第9章 解三角形 章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

参考答案 第九章章末测试卷 1. D 【解析】 由已知得 C=180°-B-A=30° ， 根据正弦定 理得 2 2 姨 sin45° = c sin30° ， 故 c=2. 2. B 【解 析 】 由 余 弦 定 理 得 cosA = AB 2 +AC 2 -BC 2 2AB · AC = 2 2 +3 2 - （ 7 姨 ） 2 2×2×3 = 1 2 ， ∴sinA= 1-cos 2 A 姨 = 3 姨 2 ， ∴△ABC 的面积为 1 2 AB · AC · sinA= 1 2 ×2×3× 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 3. A 【解析 】 由已知得 b 2 =ac ， 因此 a 2 + 3 姨 bc=c 2 +ac 可化为 b 2 +c 2 -a 2 = 3 姨 bc. 于是 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 3 姨 2 ， 又 A∈ （ 0 ， 仔 ）， ∴A= 仔 6 . 4. A 【解析 】 由正弦定理可得 2R= a sinA = 1 sin30° =2 ， ∴ a+b-c sinA+sinB-sinC = 2sinA+2sinB-2sinC sinA+sinB-sinC =2. 5. A 【解析】 如图， 由题意得 BC=DE=5 步， 设 AH=h 步 ， BF=123 ， DG=127 ， 5 h = 123 HF ， HF= 123h 5 ， 同理 HG= 127h 5 ， 由题意得 （ HG-127 ） - （ HD-123 ） =1 000 ， 即 127h 5 - 123h 5 -4=1 000 ， h=1 255 （步） =4 里 55 步， 故选 A. 6. A 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 得 b+c a = sinB+sinC sinA = sinB+sin （ A+B ） sinA = sin2A+sinAcos2A+cosAsin2A sinA =2cosA + 2cos 2 A -1 +2cos 2 A =4cos 2 A +2cosA -1 =4 cosA+ 1 4 4 % 2 - 5 4 . ∵ △ABC 为锐角三角形， ∴ 0<A< 仔 2 ， 0<B< 仔 2 ， 0<C< 仔 2 2 ( ( ( ( ( ( ( ' ( ( ( ( ( ( ( ) ， 即 0<A< 仔 2 ， 0<2A< 仔 2 ， 0<仔-3A< 仔 2 2 ( ( ( ( ( ( ( ' ( ( ( ( ( ( ( ) ， ∴ 仔 6 <A < 仔 4 ， ∴ 2 姨 2 <cosA < 3 姨 2 ， ∴ b+c a 的 取 值 范 围 是 （ 2 姨 +1 ， 3 姨 +2 ） . 7. D 【解析】 由 sinBsinC= 3 姨 sinA ， 得 sinC= 3 姨 sinA sinB = 3 姨 a b ， ∴S △ABC = 1 2 absinC= 3 姨 2 a 2 = 3 3 姨 2 ， a= 3 姨 . 又 a+b=3 3 姨 ， ∴b=2 3 姨 ， sinC= 3 姨 a b = 3 姨 2 ， cosC=± 1 2 . 当 cosC = 1 2 时 ， c = 3+12-2× 3 姨 ×2 3 姨 × 1 2 姨 =3 ； 当 cosC=- 1 2 时， c= 3+12-2× 3 姨 ×2 3 姨 × - 1 2 4 % 姨 = 21 姨 . 8. A 【解析】 c （ acosB-bcosA ） =c a · a 2 +c 2 -b 2 2ac -b · b 2 +c 2 -a 2 2bc 4 % = 16 ， ∴a 2 -b 2 =16. 又由 a+b=8 ， 则 a-b=2 ， ∴a=5 ， b=3. 又 C= 60° ， 故 c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC=25+9-15=19 ， ∴c= 19 姨 . 9. AC 【解析】 由 A+B+C=仔 ， 则 sin （ B+C ） =sin （ 仔-A ） = sinA ， 故 A 正确 . cos （ A+B ） =cos （ 仔-C ）， 故 B 不正确 . 