痛点15 曲线的切线问题“探源”-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

### 痛点15 曲线的切线问题“探源” 狂练痛点1 求切线方程 直线/为函数y=f(x)和y=g(x)的公切 线,若函数f(x)-alnx(a>0)和g(x)=x2 1.(角度1:与曲线性质有关的切线方程)函数 有且仅有一条公切线,则实数a的值为 f(x)的定义域为R,f(3x一1)为奇函数,且 f(x-1)的图象关于x三1对称,若曲线f(x) 狂练痛点2 在x=1处的切线斜率为2,则曲线/(x)在 切线的应用 ( 一2023处的切线方程为 ) 1.(角度1:求解析式)已知直线/是曲线y=e A.y--2x+4046 B.y-2x+4046 与曲线y2=e2-2的一条公切线,/与曲线 C.y-2x-4046 D.v--2x-4046 y2=e2r-2切于点(a,b),且a是函数/(x) 2.(角度2:曲线的切线方程)(多选)关于切线, 的零点,则f(x)的解析式可能为 ( 下列结论正确的是 C ) A.f(x)=e2(2x+2ln2-1)-1 A.与曲线y=和圆x②+y2-1 都相切的 B. f(x)=2x(2x+2ln2-1)-2 5 C./(x)=e2(2x-2ln2-1)-1 直线/的方程为y= D.f(x)=e2(2x-2ln2-1)-2 2.(角度2:求点的坐标)瑞士著名数学家欧拉在 B.已知直线x-y-1-0与抛物线y=ax2 1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂 相切,则。等于 心位于同一条直线上,这条直线被后人称为 三角形的“欧拉线”,已知平面直角坐标系中 C.过点(0.-1)且与曲线f(x)=xlnx相切 的直线/的方程为x-y-1-0 △ABC为直角三角形,其直角顶点C在x轴 上,点D(,1)是斜边AB上一点,其“欧拉 x十2 方程为y-5x+2 线”是正切曲线y=tanx以点D(,1)为切 3.(角度3:与圆有关的切线问题)已知曲线C上 点的切线,则点C的坐标为 的动点Q满足Q一/②,0为坐标原点,直 3.(角度3:求数列的最小项)已知曲线y 线/过(0,4)和(4,0)两点,P为直线/上一动 3(^②}十x)e在点(0,0)处的切线为/,数列 小 点,过点P作曲线C的两条切线PA,PB,A. a)的首项为1,点(a.,a)(nEN')为切 B为切点,则 ( ~ 线/上一点,则数列{6一”中的最小项为 A.曲线C的方程为x2+?=4 a B.点P与曲线C上点的最小距离为2/② ( 091 C.线段PA长度的最小值为2/② # D.PA·PB的最小值为3 游 4.(角度4:双曲线的切线问题)(多选)已知双曲 线C:r{②-y{=4,曲线E:y=ar^②}+x+b,记$ 4.(角度4:求参数的范围)若曲线y=xlnx有 两条曲线过点(1,0)的切线分别为,,且 斜率均为正数,则 两条过(1.a)的切线,则a的取值范围 A.若a=0,6=1,则C与E有一个交点 是 B.若a=1,b-0,则C与E有一个交点 5.(角度5:求横坐标之差)已知1 n<4,F C.若a三b=0,则/与E夹角的正切值为 一一1的左、右焦点,点 -4③ D.若a=b=1,则/;与l。夹角的余弦值 P为曲线C与曲线E:2 1=1在第一 #为3#7# 象限的交点,直线/为曲线C在点P处的切 线,若三角形F.PF。的内心为点M,直线 # 5.(角度5:两曲线的公切线)定义:若直线/与 F.M与直线/交于N点,则点M.N横坐标之 函数y=f(x),y=g(x)的图象都相切,则称 差为 快乐考生 让学习快乐起来! 狂练综合 曲线的切线问题“探源” 二、多选题 一、单选题 6.(2023·江苏省宿迁市沐阳县建陵高级中学高 1.(2024·四川省南充高中高三月考)过函数 三期中)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴 双曲线,已知F.,F。为双曲线的焦点,O为双 f(x)一 曲线的对称中心,P是等轴双曲线上异于顶 的切线,则切线的倾斜角的取值范围是 点的一点,下列说法一定正确的有 ) A.等轴双曲线的离心率为/② A.[.)U(,3]B.[,)U[3-,) B.方程为xy三1的曲线是等轴双曲线 C. )U3D.)U3,” C. OP ?IPF PF | D.双曲线在点P处的切线交渐近线于E,F 2.已知函数f(x)三(x一3)e,若经过点(0, 两点,则PE 一 PF 且与曲线y三/(x)相切的直线有三条,则 7.(2024·广东省广州市华南师范大学附中高三 ) A.