痛点1“神通广大的基本不等式-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

痛点1“神通广大”的基本不等式 狂练痛点1 解决代数式的最值问题 问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布 1.(角度1：由等式求最值)（多选）已知实数x,y 施了am子安贝（其中1≤n≤31，n∈N),数 列{am}的前n项和为Sm.若关于n的不等式 满足3.x2+3y2-2xy=5,则 S一47<a子一am恒成立，则实数1的取值范 A.-5≤x+y B.x+y≤1 围 B.(-co,12) C≤2+y D+2≤8 A-g》 c(←) D.(-,g) 2.(角度2：不等式恒成立)不等式（√：十√y)≤ 3.(角度3：与物理学科交汇)（多选）十六世纪中 √2x+2y对所有的正实数x,y恒成立，则t的 叶，英国数学家哈利奥特用“<”“>”表示不 最大值为 ( 等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入 A.2 B.√2 C.② D.1 对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到 4 五楼原路往返的速度分别为a和b(0<a< 3.(角度3：三变元求最值)设正实数x,y,x满足 b),记两速度的算术平均值为功，全程的平均 x2一3xy+4y2-g=0,则当义取得最大值 速度为2，则下列选项正确的是 时，2+1一 A.2= ab 4+b x y 2的最大值为 B.a<v<Vab A.0 B.1 c D.3 C.√ah<h a2+b3 4.(角度4：结构变形后求最值)记F(x,y)=x 2 +y-a(x十2√2xy),xy∈R,若对任意的 D.1>2 小 x,y∈R,恒有F(x,y)≥0，则a的取值范围 4.(角度+：与解析几何交汇)已知椭圆E:专+ 勉 狂 为 练 y2 =1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆 5.(角度5：两次应用求最值)已知正数a,b,c,则 3 007 2示中产年。的最大值为 E在第一象限的任意一点，I为△PF,F2的内 心，点O是坐标原点，则tan∠POI的最大值 狂练痛点2基本不等式与其他知识点的交汇 为 数 1,(角度1：与解三角形交汇)在锐角△ABC中， A. c D25 角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面 5.(角度5：与新定义交汇)权方和不等式作为基 积为S,若sin(A十C)= b2-a,则tanA+ 2S 本不等式的一个变化，在求二元变量最值时 有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y> 3tan(B-A)的取值范围为 0则g+号≥牛分，当且仅当g-号时 2.(角度2：与数列交汇)古印度数学家婆什伽罗 等号成立.根据权方和不等式，函数(x) 在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给 一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单 士+0<<)的最小值为( 位)，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个 A.1 B.4 C.9 D.16 快乐考生 让学习快乐起来 狂练综合“神通广大”的基本不等式 一、单选题 1.(2024·陕西咸阳永寿县中学第三次考试)若 实数m,n满足m>0,n>0, 6+4 =√2mm, 则m的最小值为 ( A.(1,2) B.(1,2] A.6 B.23 C.26 D.43 C.