第10章 复数 章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

参考答案 CD sin∠CBD ， ∴ BD sin 2仔 3 = 2 6 姨 sin 仔 4 ， 解得 BD=6. 若选 ① ， ∵ ∠BCD= 2仔 3 ， ∠CBD= 仔 4 ， ∴∠BDC=仔- （ ∠BCD+∠CBD ） = 仔- 2仔 3 + 仔 4 4 $ = 仔 12 ， ∴∠BDE=∠CDE-∠BDC= 7仔 12 - 仔 12 = 仔 2 ， 在 Rt△BDE 中， BE= BD 2 +DE 2 姨 = 6 2 +8 2 姨 =10 ； 若选 ② ， 在 △BDE 中， 由余弦定理知 cos∠DBE= BD 2 +BE 2 -DE 2 2BD · BE ， ∴ 3 5 = 6 2 +BE 2 -8 2 2×6×BE ， 化简得 5BE 2 -36BE-140=0 ， 解得 BE=10 或 - 14 5 （舍负）， 故服务通道 BE 的长度 BE=10. （ 2 ） 在 △ABE 中 ， 由余弦定理知 BE 2 =BA 2 +AE 2 -2BA · AE · cos∠BAE ， ∴100=BA 2 +AE 2 +BA · AE ， ∴ （ BA+AE ） 2 -BA · AE=100 ， 即 （ BA+AE ） 2 -100=BA · AE≤ （ BA+AE ） 2 4 ， 当且仅 当 BA=AE 时， 等号成立， 此时 3 4 （ BA+AE ） 2 =100 ， BA+AE 的最大值为 20 3 姨 3 . 第十章章末测试卷 1. D 【解析】 （ 1+i ）（ 2-i ） =2+i-i 2 =3+i. 2. D 【解析】 ∵ （ 2a+i ）（ 1+i ） = （ 2a-1 ） + （ 2a+1 ） i 在复平面内 所对应的点在虚轴上， ∴2a-1=0 ， 即 a= 1 2 . 故选 D. 3. B 【解析 】 -2+3i 3-4i = （ -2+3i ）（ 3+4i ） 5 = -18+i 5 =- 18 5 + 1 5 i ， ∴ 复数 -2+3i 3-4i 对应的点位于第二象限 . 4. D 【解析】 z 1 ＝ 2-i 2+i ＝ （ 2-i ） 2 5 ＝ 3 5 - 4 5 i ， z 2 ＝ （ 1＋i ）（ 1-i ） ＝ 2 ， z＝z 1 ＋z 2 ＝ 13 5 - 4 5 i ， ∴z＝ 13 5 ＋ 4 5 i. 5. C 【解析】 z=-1- 3 姨 i ， zz= （ -1+ 3 姨 i ）（ -1- 3 姨 i ） = 1+3=4. z zz-1 = -1+ 3 姨 i 3 =- 1 3 + 3 姨 3 i. 故选 C. 6. D 【解析 】 A A( B =O A( B -O A( A =棕 2 -棕= - 1 2 + 3 姨 2 4 2 i 2 - - 1 2 + 3 姨 2 4 2 i =- 1 2 - 3 姨 2 i+ 1 2 - 3 姨 2 i=- 3 姨 i ， 故选 D. 7. D 【解析】 由题意 1+ 2 姨 i 是关于 x 的实系数方程 x 2 +bx+c＝0 ， ∴1+2 2 姨 i-2+b+ 2 姨 bi+c＝0 ， 即 -1+b+c+ （ 2 2 姨 + 2 姨 b ） i=0 ， ∴ -1+b+c=0 ， 2 2 姨 + 2 姨 b=0 0 ， 解得 b＝-2 ， c＝3. 故选 D. 8. A 【解析】 z 1 z 2 = （ a+bi ）（ cosA+icosB ） = （ acosA-bcosB ） + （ acosB +bcosA ） i. ∵z 1 z 2 在 复 平 面 上 对 应 的 点 在 虚 轴 上 ， acosA-bcosB=0 ， 即 sinAcosA-sinBcosB=0 ； ∴sin2A=sin2B ， 2A=2B 或 2A+2B=仔 ； ∴A=B 或 A+B= 仔 2 ； ∴△ABC 是等腰三 角形或直角三角形 . 