-3<a<-e B-e 月考)曲线的曲率就是针对曲线上某个点的 C.a<-3 D.a<-3或a-e 切线方向角对孤长的转动率,表明曲线偏离 直线的程度,曲率越大,表示曲线的弯曲程度 越大.曲线y三f(x)在点(x,f(x))处的曲率 1 的切线,下列说法正确的是 1/”())| K(x)一 A.当0 a<2时,可作两条切线,则的值为 [1十(/(c)]1.,其中/(x)是 /(x)的导函数.下面说法正确的是 A.若函数/(x)=x3,则曲线y=/(x)在点 B.当a三2,b0时,可作两条切线 (一a,一a③)与点(a,a③)处的弯曲程度 相同 B.若/(x)是二次函数,则曲线y三/(x)的 . 曲率在顶点处取得最小值 4.(2024·陕西省咸阳市永春县中高三第二次考 C.若函数/(x)三sinx,则函数K(x)的值域 试)已知寡函数f(x)一(2m②-m)x”在区 为[o,1] 间(0,十o)上单调递增,曲线y三f(x)在点 D.若函数/(c)-1(x0),则曲线y= P处的切线与:轴、y轴分别相交于A,B两 092 点,0为坐标原点,若△OAB的面积为2,则 点P的坐标为 ( ) A.(2,2) B.(4.2) 三、填空题 C.(4.) D.(2,8) 8.设抛物线x2-2y(0),M为直线y= 一2上任意一点,过M引抛物线的切线,切 5.已知函数f(x)= sinx ,g(x)-hx(>0) 点分别为A,B,记A,B,M的横坐标分别为 若f(x)与g(x)图象的公共点个数为n,且这 些公共点的横坐标从小到大依次为x1,x。; XA.xB.xM,则下列关系:①xA+xB=2xM; 11-2.其中正确的 ...,.,则下列说法正确的有 C ②xArB-r:③ XA B ①若n=1,则>1 .M 是 (填序号). ②若n=3,则2 sin2x3 ③若n=4,则x1十xu<x+x3 ④若一 B(x2,y2)两点处的切线互相垂直,则 B.2个 1x1-x。|的最小值为 A.1个 C.3个 D.4个数学答案 —９８　 １ ２ ,得－a ２＋４b２ ４b２ ≥ １２ ⇒２b ２≥a２⇒２(a２－c２)≥a２⇒e２≤ １２ , 即０＜e≤ ２２ ,所以离心率的取值范围是 ０,２２( ] ． 痛点１５　 曲线的切线问题“探源” 狂练痛点１　 求切线方程 １．A　 解析:因 为 f(３x－１)为 奇 函 数,即 f(－３x－１)＝ －f(３x－１),所以,函数f(x)的图象关于点(－１,０)对称,即 f(－x－２)＝－f(x),因为f(x－１)的图象关于x＝１对称,所 以f(x)的图象关于x＝０对称,即f(x)＝f(－x),所以,f(－x －２)＝f(x＋２)＝－f(x),所以f(x＋４)＝－f(x＋２)＝f(x), 即函数f(x)是周期为４的周期函数,所以曲线f(x)在x ＝ ２０２３处的切线斜率等于曲线f(x)在x＝－１处的切线斜率,因 为曲线f(x)在x＝１处的切线斜率为２,图象关于x＝０对称, 所以,曲线f(x)在x＝－１处的切线斜率为 －２,因为f(１)＝ f(－１),f(－１)＝－f(－１),所以f(１)＝f(－１)＝０,所以 f(２０２３)＝f(－１)＝０,所以曲线f(x)在x＝２０２３处的切线 方程为y－０＝－２(x－２０２３),即y＝－２x＋４０４６．故选 A． ２．ABCD　 解析:对 A,设直线l与曲线y ＝ x 相切于点P(x０, y０),x０ ＞０,则由(x)′＝ １ ２ x 知曲线y＝ x在点P 处的切线 方程为y－ x０ ＝ １ ２ x０ (x－x０),即直线l的方程为 x ２ x０ － y＋ x０ ２ ＝０． 由直线l与圆x２＋y２ ＝ １５ 相切得 x０ ２ １＋ １４x０ ＝ ５ ５ ,解得x０ ＝１．故直线l的方程为y＝ １ ２x＋ １ ２ ．A 正确;对 B,由 x－y－１＝０, y＝ax２{ 消 去 y 得ax ２ －x ＋１ ＝ ０,所 以 a≠０, １－４a＝０,{ 解得a＝ １ ４ ．B 正确;对C,因为点(０,－１)不在曲 线f(x)＝xlnx上,所以设切点坐标为(x０,y０)．又因为f′(x)＝ １＋lnx,所以 y０ ＝ x０lnx０, y０＋１＝ (１＋lnx０)x０,{ 解得 x０ ＝１, y０ ＝０,{ 所以切点 坐标为(１,０),所以f′(１)＝１,所以直线l的方程为y＝x－１, 即x－y－１＝０．C 正确;D 中,y′＝２ (x＋２)－(２x－１) (x＋２)２ ＝ ５ (x＋２)２ ,所以y′ x＝－１ ＝５,所以切线方程为y＋３＝５(x＋１), 即y＝５x＋２．D正确．故选 ABCD． ３．