(0,2] D.(0,2) 2.(2024·江西吉安一中期中)△ABC中，D为 AC上一点且满足CD=子C,若P为BD上 二、多选题 6.(2024·江苏南通海门中学一调)已知a>0, 一点，且满足A币=入A官+：AC,A4为正实 6>0,且}+名=1，则 () 数，则下列结论正确的是 ( A.a+b≤4 B.a+4b≥9 A的最小值为言 C.logza +log2b>2 D.b<e 7.(2023·辽宁大连育明高级中学期中)已知2” B.的最大值为1 =3”=6,则m、n满足的关系是 () C受+的最大值为16 A.1+1=1 m B.mn4 D+的最小值为4 C.(m-1)2+(n-1)2>2 D.m2+n2<8 小 3.(2023·湖北省黄冈市上学期阶段性质量抽 晋 8已知F为精网C:后+苦 =1的左焦点，经过 狂 测)已知正项等比数列{an}满足a222 原点O的直线1与椭圆C交于A,B两点，AD 练 a2021十2a2020,若5+10g2a1是log2am和 ⊥x轴，垂足为D(异于原点)，BD与椭圆C的 008 另一个交点为E,则 () 1og2an的等差中项，则”十9m的最小值为 mn A.AB⊥AE ( B.△ABD面积的最大值为4√2 学 C.△ABF周长的最小值为12 A B13 c n引 DTT十品T的最小值为装 16 4.已知a>0,b>0,定义H(a,b)=max{a+ 三、填空题 2,号+2则Ha6)的最小值是( 9.(2024·浙江强基联盟10月联考)设a,b,c为 正数，a>b,且a,b为一元二次方程a.x2一3ku A.5 B.6 C.8 D.1 十c=0的两个实根，则片+6)的最小 5.如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴 值为 影部分后，剩下的部分围成一个正四棱锥，则 10.若△ABC的内角A,B,C满足sinA十√2sinB =2sinC,则cosC的最小值是 正四棱锥的侧面积的取值范围为数学答案 —５　 于 C,因为 b＝－a , c＝－１２a,{ 所以cx ２－bx＋a＜０,即－１２ax２＋ax＋ a＜０,所以１２x２－x－１＞０,解得x＜－ １４ 或x＞ １３ ,所以不 等式cx２－bx＋a＜０的解集为{x|x＜－ １４ 或x＞ １ ３ } ,故 C正确;对于 D,a＋b＋c＝a－a－１２a＝－１２a＜０,故D不正 确．故选 AC． ８．ABD　 解析:对于 A,因为ab＝a＋４b≥４ ab,所以 ab ≥ ４( ab≤０舍去),所以ab≥１６,当且仅当 a＝４b , a＋４b＝ab,{ 即a＝ ４b＝８时取等号,所以ab的最小值为１６,故A正确;对于B,因为 a＋４b＝ab(a＞０,b＞０),所以 ４a ＋ １ b ＝１ ,则a＋b＝ (a＋ b)( ４a ＋ １ b ) ＝５＋ ４b a ＋ a b ≥５＋２ ４b a 􀅰a b ＝９ ,当且仅 当４b a ＝ a b ,即a＝２b＝６时取等号,所以a＋b的最小值为９, 故B正确;对于C,由B得 ４a ＋ １ b ＝１ ,则 １ b ＝１－ ４ a ,则 １ a ＋ １ b ＝１－ ３ a ＜１ ,故 C错误;对于 D,４ a２ ＋ １ b２ ＝ ４ a２ ＋ (１－ ４ a ) ２ ＝ ２０ a２ － ８a ＋１ ,当 １ a ＝ １ ５ ,即a＝５时,２０ a２ － ８a ＋１ 取 得最小值 １ ５ ,所以当a＝b＝５时,４ a２ ＋ １ b２ 的最小值为 １ ５ ,故 D正确．故选 ABD． ９．４(答案不唯一,只要a＞３即可)　 解析:因为x＞a,所以x－a ＞０,所以x＋ ４x－a＝x－a＋ ４ x－a＋a≥２ ４＋a＝a＋４ , 当且仅当x－a＝ ４x－a ,即x＝a＋２时,等号成立,所以x＋ ４ x－a 的最小值为a＋４,由a＋４＞７,得a＞３．故答案为:４(答 案不唯一,只要a＞３即可)． １０．