由三 角形中大角对大边， A>B ， 则 a>b ， 根据正弦定理有 sinA> sinB ， 故 C 正确 . 在三角形中 ， 若 sin2A=sin2B ， 得 2A=2B 或 2A+2B=仔. ∴A=2 或 A+B= 仔 2 ， 则 △ABC 是等腰三角形或 直角三角形， 故 D 不正确 . 10. BC 【解析 】 ∵G 是 △ABC 的重心 ， ∴A A+ G = 1 3 A A+ B + 1 3 A A+ C . ∵A A+ P =姿A A+ B ， A A+ Q =滋A A+ C ， ∴A A+ G = 1 3姿 A A+ P + 1 ３滋 A A+ Q . ∵P ， G ， Q 三点共线 ， ∴ 1 ３姿 ＋ 1 ３滋 ＝１ ， 1 姿 ＋ 1 滋 ＝３ ， B 正确 ； ∵S △ABC = 1 2 · AB · AC · sinA ， S △APQ = 1 2 · AP · AQ · sinA ， ∴姿滋S △ABC = S △APQ ， S 四 边 形 PQCB = （ 1-姿滋 ） S △ABC ， S 四边形 PQCB S △APQ = 1-姿滋 姿滋 = 1 姿滋 -1. ∵姿>0 ， 滋>0 ， ∴ 1 姿 + 1 滋 ≥2 1 姿滋 姨 ， 即 3≥2 1 姿滋 姨 ， 1 姿滋 ≤ 9 4 ， 当且仅当 姿=滋 时取等号， 故 S 四边形 PQCB S △APQ = 1 姿滋 -1≤ 9 4 -1= 5 4 ， C 正确 . 11. ABD 【解析】 A 角最小， C 角最大 . 由余弦定理得 cosA= 25+36-16 2×5×6 = 45 60 = 3 4 >0 ， cosC= 16+25-36 2×4×5 = 5 40 = 1 8 >0 ， cos2A=2cos 2 A-1=2× 3 4 4 % 2 -1= 1 8 ， cos2A=cosC ， 0<A< 仔 2 ， 0<C< 仔 2 ， 则 0<2A<仔 ， ∴2A=C ， ∴A 正确； acosB-bcosA=c ， 由 正 弦 定 理 得 sinAcosB -sinBcosA =sinC ， sinAcosB - cosAsinB=sin （ A+B ） =sinAcosB+cosAsinB ， cosAsinB=0 ， 由 于 0<A<仔 ， 0<B<仔 ， ∴A= 仔 2 ， 故 B 正确； cosC= 16+25-36 2×4×5 = 5 40 = 1 8 ， 0<C<仔 ， sinC= 1- 1 8 4 % 2 姨 = 3 7 姨 8 ， 设三角形 ABC 外接圆半径为 R ， 则 2R= c sinC 圯R= c 2sinC = 6 2× 3 7 姨 8 F A B C D E G H 第 5 题答图 79 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 = 8 7 姨 7 ， C 错误； 0<A<仔 ， -仔<B<0 ， -仔<A-B<仔 ， 故 -1< cos （ A-B ） ≤1 ， 同理可得 -1<cos （ B-C ） ≤1 ， -1<cos （ C-A ） ≤ 1 ， 要使 cos （ A-B ） cos （ B-C ） cos （ C-A ） =1 ， 则需 cos （ A-B ） = cos （ B-C ） =cos （ C-A ） =1 ， ∴A-B=0 ， B-C=0 ， C-A=0 ， ∴A= B=C ， ∴D 正确 . 12. （ 2 ， 4 ］ 【解析】 由 bccosA=a ， a=2 ， 得 bccosA=2 ， 由余弦定理得 bc b 2 +c 2 -a 2 2bc =2 ， 即 b 2 +c 2 -a 2 =4 ， ∴b 2 +c 2 =8. 又 b 2 +c 2 2 ≥ b+c 2 2 % 2 ， 得 8 2 ≥ b+c 2 2 % 2 ， 解得 b+c≤4. 又 b+c>a= 2 ， ∴2<b+c≤4. ∴b+c 的取值范围为（ 2 ， 4 ］ . 13. 3 姨 - 2 姨 【解析 】 由题意得 △ABC 的面积 S= 1 2 bcsinA= 3 姨 4 bc= 3 姨 ， 故 bc=4. ∵A=60° ， b+c=6 ， 由余 弦定理得 a 2 =b 2 +c 2 -bc= （ b+c ） 2 -3bc=24 ， ∴a=2 6 姨 ， △ABC 的周长为 6+2 6 姨 . 设 △ABC 的内切圆的半径为 r ， 则 1 2 （ a+b+c ） r= 1 2 × （ 6+2 6 姨 ） r= 3 姨 ， ∴r= 3 姨 - 2 姨 . 