痛点4 “无处不在的导数大招-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

-4-3tn2-,f(2)--3ln2+2--3ln2+13ln2 #*sineoo,s()5-寸( 8. AD #(())[)]-[) C/()了 ()了 0.所以g(c)在(0.+oo)上单调递减,故B错误,D正确.从而g(1) -2sin父co).g'(0)-1-2cos20-0.0-.g(0)在(0,)单 #22)因为f(c)→0,所以f(1) 调减,在(吾))单调增,故g(o) =8())-一 >0.f(2)0.所以/(1)/(2)(1)-/(2)] 1>/(1)一 f(2),故C错误,A正确.故选AD. 9.m -2或m2 解析:因为f(.x)=2x一msinx,所以 () 一2一mcosr,又f(x)不是单调函数,所以函数f(x)有极值点; 即/(x)在R上有变号零点,则2一mcost=0成立,当cosr 0时,2-mcosr-0可化为2-0,显然不成立;当cosx关0时. 狂练痛点2 导数与立体几何 2,因为xR.-1<cosx<1,所以<-2或2 n三 cos cos.r .cosr 一2,所以实数m的取值范围为m<-2或m>2(因为要有变号 零点,故不能取等号),经检验,m 一2或n2满足要求,故答 设圆柱的高为h,底面圆的半径为r,所以r^{}h- 案为:n<-2或n>2. 2]) 解析:/(c)一 10.(-o.0)U[e.+o) -er+alnr- , 2-(4 )对() 2-(2-)-- _ 数单调递减;当1(1,十)时,g(1)0,函数单调递增;故 时,i(r)取得最小值233r,即S最小值为23π ③ 8(t)ma-g(1)-1,故1- 故选D. 2.B 解析:设AC=a(a0),则AB-2a. 在△ABC中,由余弦定理知,BC{=AC{}+AB{}-2AC·AB· 1-lnx,当x(0.e)时,h'(x)>0.函数单调递增;当x(e. e2 值已含去).由PA+BC=3.知PA=3-3a..PA I 平面 出函数图象,如图所示: -。 -3).设g(a)-3a-③a(0<a<③),则g'(a)-6a- (0.2)时,(a) o.,则g(a) 3v3a*-3a(2-3a).当aE (→: “#(#) 上单调逆增;当a 根据图象知士<,解得a<o或ac^②},即a(-,0) 3 此时SA= [十). 2.故选B. 痛点4 “无处不在”的导数大招 3 狂练痛点3 导数与解析几何 狂练痛点1 导数与三角函数 1.C 解析:由题意,抛物线y{一4x的焦点坐标为F。(1,0),则 1.D 解析:设g(x)=(x)-2eosr,则g'(x)=2/(x)· (x) F.(-1,0),a^}-b-1.又因为寡函数f(x)=^过点P(4,2). 十2sinx→o.故y-g(c)在定义域R上是增函数,所以x(吾) 故4-2,解得。= #1.故/(x)-r.设点Q的坐标为(x。。 ##*#(#)#,即#()→#(一)#以#())## 2V (一).故选D. 1(x-xa。),且攀画数在点Q处的切线过点Fi(-1,0),故 2/x。 2.0-2sino()0 解析:Sox一 2/x。 rcosf= -1,而a-6-1,可得-3+v5. 数学答案-29 ++2020 +1.令g(x)-+20+1co).则'(r) 3+5 -20.x(0.2\)时,g'(c)<0.g(x)单调 2.2 解析:如图所示,过M作准线的垂线,垂足记为H. =1- r 递减;当x(2v,+)时,’(x)0,(x)单调递增;由1 2. N*,则当 4时,g(2)g(3)g(4),当 5时,恒 有g(t) g(t+1),又g(4)-g(5)-10,故g(t)的最小值为 10.若存在n后N,使得2S。+22<加。成立,则一g(\)n' 则有二10,即实数的最小值为10.故选D. 狂练综合 “无处不在”的导数大招 1.A 解析:由a-a=4且 2a-=a.+a(néN),易知; (a)是公差为2的等差数列,所以a。--3十2(n-2)-2n-7. n(a十a)二n(n-6),故b。= 则S.一 2 由己知得F(o.).N(0.-),根据抛物线的定义知,点 (-)且x>0.所以/(x) 2r*-14r+42。