D　 解析:设点 Q(x,y),可得OQ→ ＝ (x, y),因为|QO→|＝ ２,所以x２＋y２ ＝２,故 A错误;由题意,可得直线l:x＋y－４＝０, 则圆心O 到直线l的距离为 |４| １２＋１２ ＝ ２ ２,由圆的性质,可得点P与曲线C 上点 的最小距离为２ ２－ ２＝ ２,故B错误;由 图可 知,| PA |＝ |PB| ＝ |OP|２－|OA|２ ＝ |OP|２－２,要使得线段PA 的长度最小,则OP取最小值,由 选项B可知,PA 长度的最小值为 (２ ２) ２ －２＝ ６,故C错误; 设|OP|＝t,t≥２ ２,则|PA|＝|PB|＝ |OP|２－|OA|２ ＝ t２－２,在 Rt△POA 中,cos∠APO ＝|PA||OP|＝ t２－２ t , 所以cos∠APB ＝２cos２∠APO－１＝２􀅰t ２－２ t２ －１＝t ２－４ t２ , 所以PA→􀅰PB→＝|PA→||PB→|cos∠APB＝|PA→|２cos∠APB＝ (t２－２)􀅰t ２－４ t２ ＝t ４－６t２＋８ t２ ＝t２＋ ８ t２ －６．令g(t)＝t２＋ ８ t２ －６,其中t≥２ ２,可得t２ ≥８,因为函数y＝x＋ ８x 在区间 [８,＋∞)上单调递增,所以g(t)min＝g(２ ２)＝８＋ ８ ８ －６＝ ３,即PA→􀅰PB→ 的最小值为３,故 D正确．故选 D． ４．AC　 解析:对于 A,若a＝０,b＝１,则y＝ax２＋x＋b＝x＋ １,因为双曲线C:x２－y２＝４的渐近线y＝±x,所以曲线E:y＝ x＋１与双曲线C的渐近线为y＝x平行,所以C与E 有一个交 点,故 A正确;对于B,若a＝１,b＝０,则曲线E:y＝x２＋x,与 双曲线C:x２－y２ ＝４联立,则x２－(x２＋x)２－４＝０,即x４＋ ２x３＋４＝０,令h(x)＝x４＋２x３＋４,则h′(x)＝４x３＋６x２ ＝ ２x２(２x＋３),则由h′(x)＞０有x＞－ ３２ ,由h′(x)＜０有x＜ － ３２ ,所以h(x)min ＝h － ３ ２( ) ＞０,所以x ４＋２x３＋４＝０无 解,故B错误;对于 C,若a＝b＝０,曲线E:y＝x,对于双曲线 C:x２－y２ ＝４,易知过点(１,０)的切线的斜率显然存在,设切线 方程为y＝k(x－１),与x２－y２ ＝４联立有:(１－k２)x２＋２k２x －k２－４＝０,由Δ＝４k４＋４(k２＋４)(１－k２)＝１６－１２k２ ＝０, 解得k＝±２ ３３ ,因为斜率均为正数,所以l１ 为:y＝ ２ ３ ３ (x－ １),则l１ 与E 夹角的正切值为 ２ ３ ３ －１ １＋２ ３３ ×１ ＝７－４ ３,故 C正 确;对于 D,若a＝b＝１,曲线E:y＝x２＋x＋１,则y′＝２x＋ １, 设 l２ 与 曲 线 E 的 切 点 为 (x０,y０), 则 y０ ＝x２０＋x０＋１, y０ ＝ (x０－１)(２x０＋１),{ 解得x０ ＝１± ３,因为l２ 的斜率为 正数,所以x０ ＝１＋ ３,此时l２ 的斜率为２x０＋１＝３＋２ ３,则 l２ 的方向向量m＝ (１,３＋２ ３),又l１ 为:y＝ ２ ３ ３ (x－１),其方 向 向 量 n ＝ １,２ ３３( ) , 所 以 cos‹m,n›＝ m􀅰n |m||n| ＝ ５ ３＋６ ７(２２＋１２ ３) ,故 D错误．故选 AC． ５．２e　 解析:设直线与g(x)＝x２ 的切点为(x１,x２１),因为g′(x) ＝２x,根据导数的几何意义可知,该直线的斜率为２x１,即该直 线的方程为y－x２１ ＝２x１(x－x１),即y＝２x１x－x２１．设直线与 f(x)＝alnx的切点为(x２,alnx２),因为f′(x)＝ a x ,根据导数 的几何意义可知,该直线的斜率为 a x２ ,即该直线的方程为y－ alnx２ ＝ a x２ (x－x２),即y＝ a x２ x＋a(lnx２－１)．因为函数f(x) ＝alnx(a ＞ ０)和 g(x)＝ x２ 有 且 只 有 一 条 公 切 线,所 以 ２x１ ＝ a x２ , a(lnx２－１)＝－x２１, { 即a ＝４x２２ －４x２２lnx２ 有 唯 一 实 根．令 h(x)＝４x２－４x２lnx(x＞０),则h′(x) ＝８x－８xlnx－４x＝４x(１－２lnx)．令 h′(x)＝０,解得x＝ e．当h′(x)＞０ 时,０＜x＜ e,所以h(x)在(０,e)上 单调递增;当h′(x)＜０时,x＞ e,所 以h(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以 h(x)在x＝ e处取得最大值h(e)＝ ４e－４e× １２ ＝２e． 当x→０时,h(x)→ ０,h(e)＝４e２－４e２lne＝０,函数h(x) 图象如图所示, 因为a＞０,a＝４x２－４x２lnx有唯一实根,所以只有a＝２e． 狂练痛点２　 切线的应用 １．B　 解析:由y１ ＝ex,可得y１′＝ex．由y２ ＝e２x－２,可得y２′＝ ２e２x．