等式与基本不等式 狂练考点1 狂练考点2 等式性质与不等式性质 基本不等式 1.【高考典例】(2020·新课标I)若2+log 1.【高考典例】(2022·全国II卷)(多选)若文,) ( ) -4十2logb,则 满足x2+y2-xy-1,则 ( ~ B.a<26 A.a>2b A.x+y<1 B.x十y-2 C.a>62 D.a<62 C.2+2<2 D.^{2+2>1 2.【课本典例】(人教A版必修第一册)已知5克 2.【课本典例】(人教A必修第一册)设矩形 糖水中含有a克糖(>a0),再添加n克糖 ABCD(AB AD)的周长为24cm,把△ABC (n0)(假设全部溶解),糖水变甜了,请将 沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点 这一事实表示为一个不等式为 P,设AB=xcm,当x= 时,SADP 3.【经典好题】若a>b>0,c<d<0,则一定 最大值二 cm2. 有 ( 3.【经典好题】(2024·完豫名校联盟10月大联 .# 考)已知圆O:x^2}+{}=8在点P(2,2)处的$ ) b 的最小值为 ( 4.【好题精选】(2024·广东深圳福田红岭中学统 ) C 考)(多选)已知实数a,b.c满足2<a<b B.5 D.9 ) ( c,则下列说法正确的是 ) 4.【好题精选】(2024·四川宜宾四中月考)已知 a ,若实数a,b满足 B.a+6+ 005 f(a^②})+f(2b-3)-2,则a1+b}的最大$ a十 值为 ( ) D. log-pa>log(a+1) #.#2## B.2 5.【新题展望】(2024·海南琼中黎族苗族自治县 C.5 琼中中学模拟)(多选)已知a,bER,且ab D.72 0,则 C A.a-2a>62-26 5.【新题展望】已知随机变量:~N(1.o2),且 P(<)-P(>a),则+9(0<< B. 2 log:a>log6 _a-x <1 a)的最小值为 2a+526+5 ( ## B.8 A.9 D.6 D.(6-2)(6-2) 快乐考生 让学习快乐起来! 狂练综合 不等式与基本不等式 为x(单位:m)则S 一、单选题 A.存在最小值为118000 1.(2024·陕西善师联盟质量监测)已知a/ B.存在最小值为108000 10,则以下不正确的是 C.存在最大值为118000 ( _) d D.存在最大值为108000 B.a1 A.a+b>2 6.(2024·福建厦门外国语学校期中)a,b,c为三 C.b>1 个互异的正数,满足c-a=2lnf>0. 2.(2024·山东坊国开中学、日照莒县高中校 (/10)*=3“十1,则下列说法正确的是 级联考阶段性检测)对于实数a,b,c.下列结 ( ~ 论中正确的是 ) A.c-a>2-6 B.c-2<b-a A.若a>b,则ac?>bc②} C.c+2<a+b D.c+2<a+b 二、多选题 ā ) 7.(2024·河北衡水武强中学期中)已知关于x C.若a<b<0,则 的不等式ax②+b十c>0的解集为{x |x< 一3或x二4,则下列说法正确的是( ) A.a>0 3.(2024·重庆巴蜀中学月考)已知《一[5 B.不等式bx+c0的解集为x x<-4 27 .a+[6,30],则7a-5b的取值范围是 C.不等式cx2-bx十a<0的解集为x|x ) ###或#}# A.[-24,192] B.[-24,252] C. [36,252] D.[36,192] .. D.a+b十c>0 4.(2024·河北邢台信都邢台一中月考)已知正 8.(2024·广西八市联考月考)已知a十4 实数a,b满足ab=3-a-b,若3a+2b m a(a>0,b>0),则下列结论正确的是 ) 恒成立,则的最大值为 _ ) A.46-5 B.5 006 A.ab的最小值为16 C.95-5 D.3/7 B.a十6的最小值为 游 5.(人教A版必修第一册试题 的最大值为1 改编)如图,居民小区要建 一座八边形的休闲场所,它 ) 的主体造型平面图是由两 三、填空题 个相同的矩形ABCD和 9.已知x>a,若x+4 r-a 的最小值大于7,写 EFGH构成的面积为200m{}的十字形地域, 计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为 出满足条件的一个a的值: _. 4200元/m};在四个相同的矩形(图中阴影部 10.(2024·河北石家庄十五中月考)已知a0. $0,直线y=x+2a与曲线y=e-1-b 分)上铺花岗岩地坪,造价为210元/m^{};再在 四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价 为80元/m{.设总造价为S(单位;元),AD长