9. AC 【解 析 】 设 z =x +yi （ x ， y∈R 且 y≠0 ） ， 由 ｜2z+5｜=｜z+10｜ ， 得（ 2x+5 ） 2 +4y 2 = （ x+10 ） 2 +y 2 ， 化简得 x 2 +y 2 =25 ， 即 ｜z｜=5 ， 因此虚数 z 对应的点在以 （ 0 ， 0 ） 为圆心、 5 为半 径的圆上 ， A 正确 ， B 错误 ； 若 z m + m z = x m + mx x 2 +y 2 2 2 + y m - my x 2 +y 2 4 2 i 为实数， 则 y m - my x 2 +y 2 =0 ， 又 y≠0 且 x 2 +y 2 =25 ， ∴ 1 m - m 25 =0 ， 解得 m=±5 ， 因此 C 正确； 由（ 1-2i ） z= （ 1-2i ）· （ x +yi ） = （ x +2y ） + （ y -2x ） i 及 已 知 得 ， x +2y =y -2x ， 即 y = -3x ， 代入 x 2 +y 2 =25 ， 解得 x= 10 姨 2 ， y= 3 10 姨 2 2 0 0 0 0 / 0 0 0 0 1 ， 或 x=- 10 姨 2 ， y= 3 10 姨 2 2 0 0 0 0 / 0 0 0 0 1 ， 故 z= - 10 姨 2 - 3 10 姨 2 i 或 z=- 10 姨 2 + 3 10 姨 2 i ， 因此 D 错误 . 故选 AC. 10. ABD 【解析】 复数 z=1+i ， 则 ｜z｜= 2 姨 ， A 正确； z= 1-i ， B 正确； z 的虚部为 1 ， C 错误； z 在复平面上对应点 的坐标为 （ 1 ， 1 ）， 在第一象限， D 正确 . 11. BC 【解析】 z 1 与 z 2 是共轭虚数， 设 z 1 =a+bi ， 则 z 2 = a-bi （ a ， b∈R ）， z 2 1 =a 2 -b 2 +2abi ， 复数不能比较大小， A 不 正确； z 1 z 2 =｜z 1 z 2 ｜=a 2 +b 2 ， B 正确； z 1 +z 2 =2a∈R ， C 正确； z 1 z 2 = a+bi a-bi = （ a+bi ） 2 （ a-bi ）（ a+bi ） = a 2 -b 2 a 2 +b 2 + 2ab a 2 +b 2 i 不一定是实数， D 不一 定正确 . 12. 1＋i 【解析】 2 z ＋z 2 ＝ 2 1+i ＋ （ 1＋i ） 2 ＝1-i＋2i＝1＋i. 13. 3 【解析】 ∵｜a+bi｜= a 2 +b 2 姨 = 3 姨 ， ∴ （ a+bi ）（ a-bi ） = a 2 +b 2 =3. 14. 2 2 2 姨 【解析】 ∵z= （ 1+i ） 4 1+i = （ 1+i ） 3 =1+3i+3i 2 +i 3 = -2+2i ， ∴z 的虚部为 2 ， ｜z｜= （ -2 ） 2 +2 2 姨 =2 2 姨 . 15. 解： （ 1 ） 由于四边形 ABCD 是平行四边形， ∴A A( C ＝A A( B ＋A A( D ， 于是A A( D ＝A A( C -A A( B ， 而 （1＋4i ） - （ 3＋2i ） ＝-2＋2i ， 即A A( D 对应的复数是-2＋2i. （ 2 ） 由于D A( B ＝A A( B -A A( D ， 而 （3＋2i ） - （ -2＋2i ） ＝5 ， 即D A( B 对应的复数是 5. （ 3 ） 由于P A( A ＝ 1 2 C A( A ＝- 1 2 A A( C ＝ - 1 2 ， - 2 2 2 ， P A( B ＝ 1 2 D A( B ＝ 5 2 ， 2 2 0 ， 于是P A( A·P A( B ＝- 5 4 ， 而 |P A( A |＝ 17 姨 2 ， |P A( B |＝ 5 2 ， ∴ 17 姨 2 · 5 2 · cos∠APB＝- 5 4 ， 因此 cos∠APB＝- 17 姨 17 ， 故 81 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 sin∠APB＝ 4 17 姨 17 ， 故 S △APB ＝ 1 2 |P P% A ||P P% B |sin∠APB＝ 1 2 × 17 姨 2 × 5 2 × 4 17 姨 17 ＝ 5 2 . 即 △APB 的面积为 5 2 . 16. 