专题08 角的平分线的性质（五大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题08 角的平分线的性质（五大题型，40题） 目录 题型一：角平分线性质定理及证明 1 题型二：角平分线的性质定理 3 题型三：角平分线的判定定理 5 题型四：角平分线性质的实际应用 8 题型五：作角平分线（尺规作图） 9 一、题型一：角平分线性质定理及证明 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）四边形中，，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 3．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图所示，平面内两条互相垂直的直线相交于点O，，点A，B分别在射线，上移动，是的平分线，为的平分线，的延长线与的反向延长线交于点P．试问：随着点A，B位置的变化，的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠P的度数；若发生变化，请求出变化范围． 4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系中，点 点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m． (1)求证：； (2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)； (3)如图2， 连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F． ①求证：当时， 平分； ②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论． 二、题型二：角平分线的性质定理 6．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（   ） A．11 B． C．6 D． 7．（24-25八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，则点到的距离是（    ） A．2 B． C．3 D． 8．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ）    A．15 B．30 C．45 D．60 9．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A．4 B．8 C．5 D．6 10．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则和之间的关系表示为 ． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 12．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，于E，于F，若，．求的大小． 13．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数． (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是18，求的面积． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由； (3)若，，且，求的面积． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 三、题型三：角平分线的判定定理 16．（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，O是、外角的平分线的交点，用直尺和圆规作的平分线，那么点O在的平分线上吗？证明你的结论． 18．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，点在边上， ， 的平分线交于点 ，过点作，交的延长线于点，且 ，连接． (1)求 的度数； (2)求证：平分 ； (3)若，，，且的面积，求的面积． 19．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）如图，中，，分别平分，，．    (1)求的度数（结果用表示）． (2)求证：点G在的平分线上． 20．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 21．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 22．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，中，平分交于点E，平分．交于点D，与交于点O，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分 23．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 24．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，于，于，若、． (1)求证：． (2)与有什么数量关系？请写出结论并说明理由． (3)请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 25．（23-24八年级上·重庆长寿·期末）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 四、题型四：角平分线性质的实际应用 26．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 27．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 28．（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、D在y轴上，，点D的坐标为，过点B作，交的延长线于点C，且． (1)求的延长线与x轴的交点M的坐标； (2)求点D到的距离． 29．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 30．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图：要在区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处米，这个集贸市场应建于何处？在图上标出它的位置．（比例尺）    五、题型五：作角平分线（尺规作图） 31．（2024·河北沧州·模拟预测）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是的中点 D．点在点的北偏东方向上 32．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则   ．（用含 的代数式表示） 33．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，利用尺规作的平分线，做法如下：①在上分别截取，使；②分别以点D、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于一点E；③画射线，射线就是的平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ． 34．（22-23八年级上·四川宜宾·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 35．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）尺规作图： 已知： 求作：内部一点以及线段和，使得于点，于点且． 作法： ①以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线； ④在射线上取一点（不与点，重合），过点作于点，于点．请根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)求证：． 36．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）如图在中，，    (1)请用尺规作图法在边上求作一点D．使；（保留作图哴迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，F是的反向延长线上一点，过点F作交线段于点E．若，，求的度数． 37．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，已知在中，，于点． (1)尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹， 不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，求证： ． ① 又 ② ③ ④ 平分 ( ⑤ ) 38．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，，求的度数． 39．（22-23八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，点在线段上，，，． (1)求作的平分线，并交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）问的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：， ， 在和中， ， （    ）， ________， 平分， ， 在和中， ， ， ． 40．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题08 角的平分线的性质（五大题型，40题） 目录 题型一：角平分线性质定理及证明 1 题型二：角平分线的性质定理 9 题型三：角平分线的判定定理 21 题型四：角平分线性质的实际应用 36 题型五：作角平分线（尺规作图） 41 一、题型一：角平分线性质定理及证明 1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）四边形中，，平分． (1)如图1，若，E是的中点，求证：平分； (2)如图2，若平分，求证：E是的中点； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)60 【分析】（1）如图1中，过点E作，垂足为F，证明，可得结论； （2）如图2，延长相交于点F，证明，推出，证明，可得结论； （3）证明，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作，垂足为F， ， ， ， ， ，， 平分，，， ， ，， 平分； （2）如图2，延长相交于点F， 平分，平分， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的中点； （3）由（2）得， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，四边形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是边的延长线上的一点，在边上取一点，使得，且，作的平分线交于点．    (1)求的度数． (2)过点作于点，连接，若，，的面积为12，求的面积． 【答案】(1) (2)4.8 【分析】（1）本题考查三角形的有关性质，充分利用已知条件，三角形的外角性质及内角和公式，本题即可求解．利用三角形外角，，在中用三角形内角和表示出以及表示出外角是解答本题的关键． （2）运用角平分线的性质表示出点到边、、的距离，利用已知条件即可求得面积． 