设公切线在曲线y１ ＝ex 上的切点坐标为(m,em),在曲线 y２ ＝e２x－２上的切点坐标为(a,e２a－２),则em ＝２e２a,整理可 得m ＝２a＋ln２①． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —９９　 曲线y１＝ex 在点(m,em)处的切线方程为y－em ＝em(x－m), 即y＝emx＋em(１－m),曲线y２ ＝e２x－２在点(a,e２a－２)处 的切线方程为y－(e２a－２)＝２e２a(x－a),即y＝２e２ax＋(１－ ２a)e２a－２,所以em(１－m)＝ (１－２a)e２a－２,即２e２a(１－m)＝ (１－２a)e２a－２②, 将 ① 代入 ② 中整理可得e２a(２a＋２ln２－１)－２＝０． 因为a是函数f(x)的零点,所以f(x)的解析式可能为f(x)＝ e２x(２x＋２ln２－１)－２．故选B． ２．(π－２４ ,０) 　 解析:因为 △ABC 是直角三角形,所以其垂心为 直角顶点C(m,０),其外心为斜边AB的中点M,故 △ABC的“欧 拉线”即为直线MC,由题设知直线MC 即为正切曲线y＝tanx 以点D( π４ ,１) 为切点的切线,又点D( π ４ ,１) 在斜边AB 上, 故 △ABC 的外心M 即为点D ( π４ ,１) ,由(tanx)′＝ ( sinx cosx )′ ＝ １ cos２x ,所以正切曲线y＝tanx在点D ( π４ ,１) 处的切线的斜 率为k＝ (tanx)′ x＝π４ ＝ １ cos２ π４ ＝２,故其“欧拉线”的方程为 y－１＝２(x－ π４ ) ,令y＝０,得x＝ π ４ － １ ２ ,所以C(π－２４ , ０) ． ３．C　 解析:因为y＝３(x２＋x)ex,所以y′＝３(２x＋１)ex＋３(x２ ＋x)ex ＝３(x２＋３x＋１)ex,所以曲线y＝３(x２＋x)ex 在点(０, ０)处的切线的斜率k＝y′ x＝０ ＝３．所以切线l的方程为y ＝ ３x．所以an＋１ ＝３an．所以数列{an}是首项为１,公比为３的等比 数列．所以６－nan ＝６－n ３n－１ ．所以由 ６－n ３n－１ ≤５－n ３n , ６－n ３n－１ ≤７－n ３n－２ ,{ 解得１３２ ≤n ≤１５２ ． 因为n∈N∗ ,所以n＝７．所以数列 ６－nan{ }中的最小项 为６－７ ３６ ＝－ １ ３６ ．故选 C． ４．(－∞,０)　 解析:设切线切点为(x０,y０),又y′＝lnx＋１,所以 切线斜率为lnx０＋１,因为y０ ＝x０lnx０,所以切线方程为:y－ x０lnx０ ＝ (lnx０＋１)(x－x０)．又切线过(１,a),则a－x０lnx０ ＝ (lnx０＋１)(１－x０),即a＝lnx０－x０＋１,则由题可知函数f(x) ＝lnx－x＋１图象与直线y＝a有两个交点,由f′(x)＝ １x － １＝１－xx ＞０ 得０＜x＜１,由f′(x)＜０得x＞１,所以f(x) 在(０,１)上单调递增,在(１,＋ ∞)上单调递减．又f(x)max ＝ f(１)＝０,又x→０,f(x)→－∞,x→＋∞,f(x)→－∞．据此可 得f(x)大致图象如下． 则由图可得,当a∈ (－∞,０)时,曲线y＝xlnx有两条过(１,a) 的切线． ５．－１　 解析:由题意得１＜m ＜４,F１,F２ 为曲线C: x２ ４ ＋ y２ ４－m ＝１的左、右焦点,点P为曲线C 与曲线E:x２－ y ２ m－１＝１ 在第 一象限的交点,即C,E有相同的焦点,则|PF１|＋|PF２|＝４, c＝ m． 联立 x２ ４ ＋ y２ ４－m ＝１ , x２－ y ２ m－１＝１ ,{ 消去y,得x２ ＝ ４m ,∵x ＞０,∴x ＝ ２ m ,对于椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１,设P(x０,y０)为椭圆上一点,令x′ ＝ xa ,y′＝ yb ,则椭圆化为圆x′２ ＋y′２ ＝１,P(x０,y０)即为 x０ a ,y０ b( ) ,由圆上一点处的切线方程可 知x′ ２ ＋y′２ ＝１在 x０ a ,y０ b( ) 处的切线方程为 x０ ax′＋ y０ by′＝１ ,故可得椭圆x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝１在P(x０,y０)处的切线方程为 x０ a 􀅰x a ＋ y０ b 􀅰y b ＝１． 即 x０x a２ ＋y０y b２ ＝１．