解： （ 1 ） 设 z=x+yi ， x∈R ， y∈R ， 则由题意可得 x=-cos 2 兹-sin 2 兹=-1 ， y=cos2兹-1 ， ∴z=-1+ （ cos2兹-1 ） i. （ 2 ） 由于复数 z 对应的点 P 在直线 y= 1 2 x 上 ， 故有 cos2兹-1=- 1 2 ， ∴cos2兹= 1 2 ， 再结合 兹∈ （ 0 ， 仔 ）， 可得 2兹= 仔 3 或 2兹＝ ５仔 3 ， ∴兹= 仔 6 或 兹＝ ５仔 ６ . 17. 解 ： 设 棕=z-3+4i ， ∴z=棕+ 3-4i ， ∴z+1-i=棕+4-5i. 又 ｜z+1-i｜=1 ， ∴｜棕+4-5i｜=1 ， 可知 棕 对应的点的集 合是以 （ -4 ， 5 ） 为圆心、 半径为 1 的圆， 如图所示， ∴｜棕｜ max = 41 姨 +1 ， ｜棕｜ min = 41 姨 -1. 18. 证明： 假设复数 z 是纯虚数， 则有 log 2 （ x 2 -3x-3 ） ＝0 ， ① log 2 （ x-3 ） ≠0 ， ， ② 由 ① 得 x 2 -3x-3＝1 ， 解得 x＝-1 或 x＝4. 当 x＝-1 时， log 2 （ x- 3 ）无意义； 当 x＝4 时， log 2 （ x-3 ） ＝0 ， 这与 log 2 （ x-3 ） ≠0 矛 盾， 故假设不成立， ∴ 复数 z 不可能是纯虚数 . 19. 证明： 设 z＝x＋yi ， x ， y∈R ， 且 y≠0. 由已知得 z＋ 1 z ＝ （ x＋yi ） ＋ 1 x+yi ＝x＋yi＋ x-yi x 2 +y 2 ＝ x+ x x 2 +y 2 2 * + y- y x 2 +y 2 2 , i. ∵z＋ 1 z 是实数 ， ∴y- y x 2 +y 2 ＝0 ， 即 x 2 ＋y 2 ＝1 ， 且 x≠±1 ， ∴ 1-z 1+z = 1- （ x+yi ） 1+ （ x+yi ） ＝ （ 1-x-yi ）（ 1+x-yi ） （ 1+x+yi ）（ 1+x-yi ） = 1-x 2 -y 2 -2yi 1+2x+x 2 +y 2 ＝- y 1+x i. ∵y≠0 ， x≠-1 ， ∴ 1-z 1+z 是纯虚数 . 第十一章章末测试卷 1. C 【解析 】 平行于同一个平面的两条直线平行或相 交或异面， 故 A 错误； 当 a∥α ， b⊥a 时， b 与 α 平行或相 交或 b 在平面 α 上， 故 B 错误； 若 a⊥α ， a∥β ， 设过 a 的 平面 γ∩ 平面 β=b ， 则 a∥b ， 即有 b⊥α ， 又由 b奂β ， 故 α⊥ β ， 故 C 正确； 根据线面垂直的判定定理， 若 a奂α ， b奂α ， 且 a∩b≠芰 ， l⊥a ， l⊥b ， 则 l⊥α ， 故 D 错误 . 故选 C. 2. A 【解析】 S 原 ＝ 1 2 a · h ， S 直 ＝ 1 2 a · h 2 · 2 姨 2 ＝ 2 姨 4 · 1 2 ah＝ 2 姨 4 S 原 ， ∴ S 直 S 原 ＝ 2 姨 4 ， 故选 A. 3. A 【解析 】 如图 ， 连接 B 1 D 1 ， BD ， ∵ 几何体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 是 正 方 体 ， 底 面 ABCD 是 正 方 形 ， ∴AC⊥BD ， ∴AC⊥ 平 面 BDD 1 B 1 . ∵B 1 H奂 平 面 BDD 1 B 1 ， ∴AC⊥B 1 H. ∵B 1 H⊥D 1 O ， AC∩D 1 O=O ， ∴B 1 H⊥ 平面 AD 1 C. 4. C 【解析 】 如图， 连接 B 1 D 1 ， BD ， AC ， A 1 C 1 ， A 1 C ， AC 1 . ∵A 1 P=A 1 Q=m ， ∴PQ∥B 1 D 1 ， ∵E ， F 分别是 AB ， AD 的 中点 ， ∴EF∥BD ， ∴PQ∥EF. ∵ 平面 MEF∩ 平面 MPQ=l ， ∴PQ∥EF∥l ， 选项 A ， D 显然成立； ∵BD∥EF∥l ， BD⊥ 平面 ACC 1 A 1 ， ∴l⊥ 平面 ACC 1 A 1 . ∵MC奂 平面 ACC 1 A 1 ， ∴l⊥ MC ， ∴B 成立； 当 m= α 2 时， 易知 AC 1 ⊥ 平面 MEF ， A 1 C⊥ 平面 MPQ ， 而直线 AC 1 与 A 1 C 不垂直， ∴C 项不成立 . 