14. 5 姨 10 【解析】 在 △ABC 中， S △ABC = 1 2 bcsinA ， a 2 =b 2 + c 2 -2bccosA ， 则 S △ABC a 2 +bc = 1 2 bcsinA b 2 +c 2 -2bccosA+bc = 1 2 · sinA b c + c b +1-2cosA ≤ 1 2 · sinA 2 b c · c b 姨 +1-2cosA = sinA 6-4cosA ， 当且仅当 b=c 时取 “ = ” ， 0 <A <仔 ， 令 t = sinA 6-4cosA >0 ， 则 6t =sinA +4tcosA = 1+16t 2 姨 sin （ A+渍 ）， 其中锐角 渍 由 tan渍=4t 确定 ， 从而有 6t≤ 1+16t 2 姨 （当且仅当 A= 仔 2 -渍 时取 “ = ”）， 解得 0<t≤ 5 姨 10 ， 即 t max = 5 姨 10 ， ∴ 当 △ABC 是顶角为 仔 2 -渍 （锐角 渍 由 tan渍= 2 5 姨 5 确定 ） 的等腰三角形时 ， S △ABC a 2 +bc 取最大值 5 姨 10 . 15. 解： （ 1 ） 在 △ABD 中， AB= 2 姨 ， B= 仔 4 ， BD=3 ， 由余弦定理得 AD 2 =AB 2 +BD 2 -2AB · BD · cosB=2+9-6 2 姨 × 2 姨 2 =5 ， ∴AD= 5 姨 . （ 2 ） 在 △ABC 中， AB= 2 姨 ， AC=2 2 姨 ， B= 仔 4 ， 由 正弦定理得 AB sinC = AC sinB ， 即 2 姨 sinC = 2 2 姨 sin 仔 4 ， ∴sinC= 2 姨 4 . 16. 解： （ 1 ） ∵cos2A+sin A+ 仔 2 2 % =0 ， ∴2cos 2 A-1+cosA= 0 ， 解得 cosA= 1 2 或 cosA=-1. ∵0<A<仔 ， ∴A= 仔 3 . ∵c=2 ， a= 3 3 姨 ， 由正弦定理 a sinA = c sinC ， 得 3 3 姨 3 姨 2 = 2 sinC ， 解得 sinC= 1 3 . （ 2 ） 由余弦定理得 a 2 =b 2 +c 2 -bc ， ∵2a=b+c ， 代入上式得 （ b+c ） 2 4 =b 2 +c 2 -bc ， 整理得 （ b-c ） 2 =0 ， ∴b=c. 又 ∵A= 仔 3 ， ∴ △ABC 为等边三角形 . 17. （ 1 ） 证 明 ： ∵sinCsin （ A -B ） = sinBsin （ C -A ） ， ∴sinCsinAcosB -sinCsinBcosA =sinBsinCcosA -sinBsinAcosC ， ∴ac · a 2 +c 2 -b 2 2ac -2bc · b 2 +c 2 -a 2 2bc =-ab · a 2 +b 2 -c 2 2ab ， 即 a 2 +c 2 -b 2 2 - （ b 2 +c 2 -a 2 ） =- a 2 +b 2 -c 2 2 ， ∴2a 2 =b 2 +c 2 . （ 2 ） 解： ∵a=5 ， cosA= 25 31 ， 由 （ 1 ） 得 b 2 +c 2 =50 ， 由余 弦定理可得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 则 50- 50 31 bc=25 ， ∴bc= 31 2 ， 故（ b+c ） 2 =b 2 +c 2 +2bc=50+31=81 ， ∴b+c=9 ， ∴△ABC 的周长为 a+b+c=14. 18. 解 ： （ 1 ） ∵m= （ sinx ， 1 ） ， n= 3 姨 cosx ， - 1 2 2 % ， ∴m+n= sinx+ 3 姨 cosx ， 1 2 2 % . ∴ f （ x ） =sinx （ sinx+ 3 姨 cosx ） + 1 2 =sin 2 x + 3 姨 sinxcosx + 1 2 = 1-cos2x 2 + 3 姨 2 sin2x + 1 2 = sin 2x- 仔 6 % +1 ， 则 f （ x ）的最小正周期为 2仔 2 =仔. 