故由直线l为曲线C在点P(x０,y０)处的切线, P点在第一象限,则x０ ＝ ２ m ,y０ ＝ (m－１) ４ m －１( ) ,可得 直线l方程为x０x４ ＋ y０y ４－m ＝１　① ,设三角形F１PF２ 内切圆半 径为r,则由等面积可得 １２ 􀅰２c􀅰y０ ＝ １ ２r (|PF１|＋|PF２|＋ ２c),２ my０ ＝ (４＋２ m)r,∴r＝ my０ ２＋ m ＝yM　② 又由于P 在双曲线E:x２－ y ２ m－１＝１ 上,设三角形F１PF２内切圆圆心M, 各边上的切点分别为A,D,E,如图: 由圆的切线性质可得|F１A|＝|F１D|,|EF２|＝|AF２|, |PD|＝|PE|,则|AF１|－|AF２|＝|DF１|－|EF２|＝ |PF１|－|PF２|＝２,即xA＋c－(c－xA)＝２,∴xA ＝１,即M 点横坐标为１,由M(１,yM),F１(－ m,０)可得直线F１M 的方程 为y＝ yM １＋ m (x＋ m)　③ 联立 ①②③,化简可得３ mx＝ ６ m,∴xN ＝２．又xM ＝１,∴xM －xN ＝－１． 狂练综合 　 曲线的切线问题“探源” １．B　 解析:依题意,f(x)＝ １３x ３ －x２,则f′(x)＝x２ －２x＝ (x－１)２－１≥－１,即切线的斜率的取值范围是[－１,＋∞),所 以倾斜角的取值范围是 [０,π２ ) ∪ [ ３π ４ ,π) ．故选B． ２．A　 解析:f′(x)＝ (x－２)ex,设经 过点(０,a)且与曲线y＝f(x)相切 的 切 点 为 (x０,(x０ －３)ex０),则 f′(x０)＝ (x０－２)ex０．又切线经过 (０,a),故由题意 (x０－３)ex０ －a x０ ＝ (x０－２)ex０ 有３个解．化简有a＝ (x０－３)ex０ －x０(x０－２)ex０,即a＝ (－x２０＋３x０－３)ex０ 有３ 个解．设g(x)＝ (－x２＋３x－３)ex,则g′(x)＝ (－x２＋x)ex, 令g′(x)＝０有x＝０或x＝１,故当x∈ (－∞,０)时,g′(x)＜ ０,g(x)单调递减;当x∈ (０,１)时,g′(x)＞０,g(x)单调递增; 当x∈ (１,＋∞)时,g′(x)＜０,g(x)单调递减．又g(０)＝－３, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —１００　 g(１)＝－e,且g(－１)＝－ ７e ＞g (１),g(２)＝－e２＜g(０),故a＝ (－x２０＋３x０－３)ex０ 要有３个解,则－３＜a＜－e．故选 A． ３．D　 解析:设过点(a,b)的切线与曲线的切点为 x０, x０ ex０( ) ,又 f′(x)＝１－xex ,故过点(a,b)的切线方程为:y－ x０ ex０ ＝ １－x０ ex０ (x －x０),则b－ x０ ex０ ＝ １－x０ ex０ (a－x０),整理得:b＝ x２０－ax０＋a ex０ ; 令h(x)＝x ２－ax＋a ex ,则h′(x)＝－ (x－２)(x－a) ex ,且当x→ ＋∞ 时,h(x)→０,当x→－∞ 时,h(x)→＋∞;对 A:当０＜a ＜２时,显然h(x)在(－∞,a)单调递减,在(a,２)单调递增,在 (２,＋∞)单调递减,又h(a)＝ a ea ＞０,h(２)＝４－a e２ ,若过点 (a,b)可作两条切线,则b＝４－a e２ 或a ea ,故A错误;对B:当a＝ ２,h′(x)≤０恒成立且不恒为零,故h(x)在R上单调递减,则当 b＞０时,有且仅有一条切线,故错误;对C:a＝０时,h′(a)＝０, h(x)在(－∞,０)单调递减,在(０,２)单调递增,在(２,＋∞)单调 递减,且h(２)＝ ４ e２ ,故当b＝ ４ e２ 时,b＝h(x)有两个根,可作两 条切线,故 C错误;对 D:当a＝０时,由 C可知,若要做三条切 线,则b＝h(x)有三个根,则h(０)＜b＜h(２),即０＜b＜ ４ e２ , 故 D正确．故选 D． ４．B　 解析:依题意,２m２－m＝１,解得m＝１或m＝－ １２ ,当m ＝－ １２ 时,f(x)＝x－１,函数f(x)在(０,＋∞)上单调递减,不 合题意;当m＝１时,f(x)＝x １ ２ ,函数f(x)在(０,＋∞)上单调 递增,符合题意,于是f(x)＝x １ ２ ,求导得f′(x)＝ １ ２ x ,设点P 的坐标为(x０, x０),曲线在点P 处的切线方程为y－ x０ ＝ １ ２ x０ (x－x０),整理为y＝ １ ２ x０ x＋ １２ x０ ,该切线在x、y 轴上的截距分别为 －x０, １ ２ x０ ,则有 １ ２x０ × １ ２ x０ ＝ １ ４x０ x０ ＝２ ,解得x０ ＝４,所以点P的坐标为(４,２)．故选B． ５．