痛点14 “棘手的离心率范围-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

痛点14“棘手”的离心率范围 狂练痛点1求离心率或取值范围 为F.若C,与C的离心率分别为号和号点A 1.(角度1：两个椭圆中的离心率)如图，内外两 为C2的右支与C1的一个交点，且|AF|=r, 个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内 则5m一32的值为 层椭圆引切线AC.BD,若直线AC与BD的 斜率之积为一 ，则椭圆的离心率为( A.0 B.4 C.8 D.12 2.(角度2：已知离心率求参数的取值范围)已知 双曲线C导- =1(a>0,b>0)的左、右 焦点分别为F1,F2,直线y=kx在第一象限 交双曲线C右支于点A,若双曲线的离心率 A号 B C③ 满足2≤e≤3，且AF1⊥AF2,则k的取值 2 2.(角度2：与向量有关的离心率问题)已知F1, 范围是 3.(角度3：已知离心率求代数式的范围)已知椭 B是双简线导一活 ￥y2 =1(a>0,b>0)的左、 右焦点，若双曲线上存在点P满足PF·PF 2 =1a>6>0)的离心率为号，上 =一2a2,则双曲线离心率的最小值为( 顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的 A.√ B.√5 C.2 D.5 左，右焦点，且△FAB的面积为2 2 ,点P 3.（角度3：与圆有关的 离心率)如图，A,B分 为椭圆上的任意一点，则PF1十PF2 磁 别是椭圆C:+ 的取值范围为 4.(角度4：已知离心率求三角形的周长)已知椭 练 =1(a>b>0)的左， 右顶点，点P在以AB + 圆C,2 。=1(a>0,b>0),C的上顶点 087 为直径的圆O上（点P异于A,B两点），线段 AP与椭圆C交于另一点Q,若直线BP的斜 为A,两个焦点为F1,F2,离心率为2·过F 学 率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心 且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点， 率为 IDE|=6,则△ADE的周长是 A号 c D A.11 B.12 C.13 D.14 5.(角度5：已知离心率求双曲线实轴长的最小 狂练痛点2 利用离心率求解相关问题 1.(角度1：已知离心率求参数的值)已知椭圆 值卫知双商线号 -b2 =1(a>0,b>0)的 2 1m>n>0)与双曲线C2:) 离心率e≥2，直线y=-x十1交双曲线于点 M,N,O为坐标原点且OM⊥ON,则双曲线 草=1(p>0,9>0)的焦点相同，右焦点 实轴长的最小值是 快乐考生 让学习快乐起来！ 狂练综合 “棘手”的离心率范围 分与全长的比值等于较小部分与较大的比 一、单选题 值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值 1.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原 的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、 点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2,且 建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方 它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以 面也有着不可忽视的作用.利用“黄金分割 PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10, 比”研究双曲线，可得满足。千。=名的双曲 双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭 圆的焦距的取值范围是 线叫做“黄全双自线爽金双鱼线E号一苦 A(停引 ) =1(a>0,b>0)的一个顶点为A,与A不在 y轴同侧的焦点为F,E的一个虚轴端点为B, c.(.5) n.(3) PQ为双曲线任意一条不过原点且斜率存在 的弦，M为PQ中点.