令 - 仔 2 + 2k仔≤2x- 仔 6 ≤ 仔 2 +2k仔 ， k∈Z ， 解得 - 仔 6 +k仔≤x≤ 仔 3 +k仔 ， k∈Z ， 故 f （ x ）的单调递增区间为 - 仔 6 +k仔 ， 仔 3 +k k ) 仔 ， k∈Z. （ 2 ） 由 f （ C ）恰好为函数 f （ x ）的最大值可得 f （ C ） = sin 2C- 仔 6 % +1=2 ， 即 sin 2C- 仔 6 % =1. ∵0<C<仔 ， 则可解得 C= 仔 3 ， 则 CD=f （ Ｃ ） =2. ∵S △ABC =S △ACD +S △BCD ， ∴ 1 2 CA · CB · sinC= 1 2 CD · CB · sin∠BCD+ 1 2 CA · CD · sin∠ACD ， ∴ 3 姨 ab= 2a+2b ， ∴ 1 a + 1 b = 3 姨 2 . ∴3a+b= （ 3a+b ）· 1 a + 1 b 2 % · 2 3 姨 = 2 3 姨 · 3+1+ b a + 3a b 2 % ≥ 2 3 姨 · 4+2 b a · 3a b 姨 2 % = 8 3 姨 3 +4 ， 当且仅当 b a = 3a b ， 即 b= 3 姨 a 时等号成立 . ∴3a+b 的最小值 为 8 3 姨 3 +4. 19. 解： （ 1 ） 在 △BCD 中， 由正弦定理知 BD sin∠BCD = 80 参考答案 CD sin∠CBD ， ∴ BD sin 2仔 3 = 2 6 姨 sin 仔 4 ， 解得 BD=6. 若选 ① ， ∵ ∠BCD= 2仔 3 ， ∠CBD= 仔 4 ， ∴∠BDC=仔- （ ∠BCD+∠CBD ） = 仔- 2仔 3 + 仔 4 4 $ = 仔 12 ， ∴∠BDE=∠CDE-∠BDC= 7仔 12 - 仔 12 = 仔 2 ， 在 Rt△BDE 中， BE= BD 2 +DE 2 姨 = 6 2 +8 2 姨 =10 ； 若选 ② ， 在 △BDE 中， 由余弦定理知 cos∠DBE= BD 2 +BE 2 -DE 2 2BD · BE ， ∴ 3 5 = 6 2 +BE 2 -8 2 2×6×BE ， 化简得 5BE 2 -36BE-140=0 ， 解得 BE=10 或 - 14 5 （舍负）， 故服务通道 BE 的长度 BE=10. （ 2 ） 在 △ABE 中 ， 由余弦定理知 BE 2 =BA 2 +AE 2 -2BA · AE · cos∠BAE ， ∴100=BA 2 +AE 2 +BA · AE ， ∴ （ BA+AE ） 2 -BA · AE=100 ， 即 （ BA+AE ） 2 -100=BA · AE≤ （ BA+AE ） 2 4 ， 当且仅 当 BA=AE 时， 等号成立， 此时 3 4 （ BA+AE ） 2 =100 ， BA+AE 的最大值为 20 3 姨 3 . 第十章章末测试卷 1. D 【解析】 （ 1+i ）（ 2-i ） =2+i-i 2 =3+i. 2. D 【解析】 ∵ （ 2a+i ）（ 1+i ） = （ 2a-1 ） + （ 2a+1 ） i 在复平面内 所对应的点在虚轴上， ∴2a-1=0 ， 即 a= 1 2 . 故选 D. 3. B 【解析 】 -2+3i 3-4i = （ -2+3i ）（ 3+4i ） 5 = -18+i 5 =- 18 5 + 1 5 i ， ∴ 复数 -2+3i 3-4i 对应的点位于第二象限 . 4. D 【解析】 z 1 ＝ 2-i 2+i ＝ （ 2-i ） 2 5 ＝ 3 5 - 4 5 i ， z 2 ＝ （ 1＋i ）（ 1-i ） ＝ 2 ， z＝z 1 ＋z 2 ＝ 13 5 - 4 5 i ， ∴z＝ 13 5 ＋ 4 5 i. 5. C 【解析】 z=-1- 3 姨 i ， zz= （ -1+ 3 姨 i ）（ -1- 3 姨 i ） = 1+3=4. z zz-1 = -1+ 3 姨 i 3 =- 1 3 + 3 姨 3 i. 故选 C. 6. D 【解析 】 A A( B =O A( B -O A( A =棕 2 -棕= - 1 2 + 3 姨 2 4 2 i 2 - - 1 2 + 3 姨 2 4 2 i =- 1 2 - 3 姨 2 i+ 1 2 - 3 姨 2 i=- 3 姨 i ， 故选 D. 7. D 【解析】 由题意 1+ 2 姨 i 是关于 x 的实系数方程 x 2 +bx+c＝0 ， ∴1+2 2 姨 i-2+b+ 2 姨 bi+c＝0 ， 即 -1+b+c+ （ 2 2 姨 + 2 姨 b ） i=0 ， ∴ -1+b+c=0 ， 2 2 姨 + 2 姨 b=0 0 ， 解得 b＝-2 ， c＝3. 