９　 解析:设切点为(x０,y０),由y＝ex－１－b＋１得y′＝ex－１, 由题意 ex０－１ ＝１, y０ ＝x０＋２a, y０ ＝ex０－１－b＋１, { 解得x０ ＝１,所以１＋２a＝２－b, 即２a＋b＝１,故 ２a ＋ １ b ＝ ( ２ a ＋ １ b ) (２a＋b)＝５＋ ２b a ＋ ２a b ≥５＋２ ４＝９ ,当且仅当a＝b＝ １３ 时,等号成立． 痛点１　“神通广大”的基本不等式 狂练痛点１　 解决代数式的最值问题 １．ACD　 解析:由３x２ ＋３y２ －２xy ＝５,整理得４(x２ ＋y２)＝ (x＋y)２＋５,因为x２＋y２ ≥ (x＋y)２ ２ ,当且仅当x＝y＝± ５２ 时,等号成立,即４(x２＋y２)＝ (x＋y)２＋５≥２(x＋y)２,解得 － ５≤x＋y≤ ５,故 A正确,B错误;因为３x２＋３y２－２xy＝ ５,整理得２xy ＝３(x２＋y２)－５;因为x２＋y２ ≥－２xy,当且仅 当x＝－y＝± １０４ 时,等号成立,即x２＋y２ ≥－[３(x２＋y２) －５],解得 ５４ ≤x ２＋y２,故C正确;因为x２＋y２ ≥２xy,当且仅 当x＝y＝± ５２ 时,等号成立,即x２＋y２ ≥３(x２＋y２)－５,解 得x２＋y２ ≤ ５２ ,故 D正确．故选 ACD． ２．D　 解析:因 为 x,y 为 正 数,所 以 x ＋ y ＞ ０,所 以t≤ ２􀅰 x＋y x＋ y ,则有t≤ ( ２􀅰 x＋yx＋ y ) min,令m＝ ２􀅰 x＋y x＋ y ＞０,则 １m ＝ x＋ y ２􀅰 x＋y ,所以 １ m２ ＝x＋y＋２ xy２(x＋y) ＝ １ ２ ＋ xy x＋y≤ １ ２ ＋ xy ２ xy ＝１,当且仅当x＝y时,等号成立,所以 １m２ ≤１,m２ ≥１,又m ＞０,所以m ≥１,即 ２ 􀅰 x＋y x＋ y ≥１,所以 ２􀅰 x＋y x＋ y 的最小值为１,所以t≤１,即t的最大值为１．故选D． ３． B　 解 析: xyz ＝ xy x２－３xy＋４y２ ＝ １x y ＋ ４y x －３ ≤ １ ２ xy 􀅰４y x －３ ＝１,当且仅当x＝２y时成立,因此z＝４y２ －６y２＋４y２ ＝２y２,所以 ２x ＋ １ y － ２ z ＝ ２ y － １ y２ ＝－ ( １y －１) ２ ＋１≤１．故选B． ４． －∞,１２( ] 　解析:由F(x,y)≥０,得x＋y≥a(x＋２ ２xy)． ∵x,y∈ R＋,∴a ≤ x＋y x＋２ ２xy 恒 成 立,∴a 的 最 大 值 为 x＋y x＋２ ２xy 的最小值．∵２ ２xy ≤x＋２y,∴ x＋y x＋２ ２xy ≥ x＋y x＋(x＋２y)＝ １ ２ ,当且仅当x＝２y＞０时,等号成立,即a的 最大值为 １ ２ ．∴a∈ －∞ ,１ ２( ] ． ５．６４ 　 解析:∵ ab＋bc ２a２＋b２＋c２ ＝ ab＋bc ２a２＋ １３b ２( )＋ ２３b ２＋c２( ) ≤ ab＋bc ２ ２３ab＋２ ２ ３bc ＝ １ ２ ２３ ＝ ６４ (当且仅当 ２a＝ ３３b , ６ ３b＝c 时取等号),∴ ab＋bc ２a２＋b２＋c２ 的最大值为 ６ ４ ,故答案 为 ６ ４ ． 狂练痛点２　 基本不等式与其他知识点的交汇 １．(２ ３３ , ４ ３ ) 　 解析:在 △ABC 中,sin(A ＋C)＝sinB,S ＝ １ ２acsinB ,由sin(A＋C)＝ ２S b２－a２ 得sinB＝acsinB b２－a２ ,因为sinB ≠０,所以b２－a２ ＝ac,由余弦定理得b２ ＝a２＋c２－２accosB, 则ac＝c２－２accosB,故c＝２acosB＋a,又由正弦定理得sinC ＝２sinAcosB＋sinA＝sinAcosB＋cosAsinB,整理得sin(B－A) ＝sinA,因为A,B∈ (０,π),故B－A＝A或B－A＝π－A(舍 去 ), 得 B ＝ ２A,△ABC 为 锐 角 三 角 形, 故 ０＜A ＜ π２ , ０＜２A ＜ π２ , ０＜π－３A ＜ π２ , ì î í ï ï ï ï 解得 π ６ ＜A＜ π ４ ,故 ３ ３ ＜tanA＜１ ,而 tanA＋ １３tan(B－A)＝tanA＋ １ ３tanA ,∴ 根据对勾函数的性质 可知,tanA＋ １３tanA 在tanA ＝ ３３ 时取最小值２ ３ ３ ,且tanA＋ １ ３tanA ＜ １＋ １ ３×１ ＝ ４ ３ ,∴tanA ＋ １３tanA ∈ ( ２ ３ ３ ,４ ３ ) , ∴tanA＋ １３tan(B－A) 的取值范围是 (２ ３３ , ４ ３ ) ． ２．D　 解析:由题设,{an}是首项、公比都为２的等比数列,故an ＝ ２n,Sn ＝ ２×(１－２n) １－２ ＝２ (２n－１),所以Sn－４７＜a２n－tan,即 ２􀅰２n－４９＜２２n－t􀅰２n,１≤n≤３１,n∈N∗ ,所以t＜２n＋４９ ２n 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —６　 －２恒成立,而２n＋４９ ２n ≥２ ２n􀅰４９ ２n ＝１４,当且仅当n＝log２７ 时等号成立,又n＝log２７∈ (２,３),当n＝２,２n ＝４时,４＋ ４９ ４ ＝ ６５４ ;当n＝３,２n ＝８时,８＋４９８ ＝ １１３ ８ ;综上t＜１１３８ －２＝ ９７ ８ ,即实数t的取值范围为 (－∞,９７８ ) ．故选 D． ３．BCD　 解析:设一楼到五楼的距离为s,由题知v１ ＝ a＋b ２ ,v２ ＝ ２s s a ＋ s b ＝ ２aba＋b ,A错误;因为 ２aba＋b－a＝a( ２b a＋b－１) ,且０ ＜a＜b,所以a＋b＜２b,所以 ２ba＋b＞１ ,２b a＋b－１＞０ ,所以 ２ab a＋b＞a ,又因为a＋b＞２ ab,(因为a≠b,所以取不到等号), 所以 ２ab a＋b＜ ２ab ２ ab ＝ ab,B正确;对 C,因为a≠b,所以 ab ＜a＋b２ ,又 因 为 ( a ２＋b２ ２ ) ２ － (a＋b２ ) ２ ＝ a ２＋b２ ２ － a２＋b２＋２ab ４ ＝ a２＋b２－２ab ４ ＝ (a－b)２ ４ ＞ ０ , 所 以 ( a ２＋b２ ２ ) ２ ＞ (a＋b２ ) ２ ,即a＋b ２ ＜ a２＋b２ ２ ,C正确;对D, 因为(a＋b)２－４ab＝(a－b)２＞０,所以(a＋b)２＞４ab,即a＋b２ ＞ ２aba＋b ,D正确．故选BCD． ４．A　 解析:设 P(x０,y０)(a ＞x０ ＞０),I(x１,y１),F１(－c,０), F２(c,０),设内切圆分别与PF１,PF２,x轴相切于点 M,N,T,则 |F１T|＝c＋x１ ＝|F１M|,|F２T|＝c－x１ ＝|F２N|, ∵|PF１|＋|PF２ |＝ ２a,∴ |PM |＝|PN |＝ a －c, ∴|PF２|＝ (a－c)＋ (c－x１)＝a－x１,又 |PF２|＝ (x０－c)２＋y２０ ＝ (x０－c)２＋b２－ b２ a２ x２０ ＝ (ex０－a)２ ＝a－ex０,∴x１ ＝ex０ ＝ １ ２x０ ,易知S△PF１F２ ＝ １ ２ ×２c×y０ ＝ １２ × (２c＋２a)×y１,∴y１ ＝ c a＋cy０ ＝ １ ３y０ ,∴ y０x０ ＝ ３ ２ y１ x１ ,设y１ x１ ＝t(t＞０),tan∠POI＝tan(∠POF２－∠IOF２) ＝ y０ x０ －y１x１ １＋y０x０ y１ x１ ＝ １ ２t １＋ ３２t ２ ＝ １ ２ １ t ＋ ３ ２t ≤ ６１２ ,当且仅当t＝ ６３ 时等号成立,故选 A． ５．D　 解析:由０＜x＜ １４ ,得１－４x＞０,由权方和不等式可得 f(x)＝ １x ＋ ４ １－４x＝ ２２ ４x＋ ２２ １－４x≥ (２＋２)２ ４x＋(１－４x)＝１６ ,当 且仅当 ２ ４x＝ ２ １－４x ,即x＝ １８ 时取等号,所以函数f(x)＝ １x ＋ ４１－４x(０＜x＜ １ ４ ) 的最小值为１６．