22.2.1第1课时 直接开平方法课件2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第22章 一元二次方程 第1课时 直接开平方法 1.直接开平方法和因式分解 22.2 一元二次方程的解法解 学习目标 学习目标 1.学会用直接开平方法解简单的一元二次方程. 2.了解用直接开平方法解一元二次方程的解题步骤. 3.经历直接开平方法的探究过程，提高思维能力. 新课导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂训练 叁 讲授新知 贰 新课导入 壹 新课导入 2.如果 x2=a,则x叫做a的 . 平方根 1.如果. ±8 3.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 讲授新知 贰 讲授新知 知识点1 直接开平方法 解下列方程： 你是怎样解的？ 解：（1）方程 x2＝25， 所以 即𝒙=±𝟓. 所以 x1＝2，x2＝－2. （2）方程 x2 -9＝0， 移项，变形为x2 ＝9， 所以 ， 即x＝±3. 所以 x1＝3，x2＝－3. 像这种,根据平方根的定义,解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 讲授新知 （2）当p=0时，方程x2 = p有两个相等的实数根 . （3）当p<0时，因为对任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 = p无实数根. 1. 一般的，对于方程 x2 = p， （1）当p>0时，根据平方根的意义，方程x2 = p有两个不等的实数根 2.能化为形如 的一元二次方程，即它的一边含有未知数的一次式的 ,另一边是 _________，就可以用 求解。 完全平方 非负数 直接开平方法 范例应用 例1 解方程： 解： 即 即 讲授新课 知识点2　直接开平方法步骤 直接开平方法解一元二次方程的“三步法” 开方 求解 变形 将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常 数的形式； 利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 解一元一次方程，得出方程的根． 范例应用 例2 解下列方程 (1)(x+1)2 -4=0; (2)12(2-x)2-9=0 分析：两个方程都可以通过简单的变形，化为 的形式，用直接开平方法求解 (mx+b)2=a(a≥0) 解：（1）原方程可以变形为 (x+1)2=4 直接开平方，得 所以 （2）原方程可以变形为 直接开平方，得 所以 x1= x2= 范例应用 解析：由函数y＝x3得n＝3，则y′＝3x2， ∴3x2＝12，x2＝4，x＝±2， 即x1＝2，x2＝－2，故选B. B 范例应用 例4．若(a2＋b2－3)2＝25，求a2＋b2的值． 解：∵(a2＋b2－3)2＝25， ∴a2＋b2－3＝5或a2＋b2－3＝－5， ∴a2＋b2＝8或a2＋b2＝－2. ∵a2＋b2≥0， ∴a2＋b2＝8. 范例应用 当堂训练 叁 当堂训练 2． 一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中 一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　) A．x－6＝4 B．x－6＝－4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4 D C. 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ; x2= D. (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2=-2,解方程，得x=± B. (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D 当堂训练 3．已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰 三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为(　　) A．10 B．10或8 C．9 D．8 A 4. 若方程(x－4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(　　) A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定 C 当堂训练 (3) 整理，得(x－2)2＝9，即x－2＝3或x－2＝－3 ，所以方程的两个根为x1＝5，x2＝-1. 课堂小结 肆 课堂小结 壹 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 课后作业 基础题：1.课后习题 第 （1）,（2）,（3）（4）题。 提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。 谢 谢 例3 给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是(　　) A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝2，x2＝－2 C．x1＝x2＝0 D．x1＝2 ，x2＝－2 解：∵m＋1与2m－4分别是一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根， ∴(m＋1)＋(2m－4)＝0， ∴m＝1， 即方程的两根分别为2和－2. 把x＝2或x＝－2代入ax2＝b，得4a＝b， ∴＝4. 例5 若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是 m＋1与2m－4，求的值． 解：(1)两边直接开平方，得x－4＝±eq \f(1,2)， ∴x1＝4eq \f(1,2)，x2＝3eq \f(1,2). (2)原方程变形，得(3x＋1)2＝1. 两边直接开平方，得3x＋1＝±1， ∴x1＝0，x2＝－eq \f(2,3). 5．用直接开平方法解下列方程． (1)(x－4)2＝eq \f(1,4)； (2)(3x＋1)2－1＝0； (3) x²－4x＋4=9. $$