故选 D. 8. A 【解析】 z 1 z 2 = （ a+bi ）（ cosA+icosB ） = （ acosA-bcosB ） + （ acosB +bcosA ） i. ∵z 1 z 2 在 复 平 面 上 对 应 的 点 在 虚 轴 上 ， acosA-bcosB=0 ， 即 sinAcosA-sinBcosB=0 ； ∴sin2A=sin2B ， 2A=2B 或 2A+2B=仔 ； ∴A=B 或 A+B= 仔 2 ； ∴△ABC 是等腰三 角形或直角三角形 . 9. AC 【解 析 】 设 z =x +yi （ x ， y∈R 且 y≠0 ） ， 由 ｜2z+5｜=｜z+10｜ ， 得（ 2x+5 ） 2 +4y 2 = （ x+10 ） 2 +y 2 ， 化简得 x 2 +y 2 =25 ， 即 ｜z｜=5 ， 因此虚数 z 对应的点在以 （ 0 ， 0 ） 为圆心、 5 为半 径的圆上 ， A 正确 ， B 错误 ； 若 z m + m z = x m + mx x 2 +y 2 2 2 + y m - my x 2 +y 2 4 2 i 为实数， 则 y m - my x 2 +y 2 =0 ， 又 y≠0 且 x 2 +y 2 =25 ， ∴ 1 m - m 25 =0 ， 解得 m=±5 ， 因此 C 正确； 由（ 1-2i ） z= （ 1-2i ）· （ x +yi ） = （ x +2y ） + （ y -2x ） i 及 已 知 得 ， x +2y =y -2x ， 即 y = -3x ， 代入 x 2 +y 2 =25 ， 解得 x= 10 姨 2 ， y= 3 10 姨 2 2 0 0 0 0 / 0 0 0 0 1 ， 或 x=- 10 姨 2 ， y= 3 10 姨 2 2 0 0 0 0 / 0 0 0 0 1 ， 故 z= - 10 姨 2 - 3 10 姨 2 i 或 z=- 10 姨 2 + 3 10 姨 2 i ， 因此 D 错误 . 故选 AC. 10. ABD 【解析】 复数 z=1+i ， 则 ｜z｜= 2 姨 ， A 正确； z= 1-i ， B 正确； z 的虚部为 1 ， C 错误； z 在复平面上对应点 的坐标为 （ 1 ， 1 ）， 在第一象限， D 正确 . 11. BC 【解析】 z 1 与 z 2 是共轭虚数， 设 z 1 =a+bi ， 则 z 2 = a-bi （ a ， b∈R ）， z 2 1 =a 2 -b 2 +2abi ， 复数不能比较大小， A 不 正确； z 1 z 2 =｜z 1 z 2 ｜=a 2 +b 2 ， B 正确； z 1 +z 2 =2a∈R ， C 正确； z 1 z 2 = a+bi a-bi = （ a+bi ） 2 （ a-bi ）（ a+bi ） = a 2 -b 2 a 2 +b 2 + 2ab a 2 +b 2 i 不一定是实数， D 不一 定正确 . 12. 1＋i 【解析】 2 z ＋z 2 ＝ 2 1+i ＋ （ 1＋i ） 2 ＝1-i＋2i＝1＋i. 13. 3 【解析】 ∵｜a+bi｜= a 2 +b 2 姨 = 3 姨 ， ∴ （ a+bi ）（ a-bi ） = a 2 +b 2 =3. 14. 2 2 2 姨 【解析】 ∵z= （ 1+i ） 4 1+i = （ 1+i ） 3 =1+3i+3i 2 +i 3 = -2+2i ， ∴z 的虚部为 2 ， ｜z｜= （ -2 ） 2 +2 2 姨 =2 2 姨 . 15. 解： （ 1 ） 由于四边形 ABCD 是平行四边形， ∴A A( C ＝A A( B ＋A A( D ， 于是A A( D ＝A A( C -A A( B ， 而 （1＋4i ） - （ 3＋2i ） ＝-2＋2i ， 即A A( D 对应的复数是-2＋2i. （ 2 ） 由于D A( B ＝A A( B -A A( D ， 而 （3＋2i ） - （ -2＋2i ） ＝5 ， 即D A( B 对应的复数是 5. （ 3 ） 由于P A( A ＝ 1 2 C A( A ＝- 1 2 A A( C ＝ - 1 2 ， - 2 2 2 ， P A( B ＝ 1 2 D A( B ＝ 5 2 ， 2 2 0 ， 于是P A( A·P A( B ＝- 5 4 ， 而 |P A( A |＝ 17 姨 2 ， |P A( B |＝ 5 2 ， ∴ 17 姨 2 · 5 2 · cos∠APB＝- 5 4 ， 因此 cos∠APB＝- 17 姨 17 ， 故 81 一、 选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， 若 A=105° ， B=45° ， b=2 2 姨 ， 则 c 等于 （ ） A. 1 B. 2 姨 C. 3 姨 D. 2 2. 