故选 D． 狂练综合 　“神通广大” 的基本不等式 １．D　 解析:因为m ＞０,n＞０,６m ＋ ４ n ＝ ２mn ,所以 ６ m ＋ ４ n ＝ ２mn ≥２ ６×４mn ,当且仅当 ６ m ＝ ４ n ,即m２ ＝６ ３,n２ ＝ ８ ３ ３ 时取等号,所以２mn≥４×２４mn ,得mn≥４３,当且仅当 ６m ＝ ４ n ,即m２＝６３,n２＝８ ３３ 时取等号,所以mn的最小值为４ ３,故 选D． ２．D　 解析:AB 选 项,因 为CD→ ＝ ３４ CA→,所以AC→＝４AD→,故AP→＝λAB→＋ μAC→＝λAB→＋４μAD→,因为B,P,D三 点共线,设PB→ ＝ mBD→,即AB→－AP→ ＝mAD→－mAB→,故AP→＝ (１＋m)AB→－mAD→,令λ＝１＋m, ４μ＝－m,故λ＋４μ＝１, λ,μ为正实数,由基本不等式得λ＋４μ＝１≥２ ４λμ＝４ λμ, 解得λμ≤ １ １６ ,当且仅当λ＝ １２ ,μ＝ １ ８ 时,等号成立,所以λμ 的最大值为 １ １６ ,AB错误;CD选项,１λ ＋ １ ４μ ＝ ( １λ ＋ １ ４μ ) 􀅰(λ ＋４μ)＝１＋１＋ ４μ λ ＋ λ ４μ ≥２＋２ ４μλ 􀅰λ ４μ ＝４,当且仅当４μλ ＝ λ４μ ,即λ＝ １２ ,μ＝ １ ８ 时,等号成立,C错误,D正确．故选D． ３．A　解析:正项等比数列{an}满足a２０２２＝a２０２１＋２a２０２０,所以q２＝ q＋２,且q＞０,解得q＝２,又因为５＋log２a１ 是log２am 和log２an 的 等差中项,所以２(５＋log２a１)＝log２am ＋log２an,得log２(２１０a２１)＝ log２(２m＋n－２a２１)．即m＋n＝１２, n＋９m mn ＝ １ １２ (m＋n) １m ＋ ９ n( ) ＝ １ １２ １０＋ ９m n ＋ n m( ) ≥ １ １２(１０＋２ ９m n 􀅰n m ) ＝ ４ ３ ,当且仅当n ＝３m＝９时,等号成立．故选 A． ４．A　 解析:由 定 义 H(a,b)＝ max{a＋２２－b,９a ＋２ b},得 H(a,b)≥a＋２２－b, H(a,b)≥ ９a ＋２ b,{ 所以２H(a,b)≥a＋２２－b＋ ９a ＋２b ＝a ＋ ９a ＋２ ２－b＋２b ≥２ a􀅰 ９a ＋２ ２ ２－b􀅰２b ＝６＋４＝１０．当 且仅当 a＝ ９a , ２２－b ＝２b,{ 即 a＝３, b＝１{ 时,取等号,所以H(a,b)≥５,即 H(a,b)的最小值为５．故选 A． ５．D　 解析:如图,设围成的正四棱锥 的一个侧面为三角形APQ,∠APQ ＝x,则x∈ π４ ,π ２( ) ,过点A 作 AH ⊥PQ 于点H． 则AH ＝ １２PQ×tanx＝ AC－PQ ２ ＝２ ２－PQ２ ＝ ２－ １ ２PQ ,∴PQ ＝ ２ ２１＋tanx ,AH ＝ ２tanx１＋tanx．∴ 正 四棱锥的侧面积S ＝４× １２ ×PQ ×AH ＝２× ２ ２ １＋tanx× ２tanx １＋tanx＝ ８tanx (１＋tanx)２ ,x∈ π４ ,π ２( ) ,则tanx∈ (１,＋∞), 则S＝ ８tanx(１＋tanx)２ ＝ ８tanx １＋tan２x＋２tanx ＝ ８１ tanx＋tanx＋２ ≤ ８ ２＋２＝２ ,当且仅当 １ tanx＝tanx． 即tanx＝１,x＝ π４ 时取等 号,因为tanx∈ (１,＋∞),所以取不到等号,又S＞０,∴S∈ (０,２),∴S的取值范围为(０,２),故选 D． ６．