5. D 【解析】 由截面面积与底面面积之比为 1 ∶ 3 ， 则截 得的锥体与原锥体的体积比为 1 ∶ 3 3 姨 ， 则截得的两部分 的体积之比为 1 ∶ （ 3 3 姨 -1 ）， 故选 D. 6. A 【解析】 如图， 将三棱锥 A鄄 BCD 补 成 长 方 体 AEBF鄄GDHC ， 使 得 三 棱 锥 A鄄BCD 的 各 棱 为 长 方 体 AEBF鄄GDHC 的面对角线 . 设 EA＝x ， EB＝y ， ED＝z ， 设该鞠的半径为 R ， 则 2R＝ x 2 ＋y 2 ＋z 2 姨 ， 由勾股定理可得 AB 2 ＝x 2 ＋y 2 ＝25 ， AC 2 ＝y 2 ＋z 2 ＝36 ， AD 2 ＝x 2 ＋z 2 ＝49 ， 上述三个等式 相 加 得 2 （ x 2 ＋y 2 ＋z 2 ） ＝25＋36＋49＝110 ， 则 2R ＝ x 2 ＋y 2 ＋z 2 姨 ＝ 55 姨 ， 因此， 该鞠的表面积为 S＝4仔R 2 ＝仔× （ 2R ） 2 ＝55仔. 7. D 【解析 】 如图 ， 连 接 B 1 D 1 ， MD 1 ， MB 1 . ∵BD ∥B 1 D 1 ， ∴D 1 M 与 BD 所 成 的 角 即 为 线 D 1 M 与 B 1 D 1 所成的角 . 可求出 MD 1 =2 7 姨 ， B 1 D 1 =2 5 姨 ， MB 1 = 4. ∴cos∠MD 1 B 1 = 28+20-16 2×2 7 姨 ×2 5 姨 = 4 35 姨 35 . ∴ 异面直线 D 1 M 与 BD 所成角的余弦值为 4 35 姨 35 . 8. B 【解析 】 如图， 过球心与圆柱体底面圆心的平面 截得该图形的平面图， 设球的半径为 R ， 实心小球的半径 为 r ， 由题意可得 2 姨 r+r+R= 2 姨 R ， 解得 R= （ 3+2 2 姨 ） r. ∵ 小球球心在以 E 为圆心， EF 为半径的圆上， EF= R+r 2 姨 ， 周 长 为 2仔EF ， ∴2rn≤2仔EF ， 即 n≤ 2仔EF 2r = 2仔 R+r 2 姨 2r = 2 姨 仔 （ R+r ） 2r = 2 姨 仔 ［（ 3+2 2 姨 ） r+r ］ 2r = （ 2 +2 2 姨 ） 仔 ≈ x y O-4 5 第 17 题答图 第 3 题答图 O H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 4 题答图 A 1 B 1 C 1 D 1 P Q M F E A B C D F G H E A B C D 第 6 题答图 M N A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 7 题答图 82 一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. （ 1+i ）（ 2-i ） = （ ） A. -3-i B. -3+i C. 3-i D. 3+i 2. 若复数 （ 2a+i ）（ 1+i ） （ i 为虚数单位） 在 复平面内所对应的点在虚轴上， 则实数 a 为 （ ） A. -2 B. 2 C. - 1 2 D. 1 2 3. 在复平面内， 复数 -2+3i 3-4i （ i 是虚数单位） 所对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 设 z 1 ＝ 2-i 2+i ， z 2 ＝ （ 1＋i ）（ 1－i ）， z＝z 1 ＋z 2 ， 则 z＝ （ ） A. 3－ 4 5 i B. 3 5 ＋ 4 5 i C. 13 4 － 4 5 i D. 13 5 ＋ 4 5 i 5. 若 z=-1+ 3 姨 i ， 则 z zz-1 = （ ） A. -1+ 3 姨 i B. -1- 3 姨 i C. - 1 3 + 3 姨 3 i D. - 1 3 - 3 姨 3 i 6. 