惊成 _ 2r-7 M到焦点F的距离等于点M到准线的距离|MH1.故 MN (2x-7){ M 立,故/(2)在(0)·(~) 上递增,由b-1,- ,故 5..,故无最大项,最小项为b。. 5 的最大值转化为求sin MNH的最小值,此 时,tan MNH也最小值,而tan MNH的最小值就是曲线y 故选A. 2.D 解析:因AC一8,故C(8,0),由题意B(4,4),直线BC的方 得f(4)-h4-4.得k-2,所以f(x)-2,因F在 直线BC上,可设F(8-1.1)(0<1<4),因E在f(x)-2上, 格目()()所以△8-1D)一8 为:y'_ 一1,故切线的领斜角为45{,即 #$D1)DE#-(8-#-+8-4#.即 --4# ②,故答案为/② 狂练痛点4 导数与数列 又0<(<4.所以s在区间(0.) 上单调递增,令S'<0得 解析:已知25.-a.1→5.- 1. ABD <-或(>号#又0<(<4.所以$在区问(4)上单 1 3. D 解析:对于A.依题意,f(2.x)-sin2x+cos2x-v2sin 2x 差数列,选项A正确;对于B,$ -S{+n-1=n,则$=n 令$.-S-4S.,则数列b)的通项公式为b.=n-4n.'b +)由<得<2x+<-由/(2)-0. -16-4 16-0.b 0,其前15项均为负数,因此,当n-15 或16时,数列(b。)的前n项和最小,选项B正确;对于C,a。-S 得2+-或2+吾-2π-解得-3级或--所以 -$.-1<aì,选C错误;对于D,令f()--1 知:f(21)- -in2-r十)将画数y-2o02(回象上的所 /.(2x)在区间[0,π]上有2个零点,A错误;对于B,由选项A 2lnr.>1,则/(c)-(r-1){} -0../(c)在[1,十)单调 递增:(x)→/(1)-0.则/(\v)---lnn→o.即$。- 有点向右平移吾个单位长度得到画数y-2o-2(x-) n >Inn,选项D正确.故选ABD. 2sin2x,B错误;对于C./(c)=sinx+cos*x=(sin十 2.D 解析:由(n+1)S-(n+1)S.+(n+2)a.,得(n+1)a*l (cosx)(1-sin nco )vto0c -)( 1-sinoa) #o%-)[1-o{2c-)]-00(-)[ ##2{)分)#△(-)0( 且a-a。-(n十1)-n-1,则数列(a。)是以2为首 ,1为 公差的等差数列,则S。-n(2十n+1)n(n+3),由25.+22 <加。得,n(n+3)+22<(n+1),分离参数得,k n十1 数学答案-30 #(1)→0.得<<#,于是西数g(1)在(# (#}) #)在[-1.-)(] 上单调通减,且g(-1) #32- ##())#×()-#x# (#)#--1#({)-3##×() -1,g(1) 设GE-1.OM-mO'E=m,则E(1,0,0),F(0,1,0),G(-1 ##3##,此当-# 0.0).H(0.-1.0).M(0.0,m).可得HE-G-(1.1.0).ME -(1.0.-m),M-(0.1.-m),设平面MEH的法向量为n ln.M-r-n-0. 令x三m,则y1 错误;对于D,依题意,f(x)-sin’x+cos{x-(sin}x+cos{}) =-m,-1,可得n=(m,-m,1),设平面MFG的法向量为 -3 sinx cos}x(sinx+cos{}x)-1-3sinx cos^{x=1- n·M-y-m.-。. 令。--n. 则y:=n,:=1,可得n:=(-m,n,1),令n·n=-2n}+$ 1-0,解得m- 故选D. 4.B 解析:由题意可得AE=AD+DE=AB+AD,所以,AF MEH1平面MFG,显然本题d一0不成立,故B错误;对于选 项C:结合选项B可知;若点M.E,F,G.H,N在同一球面上,则 -:A+DC-(A+AD)+A-(+)A 十AD,因为F为线段BD上的点,所以,存在入(0.1),使得D -DB,所以,A-AD-(AB-A).则A-AB+(1-)A. 2d 点M,E,F,G.H,N在同一球面上,故C正确;对于选项D:多面 1x0. 林MEFGHN的V-×[{#()一 1y-1-- (a+2a) r-1-. ##<<#以onor-)-”(1-(r-)-_#(# ##。