BC　 解析:因为a＞０,b＞０,１a ＋ １ b ＝１ ,所以a＋b＝ ( １a ＋ １b ) (a＋b)＝１＋１＋ b a ＋ a b ≥２＋２ b a 􀅰a b ＝４ ,故 A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学答案 —７　 错误;因为a＋４b＝ ( １a ＋ １ b ) (a＋４b)＝１＋４＋ ４b a ＋ a b ≥ ５＋２ ４ba 􀅰a b ＝９ ,当且仅当４b a ＝ a b 时,即a＝３,b＝ ３２ 时 等号成立,故B正确;因为a＞０,b＞０,１a ＋ １ b ＝１ ,由基本不 等式可知,１ a ＋ １ b ＝１≥２ １ ab ,计算得ab≥４,所以log２a＋ log２b＝log２ab≥log２４＝２,故C正确;令函数f(x)＝xe １ x (x＞ ０,x≠１),因为f′(x)＝e １ x － １xe １ x ＝e １ x (x－１x ) ,当x∈ (０, １)时,f′(x)＜０,x∈ (１,＋∞)时,f′(x)＞０,所以f(x)在(０, １)上单调递减,在(１,＋∞)上单调递增,所以f(x)＞f(１)＝ e,即xe １ x ＞e,得x＞e１－ １ x ,因为a＞０,b＞０,１a ＋ １ b ＝１ ,所 以 １ a ＝１－ １ b ,且a≠１,b≠１,所以e １ a ＝e１－ １ b ,因为b＞e１－ １ b , 即b＞e １ a ,故 D错误．故选BC． ７．ABC　 解析:因为２m ＝３n ＝６,则m＝log２６,n＝log３６,对于A 选项,１ m ＋ １ n ＝log６２＋log６３＝log６６＝１ ,A对;对于B选项, 由 A选项可知,１＝ １m ＋ １ n ＞ ２ mn ,则 mn＞２,即mn＞４, B对;对于C选项,m－１＝log２６－log２２＝log２３,n－１＝log３６ －log３３ ＝ log３２,所 以 (m－１)２ ＋ (n－１)２ ＝ (log３２)２ ＋ (log２３)２ ＞２log３２􀅰log２３＝ ２ln２ ln３ 􀅰ln３ ln２＝２ ,C对;对于D选项, m２＋n２ ＞２mn＞８,D错．故选 ABC． ８．ABD　 解析:对于 A,设A(m,n),则B(－m,－n),D(m,０),设 E(x１,y１)．由题意可知 m ≠０,m ≠x１,m＋ x１ ≠０．则 m２ １６＋ n２ ８ ＝１ ,x ２ １ １６＋ y２１ ８ ＝１ ,两式 相 减 得 m２－x２１ １６ ＋ n２－y２１ ８ ＝ ０． 即 (n＋y１)(n－y１) (m＋x１)(m－x１) ＝－ １２ ,即kBE􀅰kAE ＝ － １２ ,由kAB ＝ ２n ２m＝ n m ,kBD ＝ n ２m ,∴kBE ＝kBD ＝ １ ２kAB ,则 １ ２kAB 􀅰kAE ＝－ １ ２ ,∴kAB􀅰kAE ＝－１,即AB⊥AE,故A正确; 对于B,由A的分析可知m ２ １６＋ n２ ８ ＝１ ,不妨设点A在第一象限, 则m ＞０,n＞０,所以１＝ m ２ １６＋ n２ ８ ≥２ m２ １６× n２ ８ ,∴mn ≤ ４ ２,当且仅当m＝２ ２,n＝２时取等号．故S△ABD ＝ １ ２m×２n ＝mn≤４ ２,故B正确;对于 C,由题意 知C:x ２ １６＋ y２ ８ ＝１ 左焦点为F(－２ ２, ０),设右焦点为F′(２ ２,０),a＝４,b＝ ２ ２．则根据椭圆的对称性可知|BF|＝ |AF′|,故 △ABF周长为２a＋|AB|＝ ８＋|AB|．而|AB|的最小值为椭圆的短 轴长２b＝４２,由题意可知AB 不能与椭圆短轴重合,故 △ABF 周 长大于８＋４ ２,C错误;对于D,由C的分析可知,|AF|＋|BF|＝ |AF| ＋ |AF′| ＝ ２a ＝ ８． 故 １|AF| ＋ １６ |BF| ＝ １ ８ １ |AF|＋ １６ |BF|( )(|AF|＋|BF|)＝ １ ８ (１７＋| BF| |AF|＋ １６|AF| |BF| ) ≥ １ ８ (１７＋２ | BF| |AF| 􀅰１６|AF| |BF| ) ＝ ２５ ８ ,当且仅 当|AF|＝ ８５ ,|BF|＝ ３２５ 时取等号,D正确,故选 ABD． ９．