设双曲线E的离心率为 2.(2024·山东省齐鲁名校高三学业质量联合检 e,则下列说法中，正确的有 () 1测)已知双曲线E:x三」 y2 =1(a>0,b>0), A.e=5-1 直线1的斜率为一 2且过点Ma,b),直线1 B.e=5+1 2 与x轴交于点C,点D在E的右支上，且满足 C.OA IXI OF=OB2 M心=】D心，则E的离心率为 D.kM·krQ=e 三、填空题 公 A./5 B.2 C.3 D.5 5.(2023·江西省南昌市东湖区第十中学期末)】 题 程 练 3已知双曲线八 b2 =1(a,b>0)的左、右 已知直线y=一x+1与椭圆 6 =1(a> b>0)相交于A,B两点，且OA⊥OB(O为坐 088 焦点分别是F1,F2,点C是双曲线T右支上异 于顶点的点，点D在直线x=a上，且满足C) 标原点)，若椭圆的离心率e∈ 13 L22」 ,则a 数 CF2 ,A∈R.若7O 的最大值为 6.(2024·辽宁省抚顺德才高中高三硬核提分模 5DC+OF=0,则双曲线P的离心率为 ( 报)已知双角线C导-芳 =1(a>0,b>0) A.3 B.4 C.5 D.6 的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作倾斜角 二、多选题 为30°的直线1与C的左、右两支分别交于点 4.(2024·云南省保山市腾冲市期中教育教学质 P.Q,若( 量监测)公元前300年前后，欧几里得撰写的 +8F户-50 F2产1 F2Q 《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书 =0,则C的离心率为 中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部8√m+4≥8×2=16，当且仅当m=0时，等号成主，故选C 7.AD解析：对A:由题意可知F(1,0),由MF|=x0十1=3， √（-0）+（-）-音-4 可得xo=2,故A正确：对B:当x=2时，y=8,解得y= 10.y2=4x解析：画出图形如下图所示，作HD⊥AB,垂足 士2W2,即y=土2反，故B错误，对C:1COM|=√十6= 为D, VA十8=2,5，故C错误：对D:S6m=×0F1X为 号X1×2巨=反，故D正确，放选AD, 8.ABC解析：依题意A(x1y1),B(y2),由方程x2=2似，可 得y一示则y-:由导盘的儿灯意义如，直线A的鲜华 为k州= 户1，同理直线BM的斜率为kw= D2·可得A处 的物我方程为9一0-之1-，许y一-之1 ),化简可得y=号一 p ,所以直线AM的方程为y= 由趋意得点H4回(>专）在抛物线C上，则2， 后，同现可得：直钱M的方程为y三子一扇 32①，由抛物线的定义，可知1DH=一号，因为 ri 2p 三.则上-系周为五期 sin∠HFA- 子所以D明-冬H1-(s+） 得工=十，即x十=2红，故A正确：因点M)在 2 所以一专=子（十专）解得=p@,由①@解得 直线AM,BM上，可得xw·x一p(yo十)=0，xn·xy一p(% +y)=0,即A(1y)在xx-p(y十)=0上，B() x=4p=一8（含去）或x0=4p=8,故抛物线C的方程为y 在xox一p(y十y)一0上，所以底边AB的直线方程为xx =4x py十)=0，故B正确：设直线AB:y=红十号，联立方程组 痛点14“棘手”的离心率范围 y=红十号攀理得-2x-书=0.则△=（一2)+ 狂练痛点1 求离心率或取值范周 =2py. 1.C 1p=4pk+4p>0且x1+红=2放，x1x2=-p,因为k4 解析：设内层椭圈的方程为专十卡=1仙>>0，由男 ·km=吾·多=二上=一1，所以△AMB是直角三角形，故 pp 心率相同可知，外层树圆的方程为，兰 )z+的)=1如图、】 C正确：取AB的中点H,连接MH,根据抛物线的定义，可得 Mm季行y物，所以S=安MH1-1=(色士2 22 2 设切线AC的方程为y=k(x一u),则 fy=k(x-ma). -p2,所以x号+x号-(x1+x:)2-2x1x2-4pk2+2p.x {(hr)+(a)=（ah.