在复平面内， 复数 ω=- 1 2 + 3 姨 2 i 对应的 向量为 O "# A ， 复数 ω 2 对应的向量为 O "O B . 那 么向量 A "O B 对应的复数是 （ ） A. 1 B. -1 C. 3 姨 i D. - 3 姨 i 7. 若 1+ 2 姨 i 是关于 x 的实系数方程 x 2 +bx+ c=0 的一个复数根， 则 （ ） A. b=2 ， c=3 B. b=2 ， c=-1 C. b=-2 ， c=-1 D. b=-2 ， c=3 8. 设 △ABC 的两个内角 A ， B 所对的边分别 为 a ， b ， 复数 z 1 =a+bi ， z 2 =cosA+icosB ， 若 复数 z 1 · z 2 在复平面上对应的点在虚轴上， 则 △ABC 是 （ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多 项符合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9. 已知虚数 z 满足 ｜2z+5｜=｜z+10｜ ， 下列结论正 确的是 （ ） A. 虚数 z 对应的点在某个圆上 B. 虚数 z 对应的点在某条直线上 C. 当实数 m=5 时， z m + m z 为实数 D. 若 （ 1-2i ） z 在复平面内对应的点在直 线 y=x 上， 则复数 z= 10 姨 2 - 3 10 姨 2 i 第十章章末测试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 第十章章末测试卷 5 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 已知复数 z=1+i ， 则下列命题中正确的是 （ ） A. ｜z｜= 2 姨 B. z=1-i C. z 的虚部为 i D. z 在复平面上对应点在第一象限 11. 已知 z 1 与 z 2 是共轭虚数， 以下 4 个命题 一定正确的是 （ ） A. z 2 1 <｜z 2 ｜ 2 B. z 1 z 2 =｜z 1 z 2 ｜ C. z 1 +z 2 ∈R D. z 1 z ∈R 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12. 设 z＝1＋i （ i 为虚数单位 ）， 则 2 z ＋z 2 等 于 . 13. 设复数 a+bi （ a ， b∈R ） 的模为 3 姨 ， 则 （ a+bi ）（ a-bi ） = . 14. 设 i 为虚数单位， 给定复数 z= （ 1+i ） 4 1+i ， 则 z 的虚部为 ， ｜z｜ . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 已知 荀ABCD 中， A A% B 与 A A% C 对应 的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i ， 两对角线 AC 与 BD 相交于 P 点 . 求： （ 1 ） A A% D 对应的复数； （ 2 ） D A% B 对应的复数； （ 3 ） △APB 的面积 . 16. （ 15 分） 已知复平面内点 A ， B 对应的复 数分别是 z 1 =sin 2 θ+i ， z 2 =-cos 2 θ+icos2θ ， 其中 θ∈ （ 0 ， π ）， 设 A A% B 对应的复数为 z. （ 1 ） 求复数 z ； （ 2 ） 若复数 z 对应的点 P 在直线 y= 1 2 x 上， 求 θ 的值 . 6 17. （ 15 分） 已知 ｜z+1-i｜=1 ， 求 ｜z-3+4i｜ 的最大 值和最小值 . 18. （ 17 分） 已知复数 z＝ log 2 （ x 2 － 3x－ 3 ） ＋ ilog 2 （ x－3 ）， 其中 x∈R. 求证： 复数 z 不 可能是纯虚数 . 第十章章末测试卷 7 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 19. （ 17 分） 已知 z 是虚数， 且 z＋ 1 z 是实数， 求证： 1-z 1+z 是纯虚数 . 8