C　 解析:对于 ①,当k＝１时,令y＝sinx－x,则y′＝cosx－ １≤０,即函数y＝sinx－x有且仅有一个零点为０,同理易知函 数y＝－sinx－x有且仅有一个零点为０,即f(x)与g(x)也恰 有一个公共点,故 ① 错误;对于 ②:当n＝３时,如下图: 易知在x＝x３,且x３ ∈ (π,２π),f(x)与g(x)图象相切,由当x ∈ (π,２π)时,f(x)＝－sinx,则f′(x)＝－cosx,g′(x)＝k,故 k＝－cosx３, －sinx３ ＝kx３,{ 从而 x３ ＝tanx３,所 以 １ x３ ＋x３ ＝tanx３ ＋ １ tanx３ ＝ １＋tan２x３ tanx３ ＝ cos２x３(１＋tan２x３) cos２x３tanx３ ＝ ２sin２x３ ,故 ② 正 确;对于 ③:当n＝４时,如下图: 则x１ ＝０,π＜x４ ＜２π,所以x１＋x４ ＜２π,又f(x)图象关于 x＝π对称,结合图象有x３－π＞π－x２,即有x３＋x２ ＞２π＞ x１＋x４,故 ③ 正确;对于 ④:当k＝ ２ ２０２３π 时,由f ２０２３π２( ) ＝ g ２０２３π２( ) ＝１,f(x)与g(x)的图象在y轴右侧的前１０１２个 周期中,每个周期均有２个公共点,共有２０２４个公共点,故 ④ 正确．故选 C． ６．ABD　解析:对于A选项,由等轴双曲线的定义可知,a＝b,则c ＝ a２＋b２ ＝ ２a,则e＝ ca ＝ ２ ,A对;对于B选项,作变换 x＝ ２２ (x′－y′), y＝ ２２ (x′＋y′), ì î í ïï ï 由xy ＝１可得x′ ２ ２ － y′２ ２ ＝１ ,故方程为xy ＝１的曲线是等轴双曲线,B对;对于C选项,不妨设等轴双曲线 的方程为x２－y２＝a２(a＞０),P(x,y),则x２ ≥a２,则|PF１|􀅰 |PF２|＝ (x＋ ２a)２＋y２[ ]􀅰 (x－ ２a)２＋y２[ ] ＝ (x２＋y２＋２a２＋２ ２ax)(x２＋y２＋２a２－２ ２ax)＝ (x２＋y２＋２a２)２－８a２x２ ＝ (２x２＋a２)２－８a２x２ ＝ ４x４－４a２x２＋a４ ＝|２x２ －a２|＝２x２ －a２ ＝x２ ＋y２ ＝ |OP|２,C错．对于 D 选项,先求双曲线x２ －y２ ＝a２ 上一点 P(x０,y０)的切线方程,不妨先探究双曲线在第一象限的部分 (其他 象 限 由 对 称 性 同 理 可 得)．由 x２ －y２ ＝a２,得 y ＝ x２－a２,所以y′＝ x x２－a２ ,则在P(x０,y０)的切线斜率y′ ＝ x０ x２０－a２ ＝ x０ y０ ,所以在点P(x０,y０)处的切线方程为:y－ y０ ＝ x０ y０ (x－x０),又有x２０－y２０ ＝a２,化简即可得切线方程为: x０x－y０y ＝a２．又 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是y ＝±x,联 立: x０x－y０y＝a２, y＝x,{ 解 得:A a２ x０－y０ , a ２ x０－y０( ) , 联 立: x０x－y０y＝a２, y＝－x,{ 解得:B a２ x０＋y０ ,－a ２ x０＋y０( ) ,由中点性质可 得 a２ x０－y０ ＋ a ２ x０＋y０ ２ ＝ x０ , a２ x０－y０ － a ２ x０＋y０ ２ ＝ y０ ,可 知 P(x０,y０)是A,B 的中点,D对．故选 ABD． ７．ACD　 解 析:f′(x) ＝ ３x２,f″(x) ＝ ６x, 则 K(x) ＝ |６x| [１＋(３x２)２]１．５ ,又K(x)＝K(－x),所以K(x)为偶函数,曲 线在两点的弯曲长度相同,故 A 正确;设f(x)＝ax２＋bx＋ c(a ≠ ０),f′(x)＝ ２ax ＋b,f″(x)＝ ２a, 则 K(x)＝ |２a| [１＋(２ax＋b)２]１．５ ,当且仅当２ax＋b＝０,即x＝－b２a 时,曲 率取得最大值,故B错误;f′(x)＝cosx,f″(x)＝－sinx,K(x) ＝ |－sinx|(１＋cos２x)１．５ ,令 t ＝|sinx|∈ [０,１], 则 p(t)＝ t (２－t２)１．５ ,当t＝０时,p(０)＝０;当０＜t≤１时,y＝t单调 递增且y＞０,s＝２－t２ 单调递减,且s＞０,m ＝s１．５ 单调递 增且m＞０,根据复合函数的单调性知y＝ (２－t２)１．５ 在０＜ t≤１时单调递减,所以可知p(t)＝ t(２－t２)１．５ 在０＜t≤１时 单调递增,所以p(t)的最大值为p(１)＝１,所以０≤p(t)≤１, 即０≤K(x)≤１,故C正确;f′(x)＝－ １x２ ,f″(x)＝ ２x３ ,K(x) ＝ ２ x３ (１＋ １x４ ) １．５ ＝ ２ (x２＋ １x２ ) ３ ≤ ２ (２ x２􀅰 １x２ ) ３ ＝ ２ ２ ,当且仅当x＝１时,等号成立,故 D正确．故选 ACD． ８．