【详解】（1）解：（1）∵ ∴（三角形的外角性质） 又∵平分， ∴ ∴ 又∵在中 即 ∴ 又∵是的外角， ∴． （2）（2）如图，过点分别作于点，于点．    平分，， （角平分线上的点到角两边的距离相等） 又，， （角平分线上的点到角两边的距离相等） ; 又，的面积为12， 即 又 ∴． 3．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图所示，平面内两条互相垂直的直线相交于点O，，点A，B分别在射线，上移动，是的平分线，为的平分线，的延长线与的反向延长线交于点P．试问：随着点A，B位置的变化，的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠P的度数；若发生变化，请求出变化范围． 【答案】的大小保持不变，始终等于． 【分析】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的外角性质，根据角平分线的性质，结合三角形的外角性质可以得到的度数，由此确定的大小，因此可以确定答案． 【详解】解：的大小始终保持不变，理由如下： ∵（三角形外角性质）， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵（三角形外角性质） ∴． 故答案为：的保持大小不变，始终等于． 4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1）， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系中，点 点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m． (1)求证：； (2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)； (3)如图2， 连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F． ①求证：当时， 平分； ②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解； （2）证，即可求解； （3）①作，由，可得，进而可证；②作，则，证，即可求解； 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． （2）在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 平分． ②，理由如下： 作，则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质、角平分线的性质，能够真确做出辅助线是解题的关键． 二、题型二：角平分线的性质定理 6．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（   ） A．11 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，和全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 和的面积分别为48和37， ， ． 故选：B． 7．（24-25八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，则点到的距离是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点P作于E，根据角平分线的性质得到，，根据，计算即可得到答案． 【详解】解：过点P作于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵和分别平分和，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点P到的距离是3． 故选：C． 8．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ）    A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，   ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A．4 B．8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等，是解题的关键． 过点P作于点G，设点Q为上某一点，连接，根据角平分线的性质可得，根据，取即可． 【详解】过点P作于点G，设点Q为上某一点，连接， ∵平分，于，， ∴， ∵， ∴， ∴取． 故选：B． 10．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则和之间的关系表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的中线性质，解答的关键是根据角平分线的性质、三角形的中线性质，得出各三角形的面积关系．先根据角平分线的性质得到，再根据三角形的中线性质得到，进而可得结论． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴点D到边、的距离相等， ∵，，的面积为， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴，又的面积为， ∴， 即， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见详解 【分析】过点D分别作于点M，于点N， 根据，，可得，再证明，从而问题解决． 【详解】，理由如下： 过点D分别作于点M，于点N，如图， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∵ ∴， ∴ 12．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，于E，于F，若，．求的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形和角平分线．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定和性质，是解决问题的关键． 首先证明，根据全等三角形的对应边相等，，即可证得是的平分线，据此即可求解． 【详解】解：∵于E，于F， ∴，和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故的大小是． 13．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数． (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是18，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)的面积为9 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积． （1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解； （2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：平分，理由如下： 过点分别作于，与， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （3）解：，，， ， 即， 解得， ， ． 15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，（1）根据角平分线性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、题型三：角平分线的判定定理 16．（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，O是、外角的平分线的交点，用直尺和圆规作的平分线，那么点O在的平分线上吗？证明你的结论． 【答案】作图见解析，点O在的平分线上，证明见解析 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质和判定是解题的关键；根据角平分线的作法作图即可，过O作于I，于H，于Q，由角平分线的性质可得，再由角平分线的判定即可证明结论． 【详解】解：作的平分线如图： 点O在的平分线上，理由如下： 过O作于I，于H，于Q， O是、外角的平分线的交点， ， ， ，， 点O在的平分线上． 18．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，点在边上， ， 的平分线交于点 ，过点作，交的延长线于点，且 ，连接． (1)求 的度数； (2)求证：平分 ； (3)若，，，且的面积，求的面积． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 19．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）如图，中，，分别平分，，．    (1)求的度数（结果用表示）． (2)求证：点G在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念和性质定理以及判定定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由三角形内角和定理得到．然后由角平分线的概念得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）过G作于H，于M，于N，连接，根据角平分线的性质定理得到，，推出，然后利用角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵，分别平分，， ∴， ∴ ∴； （2）如图所示，过G作于H，于M，于N，连接    ∵，分别平分， ∴， ∴ ∵， ∴点G在的平分线上． 20．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【详解】（1）如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． （3）结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 21．（2023·广东惠州·二模）如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，证明，得出，再由角平分线的判定定理即可得证； （2）由（1）可得：，证明得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，中，平分交于点E，平分．交于点D，与交于点O，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理、 （1）结合角平分线设，，则，即，利用三角形的外角定理得即可； （2）过点O作于点N，于点M，于点K．则有和．即，即可得到点O在的平分线上． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴设，； ∵ ； ∴，即， ∴， 在中，， ∴． （2）证明：如图1，过点O作于点N，于点M，于点K． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴点O在的平分线上． ∴平分． 23．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)且，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，又由，即可证明； （2）将直线与的交点记为点O，由（1）可知，则，由，以及三角形内角和定理得到，即可得到结论； （3）证明平分，由（2）可知，则，即可得到结论． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， 在和中 ∴ （2）且，证明如下： 将直线与的交点记为点O， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过A分别做，垂足分别为点M，点N， 由（1）知， ∴， 故 ∴ ∴平分 由（2）可知 ∴ ∴ 24．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，于，于，若、． (1)求证：． (2)与有什么数量关系？请写出结论并说明理由． (3)请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和角平分线的性质， （1）根据题意得，即可证明，有成立； （2）由（1）知，，则平分，那么，，即有； （3）由（1）知，，可证明，有，则，即有． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中 ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，且， 平分， ∴， 即． （3）解：，理由如下： 由（1）知，， ∵，， ， 在与中 ， ∴， ∴， 即． 25．（23-24八年级上·重庆长寿·期末）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理． （1）由平行线的公理可得出，先证明，再证明，即可得结论； （2）证明，得，然后根据角平分线的判定即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ∴． 平分． 四、题型四：角平分线性质的实际应用 26．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 27．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 28．（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、D在y轴上，，点D的坐标为，过点B作，交的延长线于点C，且． (1)求的延长线与x轴的交点M的坐标； (2)求点D到的距离． 【答案】(1) (2)点D到的距离是4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）过点D作于点N，延长与x轴交于点M，根据等角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，再根据全等三角形对应边相等可得即可得到结论． （2）根据全等三角形的性质得到，然后求出，再利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点D作于点N，延长与x轴交于点M， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ． （2）， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故点D到的距离是． 29．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 30．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图：要在区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处米，这个集贸市场应建于何处？在图上标出它的位置．（比例尺）    【答案】见解析 【分析】此题主要考查了作图与应用设计，应用比例尺画图，角平分线性质的应用，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．作的角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【详解】解： 设距离交点， ， 解得：， ． ． 如图所示：作的角平分线，在射线上截取，使得，   集贸市场应建于点处，点即为所求． 五、题型五：作角平分线（尺规作图） 31．（2024·河北沧州·模拟预测）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是的中点 D．点在点的北偏东方向上 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图中的作角的平分线，根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，，进而求得，即可得出结论，掌握角尺规作角平分线的方法是解题的关键． 【详解】解：根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，， 故、正确，不符合题意； 、无法证明是的中点， 故不正确，符合题意； 、由题意知， ∴， ∴点在点的北偏东方向上， 故正确，不符合题意． 故选：． 32．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则   ．（用含 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了尺规基本作图-作角等于已知角、作角的平分线，与角平分线相关的角的运算，关键是掌握利用角平分线的定义和角的和差的计算． 根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：由作法可得，， ， 为的角平分线， ， 故答案为：． 33．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，利用尺规作的平分线，做法如下：①在上分别截取，使；②分别以点D、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于一点E；③画射线，射线就是的平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键．连接，根据作图的过程证明三角形全等即可． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故答案为：． 34．（22-23八年级上·四川宜宾·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 35．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）尺规作图： 已知： 求作：内部一点以及线段和，使得于点，于点且． 作法： ①以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于； ②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线； ④在射线上取一点（不与点，重合），过点作于点，于点．请根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质； （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）先证明，可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：连接． 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 36．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）如图在中，，    (1)请用尺规作图法在边上求作一点D．使；（保留作图哴迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，F是的反向延长线上一点，过点F作交线段于点E．若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作的平分线，交于点：以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再分别以为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长，交于点；结合角平分线的性质定理易知点可使得； （2）首先利用三角形内角和定理求得，再结合角平分线的定义求得的值，进而由“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和”可求得的值，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如下图所示，点即为所求；    理由如下： 过点作于点，过点作于点，如下图，    由作图可知，为的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线的定义及其性质定理、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，正确理解角平分线的性质定理是解题关键． 37．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，已知在中，，于点． (1)尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹， 不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，求证： ． ① 又 ② ③ ④ 平分 ( ⑤ ) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，等角的余角相等，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，作的平分线交于点，交于点； （2）根据角平分线的定义，可得，根据等角的余角相等证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）证明： 又 平分 （角平分线的定义） ． 38．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查作角平分线和三角形内角和定理， （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：，， ∴， ∵平分， ， ∴． 39．（22-23八年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，点在线段上，，，． (1)求作的平分线，并交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）问的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：， ， 在和中， ， （    ）， ________， 平分， ， 在和中， ， ， ． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明见详解，，，， 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质的运用， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，即可求解； （2）根据题意证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求线段， （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， 平分， 在和中 ， ． 故答案为：，，，． 40．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$