消去y得(+a)r2-2mu'x+ 2|=√(x1+x2)-4x1·24=2p√1+，代入可得S 0因-护=0由△=0，样好=号·一我物线即 2p1+22p 4 的方程为y=kE+b,联立=kx十， hr)2+(ay)=(ab),清去y √个十k-p(1+)立.当k-0时，Sm一p.故D错误.故 得(b+a)x2+2ambk2x+m2a2b-a26=0.由△=0得 选ABC. 号-答m-.的培-各又直线C与D的斜丰之 号==c=c=得收选C 积为-1 2D解折：设P双南线的半发原为6：时有出≥ 差-1.R(-e0.Rc0.于是m=c- 9.4解析：已知抛物线2=2x,则2p=2→>p=1,所以焦点 F(宁，0）小国为平行于x轴的光线从点K4,2)射出，所以以-2 =一.国光那那=-+=+（得 代入y2=2x→2=2，则A(2.2).直线AB的方程为y -小水--导--2≥导---，当 (小(-)小小 且仅当=a时取等学，到一2≥一，脚空≥2：房心率 y2=2x 求得B(合，-)，所以AF=2+号=吾，FB= 。一兰什答≥后，所以双面货高心率的菜小位为低故 选D. 数学答案一92 3.C 解析：设P1).Q2,马知A-a,0),Ba,0,则写三 -1联立.得13.x2+8x-32c2-0.显然△>0，则x1+xg- 8c 3x: 所以1=+() 322 a r+a-az号-u ·km=当0.-0=-1 8c 32c2 48( =e一1，又 r+a r-a 所以 4=4二0 =m=当-0 由图，直线DE垂直平分AF,所以△ADE的周长等于△F2DE T2-d x1一a 的周长，C△F,e=4a=13.故选C knk=p·=4c-D=-1pc-号故选C 狂练痛点2利用离心率求解相关问题 上.C解析：因为两淘线的焦点相同，所以√m一 VP+G,国为C与C的离心率分别为于和亭，所以 m豆-专立-青设m=+ 5.2 y=一r十1 =k,则m一5k,p=3k,设它们的左焦点为F,所以|AF:1+ 3 标折：聚立{侣-苦=1.花黄释-eF+0 r=2m,1AF1-r=2p,所以r-m-b=5k-3k=2k,所 a2-a2=0.①设M(x1y).N(2),则1十2 以5m-32-25-9张-8.故选C. 2k 0出=二a-46 -2a2 -”.由OM⊥0N,则ai.0成=xs [ 2. 解析：设A(m,n),F(,0),由题可知 +y1=1xg+(1-x1)(1-x:)=2.r-(x1十x)+1 0,即-2a2-2a26+2a2 A5P+A:2=4,六1A5,A5:1=2-2a= AF:-1 AF:1-2a. b-a 十二a+1=0,化筒得=，02 1-2a 28.Sa,5=号AE,A,=FE·nin ae2=1+g 个1+1—2一1十12 ≥4解得a≥ ≥4，b≥3知，满足①的判别式 ，情 4>0,所以实轴长的荒小维为2 狂练综合“棘手”的离心率范围 (a)）-(六)-（+点)<≤ 1.B解析：设辅国的焦距为2c,双面线的实抽长为2a,则|F,F= 1PF21=2c, 是≤（台）<合<≤告题意k>0 ≤≤2⑤ 3.[1,40 解折：△F,AB的西积为2，合u-06 2≥ia-e0b-2-.由已如得合-要甲e-.所 2 2 以a-6=(-=2=-所以h 2 双曲线的实率轴长为a-LPF号P:-5->0.则0< 2 2--（白）-所以1-（）广=由1 c<5,又双南线的高心牵的取值范国为(1,2》，所以1<台 (台)厂=子山=2解得a=26=1,选而c=“司 5- 。<2,所以号<(<号，所以5<2<9，即接精圈的焦 PF:+1 PF:I PFPF PF:-PF(4 PF D- 距的取值范国是(6，婴)故选B PF1P+41PFT又2-5≤PE,≤2+1≤ 2.D解析：由题意知直钱1的方程为y一6=一合（一a),个y= -PF,P+41PF长1≤PF,+P≤4.即 0.得x=a十2h,所以Ca十26,0).又周为=号心，不坊 TP序，T十PP的取值范周为1,4， -a=a+26-x 设D(Ty),所以有 解得x=a 4.C解斩：因为描圆的高心率为e=行=合，所以a=2:6 -6=0- a b √a-=3e,如图，|AF1I=IAF2I=1FF:=2C,所以 y= 子6，所以D十，子特其代入双南线方程 △AF:F2为正三角形，又因为直线DE过F,且垂直于AF,所 以∠DF,F:-30,直钱DE的方程为y-(+e),设点D坐 3 标()点E坐标(2)，将直线方程与辅圈方程二 y 或=-（合去，所以E的离心率=+(）】 数学答案一93 +()=选n y,可得(a2+b)x2-22x+a2(1-b)-0.x1十2 2a2 3.C解析：由于点D在直线x=a上，且满足C市 0房xx+22由△=（2a)1a(a十(1小 C下 CF -b2)>0,整理得a+2>1..y1y2=(-x1十1)(-x2+1) 】,可知D在∠F,CFg的角平分线上，设 =1x2一(x1十x2)十1.