###)△# #)# 一,令f(d)二 #_(一→)<(-一一→)--→(-#一) d{2 .d>0.则 (mo}), #()-( }+ -,可知当da时,/'(d)0. #(3),共甲0<^#,#()-#(3#-+ { f(d)单调递增;可知当0<d a时,/(d)<0,/(d)单调递 减;所以当且仅当d一a时,/(d)取到最小值,即多面体 #(3-)(),当$<时#()→)此 MEFGHN的体积取到最小值,故D正确.故选ACD. 6.ACD 解析:对于A选项,品数f(z)的定义域为R,f(一x)一 时画数f(m)单调迷增,当<m<时,/(n)<0.此时函数 sin(-x)cos②(-x)一-sinr cos{x-f(x),f(r+2x)-sin( +2π)cos{(r+2x)-sinxcosx=/(x).所以函数f(x)既是 奇画数也是周期函数,A对; 对于B选项,令1-sinx[-1,1],则/(x)-sinx co$x sin(l-sinx)- (1-)-i-r,令g()-t-r,共甲 5.ACD 解析:对于选项A:连接AC.可知A.C和MN的中点均 3 为正方体的中心O,即A.NCM为平行四边形,所以A.M/ 由(1)<0,可得-1<(<-或<(<1.所以画数(t) CN.即ME//NG,故A正确; 的减区间为[-一1.){^(61],增区为[一]# 0 数(c)的最大值为2}3.B错;对于C选项,因为f(n-x)一 sin(x-x)cos(π-x)=sinx(-cosx)?-sinr cosx-f(). 所以函数/(c)的图象关于直线x一吾对称,C对;对于D选项, 因为f(2-x)=sin(2-x)cos(2r-x)=-sinx cos^x 对于选项B:因为DD /MN.AA /MN. 一/(x),所以函数/(x)的图象关于点(n,0)对称,D对,故 则MHME 选ACD. =+2d'M-ME 过7 27-3、17 a(a十2d),同理可得: 2/ 解析:过点C作CF1BD,垂足为F.设AB一x( EH.且AD EH 2d 0).则BD-AE-DE-..BC-CD..'$3AB+2BC-12 EFGH为正方形,M一EFGH为正四校锥,如图,以O为坐标原 点建立空间直角坐标系, 数学答案-31 △BCF中,CF-VBC-BF* +F(1),'/(1)=F(1)<0,故A的说法正确;”x #(6-)#-()一 3)时:,F'(n)<0.v.F(t)在(3) 上单调递减,又F(1)一 ②-18x+36.记△BCD的面积为S,则S= #s{ 0,则当x(1.3)时,F(2)<0.当xe(1).F(x)>0. BD.CF -9+18r^{}设函数 f$)--9+18r”,则(x-4-27r+36r=(4 f(2)=2F(2)0..f(2) 0,故B的说法正确; ·f(x)=F(x)+xF'(x),VxE(1,3),F(x)<0.F(x)<0. -27x+36)令fGc)-0,得:-0或x-27+317 .当0之 8 <x3时,/() (2)-f(x)>o,又.:Vxe(-1)F'(x)<o.:/() 8 <0.故当-27-3vT7 时,f(x)取得最大值,则S取得最大 一F(x)十xF(x)的正负性无法判断,故D的说法错误,故选D. 4. D 解析:依题意,x。十(e-1)lna 2十r。-2= 值,此时AB-27-317 8.(-,-24)解析:当n-1时.-S-1;当n2时,. (-1D)lna-(e-1)r2-2=(e-1)lna-(e-1Dlne’o -S -S1=n^-(n-1)^{}-2n-1,将n-1代入上式,可得$ %。 2-2-e-1)ln2-2.令=1.即(e*-1)lnt $ 1-1=1=a,则a=2n-1.(néN).b=- e0 _ 。 a.. []#令() #寸(),#(1 (2n-1)(2n+1)=- -2+20,由x.[-1.2],得( #-)寸(-)- -1)ln-2十2.则原问题等价于存在(e[].使得/(1) <0,得11,由/(1)>o,得0<11,因此画数 , 整理可得》<(2n十1)十9·(-1)*。2n十1,当n为偶数时,不 2 2 & (#)#()上调在(#1) )上单调递 7 +-+10,(r)--92r-92-3)(2+3) 增,而f(1)-0,/(e})-(-1)lne-2e+2-2e-2-2e ) _ ){ 当:3. 