８　 解析:由题可知a＋b＝ ３ba 　① ,ab＝ ca 　② , 由 ① 可得b＝ a ２ ３－a ,则０＜ a ２ ３－a＜a ,解得０＜a＜ ３２ , 由 ② 得cb ＝a ２,且a,b,c为正数,a＞b,可知a－b＞０, 则４c b ＋ １ b(a－b)＝４a ２＋ １b(a－b)≥４a ２＋ １[b＋(a－b)]２ ４ ＝ ４a２＋ ４ a２ ≥２ ４a２× ４ a２ ＝８,当且仅当 b＝a－b, ４a２ ＝ ４ a２ ,{ 即a＝２b ＝２c＝１时,等号成立,所以４cb ＋ １ b(a－b) 的最小值为８． １０．６－ ２４ 　 解析:由正弦定理有a＋ ２b＝２c,所以c＝a＋ ２b２ , cosC ＝ a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ３ ４a ２＋ １２b ２－ ２２ab ２ab ,由 于 ３ ４a ２ ＋ １ ２b ２ ≥２ ３４a ２􀅰 １ ２b ２ ＝ ６２ab ,故cosC ≥ ６－ ２４ ,所 以 cosC的最小值是 ６－ ２４ ． 专题４　 函数的概念及其表示 狂练考点１　 函数的三要素 １．(－ ∞,０)∪ (０,１]　 解析:因为f(x)＝ １x ＋ １－x ,所以 １－x≥０, x≠０,{ 解得x≤１且x≠０．故函数的定义域为(－∞,０) ∪ (０,１]． ２．B　 解析:对于 A,y＝ (x)２ ＝x(x∈ {x|x≥０}),它与函数 y＝x(x∈R)虽然对应关系相同,但是定义域不相同,所以这个 函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数,故 A错误;对于B, u＝ ３ v３ ＝v(v∈R),它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相 同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数y＝x(x∈ R)是 同 一 个 函 数, 故 B 正 确; 对 于 C,y ＝ x２ ＝|x |＝ －x,x＜０, x,x≥０,{ 它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R, 但是当x＜０时,它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同,所 以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．故C错误;对 于 D,m ＝n ２ n ＝n (n∈ {n|n≠０}),它与函数y＝x(x∈R)的 对应关系相同但定义域不相同,所以这个函数与函数y＝x(x ∈R)不是同一个函数,故 D错误,故选B． ３．A　 解析:由题设 ０≤x２－１≤２, log１ ２ (x－１)＞０, x－１＞０, { 则 １≤x ２ ≤３, ０＜x－１＜１,{ 可得 １＜x≤ ３,所以函数定义域为(１,３]．故选 A． ４．AB　 解析:因为１０x ＞０,则 １ １０x ＋１＞１,所以函数f(x)＝ １０x １０x＋１ ＝ １ １＋ １ １０x 的值域是(０,１),则f(x)－ １２ 的取值范围是 (－ １２ , １ ２ ) ,于是y＝ f(x)－ １ ２[ ] 的函数值可能是 －１或 ０,故选 AB． ５．－ ２３x－ １６ ３x　 解析:由f(２x)－２f( ２x ) ＝４x,得f(２x)－ ２f( ４２x ) ＝２􀅰(２x),即f(x)－２f( ４ x ) ＝２x①,将x换为 ４ x , 得f( ４x ) －２f(x)＝２× ４ x ② ,由 ①＋２②,得－３f(x)＝２x ＋１６x ,故f(x)＝－ ２３x－ １６ ３x． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