在 △ABC 中 ， AC=3 ， BC= 7 姨 ， AB=2 ， 则 △ABC 的面积为 （ ） A. 2 3 姨 B. 3 3 姨 2 C. 26 姨 2 D. 3 2 3. 在 △ABC 中， a ， b ， c 分别是内角 A ， B ， C 的对边 . 若 b 2 =ac ， 且 a 2 + 3 姨 bc=c 2 +ac ， 则 A 的大小是 （ ） A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 4. 在 △ABC 中 ， 如 果 A =30° ， a =1 ， 则 a+b-c sinA+sinB-sinC 等于 （ ） A. 2 B. 1 2 C. 3 姨 D. 3 姨 2 5. 刘徽是我国魏晋时期著名的数学家， 他编 著的 《海岛算经》 中有一问题： “今有望 海岛， 立两表齐， 高三丈， 前后相去千 步， 令后表与前表相直 . 从前表却行一百 二十三步， 人目著地取望岛峰， 与表末参 合 . 从后表却行百二十七步， 人目著地取 望岛峰， 亦与表末参合 . 问岛高几何 . ” 意 思是： 为了测量海岛高度， 立了两根表， 高均为 5 步， 前后相距 1 000 步， 令后表 与前表在同一直线上 ， 从前表退行 123 步 ， 人恰观测到岛峰 ， 从后表退行 127 步 ， 也恰观测到岛峰 . 则岛峰的高度为 （ ） （注： 3 丈 =5 步， 1 里 =300 步） A. 4 里 55 步 B. 3 里 125 步 C. 7 里 125 步 D. 6 里 55 步 6. 设锐角 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c ， 若 B=2A ， 则 b+c a 的取值范 围是 （ ） A. （ 2 姨 +1 ， 3 姨 +2 ） B. （ 2 姨 +1 ， 3 ） C. （ 3 ， 3 姨 +2 ） D. （ 3 ， +∞ ） 7. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边分别 为 a ， b ， c ， 若 sinBsinC = 3 姨 sinA ， △ABC 的面积为 3 3 姨 2 ， a+b=3 3 姨 ， 则 c= （ ） A. 3 B. 21 姨 或 3 姨 C. 21 姨 D. 21 姨 或 3 8. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边分别 为 a ， b ， c ， 若 c （ acosB-bcosA ） =16 ， a+ b=8 ， C=60° ， 则 c 的值等于 （ ） 第九章章末测试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 第九章章末测试卷 1 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 A. 19 姨 B. 3 2 姨 C. 17 姨 D. 4 二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多 项符合题目要求， 全部选对的得 6 分 ， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 . 9. 已知 A ， B ， C 是 △ABC 的三个内角， 下 列结论一定成立的有 （ ） A. sin （ B+C ） =sinA B. cos （ A+B ） =cosC C. 若 A>B ， 则 sinA>sinB D. 若 sin2A=sin2B ， 则 △ABC 是等腰三角形 10. 如图， 已知直线 l 过 △ABC 的重心 G （三 条中线的交点 ）， 与 边 AB ， AC 交于点 P ， Q ， 且 A A$ P =λA A$ B ， A A$ Q =μA A$ C ， 直线 l 将 △ABC 分成两部分， 分别为 △APQ 和四 边形 PQCB ， 其对应的面积依次记为 S △APQ 和 S 四边形 PQCB ， 则以下结论正确的 是 （ ） A. λ+μ= 4 3 B. 1 λ + 1 μ =3 C. S 四边形 PQCB S △APQ 的最大值为 5 4 D. S 四边形 PQCB S △APQ 的最大值为 4 3 11. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边分别 为 a ， b ， c ， 下列命题正确的是 （ ） A. 