，OA⊥(OB(其中O为坐标原点)，可得 △F,CF2的内切图分别与边F1C,FF2,CF,相初于点M,N O.Oi=0.x1+yny=0,即x+(-x1十1)(-十 Q(如图1)，则由切线长定理可得|CM=【CQ|,1MF, 1)-0,化简得21-（红+x)+1-0.2.-2 |NF,,INF:|=|FQ|,结合双曲线的定义可得|CF一 a2+b2 CF2=NF-NF:I=21ON I=2a...ON=a. 2a2 +1-0.整理得a2+2-2a6-0.6=a2-c2 以△FCF2的内心在真线x=a上，故D为△FCF的内心 a2+6 由7O亦-5C+0F=0得5元-7方-0F=0>5Dd +7市-号F=0.由于0是FF的中点，所以i= 2-a代入上成，化简得2如2=1+d2 之(D+D,因光5+子(D丽+D-专(m (+)e[合]+方得片<≤ DF)=0→5式+4DF+3D=0,分别延长DC,DF,DF <1-≤是得≤已≤4光号≤22= 至C.F.F1,使得C=5C.D=4DF,DF=3DF 如图2，故DC+DF度+DF=0,因此D是△CFF:的重心 1十<5骨≤0≤号可得02的最大值为号满是条 设SA那=m,S△D,=n,SAm,5,=D,由D是△CFF的 件。2十公>1，当精国的离心率：=写时，的最大值 重心，所以S6eg=Sa:=SaW=子Sag又 2 Saw,=1cDf,lsn∠cDF,=专×吉C 为0 21 6.2 解析：依题意，由 F 专DFt1m∠DF,=言·号DE1sin∠CPF ·(F下-F) FP =5·SAg,=m,S△=15m,同理Sax=20 0.得+F0·Q市-0，即∠PF:Q的平分线与直 S么eF5=12p,即15m=20n=12p,故m:n:p=1:8:5, 线PQ屉直，如图，设∠PFQ的平分线F:D与直线PQ交于点 由于D为△F,CF2的内心，故D到△FCF,三条边的距离相 D,则∠PF:D=∠QF,D,∠FDP=∠FDQ=90°，又 等，可得1CF,ItCF2|FF,-435,国此△F,CF:为 IDF:|=|DF2|,所以△PDFe≌△QDFe,所以IPD|= 直角三角形，因为|CF:-CF,1=2a,|F,F|=2c,因此离 IQD PF:=1 QF:1. 心来e-先-0,5：故选C FF, 5 由题得F(-c,0),F2(c,0),设|DFz|=h,|QF:=s,1PF1I F =t,在Rt△DF,F2中∠FDF2=90°，∠DF1F2=30°.则h= 图1 图2 ,1DF:|=3,由双曲线的性质可得 4.BCD解析：“黄金双曲线”满足C QF:-QF:=FQ+I-s=2u·解得1Q1-4a,则 {lPF2-|PF1|=s-1=24, 一一a=0,两边除以a得2-e-1=0,解得e=后上（负 2 1PD|=|QD|=2a,所以在Rt△QDF2中，x=√e2+(2a). 根舍去)，所以A选项错误，B逃项正确.|OM×(OF1=m= 又t=|DF1-|PD|=3c-2u.s-1=2u.所以√e+(2a)2 2-a2==|OB12.所以C选项正确.设P(x11).Q(x2· -(3c-2a)=2a.即√+(2a)严=3c,整理得2a2=c2,所 M产， =1 以e=￡=② a 两式相减并 2 -=1 la" 专题31直线与圆锥曲线 化简得-十兴·二兽即 狂练考点1直线与圆锥曲线 x1十x9x1- =e=ka·k0,所以D 选项正确.故选BCD. 相交形成的弦长、面积问题 1D期折：由e=5,则后=十-1+ =5,解得么 2,所以双曲线的一条渐近浅不坊取y=2x,则圆心(2,3)到渐 蓝线的距离d=2X=气，所以孩长1AB √2+1 2=2-百-5故选D 2.245 =一x十1 解折：箱国16r+25y-1600化或标准形天为忘十 5. 解析：设A(x1),B(x),由 +=1消去 =1.RR是机周忘+盖-1的点，右焦点F(一6 y 62 数学答案一94