①　 解析:由x２ ＝２py,得y＝ x ２ ２p ,求导得y′＝ xp ,则切线 MA,MB 的斜率分别为xAp ,xB p ,而 M(xM,－２p),于是直线 MA 的方程为y＋２p＝ xA p (x－xM),直线 MB 的方程为y＋２p＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —１０１　 xB p (x－xM),因此 x２A ２p＋２p＝ xA p (xA －xM), x２B ２p＋２p＝ xB p (xB －xM),{ 则 xA －xB p 􀅰xM ＝ x２A －x２B ２p ,而xA ≠xB,从而xA ＋xB ＝２xM,① 正确;x２M － xAxB ＝ (xA ＋xB２ ) ２ －xAxB ＝ (xA －xB２ ) ２ ＞０,即x２M ＞ xAxB,② 错误;当xM ＝０时,③ 无意义,当xM ≠０时, １ xA ＋ １xB － ２xM ＝ xA ＋xB xAxB － ４xA ＋xB ＝ (xA －xB)２ xAxB(xA ＋xB) ≠０,③ 错误,所 以正确命题的序号是 ①． ９．π２ 　 解析:∵y ＝ １４sin２x＋ ３ ２cos ２x ＝ １４sin２x＋ ３ ２ × １＋cos２x ２ ＝ １ ２sin ２x＋ π ３( )＋ ３ ４ ．∴y′＝cos ２x＋ π ３( ) , ∴ 曲 线的切线斜率在[－１,１]范围内,又曲线在两点处的切线 互相垂直,故在A(x１,y１),B(x２,y２)两点处的切线斜率必须一 个是１,一个是－１．不妨设在A点处切线的斜率为１,则有２x１＋ π ３ ＝２k１π (k１ ∈Z),２x２＋ π ３ ＝２k２π＋π (k２ ∈Z),则可得x１ －x２ ＝ (k１－k２)π－ π ２ ＝kπ－ π ２ (k∈Z)．所以|x１－x２|min ＝ π２ ． 专题３２　 排列组合与二项式定理 狂练考点１　 排列组合 １．C　 解析:首先确定相同的读物,共有 C１６ 种情况,然后两人各自 的另外一种读物相当于在剩余的５种读物里,选出两种进行排 列,共有 A２５ 种,根据分步乘法公式则共有 C１６􀅰A２５ ＝１２０种,故 选 C． ２．１８０　 解析:先排 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 共有 A３５ ＝５×４×３＝６０种,Ⅳ 有 C１３ ＝３种,不同的着色方法数有６０×３＝１８０种． ３．４０００　 解析:当甲乙丙三人选两人参加时,有 C２３ 种选法,再从 剩余的５人中选择３人,有C３５ 种选法,选出的５人进行全排列即 可,共有 C２３C３５A５５ ＝３６００种选法; 当甲乙丙三人均参加时,再从剩余的５人中选择２人,有C２５ 种选 择,先排甲乙丙,从５天中选择３天,安排甲乙丙,将丙安排在甲 乙之间,共有 C３５A２２ 种选法,剩余的２天安排另外两人,有 A２２ 种 选法,则共有 C２５C３５A２２A２２ ＝４００种选法,综上:不同的安排数有 ３６００＋４００＝４０００种． ４．C　 解析:当丙站在左端时,甲、丙必须相邻,其余人全排列,有 A３３ ＝６种站法;当丙不站在左端时,从丁、戊两人选一人站左 边,再将甲、丙捆绑,与余下的两人全排,有 C１２A２２A３３ ＝２４种站 法,所以一共有６＋２４＝３０种不同的站法．故选 C． ５．１００　 解析:甲同学有２种参赛方案,其余四名同学,若只参加甲 参赛后剩余的两项比赛,则将四名同学先分为两组,人数分配 为１∶３与２∶２,分组方案有C１４􀅰C３３＋ C２４C２２ A２２ ＝７,再将其分到两 项比赛中去,共有分配方案数为７×A２２＝１４;若剩下的四名同学 参加三项比赛,则将其分成三组,人数分配为２∶１∶１,分组方法数 是C２４,分到三项比赛上去的分配方法数是 A３３,故共有方案数C２４A３３ ＝３６．根据两个基本原理共有方案数２×(１４＋３６)＝１００(种)． 狂练考点２　 二项式定理 １．６０　 解析:展 开 式 的 通 项 Tk＋１ ＝ Ck６ (２x３)６－k ( － １x ) k ＝ (－１)k×２６－k×Ck６×x１８－４k,令１８－４k＝２可得,k＝４,则x２ 项 的系数为(－１)４×２６－４×C４６ ＝４×１５＝６０． ２．１２０　 解析:由题意可知C３n ＝C７n,由二项式系数的性质可得n＝３ ＋７＝１０．故这两项的二项式系数为C３１０＝C７１０＝ １０×９×８ ３×２ ＝１２０． ３．２４０　 解析:(ax＋３)(x－a)５ ＝ax(x－a)５＋３(x－a)５, 则其展开式中x３ 项的系数为a×C２５×１２×(－a)３＋３×C３５×１３ ×(－a)２ ＝－１０a４＋３０a２ ＝２０,整理得:a４－３a２＋２＝０⇒(a２ －２)(a２－１)＝０,解得:a２＝２或a２＝１．又因为a为整数,所以 a２ ＝ １． 