若 a ∶ b ∶ c=4 ∶ 5 ∶ 6 ， △ABC 的最大内角 是最小内角的 2 倍 B. 若 acosB-bcosA=c ， 则 △ABC 一定为 直角三角形 C. 若 a=4 ， b=5 ， c=6 ， 则 △ABC 外接圆 半径为 16 7 姨 7 D. 若 cos （ A-B ） cos （ B-C ） cos （ C-A ） =1 ， 则 △ABC 一定是等边三角形 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 12. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对的边分 别是 a ， b ， c ， 若 a=2 ， 且 bccosA=a ， 则 b+c 的取值范围为 . 13. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， 已知 A=60° ， b+c=6 ， 且 △ABC 的面积为 3 姨 ， 则 △ABC 的内切圆的半 径为 . 14. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边分别 为 a ， b ， c ， △ABC 的面积为 S △ABC ， 则 S △ABC a 2 +bc 的最大值为 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 在 △ABC 中， AB= 2 姨 ， B= π 4 ， D 为 BC 边上一点， 且 BD=3. （ 1 ） 求 AD 的长； （ 2 ） 若 AC=2 2 姨 ， 求 sinC. 第 10 题图 P G Q A B C l 2 16. （ 15 分） △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 cos2A + sin A+ π 2 2 # =0. （ 1 ） 若 c=2 ， a=3 3 姨 ， 求 sinC 的值； （ 2 ） 若 b+c=2a ， 证明 △ABC 为等边三 角形 . 17. （ 15 分） 记 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对 边分别为 a ， b ， c ， 已知 sinCsin （ A-B ） = sinBsin （ C-A ） . （ 1 ） 求证： 2a 2 =b 2 +c 2 ； （ 2 ） 若 a=5 ， cosA= 25 31 ， 求 △ABC 的周长 . 第九章章末测试卷 3 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分 ） 已知向量 m= （ sinx ， 1 ） ， n= 3 姨 cosx ， - 1 2 " # . 令函数 f （ x ） = （ m+n ）· m. （ 1 ） 求函数 f （ x ） 的最小正周期和单调 递增区间； （ 2 ） △ABC 中 ， 内角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c ， ∠ACB 的平分线 交 AB 于点 D. 其中， 函数 f （ C ） 恰好 为函数 f （ x ） 的最大值 ， 且此时 CD=f （ C ）， 求 3a+b 的最小值 . 19. （ 17 分） 某市拟修建公路自行车比赛赛 道， 该赛道的平面示意图为如图的五边 形 ABCDE ， 运动员的公路自行车比赛中 如出现故障， 可以从本队的器材车、 公 共器材车或收容车上获得帮助 . 比赛期 间， 修理或更换车轮或赛车等， 也可在 固定修车点上进行 . 还需要运送一些补 给物品， 例如食物、 饮料、 工具和配件 . 所以项目筹备组需要预留出 BD ， BE 为 赛道内的两条服务通道 （不考虑宽度）， ED ， DC ， CB ， BA ， AE 为赛道， ∠BCD= ∠BAE= 2π 3 ， ∠CBD= π 4 ， CD=2 6 姨 km ， DE=8 km. （ 1 ） 从以下两个条件中任选一个条件， 求服务通道 BE 的长度 . ①∠CDE= 7π 12 ； ②cos∠DBE= 3 5 . （ 2 ） 在 （ 1 ） 的条件下， 应该如何设计， 才能使折线段赛道 BAE 最长 （即 BA+AE 最大）？ 最长值为多少？ A B C D E 第 19 题图 4