2 在r [,],使得/(1)0成立,只需<e且→1. 单调递增,由于f(4)=29. 2527.5=f(2),故f(x)m= f(2)-27.5,此时a 27.5;当n为奇数时,不等式为a 2n十 解得a<且a-,即士<a<e,所以a的取值范围为 : : , [.故选D. 奇数且rN*),易知g(x)在(0.十)上单调递增,则g(x)min =(1)--24,此时a<-24,综上所述,<-24. 5.6 解析:对所给不等式两边同时取自然对数,得(2n一1)ln(1十 专题13 ln(1+log2023) 导数与不等式,函数的零点 log:2 023)>log。2023·ln(2n).于是 log.2023 , ln(1十x)(r>1),求导得/(x)= 狂练考点1 导数与不等式 r-ln(1+x) 解析:构造画数,因为当xE (0,吾)<tanz,故一 令(x))-干 1十r 1.A 1-ln(1+x).(x>1),求导 _) 4 an→1.故>1,所以c→b;设/(x)-cosr+ 1 得g”(c)-_ x<o,所以画数g(x) (1+)1+二 (1十x)) 1.x(o,+).f(x)=-sinr十x0,所以f(x)在(0,+) 上单调选增培,故() ln([1+og 2023)ln(n)→f(log 2023) /(2a-1),所以 /(x) 0,于是函数f(x)在[l,十oo)上单调递减,因为 以b>a,所以c→b>a,故选A. 2.D 解析:当m<2.x(-m,+oo)时,ln(x+m)<ln(x+2). log2023 2-1 故只需证明当m-2时,f(x)=-ln(x+2)0.当m=2 2n-1>log:2023,解得a 1+log-2023 .又1024<2023< 2 2048,所以10<logt2023<11,于是111+log 2023 <6 又n是正整数,所以n的最小值等于6. #P(-1)<0.f(0)>0,故f(x)=0在(-2,+)有唯一实 狂练考点2 数根,记为r=t,且x。(-1,0).当x(-2,x。)时,/(x) 导数与函数的零点 <0.f(x)单调通减;当x(x,+oo)时,(x)0.f(x)单 调增,从而当工=x。时,f(x)取得最小值,由/(r。)一0得 1.B 解析:f(x)-x+ar十2,则f(x)-3xr}+a,若f(x)要 存在3个零点,则/(工)要存在极大值和极小值,则a0,令 2十2 (r。十1){} 十r。= (-。-)(V,+)时:#(c)>0.当 3.D 解析:由题意得,/(c)-F(z)+xF(c)..'./(1)=F(1) 数学答案-32痛点4“无处不在”的导数大招 狂练痛点1导数与三角函数 狂练痛点3导数与解析几何 1.(角度1：解抽象函数三角不等式)已知函数1.（角度1：研究椭圆与抛物线的性质）椭圆E: f(x)的定义域为R,设f(x)的导数是(x), 且f(x)·f(x)+sin.x>0恒成立，则 ”+是=1(a≥6≥0)的左、右焦点分别为 F1,F2,现已知F2与抛物线y2=4x的焦点重 Af(2)<-) 合，椭圆E与过点P(4,2)的幂函数f(x) x的图象交于点Q,且幂函数在点Q处的切 Bf()>f-) 线过点F1,则椭圆的离心率为 () c.f)川<-) A.5+1 B.3-1 2 2 D.()川>f-) C,6-1 2 D.3-1 2.(角度2：求最值)某小区有 2.(角度2：导数与抛物线，求代数式的最值)已 一个半径为r米，圆心角是 知抛物线C:x2=3y的焦点为F,点N是抛物 直角的扇形区域，现计划照 线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛 图将其改造出一块矩形休 物线上的任意一点，则 MN 闲运动场地，然后在区域 的最大值 0 MF I(区域ACD),区域Ⅱ（区域CBE)内分别 为 种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉 狂练痛点4导数与数列 每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价 是3a元，设∠BOC=0,种植花卉总造价记为 1.