设 ２ x－ ax( ) ６ 展 开 式 的 通 项 为 Tr＋１ ＝ Cr６ ２ x( ) ６－r － ax( ) r ＝Cr６２６－r􀅰(－a)rx３－ ３ ２r,令３－ ３２r＝ ０,得r＝２．所以 ２ x－ ax( ) ６ 的展开式中的常数项为C２６×２４ ×(－a)２ ＝２４０a２ ＝２４０×１＝２４０． ４．５　 解析:由题意知 －x,x２ 项和(１＋x)６ 展开式中的x６,x５ 相 乘出现x７ 项,(１＋x)６ 的通项为Tr＋１＝Cr６xr,r＝０,１,２,􀆺,６, 分别令r＝５,６可得x５,x６ 项的系数为C５６ ＝６,C６６ ＝１,故(１－ x＋x２)(１＋x)６ 展开式中x７ 的系数是 －１＋６＝５． ５．B　 解析:令x＝１得:a０＋a１＋a２＋􀆺＋a８ ＝１;令x＝０,得 a０ ＝２８．a１＋a２＋􀆺＋a８ ＝１－２８,故 A错误;f(－１)＝３８ ＝ ９４ ＝ (１０－１)４ ＝１０４－C１４１０３＋C２４１０２－C３４１０＋１＝１０×(１０３ －C１４１０２＋C２４１０１－C３４)＋１,故B正确;因为(２－x)８ 二项展开 式的通项为Tr＋１＝Cr８２８－r(－x)r＝(－１)rCr８２８－rxr,由通项知, (２－x)８ 二项展开式中偶数项的系数为负数,所以 |a１|＋ |a２|＋|a３|＋􀆺＋|a８|＝－a１＋a２－a３＋􀆺＋a８,由(２－x)８ ＝a０＋a１x＋a２x２＋􀆺＋a８x８,令x＝０,得到a０ ＝２８,令x＝ －１,得到a０－a１＋a２－a３＋􀆺＋a８ ＝３８,所以|a１|＋|a２| ＋|a３|＋􀆺＋|a８|＝３８－２８,故C错误;对原表达式的两边同 时对x求导,得到 －８×(２－x)７ ＝a１＋２a２x＋３a３x２＋ 􀆺 ＋ ８a８x７,令x＝１,得到a１＋２a２＋３a３＋􀆺＋８a８＝－８,令x＝０, 得a１＝－８×２７,所以２a２＋３a３＋􀆺＋８a８＝－８＋８×２７＝８(２７ －１),故 D错误．故选B． 狂练综合 　 排列组合与二项式定理 １．D　 解析:由于(１＋x)２＋(１＋x)３＋􀆺＋(１＋x)９ 的展开式中 x２ 的系数是C２２＋C２３＋􀆺＋C２９,而C２２＋C２３＋􀆺＋C２９ ＝C３３＋C２３ ＋􀆺 ＋C２９ ＝C３１０ ＝ １０×９×８ ３×２×１ ＝１２０． 故选 D． ２．D　 解析:根据分层抽样的定义知初中部共抽取６０×４００６００＝４０ 人,高中部共抽取６０×２００６００＝２０ 人,根据组合公式和分步乘法 计数原理得不同的抽样结果共有 C４０４００􀅰C２０２００ 种．故选 D． ３．C　 解析:(１－x)８ 展开式第r＋１项Tr＋１ ＝Cr８１８－r􀅰(－x)r ＝ (－１)rCr８xr,(１－ax＋x２)(１－x)８ 的展开式中含x２ 的项的系数 为１􀅰(－１)２C２８－a􀅰(－１)C１８＋１􀅰(－１)０C０８,所以１􀅰(－１)２C２８ －a􀅰(－１)C１８＋１􀅰(－１)０C０８＝２１,解方程可得a＝－１,故选C． ４．A　 解析:第一种:当高三的志愿者有３人时,其他两个年级有１ 个年级１人,有１个年级２人,则有C３６C２３A２２ ＝１２０种;第二种:当 高三的志愿 者 有 ２人 时,其 他 两 个 年 级 也 分 别 有 ２ 人,则 有 C２６C２４C２２ ＝９０种;第三种:当高三的志愿者有４人时,其他两个年 级分别有１人,则有C４６A２２ ＝３０种,所以不同的分配方法有:１２０ ＋９０＋３０＝２４０种,故选 A． ５．C　 解析:因为 C２n ＝ C５n,所以由组合数的性质得n＝７,所以 (２x－３)７ ＝a０＋a１(x－１)＋a２ (x－１)２＋􀆺＋a７ (x－１)７, 令x＝２,得(２×２－３)７ ＝a０＋a１＋a２＋􀆺＋a７,即a０＋a１＋ a２＋􀆺＋a７ ＝１．故选 C． ６．C　 解析:由题意知x＝Cn２n,y＝Cn＋１２n＋１,故１３Cn２n ＝７Cn＋１２n＋１,∴１３ × (２n)! n!􀅰n! ＝７× (２n＋１)! n!􀅰(n＋１)!．∴１３＝７× ２n＋１ n＋１ ,∴１３(n＋１) ＝７(２n＋１),解得n＝６．故选 C． ７．ABC　 解析:由题设n＝７,则 Tr＋１ ＝ Cr７(２x)７－r － １ x( ) r ＝ (－１)r２７－rCr７x７－ ３r ２ ,A:所有项的二项式系数和为２７ ＝１２８,正确; B:当x＝１,所有项的系数和为(２－１)７＝１,正确;C:对于二项式 系数Cr７,显然第四、五项对应二项式系数C３７ ＝C４７ 最大,正确;D: 有理项为７－３r２ ∈Z ,即r＝０、２、４、６共四项,错误．故选 ABC． ８．ACD　 解析:对于选项 A:因为甲不在正中间,则甲的不同的排 列方式有 C１４ ＝４种,剩余的四人全排列,不同的排列方式有 A４４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