(角度1：研究数列的性质)（多选）已知各项都 f(0),现某同学已正确求得：f(0)=ar2g(0), 是正数的数列{an}的前n项和为Sm,且2Sm 则g(0)= :种植花卉总造价最小值 狂 练 为 A.{S}是等差数列 狂练痛点2导数与立体几何 031 B.当n=15或16时，{S一4S,}的前n项和 1,(角度1：表面积的最值)在棱长为2的正方体 最小 中挖掉一个体积最大的圆锥（圆锥的底面在 C.ar1>an 正方体的底面上)，再将该圆锥重新熔成一个 学 圆柱，则该圆柱表面积的最小值为 ( D.s.sn≥ln A3B4C海xD2 2.(角度2：求数列中的最值问题)设数列{a,】 的前n项和为Sm,a2=3,且(n十1)S+1=(n 2.（角度2：体积的最值)在三棱锥P一ABC中， +1)Sm+(1+2)am,若存在n∈N",使得2Sn PA⊥平面ABC,AB=2AC,且∠BAC= +22≤k如m成立，则实数k的最小值为 受，若PA+BC=3,则当三棱锥P-ABC的 体积最大时，△ABC的面积为 ( A.45+1 B.8 A.3 B23 3 c D23 9 c号 D.10 快乐考生 让学习快乐起来！ 狂练综合 “无处不在”的导数大招 4. 如图，在平行四边形 一、单选题 ABCD中，点E是CD的 中点，点F为线段BD 1.(2024·贵州天柱民族中学月考)已知数列 {am}中，a2=-3,a4=1,且2am+1=am十 上的一动点，若AF=xA它+yDC,且x>m a+2(n∈N,),Sn为数列{an}的前n项和，记 >0,y>0,则my(x一m)的最大值为 ( 6.=S(n=1,2…),则数列{b,}的( an 8 c品 D A.最小项为b B.最大项为b3 A.243 二、多选题 C.最小项为b3 D.最大项为b 5.(2024·江苏南通海门中学一调)已知正方体 2.(2024·上海中学期中)从商业化书店到公益 ABCD一A1B1C1D1的棱长为a,O,O1为底面 性城市书房，再到“会呼吸的文化森林” AC、A,C1的中心，分别将线段OO1,O,O延长 图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书 距离d到点M和N,依次连接MA1,NA, 馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不 MB1,NB,MC1,NC,MD1,ND并延长交于 规则的地，其平面图形如图1所示，AC 点E,F,G,H,顺次连接E,F,G,H,E,则 8(百米)，建立如图2所示的平面直角坐标系， 将曲线AB看成函数f(x)=k√E图象的一部 A.ME∥NG 分，BC为一次函数图象的一部分，若在此地 B.平面MEH⊥平面MFG 块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形 C.当且仅当a=2d时，点M,E,F,G,H,N CDEF(如图2)，则图书馆占地面积（万平方 在同一球面上 米)的最大值为 ( D.当d=a时，多面体MEFGHN的体积 最小 :单位：了米 6.(2024·安徽怀宁新安中学期中)已知f(x)= sin.xcos2x,下列结论中正确的有 A.f(x)既是奇函数也是周期函数 题 14 单位：育米 轻 图 图2 练 B)的最大值为号 A.2 B116 9 C.f八x)的图象关于直线x=受对称 032 C.1963 n D.f(x)的图象关于点（π，0）中心对称 27 三、填空题 3.(2024·重庆名校联盟期中)已知函数fm(x)7.(2024·四川部分名校联考)如 学 =sin"x十cos”x(n∈N·),下列命题正确的 图，已知平面五边形ABCDE的 有 周长为12，若四边形ABDE为正 A.f(2x)在区间[0，π]上有3个零点 方形，且BC=CD,则当△BCD B.要得到f1(2x)的图象，可将函数y= 的面积取得最大值时，AB V2cos2x图象上的所有点向右平移开个单 8.已知数列{an}前n项和Sm=n2,数列{bn}满 位长度 足bn= 1 一n∈N,n≥1：Tm为数列 an·a+ C)的值城为号，可 (bn}的前n项和，若对任意的n∈N,n≥1，不 等式aTm<n十9·（一1）”恒成立，则实数入的 D.f(x)的最小正周期为5，最小值为 取值范围为